Datasets:

Vikhrmodels

/

sdamgia

like 4

Follow

Vikhr models 187

27995

Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром равна T_п = 20 гра­ду­сов C, через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния, про­пус­ка­ют го­ря­чую воду тем­пе­ра­ту­рой T_в = 60 гра­ду­сов C. Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу воды m = 0,3 кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние x (м), вода охла­жда­ет­ся до тем­пе­ра­ту­ры T левая круг­лая скоб­ка гра­ду­сов C пра­вая круг­лая скоб­ка , причeм x = альфа дробь: чис­ли­тель: cm, зна­ме­на­тель: гамма конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: T_в минус T_п , зна­ме­на­тель: T минус T_п конец дроби (м), где c = 4200 дробь: чис­ли­тель: Дж, зна­ме­на­тель: кг умно­жить на гра­ду­сов C конец дроби − теплоeмкость воды, гамма = 21 дробь: чис­ли­тель: Вт, зна­ме­на­тель: м умно­жить на гра­ду­сов C конец дроби − ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а альфа =0,7 − по­сто­ян­ная. До какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы 84 м?

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях теплоёмко­сти воды ко­эф­фи­ци­ен­та теп­ло­об­ме­на по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ры по­ме­ще­ния и рас­хо­да воды : альфа дробь: чис­ли­тель: cm, зна­ме­на­тель: гамма конец дроби \log _2 дробь: чис­ли­тель: T_в минус T_п, зна­ме­на­тель: T минус T_п конец дроби =84 c=4200 дробь: чис­ли­тель: Дж, зна­ме­на­тель: кг умно­жить на гра­ду­сов C конец дроби , гамма =21 дробь: чис­ли­тель: Вт, зна­ме­на­тель: м умно­жить на гра­ду­сов C конец дроби , альфа =0,7, T_п=20 гра­ду­сов C m=0,3кг/c 0,7 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4200 умно­жить на 0,3, зна­ме­на­тель: 21 конец дроби \log _2 дробь: чис­ли­тель: 60 минус 20, зна­ме­на­тель: T минус 20 конец дроби =84 рав­но­силь­но \log _2 дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: T минус 20 конец дроби =2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: T минус 20 конец дроби =4 рав­но­силь­но T=30 гра­ду­сов C.

30

27996

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни v = 3 моль воз­ду­ха объeмом V_1=8 л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма V_2. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем A = альфа v T ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: V_1 , зна­ме­на­тель: V_2 конец дроби (Дж), где альфа =5,75 − по­сто­ян­ная, а T = 300К − тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм V_2 (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 10 350 Дж?

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, ко­ли­че­ства ве­ще­ства воз­ду­ха моль и объ­е­ма воз­ду­ха л: альфа v T\log _2 дробь: чис­ли­тель: V_1, зна­ме­на­тель: V_2 конец дроби =10 350 альфа =5,75, T=300 v =3 V_1=8 л. 5,75 умно­жить на 3 умно­жить на 300 умно­жить на \log _2 дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: V_2 конец дроби =10 350 рав­но­силь­но \log _2 дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: V_2 конец дроби =2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: V_2 конец дроби =4 рав­но­силь­но V_2=2

2

27997

На­хо­дя­щий­ся в воде во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий v = 2 моля воз­ду­ха при дав­ле­нии p_1 = 1,5 ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем A = альфа v T ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: p_2 , зна­ме­на­тель: p_1 конец дроби (Дж), где альфа =5,75 − по­сто­ян­ная, T = 300 − тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха, p_1 (атм) − на­чаль­ное дав­ле­ние, а p_2 (атм) − ко­неч­ное дав­ле­ние воз­ду­ха в ко­ло­ко­ле. До ка­ко­го наи­боль­ше­го дав­ле­ния p_2 можно сжать воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха со­вер­ша­ет­ся ра­бо­та не более чем 6900 Дж? Ответ при­ве­ди­те в ат­мо­сфе­рах.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, на­чаль­но­го дав­ле­ния атм и ко­ли­че­ства воз­ду­ха моль: альфа v T\log _2 дробь: чис­ли­тель: p_2, зна­ме­на­тель: p_1 конец дроби мень­ше или равно 6900 альфа =5,75, T=300 p_1=1,5 v =2 атм. 5,75 умно­жить на 2 умно­жить на 300 умно­жить на \log _2 дробь: чис­ли­тель: p_2, зна­ме­на­тель: 1,5 конец дроби мень­ше или равно 6900 рав­но­силь­но \log _2 дробь: чис­ли­тель: p_2, зна­ме­на­тель: 1,5 конец дроби мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: p_2, зна­ме­на­тель: 1,5 конец дроби мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но p_2 мень­ше или равно 6

6

26714

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=3x минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2,5;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби =0, новая стро­ка минус 2,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби =1, новая стро­ка минус 2,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус 2 новая стро­ка минус 2,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= минус 2. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: x= минус 2 y левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка=минус 2 умно­жить на 3 минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1= минус 6.

-6

26715

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5x на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4,5;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби минус 5. Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби минус 5=0, новая стро­ка минус 4,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби =1, новая стро­ка минус 4,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус 4 новая стро­ка минус 4,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= минус 4. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние: x= минус 4 y левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка=на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1 плюс 5 умно­жить на 4=20.

20

26716

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=4x минус 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 6,5;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 4 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби =0, новая стро­ка минус 6,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус 6, новая стро­ка минус 6,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= минус 6. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: x= минус 6 y левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка=минус 6 умно­жить на 4 минус 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1 плюс 6= минус 18.

-18

26717

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=8 на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8x плюс 3 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 6,5;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби минус 8. Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби минус 8=0, новая стро­ка минус 6,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби =1, новая стро­ка минус 6,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус 6, новая стро­ка минус 6,5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= минус 6. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние: x= минус 6 y левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =8 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1 плюс 8 умно­жить на 6 плюс 3=51.

51

26718

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=9x минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 9x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем ее про­из­вод­ную: y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =9 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 9 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби =0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке, и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби y левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на 9 минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1 плюс 3=4.

4

26719

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка 11x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 11x плюс 9 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11x конец дроби умно­жить на 11 минус 11= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 11. Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 11=0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби . Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние: x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби y левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка=на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби умно­жить на 11 плюс 9=8.

8

26720

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=2x в квад­ра­те минус 13x плюс 9 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс 8 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'=4x минус 13 плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: x конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 4x минус 13 плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: x конец дроби =0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1, x= дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , конец си­сте­мы } новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x=1. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние: x=1 y левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 умно­жить на 1 минус 13 умно­жить на 1 плюс 9 умно­жить на 0 плюс 8= минус 3.

-3

26721

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=2x в квад­ра­те минус 5x плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм x минус 3 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'=4x минус 5 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке: со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 4x в квад­ра­те минус 5x плюс 1=0, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1, x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , конец си­сте­мы } новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x=1. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: x=1 y левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 умно­жить на 1 минус 5 умно­жить на 1 минус 3= минус 6.

-6

26722

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2x плюс 9.

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: левая круг­лая скоб­ка минус 5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . y'= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби минус 2. Най­дем нули про­из­вод­ной: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби минус 2=0 рав­но­силь­но x плюс 5= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x= минус 4,5. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма x= минус 4,5.

-4,5

26734

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=2x минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 7.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'=2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной: 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби =2 рав­но­силь­но x плюс 3= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x= минус 2,5. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма x= минус 2,5.

-2,5

77486

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=3x минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе .

За­ме­тим, что Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции — от­кры­тый луч Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y=3x минус 3\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . левая круг­лая скоб­ка минус 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной: 3 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби =0 рав­но­силь­но x= минус 2. Най­ден­ная точка лежит на луче Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: левая круг­лая скоб­ка минус 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . <img_0> Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма x= минус 2.

-2

77487

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5x.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби минус 5. Най­дем нули про­из­вод­ной: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби минус 5=0 рав­но­силь­но x= минус 4. Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма x= минус 4.

-4

77488

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=4x минус 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции — от­кры­тый луч Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y=4x минус 4\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка . левая круг­лая скоб­ка минус 7; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной: 4 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби =0 рав­но­силь­но x= минус 6. Най­ден­ная точка лежит на луче Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: левая круг­лая скоб­ка минус 7; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . <img_0> Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма x= минус 6.

-6

77489

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y=8 на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8x плюс 3.

За­ме­тим, что Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции — от­кры­тый луч Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y=8\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8x плюс 3. левая круг­лая скоб­ка минус 7; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . y'= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби минус 8. Най­дем нули про­из­вод­ной: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: x плюс 7 конец дроби минус 8=0 рав­но­силь­но x= минус 6. Най­ден­ная точка лежит на луче Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: левая круг­лая скоб­ка минус 7; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . <img_0> Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма x= минус 6.

-6

77490

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y=2x в квад­ра­те минус 13x плюс 9 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс 8.

За­ме­тим, что Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции — от­кры­тый луч Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y=2x в квад­ра­те минус 13x плюс 9 на­ту­раль­ный ло­га­рифм x плюс 8. левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . y'=4x минус 13 плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: x конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной: 4x минус 13 плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: x конец дроби =0 рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те минус 13x плюс 9=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=1, новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти . Най­ден­ные точки лежит на луче Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . <img_0> Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма x=1.

1

77491

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=2x в квад­ра­те минус 5x плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм x минус 3.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'=4x минус 5 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби . Най­дем нули про­из­вод­ной: 4x минус 5 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби =0 рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те минус 5x плюс 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1, x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти . Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции: <img_0> Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма x=1.

1

315127

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6e в сте­пе­ни x плюс 3 на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: y'=2e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6e в сте­пе­ни x =2e в сте­пе­ни x левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем нули про­из­вод­ной: 2e в сте­пе­ни x левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но e в сте­пе­ни x =3 рав­но­силь­но x=\ln3. От­ме­тим на ри­сун­ке нули про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке: <img_0> Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся ее зна­че­ние в точке ми­ни­му­ма. Най­дем его: y левая круг­лая скоб­ка \ln3 пра­вая круг­лая скоб­ка =e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2\ln3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \ln3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3=3 в квад­ра­те минус 6 умно­жить на 3 плюс 3= минус 6.

-6

500916

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 11 плюс 4x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2.

Квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке в нашем слу­чае — в точке Функ­ция в этой точке опре­де­ле­на. По­сколь­ку ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим еди­ни­цы, воз­рас­та­ет, то — точка мак­си­му­ма функ­ции. y=ax в квад­ра­те плюс bx плюс c x= минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби , 2. y= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 11 плюс 4x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 2

2

500960

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Квад­рат­ный трех­член с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке в нашем слу­чае — в точке Функ­ция в этой точке опре­де­ле­на и при­ни­ма­ет зна­че­ние По­сколь­ку ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция с ос­но­ва­ни­ем, мень­шим 1, убы­ва­ет, най­ден­ное зна­че­ние яв­ля­ет­ся ис­ко­мым наи­боль­шим зна­че­ни­ем за­дан­ной функ­ции. y=ax в квад­ра­те плюс bx плюс c x= минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби , минус 2. y= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка=минус 1.

-1

503145

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y = \ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2x плюс 7.

За­ме­тим, что а зна­чит, на­ту­раль­ный ло­га­рифм a в квад­ра­те=2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм |a|, y=2 \ln|x плюс 4| плюс 2x плюс 7=си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 \ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2x плюс 7, x боль­ше минус 42 \ln левая круг­лая скоб­ка минус x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2x плюс 7, x мень­ше минус 4. конец си­сте­мы Тогда y'=си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x плюс 4 конец дроби плюс 2, x боль­ше минус 4, дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x плюс 4 конец дроби плюс 2, x мень­ше минус 4 конец си­сте­мы=си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x плюс 4 конец дроби , x боль­ше минус 4, дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x плюс 4 конец дроби , x мень­ше минус 4. конец си­сте­мы На луче про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, а функ­ция не имеет экс­тре­му­мов. На луче про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке −5, ко­то­рая яв­ля­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма. левая круг­лая скоб­ка минус 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка

-5

506372

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь одной стра­ни­цы учеб­ни­ка Б)  пло­щадь тер­ри­то­рии рес­пуб­ли­ки Ка­ре­лия В)  пло­щадь одной сто­ро­ны мо­не­ты Г)  пло­щадь бад­мин­тон­ной пло­щад­ки ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  81,7 кв. м 2)  330 кв. см 3)  180,5 тыс. кв. км 4)  300 кв. мм В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния. A Б В Г

Пло­щадь рес­пуб­ли­ки Ка­ре­лия огром­на и впол­не может быть 180,5 тыс. кв. км., пло­щадь бад­мин­тон­ной пло­щад­ки около 81,7 кв. м., пло­щадь стра­ни­цы учеб­ни­ка ори­ен­ти­ро­воч­но 330 кв. см., а пло­щадь мо­не­ты на глаз около 300 кв. мм. По­лу­чим со­от­вет­ствие Б — 3, Г — 1, А — 2 и В — 4. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 2341.

2341

506432

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь поч­то­вой марки Б)  пло­щадь пись­мен­но­го стола В)  пло­щадь го­ро­да Санкт-Пе­тер­бург Г)  пло­щадь во­лей­боль­ной пло­щад­ки ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  362 кв. м 2)  1,2 кв. м 3)  1399 кв. км 4)  5,2 кв. см В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния. A Б В Г

Пло­щадь го­ро­да Санкт-Пе­тер­бург самая боль­шая из пред­ло­жен­ных и впол­не может быть 1399 кв. км., пло­щадь во­лей­боль­ной пло­щад­ки около 362 кв. м., пло­щадь пись­мен­но­го стола при­мер­но 1,2 кв. м., а поч­то­вой марки на глаз около 5,2 кв. см. По­лу­чи­ли со­от­вет­ствие В - 3, Г - 1, Б - 2 и А - 4. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 4231.

4231

506512

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь тер­ри­то­рии Рос­сии Б)  пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки В)  пло­щадь поч­то­вой марки Г)  пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  364 кв. м 2)  0,2 кв. м 3)  17,1 млн. кв. км 4)  6,8 кв. см В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния. A Б В Г

Пло­щадь Рос­сии ко­лос­саль­на и со­став­ля­ет 17,1 млн. кв. км, пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки ори­ен­ти­ро­воч­но 364 кв. м., пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки 0,2 кв. м=2000 кв. см., а пло­щадь поч­то­вой марки нав­скид­ку 6,8 кв. см. По­лу­чи­ли со­от­вет­ствие А - 3, Г - 1, Б - 2 и В - 4. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 3241.

3241

506575

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь бал­ко­на в доме Б)  пло­щадь та­рел­ки В)  пло­щадь Ла­дож­ско­го озера Г)  пло­щадь одной сто­ро­ны мо­не­ты ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  300 кв. мм 2)  3 кв. м 3)  17,6 тыс. кв. км 4)  600 кв. см В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния. A Б В Г

Упо­ря­до­чим по воз­рас­та­нию пло­ща­ди: сто­ро­на мо­не­ты, та­рел­ка, бал­кон и Ла­дож­ское озеро. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А — 2, Б — 4, В — 3, Г — 1.

2431

506655

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь мо­ни­то­ра ком­пью­те­ра Б)  пло­щадь го­ро­да Санкт-Пе­тер­бург В)  пло­щадь ногтя на паль­це взрос­ло­го че­ло­ве­ка Г)  пло­щадь Крас­но­дар­ско­го края ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  75 500 кв. км 2)  960 кв. см 3)  100 кв. мм 4)  1399 кв. км В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния. A Б В Г

Пло­щадь Крас­но­дар­ско­го края самая боль­шая из пред­ло­жен­ных и впол­не может быть 75 500 кв. км., пло­щадь Санкт-Пе­тер­бур­га до­воль­но боль­шая и впол­не может быть 1399 кв. км., пло­щадь мо­ни­то­ра ком­пью­те­ра ори­ен­ти­ро­воч­но 960 кв. см., пло­щадь ногтя на паль­це взрос­ло­го че­ло­ве­ка около 100 кв. мм. По­лу­чим со­от­вет­ствие Г - 1, Б - 4, А - 2 и В - 3. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 2431.

2431

506762

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь го­ро­да Санкт-Пе­тер­бург Б)  пло­щадь ла­до­ни взрос­ло­го че­ло­ве­ка В)  пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки Г)  пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  364 кв. м 2)  100 кв. см 3)  1399 кв. км 4)  0,2 кв. м В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния. A Б В Г

Пло­щадь Санкт-Пе­тер­бур­га самая боль­шая из пред­ло­жен­ных и впол­не может быть 1399 кв. км., пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки около 364 кв. м., пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки при­мер­но 0,2 кв. м.=2000 кв. см., пло­щадь ла­до­ни взрос­ло­го — около 10x10 см, то есть 100 кв. см. По­лу­чим со­от­вет­ствие А — 3, Г — 1, В — 4 и Б — 2. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 3241.

3241

506824

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь во­лей­боль­ной пло­щад­ки Б)  пло­щадь тет­рад­но­го листа В)  пло­щадь пись­мен­но­го стола Г)  пло­щадь го­ро­да Москва ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  162 кв. м 2)  600 кв. см 3)  2511 кв. км 4)  1,2 кв. м В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния. A Б В Г

Упо­ря­до­чим по воз­рас­та­нию пло­ща­ди: тет­рад­ный лист, пись­мен­ный стол, во­лей­боль­ная пло­щад­ка и город Москва. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А — 1, Б — 2, В — 4, Г — 3.

1243

507046

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь класс­ной доски Б)  пло­щадь озера Бай­кал В)  пло­щадь листа А4 Г)  пло­щадь Евра­зии ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  32 тыс. км 2 2)  55 млн км 2 3)  600 см 2 4)  4 м 2 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: A Б В Г

Пло­щадь Евра­зии самая боль­шая из пред­ло­жен­ных ве­ли­чин — 55 млн км . Пло­щадь озера Бай­кал — 32 тыс. км . Пло­щадь класс­ной доски — 4 м . Пло­щадь листа А4 — 600 см .

4132

509634

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь фут­боль­но­го поля Б)  пло­щадь ку­пю­ры до­сто­ин­ством 100 руб­лей В)  пло­щадь трёхком­нат­ной квар­ти­ры Г)  пло­щадь тер­ри­то­рии Рос­сии ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  97,5 кв. см 2)  0,7 га 3)  17,1 млн кв. км 4)  100 кв. м За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: A Б В Г

Пло­щадь фут­боль­но­го поля ра­ве­на 0,7 га, пло­щадь ку­пю­ры до­сто­ин­ством 100 руб­лей — 97,5 кв. см, пло­щадь трёхком­нат­ной квар­ти­ры — 100 кв. м, пло­щадь тер­ри­то­рии Рос­сии — 17,1 млн кв. км.

2143

509694

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца. ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ А)  пло­щадь го­ро­да Санкт-Пе­тер­бур­га Б)  пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки В)  пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки Г)  пло­щадь одной сто­ро­ны мо­не­ты ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ 1)  1439 кв. км 2)  420 кв. м 3)  0,2 кв. м 4)  300 кв. мм За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: A Б В Г

Пло­щадь го­ро­да Санкт-Пе­тер­бур­га может быть равна 1439 кв. км, пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки может со­став­лять 0,2 кв. м, пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки — 420 кв. м, пло­щадь одной сто­ро­ны мо­не­ты — 300 кв. мм.

1324

27864

<img_0> Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, ко­то­рая со­став­ля­ет дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но \angle ACB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \cup AB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 360 гра­ду­сов =36 гра­ду­сов .

36

27865

<img_0> Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, ко­то­рая со­став­ля­ет 20 \% окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся: \angle ACB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \cup AB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0,2 умно­жить на 360 гра­ду­сов =36 гра­ду­сов .

36

27870

<img_0> В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD − диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 110 гра­ду­сов. Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти, зна­чит \angle ACB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle AOB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle AOD пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 70 гра­ду­сов =35 гра­ду­сов .

35

27874

<img_0> Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 105 гра­ду­сов, угол CAD равен 35 гра­ду­сов.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит \angle ABD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \cup AD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \cup ADC минус \cup CD пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2\angle ABC минус 2\angle CAD пра­вая круг­лая скоб­ка =70 гра­ду­сов .

70

27875

<img_0> Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75 гра­ду­сов, угол CAD равен 35 гра­ду­сов.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит \angle ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \cup ADC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \cup AD плюс \cup CD пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle ABD плюс \angle CAD=110 гра­ду­сов .

110

27876

<img_0> Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 110 гра­ду­сов, угол ABD равен 70 гра­ду­сов.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит \angle CAD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \cup CD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \cup ADC минус \cup AD пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle ABC минус \angle ABD=40 гра­ду­сов .

40

245008

<img_0> Най­ди­те (в см 2 ) пло­щадь S коль­ца, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см \times 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Пло­щадь коль­ца равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го и ма­ло­го кру­гов. Ра­ди­ус боль­шо­го круга равен 2, а ма­ло­го — 1, от­ку­да <img_1> S= Пи 2 в квад­ра­те минус Пи 1 в квад­ра­те =3 Пи . По­это­му дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби =3.

3

315122

<img_0> На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 51. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга вчет­ве­ро боль­ше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 204. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 204 − 51=153.

153

315123

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры. <img_0>

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. Ра­ди­ус внеш­не­го круга равен 6, ра­ди­ус внут­рен­не­го равен 3. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са наи­мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга вчет­ве­ро боль­ше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 4. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 4 − 1=3.

3

315124

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 9. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры. <img_0>

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга равен че­ты­рем тре­тьим ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга со­став­ля­ет шест­на­дцать де­вя­тых пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 16. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 16 − 9=7.

7

505378

<img_0> Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 104°, угол CAD равен 66°. Най­ди­те угол ABD . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит \angle ABD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \cup AD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \cup ADC минус \cup CD пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2\angle ABC минус 2\angle CAD пра­вая круг­лая скоб­ка =38 гра­ду­сов .

38

506458

<img_0> На окруж­но­сти ра­ди­у­са 3 взята точка С . От­ре­зок АВ — диа­метр окруж­но­сти, AC =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те ВС .

Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр — пря­мой, по­это­му тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный. Его ги­по­те­ну­за АВ равна 6, по­это­му: BC=ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус AC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та=ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 минус 20 конец ар­гу­мен­та=ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 конец ар­гу­мен­та=4.

4

506498

<img_0> В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Цен­траль­ный угол AOD равен 130 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB.

Углы AOD и BOC равны как вер­ти­каль­ные. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти, зна­чит \angle ACB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle AOB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус \angle BOC пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 50 гра­ду­сов =25 гра­ду­сов .

25

506768

<img_0> В угол C ве­ли­чи­ной 83 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B.

Угол AOB=180 гра­ду­сов минус \cup AB=180 минус 83=97 гра­ду­сов.

97

509660

Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, длина ко­то­рой равна дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 36 длины окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Длина окруж­но­сти равна 360, сле­до­ва­тель­но, длин­на дуги равна: 360 : 36=10. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, 10 : 2=5°.

5

510031

<img_0> В угол C , рав­ный 68°, впи­са­на окруж­ность с цен­тром O , ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B . Най­ди­те угол AOB . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к сто­ро­нам угла равен са­мо­му углу; тупой угол между ними до­пол­ня­ет его до 180°. Тем самым, ис­ко­мый угол равен 180° − 68°=112°.

112

509055

<img_0> Впи­сан­ный угол окруж­но­сти на 42° мень­ше цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу дан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те впи­сан­ный угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти, зна­чит <img_1> \angle ACB плюс 42 гра­ду­сов =2\angle ACB рав­но­силь­но \angle ACB=42 гра­ду­сов .

42

510968

<img_0> На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что \angle AOB=2 гра­ду­сов. Длина мень­шей дуги АВ равна 46. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

Углу со­от­вет­ству­ет длина дуги 46. Таким об­ра­зом, углу со­от­вет­ству­ет длина дуги: \angle AOB=2 гра­ду­сов 360 гра­ду­сов минус 2 гра­ду­сов=358 гра­ду­сов дробь: чис­ли­тель: 358 гра­ду­сов умно­жить на 46, зна­ме­на­тель: 2 гра­ду­сов конец дроби =8234

8234

512187

<img_0> В окруж­но­сти с цен­тром O про­ведён диа­метр AB и на окруж­но­сти взята точка C так, что угол COB равен 120°, AC = 50. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

Тре­уголь­ник COA — рав­но­сто­рон­ний, так как сто­ро­ны AO=OC как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, а угол COA в нем равен 60° как смеж­ный с углом COB . Тогда диа­метр AB=2 AC=100.

100

522263

Диа­метр AB окруж­но­сти с цен­тром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду MN этой окруж­но­сти в точке H так, что MH = NH . Най­ди­те MO , если MB =  21, HB =  15.

За­ме­тим, что MO — ра­ди­ус за­дан­ной окруж­но­сти. Обо­зна­чим его бук­вой R . Со­еди­ним от­рез­ка­ми точки М и N с цен­тром окруж­но­сти (см. рис. 1), а также с точ­кой А . В тре­уголь­ни­ке MON сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MON — рав­но­бед­рен­ный, у ко­то­ро­го OH — ме­ди­а­на по усло­вию. Но тогда OH яв­ля­ет­ся также вы­со­той этого тре­уголь­ни­ка. То есть от­ре­зок OH и диа­метр AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны хорде MN . Тогда в тре­уголь­ни­ке MHB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра <img_0> MO=NO=R, MH в квад­ра­те =MB в квад­ра­те минус H в квад­ра­те =441 минус 225=216. Угол AMB — впи­сан­ный, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, а зна­чит, пря­мой. Вы­со­та MH пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AMB , опу­щен­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла М на ги­по­те­ну­зу AB , яв­ля­ет­ся сред­ней про­пор­ци­о­наль­ной ве­ли­чи­ной между про­ек­ци­я­ми ка­те­тов AH и BH на ги­по­те­ну­зу АВ . Зна­чит, MH в квад­ра­те =AH умно­жить на BH= левая круг­лая скоб­ка 2R минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 15=30R минус 225=216, от­ку­да то есть 30R=441, R=14,7.

14,7

99579

Бри­га­да ма­ля­ров кра­сит забор дли­ной 240 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму по­крас­ки на одно и то же число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний день в сумме бри­га­да по­кра­си­ла 60 мет­ров за­бо­ра. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней бри­га­да ма­ля­ров кра­си­ла весь забор.

Пусть бри­га­да в пер­вый день по­кра­си­ла мет­ров за­бо­ра, во вто­рой — … , в по­след­ний — мет­ров за­бо­ра. Тогда м, а за n дней было по­кра­ше­но a_1 a_2, a_n a_1 плюс a_n=60 мет­ров за­бо­ра. S_n= дробь: чис­ли­тель: a_1 плюс a_n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n=30n По­сколь­ку всего было по­кра­ше­но 240 мет­ров за­бо­ра, имеем: Таким об­ра­зом, бри­га­да кра­си­ла забор в те­че­ние 8 дней. 30n=240 рав­но­силь­но n=8.

8

99580

Ра­бо­чие про­кла­ды­ва­ют тон­нель дли­ной 500 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму про­клад­ки на одно и то же число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый день ра­бо­чие про­ло­жи­ли 3 метра тон­не­ля. Опре­де­ли­те, сколь­ко мет­ров тон­не­ля про­ло­жи­ли ра­бо­чие в по­след­ний день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 10 дней.

Пусть ра­бо­чие в пер­вый день про­ло­жи­ли мет­ров тон­не­ля, во вто­рой — , …, в по­след­ний — мет­ров тон­не­ля. Длина тон­не­ля мет­ров. дней. Тогда в по­след­ний день ра­бо­чие про­ло­жи­ли a_1 a_2 a_10 S_n=500 S_n= дробь: чис­ли­тель: a_1 плюс a_n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n, n=10 мет­ров. a_10= дробь: чис­ли­тель: 2S_n, зна­ме­на­тель: n конец дроби минус a_1= дробь: чис­ли­тель: 1000, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби минус 3=97

97

99581

Васе надо ре­шить 525 задач. Еже­днев­но он ре­ша­ет на одно и то же ко­ли­че­ство задач боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Вася решил 5 задач. Опре­де­ли­те, сколь­ко задач решил Вася в по­след­ний день, если со всеми за­да­ча­ми он спра­вил­ся за 14 дней.

В пер­вый день Вася решил задач, в по­след­ний — задач. Всего надо ре­шить задач. По­сколь­ку где имеем: a_1=5 a_14 S_14=525 S_n= дробь: чис­ли­тель: a_1 плюс a_n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n, a_1=5, n=14 S_14= дробь: чис­ли­тель: a_1 плюс a_14, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 14=7 левая круг­лая скоб­ка 5 плюс a_14 пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда задач. 7 левая круг­лая скоб­ка 5 плюс a_14 пра­вая круг­лая скоб­ка =525 рав­но­силь­но 5 плюс a_14= 75 рав­но­силь­но a_14= 70

70

99582

Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние. Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 10 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за тре­тий день, если весь путь он про­шел за 6 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 120 ки­ло­мет­ров.

В пер­вый день ту­рист про­шел км, во вто­рой — …, в по­след­ний — км. Всего он про­шел км. Если каж­дый день ту­рист про­хо­дил боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на d км, то a_1=10 a_2, a_6 S_n= 120 S_n= дробь: чис­ли­тель: 2a_1 плюс d умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n, где дней, км. Таким об­ра­зом, n=6 a_1=10 дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 10 плюс 5d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6=120 рав­но­силь­но 5d=20 рав­но­силь­но d=4. Тогда за тре­тий день ту­рист про­шел a_3=a_1 плюс 2d=10 плюс 2 умно­жить на 4=18 км.

18

99583

Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 210 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но за де­вя­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 14 дней.

Пусть в пер­вый день гру­зо­вик пе­ре­вез тонны щебня, во вто­рой — …, в по­след­ний — тонн; всего было пе­ре­ве­зе­но тонн; норма пе­ре­воз­ки уве­ли­чи­ва­лась еже­днев­но на d тонн. Таким об­ра­зом, a_1=2 a_2, a_8 S_n=210 S_n= дробь: чис­ли­тель: 2a_1 плюс d умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n рав­но­силь­но 210= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 2 плюс 13d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 14 рав­но­силь­но 30=4 плюс 13d рав­но­силь­но d=2. S_n= дробь: чис­ли­тель: 2a_1 плюс d умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n рав­но­силь­но 210= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 2 плюс 13d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 14 рав­но­силь­но рав­но­силь­но 30=4 плюс 13d рав­но­силь­но d=2. Имеем: a_9=a_1 плюс 8d=2 плюс 8 умно­жить на 2=18. Сле­до­ва­тель­но, за де­вя­тый день было пе­ре­ве­зе­но 18 тонн щебня.

18

99584

Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Пусть улит­ка про­полз­ла в пер­вый день мет­ров, во вто­рой − … , в по­след­ний − мет­ров. Тогда м, а за n дней про­полз­ла мет­ров. По­сколь­ку всего она про­полз­ла 150 мет­ров, имеем: Таким об­ра­зом, улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь 30 дней. a_1 a_2, a_n a_1 плюс a_n=10 S_n= дробь: чис­ли­тель: a_1 плюс a_n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n=5n 5n=150 рав­но­силь­но n=30.

30

99585

Вере надо под­пи­сать 640 от­кры­ток. Еже­днев­но она под­пи­сы­ва­ет на одно и то же ко­ли­че­ство от­кры­ток боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Вера под­пи­са­ла 10 от­кры­ток. Опре­де­ли­те, сколь­ко от­кры­ток было под­пи­са­но за чет­вер­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 16 дней.

В пер­вый день Вера под­пи­са­ла от­кры­ток, во вто­рой — …, в по­след­ний — от­кры­ток. Всего было под­пи­са­но от­кры­ток. Если ко­ли­че­ство под­пи­сы­ва­е­мых от­кры­ток уве­ли­чи­ва­лось на d каж­дый день, то a_1=10 a_2, a_16 S_n=640 S_n= дробь: чис­ли­тель: 2a_1 плюс d умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n рав­но­силь­но 640= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 10 плюс 15d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 16 рав­но­силь­но 80=20 плюс 15d рав­но­силь­но d=4. S_n= дробь: чис­ли­тель: 2a_1 плюс d умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n рав­но­силь­но 640= дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 10 плюс 15d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 16 рав­но­силь­но рав­но­силь­но 80=20 плюс 15d рав­но­силь­но d=4. Тогда a_4=a_1 плюс 3d=10 плюс 3 умно­жить на 4=22. Сле­до­ва­тель­но, за чет­вер­тый день было под­пи­са­но 22 от­крыт­ки.

22

99586

Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300%, то есть в раза, по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. За 2003 год Буб­ли­ков за­ра­бо­тал b_1=5 \thinspace 000 q=4 руб­лей. b_4=b_1 умно­жить на q в кубе =5 \thinspace 000 умно­жить на 4 в кубе =320 \thinspace 000

320000

99587

Ком­па­ния «Альфа» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в пер­спек­тив­ную от­расль в 2001 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 5000 дол­ла­ров. Каж­дый год, на­чи­ная с 2002 года, она по­лу­ча­ла при­быль, ко­то­рая со­став­ля­ла 200% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. А ком­па­ния «Бета» на­ча­ла ин­ве­сти­ро­вать сред­ства в дру­гую от­расль в 2003 году, имея ка­пи­тал в раз­ме­ре 10 000 дол­ла­ров, и, на­чи­ная с 2004 года, еже­год­но по­лу­ча­ла при­быль, со­став­ля­ю­щую 400% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. На сколь­ко дол­ла­ров ка­пи­тал одной из ком­па­ний был боль­ше ка­пи­та­ла дру­гой к концу 2006 года, если при­быль из обо­ро­та не изы­ма­лась?

Каж­дый год при­быль ком­па­нии «Альфа» со­став­ля­ла 200% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года, зна­чит, ка­пи­тал каж­дый год со­став­лял 300% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. В конце 2006 года на счёте ком­па­нии «Альфа» была сумма дол­ла­ров. 5000 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2006 минус 2001 пра­вая круг­лая скоб­ка =5000 умно­жить на 3 в сте­пе­ни 5 =5000 умно­жить на 243=1215000 Каж­дый год при­быль ком­па­нии «Бета» со­ста­ви­ла 400% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года, зна­чит, ка­пи­тал каж­дый год со­став­лял 500% от ка­пи­та­ла преды­ду­ще­го года. В конце 2006 года на счёте ком­па­нии «Бета» была сумма 10000 умно­жить на 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2006 минус 2003 пра­вая круг­лая скоб­ка=10000 умно­жить на 5 в кубе =10000 умно­жить на 125=1250000. Таким об­ра­зом, ка­пи­тал ком­па­нии «Бета» был на 35 000 дол­ла­ров боль­ше.

35000

26650

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =64.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =64 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 4 минус 2x=6 рав­но­силь­но x= минус 1.

-1

26651

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби .

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби рав­но­силь­но 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x минус 7= минус 3 рав­но­силь­но x=4.

4

26652

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка=левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но x минус 8=2 рав­но­силь­но x=10.

10

26653

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =4.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =4 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка }=2 в квад­ра­те рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в квад­ра­те рав­но­силь­но 2x минус 6=2 рав­но­силь­но x=4.

4

26654

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 16 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: 16 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка=дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 левая круг­лая скоб­ка x минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 4x минус 36= минус 1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x=8,75.

8,75

26655

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =3.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2x плюс 26 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но минус 2x плюс 26=1 рав­но­силь­но x=12,5. левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2x плюс 26 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но минус 2x плюс 26=1 рав­но­силь­но x=12,5.

12,5

26666

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =729.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =729 рав­но­силь­но 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =9 в кубе рав­но­силь­но минус 5 плюс x=3 рав­но­силь­но x=8.

8

26670

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =512.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =512 рав­но­силь­но 8 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =8 в кубе рав­но­силь­но 3 минус x=3 рав­но­силь­но x=0.

0

513732

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка :3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =27.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка :3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =27 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 плюс 5x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в кубе рав­но­силь­но 3x минус 4 плюс 5x минус 2=3 рав­но­силь­но 8x=9 рав­но­силь­но x=1,125. 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка :3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =27 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 плюс 5x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в кубе рав­но­силь­но рав­но­силь­но 3x минус 4 плюс 5x минус 2=3 рав­но­силь­но 8x=9 рав­но­силь­но x=1,125.

1,125

513814

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =216.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни: 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =216 рав­но­силь­но 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x минус 6 плюс 5 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =6 в кубе рав­но­силь­но 2x минус 6 плюс 5 минус 3x=3 рав­но­силь­но минус x=4 рав­но­силь­но x= минус 4. 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =216 рав­но­силь­но 6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x минус 6 плюс 5 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =6 в кубе рав­но­силь­но рав­но­силь­но 2x минус 6 плюс 5 минус 3x=3 рав­но­силь­но минус x=4 рав­но­силь­но x= минус 4.

-4

506263

При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.

Раз­ло­жим число 20 на сла­га­е­мые раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми: При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми 1−4, 7 и 8 суммы квад­ра­тов чисел не крат­ны трём. При раз­ло­же­нии пятым спо­со­бом сумма квад­ра­тов крат­на де­вя­ти. Раз­ло­же­ние ше­стым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи. Таким об­ра­зом, под­хо­дит любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8. На­при­мер, это число 578: сумма его цифр равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр равна 138, то есть де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Также по­дой­дут и дру­гие числа, на­при­мер: 587, 758, 785, 857 или 875

578|587|758|785|857|875

510015

Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 30, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: 30n плюс 1, 30n плюс 2, 30n плюс 3, 30n плюс 4. При Ни одно из чисел не боль­ше 400 n=1,2,..13. При : 421, 422, 423, 424. Пер­вая слева цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр n=14 При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи. n=15 Также под­хо­дят числа 573 и 693.

453|573|693

510210

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Про­из­ве­де­ние 24 дают сле­ду­ю­щие на­бо­ры из че­ты­рех цифр: 8, 3, 1, 1, или 6, 2, 2, 1, или 6, 4, 1, 1, или 4, 3, 2, 1, или 3, 2, 2, 2. Чтобы число де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Сле­до­ва­тель­но, это чет­ное число — оно за­кан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах, равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Для пер­во­го, вто­ро­го и пя­то­го на­бо­ров суммы цифр не­чет­ные, сле­до­ва­тель­но, суммы цифр, сто­я­щих на чет­ных и не­чет­ных ме­стах, не могут быть равны; они не могут также от­ли­чать­ся на 11 ни при какой пе­ре­ста­нов­ке цифр. Рас­смат­ри­вая тре­тий и чет­вер­тый на­бо­ры, на­хо­дим числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие всем усло­ви­ям: 4312, 3124, 2134, 1342.

2134|4312|1342|3124

510326

Най­ди­те трёхзнач­ное число, крат­ное 25, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Чтобы число де­ли­лось на 25, оно долж­но за­кан­чи­вать­ся на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 за­кан­чи­вать­ся не может, по­сколь­ку все его цифры долж­ны быть раз­лич­ны. Вы­пи­шем все трёхзнач­ные числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся на 25, 50 или 75, все цифры ко­то­рых раз­лич­ны, найдём сумму квад­ра­тов их цифр, про­ве­рим, де­лит­ся ли она на 3 и на 9. сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число. 125: 1 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=30, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 150: 1 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=26, сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число. 175: 1 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=75, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 250: 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=29, сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число. 275: 2 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=78, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 325: 3 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=38, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 350: 3 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=34, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 375: 3 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=83, сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3 и на 9. 425: 4 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=45, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 450: 4 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=41, сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3 и на 9. 475: 4 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=90, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 625: 6 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=65, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 650: 6 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=61, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 675: 6 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=110, сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число. 725: 7 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=78, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 750: 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=74, сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число. 825: 8 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=93, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 850: 8 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=89, сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число. 875: 8 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=138, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 925: 9 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=110, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 950: 9 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те=106, сумма квад­ра­тов цифр не де­лит­ся на 3. 975: 9 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те=155, Таким об­ра­зом, усло­вию удо­вле­тво­ря­ет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

125|175|275|725|825|875

507010

При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пусть наше число имеет вид Тогда имеем И так как число де­лит­ся на 4, де­лит­ся на 4. Можно за­ме­тить, что если среди цифр есть хотя бы три еди­ни­цы, то ра­вен­ство не­воз­мож­но, так как сумма будет боль­ше про­из­ве­де­ния. Если еди­ни­ца толь­ко одна, то про­из­ве­де­ние будет слиш­ком боль­шое. Таким об­ра­зом, среди цифр есть ровно две еди­ни­цы. Рас­смот­рим дву­знач­ные числа, ко­то­рые де­лят­ся на 4, две их по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 4. Нель­зя брать числа с нулём, так как в этом слу­чае про­из­ве­де­ние будет равно нулю. \overlineabcd. \overlinea плюс b плюс c плюс d=\overline a умно­жить на b умно­жить на c умно­жить на d. \overline10c плюс d 12: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая 4. 16: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а ни­ка­кая дру­гая не по­дойдёт. 24: зна­чит, остав­ши­е­ся цифры — еди­ни­цы. Осталь­ные числа будут да­вать слиш­ком боль­шое про­из­ве­де­ние или нечётную сумму. Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 1412, 4112, 1124.

1412|4112|1124

507054

Най­ди­те четырёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, крат­ное 19, сумма цифр ко­то­ро­го на 1 боль­ше их про­из­ве­де­ния.

Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзнач­ное число — 1000, но оно не крат­но 19. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да сле­ду­ет, что все цифры не мень­ше 1, и их сумма не мень­ше четырёх, а зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше трёх. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше трёх хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 1. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр. Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию. Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 со­от­вет­ствен­но, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию. Если сумма цифр равна 7, то про­из­ве­де­ние долж­но быть равно 6. Это вы­пол­не­но для чисел, за­пи­сы­ва­е­мых трой­кой, двой­кой и двумя еди­ни­ца­ми. По­сколь­ку число 3211 крат­но 19, оно и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

3211

507059

Най­ди­те наи­мень­шее пя­ти­знач­ное число, крат­ное 55, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 50, но мень­ше 75.

Если число де­лит­ся на 55, то оно де­лит­ся на 5 и на 11. Если число де­лит­ся на 5 то оно может окан­чи­вать­ся на 0 или на 5. Если в за­пи­си числа есть ноль, то про­из­ве­де­ние цифр числа равно нулю, сле­до­ва­тель­но, за­пись числа долж­на окан­чи­вать­ся на 5. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих в за­пи­си числа на нечётных ме­стах, от­ли­ча­ет­ся от суммы цифр, сто­я­щих на чет­ных ме­стах, на число, крат­ное 11: где \overlineabcde. левая круг­лая скоб­ка a плюс c плюс e пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка b плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка=11k, k при­над­ле­жит Z . Рас­смот­рим раз­лич­ные про­из­ве­де­ния abcde такие, что По­след­няя цифра числа равна пяти, сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ные зна­че­ния про­из­ве­де­ния 50, 55, 60, 65, 70. Раз­ло­жим каж­дое число на про­стые мно­жи­те­ли: 50 мень­ше abcde мень­ше 75. abcde: 55= 5 умно­жить на 11,60=2 умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на 5,65= 5 умно­жить на 13,70=2 умно­жить на 5 умно­жить на 7. По­пы­та­ем­ся удо­вле­тво­рить урав­не­нию Пе­ре­би­рая раз­лич­ные воз­мож­ные зна­че­ния, по­лу­чим, что воз­мож­ны три слу­чая: a плюс c плюс 5=b плюс d плюс 11k. — раз­ло­же­ние числа 70 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию abcde=1 умно­жить на 1 умно­жить на 2 умно­жить на 5 умно­жить на 7 1 плюс 2 плюс 5=1 плюс 7 плюс 0; — раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию: abcde=1 умно­жить на 1 умно­жить на 2 умно­жить на 5 умно­жить на 6 2 плюс 6 плюс 5=1 плюс 1 плюс 11; — раз­ло­же­ние числа 60 в виде удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию abcde=1 умно­жить на 1 умно­жить на 3 умно­жить на 4 умно­жить на 5 1 плюс 1 плюс 5=3 плюс 4 плюс 0. Таким об­ра­зом, под­хо­дят числа 11 275, 13 145, 13 541, 14 135, 14 531, 17 215, 21 175, 27 115, 21 615, 53 141, 54 131, 61 215. Наи­мень­шим из них яв­ля­ет­ся число 11 275.

11275

507052

Най­ди­те ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 0 и де­лит­ся на 24.

Чтобы число де­ли­лось на 24 оно долж­но де­лить­ся на 3 и на 8. Число де­лит­ся на 8, если три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8. Ис­ко­мое число за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко ну­ля­ми и еди­ни­ца­ми, зна­чит, оно за­кан­чи­ва­ет­ся на 000. Число де­лит­ся на 3, если его сумма цифр числа де­лит­ся на 3. По­сколь­ку три по­след­ние цифры числа нули, пер­вые три долж­ны быть еди­ни­ца­ми. Таким об­ра­зом, един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи, это число 111 000.

111000

507057

Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 11 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и у ко­то­ро­го сред­няя цифра яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух край­них цифр.

По мо­ду­лю 6 и 11 число имеет оди­на­ко­вые остат­ки, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 66, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше шести. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: \overline66n плюс 1,\overline66n плюс 2,\overline66n плюс 3,\overline66n плюс 4,\overline66n плюс 5. При по­лу­ча­ем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не яв­ля­ют­ся трёхзнач­ны­ми. n=1 При по­лу­ча­ем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи. n=2

135

507058

Сумма цифр трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа А де­лит­ся на 12. Сумма цифр числа ( А + 6) также де­лит­ся на 12. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число А .

Пусть число A имеет вид Если то сумма цифр в новом числе будет на 6 боль­ше, чем в ис­ход­ном. Пусть A де­лит­ся на 12, тогда то есть число не де­лит­ся на 12. Ана­ло­гич­но, если число де­лит­ся на 12, то число A не де­лит­ся на 12. Зна­чит, Рас­смот­рим три слу­чая: \overlineabc. c мень­ше или равно 3, дробь: чис­ли­тель: А плюс 6, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби=дробь: чис­ли­тель: А, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби А плюс 6 А плюс 6 c боль­ше или равно 4. 1) Число имеет вид: сумма цифр числа на 3 мень­ше суммы цифр числа \overlineabc, b мень­ше 9. A плюс 6 \overlinea левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , A плюс 6 A. 2) Число имеет вид: сумма цифр числа на 12 мень­ше суммы цифр числа \overlinea9c, a мень­ше 9. A плюс 6 \overline левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 0 левая круг­лая скоб­ка c минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , A плюс 6 A. 3) Число имеет вид: сумма цифр числа на 21 мень­ше суммы цифр числа \overline99c. A плюс 6 \overline100 левая круг­лая скоб­ка c минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , A плюс 6 A. Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2). Под­берём число A так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 12. Наи­мень­шее воз­мож­ное A , удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи, — 699. Дей­стви­тель­но, сумма его цифр 6+9+9=24 де­лит­ся на 12; число ( А+6) равно 699+6=705, его сумма цифр 7+5=12 также де­лит­ся на 12.

699

507055

Вы­черк­ни­те в числе 123456 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся трёхзнач­ное число де­ли­лось на 27. В от­ве­те ука­жи­те по­лу­чив­ше­е­ся число.

Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 9, тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 9. Сле­до­ва­тель­но, сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа долж­на де­лит­ся на 9 (но если число де­лит­ся на 9, то оно не­обя­за­тель­но де­лит­ся на 27, по­это­му по­тре­бу­ет­ся про­вер­ка). Сумма цифр числа 123456 равна Чтобы сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа была равна 9, вы­черк­нем цифры, да­ю­щие в сумме 12: 6, 5 и 1. По­лу­чим число 234, оно не де­лит­ся на 27. Тогда вы­черк­нем 2, 4 и 6, по­лу­чим 135 — де­лит­ся на 27.

135

508400

Най­ди­те трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 2, и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

При де­ле­нии на 4 число даёт в остат­ке 2, сле­до­ва­тель­но, оно чётное. По­сколь­ку число при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 2, то оно может окан­чи­вать­ся на 2 или на 7. Таким об­ра­зом, число обя­за­тель­но долж­но за­кан­чи­вать­ся циф­рой 2. Под­бо­ром на­хо­дим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 662 и 722.

662|722

508420

Най­ди­те трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 3, и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

При де­ле­нии на 4 число даёт в остат­ке 3, сле­до­ва­тель­но, оно нечётное. По­сколь­ку число при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 3, то оно может окан­чи­вать­ся на 3 или на 8. Таким об­ра­зом, число обя­за­тель­но долж­но за­кан­чи­вать­ся циф­рой 3. Под­бо­ром на­хо­дим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 963, 843.

843|963

509744

Най­ди­те трёхзнач­ное число A , об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми: · сумма цифр числа A де­лит­ся на 8; · сумма цифр числа A + 1 де­лит­ся на 8; · в числе A сумма край­них цифр крат­на сред­ней цифре. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Пусть число имеет вид если то сумма цифр в новом числе будет на 1 боль­ше, чем в ис­ход­ном, и обе они не могут де­лить­ся на 8. Зна­чит, Рас­смот­рим те­перь 3 слу­чая: \overlineabc, c мень­ше 9, c=9. 1) Число пе­рейдёт в сумма умень­шит­ся на 8. \overlineab9, b не равно 9. \overlinea левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 0, 2) Число пе­рейдёт в сумма умень­шит­ся на 17. \overlinea99, a не равно 9. \overline левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 00, 3) Число пе­рейдёт в сумма умень­шит­ся на 26. 999. 1000, Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида где крат­но и крат­но 8. Одним из таких чисел яв­ля­ет­ся 349. ab9, b не равно 9, a плюс 9 b a плюс b плюс 9

349|789|619|969|529

509764

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 88, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и чётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Число де­лит­ся на 88, если оно де­лит­ся на 8 и на 11. При­знак де­ли­мо­сти на 8: число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры — нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. При­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо раз­ность этих сумм де­лит­ся на 11. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 8, и учи­ты­вая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны и раз­лич­ны по­лу­ча­ем, что по­след­ни­ми циф­ра­ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 11 по­лу­чим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 6248, 8624, 2640.

2640|6248|8624

506834

Цифры четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 5, за­пи­са­ли в об­рат­ном по­ряд­ке и по­лу­чи­ли вто­рое четырёхзнач­ное число. Затем из пер­во­го числа вычли вто­рое и по­лу­чи­ли 1458. При­ве­ди­те ровно один при­мер та­ко­го числа.

Число де­лит­ся на 5, зна­чит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзнач­ное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид Тогда усло­вие можно за­пи­сать так: \overlineabc5. 1000a плюс 100b плюс 10c плюс 5 минус левая круг­лая скоб­ка 5000 плюс 100c плюс 10b плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка=1458 рав­но­силь­но 999 левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 90 левая круг­лая скоб­ка b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка=1458 1000a плюс 100b плюс 10c плюс 5 минус левая круг­лая скоб­ка 5000 плюс 100c плюс 10b плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка=1458 рав­но­силь­но рав­но­силь­но 999 левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 90 левая круг­лая скоб­ка b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка=1458 Вто­рое сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Зна­чит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое сла­га­е­мое. То есть От­ку­да Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние, по­лу­чим, что Пе­ре­брав все пары b и с, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого ра­вен­ства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся от­ве­том: 7065, 7175, 7285, 7395. 9 левая круг­лая скоб­ка a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка mod 10=8. a=7. 90 левая круг­лая скоб­ка b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка=минус 540 рав­но­силь­но b минус c=минус 6.

7065|7175|7285|7395

510715

Най­ди­те на­ту­раль­ное число, боль­шее 1340, но мень­шее 1640, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Пусть abcd - ис­ко­мое число ( a - число тысяч, b - число сотен, - число де­сят­ков, d - число еди­ниц) . По усло­вию Кроме того, Про­ана­ли­зи­ру­ем те­перь то, что ис­ко­мое число де­лит­ся на каж­дую свою цифру. с abcd мень­ше 1640. a не равно b не равно c не равно d не равно 0. Если ис­ко­мое число со­дер­жит цифру 5, то эта цифра долж­на сто­ять на 4-м месте. Это про­сто по­нять из того, что при­знак де­ли­мо­сти на 5 - это 0, или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет сто­ять где-ни­будь не на по­след­нем месте, то тогда, со­глас­но при­зна­ку де­ли­мо­сти 5, еще одна 5 будет сто­ять в конце числа, а это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи. Пер­вая цифра - еди­ни­ца. Это оче­вид­но из того, что ис­ко­мое число боль­ше 1340 и мень­ше 1640. На вто­ром месте могут сто­ять цифры 3,4,6. Если на вто­ром месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3. Сумма пер­вых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая де­лит­ся на 3, может быть мак­си­мум 21. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты: 4+x+y=21 (x=8, y=9: 1389 - не под­хо­дит, так как не де­лит­ся на 8, 1398 - не де­лит­ся на 9) 4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - - число де­лит­ся на 3, на 9 и на 5, x=6,y=8 - - число де­лит­ся на 3, на 6. на 8, x=7,y=7 - не под­хо­дит) 1395 1368 4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не под­хо­дит, x=3,y=8 - не под­хо­дит, x=4,y=7 - не под­хо­дит, x=5,y=6 - не под­хо­дит) 4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не под­хо­дит, x=2,y=6 - - число де­лит­ся на каж­дую из своих цифр, x=3,y=5 - не под­хо­дит, x=4,y=4 - не под­хо­дит) 1362 4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не под­хо­дит, x=3, y=2 - не под­хо­дит) 4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не под­хо­дит) 4+x+y=3 (x+y=1 - не воз­мож­но, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не рав­ня­ет­ся. Если на вто­ром месте цифра 4, то по­след­ние две цифры долж­ны де­лить­ся на 4. Среди таких чисел (без по­вто­ря­ю­щих­ся цифр): 28 (не под­хо­дит), 32 (не под­хо­дит), 36 (не под­хо­дит), 68 (не под­хо­дит), 72 (не под­хо­дит), 76 (не под­хо­дит), 92 (не под­хо­дит), 96 (не под­хо­дит). Если на вто­ром месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3 и, кроме того, число долж­но окан­чи­вать­ся на чет­ную цифру. Сумма пер­вых двух цифр 1+6=7. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая де­лит­ся на 3, может быть мак­си­мум 24. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты: 7+x+y=24 (x+y=17, x=8, y=9 не под­хо­дят, так как число долж­но быть мень­ше 1640) 7+x+y=21 (x+y=14: x=5,y=9 - не под­хо­дит, x=6,y=8 - не под­хо­дит, x=7,y=7 - не под­хо­дит) 7+x+y=18 (x+y=11: x=2,y=9 - не под­хо­дит, x=3,y=8 - не под­хо­дит, x=4,y=7 - не под­хо­дит, x=5,y=6 - не под­хо­дит) 7+x+y=15 (x+y=8: x=7,y=1 - не под­хо­дит, x=2,y=6 - не под­хо­дит, x=3,y=5 - не под­хо­дит, x=4,y=4 - не под­хо­дит) 7+x+y=12 (x+y=5: x=4,y=1 - не под­хо­дит, x=3, y=2 - число де­лит­ся на каж­дую из своих цифр) 1632

1362|1395|1368|1632

510925

Найти че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 44, любые две со­сед­ние цифры ко­то­ро­го от­ли­ча­ют­ся на 1. В от­ве­те ука­жи­те любое такое число.

Если число де­лит­ся на 44, то оно де­лит­ся на 4 и на 11. Так как число де­лит­ся на 4 и две по­след­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 1, число долж­но за­кан­чи­вать­ся на 12, 32, 56, 76. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если мо­дуль раз­но­сти сумм цифр, сто­я­щих на чётных и нечётных ме­стах, де­лит­ся на 11. В нашем слу­чае, если де­лит­ся 11. \overlineabcd. | левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка b плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка | Но мо­дуль равен 1, мо­дуль равен 1, а зна­чит при­ни­ма­ет зна­че­ния Из них де­лит­ся на 11 толь­ко число 0. Зна­чит, Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции цифр, чтобы сумма цифр чётных раз­ря­дов была равна сумме цифр нечётных раз­ря­дов, и при этом эти цифры не долж­ны от­ли­чать­ся друг от друга более, чем на 1. |a минус b| |c минус d| | левая круг­лая скоб­ка a плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка b плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка | 0,1,2. a плюс c=b плюс d. Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

1012|3432|5456|3212|1232|5676|7876|7656

512427

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, боль­шее 1500, но мень­шее 2000, ко­то­рое де­лит­ся на 24 и сумма цифр ко­то­ро­го равна 21. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd . Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8. Так как сумма цифр ис­ко­мо­го числа равна 21, то оно ав­то­ма­ти­че­ски будет де­лить­ся на 3. Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. Так как число abcd < 2000, то a=1, а сумма b+c+d=20, и d долж­но быть обя­за­тель­но чет­ным. Рас­смот­рим все слу­чаи. До­пу­стим, что d=0, тогда b+с=20, что не­воз­мож­но в силу 0 мень­ше или равно a,b,c,d\leqslant9. До­пу­стим, что d=2, тогда b+с=18, от­ку­да сле­ду­ет, что b=c=9. Число 992 де­лит­ся на 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd — 1992. До­пу­стим, что d=4, тогда b+с=16, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c : 7 и 9, 8 и 8. Среди чисел 794, 974, 884 ни одно не крат­но 8, по­это­му d не равно 4. До­пу­стим, что d=6, тогда b+с=14, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c : 5 и 9, 6 и 8, 7 и 7. Среди чисел 596, 956, 686, 868, 776 толь­ко число 776 крат­но 8, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd — 1776. До­пу­стим, что d=8, тогда b+с=12, от­ку­да сле­ду­ет, что воз­мож­ны сле­ду­ю­щие ком­би­на­ции b и c : 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7, 6 и 6. Среди чисел 398, 938, 488, 848, 578, 758, 668 толь­ко числа 488, 848 крат­ны 8, од­на­ко, по­лу­чен­ное число 1488 не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию abcd > 1500, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое число abcd — 1848.

1776|1848|1992

512681

На шести кар­точ­ках на­пи­са­ны цифры 1; 2; 3; 3; 4; 7 (по одной цифре на каж­дой кар­точ­ке). В вы­ра­же­нии <img_0> вме­сто каж­до­го квад­ра­ти­ка по­ло­жи­ли кар­точ­ку из дан­но­го на­бо­ра. Ока­за­лось, что по­лу­чен­ная сумма де­лит­ся на 20. В от­ве­те ука­жи­те какую-ни­будь одну такую сумму.

Чтобы сумма де­ли­лась на 20 она долж­на за­кан­чи­вать­ся на 0, и вто­рая цифра с конца долж­на быть чет­ной (де­лить­ся на 2). Чтобы в конце суммы по­лу­чить 0, можно вы­брать сле­ду­ю­щие цифры: 3, 3, 4 и 1, 2, 7. Рас­смот­рим каж­дую из двух ком­би­на­ций. Слу­чай 1: ком­би­на­ция 3, 3, 4. <img_1> Среди остав­ших­ся цифр 1, 2, 7 — две не­чет­ные и одна чет­ная. Чтобы по­лу­чить вто­рую цифру чет­ную, нужно взять одну чет­ную (2) и одну не­чет­ную цифры (1 или 7) во вто­ром раз­ря­де (к не­чет­ной сумме будет до­бав­лять­ся 1 от суммы цифр в 1 раз­ря­де). Тогда по­лу­ча­ем: 3+23+174=200 и 3+13+724=740. За­ме­тим, что по­сле­до­ва­тель­ность по­след­них цифр в чис­лах никак не вли­я­ет на ре­зуль­тат. Слу­чай 2: ком­би­на­ция 1, 2, 7. <img_2> Среди остав­ших­ся цифр 3, 3, 4 — две не­чет­ные и одна чет­ная. Чтобы по­лу­чить вто­рую цифру чет­ную, нужно взять одну чет­ную (4) и одну не­чет­ную цифры (3) во вто­ром раз­ря­де (к не­чет­ной сумме будет до­бав­лять­ся 1 от суммы цифр в 1 раз­ря­де). Тогда по­лу­ча­ем: 1+32+347=380.

200|380|740

512727

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, боль­шее 2000, но мень­шее 4000, ко­то­рое де­лит­ся на 18 и каж­дая сле­ду­ю­щая цифра ко­то­ро­го боль­ше преды­ду­щей. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9. Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd . Рас­смот­рим слу­чаи, когда a=2 и a=3. Пусть a=2. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 6, либо 8 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра боль­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 6, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 3, 4 или 5. Если по­след­няя цифра 8, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 8, что воз­мож­но — число 2358. Пусть a=3 и тогда един­ствен­ным под­хо­дя­щим чис­лом может быть 3456, и оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям. d=6, Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 9, сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 18, 27 и т. д. Чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих всем усло­ви­ям в дан­ном диа­па­зо­не нет. d=8,

3456|2358

514042

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 125, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и нечётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Если число де­лит­ся на 125, то оно долж­но де­лить­ся и на 25, а зна­чит, окан­чи­вать­ся на 25, 50, 75 и 00. Толь­ко 75 со­сто­ит из раз­лич­ных нечётных цифр. Сле­до­ва­тель­но, нужно по­до­брать такое четырёхзнач­ное число, ко­то­рое будет окан­чи­вать­ся на 75 и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и нечётны. Среди чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих этим усло­ви­ям, на 125 де­лят­ся числа 1375 и 9375.

1375|9375

514131

Четырёхзнач­ное число A со­сто­ит из цифр 0, 1, 5, 6, а четырёхзнач­ное число B — из цифр 0, 1, 2, 3. Из­вест­но, что B = 2A. Най­ди­те число A . В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Наи­боль­шая воз­мож­ная пер­вая цифра B — 3, по­это­му пер­вой циф­рой А может быть толь­ко 1. По­сколь­ку и число A со­сто­ит из цифр 0, 1, 5, 6, число B яв­ля­ет­ся чётным чис­лом и за­кан­чи­ва­ет­ся на 0 или 2. B=2A Если число B за­кан­чи­ва­ет­ся на 0, то число A может за­кан­чи­вать­ся на 0 или 5, то есть имеет вид 1××0 или 1××5. Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что числа 1560, 1065 и 1605 под­хо­дят, а число 1650 — нет. Если число B за­кан­чи­ва­ет­ся циф­рой 2, то число A может за­кан­чи­вать­ся на 1 или 6. Но 1 стоит на пер­вом месте, по­это­му в этом слу­чае число А имеет вид 1××6. Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что число 1056 не под­хо­дит, а число 1506 под­хо­дит. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мы­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 1065, 1506, 1560 и 1605 и толь­ко они.

1065|1506|1560|1605

518437

Най­ди­те четырёхзнач­ное число, ко­то­рое в 3 раза мень­ше куба не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Пусть y — некое четырёхзнач­ное число такое, что Под­бе­рем на­ту­раль­ное x такое, чтобы по­лу­ча­лось че­ты­рех­знач­ное y . Для этого ис­поль­зу­ем мно­жи­тель 3 для де­ли­мо­сти ре­зуль­та­та на 3, на­при­мер, такое x=3·5=15, тогда y= дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . y= дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе умно­жить на 5 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =1125. Воз­мож­ны также от­ве­ты или или или или y= дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе умно­жить на 6 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =1944 y= дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе умно­жить на 7 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =3087 y= дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе умно­жить на 8 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =4608 y= дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе умно­жить на 9 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =6561 y= дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе умно­жить на 10 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =9000.

1125|1944|3087|4608|6561|9000

520732

На шести кар­точ­ках на­пи­са­ны цифры 2, 3, 5, 6, 7, 7 (по одной цифре на каж­дой кар­точ­ке). В вы­ра­же­нии <img_0> вме­сто каж­до­го квад­ра­ти­ка по­ло­жи­ли кар­точ­ку из дан­но­го на­бо­ра. Ока­за­лось, что по­лу­чен­ная сумма де­лит­ся на 10, но не де­лит­ся на 20. В от­ве­те ука­жи­те какую-ни­будь одну такую сумму.

Чтобы сумма де­ли­лась на 10 она долж­на за­кан­чи­вать­ся на 0. Чтобы сумма не де­ли­лась на 20, вто­рая цифра с конца не долж­на быть чет­ной. Чтобы в конце суммы по­лу­чить 0, можно вы­брать сле­ду­ю­щие цифры: 2, 3, 5 и 6, 7, 7. Рас­смот­рим каж­дую из двух ком­би­на­ций. Слу­чай 1: ком­би­на­ция 2, 3, 5. <img_1> Среди остав­ших­ся цифр 6, 7, 7 — две не­чет­ные и одна чет­ная. Чтобы по­лу­чить вто­рую цифру не­чет­ную, нужно взять две чётных цифры или две нечётных цифры (к чет­ной сумме будет до­бав­лять­ся 1 от суммы цифр в 1 раз­ря­де). Тогда по­лу­ча­ем: 2+73+675=750. За­ме­тим, что по­сле­до­ва­тель­ность по­след­них цифр в чис­лах никак не вли­я­ет на ре­зуль­тат. Слу­чай 2: ком­би­на­ция 6, 7, 7. <img_2> Среди остав­ших­ся цифр 2, 3, 5 — две не­чет­ные и одна чет­ная. Чтобы по­лу­чить вто­рую цифру не­чет­ную, нужно взять одну чет­ную (2) и одну не­чет­ную цифры (3 или 5) во вто­ром раз­ря­де (к не­чет­ной сумме будет до­бав­лять­ся 2 от суммы цифр в 1 раз­ря­де). Тогда по­лу­ча­ем: 6+27+537=570 и 6+27+357=390.

390|570|750