PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/2qaKB7theEQ.srt

1
00:00:19,940 --> 00:00:25,840
السلام عليكم هنكمل

2
00:00:25,840 --> 00:00:33,420
اليوم section أربعة اثنين في ال section هذا كان

3
00:00:33,420 --> 00:00:38,780
اتبقى بس إن أحنا نثبت النظرية اللي كتبتها على

4
00:00:38,780 --> 00:00:44,700
اللوح النظرية هذه بتنص على إن لو كان في هندية

5
00:00:44,700 --> 00:00:53,020
function من A إلى R و c cluster point للset A وإذا كان

6
00:00:53,020 --> 00:00:59,120
limit ال function عن c exist وموجبة أو 

7
00:00:59,120 --> 00:01:04,880
على التوالي إذا كانت limit f of x عن c موجودة

8
00:01:04,880 --> 00:01:09,080
وسالبة يوجد

9
00:01:09,080 --> 00:01:14,990
نقدر نلاقي delta neighborhood دي delta لل c بحيث إن

10
00:01:14,990 --> 00:01:19,510
الدالة هتكون إذا كانت ال limit موجبة فالدالة هتكون

11
00:01:19,510 --> 00:01:26,670
موجبة على ال delta neighborhood ل C وإذا 

12
00:01:26,670 --> 00:01:31,950
كانت ال limit سالبة فالدالة هتكون سالبة على جوار

13
00:01:31,950 --> 00:01:38,890
delta ل C هذه

14
00:01:38,890 --> 00:01:43,210
نظرية تشبه نظرية سابقة بخصوص limits of sequences

15
00:01:44,920 --> 00:01:48,400
النظرية اللي فاتت بتاعة ال sequences المشابهة 

16
00:01:48,400 --> 00:01:52,640
بتقول لو كانت ال sequence النهاية بتاعتها limit x

17
00:01:52,640 --> 00:01:58,200
exist وموجبة فلازم ال sequence تكون حدودها من

18
00:01:58,200 --> 00:02:02,420
capital N وأنت طالع كلها موجبة ولو كانت ال limit

19
00:02:02,420 --> 00:02:06,640
لل sequence exist وسالبة فلازم حدود ال sequence

20
00:02:06,640 --> 00:02:10,900
من capital N وأنت طالع كلها تكون سالبة فهذه شبيهة

21
00:02:10,900 --> 00:02:18,100
فيها والبرهان سهل وشبيه بالبرهان تبع النظرية

22
00:02:18,100 --> 00:02:24,320
المشابهة في حالة ال sequences فناخد الحالة assume

23
00:02:24,320 --> 00:02:27,360
ناخد 

24
00:02:27,360 --> 00:02:32,400
الحالة اللي فيها ال limit ل

25
00:02:32,400 --> 00:02:40,060
f of x at c exists and equals عدد l موجب

26
00:02:53,880 --> 00:03:00,200
فإذا كانت ال limit موجبة بنا أثبت إن يوجد delta

27
00:03:00,200 --> 00:03:07,240
neighborhood إلى آخر A فخلّينا

28
00:03:07,240 --> 00:03:17,740
ناخد let epsilon في الحالة دي let epsilon بيساوي

29
00:03:17,740 --> 00:03:26,600
L على 2 فهذا عدد موجب الآن by definition of limit

30
00:03:26,600 --> 00:03:32,640
of function by epsilon delta definition لأي

31
00:03:32,640 --> 00:03:38,140
epsilon موجبة زي هذه يوجد delta تعتمد على L على 2

32
00:03:38,140 --> 00:03:43,280
اللي هي ال epsilon عدد موجب بحيث إنه لو كان X

33
00:03:45,890 --> 00:03:51,090
ينتمي إلى A و absolute x minus c أصغر من delta

34
00:03:51,090 --> 00:03:59,790
أكبر من 0 فهذا بتضمن إن absolute f of x minus L

35
00:03:59,790 --> 00:04:04,510
أصغر من epsilon اللي هي عبارة عن L ع 2

36
00:04:08,170 --> 00:04:15,990
فحل المتباينة هذه في f of x فتصير f of x minus L

37
00:04:15,990 --> 00:04:24,930
أصغر من L على 2 أكبر من سالب L على 2 وهذا

38
00:04:24,930 --> 00:04:29,210
بيؤدي إلى إن

39
00:04:29,210 --> 00:04:30,350
f of x

40
00:04:34,740 --> 00:04:45,980
من هنا F of X تطلع أكبر من L على 2 لأنه لما أخد

41
00:04:45,980 --> 00:04:50,240
سالب L أنقلها عن ناحية التانية فتصير F of X أكبر

42
00:04:50,240 --> 00:04:55,700
من L سالب L على 2 تطلع L على 2 وال L موجبة إذا L

43
00:04:55,700 --> 00:05:06,860
على 2 موجبة إذا هيك بنكون أثبتنا إن ال F of X طلعت

44
00:05:06,860 --> 00:05:18,580
أكبر من صفر لمين لكل X تنتمي إلى A ومن 

45
00:05:18,580 --> 00:05:28,080
المتباينة هذه هذا معناه X لا تساوي C إن ال X ينتمي

46
00:05:28,080 --> 00:05:34,480
إلى A ولا تساوي C يعني موجودة في A ومش موجودة في

47
00:05:34,480 --> 00:05:44,280
singleton set C والمتباينة هذه هذه معناها إن X

48
00:05:44,280 --> 00:05:46,460
ينتمي إلى V Delta

49
00:05:56,010 --> 00:06:00,790
x-c أصغر من دلتا بكافئ

50
00:06:10,030 --> 00:06:17,770
إن X أصغر من C زائد Delta أكبر من C سالب Delta

51
00:06:17,770 --> 00:06:21,550
فهذا

52
00:06:21,550 --> 00:06:27,890
معناه X تنتمي لفترة مفتوحة Delta-neighborhood ل-C

53
00:06:29,570 --> 00:06:34,830
Okay تمام إذا f of x اللي أعطاها موجبة لكل x في a

54
00:06:34,830 --> 00:06:43,250
ومختلفة عن c وأيضا من هنا ال x أيضا تنتمي ل delta

55
00:06:43,250 --> 00:06:48,850
neighborhood ل c وبالتالي تنتمي لتقاطع المجموعتين

56
00:06:48,850 --> 00:06:55,270
إذا هذا بيثبت النظرية في حالة لما يكون ال limit

57
00:06:55,270 --> 00:06:56,490
تبعتها موجبة

58
00:07:00,240 --> 00:07:08,880
لو كانت ال limit سالبة فالبرهان مشابه لأن ال

59
00:07:08,880 --> 00:07:18,680
proof of the case لما تكون ال limit ل f of x لما x

60
00:07:18,680 --> 00:07:30,600
تؤول ل c بيساوي العدد سالب l is similar to

61
00:07:30,600 --> 00:07:38,200
above case مشابه

62
00:07:38,200 --> 00:07:50,120
للبرهان السابق  في الحالة هذه take start with

63
00:07:50,120 --> 00:07:55,920
epsilon بيساوي سالب ال ع اتنين وهذا بيطلع عدد موجب

64
00:07:55,920 --> 00:08:01,060
يعني ابدأوا البرهان بدل ما نبدأ ب epsilon بيساوي ال ع

65
00:08:01,060 --> 00:08:04,340
اتنين ابدأوا epsilon ... epsilon بيساوي

66
00:08:14,820 --> 00:08:20,320
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 

67
00:08:20,320 --> 00:08:20,800
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 

68
00:08:20,800 --> 00:08:20,860
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 

69
00:08:20,860 --> 00:08:24,600
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 

70
00:08:24,600 --> 00:08:24,640
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان

71
00:08:24,640 --> 00:08:25,080
البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 

72
00:08:25,080 --> 00:08:33,380
البرهان البرهان

73
00:08:34,550 --> 00:08:40,910
لأن ال L سالبة وهذا صحيح لكل X في جوار Delta ل C

74
00:08:40,910 --> 00:08:46,530
وفي A minus single to C okay؟ لأن حاسبكم أنتم 

75
00:08:46,530 --> 00:08:50,990
تكتبوا البرهان تبع الحالة التانية تمام؟ واضح؟ في

76
00:08:50,990 --> 00:08:54,850
أي سؤال أو سفسار؟ تمام؟ 

77
00:09:00,180 --> 00:09:08,120
Okay إذا نبدأ section جديد

78
00:09:08,120 --> 00:09:26,200
section

79
00:09:26,200 --> 00:09:29,460
أربعة ثلاثة

80
00:09:33,950 --> 00:09:47,190
بعض التطبيقات .. بعض التطبيقات ل

81
00:09:47,190 --> 00:09:53,590
limit concept

82
00:10:04,410 --> 00:10:12,090
بعض التعاملات أو توصية بعض مفاهيم النهايات احنا

83
00:10:12,090 --> 00:10:16,470
قبل هيك درسنا في section 4.1 و 4.2 ال limit of

84
00:10:16,470 --> 00:10:20,450
function أو ال two sided limit لل function عن نقطة

85
00:10:20,450 --> 00:10:24,810
معينة اليوم هندرس ال one sided limit ل function عن

86
00:10:24,810 --> 00:10:30,960
نقطة and cluster point للمجال تبعها مقصود بال one

87
00:10:30,960 --> 00:10:34,040
sided limit اللي هو limit من اليمين أو limit من

88
00:10:34,040 --> 00:10:38,740
اليسار ونشوف ما هي علاقة ال one sided limit بال

89
00:10:38,740 --> 00:10:43,320
two sided limit فنعرف 

90
00:10:43,320 --> 00:10:47,880
الأول definition نعرف ال one sided limit

91
00:10:47,880 --> 00:10:53,000
definition let

92
00:10:55,520 --> 00:11:03,780
f be a function from a to r and c be a cluster point

93
00:11:03,780 --> 00:11:06,840
cluster

94
00:11:06,840 --> 00:11:22,340
point of a واحد أو

95
00:11:22,340 --> 00:11:34,220
خلّيالـ cluster point of المجموعة A

96
00:11:34,220 --> 00:11:40,880
تقاطع الفترة المفتوحة من C إلى infinity اللي هي كل

97
00:11:40,880 --> 00:11:47,240
ال X مجموعة كل العناصر X تنتمي إلى A حيث X أكبر من

98
00:11:47,240 --> 00:11:53,520
C نقول

99
00:11:57,140 --> 00:12:03,280
إن العدد l ينتمي إلى R is

100
00:12:03,280 --> 00:12:14,600
a right .. is a right hand limit .. right hand

101
00:12:14,600 --> 00:12:29,490
limit of the function F at ..x بيساوي c if الشرط 

102
00:12:29,490 --> 00:12:35,570
التالي بيتحقق لكل

103
00:12:35,570 --> 00:12:40,630
epsilon given

104
00:12:40,630 --> 00:12:43,970
epsilon

105
00:12:43,970 --> 00:12:51,040
أكبر من الصفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجبة 

106
00:12:51,040 --> 00:13:01,180
بحيث إنه لو كان x ينتمي ل a و x minus c أكبر من

107
00:13:01,180 --> 00:13:07,760
صفر أصغر من delta فهذا بتضمن إن absolute f of x

108
00:13:07,760 --> 00:13:13,540
minus l أصغر من epsilon in

109
00:13:13,540 --> 00:13:17,720
this case in

110
00:13:17,720 --> 00:13:28,480
this case we write نكتب إن ال limit لل function f

111
00:13:28,480 --> 00:13:37,920
عندما x تؤول إلى c من اليمين بيساوي العدد l .. 

112
00:13:37,920 --> 00:13:44,920
تمام؟ لأن هذا تعريف ال limit from the right أو ال

113
00:13:44,920 --> 00:13:49,460
right hand limit لل function f عند النقطة c

114
00:14:05,180 --> 00:14:13,440
إذا أنا عندي هذه خط الأعداد وهي النقطة C وأنا عندي

115
00:14:13,440 --> 00:14:21,900
ال C هي cluster point ل

116
00:14:21,900 --> 00:14:26,180
A .. لكل ال X موجود في A وأكبر من C

117
00:14:32,710 --> 00:14:37,650
فبنقول إن ال limit عند x بيساوي c أو ال function 

118
00:14:37,650 --> 00:14:42,150
في إلها right-hand limit وال right-hand limit هي

119
00:14:42,150 --> 00:14:48,410
العدد L إذا كان لأي epsilon أكبر من الصفر بتقدر

120
00:14:48,410 --> 00:14:53,390
نلاقي delta عدد موجبة بيعتمد على epsilon بحيث لكل x

121
00:14:53,390 --> 00:15:01,510
في المجموعة A إذا كانت ال X هذه على يمين ال C

122
00:15:05,140 --> 00:15:12,460
والمسافة بينها وبين ال C أصغر من Delta فبتطلع

123
00:15:12,460 --> 00:15:19,860
المسافة بين F و X L أصغر من Y بالمثل

124
00:15:19,860 --> 00:15:24,100
ممكن نعرف ال limit from the right يعني أنا بدي

125
00:15:24,100 --> 00:15:27,800
أعرف ال limit from the right أو ال right hand

126
00:15:27,800 --> 00:15:34,750
limit هي نفس let f be a function from A to R و C

127
00:15:34,750 --> 00:15:41,010
cluster point للمجموعة A تقاطع الفترة المفتوحة من

128
00:15:41,010 --> 00:15:50,850
سالب مالانهاية إلى C اللي هي كل ال X في A حيث X

129
00:15:50,850 --> 00:15:58,490
هتكون أصغر من مرة هذه أصغر من C فنقول إن ال real

130
00:15:58,490 --> 00:16:06,070
number L هو بدل right hand limit هيكون left hand

131
00:16:06,070 --> 00:16:10,550
limit of f at c if given epsilon there exists

132
00:16:10,550 --> 00:16:15,310
delta depends on epsilon بحيث إنه لكل x ينتمي إلى

133
00:16:15,310 --> 00:16:21,900
A لكل X تنتمي إلى A وال X طبعا موجودة في الفترة هذه

134
00:16:21,900 --> 00:16:28,600
يعني ال X المرة هذه على يسار المرة هذه ال X هتكون

135
00:16:31,420 --> 00:16:35,260
موجودة في A وفي الفترة المفتوحة من سالب مالانهاية

136
00:16:35,260 --> 00:16:44,720
إلى C يعني ال X هتكون على يسار ال C وبالتالي هنا 

137
00:16:44,720 --> 00:16:51,240
ال C minus المسافة بين X و C absolute X minus C

138
00:16:51,240 --> 00:16:57,640
هتطلع بيساوي C minus X فلو كانت المسافة هذه أصغر من 

139
00:16:57,640 --> 00:16:59,660
Delta وطبعا أكبر من صفر

140
00:17:09,550 --> 00:17:18,370
هذا الشرط سيصبح c-x أصغر من دلتا أكبر من صفر فهذا

141
00:17:18,370 --> 00:17:22,910
لازم يضمن أن absolute of f of x minus l أصغر من

142
00:17:22,910 --> 00:17:29,610
إبسيلون في الحالة هذه بيقول إن ال limit لf of x لما

143
00:17:29,610 --> 00:17:31,850
x تقول لc من اليسار

144
00:17:34,230 --> 00:17:39,550
بس n بساوي l okay إنّها تعريف ال left hand limit

145
00:17:39,550 --> 00:17:44,890
أو ال limit from the left okay تعديل

146
00:17:44,890 --> 00:17:50,770
بسيط بس طيب

147
00:17:50,770 --> 00:17:58,170
ال limits هذه هنشوف يعني بعد شوية إنّ ال one sided

148
00:17:58,170 --> 00:18:03,210
limits ده functional نقطة ممكن يعني التنتين يكونوا

149
00:18:03,210 --> 00:18:09,750
موجودين عند النقطة و ليهم نفس القيمة أو ممكن

150
00:18:09,750 --> 00:18:15,430
التنتين يكونوا موجودين عند نقطة لكن قيمهم مختلفة

151
00:18:15,430 --> 00:18:20,270
زي ال Signum function عند الصفر شوفنا إنّ ال limit

152
00:18:20,270 --> 00:18:23,350
تبعتها من اليمين واحد و ال limit تبعتها من اليسار

153
00:18:23,350 --> 00:18:27,850
سالب واحد إذا ممكن ال two sided limits يكونوا

154
00:18:27,850 --> 00:18:33,630
موجودات لكن they are different مختلفات، ممكن برضه

155
00:18:33,630 --> 00:18:37,790
one sided limit تكون موجودة and the other may not

156
00:18:37,790 --> 00:18:42,090
exist، ممكن ما تكونش موجودة من أساسه

157
00:18:44,810 --> 00:18:54,930
ممكن ال one sided limits ولا واحدة فيهم تكون

158
00:18:54,930 --> 00:19:03,250
موجودة فكل الحالات هذه هنشوفها في أمثلة لاحقة لكن

159
00:19:03,250 --> 00:19:08,030
الأول خلّينا نبرهن النظرية التالية

160
00:19:13,670 --> 00:19:18,750
طبعا هنا بنحب ال ...

161
00:19:18,750 --> 00:19:24,870
النوّه إنّ كل نظريات اللي أثبتناها في section 4.1

162
00:19:24,870 --> 00:19:31,790
أو 4.2 بخصوص ال two sided limit هتكون صحيحة بخصوص

163
00:19:31,790 --> 00:19:38,030
ال right limit و كذلك صحيحة بخصوص ال left hand

164
00:19:38,030 --> 00:19:38,430
limit

165
00:19:41,100 --> 00:19:46,240
فعلى سبيل المثال وليس الحصر إحنا أخدنا sequential

166
00:19:46,240 --> 00:19:51,240
criterion sequential criterion for two sided limit

167
00:19:51,240 --> 00:19:56,580
الآن هنكتب برضه sequential criterion for right

168
00:19:56,580 --> 00:20:09,420
limit sequential criterion for right 

169
00:20:09,420 --> 00:20:10,100
hand

170
00:20:25,970 --> 00:20:35,670
limits let f from a to r be a function and c be a

171
00:20:35,670 --> 00:20:37,330
cluster

172
00:20:39,230 --> 00:20:47,910
point of A then the following statements are

173
00:20:47,910 --> 00:20:54,190
equivalent العبارات التالية متكافئة واحد ال limit

174
00:20:54,190 --> 00:21:01,810
ل F of X as X tends to C from the right exists

175
00:21:01,810 --> 00:21:06,030
و بساوي عدد L اتنين

176
00:21:13,830 --> 00:21:20,370
for every sequence

177
00:21:20,370 --> 00:21:36,530
x n contained in a تقاطع c إلى infinity such that

178
00:21:38,210 --> 00:21:47,290
limit x n as n tends to infinity بيساوي c we have

179
00:21:47,290 --> 00:21:51,090
limit

180
00:21:51,090 --> 00:21:59,170
لل image of the sequence x n بيساوي العدد L

181
00:22:10,340 --> 00:22:17,060
البرهان شبيه بالبرهان الخاص بالـ two-sided limit

182
00:22:17,060 --> 00:22:24,100
فمثلا لو بدنا نبرهن proof لو بدنا نبرهن العبارة

183
00:22:24,100 --> 00:22:30,720
الأولى بتأدي للتانية فبنقول assume .. نبدأ ب

184
00:22:30,720 --> 00:22:38,240
assume إنّ ال limit ال right limitالـ F عند الـ C

185
00:22:38,240 --> 00:22:44,240
exists بساوي L و بدنا

186
00:22:44,240 --> 00:22:48,680
نثبت إنّ الـ two بيطلع العبارة اتنين بتطلع صحيحة

187
00:22:48,680 --> 00:22:55,400
لبرهان العبارة to prove two

188
00:22:55,400 --> 00:22:56,260
holds

189
00:22:59,500 --> 00:23:08,320
لتبدأ لت xn contained in a تقاطع c إلى infinity

190
00:23:08,320 --> 00:23:12,360
ب sequence

191
00:23:12,360 --> 00:23:19,040
such that ال limit تبعتها as n tends to infinity

192
00:23:19,040 --> 00:23:24,440
بيساوى c إذا أنا باخد sequence في المجموعة a

193
00:23:24,440 --> 00:23:30,410
و حدودها كلها أكبر من c و بفرض إنّ ال limit لل

194
00:23:30,410 --> 00:23:38,870
sequence بيساوي العدد c نحتاج إنّنا نظهر عشان

195
00:23:38,870 --> 00:23:46,250
نثبت اتنين باقي نثبت إنّ ال limit نحتاج إنّنا نظهر إنّ

196
00:23:46,250 --> 00:23:53,530
ال limit لل image of the sequence xn as n tends to

197
00:23:53,530 --> 00:24:01,630
infinity بساوي L هيك بنكون أثبتنا إنّ العبارة 2

198
00:24:01,630 --> 00:24:10,150
صحيحة، مصبوط، صح؟ طيب لبرهان ذلك to

199
00:24:10,150 --> 00:24:11,130
see this

200
00:24:16,090 --> 00:24:19,390
نبدأ نثبت إنّ ال limit لل sequence هذه بساوي عدد L

201
00:24:19,390 --> 00:24:23,890
فبستخدم تعريف epsilon capital N لل limit فلازم

202
00:24:23,890 --> 00:24:31,510
نبدأ with epsilon أكبر من الصفر ب given طيب مش

203
00:24:31,510 --> 00:24:41,970
إحنا فرضنا Since الـ right limit ل F and C موجود أو

204
00:24:41,970 --> 00:24:46,770
بيساوي L من تعريف ال right limit there exists

205
00:24:46,770 --> 00:24:52,230
delta depends on epsilon positive number بحيث إنّه

206
00:24:52,230 --> 00:25:02,200
لو كانت ال X تنتمي إلى A و X minus C أكبر من 0 أصغر

207
00:25:02,200 --> 00:25:09,760
من دلتا هذا معناه بيؤدي إنّ absolute f of x minus

208
00:25:09,760 --> 00:25:22,600
L أصغر من إبسيليون نسمي ال implication هذي star now

209
00:25:22,600 --> 00:25:30,880
for the above الدلتا أكبر من الصفر لدلتا هذه

210
00:25:30,880 --> 00:25:34,720
العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا

211
00:25:34,720 --> 00:25:36,800
هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة

212
00:25:36,800 --> 00:25:38,440
لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد

213
00:25:38,440 --> 00:25:41,400
الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه

214
00:25:41,400 --> 00:25:41,660
العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا

215
00:25:41,660 --> 00:25:42,040
هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة

216
00:25:42,040 --> 00:25:43,160
لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد

217
00:25:43,160 --> 00:25:51,140
الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه

218
00:25:51,140 --> 00:25:57,180
العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا

219
00:25:57,830 --> 00:26:05,110
natural number عدد طبيعي بحيث إنّه لو كان ال N أكبر

220
00:26:05,110 --> 00:26:12,510
من أو يساوي capital N فهذا بيضمن إنّ absolute xn

221
00:26:12,510 --> 00:26:20,090
minus c أصغر من delta نسمي ال implication هذه

222
00:26:20,090 --> 00:26:21,050
double star

223
00:26:30,480 --> 00:26:44,680
hence و بالتالي star and double star imply بيؤدّيان

224
00:26:44,680 --> 00:26:51,860
إلى ما يلي إنّه لو كانت ال N أكبر من أو يساوي

225
00:26:51,860 --> 00:26:56,360
capital N فمن

226
00:26:56,360 --> 00:26:57,380
double star

227
00:26:59,860 --> 00:27:04,940
لو كانت n أكبر من أو يساوي capital N فمن double

228
00:27:04,940 --> 00:27:21,340
star بيطلع absolute xn minus c أصغر من delta هذا

229
00:27:21,340 --> 00:27:24,800
بيؤدي إنّ xn

230
00:27:26,360 --> 00:27:35,400
minus C أكبر من صفر أصغر من Delta ليه؟ لأنّ ال xn

231
00:27:35,400 --> 00:27:44,420
موجودة تنتمي لإيه؟ هو أكبر من C، لذلك هذا لأنّ xn

232
00:27:44,420 --> 00:27:48,400
أكبر

233
00:27:48,400 --> 00:27:58,050
من C فبالتالي absolute xn-c أكبر من 0 و بالتالي

234
00:27:58,050 --> 00:28:06,790
absolute xn-c absolute عدد موجب بيساوي نفسه لأنّ ال

235
00:28:06,790 --> 00:28:15,750
absolute value هنا ل xn-c بساوي xn-c لأنّ xn أكبر

236
00:28:15,750 --> 00:28:18,110
من c و طبعا

237
00:28:21,830 --> 00:28:32,590
هذا أكبر من الصفر لأنّ xn لا تساوي c أكبر من c الآن

238
00:28:32,590 --> 00:28:39,310
من ال star هذا بيؤدي by star ال star بتقول إذا

239
00:28:39,310 --> 00:28:45,330
كانت ال X أو هنا في الحالة تبعتنا xn ال xn هذه

240
00:28:45,330 --> 00:28:49,990
تنتمي لإيه؟ ال xn هي تنتمي لإيه؟ و بعدين هي عندي

241
00:28:49,990 --> 00:28:56,470
xn سالب C أكبر من صفر أصغر من Delta إذا by star

242
00:28:56,470 --> 00:29:06,950
بيطلع absolute F of xn minus L أصغر من epsilon تمام؟

243
00:29:10,290 --> 00:29:18,790
الآن نلاحظ إنّ epsilon was arbitrary إبسيليون

244
00:29:18,790 --> 00:29:28,230
was arbitrary since

245
00:29:28,230 --> 00:29:36,890
إبسيليون أكبر من الصفر was arbitrary إذاً هيك بنكون

246
00:29:36,890 --> 00:29:43,470
إحنا أثبتنا إنّه لأي إبسيليون أو لكل إبسيليون يوجد Delta

247
00:29:43,470 --> 00:29:50,890
لكل إبسيليون يوجد capital N يعتمد على ال Delta

248
00:29:50,890 --> 00:29:55,070
و بالتالي تعتمد على إبسيليون لأنّ ال Delta تعتمد على

249
00:29:55,070 --> 00:30:01,410
إبسيليون بحيث إنّه لكل N أكبر من أو يساوي capital N طلع

250
00:30:01,410 --> 00:30:06,190
عندي absolute f of xn minus L أصغر من إبسيليون إذاً

251
00:30:06,190 --> 00:30:12,750
by epsilon capital N definition of limit بيطلع هيك

252
00:30:12,750 --> 00:30:18,710
بيكون أثبتنا إنّ limit ال sequence f of x n as n

253
00:30:18,710 --> 00:30:23,710
tends to infinity بساوي L و هذا اللي بدنا يعني هذا

254
00:30:23,710 --> 00:30:26,570
اللي إحنا إيه اللي عايزين نثبته

255
00:30:29,870 --> 00:30:35,490
إذاً هيك بنكون أثبتنا إنّه إيه اتنين holds و بالتالي

256
00:30:35,490 --> 00:30:41,670
هيك هذا بيكمل برهان واحد implies two okay تمام؟

257
00:30:41,670 --> 00:30:46,490
بالمثل ممكن إنّنا نبرهن اتنين implies one

258
00:30:55,620 --> 00:31:03,360
the proof of اتنين implies العبارة

259
00:31:03,360 --> 00:31:11,200
التانية implies الأولى is similar is

260
00:31:11,200 --> 00:31:18,600
similar to is

261
00:31:18,600 --> 00:31:22,000
similar to the proof of

262
00:31:24,130 --> 00:31:34,570
the sequential criterion for two-sided limit

263
00:31:34,570 --> 00:31:45,850
exercises

264
00:31:45,850 --> 00:31:50,980
يعني اتمرّنوا عليها أنا ارجع لبرهان ال sequential

265
00:31:50,980 --> 00:31:55,520
criterion for two-sided limit و شوفوا اقرأوا

266
00:31:55,520 --> 00:31:59,600
البرهان و اعملوا التعديلات البسيطة على البرهان لأنّ

267
00:31:59,600 --> 00:32:03,920
هنا إحنا بنتعامل مع right hand limit أو limit from

268
00:32:03,920 --> 00:32:07,500
the right rather than two-sided limit زي ما عملنا

269
00:32:07,500 --> 00:32:12,920
في البرهان تبع واحد implies اتنين okay فحاسيبكم

270
00:32:12,920 --> 00:32:17,740
انتوا تكتبوا البرهان تبع اتنين بيؤدي لواحد بنفس

271
00:32:17,740 --> 00:32:21,700
الطريقة اللي برهناها في حالة ال two sided limit

272
00:32:21,700 --> 00:32:30,080
okay تمام في أي سؤال طبعا ممكن برضه أيضا يوجد

273
00:32:30,080 --> 00:32:35,500
ممكننا نثبت sequential criterion for left hand

274
00:32:35,500 --> 00:32:42,620
limit أو limit from the left بنفس الطريقة okay يعني

275
00:32:42,620 --> 00:32:47,080
إحنا مش هنكتب طبعا نظرية دي هنعتبرها نظرية قائمة و

276
00:32:47,080 --> 00:32:53,010
صحيحة و مش بدون برهان okay تمام؟ إذن هذه واحدة من

277
00:32:53,010 --> 00:32:58,650
النظريات اللي برهناها في section 4.1 و 4.2 و

278
00:32:58,650 --> 00:33:04,470
بالمثل كل نظريات اللي برهناهم لـ two sided limit

279
00:33:04,470 --> 00:33:10,590
في section 4.1 و 4.2 هنعتبرهم قائمين أو نعتبر

280
00:33:10,590 --> 00:33:15,330
نظريات هذه صحيحة لـ left limit و right limit 

281
00:33:22,080 --> 00:33:37,560
في نظرية أخرى مهمة وهي التعطيل

282
00:33:37,560 --> 00:33:43,000
العلاقة بين الـ two sided limits و الـ one sided 

283
00:33:43,000 --> 00:33:49,100
limits ف

284
00:33:51,870 --> 00:34:01,250
if f is a function from a to r and let c be a cluster

285
00:34:01,250 --> 00:34:05,450
point

286
00:34:05,450 --> 00:34:08,690
of 

287
00:34:08,690 --> 00:34:15,310
المجموعة a تقاطع الفترة المفتوحة from c to

288
00:34:15,310 --> 00:34:24,070
infinity and of a تقاطع الـ open interval from

289
00:34:24,070 --> 00:34:32,250
negative infinity to c then

290
00:34:32,250 --> 00:34:42,450
الـ two-sided limit للـ function f and c بتكون 

291
00:34:42,450 --> 00:34:47,730
موجودة وبتساوي

292
00:34:47,730 --> 00:34:54,760
عدد L if and only if الـ one-sided limit أو الـ

293
00:34:54,760 --> 00:35:02,120
limit from the right the limit at C from the right

294
00:35:02,120 --> 00:35:12,860
exist و بتساوي L and the limit of f at C from the

295
00:35:12,860 --> 00:35:19,360
left exist و بتساوي نفس العدد L وهذه نظرية أخذناها 

296
00:35:19,360 --> 00:35:21,520
في تفاضل ألف إذا بتذكروا

297
00:35:24,420 --> 00:35:29,460
متى ال limit عند نقطة في مجالها أو cluster point

298
00:35:29,460 --> 00:35:34,940
لمجالها بتكون exist بالساوية عدد إذا كانت ال limit

299
00:35:34,940 --> 00:35:37,980
من اليمين موجودة و ال limit من اليسار موجودة و

300
00:35:37,980 --> 00:35:47,600
الاثنتين متساويتين و بتساوي نفس العدد هناك

301
00:35:47,600 --> 00:35:50,500
بس ماكنش البرهان المطلوب منكم المرة دي احنا

302
00:35:50,500 --> 00:35:58,420
مطالبين بالبرهان البرهان يعني كتير سهل ينتج من 

303
00:35:58,420 --> 00:36:06,780
التعريفات proof ف .. هحاول أبرهن لكم الـ f part هذا

304
00:36:06,780 --> 00:36:16,520
مسمى الـ f part يعني هفرض أنه assume أنه

305
00:36:16,520 --> 00:36:17,780
الـ one sided limits

306
00:36:24,700 --> 00:36:29,160
the limit from the right exist و بتساوي L وكذلك

307
00:36:29,160 --> 00:36:36,000
limit from the left موجودة

308
00:36:36,000 --> 00:36:41,840
و بتساوي العدد L وعايز اثبت ان ال limit from the two

309
00:36:41,840 --> 00:36:48,940
sides exist إذا هنا هذا الفرض المطلوب

310
00:37:02,770 --> 00:37:09,030
أكلم الـ two-sided limit لـ الـ function f at x

311
00:37:09,030 --> 00:37:14,530
بتساوي c exist و بتساوي نفس القيمة أو نفس الأعداد L

312
00:37:14,530 --> 00:37:27,010
لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك بنحاول نطبق

313
00:37:27,010 --> 00:37:33,000
تعريف epsilon delta للـ limit of function فبنبدأ

314
00:37:33,000 --> 00:37:41,140
بنقول let epsilon أكبر من الصفر be given طيب 

315
00:37:41,140 --> 00:37:47,380
أنا من الفرض أنا فارض تعالى نستفيد من الفرض للوصول 

316
00:37:47,380 --> 00:37:51,720
إلى المطلوب هذا برهان مباشر البرهان المباشر ده

317
00:37:51,720 --> 00:37:57,420
ناخد الفرض بنشتغل عليه بنحط عليه شوية برات و بعدين 

318
00:37:57,420 --> 00:38:05,060
بنطلع منه المطلوب فمن الفرض فرضين احنا ان ال limit

319
00:38:05,060 --> 00:38:14,060
لـ f of x as x tends to c positive لما انه ال limit

320
00:38:14,060 --> 00:38:20,020
من اليمين عن c بتساوي L y أكبر من الصفر given by 

321
00:38:20,020 --> 00:38:25,190
definition there exists delta واحد بالساوي delta 

322
00:38:25,190 --> 00:38:32,830
واحد تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لو كان x

323
00:38:32,830 --> 00:38:40,650
ينتمي إلى a و x minus c أكبر من الصفر أصغر من delta

324
00:38:40,650 --> 00:38:48,350
واحد فهذا بتضمن أن absolute f of x minus l أصغر من

325
00:38:48,350 --> 00:38:48,810
epsilon

326
00:38:52,780 --> 00:39:00,720
نسمي الـ implication head star also كذلك بما أن

327
00:39:00,720 --> 00:39:08,420
احنا فرضين ان ال limit لـ f of x as x tends to c

328
00:39:08,420 --> 00:39:13,900
from the left exist و equal نفس العدد L، إذا by

329
00:39:13,900 --> 00:39:18,980
definition of left hand limit there exists delta

330
00:39:18,980 --> 00:39:21,880
ثانية مش صارت الـ delta هذه تكون نفس الـ delta

331
00:39:21,880 --> 00:39:27,040
اللي فوق ماحد بيقدر يجزم بذلك فنسميها delta ثانية

332
00:39:27,040 --> 00:39:32,980
there exists delta two depends طبعا بالتأكيد تعتمد

333
00:39:32,980 --> 00:39:38,560
على إبسلون وعدد موجب بحيث أنه حسب التعريف لكل x

334
00:39:39,250 --> 00:39:46,270
تنتمي إلى a و c minus x أكبر من الصفر أصغر من delta

335
00:39:46,270 --> 00:39:54,290
و 2 طبعا هذا بتضمن أن absolute f of x minus n less

336
00:39:54,290 --> 00:40:00,710
than epsilon نسمي الـ implication هذه double star

337
00:40:00,710 --> 00:40:05,390
خلينا

338
00:40:05,390 --> 00:40:11,530
ناخد كالعادة delta نعرف delta على إنها minimum ال

339
00:40:11,530 --> 00:40:17,530
minimum الأصغر بين delta واحد و delta اثنين طبعا

340
00:40:17,530 --> 00:40:21,890
هذه بالتأكيد هيطلع الصغيرة بين الاتنين هتكون واحدة

341
00:40:21,890 --> 00:40:27,770
منهم وبالتالي تطلع عدد موجب وتعتمد على epsilon إذن

342
00:40:27,770 --> 00:40:30,930
هيثبت أن يوجد delta تعتمد على epsilon و ال delta

343
00:40:30,930 --> 00:40:36,110
هي عدد موجب الان for this delta تعالى نشوف

344
00:40:40,450 --> 00:40:49,310
لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من

345
00:40:49,310 --> 00:40:54,510
الصفر أصغر من دلتا الان 

346
00:40:54,510 --> 00:40:57,850
بناخد delta بتساوي ال minimum ل delta واحد و delta

347
00:40:57,850 --> 00:41:02,060
اثنين طبعا بما ان دلتا واحد ودلتا اثنين اعداد موجبة

348
00:41:02,060 --> 00:41:06,080
اذا دلتا عدد موجب وكذلك تعتمد على epsilon لان

349
00:41:06,080 --> 00:41:10,380
دلتا واحد ودلتا اثنين تعتمد على epsilon الان لو

350
00:41:10,380 --> 00:41:16,720
أخدت x تنتمي لمجموعة a و ال x صارت مختلفة عن ال c

351
00:41:16,720 --> 00:41:23,320
و المسافة بينها و بين ال c أصغر من دلتا هذا معناه 

352
00:41:23,320 --> 00:41:34,510
هذا معناه أنه ال x لا تساوي c وبالتالي 

353
00:41:34,510 --> 00:41:48,230
ال x ممكن تكون أصغر من c أو ال x أكبر من c فهذا

354
00:41:48,230 --> 00:41:55,630
بيقدي أن ال .. ال 

355
00:41:55,630 --> 00:42:04,400
.. ال .. إذا كانت ال x إذا كانت الـ x أكبر من c لو

356
00:42:04,400 --> 00:42:08,980
كانت الـ x أكبر من c فهذا بقدي أن absolute x

357
00:42:08,980 --> 00:42:15,200
minus c بتساوي x minus c بصير الـ absolute value

358
00:42:15,200 --> 00:42:20,560
هذه عبارة عن x minus c هو أكبر من 0 أصغر من delta

359
00:42:20,560 --> 00:42:29,800
ولو كانت ال x أصغر من c فال absolute value هذه

360
00:42:29,800 --> 00:42:37,360
بيصير c minus x أكبر من الصفر أصغر من delta في

361
00:42:37,360 --> 00:42:41,460
الحالة الأولى ال delta تبعتي هذه أصغر من أو ساوي 

362
00:42:41,460 --> 00:42:47,120
delta واحد صح؟ ال delta هذه هي ال minimum ل delta

363
00:42:47,120 --> 00:42:50,760
واحد و delta اثنين وبالتالي أصغر من أو ساوي delta

364
00:42:50,760 --> 00:42:58,090
واحد وبالتالي من ال star إذا كانت x تنتمي إلى a و x

365
00:42:58,090 --> 00:43:03,990
minus c أكبر من الصفر أصغر من دلتا واحد من ال star

366
00:43:03,990 --> 00:43:11,770
بيطلع عندي absolute f of x minus l أصغر من يو إذا 

367
00:43:11,770 --> 00:43:17,510
كانت ال x أصغر من ال c فبيطلع absolute x سالب c

368
00:43:17,510 --> 00:43:22,870
بيطلع بيساوي c سالب x أصغر من delta وطبعا x مستويش 

369
00:43:22,870 --> 00:43:29,190
c أكبر من 0 وال delta هذه من تعريفها أصغر من أو 

370
00:43:29,190 --> 00:43:35,300
يساوي delta 2 باستخدام double star ال implication

371
00:43:35,300 --> 00:43:41,420
double star لما يكون ال x تنتمي ل a و c minus x 

372
00:43:41,420 --> 00:43:46,640
أكبر من 0 أصغر من delta 2 هذا بيقدر أن absolute f

373
00:43:46,640 --> 00:43:53,680
of x minus l أصغر من إبسن إذن في كل الأحوال هذه

374
00:43:53,680 --> 00:43:58,180
بتقدر أن absolute f of x minus l أصغر من إبسن

375
00:43:58,180 --> 00:43:59,400
تمام؟

376
00:44:02,170 --> 00:44:06,090
طب ما هذا هو تعريف epsilon delta للـ limit of

377
00:44:06,090 --> 00:44:12,270
function صح؟ إذا نيجي بنقول هنا since epsilon أكبر

378
00:44:12,270 --> 00:44:15,870
من الصفر was arbitrary

379
00:44:17,410 --> 00:44:22,850
إذا احنا بنكون أثبتنا لكل إبسلون أكبر من الصفر يوجد

380
00:44:22,850 --> 00:44:27,950
delta تعتمد على إبسلون عدد موجب بحيث لكل x تنتمي ل

381
00:44:27,950 --> 00:44:32,210
a و absolute x minus c أكبر من الصفر أصغر من delta

382
00:44:32,210 --> 00:44:37,810
طلع عندي absolute f of x في الحالتين minus l أصغر

383
00:44:37,810 --> 00:44:41,630
من إبسلون وبالتالي إذا هذا صحيح لكل إبسلون 

384
00:44:41,630 --> 00:44:45,620
وبالتالي by epsilon delta definition of limit أو 

385
00:44:45,620 --> 00:44:54,600
function we have أثبتنا أن ال limit ل f of x as x

386
00:44:54,600 --> 00:45:01,380
tends to c بتساوي العدد l okay تمام، إذا هذا بيثبت 

387
00:45:01,380 --> 00:45:04,840
اللي هو لو كان ال two sided limits موجودين

388
00:45:04,840 --> 00:45:10,730
متساويتين، لأ لو كان ال one sided limits كلا هما 

389
00:45:10,730 --> 00:45:15,530
موجودة و بتساوي قيمة مشتركة l ف ال two sided limit

390
00:45:15,530 --> 00:45:20,130
بتطلع exist و قيمتها بتساوي القيمة المشتركة الان 

391
00:45:20,130 --> 00:45:28,210
برهان العكس أسهل لذلك هكتب هنا ال proof of 

392
00:45:28,210 --> 00:45:36,650
the converse is easier أسهل

393
00:45:38,760 --> 00:45:44,180
So exercise it يعني

394
00:45:44,180 --> 00:45:49,780
تمرن عليها لو كانت ال two-sided limit exist فمن

395
00:45:49,780 --> 00:45:55,840
السهل أن نثبت أن ال right hand limit exist و ال

396
00:45:55,840 --> 00:46:00,600
left hand limit exist و كلهم لهم نفس القيمة okay

397
00:46:00,600 --> 00:46:05,170
تمام؟ إذا هنوقف هنا و في المحاضرة الجاية إن شاء

398
00:46:05,170 --> 00:46:09,710
الله هناخد أمثلة على one-sided limits إما في اثنين

399
00:46:09,710 --> 00:46:13,350
موجودين و متساوياتين أو اثنين موجودين و مختلفتين

400
00:46:13,350 --> 00:46:18,190
أو واحدة موجودة و اثنين مش موجودة و هكذا، هنشوف كل

401
00:46:18,190 --> 00:46:24,670
الأنواع و كل ال situations، تمام؟ okay شكرا لكم و

402
00:46:24,670 --> 00:46:26,550
نشوفكم إن شاء الله المرة القادمة