PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CINg1xNQafM.srt

1
00:00:21,320 --> 00:00:25,400
هنبدأ إن شاء الله اليوم chapter جديد وهو ال

2
00:00:25,400 --> 00:00:30,060
chapter الثاني عنوان الـ chapter sequences and 

3
00:00:30,060 --> 00:00:35,960
series المتتاليات والمتسلسلات طبعًا الموضوع هذا

4
00:00:35,960 --> 00:00:43,220
مرّ معكم في تفاضل ألف .. تفاضل باء عفوا ودرسنا 

5
00:00:43,220 --> 00:00:46,860
خواص الـ sequences بطريقة مختصرة والـ series

6
00:00:46,860 --> 00:00:53,710
توسعنا فيها، المرة هذه سنتوسع في الـ sequences و

7
00:00:53,710 --> 00:00:58,750
سنختصر في الـ series العكس يعني وسنتناول دراسة كل

8
00:00:58,750 --> 00:01:06,130
منهم بطريقة تحليلية وطريقة موضعية أكثر يعني من 

9
00:01:06,130 --> 00:01:07,270
وجهة نظر رياضية

10
00:01:10,330 --> 00:01:13,590
فأول section في هذا الـ chapter سيكون عنوانه 

11
00:01:13,590 --> 00:01:17,610
sequences and their limits المتتاليات ونهاياتهم

12
00:01:22,470 --> 00:01:28,630
فنشوف تعريف الـ sequence الـ sequence in X ما معنى

13
00:01:28,630 --> 00:01:33,110
sequence in X، X مجموعة، أي مجموعة ممكن طبعًا هناخد

14
00:01:33,110 --> 00:01:37,470
هنا X مجموعة الأعداد الحقيقية، هذه المجموعة التي

15
00:01:37,470 --> 00:01:42,450
نحن نهتم فيها في الـ course هذا فـ sequence in X

16
00:01:42,450 --> 00:01:47,410
يعني الـ sequence عناصرها تنتمي للمجموعة X، فلو أخذت

17
00:01:47,410 --> 00:01:52,610
أي مجموعة x فعشان أعرف sequence عناصرها في x فما

18
00:01:52,610 --> 00:01:55,470
هي الـ sequence في المجموعة x؟ هي عبارة مجرد

19
00:01:55,470 --> 00:02:00,970
function دالة المجال تبعها الأعداد الطبيعية أو أي 

20
00:02:00,970 --> 00:02:04,970
مجموعة جزئية منها، والمجال المقابل تبعها هي 

21
00:02:04,970 --> 00:02:09,820
المجموعة x التي الـ sequence تنتمي إليها، وفي الحالة

22
00:02:09,820 --> 00:02:13,360
هذه إذا الـ sequence هي function دالة بس دالة من 

23
00:02:13,360 --> 00:02:19,320
نوع خاص مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية، وعادة نحن 

24
00:02:19,320 --> 00:02:23,320
نهتم بالـ sequences of real numbers أو المتتاليات

25
00:02:23,320 --> 00:02:27,280
التي عناصرها أعداد حقيقية، وبالتالي X هذه ستكون

26
00:02:27,280 --> 00:02:31,460
التي هو مجموعة الأعداد الحقيقية، طيب هذه الـ

27
00:02:31,460 --> 00:02:35,410
sequence function مجالها العداد الطبيعي وبالتالي

28
00:02:35,410 --> 00:02:40,350
ممكن نعرفها F هي عند أي عدد طبيعي N هي عبارة عن XN

29
00:02:40,350 --> 00:02:47,030
XN طبعًا هذا ينتمي للمجموعة X وبالتالي الـ .. الـ ..

30
00:02:47,030 --> 00:02:52,910
الـ sequence FN هذه نحن نحاول نعرفها بدلالة الـ 

31
00:02:52,910 --> 00:02:56,720
range تبعها، يعني بدل ما أقول الـ sequence هي

32
00:02:56,720 --> 00:03:01,800
function جرت العادة أن نحن نحذف رمز الـ function

33
00:03:01,800 --> 00:03:05,980
ونستبدله بالـ range تبع الـ function الذي هو y الـ

34
00:03:05,980 --> 00:03:09,960
range تبع الـ function كل الـ xn حيث n عدد طبيعي

35
00:03:09,960 --> 00:03:13,980
يبدأ من واحد من ثم إلى نهاية، إذا الـ sequence 

36
00:03:13,980 --> 00:03:18,600
بدل ما نكتبها على صورة function سنكتبها على الصورة

37
00:03:18,600 --> 00:03:24,340
هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه، okay

38
00:03:26,550 --> 00:03:30,070
وطبعًا الـ sequence هذه يعني عناصرها هذه أو أي واحدة

39
00:03:30,070 --> 00:03:37,350
منهم ممكن نكتبها برضه على الصورة x1, x2, x3 وهكذا

40
00:03:40,840 --> 00:03:45,180
فكل الرموز هذه ترمز إلى الـ sequence هذه التي هي الـ

41
00:03:45,180 --> 00:03:53,400
function f التي هي الـ function f، okay إذن أهم شيء 

42
00:03:53,400 --> 00:03:56,480
في تعريفنا أن الـ sequence هي function دالة

43
00:03:56,480 --> 00:04:00,400
وبالتالي لها مجال، مجالها العداد الطبيعي، المجال 

44
00:04:00,400 --> 00:04:04,420
المقابل هي المجموعة التي عناصر الـ sequence تنتمي 

45
00:04:04,420 --> 00:04:10,950
لها، الـ sequences ممكن أعرفهم بطريقتين، إذا في 

46
00:04:10,950 --> 00:04:15,970
الملاحظة هذه sequences can be defined explicitly

47
00:04:15,970 --> 00:04:19,910
هذه أحد الطرق، ممكن يعرف الـ sequence بطريقة صريحة

48
00:04:19,910 --> 00:04:27,890
بطريقة بقانون، فمثلا الـ sequence if بالساوية عناصرها

49
00:04:27,890 --> 00:04:31,670
اثنين أربعة ستة ثمانية، الأخرى هذه عبارة عن

50
00:04:31,670 --> 00:04:38,130
sequence وهي معرفة بطريقة صريحة، فهذه عبارة عن

51
00:04:38,130 --> 00:04:42,630
sequence of even natural numbers الأعداد الطبيعية 

52
00:04:42,630 --> 00:04:47,790
الزوجية، ممكن نكتب الحد العام، الآن هذا نسميه الآن

53
00:04:47,790 --> 00:04:53,710
term xn هذا هنا نسميه الـ term الحد النوني

54
00:04:53,710 --> 00:04:59,190
الحد النوني أو الحد العام، فالـ term هنا هو

55
00:04:59,190 --> 00:05:08,180
اثنين n، xn بساوي اثنين n حيث n عدد طبيعي، أو

56
00:05:08,180 --> 00:05:12,620
ممكن نكتب الـ sequence على صورة 2n من n بساوي 

57
00:05:12,620 --> 00:05:16,740
واحد إلى ما لا نهاية، إذا هنا أنا أعرف الـ sequence

58
00:05:16,740 --> 00:05:22,960
برص حدودها، أول تلات حدود إلى وهكذا، أو بكتب قاعدة

59
00:05:22,960 --> 00:05:27,880
لحد العام xn وطبعًا n عدد طبيعي، فمقدر من القاعدة 

60
00:05:27,880 --> 00:05:32,740
هذه أجيب كل الحدود، إذا هذا explicit definition of 

61
00:05:32,740 --> 00:05:39,150
a sequence هذا تعريف صريح للـ sequence، في طريقة 

62
00:05:39,150 --> 00:05:44,870
ثانية لتعريف الـ sequence وهي الطريقة الاستقرائية، 

63
00:05:44,870 --> 00:05:49,330
إذا الـ sequences can be defined inductively أو

64
00:05:49,330 --> 00:05:55,970
recursively بطريقة استقرائية أو بطريقة تكرارية، كيف

65
00:05:55,970 --> 00:06:02,290
هذه الطريقة؟ بأجي للـ sequence وبأخد أول حد فيها زي

66
00:06:02,290 --> 00:06:07,250
x1 أو أول حدين أو أول تلات حدود وبعطيهم قيم

67
00:06:07,250 --> 00:06:16,010
أحددهم، قيم محددة، أعطيهم قيم محددة، بعدين بأجي بأجي

68
00:06:16,010 --> 00:06:21,990
بعبر عن الحد xn زائد واحد أو xn بدلالة الحدود

69
00:06:21,990 --> 00:06:27,850
التي قبله وبستخدم طبعًا لهذه formula نسميها

70
00:06:27,850 --> 00:06:32,070
recursive formula أو inductive formula كما في

71
00:06:32,070 --> 00:06:39,550
المثال التالي، يعني أنا عند الـ sequence 2n هذه أنا 

72
00:06:39,550 --> 00:06:48,000
عند الـ sequence xn بساوي 2n هذه ممكن أعرفها بطريقة 

73
00:06:48,000 --> 00:06:57,140
استقرائية، كيف؟ بأخد بعطي أول حد فيه x1 بعطيله قيمة

74
00:06:57,140 --> 00:07:01,220
محددة وهي 2، طبعًا أول حد في الـ sequence هذه هو 2

75
00:07:01,220 --> 00:07:06,760
صح؟ لأن هنا أخذت x1 وعطيته قيمة محددة، ممكن في بعض

76
00:07:06,760 --> 00:07:12,140
الأمثلة أعطي قيمة قيمة محددة لـ x1 وx2 وx3، بعدين 

77
00:07:12,140 --> 00:07:19,100
بأجي إلى الحد رقم n زيادة واحد وبعبر عنه بـ

78
00:07:19,100 --> 00:07:23,000
recursive formula بعبر عنه بدلالة الحد الذي قبله

79
00:07:23,000 --> 00:07:26,760
أو الحد الذي قبله مباشرة والذي قبله و

80
00:07:26,760 --> 00:07:32,510
هكذا، فهذه نسميها recursive أو inductive formula

81
00:07:32,510 --> 00:07:37,150
تعطيني لحد رقم n زيادة واحد بدالة الحد الذي قبله xn

82
00:07:37,150 --> 00:07:43,870
فمثلا لو بده أحسب x2 فبأخد n بساوي واحد هنا صح

83
00:07:43,870 --> 00:07:50,110
فبطلع عند x2 بساوي x1 زائد اثنين، x1 بساوي اثنين زائد

84
00:07:50,110 --> 00:07:56,400
اثنين بطلع أربعة، x3 برضه عشان أجيب x3 بستخدم الـ

85
00:07:56,400 --> 00:08:00,480
recursive formula وبأخد N بساوي 2 فبطلع عند x3

86
00:08:00,480 --> 00:08:06,600
بساوي x2 زائد 2، x2 أربعة واثنين بطلع ستة وهكذا

87
00:08:06,600 --> 00:08:13,340
إذا هيك بحصل على الـ sequence 2N التي حدودها 2 4 6

88
00:08:13,340 --> 00:08:20,460
8 وهكذا، آه okay تمام الـ

89
00:08:20,460 --> 00:08:30,520
.. طيب الآن بدي أعرف ما معنى أن الـ sequence تكون

90
00:08:30,520 --> 00:08:36,500
convergent أو لها limit لو في عندي sequence من

91
00:08:36,500 --> 00:08:37,720
الأعداد الحقيقية

92
00:08:41,200 --> 00:08:45,480
فبقول إن الـ sequence converge

93
00:08:45,480 --> 00:08:51,860
الـ sequence of real numbers بتكون converge أو

94
00:08:51,860 --> 00:08:59,940
convergent إذا قدرت ألاقي X ينتمي لـ R بحيث إنه لكل

95
00:08:59,940 --> 00:09:06,200
neighborhood V لـ X لكل جوار V لـ X بقدر أو أجد أو 

96
00:09:06,200 --> 00:09:12,250
ألاقي عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار V ينتمي 

97
00:09:12,250 --> 00:09:17,030
لأعداد الطبيعية بحيث إنه لكل small n أكبر من أو يساوي

98
00:09:17,030 --> 00:09:21,770
capital N، Xn ينتمي إلى V، يعني الجوار V هذا يحتوي

99
00:09:21,770 --> 00:09:29,100
كل عناصر الـ sequence من capital N وأنت طالع، فلو هذا

100
00:09:29,100 --> 00:09:34,020
الشرط تحقق فبنقول أن الـ sequence converge والـ 

101
00:09:34,020 --> 00:09:38,040
limit تبعتها هي العدد X، في الحالة هذه بنقول أن X

102
00:09:38,040 --> 00:09:46,080
is the limit of sequence X in  و

103
00:09:46,080 --> 00:09:51,180
بنكتب limit Xn بساوي X أو نكتب Xn tends to

104
00:09:51,180 --> 00:09:57,750
X as N tends to infinity، هذا التعريف نسميه الـ 

105
00:09:57,750 --> 00:10:05,170
neighborhood neighborhood definition neighborhood

106
00:10:05,170 --> 00:10:16,710
definition of convergence تعريف

107
00:10:16,710 --> 00:10:18,210
الجوار للتقارب

108
00:10:22,960 --> 00:10:28,200
طيب لو الـ sequence ما كانش لها limit يعني ما فيش لا

109
00:10:28,200 --> 00:10:34,560
يوجد x ينتمي لـ r يحقق الشرط هذا فبنقول أن الـ

110
00:10:34,560 --> 00:10:40,060
sequence ليست not convergent أو divergent إذا لو

111
00:10:40,060 --> 00:10:45,220
الـ sequence مالهاش has no limit فبنسميها divergent

112
00:10:45,220 --> 00:10:50,820
إذا مثلًا بتكون الـ sequence convergent إذا كان في 

113
00:10:50,820 --> 00:10:54,560
لها limit، طب ما معنى أن الـ sequence يكون لها 

114
00:10:54,560 --> 00:11:01,680
limit؟ معناه أن يوجد عدد حقيقي X بحيث لكل جوار V لـ 

115
00:11:01,680 --> 00:11:08,260
X في عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار بحيث أن 

116
00:11:08,260 --> 00:11:14,120
كل حدود الـ sequence تنتمي للجوار هذا، والمؤشر تبعها

117
00:11:14,120 --> 00:11:20,130
يبدأ من capital N وأنت طالع، يعني معنى الكلام هذا ..

118
00:11:20,130 --> 00:11:28,290
هذا الكلام معناه أن X capital N وX capital N زائد

119
00:11:28,290 --> 00:11:35,990
واحد وX capital N زائد اثنين وهكذا كل هذول

120
00:11:35,990 --> 00:11:38,630
بينتموا للجوار دي

121
00:11:44,830 --> 00:11:48,590
لو الـ sequence مالهاش limit فبنسميها divergent

122
00:11:48,590 --> 00:11:56,190
okay طبعًا؟ V جوار .. جوار يعني .. مجموعة .. آه

123
00:11:56,190 --> 00:12:01,410
جوار لـ X يعني مجموعة تحتوي الـ X والجوار عشان V

124
00:12:01,410 --> 00:12:05,710
يكون جوار لازم يكون داخله .. لازم نلاقي داخله 

125
00:12:05,710 --> 00:12:10,010
epsilon نبرهنه، كل جوار لازم يحتوي epsilon نبرهنه 

126
00:12:15,360 --> 00:12:23,300
يعني مش أي مجموعة، طيب

127
00:12:23,300 --> 00:12:27,780
الـ .. أن لو

128
00:12:27,780 --> 00:12:32,800
في أي sequence والسيكوانس هذا convergent فالـ

129
00:12:32,800 --> 00:12:34,600
limit تبعتها بتطلع unique

130
00:12:41,740 --> 00:12:45,620
النظرية الأولى بتقول لو كانت xn sequence of real

131
00:12:45,620 --> 00:12:51,320
numbers  وتconverge لـ x وتconverge لـ y يعني لها two

132
00:12:51,320 --> 00:12:55,740
limits فلازم الـ limits يكونوا متساويتين يعني ممنوع

133
00:12:55,740 --> 00:12:59,940
الـ convergence sequence يكون لها أكثر من limit

134
00:12:59,940 --> 00:13:05,400
يعني معناه بعبارة أخرى a convergent sequence has a

135
00:13:05,400 --> 00:13:06,140
unique limit

136
00:13:09,340 --> 00:13:13,560
خلّينا نبرهن الكلام هذا، افرض إنه في عندي sequence

137
00:13:13,560 --> 00:13:20,440
xn converge لـ x وأيضًا converge لـ y، المطلوب

138
00:13:20,440 --> 00:13:25,540
إثبات أن x بساوي y، لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض

139
00:13:25,540 --> 00:13:30,680
assume on contrary أن x لا تساوي y الذي هو نفي 

140
00:13:30,680 --> 00:13:36,600
النتيجة وبينصل لتناقض في exercise 15 في section 2

141
00:13:36,600 --> 00:13:41,810
أخذناها في ال chapter السابق بقول لو في عندي أي

142
00:13:41,810 --> 00:13:49,130
عددين حقيقيين x و y فبقدر 

143
00:13:49,130 --> 00:13:57,250
ألاقي v1 جوار ل x و

144
00:13:57,250 --> 00:14:05,390
بقدر ألاقي v2 لـ v2

145
00:14:05,390 --> 00:14:06,610
جوار ل y

146
00:14:09,920 --> 00:14:17,120
بحيث أن تقاطعهم بساوي five يعني اثنين disjoint

147
00:14:19,260 --> 00:14:24,660
تمام؟ لو كان في عندي عددين حقيقيين x لا يساوي y بقدر

148
00:14:24,660 --> 00:14:31,280
ألاقي جوار v1 ل x و جوار v2 ل y والجوارين هدول

149
00:14:31,280 --> 00:14:36,660
منفصلين بعتقد حلنا السؤال هذا آه فقلنا خدي

150
00:14:36,660 --> 00:14:45,290
epsilon بساوي نص المسافة بين x و y وهد خلي x زائد

151
00:14:45,290 --> 00:14:50,410
y والنقطة هد x سالب y هد عبارة عن y neighborhood

152
00:14:50,410 --> 00:14:55,570
لـ x وبالتالي neighborhood لـ x وخدي هنا برضه هد

153
00:14:55,570 --> 00:15:01,030
عبارة عن y سالب y والنقطة هد y زائد y

154
00:15:03,680 --> 00:15:09,460
فالـ .. واضح أن الجوارين هدول متقاطعوش لأن أنا أخدت 

155
00:15:09,460 --> 00:15:13,180
epsilon نص المسافة هذه وهذه فترة مفتوحة وهذه

156
00:15:13,180 --> 00:15:18,560
مفتوحة فمافيش بينهم نقاط مشتركة okay إذا هذا

157
00:15:18,560 --> 00:15:23,620
الكلام موجود إذا هذا صحيح exercise 15 بيقول لي إذا 

158
00:15:23,620 --> 00:15:30,310
كان x لا يساوي y فطبعا ممكن نفرض أن x أصغر من y أو

159
00:15:30,310 --> 00:15:35,170
y أصغر من x وبالتالي بقدر ألاقي this joint this

160
00:15:35,170 --> 00:15:43,630
joint neighborhoods v1 ل x وv2 ل y على التوالي و 2

161
00:15:43,630 --> 00:15:50,910
منفصلين الآن احنا فرضين أن x in converge ل x حسب

162
00:15:50,910 --> 00:15:54,790
الـ Neighborhood Definition لـ Convergence لما أن

163
00:15:54,790 --> 00:16:00,550
المتتالي Xn converge ل X و V1 جوار ل X إذا يوجد 

164
00:16:00,550 --> 00:16:07,710
عدد طبيعي N1 يعتمد على الجوار V1 بحيث أن Xn تنتمي

165
00:16:07,710 --> 00:16:13,260
للجوار V1 لكل N أكبر من أو يساوي N1 كذلك احنا فرضين

166
00:16:13,260 --> 00:16:18,320
في النظرية أن sequence xn converge ل y والآن v2

167
00:16:18,320 --> 00:16:23,660
neighborhood ل y، إذا حسب تعريف ال convergence بما

168
00:16:23,660 --> 00:16:27,680
أن xn converge ل y و v2 neighborhood ل y، إذا

169
00:16:27,680 --> 00:16:32,440
بنقدر نلاقي عدد طبيعي n2 يعتمد على v2، بحيث أن xn

170
00:16:32,440 --> 00:16:38,840
ينتمي لv2 لكل n أكبر من أو يساوي n2 الآن لو عرفت

171
00:16:38,840 --> 00:16:42,320
capital N على Nها ال maximum الأكبر بين N واحد و N

172
00:16:42,320 --> 00:16:47,360
اثنين هذا معناه أن capital N عدد طبيعي لأن الأكبر

173
00:16:47,360 --> 00:16:52,320
بين هدول هيكون واحد منهم فهو عدد طبيعي و capital N

174
00:16:52,320 --> 00:16:55,640
أكبر من أو يساوي N واحد وأكبر من أو يساوي N اثنين

175
00:16:55,640 --> 00:16:59,820
لأن الكبير فيهم الآن

176
00:16:59,820 --> 00:17:04,120
لو أخدت small n أكبر من أو يساوي capital N فمن

177
00:17:04,120 --> 00:17:09,540
تعريف capital N هذا بيقودى أن capital N أكبر من أو 

178
00:17:09,540 --> 00:17:14,760
يساوي N واحد إذا الآن أنا عندي small n أكبر من أو

179
00:17:14,760 --> 00:17:23,820
يساوي N واحد وبالتالي إذا Xn تنتمي لـ D واحد كذلك 

180
00:17:23,820 --> 00:17:29,560
أنا عندي من تعريف capital N capital N أكبر من أو

181
00:17:29,560 --> 00:17:34,950
يساوي N اثنين وبالتالي small n أكبر من أو يساوي

182
00:17:34,950 --> 00:17:38,970
capital N اثنين لما تكون small n أكبر من أو يساوي

183
00:17:38,970 --> 00:17:45,450
capital N اثنين فبطلع xn ينتمي إلى v2 إذا الآن أنا 

184
00:17:45,450 --> 00:17:49,110
أثبتت أنه لو كانت small n أكبر من أو يساوي capital

185
00:17:49,110 --> 00:17:57,090
N فبطلع xn ينتمي إلىV1 وإلى V2 وبالتالي تنتمي

186
00:17:57,090 --> 00:18:01,290
لتقاطعهم إذا المعنى أن التقاطع هذا لا يساوي الـ فاي

187
00:18:01,290 --> 00:18:05,810
وهذا بيديني contradiction لأنه exercise 15 بيقول

188
00:18:05,810 --> 00:18:10,450
لي أن V1 و V2 هدول disjoint فكيف طلع مش disjoint

189
00:18:10,450 --> 00:18:16,070
تناقض تناقض هذا بيقول لي أن ال assumption تبعي إن X

190
00:18:16,070 --> 00:18:20,390
لا تساوي Y كان خطأ إذن الصح إن X بساوي Y

191
00:18:20,390 --> 00:18:25,430
وبالتالي ال limit لل sequence لازم تكون واحدة

192
00:18:25,430 --> 00:18:33,990
unique تمام؟ واضح البرهان؟ في أي استفسار؟

193
00:18:33,990 --> 00:18:37,510
في أي سؤال؟

194
00:18:50,080 --> 00:19:02,120
النظرية الثانية تعطيني

195
00:19:02,120 --> 00:19:09,740
شروط متكافئة لتعريف ال convergence للسيكوينس فلو

196
00:19:09,740 --> 00:19:12,840
في عندي سيكوينس of real numbers وعندي real number

197
00:19:12,840 --> 00:19:17,630
x the following are equivalent هذا اختصار الكلمات

198
00:19:17,630 --> 00:19:21,530
the following are equivalent العبارات التالية

199
00:19:21,530 --> 00:19:27,670
متكافئة أول عبارة x in converge ل x هذا معناه حسب

200
00:19:27,670 --> 00:19:31,070
تعريف ال convergence ال neighborhood definition أن 

201
00:19:31,070 --> 00:19:42,150
for every neighborhood V of X of X there exists

202
00:19:42,150 --> 00:19:50,590
capital N يعتمد على V عدد طبيعي بحيث أنه لو كان n

203
00:19:50,590 --> 00:19:56,150
أكبر من أو يساوي capital N هذا بيقودى أن xn ينتمي

204
00:19:56,150 --> 00:20:03,390
إلى V هاي معناه xn converge ل x الآن هذا ال

205
00:20:03,390 --> 00:20:06,990
neighborhood definition لل convergence بيكافئ 

206
00:20:06,990 --> 00:20:11,770
العبارة بي وهذا بنسميه ال epsilon neighborhood 

207
00:20:11,770 --> 00:20:16,150
definition لل convergence هذا بقى بنسميه epsilon

208
00:20:16,150 --> 00:20:20,210
neighborhood definition of convergence ليه؟

209
00:20:20,210 --> 00:20:22,850
العبارة دي بتقول لكل for every epsilon

210
00:20:22,850 --> 00:20:27,930
neighborhood V epsilon ل X يعني بدل لكل 

211
00:20:27,930 --> 00:20:32,550
neighborhood بدلناها لكل epsilon neighborhood ل X

212
00:20:32,550 --> 00:20:35,630
يوجد capital N يعتمد على ال epsilon neighborhood

213
00:20:35,630 --> 00:20:42,160
وبالتالي يعتمد على ال epsilon عدد طبيعي بحيث أنه

214
00:20:42,160 --> 00:20:46,200
لكل N أكبر من أوسعه capital N بطلع XN ينتمي لـ V

215
00:20:46,200 --> 00:20:52,820
نفس العادى العبارة الثالثة بتقول لكل إبسلون لأي عدد

216
00:20:52,820 --> 00:20:56,260
إبسلون موجبة بنقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على إبسلون

217
00:20:56,260 --> 00:21:01,500
بحيث لو كان n أكبر من أو يساوي capital N فالمسافة

218
00:21:01,500 --> 00:21:07,800
بين x and x تطلع أصغر من إبسلون هذا بنسميه الجزء C

219
00:21:07,800 --> 00:21:13,180
وهذا الجزء الأكثر جزء هنستخدمه في إثبات ال

220
00:21:13,180 --> 00:21:18,080
convergence لـ sequences معينة هذا بيسميه epsilon

221
00:21:18,080 --> 00:21:25,600
capital N definition of

222
00:21:25,600 --> 00:21:26,500
convergence

223
00:21:30,350 --> 00:21:34,970
أنا في عندي أنا الفرق A هذا عبارة عن epsilon عبارة

224
00:21:34,970 --> 00:21:38,530
عن neighborhood definition of convergence الفرق B

225
00:21:38,530 --> 00:21:42,230
بنسميه ال epsilon neighborhood definition لل

226
00:21:42,230 --> 00:21:46,210
convergence الفرق C بنسميه epsilon capital N

227
00:21:46,210 --> 00:21:49,770
definition of convergence هذا هيكون استعماله شائع

228
00:21:49,770 --> 00:21:57,370
أكثر من العبارات السابقة البرهان أن هذا ال ثلاثة 

229
00:21:57,370 --> 00:22:02,490
إبراهيم بتكافئ بعض هنثبت أن a implies b و b

230
00:22:02,490 --> 00:22:10,610
implies c وبعد هيك هنثبت أن c implies a وبالتالي

231
00:22:10,610 --> 00:22:14,370
هيك بيطلع الثلاثة متكافئة حسب قوانين ال logic

232
00:22:14,370 --> 00:22:21,830
مظبوط صح؟ طيب نشوف الأول a implies b افرض أن x in

233
00:22:21,830 --> 00:22:28,010
converge ل x يعني هذا الكلام صحيح حسب تعريف ال

234
00:22:28,010 --> 00:22:34,510
neighborhood definition لل convergence طيب .. طيب

235
00:22:34,510 --> 00:22:39,150
احنا عارفين أن كل epsilon .. طيب لإثبات أن b صحيح

236
00:22:39,150 --> 00:22:45,130
ناخد أي epsilon neighborhood ل x طب احنا لما درسنا 

237
00:22:45,130 --> 00:22:48,990
ال neighborhoods قلنا أن كل epsilon neighborhood

238
00:22:48,990 --> 00:22:52,130
.. every epsilon neighborhood على الصورة هذه ل X

239
00:22:52,130 --> 00:22:57,490
هو أيضا neighborhood ل X صح؟ هذه حقيقة معروفة ..

240
00:22:57,490 --> 00:23:02,570
كل epsilon neighborhood ل X is also a neighborhood

241
00:23:02,570 --> 00:23:09,280
of X وبالتالي إذا هنا لو أخدت أي إبسلون

242
00:23:09,280 --> 00:23:13,140
neighborhood ل X فهذا neighborhood ل X وبالتالي

243
00:23:13,140 --> 00:23:15,820
يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood

244
00:23:15,820 --> 00:23:24,080
وهذا الكلام صح وبالتالي A بيؤدي ل B نشوف

245
00:23:24,080 --> 00:23:27,460
الآن B بيؤدي العبارة B بيؤدي إلى C

246
00:23:42,950 --> 00:23:55,970
طيب العبارة P هذا هي لو كان P صحيح فبنثبت

247
00:23:55,970 --> 00:24:05,490
أن C صحيح فخلينا ناخد خلينا 

248
00:24:05,490 --> 00:24:09,250
ناخد أبسلون أكبر من الصفر ناخد أبسلون أكبر من

249
00:24:09,250 --> 00:24:09,730
الصفر

250
00:24:13,900 --> 00:24:22,140
لو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر for any epsilon

251
00:24:22,140 --> 00:24:30,140
أكبر من الصفر take v epsilon of x اللي هو عبارة عن

252
00:24:30,140 --> 00:24:36,040
ال epsilon neighborhood ل x فهذا

253
00:24:36,040 --> 00:24:44,530
is epsilon neighborhood of x صح؟ وبالتالي حسب B

254
00:24:44,530 --> 00:24:50,890
لأي إبسلون neighborhood لهذا يوجد capital N إذا 

255
00:24:50,890 --> 00:24:56,350
يوجد capital N by

256
00:24:56,350 --> 00:25:02,930
B يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood

257
00:25:02,930 --> 00:25:09,630
وبالتالي يعتمد على إبسلون هذا عدد طبيعي بحيث

258
00:25:13,530 --> 00:25:19,590
بحيث أنه لو كان n أكبر من أو يساوي n of epsilon

259
00:25:19,590 --> 00:25:28,030
فهذا بيقودى أن xn ينتمي لـ v epsilon ل x اللي هو x

260
00:25:28,030 --> 00:25:35,630
سالب epsilon وx زائد epsilon طب وهذا معناه أن ال

261
00:25:35,630 --> 00:25:44,930
xn أكبر من x سالب epsilon أصغر من x زائد epsilon هذا

262
00:25:44,930 --> 00:25:50,630
الـ xn ينتمي للفترة المفتوحة هذه معناته هذا الكلام

263
00:25:50,630 --> 00:25:56,670
صح هذا معناه xn minus x أصغر من epsilon أكبر من

264
00:25:56,670 --> 00:26:01,950
سالب epsilon هذا معناه absolute xn minus x أصغر من

265
00:26:01,950 --> 00:26:10,800
epsilon إذن هنا أثبتنا إن لو كان b صحيح فلأي يبسلون

266
00:26:10,800 --> 00:26:18,300
أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على يبسلون بحيث

267
00:26:18,300 --> 00:26:23,160
لكل N أكبر من أو يساوي capital N طلع absolute xn

268
00:26:23,160 --> 00:26:29,920
minus x أصغر من يبسلون وبالتالي العبارة C صحيحة

269
00:26:29,920 --> 00:26:38,500
متحققة okay تمام؟ الآن بقى نثبت أن العبارة

270
00:26:38,500 --> 00:26:59,280
C بتقودى إلى العبارة A فأفرضي 

271
00:26:59,280 --> 00:27:08,370
أن العبارة C متحققة suppose C holds بعدين، بدنا 

272
00:27:08,370 --> 00:27:12,250
نثبت أن x in converge ل x أو ال neighborhood

273
00:27:12,250 --> 00:27:17,730
definition ل x بتحقق فبناخد أي let v be any

274
00:27:17,730 --> 00:27:24,590
neighborhood of x فمن تعريف ال neighborhood لأي

275
00:27:24,590 --> 00:27:28,910
neighborhood كل neighborhood v ل x يحتوي داخله

276
00:27:28,910 --> 00:27:32,030
epsilon neighborhood ل x هذا ما قلناه قبل هيك 

277
00:27:32,030 --> 00:27:37,430
وبالتالي يوجد epsilon عدد موجب بحيث أن ال epsilon

278
00:27:37,430 --> 00:27:44,890
neighborhood هذه الفترة عبارة عن x in .. هذه

279
00:27:44,890 --> 00:27:51,090
المفروضة تكون عفوا هذه المفروضة تكون x مش x in

280
00:27:51,090 --> 00:28:01,600
وهذه x سلب epsilon هذا عبارة عن v epsilon ل x هذا 

281
00:28:01,600 --> 00:28:08,880
المفروض تكون x مش xm، إذا لو كان v epsilon 

282
00:28:08,880 --> 00:28:15,740
neighborhood ففي عندي بقدر ألاقي جواته epsilon 

283
00:28:15,740 --> 00:28:20,520
neighborhood للـ x اللي هو v epsilon للـ x الآن من 

284
00:28:20,520 --> 00:28:21,400
الجزء c

285
00:28:25,470 --> 00:28:29,650
لأي أبسلون من الجزء C، لأي أبسلون، لأي بما أن هذا

286
00:28:29,650 --> 00:28:33,170
أبسلون أكبر من الصفر، إذا بنقدر نلاقي capital N

287
00:28:33,170 --> 00:28:36,310
يعتمد على أبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي

288
00:28:36,310 --> 00:28:40,230
capital N، الـ absolute value هذه أصغر من أبسلون هذا

289
00:28:40,230 --> 00:28:45,660
من الجزء C، طب ما هذا معناه الـ implication هذه

290
00:28:45,660 --> 00:28:50,920
معناها لكل n أكبر من أو يساوي capital N، لو فكيت

291
00:28:50,920 --> 00:28:58,800
المتباينة هذه، معناها xn ينتمي، هذا عبارة عن x ينتمي

292
00:28:58,800 --> 00:29:06,480
للـ فترة المفتوحة x minus y و x زائد epsilon اللي هو الـ

293
00:29:06,480 --> 00:29:09,720
epsilon neighborhood للـ x اللي هو subset من V

294
00:29:11,670 --> 00:29:19,650
وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن الـ XIN ينتمي إلى الـ

295
00:29:19,650 --> 00:29:24,530
neighborhood V كمان

296
00:29:24,530 --> 00:29:30,830
مرة أنا بدي أثبت أن العبارة C بتأدي لـ a، افرض أن

297
00:29:30,830 --> 00:29:36,610
العبارة C صحيحة، الآن لإثبات a اللي هي x in converge

298
00:29:36,610 --> 00:29:40,790
للـ x، بتثبت أنه الـ neighborhood definition للـ

299
00:29:40,790 --> 00:29:45,750
convergence بتحقق، يعني x عبارة عن limit للـ

300
00:29:45,750 --> 00:29:48,650
sequence xn، فنرجع لتعريف الـ neighborhood

301
00:29:48,650 --> 00:29:53,190
definition of convergence، نبدأ بـ neighborhood للـ x

302
00:29:53,190 --> 00:29:57,910
ونستخدم الحقيقة أن كل neighborhood للـ x يحتوي

303
00:29:57,910 --> 00:30:04,160
epsilon neighborhood، الآن من C.. C بيقول لي إذا في

304
00:30:04,160 --> 00:30:08,400
عندك إبسلون موجبة، تقدر تلاقي capital N يعتمد عليها

305
00:30:08,400 --> 00:30:12,940
بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital N، المسافة

306
00:30:12,940 --> 00:30:17,660
هذه أصغر من إبسلون، طب هذه الـ implication الأخيرة هي

307
00:30:17,660 --> 00:30:22,380
N أكبر من أو يساوي capital N بتقدي في حل المتباينة

308
00:30:22,380 --> 00:30:28,640
هذه في Xn، فبطلع Xn ينتمي إلى X سالب Y و X زائد epsilon اللي هو

309
00:30:28,640 --> 00:30:33,320
هذا الـ epsilon neighborhood اللي هو داخل V وبالتالي

310
00:30:33,320 --> 00:30:37,660
لكل N أكبر من أو يساوي capital N، طلع Xn ينتمي للـ

311
00:30:37,660 --> 00:30:42,300
neighborhood V، هذا من التعريف معناه Xn converge لـ

312
00:30:42,300 --> 00:30:48,820
X، وبالتالي اللي هي عبارة a صحيحة تمام؟ إذا هيك

313
00:30:48,820 --> 00:30:53,940
بنكون أثبتنا النظرية، أن التلات تعريفات هذه كلها

314
00:30:53,940 --> 00:30:54,840
متكافئة

315
00:31:02,750 --> 00:31:06,990
في تعريف الـ tail of a sequence أو الـ M tail of a

316
00:31:06,990 --> 00:31:11,070
sequence، احنا عارفين أن لو في عندي أي.. لأي

317
00:31:11,070 --> 00:31:18,570
sequence Xn، لو خدت M عدد طبيعي أي عدد طبيعي

318
00:31:18,570 --> 00:31:24,210
natural number، و Xn أي sequence of real numbers

319
00:31:24,210 --> 00:31:31,330
فالـ Xn هذه ممكن انفرفتها نكتب حدودها X1 X2 وهكذا

320
00:31:32,450 --> 00:31:41,130
إلى x رقم m، الآن الحد اللي بعد xm عبارة عن xm زائد

321
00:31:41,130 --> 00:31:50,010
واحد واللي بعده xm زائد اتنين وهكذا إذا

322
00:31:50,010 --> 00:31:53,130
الـ sequence هذه ممكن أكتبها على الصورة هذه حيث m

323
00:31:53,130 --> 00:31:57,770
هنا عدد طبيعي ما ثابت

324
00:31:59,680 --> 00:32:10,460
الآن لو أنا ركزت على الجزء هذا من الـ sequence و

325
00:32:10,460 --> 00:32:20,440
الجزء هذا هو أول m من حدود الـ sequence، حذفتها، فإذا

326
00:32:20,440 --> 00:32:22,400
هذا بنسميه m tail

327
00:32:28,870 --> 00:32:37,630
مثل الـ sequence xn، الدنب m دنب m، مش هذا دنب يعني تصور

328
00:32:37,630 --> 00:32:42,110
إنها دي أفع هي الرأس تبعها أول m من الحدود ده هي

329
00:32:42,110 --> 00:32:47,570
الرأس، جاطعة الرأس تبعها فبقى الدنب، مش هيك بيقولوا

330
00:32:47,570 --> 00:32:50,870
الدنب

331
00:32:50,870 --> 00:32:56,090
هذا طويل، بنبدأ يعني في عدد لانهائي من الحدود، الرأس

332
00:32:56,090 --> 00:33:02,470
محدود، هي عدد منتهي من الحدود، إذا الـ sequence لو

333
00:33:02,470 --> 00:33:08,250
أنا حدفت أول M من حدودها، فباقي الجزء المتبقي من الـ

334
00:33:08,250 --> 00:33:16,070
sequence بنسميه M tail، واضح؟ طيب إذا الآن في نظرية

335
00:33:16,070 --> 00:33:18,250
اتنين تلاتة أو نظرية تالتة

336
00:33:20,720 --> 00:33:23,800
ما هي هذه النظرية اللي بتقول؟ بتقول لو أنا في عندي

337
00:33:23,800 --> 00:33:29,500
إذا هاي الـ m tail هذا الـ m tail ممكن كتابته على

338
00:33:29,500 --> 00:33:35,820
صورة sequence هاي x المؤشر، الحد العام تبع الـ m

339
00:33:35,820 --> 00:33:40,660
tail، m زائد n حيث n العداد الطبيعي، m ثابت و n 

340
00:33:40,660 --> 00:33:43,980
العداد الطبيعي، وبالتالي هنا لو كانت n بـالساوية

341
00:33:43,980 --> 00:33:50,800
واحد، أول حد xm زائد واحد وهكذا، طيب الآن النظرية

342
00:33:50,800 --> 00:33:57,980
التالية بتقول لي أنه لو كان الـ M tail convergent

343
00:34:02,380 --> 00:34:07,760
فالـ sequence نفسها الـ M بتكون convergent والعكس،

344
00:34:07,760 --> 00:34:12,020
لو كانت الـ sequence convergent فأي M tail منها

345
00:34:12,020 --> 00:34:15,940
هيكون convergent واثنين لهم نفس الـ limit، اثنين

346
00:34:15,940 --> 00:34:20,020
لهم نفس الـ limit، إذا مرة ثانية لو كان في عندك

347
00:34:20,020 --> 00:34:27,500
sequence Xn، M fixed natural number، فالـ M tail اللي

348
00:34:27,500 --> 00:34:32,350
هو الـ sequence هذه، converges if and only if

349
00:34:32,350 --> 00:34:39,210
الـ sequence نفسها converges، وهي البرهان هذا الـ part

350
00:34:39,210 --> 00:34:43,750
f، افرض

351
00:34:43,750 --> 00:34:48,290
أن xn convergent، نثبت أن الـ m tail convergent

352
00:34:48,290 --> 00:34:54,540
ماشي الحال؟ طيب إذا كانت xn convergent للـ x، يعني الـ

353
00:34:54,540 --> 00:34:57,620
limit تبعها، إذا كانت convergent فلازم يكون لها

354
00:34:57,620 --> 00:35:02,020
limit، فأفرض أن الـ limit تبعها x، الآن حسب epsilon

355
00:35:02,020 --> 00:35:06,080
capital N definition للـ limit أو للـ convergence

356
00:35:06,080 --> 00:35:11,140
إذا لأي epsilon أكبر من 0، نقدر نلاقي N يعتمد على

357
00:35:11,140 --> 00:35:15,860
epsilon، عدد طبيعي كبير وممكن ناخده يكون أكبر من

358
00:35:15,860 --> 00:35:22,040
العدد الثابت، العدد الطبيعي الثابت M بحيث أنه لكل N

359
00:35:22,040 --> 00:35:25,900
أكبر من أو يساوي capital N، المسافة بين X و N اللي هو X

360
00:35:25,900 --> 00:35:31,410
أصغر من epsilon، هذا من تعريف الـ epsilon capital N

361
00:35:31,410 --> 00:35:37,590
definition للـ convergence، طيب اللي أنا بقدر أعرف

362
00:35:37,590 --> 00:35:43,930
capital N prime على أنه capital N مطروح منها

363
00:35:43,930 --> 00:35:50,060
capital M، طبعا هنا capital N احنا اختارناها أكبر من

364
00:35:50,060 --> 00:35:54,220
M، فالفرق هذا موجب وهذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي

365
00:35:54,220 --> 00:35:59,500
إذا الفرق عدد صحيح موجب يعني عدد طبيعي، هذا عدد

366
00:35:59,500 --> 00:36:03,220
ثابت وهذا يعتمد على epsilon، إذا N prime الفرق

367
00:36:03,220 --> 00:36:09,000
بينهم يعتمد على epsilon، تمام؟ إذا هنا عرفنا N' عدد

368
00:36:09,000 --> 00:36:14,320
طبيعي ويعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي M عدد

369
00:36:14,320 --> 00:36:16,960
طبيعي أكبر من أو يساوي N'

370
00:36:20,020 --> 00:36:25,520
فنجمع capital M للطرفين فبطلع capital M زائد small

371
00:36:25,520 --> 00:36:29,980
m أكبر من أو يساوي N prime زائد capital M، طب N prime

372
00:36:29,980 --> 00:36:34,540
زائد capital M بيساوي N epsilon وبالتالي هذا أكبر من

373
00:36:34,540 --> 00:36:40,860
أو يساوي N ل epsilon، إذا حسب الـ implication 1، الـ

374
00:36:40,860 --> 00:36:45,260
implication 1 بتقول لي لأي عدد طبيعي.. لأي عدد

375
00:36:45,260 --> 00:36:50,560
طبيعي أكبر من أو يساوي capital N لازم يطلع الـ

376
00:36:50,560 --> 00:36:56,900
absolute value لـ X sub العدد الطبيعي اللي هو M زائد

377
00:36:56,900 --> 00:36:59,320
M ناقص X أصغر من epsilon

378
00:37:03,110 --> 00:37:08,470
وهذا بيدّي أن الـ tail.. الـ tail of the sequence

379
00:37:08,470 --> 00:37:13,110
converge للـ X حسب التعريف، ما معناه أن الـ tail هذا

380
00:37:13,110 --> 00:37:18,470
convergent؟ معناه أن لأي epsilon أكبر من الصفر..

381
00:37:18,470 --> 00:37:25,050
لأي epsilon أكبر من الصفر هيوجد N prime.. هيوجد N

382
00:37:25,050 --> 00:37:29,130
prime عدد طبيعي يعتمد على epsilon

383
00:37:31,850 --> 00:37:38,290
يوجد عدد طبيعي N' يعتمد على إبسلون، بحيث لكل M أكبر

384
00:37:38,290 --> 00:37:44,350
من أو يساوي N'، طلع المسافة بين الحد رقم capital M

385
00:37:44,350 --> 00:37:47,690
زائد small m ناقص X أصغر من إبسلون، هذا بالضبط

386
00:37:47,690 --> 00:37:53,310
معناه إن الـ sequence هذه converge لـ X as M tends

387
00:37:53,310 --> 00:37:59,580
to infinity، إذاً هيك بنكون أثبتنا إنه لو كانت الـ

388
00:37:59,580 --> 00:38:03,240
sequence xn converge للـ x، فالتالت تبعها converge

389
00:38:03,240 --> 00:38:10,720
للـ x، okay، تمام، العكس، العكس يعني ضايق، ممكن يعني

390
00:38:10,720 --> 00:38:20,220
نبرهن العكس في دقيقة أو دقيقتين، العكس

391
00:38:20,220 --> 00:38:26,390
يعني هذا العكس اللي هو الـ only if part، نفرض المرة

392
00:38:26,390 --> 00:38:30,450
هذه أن الـ sequence الـ tail of a sequence الـ

393
00:38:30,450 --> 00:38:34,770
tail of the sequence converged للـ X وبينما نثبت أن

394
00:38:34,770 --> 00:38:40,170
الـ sequence نفسها convergent للـ X برضه، فنستخدم

395
00:38:40,170 --> 00:38:42,930
تعريف epsilon capital N definition للـ convergence

396
00:38:42,930 --> 00:38:48,710
اللي هو الجزء C من نظرية 2 2، فناخد given epsilon

397
00:38:48,710 --> 00:38:53,080
أو let epsilon أكبر من الصفر، بـ given، بما أن الـ

398
00:38:53,080 --> 00:38:56,560
sequence هذه converge للـ X، إذا يوجد capital N يعتمد

399
00:38:56,560 --> 00:39:00,740
على إبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي capital N

400
00:39:00,740 --> 00:39:04,560
المسافة بين الحد العام للـ sequence هذه و X أصغر

401
00:39:04,560 --> 00:39:12,790
من إبسلون، الآن بنعرف capital K على أنه العدد

402
00:39:12,790 --> 00:39:18,250
الطبيعي الثابت M زائد العدد الطبيعي capital N، فطبعا

403
00:39:18,250 --> 00:39:22,490
مجموعة الأعداد الطبيعيين، عدد طبيعي capital N يعتمد على

404
00:39:22,490 --> 00:39:26,670
epsilon، إذا المجموعة تبعهم بيطلع يعتمد على epsilon

405
00:39:26,670 --> 00:39:32,330
إذا هنا أنا وجدت أو جدت أو عرفت عدد طبيعي capital

406
00:39:32,330 --> 00:39:37,610
K يعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي N أكبر من أو

407
00:39:37,610 --> 00:39:43,170
يساوي الـ capital K فاترحي.. اترحي N من هنا و اترحي

408
00:39:43,170 --> 00:39:50,350
N من هنا، M عفوا، M، لو طرحنا M من الطرفين المتباينة

409
00:39:50,350 --> 00:39:55,330
هذه فبطلع N ناقص capital M أكبر من أو يساوي K

410
00:39:55,330 --> 00:40:01,170
ناقص M، طب هاي K اطرحي منها M بيساوي N وبالتالي

411
00:40:01,170 --> 00:40:05,950
بطلع N ناقص M أكبر من أو يساوي N، الآن من الـ

412
00:40:05,950 --> 00:40:11,550
implication 2، الـ implication 2 بتقول لأي N

413
00:40:11,550 --> 00:40:15,650
أكبر من أو يساوي capital، أي عدد طبيعيلو كان العدد

414
00:40:15,650 --> 00:40:20,950
الطبيعي هذا أكبر من أو يساوي capital N، فالمسافة بين

415
00:40:20,950 --> 00:40:27,390
X للعدد الطبيعي، وأضيف عليه M، إذا بدي أضيف على هذا

416
00:40:27,390 --> 00:40:32,230
M، المسافة بين X اللي المؤشر تبعها العدد الطبيعي

417
00:40:32,230 --> 00:40:37,770
هذا زائد M اللي هو بيطلع N والمسافة بينه وبين X

418
00:40:37,770 --> 00:40:42,770
بيطلع أصغر من Epsilon، إذاً هيك احنا أثبتنا أنه لأي

419
00:40:42,770 --> 00:40:46,970
إبسلون أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على

420
00:40:46,970 --> 00:40:53,790
إبسلون بحيث أنه أو يوجد capital K لأي إبسلون أكبر 

421
00:40:53,790 --> 00:40:57,570
من الصفر يوجد عدد طبيعي K يعتمد على إبسلون

422
00:40:57,570 --> 00:41:06,250
بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي K لكل n

423
00:41:06,250 --> 00:41:10,590
أكبر من أو يساوي K تطلع المسافة بين xn و x

424
00:41:10,590 --> 00:41:15,370
أصغر من إبسلون إذن هذا بالضبط معناه أن ال sequence

425
00:41:15,370 --> 00:41:22,590
xn converge لـ x زي ما هو مطلوب وهذا يكمل برهان

426
00:41:22,590 --> 00:41:26,410
النظرية okay تمام واضح

427
00:41:31,150 --> 00:41:37,130
طيب احنا بنكتفي بهذا القدر وإن شاء الله في

428
00:41:37,130 --> 00:41:42,010
المحاضرة القادمة هناخد برضه بعض النظريات وناخد 

429
00:41:42,010 --> 00:41:46,350
أمثلة كيف نثبت أن ال limit لـ sequence لـ

430
00:41:46,350 --> 00:41:51,090
convergence sequence بالساوي عدد معين وهكذا طبعا

431
00:41:51,090 --> 00:41:54,130
كل الأجزاء هذه موجودة عندكم ممكن تقرؤوها وتحضروها

432
00:41:54,130 --> 00:41:56,010
للمحاضرة الجاية