الله الرحمن الرحيم نعود إلى نفس الـ section اللي
بيننا اللي بيننا نقول linear dependence and linear
independence فكرة اعتدت عليها في المرة اللي قبل
وقبل حاجة المقابلة الماضية اعتدناها الماضية مفادها إن
لو عندي مجموعة من الـ vectors بقول عنهم linearly
dependent إذا قدرت أكد واحد أو as a linear
combination من الآخرين إذا جيت لأي vector من
هذا الـ vector من المعادلات و قدرت أكده as a linear
combination من الآخرين بقول هدول المجموعة are
linearly dependent تمام و أعطيني على ذلك مثالًا واحدًا
من المرة الماضية أخدنا two vectors و قدرت أثبت أن
واحدة فيهم مضاعفات الثانية و بالتالي الاتنين هذول
صاروا linearly dependent ننتقل الآن إلى المثال رقم
اثنين أعطيني أربعة vectors زي ما أنتم شايفين في
R3 و بيقول لي حدد هل الـ vectors هذول are linearly
dependent ولا linearly independent بقول له كويس
يبقى أنا عندي أربعة vectors إذا جدرت أكتب أي واحد
فيهم بدلالة الآخرين يبقى على طول الخط بيصير هذا المجموعة
linearly dependent تبقى لنص النظرية طبعًا عندي
أربعة أفك مين فيهم هو ناجي جدًا كثير ما عندناهاش مشكلة
يبقى لو راحت ... لو راحت آخذ أي واحد فيهم على سبيل
المثال و كنت أشوف هل بقدر أكتب الـ vector
من الآخرين أم لا فمثلًا ماشي رأيك ما أنا آخذ آخذ
فيه أربعة مثلًا و نشوف هل بقدر أكتب الـ vector
من الأول الي التلاتة أو الأول هالبعد
راكب ليليا قوم بانيشي من التلاتة اللي بعده، اللي
بتكوينها، ما لهاش مشكلة، أي واحد منهم يبقى دي واحد،
ماشي؟ فمثلًا، لو جيت، قول، بدي آخذ الـ 4، بدي
أكتبها بدلالة 3 و 2 و 1 و أيليا قوم بانيشي من
الآخرين، بيتبقى المفروض، لذلك، بدي أفترض إنه بدي
راكب ليليا قوم بانيشي، دلوقتي مش أفترض أصرّح والله
يرحب سابق رضّى صح بصبن عليه وانت غلط تجيب كلامنا
وكتبنا غلط وانت تجيب كلامنا وكتبنا غلط وانت تجيب
كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا
غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت
تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب
كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا
غلط وانت تجيب كلامنا غلط وانت تجيب
كلامنا غلط وانت تجيب كلامنا غلط و
يجب أن نعرف عليه تقريبا أنت K V1 زي B V2 زي C V3
V7 اللي هو مين؟ فجهة من V1 في A يبقى A و 2A و
ناقص A زي كم جهته من V؟ B و ناقص 2B و V زائد تلاتة
دولة بقوة C ناقص تلاتة C اتنين C وناقص C كله بدل
شامي بدل شامي بيه اربعة هي أربعة ليه هو اتنين و
اتنين و اتنين طيب هدول لو انجمعتهم يدفعوا سيناولنا
A زائد B ناقص ثلاثة C كمكونة اللغة كمكونة الثانية 2A
ناقص اتنين B زائد اتنين C كمكونة الثالثة ناقص A ناقص
A زائد B ناقص A زائد B ناقص C كل هذا الكلام بتساوي
اتنين و زي وزينعمل من هذه المعادلة linear system
الـ linear system تبتعد A زائد B ناقص ثلاثة C يساوي
اتنين المعادلة الثانية 2A ناقص 2B زي
2C يساوي Zero المعادلة الثالثة ناقص A زائد B
ناقص C يساوي Zero يبقى هذا system و الـ system هذا
معناه non-homogeneous ما هو homogeneous يبقى
بناءً عليه تردد أعيد صياغة المعادلات هذه بالصياغة
التالية اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت
تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت
تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تالتة اتربت تو
هنا a-b زائد z يساوي zero هنا a-a زائد b زائد z
يساوي zero قضيت بقدر اجبح؟ اه لو جمالك مش اللي
فيحصل ادول مع السنة اه فالسطرين مضلش عندنا اللي
بينا بنات الا a زائد b معقص ثلاثة C يساوي اتنين إذا
هذه معادلة كانت مجهولة في ثلاثة مجاهيل لا يمكن
نتركها في المعادلة هذه إلا إذا حصلت لنا قيمتين من
المجاهيل اللي عندنا وجبنا قيمة المجاهيل الثالث في
دلالة هتين التيبتين فبعدين أقول لغاية لو كان الـ A
مثلًا بدي أساوي K1 و ... و ... و الـ C بدي أساوي K2
then بيصير عشان كده K1 زائد B ناقص ثلاثة K2 بدي أساوي
مان؟ بدي أساوي 2 ومنها الـ B اللي بديها اللي هي K2
زائد تلاتة K2 ناقص K1 يبقى بدأنا عليك تجد قيم الـ A
والـ B والـ C مش كلهم صفر ومتاليه دول linearly يبقى
بدأت على الـ A والـ B and C are not zero ما دام not
zero إذا الـ vectors هؤلاء ما هم linearly
dependent يبقى هنا saw the vector اللي هو v4 is a
linear combination of
v1 و v2
بالنظرية السابقة V1
و V2 و V3 و V4
linearly dependent و انتهينا من هذا المثال مثال
ثلاثة أعطي مثال ثلاثة
قبل أن نبدأ هل تستطيع أن تسأل أي سؤال هنا؟ هل
تستطيع أن تسأل أي سؤال في الكلام اللي قدامنا هذا؟
واضح يعني؟ طب المثال الثالث بقول افترض أن P1 as a
function of F1 as a function of X بده يساوي واحد
صحيح والـ F2 as a function of X بده يساوي الـ X والـ
F3 as a function of X بده يساوي تلاتة ناقص X وكل
هذا موجود في capital P1 of X where حيث الـ P1 as a
function of X هذه is the set of all polynomials is
the set of all polynomials يبقى مجموعة كثيرات
الحدود of degree less than or equal to one less
than or equal to one السؤال هو is
السؤال هو is F1 و F2 و F3 are linearly dependent
or linearly independent هذا هو السؤال solution
يبقى يعطيني three functions موجودة في المجموعة أو
في الـ vector space P1 of X مين P1 of X يبقى هو كل
الـ polynomials of degree less than or equal to one
يعني مين يعني كل الـ functions اللي من الدرجة
الأولى ما يزيدش عن الدرجة الأولى درجة الأولى درجة
الصفرية ماشية كل اللي منها تحتها يعتبر function يبقى
كل real number اللي خلقهم ربنا بقدر أعتبر كل واحدة
فيهم functions أجمع فيهم functions أحط x معاهم
function أضرب x في نص في تلاتة أربعة في اتنين في
خمسين في عشرين في ناقص 2 إذا إيه اللي آخره يبقى
هذه كلها functions مختلفة موجودة وين في الـ P1 of X
من هدول أخدت تلاتة التلاتة من اللي الـ F1 يساوي واحد
صحية
هل التلاتة اللي موجودة في P1 are linearly dependent
ولا linearly independent بقول له بسيطة إذا جدرت تكتب
واحد منهم بدلالة الآخرين يبقى على طول الخط بيكونوا
التلاتة linearly dependent بنص النظرية اللي
درسناها في المرة الماضية و اللي أعطينا عليها هي
المثال رقم اثنين بعدين بقول كويس يبقى أنا بدي أجي
لأي vector فيهم أشوف بقدر أكتبه بدلالة الآخرين أم
لا إذا كدرت كأنها بيها ما قدرناش بقول كفى الله
المؤمنين القتال يبقى ليس ولين يرضي من ذلك فبجي
بقول ما تيجي لو روحنا أخدنا الـ F تلاتة of X يا بنات
يبقى الـ F تلاتة of X هي مين؟ تلاتة ناقص X الآن هل
التلاتة ناقص X بقدر أكتبهم بدلالة الـ two functions
هدول أم لا؟ بنقول الله أعلم تعالى نشوف يبقى هذه
بقدر أكتبها تلاتة في مين يا بنات؟ تلاتة في واحد
تمام اللي بعد هذه بقدر أكتب زائد ناقص واحد في الـ X
مظبوط؟ سوينا شيء يبقى هذا الكلام بده يساوي هاي
التلاتة اللي عندنا الواحد عبارة عن مين عن الـ F1
يبقى F1 of X زائد ناقص واحد الـ X هي عبارة عن مين
عن F2 of X يبقى قدرت أكتب الـ F3 as a linear
combination من F1 و F2 يبقى هنا الـ F3 of X as a
linear combination of
the two vectors
اللي هو الـ F1 of X و F2 of X by the previous
Theorem بالنظرية السابقة الـ F1 of X و الـ F2 of X
و الـ F3 of X are linearly dependent و انتهينا من
المثل
نعطي كمان مثال مثال
أربعة بيقول لـ let الـ F1 of X بيساوي واحد زائد X
و الـ F2 of X يساوي واحد ناقص X تربيع و الـ F تلاتة of
X يساوي الـ X تربيع كل هذا موجود في الـ P2 of X where
حيث الـ P2 of X is the
set of all polynomials
السؤال هو is the Vectors هل الـ vectors F1 و F2 و F3
are linearly dependent or linearly independent هذا
هو السؤال
نرجع لسؤالنا مرة ثانية بيعطيني تلاتة vectors أو
تلاتة functions f1 of x يساوي واحد زائد x f2 of x
يساوي واحد ناقص x تربيع f3 of x يساوي x تربيع كلهم
موجودات في الـ P2 of x من الـ P2 of X يبقى كل الـ
polynomials من الدرجة الثانية أو أقل من الدرجة
الثانية يعني من الدرجة الأولى ماشي من الدرجة
الصفرية ماشي لكن ما يزيد عن الدرجة يعني بديش أشوف X
تكعيب فما فوق نهائي في أي vector من هذه الـ vector
كله X تربيع ويرجع ممكن X تربيع ممكن X من الدرجة
الأولى وممكن ثابت يبقى function بيعطيني هنا تلاتة
vectors F1 و F2 و F3 و بيسأل هل التلاتة دول
linearly dependent ولا linearly independent بقول
والله كويس إذا جدرنا نكتب واحد بدلالة الآخرين
الاتنين معناته دول linearly dependent ما قدرنا يبقى
linearly independent تعالوا نشوف يبقى نفس الفكرة
تبع المثال السابق قبل قليل إذا بدي أفترض أني بقدر
أكتب واحد فيهم بدلالة من؟ بدلالة الآخرين يبقى هنا
حاجة أقولها هنا assume
مثلًا f3 of x يبدو يساوي x تربيع is a linear
combination
of
f1 of x and f2 of x That is أي أن مثلًا A في الـ F1
of X زائد B في الـ F2 of X بده يساوي الـ F في 3 of X
مش هيك؟ هذا معنى أن F3 هي linear combination من
من؟ من اتنين الآخرين معنى هذا الكلام أن الـ A في الـ
F1 الى يجداش يا بنات واحد زائد X زائد الـ B الـ F2
واحد ناقص X تربيع بديه يساوي الـ F تلاتة الهمين X
تربيعبدا فك هذه المعادلة بـ A زائد AX زائد B ناقص
BX تربيع كله بده يساوي من X تربيع الآن بدي أعمل
مقارنة بين المعادلات
of الـ F1 و الـ F2 هذا بده يعطينا أن الـ F1 و F2
and الـ F3 are linearly independent
طيب أنا حليت السؤال على مين؟ على النظرية صح ولا
لا؟ لو أحد أجيها السؤال في الامتحانة ونسيت النظرية
وراحت قالت أنا بدي أفترض عندي ثوابت A وB وC A في
F1 زائد B في F2 زائد C في F3 وساوي Zero وطلعت أن
الـ A تساوي الـ B تساوي الـ C تساوي الـ Zero يبقى هيك
معناه أنه تلاتة linearly independent يبقى هذا good
exercise إليك إنك تتأكدي أنه التلاتة هذول linearly
independent بطريقتنا مين القديم هو كتب عندك حل هذا
السؤال عن طريق c1v1
زائد C2V2 يعني C1F1 زائد C2F2 زائد C3F3 يساوي Zero
ومن ثم أثبتين أن C1 يساوي C2 يساوي C3 يساوي Zero
يبقى هذا good exercise لك والجواب هيو عندك لأن
هدول ما لهم لأن يعملوا الـ independent يعني لازم الـ c
التلاتة يطلع عندك بأصفار تمام تمام
النظرية بتقول ما يأتي في RM بتقول
الـ V1 و الـ V2 و لغاية الـ VN موجودة في الـ RM النقطة
الأولى F الـ N أكبر من الـ M then the elements V1 و
V2 و لغاية الـ VN are linearly dependent نقطة ثانية
لو حدث أن الـ N ساوة الـ M يبقى then the elements
V1 و V2 و VN هذول are linearly dependent if and
only if الـ determinant لمين؟ للـ V1 و الـ V2 و لغاية الـ
VN كل هذا الكلام كان يساوي Zero كمان ملاحظة أخرى if
الـ determinant لمن؟ للـ V1 و الـ V2 و لغاية الـ VN لا
يساوي zero then
الـ V1 و الـ V2 و VN are linearly independent كمان نظرية
بتقول
let each element of
v1 وv2 وvn of
a vector a space capital V ب a linear combination
linear
combination of the vectors of the
vectors U1 و U2 و لغاية U M لغاية U M of الـ vector
space V itself لو كانت الـ M أقل من الـ N then اللي
هو V 1 و V 2 و V N are Linearly Dependent
نرجع للنظرية الأولى نقرأ نظرية كويس وندقق في كل
كلمة مكتوبة حتى نستطيع أن نفهمها وربما نطرح بعض
التساؤلات بدنا الإجابة عليها النظرية بتقول ياخدلك
مجموعة من الـ vector من V1 لغاية VN يبقى عددهم جداش
N من الـ vectors موجودات في من؟ في RM مين هي RM؟ the
set of all M tuples يعني كل عنصر مكون من M من
المركبات يبقى أن M ممكن يتساوى وممكن ما يتساووش
صحيح ولا لأ؟ اه لأن قلت هذول أن هذول M طيب بقول
النقطة الأولى إذا كان الـ N أكبر من M يعني عدد الـ
vectors اللي أخدتهم أنا أكبر من عدد المركبات في الـ
compound أكثر من عدد المركبات في العنصر الواحد
يعني أنا أخدت مثلا زي المثال اللي قبل الأخير هذا
أخدت أربع vectors موجودات في R3 مظبوط يبقى أربعة كل
vector من تلت مركبات موجودة في R3
بقول إن حدث ذلك يبقى العناصر هذه linearly
dependent يبقى المثال قبل الأخير مثال يا بنات اللي
أخدناها في R3 أثبت أن V1 و V2 و V3 و V4 هم
linearly dependent لأن أخدت واحد منهم لقيته linear
combination من الأخرين إذا كان بإمكاني أحل هذا
السؤال كذلك بمين؟ بالنظرية هذه صحيح ولا لأ وكان
بإمكانه يحل نفس السؤال بأول مبادئ التعريف تبع
linearly dependent و linearly independent يبقى
السعر عندي بدل الطريقة تلاتة لحل السؤال بس للأسف
الشديد هذا الكلام مش في أي vector space بس في RM
يعني المكون من M تيوب المركبات تلاتة أربعة خمسة
زي ما بدك مش أي vector هيجيك في R M يبقى احنا
بنشتغل داخل الـ vector space R M فقط طيب خليني اسأل
السؤال التالي حد بتقدر تقول ليه لو كانت الـ N أكبر
من الـ M يبقى هذول linearly dependent مباشرة
خليني أطرح السؤال بطريقة ثانية
خدي أمي بتلاتة يبقى كل عنصر في RM مكون من كده؟ من
three components تمام؟ بدي أخد أربعة vectors يبقى
صار عندي C1 وC2 وC3 وC4 لما أجي أعمل هذول linear
combination لهم بصير عندي عدد المعادلات جد عدد
المجاهيل والله أكبر والله أقل مين
اللي أكبر؟ عدد المجاهيل أكبر من عدد المعادلات مش
عدد المعادلات أكبر أنا عندي C1 وC2 وC3 وC4 لكن
ماعنديش إلا تلات معادلات إذا لا يمكن حل هذا ال
system إلا إذا فرضت قيمة من عندي وبالتالي هذول
بيصيروا إيش
بس هنا عندي عدد المجاهل أكبر من عدد المعادلات
وبالتالي لا يمكن حل هذه المعادلات إلا إذا حطيت قيم
من عندي لمجهول أو لمجهولين أو لثلاثة حسب طبيعة من
حسب طبيعة المسألة وبالتالي ماهي أصفار حطيت قيم
من عندي وليس بضرورة أصفار وبالتالي صار عندي عدد
لانهائي من الحلول للـ homogeneous system ألا اندي
لأن الـ homogeneous system على الأقل له حل هو مين هو الحل
الصفري إذا هذول linearly dependent يبقى عارف ما هو
السر طيب افترض أن عدد المعادلات يساوي عدد
المعادلات يعني الـ N ساوة الـ M أنا عندي R3 أخد ثلاثة
vectors، عندي R4 أخد أربعة vectors، R5 أخد خمسة
vectors، تمام؟ يبقى لو الـ N سوى الـ M، يبقى هذول
بيكونوا linearly dependent، if and only في
الاتجاهين صحيحان، إذا كان الـ determinant لهذه الـ
vector يساوي 0، كيف؟ يعني يعني بدي اجي الـ V1 وبدي
احطه كعمود هو موجود في RM يبقى الأفقي يبقى أقدر
اكتبه عمود واخذنا هذا في الـ chapter الماضي يبقى
بدي اكتب هذا العمود الأول العمود الثاني الثاني
واخد المحدد لهذه المصممة لازم المحدد يساوي قدر إذا
المحدد ساوى Zero يبقى هذول Linearly Dependent
والعكس لو كانوا Linearly Dependent إيه جباري
المحدد هذا بده يساوي جداش Zero طب إيش رأيك تعالي
ننفي عبارة هذه ننفي عبارة يبقى لو كان هذا لا يساوي
Zero فهدول إيش بدهم يكونوا؟ linearly independent
يبقى الملاحظة بتقول لو كانت دي determinant ما قالتش
if and واللي في فهد لبالك اه ما قالتش يبقى نفينا
اتجاه فقط فباجي بقول لو كان هذا لا يساوي zero يبقى
هذول linearly independent وبالتالي كأنه قال اتفضل
هي طريقة أخرى للحكم على الـ vectors هل هم linearly
dependent والله linearly independent إذا باجي على
الـ vectors اللي عندنا و بعملهم كمصفوفة باخد لها
المحدد طالع المحدد يساوي zero بجهته linearly
dependent طالع المحدد لا يساوي zero بجهته linearly
independent واضح هذه طبعا هعطيكي كذا مثال عليها
الآن الآن بنجي للنظرية الثانية بقول لو كان كل عنصر
في المجموعة هذول اللي موجودة في الـ vector space B
كتبت كـ linear combination من vectors أخرى في V
هذول عددهم N و هذول عددهم M يبقى الـ V هات غير الـ U
هات غيرهم في الشكل وغيرهم في العدد كمان مش جات
بعض إيش بيقولي لو كانت الـ M أقل من N يعني عدد الـ
vectors هذول أكبر من عدد الـ vectors هذول تمام؟ إن
حدث ذلك يبقى على طول الخط هذول الأولانيات بيكونوا
linearly dependent والله هي فرضية فكرة كويسة وحنعطيك
الأمثلة عليها الآن كمان تبقى وحنبدأ نعطي أمثلة على
النظريتين الأولى كنا بنتحدث يا بنات بس على مين على
RM هنا مين مكان الـ vector يكون ما حطيتش قيود عليه
الـ vector space طلعي هنا قلت هذول وين؟ في RM هذول
قلت وين في الـ vector space في mean مكان يكون ليس
بالضرورة RM و اين ما ممكن يكون any another vector
space أي vector space آخر نبدأ ناخد بعض الأمثلة
على الكلام اللي احنا بنقول يبقى نبدأ لـ example one
Determine whether the
following vectors
are
linearly dependent or linearly independent نمر إيه؟
هذا السؤال الأول من الكتاب رقم C مواطيني V1 يساوي
2 و 1 و V2 يساوي 3 و 0 و V3 يساوي 1 و 4
يبقى السؤال قال حدد لي الـ vectors التالية هل
linearly dependent ولا linearly independent بسيطة
جدا أنا بيعطيني تلاتة vectors طب التلاتة vectors
وين موجودة تدريبا تار تو تمام يبقى solution الـ
V1 و الـ V2 و الـ V3 اللي ميعطينيهم موجودات في R2 ليش
أن كل واحد منهم عبارة عن two components طيب عدد الـ
vector اللي أخدتهم كده؟ تلاتة وعندنا هنا كده؟ يبقى
هذا بده يعطيني أن N تساوي تلاتة and M تساوي قداش
اتنين يبقى هنا since بما أن الـ N تساوي تلاتة أكبر
من الـ M اللي بيساوي اتنين فباشي بقوله by the
first theorem من
النظرية الأولى اللي هو الـ V واحد و الـ V اتنين and الـ
V3 are linearly dependent وانتهينا من المثال طيب
أنت في الامتحان وجاكي سؤال زي هذا وما جاكيش في بالك
هالنظرية كيفك تسويها بقول constant في الأول
constant في الثاني constant في الثالث يساوي zero
وبروح أجيب الـ c1 و الـ c2 و الـ c3 انطلعوا بأسفار و
لن يطلعوا بأسفار بقول linearly independent ليش لن
يطلع عليهم هيهم linearly dependent هم يعني مرة
بيصيروا linearly independent ومرة linearly
independent ما فيش independent ما فيش إمكانية يا يا
linearly independent يا linearly independent ما فيش
فائدة طيب إذا بناءً عليه هيطلع عندك أن C1 وC2 وC3
not all zero يعني هذا check لو بدك تتأكد أن كلامنا
هذا صح ولا غلط حابب good exercises لك حابب ما تكيش
بلاش ما فيش إجبار يعني في هذه الحالة يبقى مش هيتأكد
هذول nearly dependent نيجي نمر بيه من السؤال نمرّي
من السؤال اللي هو السؤال الأول رقم G السؤال الأول
رقم G بيقول V واحد يساوي 2 وسالب 1 1 و V2
بده يساوي 2 -3 -2 و V3 بده يساوي 2 3 7 و هذول كلهم
موجودة هنا في R3 بده أشوف هل هذول are linearly
dependent ولا linearly independent كم vector
هذول؟ الموجودات مين؟ يبقى N تساوي M مظبوط يبقى هنا
بقوله solution يبقى هنا الـ N تساوي الـ M تساوي
التلاتة برجع للنظرية بيقول إذا عندك N تساوي M عشان
تحكم linearly dependent بدك تروح تاخد مين؟ الـ
Determinant تبع الـ V1 و الـ V2 و الـ V3 يبقى بناءً
عليه بدي اجي أخد الـ Determinant لمين؟ للـ V1 و الـ
V2 و الـ V3 واللي هو بده يساوي المحدد باجي لـ V1 يا
power M بقول كويس يبقى أنا عند ال N يساوي main يساوي
ال M قال لي لما ال N يساوي N بدك تتكلم عن المحدد
إذا المحدد يساوي Zero يبقى هدول Linearly Dependent
وإذا المحدد لا يساوي Zero يبقى هدول Linearly
Independent
يبقى بداجي هنا شوف هل هدول linearly dependent و
لا linearly independent يبقى بناء عليه بقوله
solution احنا عندنا بلقت هنا ان ال N تساوي ال M
تساوي 3 إذا بناء عليه بدي اروح اخد ال determinant
لل V1 و V2 و V3 اللي هو المحدد V1 هو تلاتة واحد
واحد V2 هو اتنين اتنين ناقص واحد خمسة V3 هو اربع
صفر سالب تلاتة يبقى هذا المحدد يابروح أفكه باستخدام
عناصر الصف الثاني أو العمود الثالث سياب يبقى لو
جيت أفكه باستخدام عناصر العمود الثالث مثلا يبقى هذا
الكلام بده يساوي أربعة في أشط بصفه عموده بيصير
خمسة زائد واحد خمسة زائد واحد نيجي لبعده ناقص Zero
في محدد Zero مع السلامة اللي بعده ناقص تلاتة كما
هو لإن الشرط في الأصل موجب أشط بصفه عموده بيصير
سالب تلاتة سالب اتنين سالب تلاتة سالب اتنين 5 1 6 4
24 5 5 3 15 39
39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39
39 39 39 39 39 39 39
39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39
9 9 9 9 9 9 9 9 يبقى هنا صح V1 و V2 و V3 are
linearly independent و ليسوا linearly dependent
هذا طبعا هو المثال الأول بدنا نروح الآن للمثال
الثاني المثال الثاني الحقيقي بياخد وقت فأقرا أنه
أجيله للمحاضرة تبعت بعد الظهر إن شاء الله تعالى