1
00:00:00,000 --> 00:00:02,700
موسيقى

2
00:00:10,210 --> 00:00:15,010
بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما ابتدأنا به في

3
00:00:15,010 --> 00:00:20,570
المرة الماضية وهو الاختبار الثاني بالاختبارات من 

4
00:00:20,570 --> 00:00:25,910
خلال أبلغكم على series هل هي converge أو diverge

5
00:00:25,910 --> 00:00:31,610
طبعا أخذنا المرة الماضية ال integral test ونصه كان 

6
00:00:31,610 --> 00:00:36,750
عندنا ال series with positive terms بدي أشيل كل n 

7
00:00:36,750 --> 00:00:42,370
في الحد النوني في ال series وأحط بدل المتغير X يبقى

8
00:00:42,370 --> 00:00:48,750
صارت عندنا function F of X هذه ال functions لو كانت

9
00:00:48,750 --> 00:00:54,630
positive و continuous و decreasing يبقى تحققت

10
00:00:54,630 --> 00:01:00,150
الشروط الثلاثة لكل N اللي أكبر من أو يساوي ال N حيث N 

11
00:01:00,150 --> 00:01:06,880
أي رقم صحيح تتحقق من عنده الشروط الثلاثة يبدأ

12
00:01:06,880 --> 00:01:11,700
إذا تحققت الشروط الثلاثة بقدر استخدام ال test

13
00:01:11,700 --> 00:01:15,600
integral ال test integral هو التكامل اللي بستخدمه 

14
00:01:15,600 --> 00:01:20,060
هو improper integral فإن كان ال improper integral

15
00:01:20,060 --> 00:01:23,360
converge يبقى ال series converge وإن كان ال

16
00:01:23,360 --> 00:01:27,120
improper integral diverge فإن ال series diverge

17
00:01:27,120 --> 00:01:32,140
وأخذنا على ذلك ثلاثة أمثلة واليوم بنكمل هذه

18
00:01:32,140 --> 00:01:37,890
الأمثلة يبقى جئنا للمثال رقم أربعة يبقى بدي أشيل كل

19
00:01:37,890 --> 00:01:42,930
N وأحط مكانها X وأسمي ال function اللي عندنا ليه 

20
00:01:42,930 --> 00:01:53,910
من F of X يبقى ال F of X يساوي واحد على X في ln ال

21
00:01:53,910 --> 00:01:56,850
X الكل تربيع

22
00:01:59,850 --> 00:02:05,330
وأقارنها من عندي اثنين فما فوق، هل يتدل اللي عندنا 

23
00:02:05,330 --> 00:02:10,190
هذه positive و continuous و decreasing من عند

24
00:02:10,190 --> 00:02:16,650
اثنين فصاعدا أو لا؟ تعال نشوف لو كانت X بـ 0 بصير

25
00:02:16,650 --> 00:02:21,730
الدالة غير معرفة X برة لأنه لبادة من عنده اثنين لو 

26
00:02:21,730 --> 00:02:26,330
كانت X بواحد الدالة غير معرفة لبادة من عنده اثنين

27
00:02:26,330 --> 00:02:29,450
يبقى ما لي علاقة لا بـ 0 ولا بالواحد إلي علاقة من

28
00:02:29,450 --> 00:02:34,250
اثنين فصاعدا إذا من اثنين فصاعدا هذه قيم موجبة

29
00:02:34,250 --> 00:02:39,430
اثنين الدالة معرفة تمام يبقى هذه positive

30
00:02:42,910 --> 00:02:50,970
and continuous والمتصلة لكل ال X اللي أكبر من

31
00:02:50,970 --> 00:02:55,630
أو يساوي اثنين تمام؟ يبقى إيه؟ صارت positive

32
00:02:55,630 --> 00:02:59,450
continuous بقى يا عزيزي دوس ال decreasing قدامي

33
00:02:59,450 --> 00:03:05,070
طريقين طريق الأول أشتق وهذا بلجأ له إن كان البسط 

34
00:03:05,070 --> 00:03:09,670
والمقام متغير لكن إن كان البسط مقدار ثابت ولا بد

35
00:03:09,670 --> 00:03:15,850
أشتق ولا حاجة بعمل مقارنة ما بين الحد النوني اللي 

36
00:03:15,850 --> 00:03:21,670
هو واحد على n ln ال n الكل تربيع والحد النوني

37
00:03:21,670 --> 00:03:28,830
زائد واحد وهو واحد على n زائد واحد ln ال n زائد

38
00:03:28,830 --> 00:03:35,950
واحد الكل تربيع طبعا الأولاني هذا مقامه أقل مدام 

39
00:03:35,950 --> 00:03:41,140
مقامه أقل يبقى الكسر هذا ماله أكبر من الكسر هذا

40
00:03:41,140 --> 00:03:47,020
يعني الحد النوني صار أكبر من الحد النوني زائد واحد يبقى

41
00:03:47,020 --> 00:03:52,680
هذا ال series decreasing يبقى هذه الصارة الثانية ما 

42
00:03:52,680 --> 00:03:58,240
لها decreasing ما دام decreasing إذا ال function

43
00:03:58,240 --> 00:04:03,420
هذه decreasing إذا تحققت الشروط الثلاثة إذا بقدر

44
00:04:03,420 --> 00:04:11,380
استخدم ال integral من اثنين ل infinity لواحد على x 

45
00:04:11,380 --> 00:04:17,620
ln ال x الكل تربيع ضرب dx إذا بدل ما كنا بنشتغل

46
00:04:17,620 --> 00:04:22,680
series هنشتغل تكامل الآن هذا improper integral من 

47
00:04:22,680 --> 00:04:28,760
النوع الأول نظرا لوجود ال infinity إذا ال limit

48
00:04:28,760 --> 00:04:34,260
integration من اثنين لغاية B لما B tends to

49
00:04:34,260 --> 00:04:42,100
infinity لمين؟ طلع لي هابة هيك واحد على X DX مشتقة

50
00:04:42,100 --> 00:04:49,170
ln ال X يبقى هذا بقدر أكتب ال d ln ال X على ln ال

51
00:04:49,170 --> 00:04:56,150
X الكل تربيع وكأنه احنا بدنا نكامل dy على y تربيع

52
00:04:56,150 --> 00:05:02,190
يعني واحد على y تربيع dy طبعا يبقى سالب واحد على

53
00:05:02,190 --> 00:05:07,070
y يعني سالب واحد على ln ال X لما B tends to

54
00:05:07,070 --> 00:05:13,070
infinity اللي سالب واحد على ln ال X بالشكل لأن هذا

55
00:05:13,070 --> 00:05:20,720
والكلام هذا من اثنين لغاية B هذا بده يساوي هذا ال

56
00:05:20,720 --> 00:05:26,460
limit لما B tends to infinity و I السالب و بيجي 

57
00:05:26,460 --> 00:05:34,780
هنا واحد على ln ال B ناقص واحد على ln اثنين الآن

58
00:05:34,780 --> 00:05:38,920
لما B تروح للما لا نهاية ln ما لا نهاية بماء 

59
00:05:38,920 --> 00:05:44,780
ما لا نهاية عدد على ما لا نهاية بيزير و بيظهر سالب سالب

60
00:05:44,780 --> 00:05:51,280
بيصير موجب واحد على ln اثنين إذا يعطاني قيمة عددية

61
00:05:51,280 --> 00:05:57,500
مدام يعطاني قيمة عددية ستتكامل من اثنين لإنفينيتي

62
00:05:57,500 --> 00:06:04,640
لواحد على x ln x الكل تربيع dx converge ما دام

63
00:06:04,640 --> 00:06:12,960
هو هذا ال Convergent بقوله By the integral test

64
00:06:12,960 --> 00:06:21,160
باستخدام اختبار التكامل ال series الأصلية

65
00:06:21,160 --> 00:06:27,600
Convergent هنا من المثال هذا طيب

66
00:06:27,600 --> 00:06:36,430
السؤال الخامس سؤال الخامس بيقول لي summation من n

67
00:06:36,430 --> 00:06:43,630
equal one to infinity لمن؟ ل e أس n واحد زائد e

68
00:06:43,630 --> 00:06:49,450
أس اثنين n بنفس

69
00:06:49,450 --> 00:06:57,460
الطريقة، بدنا ناخد ال F of X بدي يساوي e os x على 1

70
00:06:57,460 --> 00:07:04,520
زائد e أوس 2x عمر البسط في والله المقام بياخد 

71
00:07:04,520 --> 00:07:09,100
قيمة موجبة يبقى دي positive على كل ال exponential

72
00:07:09,100 --> 00:07:14,520
عمره بياخد قيمة موجبة إذا هذه موجبة بقى تمام في 

73
00:07:14,520 --> 00:07:16,700
مقام ممكن ياخد zero

74
00:07:21,400 --> 00:07:28,180
معرفة for all x بلا استثناء يبقى اليسارات positive

75
00:07:28,180 --> 00:07:36,900
and continuous

76
00:07:36,900 --> 00:07:40,400
for

77
00:07:40,400 --> 00:07:47,180
all x which is greater than or equal to one ظلت قصة

78
00:07:47,180 --> 00:07:52,560
ال decreasing البسط متغير والمقام متغير ما لي

79
00:07:52,560 --> 00:08:02,060
إلا أشتق إذا لو روحنا أخذنا f prime of x المقام في

80
00:08:02,060 --> 00:08:10,340
مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة المقام كله على

81
00:08:10,340 --> 00:08:17,040
مربع المقام الأصلي كله تربيع طيب نقدر نختصر هذا

82
00:08:17,040 --> 00:08:22,680
المقدار ونشوف المقام كما هو واحد زائد e أس اثنين

83
00:08:22,680 --> 00:08:29,880
ال x الكل تربيع هذا e أس x زائد e أس ثلاثة x ناقص 

84
00:08:29,880 --> 00:08:37,960
اثنين e أس ثلاثة x يبقى e أس x ناقص e أس ثلاثة x

85
00:08:37,960 --> 00:08:45,200
واحد زائد e أس اثنين x الكل تربيع هندك e أوس ثلاثة x

86
00:08:45,200 --> 00:08:49,240
بالموجب ونقص اثنين e أوس ثلاثة x بيظل نقص e أوس

87
00:08:49,240 --> 00:08:56,020
ثلاثة x ممكن أكتب هذا بالشكل التالي واحد زائد e 

88
00:08:56,020 --> 00:09:01,740
أوس اثنين x الكل تربيع وهدي أخذ منها e أوس x عامل

89
00:09:01,740 --> 00:09:08,320
مشترك بيظل واحد ناقص e أوس اثنين x بالشكل اللي

90
00:09:08,320 --> 00:09:13,990
عندنا هذا طلع له هنا كويسة ال exponential هذه 

91
00:09:13,990 --> 00:09:20,970
موجبة، دائما وأبدا، هذا المقام كذلك معله موجب

92
00:09:20,970 --> 00:09:25,250
دائما وأبدا، تمام؟ إذا المشكلة وين؟ أو اللي بدي

93
00:09:25,250 --> 00:09:30,780
أحدد الإشارة المقدار بين القوسين احنا الصممش بدي

94
00:09:30,780 --> 00:09:35,660
بينامنا من عند n تساوي واحد طب لو حطيت ال x هنا

95
00:09:35,660 --> 00:09:42,360
بواحد بيصير واحد ناقص e تربيع والله سالبة

96
00:09:42,360 --> 00:09:50,220
سالبة يبقى هذه أقل من ال zero لكل ال x اللي أكبر

97
00:09:50,220 --> 00:09:56,960
من أو تساوي من الواحد هذا يعني أن ال function is

98
00:09:56,960 --> 00:10:05,680
decreasing يبقى هنا هذا يعني ال F is decreasing لكل

99
00:10:05,680 --> 00:10:11,740
ال x أكبر من أو تساوي من الواحد إذا تحققت الشروط

100
00:10:11,740 --> 00:10:17,420
الثلاثة عندي في آن واحد مدام تحققت الشروط إذا بقدر

101
00:10:17,420 --> 00:10:24,800
أخذ منهم تكامل من واحد إلى infinity ل e أس x واحد

102
00:10:24,800 --> 00:10:27,480
زائد e أس اثنين x

103
00:10:30,580 --> 00:10:35,480
يبقى اليمي التكامل من 1 الى B لما B tends to

104
00:10:35,480 --> 00:10:42,320
infinity طلع لي كويس الآن ال e os x dx مشتقة ال

105
00:10:42,320 --> 00:10:47,080
exponential بال exponential itself يبقى هذه بيصير

106
00:10:47,080 --> 00:10:54,330
e e os x وهذه مشتقتها يبقى شيلت البسط هذا كله و

107
00:10:54,330 --> 00:11:02,410
كتبته مشتقة ال e os المقام واحد زائد e os لكل تربيع

108
00:11:02,410 --> 00:11:08,110
يبدأ احنا كأننا بنكامل dy على واحد زائد y تربيع انهم

109
00:11:08,110 --> 00:11:13,710
إيه؟ tan inverse ممتاز يبقى هذا ال limit لما B

110
00:11:13,710 --> 00:11:19,330
tends to infinity ل tan inverse e os 

111
00:11:21,070 --> 00:11:25,970
العوض بحدود التكامل يبقى limit لما B tends to

112
00:11:25,970 --> 00:11:33,010
infinity ل tan inverse طبعا هنا حدود التكامل من 1

113
00:11:33,010 --> 00:11:42,650
إلى B tan inverse e أُس B ناقص tan inverse e أُس 1

114
00:11:42,650 --> 00:11:47,550
و ال limit للي اثنين يبقى هذا الكلام بالدرس يعني

115
00:11:47,550 --> 00:11:52,970
ال e أُس infinity يعني اثنين وسبعة من عشر inverse

116
00:11:52,970 --> 00:11:56,990
infinity ب infinity tan inverse infinity ب π على 

117
00:11:56,990 --> 00:12:05,030
اثنين هذا π على اثنين ناقص tan inverse e هذا كله

118
00:12:05,030 --> 00:12:10,410
يعتبر إيه؟ رقما واحدة يبقى بناء عليه التكامل

119
00:12:11,120 --> 00:12:16,560
converge يبقى هذا بده يعطينا تكامل من واحد إلى

120
00:12:16,560 --> 00:12:24,940
infinity ل e os x واحد زائد e أس اثنين x dx converge

121
00:12:24,940 --> 00:12:36,120
مدام converge بقوله by the integral test the series

122
00:12:48,680 --> 00:12:51,820
وانتهينا من هذه المسألة

123
00:13:08,670 --> 00:13:18,250
بنجي لمثال رقم ستة يبقى ستة summation من N equal

124
00:13:18,250 --> 00:13:30,430
one to infinity ل cos square N ماذا

125
00:13:30,430 --> 00:13:36,920
كريم وانحنسش والله كله كلام كله كلام طيب ما جهيك مش 

126
00:13:36,920 --> 00:13:42,040
قدمت فيه امتحان PGA قارة ونجحت فيه؟ طيب على أي

127
00:13:42,040 --> 00:13:48,180
حال لو حبيت بس أذكر تذكير بمنحنى السش هذا X هذا Y

128
00:13:48,180 --> 00:13:54,360
هذا نقطة الأصل منحنى السش بيجي هيك ومن هنا بنزل و

129
00:13:54,360 --> 00:13:59,980
بيجي هيك تمام؟ يبقى هذا بيجي بالشكل هذا، هذا zero

130
00:13:59,980 --> 00:14:06,820
وهذا واحد صحيح، تمام؟ يعني إيش؟ أعلى الـ X-axis

131
00:14:06,820 --> 00:14:12,920
السش الـ X دائماً وأبداً موجب ليش؟ لأن اثنين على E

132
00:14:12,920 --> 00:14:17,400
والسكس زائد E اثناء السكس، المقام موجب والبسط موجب،

133
00:14:17,400 --> 00:14:22,300
فأنا موجب، أو لما أربعها بصير سالب؟ بتظلها موجبة،

134
00:14:22,300 --> 00:14:26,940
بيبقى هذه موجبة دائماً وأبداً طيب فيها

135
00:14:26,940 --> 00:14:32,100
discontinuity على كل الـ real line معرفة، أنا بدي 

136
00:14:32,100 --> 00:14:36,800
كل الـ real line، بدي بس من عند الواحد والواحد هي

137
00:14:36,800 --> 00:14:43,110
الواحد وطيب يطلع من هنا يعني بدي الجزء هذا من الـ

138
00:14:43,110 --> 00:14:49,230
function يبقى positive و continuous لأن السش كلها

139
00:14:49,230 --> 00:14:54,710
continuous أصلاً تمام و decreasing هذا السش مش السش

140
00:14:54,710 --> 00:15:00,170
square لكن أنا بدافع فعلاً أن السش square كمان

141
00:15:00,170 --> 00:15:07,500
decreasing يبقى باجي بقول هنا اللي هو f of x يساوي

142
00:15:07,500 --> 00:15:17,000
سيش square X is positive and continuous والله هاه

143
00:15:17,000 --> 00:15:23,420
مش لحظة أحد يقول كيف جبت هذه يبقى سيش square X

144
00:15:23,420 --> 00:15:29,300
اللي هي عبارة عن اثنين على EOS6 زائد EOS ناقص X

145
00:15:29,300 --> 00:15:35,140
الكل تربيع هالها is positive

146
00:15:38,120 --> 00:15:47,920
and continuous for all x أكبر من أو تساوي من الواحد

147
00:15:47,920 --> 00:15:54,160
ظلت قصة الـ decreasing يبقى بعدي بشتقها الـ f prime

148
00:15:54,160 --> 00:16:01,660
of x يساوي اثنين في سيش الـ x في تفاضل سيش الـ x له

149
00:16:01,660 --> 00:16:10,700
كده؟ سالب سيش تانش يبقى سالب سيش الـ X في تانش الـ X

150
00:16:10,700 --> 00:16:21,600
يعني سالب 2 سيش square X تانش الـ X هدول إذا طلعوا

151
00:16:21,600 --> 00:16:27,400
كلهم بالموجبة ومسبقين بإشارة سالب يبقى كلها بصير

152
00:16:27,400 --> 00:16:32,810
أقل من الـ zero decreasing طلعني لهذه عمرها بتاخد

153
00:16:32,810 --> 00:16:37,250
قيمة سالبة حتى لو كانت سالبة لما أتربعها بالصغير

154
00:16:37,250 --> 00:16:44,610
يبقى هذه positive دائماً وأبداً نجي لـ تانش لو رجعنا

155
00:16:44,610 --> 00:16:51,630
لمنحنى التانش يبقى هذا محور X هذا محور Y هذا الـ

156
00:16:51,630 --> 00:16:56,670
Zero لو جيت للخط اللي عندي هذا اللي هو واحد والخط

157
00:16:56,670 --> 00:17:01,170
هذا اللي عندنا له مين سالف واحد ورسمنا منحنى

158
00:17:01,170 --> 00:17:05,890
التانش بالشكل اللي عندنا هذا احنا من عند الواحد

159
00:17:05,890 --> 00:17:09,350
جينا طالعين يبقى من عند النقطة هذه وتعال على

160
00:17:09,350 --> 00:17:15,350
اليمين عمره بياخد قيمة سالبة يبقى I أعلى الـ X X

161
00:17:15,350 --> 00:17:22,390
دائماً موجبة يبقى كمان هذا positive إن ضربته في سالب يبقى

162
00:17:22,390 --> 00:17:28,930
أقل من الـ zero لكل الـ X اللي أكبر من أو تساوي واحد

163
00:17:28,930 --> 00:17:36,890
يبقى هنا السؤال F is decreasing لكل الـ X اللي

164
00:17:36,890 --> 00:17:41,940
أكبر من أو تساوي الواحد إذا تحققت الشروط الثلاثة

165
00:17:41,940 --> 00:17:46,840
بقدر أستخدم الـ test integral تكامل من 1 إلى

166
00:17:46,840 --> 00:17:53,840
infinity لسيش square x dx and proper integral من

167
00:17:53,840 --> 00:17:58,900
النوع الأول integration من 1 إلى b لما b tends to

168
00:17:58,900 --> 00:18:06,400
infinity لسيش square x dx يبقى limit لما b tends

169
00:18:06,400 --> 00:18:12,280
to infinity الآخر السؤال كيف بدنا نكامل سيش سكوير

170
00:18:12,280 --> 00:18:17,000
هذه؟ ولا

171
00:18:17,000 --> 00:18:22,480
بده أرجع ولا بده أحول، تفضل وتنش بسش سكوير يعني،

172
00:18:22,480 --> 00:18:30,340
بداش تفكير، يبقى هادر، تانش الأكس من واحد لغاية

173
00:18:30,340 --> 00:18:34,660
اللي لسه بده يحول ويبدل ويغيره، هذه خربانة بالمرة

174
00:18:34,660 --> 00:18:40,330
المصلعة يبقى هذا الـ limit لما بي بدها تروح إلى

175
00:18:40,330 --> 00:18:48,290
infinity ل tan shall be ناقص tan shall one هذا اللي

176
00:18:48,290 --> 00:18:55,310
بيبقى كده لما بي بدها تروح للمال لنهاية الدولة

177
00:18:55,310 --> 00:19:01,090
بتروح لوين؟ بايتن برضه؟

178
00:19:01,090 --> 00:19:05,030
هذا بيعني ورحمة أنت ويه يعني شايفين الرسم اللي

179
00:19:05,030 --> 00:19:12,750
قدامك هذا؟ يبقى واحد، يبقى هذا ويستوي واحد ناقص

180
00:19:12,750 --> 00:19:21,080
تانش الواحد، تمام؟ لحد هنا تمام يبقى هذا رقم واحد

181
00:19:21,080 --> 00:19:26,200
ماعجبوش قال لي بدي أطلع تانش الواحد قلنا له كيف؟

182
00:19:26,200 --> 00:19:32,060
راح قال لي هذا واحد ناقص وراح قال لي يوس واحد ناقص

183
00:19:32,060 --> 00:19:38,600
يوس ناقص واحد عليوس واحد زائد يوس ناقص واحد قلنا له

184
00:19:38,600 --> 00:19:42,560
هذه والله هو عدد بضل في الآخر تحسبي براحتك يبقى

185
00:19:42,560 --> 00:19:48,900
كله عدد ما دام عدد يبقى تكامل convert يبقى لنا سا

186
00:19:48,900 --> 00:19:56,420
تكامل من واحد إلى infinity لسيش square x dx ما له

187
00:19:56,420 --> 00:20:07,220
convert ما دام convert بقوله by the integral test

188
00:20:07,220 --> 00:20:09,400
the series

189
00:20:20,830 --> 00:20:26,910
ننتهينا من المثال وبانتهائنا من المثال ننتهي من

190
00:20:26,910 --> 00:20:35,080
التمرين يبقى وصلنا إلى exercises عشرة ثلاثة يبقى

191
00:20:35,080 --> 00:20:42,820
exercises عشرة ثلاثة المسائل التالية من واحد لغاية

192
00:20:42,820 --> 00:20:51,720
واحد وأربعين القدر بنضيف عليهم خمسة

193
00:20:51,720 --> 00:20:59,140
وخمسين وستة وخمسين وثمانية وخمسين

194
00:21:05,350 --> 00:21:12,890
بنروح لـ section ثمانية أربعة عشر أربعة ولا يهم

195
00:21:12,890 --> 00:21:19,430
خلاصنا من عشرة ثلاثة لعشرة أربعة نقول لكم comparison

196
00:21:19,430 --> 00:21:25,330
tests اختبارات

197
00:21:25,330 --> 00:21:35,860
المقارنة هذا الـ section يحتوي على اختبارين الـ

198
00:21:35,860 --> 00:21:40,180
Comparison Test والـ Limit Comparison Test زي ما

199
00:21:40,180 --> 00:21:43,700
أخذنا في الـ Improper Integrals اللي هو الـ

200
00:21:43,700 --> 00:21:47,220
Comparison Test والـ Limit Comparison Test هنا

201
00:21:47,220 --> 00:21:50,060
هناخدهم على الـ Series زي ما أخذنا هناك على مين

202
00:21:50,060 --> 00:21:56,120
على التكامل يبقى بينا نيجي للاختبار الأول في هذا

203
00:21:56,120 --> 00:22:00,020
اليوم نتعرض له المحاضرة القادمة نتعرض للاختبار

204
00:22:00,020 --> 00:22:07,940
الثاني يبقى بدنا نجي اللي هو الـ comparison test

205
00:22:07,940 --> 00:22:16,000
اختبار المقارنة نص على ما يأتي let summation على a

206
00:22:16,000 --> 00:22:27,200
n و summation على c n and summation على d n ب

207
00:22:29,420 --> 00:22:43,400
فهي سيريزة مع حدود غير سالبة غير

208
00:22:43,400 --> 00:22:51,220
أقل حدود افترض أنه

209
00:22:51,220 --> 00:22:55,240
for some integer n

210
00:22:59,020 --> 00:23:09,060
integer capital M الـ D N أقل من أو يساوي الـ A N

211
00:23:09,060 --> 00:23:18,240
أقل من أو يساوي الـ C N for all N اللي أكبر من أو

212
00:23:18,240 --> 00:23:22,680
تساوي N نمرة أي

213
00:23:22,680 --> 00:23:23,260
F

214
00:23:25,740 --> 00:23:34,160
Summation على CN Converge

215
00:23:34,160 --> 00:23:40,260
لو كانت summation على CN Converge then summation

216
00:23:40,260 --> 00:23:48,780
على AN also converge نمرة

217
00:23:48,780 --> 00:24:03,180
بيه F Summation على DN Diverse Diverge then

218
00:24:03,180 --> 00:24:15,520
Summation على AN also Diverse Examples

219
00:24:15,520 --> 00:24:21,880
Test

220
00:24:43,820 --> 00:24:50,430
أول سيريز من هذه السيريز ناملة واحدة Summation from

221
00:24:50,430 --> 00:24:55,670
n equal one to infinity to cosine of square root

222
00:24:55,670 --> 00:25:01,270
of n divided by n plus three divided by two بقول

223
00:25:01,270 --> 00:25:06,250
مرة ثانية في هذا الـ section ناخد اختبارين لما ناخد

224
00:25:06,250 --> 00:25:11,410
اختبارين ممكن نخلص نجداش أربع اختبارات الاختبار

225
00:25:11,410 --> 00:25:14,830
الأول هو الـ comparison test و الـ limit comparison

226
00:25:14,830 --> 00:25:19,990
test خلينا المحاضرة القادمة إن شاء الله بيقول

227
00:25:19,990 --> 00:25:26,120
اختبار ما يأتي افترض أن عندك ثلاثة series An وCn

228
00:25:26,120 --> 00:25:31,240
وDn كل حدودهم ليست سالبة Series with non negative

229
00:25:31,240 --> 00:25:37,580
terms افترض for some integer in Dn أقل من أو يساوي

230
00:25:37,580 --> 00:25:44,210
An أقل من أو يساوي CN لكل الـ N اللي أكبر من أو

231
00:25:44,210 --> 00:25:49,050
يساوي الـ N إيش يعني قصده؟ خليك معه احنا عندنا

232
00:25:49,050 --> 00:25:54,210
ثلاثة series جيت من عندها N تساوي واحد لجيت فعلاً

233
00:25:54,210 --> 00:25:59,250
أن الـ D واحد أقل من A واحد بس الـ A واحد مش أقل من

234
00:25:59,250 --> 00:26:03,890
C واحد يابي يقول الـ واحد صف على شجرة باخد الـ N

235
00:26:03,890 --> 00:26:10,960
باتنين جيت حطيت N باتنين لجيت D اثنين أقل من A2 لكن

236
00:26:10,960 --> 00:26:18,360
A2 ماهياش أقل من C2 بلينكولاتي غير محققة صفعة شجرة

237
00:26:18,360 --> 00:26:24,240
روحت لـ N تساوي ثلاثة نفس الموضوع صفعة شجرة N أربعة

238
00:26:24,240 --> 00:26:31,720
نفس الموضوع عند N تساوي خمسة مثلاً لقيت فعلاً D خمسة

239
00:26:31,720 --> 00:26:37,420
أقل من A خمسة أقل من C خمسة وخدها ستة وسبعة و

240
00:26:37,420 --> 00:26:42,000
ثمانية إلى ما لا نهاية كله صحيح، يبقى باجي على

241
00:26:42,000 --> 00:26:46,940
أربعة أول حدود وبقولهم ما ع السلام ما بتلزمونيش

242
00:26:47,510 --> 00:26:53,110
تلزمونيش ما احنا خدنا في الـ section الماضي أنه شطب

243
00:26:53,110 --> 00:26:57,410
عدد اللي جابله شطب عدد محدود من حدود الـ series أو

244
00:26:57,410 --> 00:27:01,450
إضافته لا بيغير من وضع الـ convergence ولا بيغير من

245
00:27:01,450 --> 00:27:07,410
وضع الـ divergence تمام؟ بقول لك يا سيبجي بدي أبدأ من

246
00:27:07,410 --> 00:27:12,750
وين ده in capital مين in capital؟ لخمسة فمع فوق

247
00:27:13,020 --> 00:27:18,400
أيوة فباجي بقول والله إذا كان summation على cin

248
00:27:18,400 --> 00:27:21,680
converted باجي بطلع من cin

249
00:27:41,360 --> 00:27:46,960
السؤال هو هل اختلف الـ comparison test تبع الـ

250
00:27:46,960 --> 00:27:49,820
series عن الـ comparison test تبع الـ improper 

251
00:27:49,820 --> 00:27:55,550
integral؟ اختلفت في نهاية الصيغة هو هو بس بدل

252
00:27:55,550 --> 00:28:00,570
التكامل حطينا series إذا لم يتغير شيء بالنسبة لكم

253
00:28:00,570 --> 00:28:05,490
comparison test واضح كلامي؟ طيب حد بدي أسأل أي

254
00:28:05,490 --> 00:28:07,290
سؤال؟ أيوة تفضل

255
00:28:13,170 --> 00:28:19,130
بقول لو كانت CNN هادي باي باي، إيش رأيك فيها؟ إن

256
00:28:19,130 --> 00:28:24,590
والله دي اللي أصغر منها، والله بني عارف، يمكن تكون

257
00:28:24,590 --> 00:28:28,890
converge ويمكن تكون diverge ليه احتماليا الورداد؟ لا

258
00:28:28,890 --> 00:28:34,010
أستطيع الجزم بذلك، يعني بالبلد هيك بينه وبينك،

259
00:28:34,010 --> 00:28:39,150
بنقول فشل اختبار المقارنة في الحكم على ال series

260
00:28:39,150 --> 00:28:45,880
هل هي converge أو diverge ما في حاجة بدو يسأل تاني طيب

261
00:28:45,880 --> 00:28:50,400
نبدأ نطبق هذا الاختبار على أسئلة عديدة السؤال

262
00:28:50,400 --> 00:28:54,340
الأول بقول ال summation من n equal one to infinity

263
00:28:54,340 --> 00:28:59,780
ل cos n على n أس تلاتة على اتنين لحظة

264
00:28:59,780 --> 00:29:04,140
النقطة الأولى صارت علاقة بين two series النقطة

265
00:29:04,140 --> 00:29:07,360
التانية علاقة بين two series طب هو في المثال

266
00:29:07,360 --> 00:29:12,390
مايعطانيش إلا series واحدة يبقى أنت بدك تروح تخلق

267
00:29:12,390 --> 00:29:17,090
series تانية من المسألة اللي عندك و ال series

268
00:29:17,090 --> 00:29:23,570
المخلقة بدك تكون عارف هل هي converge أو diverge

269
00:29:23,570 --> 00:29:28,510
تمام؟ اه يعني أنا من هنا من ال series هذه بدي اروح

270
00:29:28,510 --> 00:29:32,810
أطلع series تانية و ال series التانية بدي أكون عارف

271
00:29:32,810 --> 00:29:38,530
converge أو diverge كيف بدي أطلعها شغل في ذاك أنت

272
00:29:38,530 --> 00:29:42,650
بعدين أنا بفكر هو ال cosine تقريبا محصلة بين مين

273
00:29:42,650 --> 00:29:47,610
ومين هذا فإن الصفر والواحد يبدو هاد رقم مش هيأثر

274
00:29:47,610 --> 00:29:50,870
عندي على وضع مين على وضع ال series إذا اللي بدي

275
00:29:50,870 --> 00:29:55,430
أتحكم في ال series واحد على n أس تلاتة على اتنين

276
00:29:55,430 --> 00:29:59,550
طب سؤال هو واحد على n أس تلاتة على اتنين converge

277
00:29:59,550 --> 00:30:00,930
ولا diverge؟

278
00:30:04,810 --> 00:30:09,930
مع ال converge بدي امشي أقل من ومع ال diverge بدي 

279
00:30:09,930 --> 00:30:15,290
امشي من زي ال M proper integral بالضبط تماما إذا

280
00:30:15,290 --> 00:30:22,290
باجي لحد انوني اللي عندك و cos تربيع ال n على n أس

281
00:30:22,290 --> 00:30:27,850
تلاتة على اتنين أجل وهي ال n أس تلاتة على اتنين

282
00:30:28,200 --> 00:30:33,300
قداش أكبر قيمة بياخدها cos تربيع واحد يبقى

283
00:30:33,300 --> 00:30:40,860
دايما وأبدا أقل من وقد يساوي واحد، مظبوط هيك؟

284
00:30:40,860 --> 00:30:45,280
يبقى هذا دايما وأبدا كل حياته أقل منها، طب هاد ال

285
00:30:45,280 --> 00:30:51,110
converge، هذا اللي أجل منها converge تبقى للنقطة

286
00:30:51,110 --> 00:30:55,450
الأولى يعني إذا الكبيرة هذي converged يبقى اللي

287
00:30:55,450 --> 00:31:00,750
أصغر منها converged من باب أولى بروح بقولش but

288
00:31:00,750 --> 00:31:07,290
ولكن بمشي لواحد على n أس تلاتة على اتنين من n

289
00:31:07,290 --> 00:31:14,490
equal one to infinity converged P series السبب

290
00:31:14,490 --> 00:31:21,550
because إن p تساوي 3 على 2 أكبر من الواحدة صحيحة

291
00:31:21,550 --> 00:31:26,470
إذا ما قلتش converge وسكت جيبهم ما هو السبب في

292
00:31:26,470 --> 00:31:33,730
أنها converge ل P series مدام هيك بروف أقوله by the

293
00:31:53,730 --> 00:32:02,540
سؤال اثنين بيقول لنمرى 2 summation من n equal one

294
00:32:02,540 --> 00:32:09,480
to infinity ل 2 زائد cos n على الجذر

295
00:32:09,480 --> 00:32:12,460
التربيعي ل n زائد 8

296
00:32:15,190 --> 00:32:18,770
برضه بدي اشوف ال series هذي converge ولا diverge

297
00:32:18,770 --> 00:32:25,610
بدي اخذ الحد النوني 2 زائد cos n على

298
00:32:25,610 --> 00:32:32,250
الجذر التربيعي ل n زائد 8 خلوا ذلك كويس بدي

299
00:32:32,250 --> 00:32:37,850
اشوف مين اللي بدي اتحكم في سلوك هذه ال series

300
00:32:37,850 --> 00:32:45,770
بعدين بطلع ال cos أقصى قيمة بياخدها كده؟ 1 و 2،

301
00:32:45,770 --> 00:32:50,410
إذا أقصى قيمة بياخدها ال cos هو 3، بدأجي

302
00:32:50,410 --> 00:32:56,650
لل cos نفسه أقل قيمة بياخدها ال cos كده؟ -1

303
00:32:56,650 --> 00:33:01,050
و 2، إذا ال cos محصور بين 1 و 3 دايما،

304
00:33:01,050 --> 00:33:06,990
يعني يا عدد، يبقى قصتنا سهلة، بلنيجي على المقام،

305
00:33:06,990 --> 00:33:13,790
من عند ال n، لا 1، لا infinity كل ما تكبر ال n

306
00:33:13,790 --> 00:33:18,770
من يتحكم ال 8 والله إن يبقى 8 مع السلم

307
00:33:18,770 --> 00:33:23,690
نعتبرها مش موجودة بضل الرقم والله 1 على جذر

308
00:33:23,690 --> 00:33:26,590
ال n يعني 1 على n أس نص

309
00:33:33,450 --> 00:33:38,970
يبقى هذه أكبر من اه ال cos بده شغل والمقام بده

310
00:33:38,970 --> 00:33:42,470
شغل ما تشتغلش في اتنين مع بعض يبقى نشتغل في ال cos

311
00:33:42,470 --> 00:33:46,090
لغاية ما نوصل لحد معين خلصنا بروح أشتغل في المقام

312
00:33:46,090 --> 00:33:49,810
أو نشتغل في المقام في الأول ما عندنا مشكلة بجيبها ولو

313
00:33:49,810 --> 00:33:52,810
حبيت أشتغل في ال cos من الأول يبقى المقام بدي

314
00:33:52,810 --> 00:33:58,290
أخليه زي ما هو n زائد 8 بده هذه احنا قلنا

315
00:33:58,290 --> 00:34:03,810
أقصى قيمة بياخدها ال cos قداش وأقل قيمة إذا أقول

316
00:34:03,810 --> 00:34:10,250
أكبر من 3 يبقى هذا

317
00:34:10,250 --> 00:34:19,250
أكبر من 1 وقد يساويه يبقى أكبر من 1 وقد

318
00:34:19,250 --> 00:34:25,450
يساويه وبالتالي يبقى

319
00:34:25,450 --> 00:34:32,150
بيكون خلصنا من قصة ال cos السؤال هو هل هناك من

320
00:34:32,150 --> 00:34:38,050
تساوي هنا؟ اه ممكن ممكن الكثير يساوي ال -1

321
00:34:38,050 --> 00:34:44,830
و 2 إذا بحط أكبر من أو يساوي ماشي أكبر من بضل

322
00:34:44,830 --> 00:34:55,770
ماشي أكبر من 1 على جذر ال n صح هيك؟ صح مظبوط؟

323
00:34:56,600 --> 00:35:03,000
طبعا؟ لا مش طبعا، مش صحيح، هذا مقامه أكبر، إذا هذا

324
00:35:03,000 --> 00:35:08,040
أقل، مشيت أكبر، بدك تظلك ماشي أكبر، مش على كيفك،

325
00:35:08,040 --> 00:35:11,740
تشبل بزوم ما بدك، مشيت أكبر، بدك تظلك أكبر، لما

326
00:35:11,740 --> 00:35:16,260
تخلص الجثة هذه بالمرة تماما، كويس؟ يبقى باجي،

327
00:35:16,260 --> 00:35:23,460
بقوله، بدي أحطها n زائد 9 صح، والله غلط، صح، بس

328
00:35:23,460 --> 00:35:29,670
حلت المشكلة؟ زاد 10، زاد 11، زاد 100، بالفعل

329
00:35:29,670 --> 00:35:35,550
بدك تكتبها بدلالة المتغير اللي عندك تقدر تجمعهم مع

330
00:35:35,550 --> 00:35:44,250
بعض يبقى زائد 8 n سؤال هو ممكن الاتنين هدول

331
00:35:44,250 --> 00:35:51,110
يتساوى ولو مرة واحدة في التاريخ؟ بالمرة بتساووش؟

332
00:35:51,110 --> 00:35:56,510
هدى n تساوي 1 تبع ال summation حط n ب 1 بصير

333
00:35:56,510 --> 00:36:03,650
هدى، إذا قد يتساويا، تمام؟ يبقى هدى بدها تساوي

334
00:36:03,650 --> 00:36:10,530
1 على n زائد 8 n تسعة إن التسعة تقلع من تحت

335
00:36:10,530 --> 00:36:17,230
الجذر وبضل جذر ال n اللي هو ال n أس نص بقوله

336
00:36:17,230 --> 00:36:25,950
بطولها 3 summation ل 1 على n أس نص من n

337
00:36:25,950 --> 00:36:29,790
equal one to infinity ال 3 بيبثر على

338
00:36:29,790 --> 00:36:34,010
ال convergence وال divergence؟ ما ليش علاقة، طيب يا

339
00:36:34,010 --> 00:36:42,310
دي مالها؟ divergence P series السبب؟ بسبب أن p

340
00:36:42,310 --> 00:36:50,690
تساوي نص ونص أقل من الواحد الصحيح مدام diverge

341
00:36:50,690 --> 00:36:56,910
يبقى اللي أكبر منها diverge فبروح بقوله by the

342
00:36:56,910 --> 00:37:04,030
comparison test the series summation للي 2

343
00:37:17,460 --> 00:37:23,140
سؤال التالت يبقى والله كويس هذا لا بلزمني أكامل

344
00:37:23,140 --> 00:37:27,500
ولا positive ولا continuous ولا decreasing يبقى

345
00:37:27,500 --> 00:37:33,000
بحط النتيجة على طول الخط سؤال التالت summation من

346
00:37:33,000 --> 00:37:42,740
n equal to infinity لل n زائد 2 على n تربيع ناقص

347
00:37:42,740 --> 00:37:43,520
ال n

348
00:38:09,150 --> 00:38:14,810
مديني سؤال زي هيك وبدي امشي بنفس التفكير السابق

349
00:38:14,810 --> 00:38:19,690
باجي بقول الحد النوني n زائد 2 على n

350
00:38:19,690 --> 00:38:26,930
تربيع ناقص n طبعا الكبير هنا هو n، اعتبر ال n مش

351
00:38:26,930 --> 00:38:31,330
موجود، الكبير هنا n تربيع، اعتبر ال n هذا مش

352
00:38:31,330 --> 00:38:38,240
موجود، يبقى ال n على n تربيع يعني 1 على n لومين diverge

353
00:38:38,240 --> 00:38:42,020
harmonic series صح ولا لأ؟ summation على 1 على n

354
00:38:42,020 --> 00:38:45,580
diverge harmonic series المدافع diverge ما بده

355
00:38:45,580 --> 00:38:54,920
يمشي أكبر من ولا أقل يبقى greater than n على n

356
00:38:54,920 --> 00:39:03,310
تربيع ناقص n مظبوط هيك المقام هو نفسه و ال numerator أكبر

357
00:39:03,310 --> 00:39:10,710
من ال numerator هذا بمقدار 2 صح؟ طيب هذا أكبر من n

358
00:39:10,710 --> 00:39:19,490
على n تربيع صح كلامك ذاك؟ لأ طب ما هو الصح؟ صح صح

359
00:39:19,490 --> 00:39:22,550
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

360
00:39:22,550 --> 00:39:22,930
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

361
00:39:22,930 --> 00:39:23,650
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

362
00:39:23,650 --> 00:39:25,390
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح

363
00:39:25,390 --> 00:39:28,550
صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح صح 

364
00:39:28,550 --> 00:39:34,110
صح طب نسترجع طب واحنا موافقين الرقم هذا

365
00:39:34,110 --> 00:39:39,210
انتباهي لما تطرح منه بيصغر وبالتالي ال numerator بيكبر

366
00:39:39,210 --> 00:39:43,810
يبقى فعلا ال numerator بقى بس لو كانت هذه زائد فالكلام

367
00:39:43,810 --> 00:39:50,800
غلط يبقى فعلا هذي أكبر من هذي هذي تساوي كتير 1

368
00:39:50,800 --> 00:39:57,460
على n بقول بط ولكن summation 1 على n هي

369
00:39:57,460 --> 00:40:06,080
diverge harmonic series by the comparison test

370
00:40:20,810 --> 00:40:23,190
السؤال الرابع

371
00:40:29,710 --> 00:40:37,550
من n equal one to infinity ل 10 n plus 1 10 n

372
00:40:37,550 --> 00:40:44,330
plus 1 على n في n زائد 1 في n زائد 2

373
00:40:47,040 --> 00:40:54,340
برضه بدي اخذ الحد النوني هي 10 n زائد 1 على

374
00:40:54,340 --> 00:41:01,260
n في n زائد 1 في n زائد 2 وبدي اشوف حالي

375
00:41:01,260 --> 00:41:07,310
بدي امشي أقل من ولا أكبر من أظن ال numerator لو شيلنا 

376
00:41:07,310 --> 00:41:11,770
العشرة لو شيلنا الواحد مش مشكلة لا أثرش عندي يبقى

377
00:41:11,770 --> 00:41:16,690
بقى عندي في الباص قداش؟ إن هنا بدي أشيل اثنين

378
00:41:16,690 --> 00:41:20,650
والواحد بيصيري بيصير عندي في المقام أنت كده في

379
00:41:20,650 --> 00:41:26,630
الباص إن بقى الواحد اللي هي مين Convert يبقى بدم

380
00:41:26,630 --> 00:41:34,730
شمال أقل من تمام التمام يبقى هذه أقل من عشرة N

381
00:41:34,730 --> 00:41:43,610
زائد واحد على N في N في N مفجئين هيك؟ و ليش البصر؟

382
00:41:43,610 --> 00:41:47,130
القرآن نزل من السماء يا ابني لجابله اشتغال موظف

383
00:41:47,130 --> 00:41:51,050
مراهق يشتغل في المقاميين ما بدك تشتغل اشتغل في

384
00:41:51,050 --> 00:41:55,510
البصمة مقام بس بحيث يكون شغلك صحيح تمام؟ يبقى

385
00:41:55,510 --> 00:41:58,230
ميمنوش مين أبداً في البصمة اللي في المقام بهم الشغل

386
00:41:58,230 --> 00:42:02,650
يكون صحيح طيب المرة أنا اشتغل في المقام هذا مقامه

387
00:42:02,650 --> 00:42:07,350
أكبر إذا الكثر هذا كله أقل من مين؟ من الكثر اللي

388
00:42:07,350 --> 00:42:16,810
عندنا طيب هذا أقل من مين؟ هذا كله أنت كيف؟ وهذا

389
00:42:16,810 --> 00:42:19,970
عشرة N صحيح؟

390
00:42:25,560 --> 00:42:30,460
غلط، البصمة ده أكبر من البصمة ده، إذا لا يمكن الكثر

391
00:42:30,460 --> 00:42:36,520
يكون أقل، يبقى كلام خطأ، بنخليه صح، بدل الواحد بحط

392
00:42:36,520 --> 00:42:43,420
إيه؟ ثلاثة أربعة ما حلتش المشكلة بيبقى حط بدل التامين

393
00:42:43,420 --> 00:42:47,920
المتغير اللي عندي عشان أقدر أجمعهم مع بعض وأتخلص

394
00:42:47,920 --> 00:42:54,140
من المثل ابتبعتنا يبقى عشرة N زائد N ال summation بدأ

395
00:42:54,140 --> 00:42:59,440
من هنا شباب يبقى عند ال into سواء واحد هدول بيساووا

396
00:42:59,440 --> 00:43:07,720
بعض صح ولا لا؟ إذا هذا بقول أقل من وقد يساوي يبقى

397
00:43:07,720 --> 00:43:16,100
هذا بيصير 11 N على N تكعيب يبقى 11 على N تربيع

398
00:43:16,100 --> 00:43:25,010
بقوله بطوى لكن 11 summation 1 على N تربيع من n

399
00:43:25,010 --> 00:43:33,590
equal one to infinity converge P series because ال

400
00:43:33,590 --> 00:43:40,070
P يساوي اثنين اللي هو أكبر من الواحد الصحيح by the

401
00:43:40,070 --> 00:43:47,570
comparison test the series اللي هي summation من N

402
00:43:47,570 --> 00:43:52,810
equal one to infinity لعشرة N زائد واحد على N في N

403
00:43:52,810 --> 00:44:01,830
زائد واحد N زائد اثنين converge كذلك حتى

404
00:44:01,830 --> 00:44:08,350
لو يكون الأسئلة بسيطة أو مباشرة نبدأ نخفف شوية ولا

405
00:44:08,350 --> 00:44:16,410
نتجل شوية نخفف وانتقل وانت تحكم لوحدك summation

406
00:44:16,410 --> 00:44:23,250
من n equal one to infinity لجذر ال n على اثنين

407
00:44:23,250 --> 00:44:30,810
زائد ln ال n بدنا

408
00:44:30,810 --> 00:44:38,110
ناخد الحد اللانهائي يبقى هذا جذر ال n على اثنين زائد

409
00:44:38,110 --> 00:44:44,760
ln ال n وبدأ أفكركيف بدي أمشي؟ بقول لو شيلنا اثنين

410
00:44:44,760 --> 00:44:50,960
بقى ال search عندي تمام؟ يبقى ضال عندي جذر ال N

411
00:44:50,960 --> 00:44:56,420
على ln ال N في اختصارات؟ فيش اختصارات لكن لو

412
00:44:56,420 --> 00:45:04,850
استبدلت ln ال N بأقرب رقم موجود عندي اللي هو 2n

413
00:45:04,850 --> 00:45:11,270
نفسه صح ولا لأ إن هو أقرب شغل عندي لأن ال ln يمكن

414
00:45:11,270 --> 00:45:17,610
من خلالها نحل مشكلتنا هذه فبعدين بقول لو شلت اثنين

415
00:45:17,610 --> 00:45:24,590
وحطيت مكان ال n إن إن بصير N نصف على N يعني

416
00:45:24,590 --> 00:45:30,110
واحد على N نصف diverge ولا converge؟ diverge

417
00:45:30,110 --> 00:45:34,350
مع ال diverge بدأ ماشي مين؟ أكبر من يبقى هذا صار

418
00:45:34,350 --> 00:45:39,130
صعب شوية مش زي اللي جابله يحتاج إلى تفكير أكثر

419
00:45:39,130 --> 00:45:44,730
وعمق أكثر طب واحد يقولي طب لو حطيت N تربيع بقوله

420
00:45:44,730 --> 00:45:48,690
مين اللي أجرب على ln ال N؟ هي ال N والله N تربيع

421
00:45:49,320 --> 00:45:54,840
لأن أقرب إذا انتصرت تفكيره تفكير ما له خاطق وبعيد

422
00:45:54,840 --> 00:45:59,180
عنه يعني إذا ما ضبطتش ال N بروح لل N تربيع اللي

423
00:45:59,180 --> 00:46:04,320
بقول عليها هذه يعني إذا فشت القصة باستبدال ln ال N

424
00:46:04,320 --> 00:46:11,300
ب N بروح ل N تربيع هذه إذا بقدر أقول هذه أكبر من

425
00:46:11,300 --> 00:46:17,500
جذر ال N على 2 زائد N صحيح يا شباب؟

426
00:46:25,520 --> 00:46:46,200
السؤال هو ممكن

427
00:46:46,200 --> 00:46:53,360
يحدث تساوي فيما بينهما؟ يحصل تساوي؟ انسى الموضوع

428
00:46:53,360 --> 00:46:57,900
على الإطلاق لأن العدد عظمه هيساوي العدد يبقى فيش

429
00:46:57,900 --> 00:47:04,360
إمكانية بقوله كويس مشيت أكبر منه بدك تكمل أكبر منه

430
00:47:04,360 --> 00:47:11,640
هدى N نصف وعلى M مظبوط

431
00:47:11,640 --> 00:47:21,020
هك؟ شيلت اثنين يعني بسغالب لأن هذا مقامه أكبر يبقى

432
00:47:21,020 --> 00:47:26,280
أقل، ماشيت أكبر بدك تبقى ماشي أكبر بسيطة باجي

433
00:47:26,280 --> 00:47:33,500
اثنين هذه وبكتب هاتنين إن يبقى هدول ممكن يتساوي

434
00:47:33,500 --> 00:47:38,960
وين عند الواحد غير إيه أكبر منه إذا هذا greater

435
00:47:38,960 --> 00:47:45,340
than or equal تمام؟ يبقى هذا الكلام بدي يتساوي N

436
00:47:45,340 --> 00:47:53,340
نصف على ثلاثة N يعني واحد على ثلاثة N نصف

437
00:47:53,340 --> 00:47:56,280
بقوله but ولكن

438
00:48:05,120 --> 00:48:14,120
السبب إن P تساوي نصف ونصف معناه أقل من واحد الصحيح

439
00:48:14,120 --> 00:48:18,900
by the comparison test

440
00:48:21,350 --> 00:48:29,310
الهمين summation لل square root لل N على اثنين زائد

441
00:48:29,310 --> 00:48:39,710
ln ال N من N equal one to infinity مالها diverge

442
00:48:39,710 --> 00:48:49,030
آخر

443
00:48:49,030 --> 00:48:55,750
سؤال بس لشأنه سهل يعني وصغير ما نعش نكبره عليكم

444
00:48:55,750 --> 00:49:05,250
يبقى ستة summation من n equal one to infinity لإن

445
00:49:05,250 --> 00:49:13,070
ال n زائد واحد على n زائد واحد

446
00:49:13,070 --> 00:49:19,790
بدي آخذ الحد اللانهائي لإن n زائد واحد على n زائد واحد

447
00:49:20,670 --> 00:49:25,630
وبدي أفكر كيف بدي أقارن بقول لو الواحد مش موجود

448
00:49:25,630 --> 00:49:31,870
هذا بضل إن ال n على n صح ولا لا اضرب واحد عليهم

449
00:49:31,870 --> 00:49:38,150
واحد على n صح؟ واحد على n طيبين إذا بدنا نمشي

450
00:49:38,150 --> 00:49:46,070
مين؟ أكبر من طيب هل هذا أكبر من واحد على n زي

451
00:49:46,070 --> 00:49:46,890
واحد؟

452
00:49:49,320 --> 00:49:55,860
هذا أكبر من هذا من عند الواحد فمع فوق طب خُط إنّي

453
00:49:55,860 --> 00:50:00,780
بواحد بصير جدويا أشيلني اثنين ln اثنين أقل من

454
00:50:00,780 --> 00:50:04,320
واحد لأن ln ال E بواحد له اثنين والسبعة من عشر

455
00:50:04,320 --> 00:50:09,700
يبدو مش صحيح بلاش ينقص أول حد يا أخي شو بيصير؟ ده

456
00:50:09,700 --> 00:50:14,140
يبدو إن عندنا n تساوي قداش؟ نعم يبقى صين ln ثلاثة

457
00:50:14,140 --> 00:50:19,680
فعلاً أكبر من واحد صحيح إذا هذا أكبر من واحدة for

458
00:50:19,680 --> 00:50:24,180
all n اللي greater than or equal to three يعني

459
00:50:24,180 --> 00:50:30,530
معناته أهملتي الحد الأول من حدود ال series طيب هل

460
00:50:30,530 --> 00:50:37,370
هذا اثنين صح من عند اثنين مظهر صحيح لأن أحب دي

461
00:50:37,370 --> 00:50:43,910
من عند الواحد طيب أليس هذا أكبر من واحد على N لا

462
00:50:43,910 --> 00:50:51,880
بلى ولا حاجة بلى يبعد عن جلدك يبقى هنا بقول زائد N

463
00:50:51,880 --> 00:50:57,780
تمام؟ يبقى واحد على اثنين N هلحين أجي البلة؟

464
00:50:57,780 --> 00:51:00,920
توجعنا في الأول في البلة هلحين البلة تحتك كده

465
00:51:00,920 --> 00:51:06,120
اللي بتحكي عليها يبقى صار عنا مين؟ summation اللي

466
00:51:06,120 --> 00:51:12,520
هو مين؟ لمص واحد على N من N equal one to infinity

467
00:51:12,520 --> 00:51:16,160
by their harmonic

468
00:51:18,530 --> 00:51:26,270
يبقى باجي بقوله buy the comparison test the series

469
00:51:27,570 --> 00:51:34,270
Low summation من N equal one to infinity لإن ال N

470
00:51:34,270 --> 00:51:39,110
زائد واحد على N زائد واحد diverge وانتهينا من

471
00:51:39,110 --> 00:51:43,550
المثلة لازلنا في نفس ال section ولازالت هناك

472
00:51:43,550 --> 00:51:48,650
العديد من الأمثلة على ال comparison ثم ال limit

473
00:51:48,650 --> 00:51:52,270
comparison للمرة القادمة إن شاء الله