Okay إن شاء الله اليوم هنعمل مناقشة لبعض المسائل
في section 2.3 و 2.4 زي ما وعدناكم
سابقا ونشوف بعض الحلول لبعض المسائل المهمة ففي
بسألة سؤال خامس في section 2.3 بيقول لو في
عندي مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية و
bounded below فالـ infimum للـ set S هو سالب الـ
supremum لـ سالب S هذا
التمرين حالة خاصة من التمرين رقم أربعة في section
2.4 و بالتحديد هو حالة خاصة من الجزء B من
التمرين هذا ففي الجزء B لو كان B .. إيش بقول هذا
الجزء؟ لو كان B عدد سالب فـ infimum لـ S بيساوي B
في supremum S فلو أخدت B بيساوي سالب واحد و هذا عدد
سالب فبطل عندي infimum infimum
سالب S لأ هذا عبارة عن حالة خاصة من الجزء الثاني
لو أخدنا B بيساوي سالب واحد في الجزء هذا اللي هنا
فبطلع عندي supremum سالب S بيساوي
سالب infimum S هاي سالب اضربك سالب واحد سالب
infimum S لأن هذا التمرين حالة خاصة من الجزء هذا
الثاني في الفرع B وبالتالي هذا التمرين تعميم لهذا
الجزء ولا جزء ثانيو لجزء ثاني اللي هو عبارة عن ال
supremum أو الـ infimum لـ سالب S بيساوي سالب الـ
supremum لـ S هذا تعميم لجزء اللي هان وهذا تعميم
لجزء اللي هان وذلك بـ taking B equals سالب
واحد خلينا نبرهن الجزء الأول من الفرع A والجزء
الأول من الفرع B وبالمثل بإمكانكم تبرهن الجزء
الثاني من الـ part A والجزء الثاني من part B
فنبرهن الجزء A لبرهان الجزء A اللي
هو هذا الجزء فأنا عندي a عدد موجب S is bounded
وبالتالي bounded below إذا الـ infimum لـ S exist سميه
w طبعا الـ infimum عبارة عن lower bound لـ S إذا الـ w
أصغر من أو يساوي X لكل X ∈ S وبالتالي لو ضربت في عدد
موجب a فبطلع aw أصغر من أو يساوي aX لكل S هذا
معناه إن العدد هذا lower bound لـ aS أنا عايز أثبت
أن أي w هذا العدد مش بس lower bound هو أكبر lower
bound للـ set aS فباخد أي let V be any lower bound
any lower bound للـ set aS وبينا
نثبت أن هذا الـ V أصغر من أو يساوي aw عشان يكون هو
الـ infimum
طيب هذا معناه V lower bound للـ set aS معناه V أصغر
من أو يساوي aX لكل X في S طيب أنا عندي 1/a
عدد موجب إذا 1/a عدد موجب فلو ضربت المتباينة
هذه في العدد الموجب 1/a اشتغلت هنا
مابتتغيرش فبصير عندي V/a أصغر من أو يساوي X لكل
X ∈ S طب
ما هذا معناه أنه العدد الـ number V over A is a
lower bound لمن؟
لـ S وبالتالي
إذا الـ infimum .. إذا الـ V/a أصغر من أو يساوي الـ
infimum للـ set S صح؟ طب اضربي في a عدد موجب بطلع
عندي V أصغر من أو يساوي a في infimum S طب
infimum S هذا سميته w لأن هذا بيساوي aw إذن هين
أثبتنا إنه العدد aw هذا أبرع الـ lower bound للـ set
aS وأخدنا أي lower bound للـ set aS فوجدنا إن الـ
lower bound هذا أصغر من أو يساوي a في w فهذا معناه
إن aw هو الـ infimum لمن؟ للـ set aS كما هو موضح في الـ
claim أو في الإدعاء تمام؟ وهذا بيثبت الجزء الأول في
الـ part A هاي infimum aS بيساوي a في w اللي هو
infimum S إذن هذا بيثبت الجزء الأول في الفرع A
Similarly بالمثل ممكن
بالمثل ممكن نثبت الفرع الثاني أو
الجزء الثاني في الفرع A تمام؟ فهسيب هذا جزء لكم
لأن هذا مشابه للفرع اللي أنا واضح؟ في أي سؤال؟ طيب
نحاول نثبت الجزء الأول في الفرع B
بنثبت الجزء هذا في الفرع B لت
بـ أصغر من صفر، عدد حقيقي سالب وأنا عندي الـ set الـ
set since الـ set S is bounded
إذا الـ infimum w بيساوي الـ infimum لـ S exists in R
إذا
في عندي أنا الـ .. الـ infimum لـ S .. S bounded
below bounded وبالتالي bounded below إذا by
infimum property الـ infimum لـ S سميته w exist
هذا معناه .. أو هذا بقد .. إذا
هذا معناه أن w lower bound لـ S و w أصغر من أو يساوي
X لكل X ∈ S
طيب وعندي أنا الـ B عدد سالب فلو ضربنا المتباينة
هذه في B عدد سالب فبصير bX أصغر من أو يساوي bW لكل
X ∈ S صح؟ إذن هذا معناه إنه العدد bW is an
upper is an upper bound لمين؟ للـ set bS للـ set b
في S اللي هي مجموعة كل العناصر b ضرب X b ضرب
X حيث X ينتمي للـ S هذا عبارة عن upper bound
طيب الـ set هذه الـ set هذه bounded لأن الـ set S bounded
فضربها في عدد بتظلها bounded وبالتالي bounded above
إذا الـ .. الـ .. إلها supremum by supremum property
وبالتالي إذا الـ bW هذا أو الـ supremum للـ set bS هذا
عبارة عن الـ least upper bound for the set bS هذا
بيطلع أصغر من أو يساوي أي upper bound وليه هو أصغر
من أو يساوي الـ upper bound bW للـ set bS طب
احنا عايزين نثبت
احنا عايزين نثبت أن bW هي الـ supremum لـ set b
في S فهين
أثبتنا أن العدد bW هذا upper bound للـ set هذه
bW هو upper bound للـ set الإثبات إنه هو الـ
supremum باقي إثبات إن أنا لو أخدت أي upper bound
للـ set هذه لازم يطلع أكبر من أو يساوي bW
any upper bound
of except bS هذا
معناه أن b في x أصغر من أو يساوي v لكل x ∈ S تمام؟
طيب أنا عندي b عدد سالب إذا 1/b ايضا عدد
سالب فلو ضربت المتباينة هذه في عدد سالب اللي هو
1/b فهيطلع عندي v/b أصغر من أو
يساوي X لكل X ∈ S
هذا معناه أن العدد V/b is a lower bound لمن؟
لـ set S مضبوط صح؟ وبالتالي
إذا .. إذا
الـ V/b اللي هو lower bound للـ set S أصغر من أو
يساوي الـ infimum للـ set S
احنا إيش قاعدين نثبت الـ ..
يبدو أن أنا يعني هنا بيثبت الجزء الثاني يعني، يلا
من حظكم نحاول نثبت الجزء الثاني مش الأول فكمان مرة
نراجع B عدد سالب S is bounded وبالتالي bounded
below إذن الـ infimum لـ set S موجود وبالتالي
المتباينة هذه بتتحقق وبالتالي هذه بتتحقق بعد ما
ضربنا في B عدد سالب إذن b وطلع upper bound لـ
set bS وبالتالي الـ supremum للـ set bS بيطلع أصغر
من أو يساوي bW الآن بدنا نثبت أن الـ b
W هذا هو الـ supremum لـ set bS تمام فأخدنا أي
upper bound v .. أي upper bound لـ set bS فوجدنا
أن v/b is a lower bound لـ set S وبالتالي v على
b أصغر من أو يساوي الـ greatest lower bound لـ set S
طب لو ضربنا في b و b عدد سالب فهيطلع عندي .. إذا
لو ضربنا المتباينة هذه في b عدد سالب فهيطلع عندي
اللي هو b في infimum S هيطلع أصغر من أو يساوي الـ
v، مضبوط هيك؟
طب هذا هذا سميته w إذا b في w أصغر من أو يساوي الـ
v إذا البرهان هذا أثبتنا فيه حاجتين إنه أول شيء
العدد bW هذا upper bound للـ set bS وبعدين
أخدنا أي upper bound v أي upper bound لـ set bS طلع
الـ v هذا أكبر من أو يساوي bW وبالتالي هذا
معناه إذا العدد bW هو عبارة عن الـ supremum
الـ supremum لـ set b في S لـ set b في S لأن هذا العدد
upper bound للـ set هذه وهو أصغر upper bound أخدنا أي
upper bound للـ set هذه طلع bW أصغر من أو يساوي
إذن bW هو أصغر upper bound للـ set هذه والآن
بنعود عن w إذن الـ b في w اللي هو infimum of S
بتطلع بيساوي supremum لـ b في S وهذا بيبرهن الجزء
الثاني من الفرع B بالمثل ممكن برهان الجزء الأول
من الفرع B فأنا بأدعوكم إلى كتابة برهان الأجزاء
المشابهة هذه تمام؟ إذن هيك بنكون .. يعني أخدنا
حلول تقريبا شبه كاملة للتمرين 5 section 2.3 في
عندكم أي أسئلة ثانية في الـ section 2.3 أو
اتنين أربعة؟ في
أي أسئلة ثانية؟ السؤال عشرة في section اتنين ثلاثة
سؤال عشرة section اتنين ثلاثة ملخص السؤال بيقول S
is a bounded bounded subset of R و Phi
لا يساوي S subset
فإن S0 non-empty subset من S مجموعة جزئية غير
خالية من المجموعة S فبدنا نثبت شو برهني أن ال
infimum لـ S أصغر من أو يساوي ال infimum لـ S0
أصغر من أو يساوي ال supremum للـ S Zero أصغر من لو
يساوي ال supremum للـ S نشوف
البرهان مع بعض برهان سهل وبسيط يعتمد على تعريف ال
infimum وعلى تعريف ال supremum طيب
أنا عندي المجموعة S since
بما أن S مجموعة غير خالية و bounded is a bounded
then ال
infimum لـ S exist and supremum لـ S both exist
بعد الـ infimum property ست اس لإنفمام وكذلك ست اس
لسوبرمام هدول موجودين في R طيب
أنا عندي السوبرمام
للـ S السوبرمام للـ S is an upper bound فهي
أيضا it is also an upper bound لأي
subset لأي subset S0 من ال S
و بالتالي and therefore and
therefore ال
supremum لـ S0
أصغر من أو يساوي ال supremum لـ S
كمان مرة ال .. ال S هذه ال S0 سبسط من S فأي upper
bound ل S هو أيضا upper bound لأي مجموعة جزئية
منها طيب ال supremum ل S upper bound ل S
وبالتالي هو upper bound ل S0 طيب ال supremum ل S0
هذا أصغر upper bound ل S0وهذا upper bound ل S0 إذا
أصغر upper bound أصغر من لو يساوي أي upper bound
وبالتالي المتباينة هذه صحيحة كذلك by
definition حسب التعريفات ال
infimum للـ S0 أصغر من أو يساوي ال supremum للـ S0
الـ
S0 هذه
طبعا هذه ال set S0 subset من S و S bounded إلى S0
bounded ال infimum ل S0 exist و ال suprem ل S0
exist دائما لأي set S0 ال infimum دائما أصغر من أو
يساوي ال supremum نعمل رسمة نوضح الكلام هذا
نعتبر أن هذه هي الست اس وهي
ال .. ال .. ال supremum للست اس وهي ال infimum
للـ set S فدائما ال .. دائما
ال minimum لأي set هو lower bound لل set وبالتالي
أصغر من لو يساوي كل عناصرهاهو عبارة عن lower bound
للست ال supreme للست S هو عبارة عن upper bound
للست وبالتالي أكبر من أو يساوي كل عناصرها فواضح أن
ال infimum للست S لازم يكون أصغر من أو يساوي ال
supremum ونفس الشيء لو أخذنا أي مجموعة جزئية سمنها
S0
يعني هذه المجموعة اسمها S0 فبما أن ال set S
bounded إذن S0 bounded وبالتالي ال supremum ل S0
دايما أكبر من أو يساوي ال infimum ل S0 بنفس الطريقة
إذن هذا دايما .. هذا دايما صحيح عشان احنا نكمل
البرهان إذا احنا أثبتنا هذا واضح من التعريفات وهذا
الجزء أثبتناه باقي
إثبات الجزء الأخير هذا فإذا
بنقول finally أخيرا لإثبات الجزء الأخير هذا أنا
عندي ال inform ل S is a lower bound ل S
وبالتالي هو lower bound لأي مجموعة جزئية S0 من S
وبالتالي
إذا ال influence ل S0 هذا
أكبر lower bound ل S0 هذا أكبر lower bound ل S0 و
هذا lower bound ل S0 إذاً هذا بيطلع أكبر من أو
ساوي infimum ال S هذا lower bound ل S0 و هذا
أكبر lower bound ل S0 إذاً هذا أصغر من أو يساوي
هذا و هذا بيكمل برهان المتباينة اللى حاطين عليها
علامة استفهام إذا هيك بيكون برهاننا التمرين okay
تمام واضح؟
في أسئلة ثانية خلنا نحل كمان سؤال إذا بتحبه ممكن
نحل كمان سؤال
في section اتنين ثلاثة برضه؟ اه في أي section؟
اتنين ثلاثة ولا اتنين أربعة؟ اتنين ثلاثة؟ طيب نحل
هذا السؤال و بعد هيك يعني نوجد
هي السؤال الحادي عشر سيكشن اتنين ثلاثة بنشوف
السؤال شو بيقول S
subset من R و
S* بساوي ال supremum لـ S وهذا بينتمي لل S
belongs to S فإذا
كان U لا ينتمي لل S إذا كان U لا ينتمي لل S شو
عايزين نثبت أن ال superman لـ
S union singleton U بيطلع بيساوي ال superman لـ
اللي تتكون من عنصرين S* و U
where are you؟ طبعا في برهانين للسؤال هذا ال
proof one البرهان الأول we
use .. we use exercise
تسعة section اتنين ثلاثة وهذا ال exercise بيقول
إذا كانت لو
كان a و b bounded
فهذا بيؤدي أن a union b is bounded and
مش هيكوا بس و ال supremum .. ال supremum لإتحاد b
بساوي supremum
Supermom A و Supermom
B إذا
هذا تمرين رقم تسعة هناخده نستخدمه فلو استخدمنا هذا
التمرين فالنتيجة هذه بتطلع على طول مباشرة إذا
هنا take
A بساوي S و
طبعا هادي ال set bounded ال set هادي bounded و
عندي ال set B هاخدها singleton U و هادي bounded
set إذا by exercise 9 a hat b اللي هي ال S هذه
بتطلع bounded by
exercise 9 section 2 3 ال S union singleton u is
bounded and
مش هيكوا بس ال supremum لـ A اتحاد بالـ S union
هذا الـ A وهذا الـ Singleton U بتساوي الـ Supremum
لـ
Supremum A هذا عبارة عن S* و Supremum D هذا
عبارة عن Singleton U أنا عندي set فيها عنصر واحد
فال Supreme تبعها هو ال info تبعها هو نفس ال
answer يعني هذا واضح من تعريف ال suprem
و هذا هو المطلوب إذا هذا تطبيق مباشر على تمرين 9
إذا المعنى أن أنتم لازم تحلوا تمرين 9 و هذا
التمرين موجود في يعني في إرشاد له أو hint لحله في
خلف .. خلف الكتاب في حل تمرين اللي .. اللي الكتاب
بيحاول يعرضها عشان يساعد الطالب نعم تفضلي
آه صحيح نعم و
في السؤال تسعة و في السؤال الحادي عشر ال S
من المقطيات bounded صحيح لأنها احنا فرضين أن S
subset من R و ال supremum لل S اللي هو S* عدد
ينتمي ل S و S subset من R هذا بيؤدي أن ال S is
bounded above على الأقل bounded above تمام؟
تمام؟ فلو كانت ال A و ال B bounded above فهيطلع
الاتحاد تبعهم bounded above و هذا اللي احنا
عايزينه و ال supremum اللي لهم بساوي .. لاتحادهم
بساوي الكلام هذا فعلى الأقل .. آه؟ و نفس الكلام
للإنفمام ممكن نثبت حاجة مشابهة بالنسبة للإنفمام
يعني ممكن نثبت أن الإنفايم هنا يعني ها and ممكن
نضيف إنفمام ل a union b بساوي انفمام انف a و انف b
فاحنا بس أخدنا .. طبخنا الجزء هذا الجزء بيكون صحيح
إذا كانت a و b both are bounded above وبالتالي
اتحادهم بيطلع bounded below و ال infimum للاتحاد
بيطلع infimum ل infimum المجمعة الثانية فهذا متحقق
هنا متحقق أن هاي S* ينتمي ل S وبالتالي عدد
حقيقي أن S ال set هذه لها supremum وبالتالي
bounded above و single to new ما هي finite set و
كل finite set is bounded فهي bounded above و below
طبعا وبالتالي ممكن نطبق الجزء هذاهذا برهان برهان
ثاني ممكن أن احنا نعمل برهان مباشر يعني بلاش
نستخدم exercise تسعة ثاني
ممكن we
consider we
consider two cases
نعتبر حالتين الـ S star هذا من المعطيات عدد حقيقي و
U عدد حقيقي آخر لا ينتمي لـ S فممكن يكون عندي الـ U
أكبر من أو يساوي S star or الـ U أصغر من S star هذا
طبعا by trichotomy by trichotomy
property من الخاصية الثلاثية U, S*) أعداد حقيقية
ففي عندي تلت حالات أما U أصغر من S*) أو U أكبر من
S*) أو U بيساوي S*) هدول حالتين وهذه الثالثة
فتعالوا في كل حالة نثبت هذا اللي هو المطلوب فإذا
في عندي في الحالة الأولى X أقل أو بيساوي من الـ Supremum
الموجود في الـ U أو
إيش الثانية؟ أو X أقل أو بيساوي الـ U، X أصغر من أو
بيساوي الـ U، صح؟ بعدها أنا هقول أكيد إن الـ X أقل
أو بيساوي من الـ .. إن الـ X lower bound is lower
bound
للـ set اللي بتتكون من S star و U صح؟ وبالتالي لحظة
شوية لو سمحتني إذا
الـ X lower bound للـ set هذه إذا الـ infimum
الـ X أصغر
من أو ساوي الـ infimum لـ Sلأ ما هو هذا lower bound
لـ S star للمجموعة هذه وبالتالي هو أصغر من أو
ساوي الـ infimum و الـ infimum دائما قولنا قبل شوية
أصغر من أو ساوي الـ supremum لنفس المجموعة لسه
متبتيلوا قبل شوية في التمرين السابق صح؟ طيب هيك
منكون أثبتنا
إذا هذا صحيح since this holds لكل
x ينتمي احنا خدنا x عشوائية فهي fix x مظبوط؟ x
كانت عنصر عشوائي ف fix x ينتمي لـ S union Singleton
U فإذا هذه الأداء صحيح لكل X ينتمي للمجموعة هذه
وبالتالي إذا الـ supremum لـ S star و U is upper
bound Upper bound لمن؟ لـ S union singleton U
مظبوط؟ إذا الـ supremum لـ S union singleton U لأ
مش هيك لأ إذا هذا عبارة عن upper bound لـ set هذه
بنثبت إن هو الـ supremumيعني هيك بيطلع هذا .. هذا
upper bound لـ S هذه لأن هذا بيطلع أكبر من أو ساوي
.. هذا أصغر من أو ساوي الـ supremum لـ
S star و U احنا بدنا مساواة صح؟ فبقدرش أستنتج
مساواة هنا تمام؟ أما شو ممكن أما زي ما عملنا في
البراهين السابقة ممكن نثبت الـ claim ممكن نثبت
المساواة كما يلي أنا عندي هذا .. هذا العدد .. هذا
العدد عبارة عن upper bound للـ set هذه احنا عايزين
نثبت إن هذا مش upper bound هو الـ least upper bound
إذا نـ claim إن الـ supremum
لـ S union لـ set هذه هو العدد هذا
انشوف let V be any upper bound لـ S union
singleton U هذا بيقدي ان X أصغر من أو بساوي او هذا
بيقدي ان
هذا بيقدي أن x أصغر من أو يساوي S لكل x في S and
x أصغر من أو يساوي لأ
عفوا إيش هذا؟ X أصغر من أو ساوي V لكل X في S and U
أصغر من أو ساوي V صح؟
طيب، معناته هذا upper bound، الـ V upper bound للـ set
S إذن الـ supremum للـ set S اللي هو S star بطلع أصغر
من أو ساوى V and U أصغر من أو ساوى V معناته إن الـ
V is upper bound Upper bound لمين؟ للـ set
اللي هي S star و U صح؟ لأن هاي V أكبر من أو يساوي
S star و أكبر من أو يساوي الـ U فهذا
بيقدي إذا الـ supremum إذا كان الـ V upper bound للـ
S هذه فالـ supremum للـ set هذي اللي هي S star و U أصغر
من أو ساوي الـ V هذا أكبر upper bound للـ set وهذا
upper bound لنفس الـ set لأن أصغر upper bound أصغر من
أو ساوي أي upper bound
وبالتالي هين أثبتنا .. هين أثبتنا أنه الـ .. العدد
هذا .. العدد هذا .. هذا العدد أثبتنا حاجتين هذا
العدد هيه upper bound لمين للـ S هذه كذلك في الـ
claim هذا أثبتنا أنه لو أخدت أي upper bound للـ S
هذه وسميته V فهذا العدد أصغر من أو ساوى V، إذن
العدد هذا هو أصغر، إذن العدد هذا هو الـ supremum لـ set
هذه، إذن هذا this proves
the
claim الادعاء اللي احنا حكينا عنه وبالتالي هذا
بيكون برهان ثاني أو برهان آخر وزي ما زميلتكم اقترحت
مافيش داعي للـ cases هنا البرهان الثاني يبدأ بـ X
تنتمي للـ set هذه وهنا أثبتنا ان العدد هذا هو الـ
supremum للـ set هذه أو الـ supremum للـ set هذه اللي هي
S اتحاد single to new الـ supremum إليها exist
موجود و بيساوي العدد supremum S star و U هو هذا
العدد upper bound للـ set هذه و أي upper bound آخر
للـ set طلع أصغر من .. أكبر من أو يساوي العدد هذا
وبالتالي هذا هو أصغر upper bound أو super bound
نعم هذي؟
اه
صح
عن؟ بينهم or مش end لأ من تعريف .. من تعريف
الاتحاد x ينتمي للاتحاد معناته x ينتمي للـ .. أو ..
مش هيك تعريف الاتحاد؟ اه sorry اه ف or مافيش end
ليش الـ end؟ معرفة إنها or بس احنا استنتجنا .. يعني
هنا مكان الـ end استنتجنا إنها upper bound لكن هنا
or يعني مش end عشان نستنتج إنها x lower bound
صحيح يعني لو كانت x أقل من أم يساوي أس أسطر and x
أقل من أم يساوي u فإنت صحيح احنا نستنتج إنه x
lower bound للمجموعة أه صحيح كلامك إذا عشان هيك
احنا لازم نحدد هل الـ u هو بالتالي كان لازم عشان
البرهنة ده فعلا يكون صح كان لازم نفصل حالتين فلو
كانت هنا الـ u لو كانت الـ .. الـ S star أصغر من أو
يساوي الـ U دكتور؟
نعم مش X هي أصغر أو يساوي الـ supremum للـ S أو إن
الـ X أصغر أو يساوي مجموعة الـ U الحالة هي كأنا خبرت
إن الـ X هتكون أصغر أو يساوي الـ supremum يا إما
supremum للـ S أو supremum للـ مجموعة الـ U يعني المهم
هي هتطلع الـ Supremum لواحدة من المجموعتين أنا
قبل جملة الـ X أزيدور أنا قصدي إن أكثر X أصغر أو
بيساوي الـ Supremum يعني بشكل مجمعة واحدة X أصغر
أو بيساوي الـ Supremum لـ S star يعني هي اللي هولأ
هاد أبراهين S أنها أصغر أو نسبة مجموعة بستار كمه
قلو يعني لو حضرتيهم المهم هتطلع للـ super أه صح لأن
الـ suprem هذا أكبر من أو ساوي S star و أكبر من أو
ساوي الـ U و X أصغر من أو ساوي .. لو كانت الـ X أصغر
من أو ساوي هذا فهي أكيد أصغر من أو ساوي الـ suprem
و لو كانت الـ X أصغر من أو ساوي الـ U فهي أكيد أصغر
من أو ساوي الـ suprem
وبالتالي هذا معناه إنه الصحيح
ففي الحالة هذه إذا الـ supremum لـ set الـ star و you
is upper bound upper bound للإتحاد
bound of S union single to new لأن
هذا fixed ماشي الحال فهذا بحل إشكالية و بعديها
بنشطب كل الكلام هذا لأ ما هو هذا الكلام يعني هو
تقريبا تفسير ل .. بما أن الـ ..هذا مالوش داعي صار
هذا مالوش داعي وهذه الخطوة بدل ما نكتبها هنا هذا
هي إذا مرة ثانية إن أيد البرهان الآن يعني البرهان
مافي مشكلة إن شاء الله هاي بنثبت X في الاتحاد تبع
المجموعتين هذول الآن X تنتمي للـ set هذه أو تنتمي للـ set
هذه يعني بتساوي LU وبالتالي الـ X تنتمي لـ S فهي
أصغر من أو ساوي الـ supremum لـ S اللي هو S الصغير
أو X أصغر من أو يساوي الـ U، X بالساوي الـ U بتقدي ان
X أصغر من أو يساوي الـ U الآن لو أخدت الـ supremum لـ S
أصغر و U طبعا هذه finite set of real numbers وفي
تمرين بيقول لو عندي finite set of real numbers فالـ
suprem تبعها موجود و ينتمي للـ set و الـ infimum
تبعها أيضا موجود و ينتمي لـ .. يعني يكون عنصر في الـ
set هذا أحد التمارين اللي طبعا ما عليناهوش لكن
بإمكانكم تثبتوه by induction فهذه finally الـ set
إذا الـ supremum تبعها exist إلا أن هذا الـ supremum
أكبر من أو ساوي S star وبالتالي أكبر من أو ساوي X
و هذا الـ supremum أكبر من أو ساوي U
وبالتالي أكبر من أو يساوي الـ X اللي هي U أكبر من
أو ساوي، إذا الآن هذا الكلام صحيح لكل X ينتمي
للإتحاد هذا العدد الآن أكبر من أو يساوي كل عناصر ال
6 في الاتحاد فهو upper bound للـ 6 هذه فهو upper bound
العدد هذا upper bound للـ 6 هذه الآن أثبتنا أن هذا
الـ upper bound هو أصغر upper bound للاتحاد وهو
أخذنا أي upper bound عشوائي للاتحاد طلع هذا ال
upper bound العشوائي أكبر من أو يساوي العدد هذا
الذي نريد هو الـ supremum إذا هذا العدد هو الـ
supremum للست هذه تمام؟ okay؟ في أي سؤال آخر؟
فلنحلّ كمان سؤالين في الـ .. نحلّ مثلا خليني
أنا اخترت لكم بعض الأسئلة مادام أنتم يعني شاكلّكم
إلا طبعا إذا أحد سأل خليني أمسح اللوح الأول ونحلّ
كمان سؤالين
يعني قبل قليل ذكرنا التمرين
هذا التمرين 12 section 2 3 وهذا التمرين يقول let
S بيـ .. let S يساوي X1 إلى XN be any non
-empty finite finite
set أو subset من R فنثبت
أن الـ show
infimum from S و supremum S ينتمي لـ S وكذلك
الـ supremum لـ 6S موجود وهو عنصر في 6S
Okay إذا الـ finite set تبعتي هذه فرضنا أن عناصرها
سمينا عناصرها x1, x2 إلى xn لأن هذه set فيها n
elements طيب ممكن نرتب العناصر هذه by rearranging
indices
if
necessary إذا كان ضروري we
may and dowe may and do assume that
x1
less than x2 less than less than xn أنا
عندي finite set call it x1 إلى xn ممكن أن أعيد
ترتيب العناصر هذه هي طبعا أعداد حقيقية فممكن أن
أعيد .. وطبعا كلهم عناصر غير متساوية فممكن
أعيد ترتيب أو تسمية العناصر هذه المؤشرات تبعات هذه
ممكن أعيد ترتيبها بحيث أن يطلع x1 أصغر من x2 أصغر
من x3 أو هكذا الأكثر هذا ممكن نعمله ولا لا؟ ممكن
الآن
تعالوا نثبت claim
أنا أُدّعي أن الـ minimum للـ set S سيطلع يساوي X
واحد وهذا ينتمي لـ S يعني بعد ما رتبت العناصر عملت
ordering لهم بالطريقة دي فحسبت أن الـ infimum plus
set S يساوي أصغر عنصر في الـ set الذي هو X1 وهذا
طبعا ينتمي إلى S طيب لإثبات ذلك clearly واضح
أن X1 is a lower bound lower bound لـ set S نظراً لأن
X1 أصغر من أو يساوي كل العناصر التي في الـ set فهو
واضح أنه lower bound الآن أنا أُثبت أنه ليس فقط
lower bound هو الـ infimum هو الـ greatest lower
bound إذا هنا now if W is
any lower bound .. any lower bound of S فهذا
معناه أن W أصغر من أو يساوي Xi لكل I يساوي 1 2
إلى N صح؟
وأصغر من أو يساوي كل عناصرها وبالتالي therefore w
أصغر من أو يساوي x واحد لأن x واحد هو أحد عناصر
الـ set إذا أنا عندي الآن x واحد is lower bound للـ set و
أي lower bound للـ set يطلع أصغر من أو يساوي x واحد
إذا by definition الـ x واحد آه أو الـ infimum للـ set
s exist and يساوي x واحد تمام؟
بالمثل ممكن نثبت الـ .. آه هنا similarly
similarly show that أن أنا سأترككم بطريقة مشابهة
تثبتوا الـ claim الثاني وهو أن الـ supremum للـ set S
exist و يساوي XN وطبعا هذا ينتمي للـ set S وهو
المطلوب okay تمام إن هيك نكون أثبتنا أن أي finite
set لها supremum لها infimum وهذان يطلعان عناصر
فيها بالتحديد الـ infimum هو الـ least element أصغر
عنصر في الـ set والـ supremum هو الـ greatest element
الذي هو أكبر عنصر في الـ set هذا طبعا الكلام غير
صحيح إذا الـ set S كانت infinite هذا فقط صحيح في
حالة الـ finite set إذا الـ .. هذا يكون يكمل برهان
التمرين هذا وبالتالي نكتفي بحل أو بهذا القدر من
حل التمرين وإن شاء الله أسبوع القادم نكمل حلّ
تمارين أخرى