1
00:00:00,540 --> 00:00:03,780
بسم الله الرحمن الرحيم ما زلنا نحن ب chapter 8

2
00:00:03,780 --> 00:00:07,480
techniques of integration طرق التكامل section 8

3
00:00:07,480 --> 00:00:10,660
أربعة، راح نأخذ اليوم طريقة من طرق التكامل

4
00:00:10,660 --> 00:00:14,160
integration by partial fraction يعني بالكسور

5
00:00:14,160 --> 00:00:19,780
الجزئية،  كيف نستخدم اللي هي الكسور الجزئية

6
00:00:19,780 --> 00:00:23,260
طبعًا يكون عندنا التكامل تبعي عبارة عن fraction F

7
00:00:23,260 --> 00:00:29,060
على G، في عندنا كيف F على G، طبعًا نحن عشان نعمل 

8
00:00:29,060 --> 00:00:32,680
partial fraction أكثر يجب أن نطلع على المقام كيف شكله

9
00:00:32,680 --> 00:00:37,240
المقام اللي هي G of X، إذا كان ممكن يكون المقام من

10
00:00:37,240 --> 00:00:41,520
الدرجة الأولى يعني X ناقص R، وممكن يكون مربع أو أقواس

11
00:00:41,520 --> 00:00:47,460
M مثلًا، فهذا اللي هو يكون هذا من الدرجة الأولى X أس

12
00:00:47,460 --> 00:00:50,440
واحد، يعني من الدرجة الأولى، وطبعًا في عندنا كمان

13
00:00:50,440 --> 00:00:53,340
partial fraction يكون المقام من الدرجة الثانية

14
00:00:53,830 --> 00:00:57,490
اليوم راح نشوف كيف بدنا... نشوف كيف بدنا نستخدم ال

15
00:00:57,490 --> 00:01:02,670
partial fraction علشان نكامل المقدار، خلينا نتعلم 

16
00:01:02,670 --> 00:01:05,830
هذا من خلال الأمثلة، use partial fraction to 

17
00:01:05,830 --> 00:01:10,090
evaluate التكامل، والبسط، وهنا المقام، المقام محلل 

18
00:01:10,090 --> 00:01:13,470
وجاهز طبعًا، أول شيء لما بدنا نستخدم ال partial

19
00:01:13,470 --> 00:01:19,480
fraction بدنا نلاحظ عدة ملاحظات، الملاحظة الأولى يجب

20
00:01:19,480 --> 00:01:23,020
أولًا التأكد أن درجة البسط أقل من درجة المقام، يعني 

21
00:01:23,020 --> 00:01:26,440
درجة البسط هنا 2، ودرجة المقام هنا X في X في X يعني

22
00:01:26,440 --> 00:01:30,820
X تكعيب، ثلاثة، درجة البسط أقل من درجة المقام، فلن لو

23
00:01:30,820 --> 00:01:35,740
كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، لازم نعمل نعمل 

24
00:01:35,740 --> 00:01:38,880
بالأول قسمة مطولة، بعد هيك بنعمل ال partial if 

25
00:01:38,880 --> 00:01:43,240
reaction، الآن درجة البسط أقل من درجة المقام، بنروح

26
00:01:43,240 --> 00:01:46,700
الحاجة الثانية نطلع عليها، اللي هو النظر إلى المقام

27
00:01:46,700 --> 00:01:50,570
نطلع إيش على المقام؟ المقام هذا اللي هو فيه ثلاث

28
00:01:50,570 --> 00:01:54,110
حالات، ثلاث حالات للمقام، أول شيء أقواس من الدرجة

29
00:01:54,110 --> 00:01:57,210
الأولى مختلفة، زي هدول مختلفة يعني هذا أصغر من هذا

30
00:01:57,210 --> 00:02:01,050
غير عن هذا، أقواس من الدرجة الأولى كلهم X أس واحد

31
00:02:01,050 --> 00:02:05,570
أقواس من الدرجة الأولى مختلفة، بقى أقواس من الدرجة

32
00:02:05,570 --> 00:02:10,150
الثانية، يعني يكون فيها X تربيع ولا تتحلل، يعني زي X 

33
00:02:10,150 --> 00:02:14,450
تربيع زائد واحد مثلًا، X تربيع زائد اثنين، يعني 

34
00:02:14,450 --> 00:02:18,530
المقدار هذا لا يتحلل، يقول X تربيع ناقص واحد بتحلل 

35
00:02:18,530 --> 00:02:22,690
هذا بيصير قوسين، زي X ناقص واحد في X زائد واحد، اللي 

36
00:02:22,690 --> 00:02:27,090
بتحلل كل قسم من الدرجة الأولى، خلاص، لكن إذا كان X

37
00:02:27,090 --> 00:02:30,870
تربيع زائد واحد، فهذا ما بيتحللش، يعتبر من الدرجة

38
00:02:30,870 --> 00:02:35,390
الثانية، أو أقواس من الدرجة الأولى أو الثانية مكرر

39
00:02:35,390 --> 00:02:40,710
يعني زي X زائد واحد لكل تربيع، فهذا إيش بنسميه مكرر

40
00:02:41,070 --> 00:02:43,810
أو من الدرجة الثانية مثلًا، X تربيع زائد واحد لكل 

41
00:02:43,810 --> 00:02:48,230
تربيع، صار هذا إيش مكرر، يعني الأس نفسه مضروب في 

42
00:02:48,230 --> 00:02:53,710
نفسه أكثر من مرة، إذا هذه الثلاث الشغلات اللي نحن

43
00:02:53,710 --> 00:02:56,630
بنستخدمها، اللي هو ال partial if reaction فقط هذه 

44
00:02:56,630 --> 00:03:01,470
الثلاث أشياء، يعني ما نستخدمش لأقواس من الدرجة الثالثة

45
00:03:01,470 --> 00:03:05,230
أو الرابعة لأ، بقى فقط للدرجة الأولى أو للدرجة

46
00:03:05,230 --> 00:03:08,250
الثانية، يعني المقام بيكون من الدرجة الثانية ولا 

47
00:03:08,250 --> 00:03:13,490
يتحلل، المثال هذا اللي هو درجة البسط قلنا اثنين 

48
00:03:13,490 --> 00:03:17,850
ودرجة المقام ثلاثة اللي هو للملاحظة الأولى، المقام

49
00:03:17,850 --> 00:03:20,890
فيه أقواس من الدرجة الأولى مختلفة، يبقى هذه الملاحظة الأولى والثانية، درجة البسط أقل من درجة

50
00:03:20,890 --> 00:03:24,010
المقام، والأقواس اللي في المقام من الدرجة الأولى 

51
00:03:24,010 --> 00:03:28,510
ومختلفة، لذلك نعمل ال partial fraction، أول شيء إيش هو؟ نأخذ 

52
00:03:28,510 --> 00:03:33,090
الكسر بالأول بقى نشتغل على الكسر نعمله partial fraction نعمله يعني نجزئه إلى عدد كسور، الآن إيش 

53
00:03:33,090 --> 00:03:35,590
الكثير اللي بنجزئه على حسب المقام، فكل قوس من هدول

54
00:03:35,590 --> 00:03:39,860
بدي أحطه بكسر، فبحط X ناقص واحد بكسر، زائد X زائد 

55
00:03:39,860 --> 00:03:43,960
واحد بكسر زائد الكسر اللي هو X زائد ثلاثة، الآن إيش بنحط 

56
00:03:43,960 --> 00:03:48,360
في البسط؟ بما أن المقام من الدرجة الأولى فلازم 

57
00:03:48,360 --> 00:03:52,680
أحط في البسط درجة أقل من درجة المقام، الدرجة

58
00:03:52,680 --> 00:03:56,140
الأولى إيش الأقل منها؟ ثابت، يعني الدرجة صفر

59
00:03:56,140 --> 00:03:59,400
طبعًا الثابت يعني درجته صفر، وهكذا لأن درجة

60
00:04:02,060 --> 00:04:06,040
الأولى بنفترض بيه من درجة الصفر بنفترض C أو A1, A2, 

61
00:04:06,040 --> 00:04:09,660
A3 أي رموز ثابتة A, B, C, A1, A2, A3 اللي بدنا نجيها

62
00:04:09,740 --> 00:04:15,500
بنفترضه، إذا بنوزع المقام كل قوس فيه كسر منفصل، ونضع 

63
00:04:15,500 --> 00:04:21,600
فيه البسط ثابت، يعني درجته  صفر، الآن كيف بدنا 

64
00:04:21,600 --> 00:04:25,780
نحل؟ وبدنا نحل هذا بدنا نحل الكسر هذا يساوي هذا

65
00:04:25,780 --> 00:04:29,180
بحيث أنا لو هذا اجيت وحدت المقامات فيه يطلع هذا

66
00:04:29,180 --> 00:04:32,600
إيش قيم A وB وC اللي بتخلي هذا الكسر كله يساوي

67
00:04:32,600 --> 00:04:37,360
هدول الكسور الثلاث مجموع الكسور الثلاث، في طريقة

68
00:04:37,360 --> 00:04:41,360
راح نستخدمها، طريقة سهلة وبسيطة بدنا نستخدمها علشان

69
00:04:41,360 --> 00:04:47,080
نجد ال A وB وC، إذا كانت هذه الطريقة تستخدم إذا

70
00:04:47,080 --> 00:04:51,360
كانت الأقواس من الدرجة الأولى ومختلفة، يعني مثل هذا 

71
00:04:51,360 --> 00:04:54,940
السؤال، الأقواس من الدرجة الأولى ومختلفة، بنستخدم 

72
00:04:54,940 --> 00:04:58,080
طريقة سهلة جدًا، بسميها طريقة cover-up، اسمها طريقة

73
00:04:58,080 --> 00:05:02,040
cover-up، فهي مشروحة في آخر هذا extension، لكن نحن

74
00:05:02,040 --> 00:05:05,940
راح نستخدمها على طول من أول، يعني الطريقة الأسهل 

75
00:05:05,940 --> 00:05:09,240
راح نستخدمها على طول، الآن بدنا نطلع قيمة A، بنقول

76
00:05:09,240 --> 00:05:13,630
المقام تبع ال A، X ناقص واحد، امتى يساوي صفر؟ لما ال

77
00:05:13,630 --> 00:05:16,890
X تساوي واحد، بنروح هنا على الكسر هذا الآن، X ناقص

78
00:05:16,890 --> 00:05:21,530
واحد، هذه لو عوضنا فيها بواحد بتصير صفر، عشان هيك 

79
00:05:21,530 --> 00:05:24,310
إيش بنخبي؟ هذا القوس، بنخبي هذا القوس وبنعوض في الباقي

80
00:05:24,310 --> 00:05:28,170
يبقى بدنا نخبي هذا القوس هنا ونعوض في الباقي هذا

81
00:05:28,170 --> 00:05:31,750
كله، بنعوض ال X تساوي واحد، يعني واحد وأربعة، خمسة،

82
00:05:31,750 --> 00:05:36,350
واحد وستة على اثنين في أربعة، ثمانية، ستة على ثمانية

83
00:05:36,350 --> 00:05:41,250
ستة على ثمانية يعني إيش؟ يعني ثلاثة على أربعة، يبقى 

84
00:05:41,250 --> 00:05:45,410
ال A تساوي ثلاثة على أربعة، يبقى هيك نطلع ال A، يبقى

85
00:05:45,410 --> 00:05:48,930
أول شيء بنقول hide، يعني بخبي له X ناقص واحد، and 

86
00:05:48,930 --> 00:05:52,550
substitute، يعني بعوض ب X تساوي واحد، on the left

87
00:05:52,550 --> 00:05:57,150
side، يعني هنا، بنخبي X - 1، هذا بنعوضش فيه لإنه بيطلع 

88
00:05:57,150 --> 00:06:02,630
صفر أصلًا، وبعوض في الباقي هدول الاثنين، والبسط بعوض

89
00:06:02,630 --> 00:06:06,870
ب X تساوي واحد، ومنها بيطلع قيمة A، اللي هو تساوي

90
00:06:06,870 --> 00:06:10,870
ثلاثة على أربعة، نفس الشيء الآن بنطلع قيمة B، بنروح

91
00:06:10,870 --> 00:06:15,310
إيش؟ بنشوف المقام تبع B إمتى يساوي صفر؟ لما X 

92
00:06:15,310 --> 00:06:19,410
تساوي سالب واحد، الآن بنروح بنخبي هذا القوس اللي هو

93
00:06:19,410 --> 00:06:23,270
بيصير صفر قيمته لما نعوض ب X تساوي سالب واحد، سالب

94
00:06:23,270 --> 00:06:27,390
واحد بنخبي هذا القوس، وبنعوض ياش في الباقي ب -1، سالب

95
00:06:27,390 --> 00:06:32,650
واحد تربيع يعني واحد، وبعدين ناقص أربعة بيطلع ناقص 

96
00:06:32,650 --> 00:06:35,650
ثلاثة زائد واحد، يعني ناقص اثنين، وناقص واحد ناقص

97
00:06:35,650 --> 00:06:40,450
واحد ناقص اثنين في اللي هو اثنين بيطلع عندنا اللي

98
00:06:40,450 --> 00:06:45,610
هو قيمة B، اللي هي نصف، بيطلع عندنا قيمة B نصف، عشان نجد

99
00:06:45,610 --> 00:06:50,980
C برضه بنفس الطريقة، بنشوف أين المقام يساوي صفر عند

100
00:06:50,980 --> 00:06:54,940
ال X بيساوي سالب ثلاثة، بنروح بنخبي هذا القوس اللي

101
00:06:54,940 --> 00:07:00,100
هو بنعوض فيه سالب ثلاثة بيطلع صفر، بنخبيه وبنعوض في

102
00:07:00,100 --> 00:07:04,200
الباقي هذا كله بنعوض بسالب ثلاثة، وبهيك بنطلع قيمة

103
00:07:04,200 --> 00:07:08,000
C اللي هي تساوي بيطلع عندنا سالب ربع، يبقى هيك

104
00:07:08,000 --> 00:07:11,740
طلعنا A وB وC بطريقة بسيطة جدًا، وما بدهاش أي جهد 

105
00:07:11,740 --> 00:07:16,080
ولا أي calculations كثيرة، بعد ذلك سنقوم بالتكامل

106
00:07:16,080 --> 00:07:21,340
التكامل يساوي التكامل A 3 على 4 X - 1، زائد B قيمتها

107
00:07:21,340 --> 00:07:28,040
نصف على X زائد واحد، والـ C سالب ربع على X زائد 3 DX

108
00:07:28,040 --> 00:07:32,420
يبقى التكامل تبعنا ال fraction هذا كله يتوزع إلى 

109
00:07:32,420 --> 00:07:36,800
ثلاثة، كل واحد من هذول قابل للتكامل، الآن هذا يصبح 3

110
00:07:36,800 --> 00:07:41,580
على 4 ln المقام، زائد نصف ln المقام، ناقص ربع ln المقام

111
00:07:41,580 --> 00:07:46,810
يبقى هنا الثلاثة قابلين للتكامل، كل واحد منهم عبارة 

112
00:07:46,810 --> 00:07:51,090
عن ln المقام زائد C، إذا كان الحل ثاني، نأخذ مثال

113
00:07:51,090 --> 00:07:59,650
على الحل الثاني اللي هو إذا كان المقام من الدرجة 

114
00:07:59,650 --> 00:08:02,490
الأولى ومكرر، يعني أي شيء في البسط X - R مثلًا أس N

115
00:08:02,490 --> 00:08:07,730
الآن هذا كيبنا نجزئه في هذا الكسر، اللي هي كان طبعًا 

116
00:08:07,730 --> 00:08:11,950
البسط إيش ما يكون فيه، المهم أن المقام كيبنا نتصرف 

117
00:08:11,950 --> 00:08:15,430
فيه، بنحط كله منجزئه إلى عدة كسور بحيث أنه أول شيء

118
00:08:15,430 --> 00:08:21,060
بأخذ X - 1 أس 1، وبعدين نفسه X - R أس تربيع، وبعدين 

119
00:08:21,060 --> 00:08:26,480
تكعيب لحد ما أوصل لأخر أس اللي هو أس N، يبقى منجزق

120
00:08:26,480 --> 00:08:31,200
هذا الكسر بحيث أنه بأخذ المقام أولًا أس واحد، ثم 

121
00:08:31,200 --> 00:08:36,170
تربيع، ثم تكعيب، لحد ما أوصل لأس المطلوب، الآن إيش بنحط

122
00:08:36,170 --> 00:08:41,650
في البسط؟ بنحط في البسط حسب الدرجة الموجودة هنا

123
00:08:41,650 --> 00:08:44,830
الآن الدرجة الموجودة هنا X أس واحد، يعني من الدرجة

124
00:08:44,830 --> 00:08:47,250
الأولى، وبالتالي بحط في البسط ثابت، برضه هنا 

125
00:08:47,250 --> 00:08:50,470
باطلعش على التربيع هذه صح X تربيع، لكن أنا باطلع 

126
00:08:50,470 --> 00:08:53,610
على جوا الأس، اللي جوا الأس التكرار ما يهمنيش أنا

127
00:08:53,610 --> 00:08:56,970
اللي جوا الأس واللي بيهمني من الدرجة الأولى بنحط 

128
00:08:56,970 --> 00:08:59,770
برضه ثابت، هنا من الدرجة الأولى طبعًا مش X تكعيب

129
00:08:59,770 --> 00:09:03,260
هذه لأ، أنا X من الدرجة الأولى فبنحط A ثابت، و

130
00:09:03,260 --> 00:09:06,720
هكذا، كل الأقواس هذه، في هذه الحالة لا نستخدم طريقة 

131
00:09:06,720 --> 00:09:11,960
ال cover up، ال hide اللي هي cover up لا تستخدم

132
00:09:11,960 --> 00:09:14,840
بالفعل، أنا أستخدم لإنهم كلهم زي بعض، كلهم المقام 

133
00:09:14,840 --> 00:09:19,240
تبعهم بيساوي 0 عند ال R، فلأ تظبطش عندنا طريقة

134
00:09:19,240 --> 00:09:23,140
cover up لإيجاد ال As هذه، ما تظبطش طريقة cover up 

135
00:09:23,140 --> 00:09:27,960
ولكن هناك طريقة أخرى هي طريقة التفاضل بعد تسوية

136
00:09:28,310 --> 00:09:32,330
الكسور، أي اتضارب في المقام، الآن بدنا نشوف هذا

137
00:09:32,330 --> 00:09:36,090
الكلام بمثال، use partial fraction to evaluate

138
00:09:36,090 --> 00:09:40,790
التكامل ل 6X زائد 7 على X زائد 2 لكل تربيع، الآن هي



141
00:09:45,650 --> 00:09:51,150
عندك المقام لكل تربيع الآن أول شيء قلنا لازم نتأكد

142
00:09:51,150 --> 00:09:54,310
أن درجة الـ bus أقل من درجة المقام طبعًا هذه واحد

143
00:09:54,310 --> 00:09:59,360
وهذه x تربيع درجته كدرجة يعني لكن هو من الدرجة

144
00:09:59,360 --> 00:10:03,440
الأولى ومكرر فبنعمله بطريقة أخرى لكن هو بالأصل من

145
00:10:03,440 --> 00:10:06,700
الدرجة الثانية إذا كان بنا نطلع على درجة المقام

146
00:10:06,700 --> 00:10:11,220
كلها الآن بنا نأخذ الكسر هذا ونعمله partial

147
00:10:11,220 --> 00:10:14,800
fractions زي ما توي حكينا  كت نعمل بالمكرر بنروح من

148
00:10:14,800 --> 00:10:17,940
الحكم الأول الأوس أس واحد والأوس هذا تربيع اللي

149
00:10:17,940 --> 00:10:21,520
هي الـ M هذه لحد ما نوصل للـ M تبعد اللي هي التربيع

150
00:10:21,520 --> 00:10:25,380
خلاص بيكون في عندنا بس two fractions يعني الآن قلنا

151
00:10:25,380 --> 00:10:31,640
القصة من الدرجة الأولى بحط A والقصة من الدرجة

152
00:10:31,640 --> 00:10:39,080
الأولى بحط B الآن بنطلع A وB بحيث أعوض بالـ X سواء

153
00:10:39,080 --> 00:10:42,200
سالب اثنين طريقة الـ cover up بتنفعش لأن القصين زي

154
00:10:42,200 --> 00:10:46,050
بعض فبالتالي ما بنضبطش عند الـ cover-up إلا في الحالة

155
00:10:46,050 --> 00:10:49,430
الأولى زي المثال الأول أقواص مختلفة من الدرجة

156
00:10:49,430 --> 00:10:52,590
الأولى فقط هذه الحالة الوحيدة اللي بنستخدم إليها

157
00:10:52,590 --> 00:10:57,330
cover-up ولكن إذا كان الأوس مقدر الأسهل طريقة أني

158
00:10:57,330 --> 00:11:00,950
أستخدمها هي طريقة التفاضل أول شيء لازم أتخلص من

159
00:11:00,950 --> 00:11:04,230
المقام فبضرب في المقام كله لما بضرب في المقام بضل

160
00:11:04,230 --> 00:11:07,400
عندنا هنا الـ bus أنا أضرب في المقام مضال A في X 

161
00:11:07,400 --> 00:11:10,660
زائد 2 نضرب في المقام بتخلص المقام مضال A عشان B

162
00:11:10,660 --> 00:11:14,860
إذا يعني بنسوّي الكسر بنسوّي الكسر يعني نتخلص من

163
00:11:14,860 --> 00:11:19,230
المقام الآن أول خطوة يبقى نتخلص من المقام نتخلص من

164
00:11:19,230 --> 00:11:19,330
المقام نتخلص من المقام نتخلص من المقام نتخلص من

165
00:11:19,330 --> 00:11:19,530
المقام نتخلص من المقام نتخلص من المقام نتخلص من

166
00:11:19,530 --> 00:11:20,010
المقام نتخلص من المقام نتخلص من المقام نتخلص من

167
00:11:20,010 --> 00:11:21,490
المقام نتخلص من المقام نتخلص من المقام نتخلص من

168
00:11:21,490 --> 00:11:21,990
المقام نتخلص من المقام نتخلص من المقام نتخلص من

169
00:11:21,990 --> 00:11:24,230
المقام نتخلص من المقام نتخلص من المقام نتخلص من

170
00:11:24,230 --> 00:11:30,350
المقام نتخلص من المقام نتخلص من المقام نتخلص من

171
00:11:30,350 --> 00:11:35,230
المقام نتخلص 

172
00:11:39,600 --> 00:11:42,740
طيب الآن بعد هي كان إيش بنرجع للمعادلة هذه إيش

173
00:11:42,740 --> 00:11:46,660
بدنا نعملها بنفاضل ثم تفاضل نرجع هذه المعادلة و

174
00:11:46,660 --> 00:11:50,600
بنفاضلها يعني دائمًا تعويض تفاضل تعويض تفاضل وهكذا

175
00:11:50,600 --> 00:11:53,580
بس عندنا two constants فمش راح يلزمنا إلا غير

176
00:11:53,580 --> 00:11:56,840
تعويض وتفاضل خطوتين بس لكن لو كانوا أكثر من two

177
00:11:56,840 --> 00:12:01,020
constants بنعود بالأول وبعدين بنفاضل وبعدين

178
00:12:01,020 --> 00:12:03,320
بنعود وبعدين بنفاضل وهكذا لما أخلص كل الـ

179
00:12:03,320 --> 00:12:06,320
constants اللي إحنا بدنا نجيها اللي نجي هنا is

180
00:12:06,320 --> 00:12:09,960
أن نفاضل تفاضل هذه تبع الـ 6 وهذه تفاضلها 0 وهذه

181
00:12:09,960 --> 00:12:13,660
تفاضلها A في X يعني تفاضلها A وهذه تفاضلها 0 إذا

182
00:12:13,660 --> 00:12:18,040
الـ A طلعت A 6 بسهولة جدا يبقى الـ A تساوي 6 والـ B

183
00:12:18,040 --> 00:12:22,290
تساوي سالب 5 بعد ذلك إيش بنيجي للتكامل تبعنا بنقول

184
00:12:22,290 --> 00:12:26,790
التكامل تبع الكسر تبعنا اللي هو يساوي الـ a 6 على X

185
00:12:26,790 --> 00:12:30,790
زائد 2 زائد الـ V اللي ناقص 5 على X زائد 2 لكل

186
00:12:30,790 --> 00:12:34,950
تربيع dx صار كل واحد من هدول الكسور قابل للتكامل

187
00:12:34,950 --> 00:12:40,770
طبعًا هذا تكامله لن وهذا تكامله اللي هو ناقص 1 على

188
00:12:40,770 --> 00:12:46,030
X زائد 2 فناقص بيصير إيش زائد وهي خمسة وزائد C

189
00:12:49,890 --> 00:12:53,950
طبعًا نشوف السؤال هذا use partial fraction to

190
00:12:53,950 --> 00:12:58,970
evaluate التكامل 2x تكعيب ناقص 4x تربيع ناقص 3 على

191
00:12:58,970 --> 00:13:03,610
المقام هذا طبعًا أول حاجة أول ملاحظة بدنا نعملها

192
00:13:03,610 --> 00:13:07,810
نشوف الدرجة درجة الـ bus ودرجة المقام درجة الـ bus

193
00:13:07,810 --> 00:13:11,280
أكبر من درجة المقام بمقدار واحد يبقى ما نفعش هين

194
00:13:11,280 --> 00:13:16,320
نستخدم partial fraction مباشرة لازم بالأول نعمل

195
00:13:16,320 --> 00:13:21,080
قسمة مطولة بحيث أن درجة الـ bus تكون أقل من درجة

196
00:13:21,080 --> 00:13:24,500
المقام فبنروح إيش؟ بنقسم 2x تكعيب ناقص 4x تربيع

197
00:13:24,500 --> 00:13:29,330
ناقص x ناقص 3 على 2x تكعيب على x تربيع اللي هو

198
00:13:29,330 --> 00:13:35,270
2x وبنضرب 2x في x تربيع 2x تكعيب وبعدين ناقص 2x في

199
00:13:35,270 --> 00:13:41,430
ناقص 2x اللي هي 4x تربيع وبعدين 2x في ناقص 3 ناقص

200
00:13:41,430 --> 00:13:46,730
6x وبعدين إيش بنطرح؟ بنطرح هدول التاليين بروح ونطرح

201
00:13:46,730 --> 00:13:51,130
هذا بيصير هذا 5 X وبننزل ناقص 3 إيش وصلنا

202
00:13:51,130 --> 00:13:55,470
هنا أن الدرجة هذه أقل من هذه بنوقف خلاص هذا بيكون

203
00:13:55,470 --> 00:13:59,530
هو الـ remainder أو الباقي وهذا هو الصحيح اللي طلع

204
00:13:59,530 --> 00:14:04,830
معنا يعني الكسر تبعنا صار شكله 2 X زائد اللي

205
00:14:04,830 --> 00:14:08,270
هو الباقي هذا 5 X ناقص 3 على المقام تبعنا

206
00:14:08,270 --> 00:14:12,720
على المقام الآن بدنا نكامل طبعًا هذا هو الكسر طبعًا

207
00:14:12,720 --> 00:14:16,420
اللي بدنا نتعامل معه 2 X تتكامل X تربيع ما فيش مشكلة

208
00:14:16,420 --> 00:14:19,920
بضل هذا اللي بدنا نكامله كم بدنا نكامل هذا المقدار

209
00:14:19,920 --> 00:14:23,860
باستخدام الكسور الجزئية أو الـ partial fraction الآن

210
00:14:23,860 --> 00:14:27,280
بدنا المقام نحلله بنحلل المقام اللي هو X ناقص

211
00:14:27,280 --> 00:14:31,140
3 في X زائد 1 قوسين مختلفين من الدرجة

212
00:14:31,140 --> 00:14:35,040
الأولى كل واحد منهم من الدرجة الأولى نأخذ هذا

213
00:14:35,040 --> 00:14:39,100
لحاله ونشتغل عليه وبعدين بناخد هذا معاه وبنكامل

214
00:14:39,370 --> 00:14:44,430
الآن 5 x ناقص 3 على المقام اللي بنوزعهم لـ

215
00:14:44,430 --> 00:14:48,810
two fractions الأولان مقامه X ناقص 3 والثاني

216
00:14:48,810 --> 00:14:53,670
مقامه X زائد 1 طبعًا راح نحط في الـ bus الود a وb

217
00:14:53,670 --> 00:14:56,770
ليش؟ لأن هذا من الدرجة الأولى طب نحط constant من

218
00:14:56,770 --> 00:15:00,290
الدرجة الأولى بنحط برضه هنا constant طبعًا هنا يجوز

219
00:15:00,290 --> 00:15:03,870
أني أستخدم طريقة cover up ليش بنستخدمها؟ لأن قوسين

220
00:15:03,870 --> 00:15:07,090
مختلفين من الدرجة الأولى يبقى على طول بستخدم طريقة

221
00:15:07,090 --> 00:15:12,590
cover up كيف طريقة cover up؟ بنقول المقام A يساوي 0

222
00:15:12,590 --> 00:15:16,390
عند X تساوي 3 وبنخبّي هذا المقدار وبنعوّض في الباقي

223
00:15:16,390 --> 00:15:22,750
البسط وهذا الـ O بـ X تساوي 3 فبتطلع لنا A تساوي 3

224
00:15:22,750 --> 00:15:28,970
بنقول مقام B X تساوي سالب 1 وبنخبّي هذا الـ O

225
00:15:28,970 --> 00:15:32,590
وبنعوّض في الباقي وبنعوّض بـ X تساوي سالب 1

226
00:15:32,590 --> 00:15:36,800
فبالتالي تطلع لنا B تساوي 2 الآن صارت الـ a والـ b

227
00:15:36,800 --> 00:15:40,720
معروفين بالرحب أن التكامل يساوي التكامل هي 2x

228
00:15:40,720 --> 00:15:45,240
ما بننساش زائد الـ a التي هي 3 على X-3 زائد b

229
00:15:45,240 --> 00:15:49,000
التي هي 2 على X زائد 1 dx الآن كل واحد من هدول

230
00:15:49,000 --> 00:15:53,680
صار قابل للتكامل بسهولة 2x تكامل X تربيع وهي 3

231
00:15:53,680 --> 00:15:57,720
لن المقام زائد 2 لن إيش المقام زائد c طبعًا

232
00:15:57,720 --> 00:15:58,660
absolute المقام

233
00:16:01,740 --> 00:16:04,880
بقي أخذنا احنا هالنوعية انه على الأول اللي هو

234
00:16:04,880 --> 00:16:09,700
من الدرجة الأولى ومن الدرجة الأولى والأقواس

235
00:16:09,700 --> 00:16:14,060
مختلفة ونمر اثنين من الدرجة الأولى ومكرر الآن

236
00:16:14,060 --> 00:16:16,900
بدنا نأخذ الأقواس من الدرجة الثانية وبعدين من

237
00:16:16,900 --> 00:16:20,020
الدرجة الثانية مكرر لأن لما تكون عندي من الدرجة

238
00:16:20,020 --> 00:16:23,540
الثانية يعني زي X تربيع زائد P X زائد Q هذا من

239
00:16:23,540 --> 00:16:27,650
الدرجة الثانية ولا يتحلل فنروح كاتبين في الـ bus من

240
00:16:27,650 --> 00:16:30,390
الدرجة الأولى يبقى اللي بالمقام من الدرجة الثانية

241
00:16:30,390 --> 00:16:33,750
بنروح كاتبين في الـ bus من الدرجة الأولى من الدرجة

242
00:16:33,750 --> 00:16:38,950
الأولى يعني PX زائد C إذا كان طبعًا ممكن يكون كمان

243
00:16:38,950 --> 00:16:42,930
من الدرجة الثانية وكمان مكرر يعني مثلًا المقام

244
00:16:42,930 --> 00:16:47,560
عبارة عن X تربيع زائد P X زائد Q قوس N اللي هو المقام

245
00:16:47,560 --> 00:16:50,840
زي هيك أس N إيش بنعمل في هذه الحالة بنحط أول شيء أس

246
00:16:50,840 --> 00:16:54,820
واحد وبعدين تربيع وهكذا لما نوصل لآخر أوس طبعًا

247
00:16:54,820 --> 00:16:58,040
في كل bus من هدول اللي جوا الأوس من الدرجة

248
00:16:58,040 --> 00:17:00,300
الثانية فمنروح حافظ في الـ bus من الدرجة الأولى

249
00:17:00,300 --> 00:17:03,180
اللي جوا الأوس من الدرجة الثانية منفك من الدرجة

250
00:17:03,180 --> 00:17:05,940
الأولى من الدرجة الثانية ولا منفك من الدرجة

251
00:17:05,940 --> 00:17:10,380
الأولى إذا هذه هي اللي من الدرجة الأولى طبعًا ممكن

252
00:17:10,380 --> 00:17:13,260
ندمج الاثنين مع بعض يكون في أقواس من الدرجة الأولى

253
00:17:13,260 --> 00:17:16,710
وأقواس من الدرجة الثانية أقواس مكررة نفس الـ من

254
00:17:16,710 --> 00:17:20,810
الدرجة الثانية مكرر يعني ممكن يكون كل الأنواع

255
00:17:20,810 --> 00:17:25,350
موجودة في سؤال واحد نشوف المثال على هذا النمط اللي

256
00:17:25,350 --> 00:17:29,030
هو التكامل هي عندنا الـ bus ناقص من X زائد 4 على X

257
00:17:29,030 --> 00:17:32,370
تربيع زائد 1 في X ناقص 1 لكل تربيع إيش وجد

258
00:17:32,370 --> 00:17:35,950
عندنا؟ وجد عندنا اللي هو في مقام من الدرجة الثانية

259
00:17:35,950 --> 00:17:39,970
ولا يتحلل X تربيع زائد 1 وفي عندي من الدرجة

260
00:17:39,970 --> 00:17:43,210
الأولى مكرر من الدرجة الأولى مكرر إيش بنعمل في هذا

261
00:17:43,210 --> 00:17:47,570
الـ fracture؟ بنروح إيش نجزئه إلى هي المقام الأول

262
00:17:47,570 --> 00:17:51,610
إشي الأول هو X تربيع زائد 1 وبعدين المكرر طبعًا

263
00:17:51,610 --> 00:17:54,930
هنفض أول شيء أس واحد وبعدين تربيع هي إيش المكرر

264
00:17:54,930 --> 00:17:58,490
الآن بنيجي إيش منهم نحط في الـ bus لكل واحد منهم

265
00:17:58,490 --> 00:18:01,610
لأن بما أن هذا من الدرجة الثانية ولا يتحلل بنروح

266
00:18:01,610 --> 00:18:04,450
حاطين في الـ bus من الدرجة الأولى الدرجة الأولى

267
00:18:04,450 --> 00:18:09,010
يعني A1 X زائد A2 الآن هذا من الدرجة الأولى بنحط

268
00:18:09,010 --> 00:18:12,070
constant وهذا جوا من الدرجة الأولى ما ننادي هذا

269
00:18:12,070 --> 00:18:15,670
المكرر هذا للمكرر لكن جوا إيش فيه من الدرجة الأولى

270
00:18:15,670 --> 00:18:18,910
بنحط له constant الآن فينا أربعة constants بدنا

271
00:18:18,910 --> 00:18:22,690
نطلعهم أربعة constants بدنا نطلعهم في هذه الحالة

272
00:18:22,690 --> 00:18:26,610
طبعًا هذه إحنا راح نستخدم في هذا السؤال لما يوجد من

273
00:18:26,610 --> 00:18:29,970
الدرجة الثانية ولا يتحلل ما بتضبطش هذا مستخدم له

274
00:18:29,970 --> 00:18:34,110
طريقة cover up لأن هذا المقام لا يساوي صفر نمر

275
00:18:34,110 --> 00:18:38,950
اثنين طريقة التفاضل برضه ما هي كثير بتضبط لأن برضه

276
00:18:38,950 --> 00:18:43,620
هذا ما أقدرش أعوّض فيه الآن أحسن طريقة لحل هذه الأسئلة

277
00:18:43,620 --> 00:18:49,080
هي المعادلات كيف يعني أول أول شيء طبعًا لازم أسوي

278
00:18:49,080 --> 00:18:51,980
المعادلة إيش يعني أسوي المعادلة يعني أتخلص من المقام

279
00:18:51,980 --> 00:18:55,340
فبروح بضرب في المقام كله نضرب في المقام بضلنا

280
00:18:55,340 --> 00:19:00,050
عندنا الـ bus الآن نضرب في المقام كله بروح X تربيع 

281
00:19:00,050 --> 00:19:03,630
زائد واحد و بظهر x ناقص واحد لكل تربيع يبقى ال bus

282
00:19:03,630 --> 00:19:07,090
مضروب x ناقص واحد لكل تربيع التانية a تلاتة بروح x

283
00:19:07,090 --> 00:19:11,050
ناقص واحد و بظهر الباقي و a أربعة بروح x ناقص واحد

284
00:19:11,050 --> 00:19:14,730
لكل تربيع و بظهر x تربيع زائد واحد بويس الآن ضربنا

285
00:19:14,730 --> 00:19:19,010
إيش في المقام يعني سونا الكسب يعني اتخلصنا من

286
00:19:19,010 --> 00:19:22,910
المقام الآن بعد هيك إيش بدنا نعمل؟ بدنا نروح نضرب

287
00:19:22,910 --> 00:19:25,810
نضرب هدول الأقواس كلهم اتباع نضرب الأقواس ببعض كل

288
00:19:25,810 --> 00:19:30,330
هدول ونجمع معاملات X تكعيب لحاله معاملات ال X

289
00:19:30,330 --> 00:19:33,510
تربيع ومعاملات ال X و ال constant الآن معامل X

290
00:19:33,510 --> 00:19:37,230
تكعيب لإنه A1 زي ال A3 و هذا كله هي معامل X

291
00:19:37,230 --> 00:19:40,510
تربيع و هذا كله معامل ال X و هذا إيش اللي ما فيش

292
00:19:40,510 --> 00:19:44,710
فيه X ال constant بعد هيك إيش بدنا .. الآن في ال

293
00:19:44,710 --> 00:19:47,890
polynomial في كثير .. هذا يعني function كثير في

294
00:19:47,890 --> 00:19:52,600
الحدود polynomial دائماً الطرف هذا يساوي الطرف هذا

295
00:19:52,600 --> 00:19:55,920
يعني معامل x تكعيب من هنا المفروض يساوي معامل x

296
00:19:55,920 --> 00:19:59,740
تكعيب من هنا بما أن هنا ما فيش x تكعيب يبقى معامل x

297
00:19:59,740 --> 00:20:03,720
تكعيب يساوي 0 معنى ال a1 زي a3 يساوي 0 هي أول

298
00:20:03,720 --> 00:20:08,760
معادلة بعدين لأن هذا معامل x تربيع لأن هنا ما فيش

299
00:20:08,760 --> 00:20:11,640
برضه عندنا x تربيع يبقى معامل x تربيع برضه يساوي 0

300
00:20:11,640 --> 00:20:15,190
إذا كل هدول ال constant مجموعة يساوي 0 الآن هذا

301
00:20:15,190 --> 00:20:21,230
معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X

302
00:20:21,230 --> 00:20:26,450
وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل 

303
00:20:26,450 --> 00:20:26,990
X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا

304
00:20:26,990 --> 00:20:27,590
وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل

305
00:20:27,590 --> 00:20:28,710
X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا

306
00:20:28,710 --> 00:20:29,290
معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X

307
00:20:29,290 --> 00:20:30,950
وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل

308
00:20:30,950 --> 00:20:35,970
معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وهذا معامل X وه

309
00:20:36,160 --> 00:20:38,860
ومعامل X تربيع ومعامل X و ال constant الأربع

310
00:20:38,860 --> 00:20:42,440
معادلات هدول الأولى حصلنا عليهم بدنا نحلهم مع بعض

311
00:20:42,440 --> 00:20:47,940
الأربع معادلات و نطلع اللي هو بال constant كلهم

312
00:20:47,940 --> 00:20:51,780
نطلعهم أول شيء هي بالجمع المعادلة الأولى والثانية

313
00:20:51,780 --> 00:20:58,510
جمعناهم مع بعض راحت a تلاتة و إيش الباقي a واحد ناقص

314
00:20:58,510 --> 00:21:02,290
اتنين a واحد ناقص a واحد و بعدين اتنين a أربعة أربعة

315
00:21:02,290 --> 00:21:03,210
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

316
00:21:03,210 --> 00:21:06,750
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

317
00:21:06,750 --> 00:21:06,850
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

318
00:21:06,850 --> 00:21:07,630
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

319
00:21:07,630 --> 00:21:10,170
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

320
00:21:10,170 --> 00:21:20,090
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أرب

321
00:21:20,420 --> 00:21:23,240
الآن هذه المعادلة و هذه المعادلة نجمعها مع بعض

322
00:21:23,240 --> 00:21:26,780
تظهر لنا اتنين a أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

323
00:21:26,780 --> 00:21:28,960
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

324
00:21:28,960 --> 00:21:31,040
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

325
00:21:31,040 --> 00:21:32,600
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

326
00:21:32,600 --> 00:21:35,580
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

327
00:21:35,580 --> 00:21:38,040
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

328
00:21:38,040 --> 00:21:46,040
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

329
00:21:46,040 --> 00:21:53,400
يبقى هذه ستة هي نفسها اتنين الآن بدنا نجمع تلاتة

330
00:21:53,400 --> 00:21:56,620
و ستة هي ستة هذه بدنا نجمعها مع إيش تلاتة تلاتة

331
00:21:56,620 --> 00:22:00,240
زائد ستة نتوصل إلى ناقص a واحد ناقص اتنين يساوي

332
00:22:00,240 --> 00:22:04,520
سالب تلاتة هذه بتسميها معادلة سبعة بعدين بدنا نروح

333
00:22:04,520 --> 00:22:11,300
نجمع إيش نجمع معادلة خمسة و سبعة الآن خمسة إيش

334
00:22:11,300 --> 00:22:17,490
خمسة هذه الآن هنا عوضنا عن a4 تساوي واحد فصارت ناقص

335
00:22:17,490 --> 00:22:24,530
a1 زائد a2 اللي هي زائد واحد يساوي صفر واللي a1

336
00:22:24,530 --> 00:22:27,950
يعني ناقص a2 يساوي واحد ربنا تناقص هذه إيش معادلة

337
00:22:27,950 --> 00:22:33,710
خمسة يعني من هذه المعادلة أو هذه a1 ناقص a2 و a1

338
00:22:33,710 --> 00:22:36,730
واحد بنوديها على الجهة التانية بتصير واحد وهي سادي

339
00:22:36,730 --> 00:22:40,430
خمسة الآن خمسة وسبعة هذه المعادلة و هذه بدنا

340
00:22:40,430 --> 00:22:43,790
نجمعهم مع بعض بطلع ناقص ناقص اتنين اتنين يساوي

341
00:22:43,790 --> 00:22:47,750
سالب اتنين يعني a2 تساوي واحد بعدين هذا يؤدي

342
00:22:47,750 --> 00:22:50,830
لأن a2 تساوي واحد بنروح لأي معادلة من هدول

343
00:22:50,830 --> 00:22:54,910
a2 تساوي واحد فبالتالي a2 a2 a2 a2

344
00:22:54,910 --> 00:22:57,010
a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2

345
00:22:57,010 --> 00:22:57,610
a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2

346
00:22:57,610 --> 00:23:00,090
a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2

347
00:23:00,090 --> 00:23:09,210
a2 a2 a2 a2 a2 

348
00:23:09,210 --> 00:23:13,910
اتبهذه الطلاع ماهياش كل ال constants و بعدين ايهاش

349
00:23:13,910 --> 00:23:18,490
بنروح بنكمل التكامل إذا التكامل تبعنا التكامل

350
00:23:18,490 --> 00:23:26,110
الكسر يساوي اللي هي a1 x ذائب a2 و هنا a3 و هنا a4

351
00:23:26,110 --> 00:23:29,590
بنعوض عنهم بتطلع معنا بالشكل هذا الآن كل واحد من

352
00:23:29,590 --> 00:23:33,910
هدول قابل للتكامل الآن بس هذا بدنا برضه نشتغل فيه

353
00:23:33,910 --> 00:23:37,650
كمان شوية لأن ال bus على المقام هكذا لا يتكامل لازم

354
00:23:37,650 --> 00:23:41,410
نوزع ال bus على المقام فنقول 2x على x تربيع زائد

355
00:23:41,410 --> 00:23:44,550
واحد زائد الواحد على x تربيع زائد واحد بنوزع ال

356
00:23:44,550 --> 00:23:48,930
bus على المقام بنفسه إلى كثيرة و هدول الكثور زي ما

357
00:23:48,930 --> 00:23:53,210
هما الآن هذا ال bus تفاضل المقام بالظبط التكامل

358
00:23:53,210 --> 00:23:56,550
هذا يساوي لأن المقام واحد على x تربيع زائد واحد

359
00:23:56,550 --> 00:24:00,810
تكامله tan inverse x هذا حافظيله tan inverse x الآن

360
00:24:00,810 --> 00:24:04,400
هذا التكامل طبعاً لأن المقام وهذا تكامله زي 1 على U

361
00:24:04,400 --> 00:24:12,480
تربيع و ناقص 1 على U زائد C ثمان

362
00:24:12,480 --> 00:24:15,840
سؤال اللي هو فيه موجود اللي هو القوس من الدرجة

363
00:24:15,840 --> 00:24:20,600
الثانية و مكرر اللي هو تكامل DX على X في X تربيع

364
00:24:20,600 --> 00:24:24,540
زائد 1 لكل تربيع يبقى القوس من الدرجة الثانية مكرر

365
00:24:25,330 --> 00:24:29,910
وهنا X أس واحد من الدرجة الأولى كيف نوزعهم هذول

366
00:24:29,910 --> 00:24:32,970
الكثير هي أخدنا الكثر بحاله بالأول نعمله partial

367
00:24:32,970 --> 00:24:36,650
fraction و بعدين بالكامل بنقول هي ال X و بعدين X

368
00:24:36,650 --> 00:24:39,830
تربيع زائد واحد أس واحد و بعدين تربيع يبقى المكرر

369
00:24:39,830 --> 00:24:44,290
X من فوق أس واحد و بعدين X من فوق التربيع الآن X

370
00:24:44,290 --> 00:24:47,410
من الدرجة الأولى بنحط هنا constant A هذا من الدرجة

371
00:24:47,410 --> 00:24:51,570
الثانية و لا يتحلل بنحط فيه بص من الدرجة الأولى برضه

372
00:24:51,570 --> 00:24:54,450
اللي داخل القوس طبعاً هذا الاتنين هي للتكرار لكن

373
00:24:54,450 --> 00:24:57,210
اللي داخل القوس من الدرجة الثانية فبنفتح ال bus من

374
00:24:57,210 --> 00:25:00,250
الدرجة الأولى يبقى هي إيش عملنا ال partial if

375
00:25:00,250 --> 00:25:03,150
reaction بعد هيك بدنا نوجد ال a و ال b و ال c و ال

376
00:25:03,150 --> 00:25:07,310
d و ال a قديش أربعة خمسة خمسة constants بدنا

377
00:25:07,310 --> 00:25:11,110
نوجدها طبعاً برضه طريقة ال curve up ماتظبطش معانا

378
00:25:11,110 --> 00:25:15,830
لإن القوس من الدرجة الثانية ماتظبطش فيه الآن بدنا

379
00:25:15,830 --> 00:25:19,850
نعمل إيش اللي هو طريقة المعادلات طبعاً أول شيء بنا

380
00:25:19,850 --> 00:25:23,270
نضرب نتخلص من المقام نضرب في X في X تربيع زائد

381
00:25:23,270 --> 00:25:28,410
واحد الكل تربيع ضل لنا واحد و هنا X بتروح X ال A

382
00:25:28,410 --> 00:25:31,770
بتروح X و بيضل X تربيع زائد واحد الكل تربيع و

383
00:25:31,770 --> 00:25:34,790
الثاني بيضل X في X تربيع زائد واحد و الثالث بيضل

384
00:25:34,790 --> 00:25:40,350
اللي هو X هيك ضربنا في المقام سوينا المعادلة بعدين

385
00:25:40,350 --> 00:25:43,970
بنفك التربيعات و نفك هدول الأقواس نضربهم كلهم مع بعض

386
00:25:43,970 --> 00:25:48,570
و نجمع معامل x أُس أربعة اللي هو a زائد b و معامل

387
00:25:48,570 --> 00:25:51,610
x تكعيب وهي معامل x تربيع وهي معامل x وهي ال a

388
00:25:51,610 --> 00:25:57,490
بعدين معامل x أس أربعة طبعاً ما فيش هنا x أس أربعة

389
00:25:57,490 --> 00:26:00,270
فمعامل x أس أربعة يساوي صفر يبقى a زائد b يساوي

390
00:26:00,270 --> 00:26:03,310
صفر x تكعيب برضه ما فيش x تكعيب على الجانب الثاني

391
00:26:03,310 --> 00:26:06,990
فمعنى ده ال exeto ساوي صفر معامل x تربيع برضه

392
00:26:06,990 --> 00:26:11,000
يساوي صفر معامل x برضه يساوي صفر و ال constant

393
00:26:11,000 --> 00:26:14,400
يساوي واحد فتظهر هنا a تساوي a اش واحد ال constant

394
00:26:14,400 --> 00:26:18,240
ما فيش غير a لحاله يساوي a اش واحد يطلعنا a تساوي

395
00:26:18,240 --> 00:26:21,700
واحد الآن مدام a تساوي واحد يعني a تساوي سالب b

396
00:26:21,700 --> 00:26:25,880
يعني b تساوي سالب واحد و طبعاً هنا c صفر كمان الآن

397
00:26:25,880 --> 00:26:30,980
a و b صاروا معروفين ال a اللي هي واحد و ال b سالب

398
00:26:30,980 --> 00:26:36,820
واحد تطلع هنا ال b سالب واحد و ال c هنا صفر معناه

399
00:26:36,820 --> 00:26:40,110
ذلك ان ال a برضه تطلع a اش صفريبقى هاي ال A صلّعنا

400
00:26:40,110 --> 00:26:43,970
كل ال constants هنا بسهولة بعد هيك إيش بنروح بنعوض

401
00:26:43,970 --> 00:26:48,730
هي التكامل يساوي ال A اللي هي واحد على X و ال B

402
00:26:48,730 --> 00:26:54,830
اللي هي واحد ال B برضه سالب واحد هي سالب X و بعدين

403
00:26:54,830 --> 00:26:59,270
اللي هو ال C صفر ما فيش زائد شيء و ال D X اللي هي

404
00:26:59,270 --> 00:27:03,190
ال D قديش طلعت ال D تساوي سالب واحد يعني سالب هي

405
00:27:03,190 --> 00:27:08,530
سالب X و ال E اللي هي صفر الآن عشان نكامل هذا الآن

406
00:27:08,530 --> 00:27:11,890
بتلاحظ على ان هنا ال bus تفاضل المقام بس بلزمه

407
00:27:11,890 --> 00:27:15,690
اتنين فنطلع اتنين و نضرب في نصف برضه هنا المقام

408
00:27:15,690 --> 00:27:19,030
اللي جوه القوس تفاضله اتنين x فبنضرب برضه باتنين و

409
00:27:19,030 --> 00:27:22,170
بنقسم على اتنين وبالتالي هي كانت بيصير إيش قابل

410
00:27:22,170 --> 00:27:25,510
لتكامل واحد على x طبعاً تكامل على ln القوس لوط لل x

411
00:27:25,510 --> 00:27:29,650
في ناقص نصف برة صار هذا ln المقام لل x ترمي زاد

412
00:27:29,650 --> 00:27:34,460
واحد زائد اللي هي نص طبعاً هذه زي du على u تربيع

413
00:27:34,460 --> 00:27:44,060
اللي هو ناقص واحد على u تكامله زائد c تم

414
00:27:44,060 --> 00:27:48,480
من المثال اللي هو التكامل x زائد 8 على x تكعيب في

415
00:27:48,480 --> 00:27:52,780
x تربيع زائد 4 dx الآن هنا إيش x تكعيب يقولوا لأ

416
00:27:52,780 --> 00:27:56,560
ده من الدرجة الثالثة لأ إحنا هذا بنعمله إيش إنه

417
00:27:56,560 --> 00:28:02,290
مكرر زي x ناقص صفر لكل تكعيب x-0 لكل تكعيب فنضع x

418
00:28:02,290 --> 00:28:06,810
ثم نكرر وتربيع ثم إيش تكعيب الآن هذا يعتبر كل واحد

419
00:28:06,810 --> 00:28:10,130
منهم من الدرجة الأولى كويس هذا التكرار هذا المكرر

420
00:28:10,130 --> 00:28:13,470
فبعنا إذا نضع في ال bus a,b,c نضع في ال bus

421
00:28:13,470 --> 00:28:17,270
constant الثاني هو x تربيع زائد 4 من الدرجة

422
00:28:17,270 --> 00:28:21,330
الثانية اللي هو متحللش فبالتالي نضع في ال-bus أوص

423
00:28:21,330 --> 00:28:25,630
من الدرجة الأولى من الدرجة الأولى كويس طبعا هنا

424
00:28:25,630 --> 00:28:29,470
برضه لايجوز طريقة ال-cover up بنروح إيش؟ بنسوي أول

425
00:28:29,470 --> 00:28:32,250
شيء اللي نضرب يعني في المقام بنسوي الكثر نضرب في

426
00:28:32,250 --> 00:28:36,530
المقام فبيطلع هنا بالشكل هذا بعد هيك بنجمع بنضرب

427
00:28:36,530 --> 00:28:40,590
الأوس دولة كلهم في بعض وبعدين بنجمعهم بنحط هي

428
00:28:40,590 --> 00:28:43,970
معامل X أس 4 هو هذا وبعدين معامل X تكعيب و X

429
00:28:43,970 --> 00:28:48,310
تربيع و X وال-constant بعد هيك إيش؟ بنروح معامل X

430
00:28:48,310 --> 00:28:53,320
أس 4 يساوي 0، معامل الـ X تكعيب برضه صفر، معامل الـ X 

431
00:28:53,320 --> 00:28:57,720
تربيع برضه صفر، معامل الـ X يساوي واحد، لأن هي X 

432
00:28:57,720 --> 00:29:00,520
معاملها واحد، فبالتالي أربعة B يساوي واحد، يعني

433
00:29:00,520 --> 00:29:03,900
B تساوي ربع، هيطلعنا قيمة الـ B، والـ 4 C

434
00:29:03,900 --> 00:29:07,420
تساوي 8، من هنا 8، يعني الـ C تساوي

435
00:29:07,420 --> 00:29:10,860
2، أي هدول طلعناهم، بيضل نوجد هدول إيش

436
00:29:10,860 --> 00:29:15,880
التلاتة طبعا بما أن الـ C تساوي 2، فمن هنا

437
00:29:15,880 --> 00:29:20,300
بنطلع الـ A تساوي سالب نصف، الـ B تساوي ربع، فبالتالي

438
00:29:20,300 --> 00:29:25,400
الـ E تساوي سالب ربع، الـ A من هنا تساوي سالب نصف 

439
00:29:25,400 --> 00:29:29,500
فبالتالي الـ D تساوي نصف، هي دول اللي استطلعناها

440
00:29:29,500 --> 00:29:32,940
وبالـ EGH بنعود بالتكامل فبيصير التكامل تبعنا

441
00:29:32,940 --> 00:29:36,860
بنعود على الـ A والـ B والـ C والـ D والـ E بتطلع

442
00:29:36,860 --> 00:29:42,530
إنه بشكل هذا ال-fraction طبعا هنا هدول جاهدين

443
00:29:42,530 --> 00:29:45,910
للتكامل بس بيضل هذا لازم نوزع البسط على المقام

444
00:29:45,910 --> 00:29:52,310
فبناخد اللي هو نصف، نصف X، نصف X اللي هي X على X تربيع

445
00:29:52,310 --> 00:29:56,390
زائد 4، طبعا هنا المقام تفاضل و2 X ضربنا في

446
00:29:56,390 --> 00:29:59,650
2 وقسمنا على 2 وفي 2 هنا بالأصل فصارت

447
00:29:59,650 --> 00:30:04,110
4 وبعدين ناقص ربع هي ناقص ربع على المقام على

448
00:30:04,110 --> 00:30:07,910
إيش المقام open كامل، هي ناقص نصف وهذا لم

449
00:30:07,910 --> 00:30:12,080
الـ |X| وبعدين زائد ربع تكامل واحد على X

450
00:30:12,080 --> 00:30:15,060
تربيع ناقص واحد على X، هي السالب هي واحد على X

451
00:30:15,060 --> 00:30:18,640
2 على X تكعيب تكاملها سالب واحد على X

452
00:30:18,640 --> 00:30:23,480
تربيع وبعدين هنا زائد ربع ln المقام، ln المقام و

453
00:30:23,480 --> 00:30:27,260
بعدين ناقص ربع هذه عبارة عن tan inverse طبعا في

454
00:30:27,260 --> 00:30:31,400
عندنا a يعني نصف اللي 1 على a tan inverse X على 

455
00:30:31,400 --> 00:30:34,080
a tan inverse X على a زائد c

456
00:30:39,090 --> 00:30:42,930
الآن في أنا مثال آخر ممكن نستخدم يعني التعويض

457
00:30:42,930 --> 00:30:45,630
بالأول وبعدين يطلع partial reaction في أنا 

458
00:30:45,630 --> 00:30:50,070
exponential هنا وفي المقال، فلو أخدنا اللي هو U

459
00:30:50,070 --> 00:30:54,530
هتساوي E أس X، دي U هتكون E أس X DX الآن بدنا

460
00:30:54,530 --> 00:30:58,510
ناخد بالأول عامل مشترك من المصدر E أس X، فلو أخدنا

461
00:30:58,510 --> 00:31:02,490
E أس X عشان نحطها دي U E أس X DX إيش بتظهر لنا

462
00:31:02,490 --> 00:31:06,090
هنا؟ بتظهر لنا E 3X وهذه تظهر لنا E أس X

463
00:31:06,090 --> 00:31:09,750
وهذه تظهر لنا واحدة، بقيت واحد هاي أخدنا إياها هذه

464
00:31:09,750 --> 00:31:13,870
عشان نحطها دي U وبعدين بنعوض بالـ U هذه تصبح U

465
00:31:13,870 --> 00:31:18,470
تكعيب وهذه تصبح U وبعدين ناقص واحد وهذه كلها U على U 

466
00:31:18,470 --> 00:31:22,490
تربيع زي الـ 4 U زي التلاتة الآن هذا صار عندنا

467
00:31:22,490 --> 00:31:26,010
إيش بنعمله partial if reaction بالأول طبعا درجة

468
00:31:26,010 --> 00:31:29,230
الـbus أكبر من درجة المقام لازم نعمل بالأول قسمة

469
00:31:29,230 --> 00:31:32,570
مطولة فبنروح عاملين القسمة المطولة بنقسم الـbus

470
00:31:32,570 --> 00:31:36,590
على المقام، أين قسمناه طلع هذا الصحيح وهذا إيش

471
00:31:36,590 --> 00:31:40,520
الباقي، وهذا الباقي فبالتالي بنروح كاتبين الـ

472
00:31:40,520 --> 00:31:43,960
fraction تبعنا تبعنا اللي هو كسر هذا يساوي التكامل U

473
00:31:43,960 --> 00:31:48,660
ناقص 4 اللي هو الصحيح زائد الباقي على المقام

474
00:31:48,660 --> 00:31:52,180
الآن هذا هذا اللي بدنا نعمله partial لأن هذا الجزء

475
00:31:52,180 --> 00:31:54,960
هو اللي بده partial if fraction فإيش بدنا نعمل في

476
00:31:54,960 --> 00:31:58,960
هذا؟ بنروح نحلل المقام U زائد 3، U زائد 1

477
00:31:58,960 --> 00:32:05,060
الآن هذا طبعا المقام من الدرجة الأولى ومختلفين

478
00:32:05,060 --> 00:32:09,540
فبنوزع لكل واحد في أوص وكل واحد في كسر وطبعا

479
00:32:09,540 --> 00:32:11,880
بأنه من الدرجة الأولى راح نفط في الـbus اللي هو A

480
00:32:11,880 --> 00:32:16,600
وB طبعا هنا بنقدر نستخدم طريقة cover up لإنه من

481
00:32:16,600 --> 00:32:23,560
الدرجة الأولى ومن الدرجة الأولى ومختلفين الآن

482
00:32:23,560 --> 00:32:26,580
بنطلع الـ A بنروح وبنعوض U تساوي سالب 3 و

483
00:32:26,580 --> 00:32:30,000
بنخبي هذا وبنعوض الـbus هو في هذا الـ أوص U تساوي

484
00:32:30,000 --> 00:32:34,310
سالب 3 بتطلع إنه A تساوي 17، الآن بنطلع الـ

485
00:32:34,310 --> 00:32:38,130
B وبنعوض الـ U تساوي سالب واحد وبنخبي هذا أوص و

486
00:32:38,130 --> 00:32:42,190
بنعوض في الباقي هدول بنعوض الـ B بتطلع لنا B تساوي

487
00:32:42,190 --> 00:32:46,630
سالب 2 فبيصير عندنا التكامل يساوي تكامل U ناقص

488
00:32:46,630 --> 00:32:50,730
4 زائد 17 على U زائد 3 ناقص 2 على

489
00:32:50,730 --> 00:32:54,750
U زائد 1، كل واحد منهم هدول بتكمل U تكملة U ترجع

490
00:32:54,750 --> 00:32:59,450
2 ناقص 4 U وزائد 17 ln المقام ومناقس 2 ln

491
00:32:59,450 --> 00:33:04,410
المقام زائد C ومن رجع بنشيل U ومنحط بدالها E plus

492
00:33:04,410 --> 00:33:08,350
X بهذا الشكل فهذه كل الأفكار الموجودة بهذا الـ

493
00:33:08,350 --> 00:33:12,330
section هي هنا مشروحينها، طريقة ال-cover up إيه

494
00:33:12,330 --> 00:33:15,370
بتستخدم إذا كانوا أوص من الدرجة الأولى بالشكل هذا

495
00:33:15,370 --> 00:33:17,930
لأن المقام G of X اللي هو المقام كان أوص من

496
00:33:17,930 --> 00:33:22,410
الدرجة الأولى مختلفين R1 R2 R3 يعني مختلفين

497
00:33:22,790 --> 00:33:26,370
وبالتالي بنستخدم طريقة cover-up زي ما حكينا، ما هي

498
00:33:26,370 --> 00:33:30,770
ثمانية مثال آخر لطريقة cover-up بقولي find a وb وc

499
00:33:30,770 --> 00:33:35,030
in the partial fraction expansion هي عندك الوصف

500
00:33:35,030 --> 00:33:40,290
هذا، حطينا كل واحد منهم في مقام يكسر لحاله والبسط

501
00:33:40,290 --> 00:33:43,810
اللي هو a,b,c بنطلع الـ a والـ b والـ c بنطلع الـ a

502
00:33:43,810 --> 00:33:47,670
بنعود X تساوي 1 بنخبي هذا وبنعوض في الباقي

503
00:33:47,670 --> 00:33:51,590
X تساوي 1 بنطلع الـ a تساوي 1، الـ B نفس الشيء

504
00:33:51,590 --> 00:33:57,750
نعوض بالـ X2 نخبى هذا القص ونعوض بالباقي هدول

505
00:33:57,750 --> 00:34:03,210
التلاتة نعوض ب X2 بيطلعنا B في ثالث خمسة نفس

506
00:34:03,210 --> 00:34:07,890
الشيء الـ C نعوض بالباقي ب X3 نخبى هذا القص نعوض

507
00:34:07,890 --> 00:34:11,450
بالباقي ب X3 بيطلعنا بيطلعنا C5

508
00:34:15,290 --> 00:34:21,350
قلنا فيه طريقة ثانية التي هي طريقة التفاضل أكثر 

509
00:34:21,350 --> 00:34:24,950
تستخدم طريقة التفاضل هي المثال اللي حلناه المثال 2

510
00:34:24,950 --> 00:34:28,230
اللي هو إذا كان الـ أوص مكرر بس يكون من الدرجة

511
00:34:28,230 --> 00:34:32,150
الأولى من الدرجة الأولى مكرر فبنحطه A على X زائد

512
00:34:32,150 --> 00:34:35,290
1، B على X زائد 1، تربيع، C على X زائد 1

513
00:34:35,290 --> 00:34:39,330
تكعيب، كائن بهذا الشكل، لأن عشان نوجد A وB وC بطريقة

514
00:34:39,330 --> 00:34:43,300
التفاضل اللي هو قلناها، أول شيء بنا clearing

515
00:34:43,300 --> 00:34:48,560
fraction يعني نتخلص من الكسر، نسوي المعادلة يعني 

516
00:34:48,560 --> 00:34:51,940
بنا نتخلص من المقام فبنضرب في المقام تطلع لنا

517
00:34:51,940 --> 00:34:56,580
المعادلة بهذا الشكل، بعد هيك دقيقة بنعمل تعويض

518
00:34:56,580 --> 00:35:00,300
تفاضل، تعويض، تفاضل وهتما بنبقى عاملين زي هيك ده، الآن

519
00:35:00,300 --> 00:35:03,680
أول شيء بنعوض باللي هو الـ X2 تساوي سالب 1 اللي هو إن

520
00:35:03,680 --> 00:35:04,760
المقام يساوي صفر

521
00:35:16,160 --> 00:35:22,760
تعويض تفاضل تفاضل

522
00:35:22,760 --> 00:35:28,180
تفاضل

523
00:35:30,720 --> 00:35:37,080
تفاضل تفاضل تفاضل

524
00:35:37,080 --> 00:35:44,600
تفاضل تفاضل تفاضل تفاضل تفاضل

525
00:35:44,600 --> 00:35:58,260
تفاضل تفاضل تفاضل تفاضل تفاضل

526
00:35:59,310 --> 00:36:00,610
بالموجب 2 2 2 2 2 2 2

527
00:36:00,610 --> 00:36:06,730
2 2 2 2 2 2 2 2

528
00:36:06,730 --> 00:36:09,110
2 2 2 2 2 2 2 2

529
00:36:09,110 --> 00:36:09,990
2 2 2 2 2 2 2 2

530
00:36:09,990 --> 00:36:10,130
2 2 2 2 2 2 2 2

531
00:36:10,130 --> 00:36:10,150
2 2 2 2 2 2 2 2

532
00:36:10,150 --> 00:36:21,890
2 2 2 2 2 2 2

533
00:36:21,890 --> 00:36:24,150
2

534
00:36:25,340 --> 00:36:29,240
اللي هي تسوية المعادلة وحل المعادلات بشكل هذا

535
00:36:29,240 --> 00:36:33,200
بنجمع المعاملات وبنحطهم معادلات وبنحلهم المعادلات

536
00:36:33,200 --> 00:36:37,160
مع بعض هذه طريقة عامة بتنحل كل الأسئلة فيها بهذه

537
00:36:37,160 --> 00:36:40,100
الطريقة ولكن الطريقتين التانيين اللي هي طريقة الـ

538
00:36:40,100 --> 00:36:44,520
cover-up وطريقة التفاضل الحالات خاصة طريقة الـ

539
00:36:44,520 --> 00:36:47,160
cover-up فقط بتنفع للأوص من الدرجة الأولى و

540
00:36:47,160 --> 00:36:50,840
مختلفة طريقة التفاضل بتنفع للأوص من الدرجة

541
00:36:50,840 --> 00:36:57,530
الأولى ومكررة، وهيك نكون خلصنا section 4 مرة

542
00:36:57,530 --> 00:36:58,010
جالسة