1
00:00:20,870 --> 00:00:25,910
المرة اللي فاتت أو في المحاضرة السابقة عرفنا ال

2
00:00:25,910 --> 00:00:31,410
cluster point  وأخذنا أمثلة كيف نجيب ال cluster 

3
00:00:31,410 --> 00:00:39,710
points لمجموعة معينة ووجدنا عند المثال الثالث

4
00:00:59,030 --> 00:01:05,110
المثال الثالث show that

5
00:01:05,110 --> 00:01:12,070
zero is the only cluster

6
00:01:12,070 --> 00:01:18,290
point of 

7
00:01:18,290 --> 00:01:23,570
the set A 

8
00:01:26,690 --> 00:01:31,870
كل واحد على N حيث N that's a number  دكتور هذا

9
00:01:31,870 --> 00:01:37,210
مثال ثاني أخذناها ده؟ لأ لأ اللي أخذناه اللي هو ال

10
00:01:37,210 --> 00:01:48,030
.. هناخدها هناخدها هناخدها في .. هنا هنا .. هنا

11
00:01:48,030 --> 00:01:55,250
هنا اثنين

12
00:01:59,360 --> 00:02:11,580
أن Zero is a cluster point  ثلاثة

13
00:02:11,580 --> 00:02:22,720
دلتا أكبر من الصفر Be given by Archimedean 

14
00:02:22,720 --> 00:02:25,880
property

15
00:02:30,960 --> 00:02:40,920
يوجد N تنتمي إلى N بحيث أن واحد على N

16
00:02:40,920 --> 00:02:54,340
أصغر من دلتا hence

17
00:03:01,430 --> 00:03:09,270
الدلتا نيبر هو صفر لو

18
00:03:09,270 --> 00:03:25,690
أخذت xN هو واحد على N فهذا ينتمي إلى

19
00:03:25,690 --> 00:03:39,580
المجموعة A وانت ليه لا ال delta number هنا ل ..

20
00:03:39,580 --> 00:03:44,040
أو ال x هذا المفروض دلتا ال delta number هو ده

21
00:03:44,040 --> 00:03:47,860
اسمه

22
00:03:47,860 --> 00:03:56,940
أسوأ؟ إذن

23
00:03:56,940 --> 00:03:58,460
هذا لا أي سؤال خالد

24
00:04:06,200 --> 00:04:10,700
الدلتا نبر هود للصفر اللي هي الفترة المفتوحة من 

25
00:04:10,700 --> 00:04:16,100
سالب دلتا إلى دلتا

26
00:04:16,100 --> 00:04:21,960
فهي عندي واحد على N أصغر من دلتا وطبعا أكبر من صفر

27
00:04:24,160 --> 00:04:27,620
فواحد على N ينتمي للـDelta neighborhood للصفر

28
00:04:27,620 --> 00:04:32,400
وواحد على N ينتمي للمجموعة A وبالتالي يجب أن نكون

29
00:04:32,400 --> 00:04:38,580
أثبتنا أنه لأي دلتا أكبر من الصفر أو أي دلتا

30
00:04:38,580 --> 00:04:44,680
neighborhood للصفر يتقاطع مع A في نقطة مختلفة عن 

31
00:04:44,680 --> 00:04:49,000
الصفر ال

32
00:04:49,000 --> 00:04:56,810
X إن جلدها تساوي صفر لاتصار الصفر وبالتالي إذا 

33
00:04:56,810 --> 00:05:05,470
هذا يثبت الصفر is a cluster point of

34
00:05:05,470 --> 00:05:12,310
الست إذا هذا يثبت ال claim الآن ليه مايكون فيه

35
00:05:12,310 --> 00:05:14,130
cluster points أخرى؟

36
00:05:30,490 --> 00:05:41,150
إذا كانت X لا تساوي صفر، فهي ليست مجموعة من A 

37
00:05:41,150 --> 00:05:46,390
فحاسبكم

38
00:05:46,390 --> 00:05:47,630
أنتم تكتبوا البرهان

39
00:05:50,290 --> 00:06:02,390
هي صفر وهي واحد وهي نصف وهي ثلث وهي واحد على N وهي

40
00:06:02,390 --> 00:06:05,390
واحد على N زائد واحد وهكذا

41
00:06:16,430 --> 00:06:25,930
فهنا ثاني two cases case one أن x تنتمي إلى a و

42
00:06:25,930 --> 00:06:34,690
الحالة الثانية case two أن x لا تنتمي إلى a ال x

43
00:06:34,690 --> 00:06:39,530
دي مش تساوي صفر احنا already اثبتنا أن الصفر

44
00:06:39,530 --> 00:06:43,850
cluster point طيب افرض X مش تساوي صفر إذا X ممكن

45
00:06:43,850 --> 00:06:48,170
تساوي واحد أو نصف أو ثلث أو واحد على N for some N

46
00:06:48,170 --> 00:06:53,250
صح؟ ممكن ماتساويش ولا عنصر ممكن ماتكونش تمثل أي 

47
00:06:53,250 --> 00:06:58,070
فلو كانت ال X واحد من العناصر هدول واحد من العناصر

48
00:06:58,070 --> 00:07:04,630
الست فبقدر ألاقي أن يوجد بقدر ألاقي دلتا

49
00:07:04,630 --> 00:07:08,990
neighborhood للعنصر مثلًا الثلث بقدر ألاقي دلتا

50
00:07:08,990 --> 00:07:09,490
neighborhood

51
00:07:13,860 --> 00:07:19,840
العنصر اللي بعد هذا هيكون ربع فباخد المسافة الأصغر

52
00:07:19,840 --> 00:07:26,560
بين ثلث ربع ثلث ونصف وباخد نصف المسافة دلتا فبيصير

53
00:07:26,560 --> 00:07:30,920
عندي هنا دلتا نبر هود للثلث وبتقاطعش مع المجموعة A

54
00:07:30,920 --> 00:07:38,120
بالمرة أو في نقطة مختلفة عن الثلث وبالتالي لو كانت 

55
00:07:38,120 --> 00:07:44,880
ال X موجودة في A زي الثلث مثلًا فال X ليست cluster

56
00:07:44,880 --> 00:07:49,860
point الآن ال X لا تنتمي ل A؟ ال X لا تنتمي ل

57
00:07:49,860 --> 00:07:55,920
A؟ معناته هي عنصر هنا زي هذا X أزرق من صفر أو X

58
00:07:55,920 --> 00:08:01,540
ممكن تكون جاية بين عنصرين فباخد المسافة بين X و

59
00:08:01,540 --> 00:08:04,840
أقرب عنصر لها من اليمين وأقرب عنصر لها من

60
00:08:04,840 --> 00:08:11,140
اليسار وباخد نصف المسافة دلتا أو إبسيلون وبكون

61
00:08:11,140 --> 00:08:17,480
دلتا نبر هود ل X هذا دلتا نبر هود مش هيتقاطع مع ال A و

62
00:08:17,480 --> 00:08:20,700
بالتالي النقطة هذه عمرها ما بتكون cluster point

63
00:08:20,700 --> 00:08:26,020
ممكن كمان النقطة هذه ال X مش موجودة فيها ممكن تكون

64
00:08:26,020 --> 00:08:31,260
على شمال الصفر أو على يمين الواحد فلو كانت على يمين

65
00:08:31,260 --> 00:08:35,560
الواحد خد نصف المسافة هي دلتا إذا هي دلتا نبر

66
00:08:35,560 --> 00:08:39,420
هود ل X مابتقاطعش معاه بالمرة بالتالي X مابت

67
00:08:39,420 --> 00:08:44,440
cluster هنا لو كانت X أصغر من صفر فخد نصف المسافة

68
00:08:44,440 --> 00:08:48,960
بين X و 0 على إنها دلتا وبالتالي كون delta

69
00:08:48,960 --> 00:08:52,460
neighborhood ل X هذا delta neighborhood بتقاطعش مع

70
00:08:52,460 --> 00:08:56,240
A بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا في كل

71
00:08:56,240 --> 00:09:01,860
الأحوال X ليست cluster point سواء كانت في A أو مش

72
00:09:01,860 --> 00:09:05,420
موجودة إذا كانت X مختلفة عن الصفر فليست cluster

73
00:09:05,420 --> 00:09:14,930
point okay إذا zero is the only النقطة الوحيدة مافيش

74
00:09:14,930 --> 00:09:18,990
نقطة غيرها بتكون cluster point بالمثل ممكن نثبت 

75
00:09:18,990 --> 00:09:29,650
مثال آخر f

76
00:09:29,650 --> 00:09:35,710
i بساوي ال

77
00:09:35,710 --> 00:09:39,830
unit technological interval and

78
00:09:51,210 --> 00:10:02,710
IQ بساوي I تقاطع ال rational numbers then 

79
00:10:02,710 --> 00:10:13,170
every x تنتمي ل I is a cluster point a cluster 

80
00:10:13,170 --> 00:10:15,250
point of IQ

81
00:10:18,800 --> 00:10:26,900
إذا I هي الفترة المغلقة من صفر لواحد IQ هي كل

82
00:10:26,900 --> 00:10:31,800
الأعداد النسبية الموجودة في الفترة المغلقة من صفر

83
00:10:31,800 --> 00:10:38,340
لواحد ممكن إثبات إن كل X في الفترة المغلقة I هي 

84
00:10:38,340 --> 00:10:45,940
cluster point للمجموعة IQ وذلك باستخدام ال density

85
00:10:45,940 --> 00:10:52,060
theorem proof use

86
00:10:52,060 --> 00:11:06,500
the density theorem فحاسبكم

87
00:11:06,500 --> 00:11:15,920
انتوا تكتبوا البرهان خدي أي x في I واخذتي أن أي

88
00:11:17,780 --> 00:11:22,140
أعملكم برهان هكذا بدون أن أكتب أي شيء هذه الفترة I

89
00:11:22,140 --> 00:11:29,720
من صفر إلى واحد هذه الفترة المغلقة من ملفة أن كل X

90
00:11:29,720 --> 00:11:35,800
كل X فيها هو cluster point لمجموعة الأعداد النسبية

91
00:11:35,800 --> 00:11:42,520
في I ففي عندي ثلاثة حالات MX هتكون أكبر من صفر أصغر

92
00:11:42,520 --> 00:11:48,060
من واحد يعني نقطة داخلية ليست نقطة طرفها طبعًا هي

93
00:11:48,060 --> 00:11:52,460
لو أخذت أي دلتا عدد موجب وكونت دلتا

94
00:11:52,460 --> 00:11:57,380
neighborhood لل X فال delta neighborhood هذا 

95
00:11:57,380 --> 00:12:05,920
هيتقاطع مع المجموعة A IQ حسب نظرية الكثافة أي فترة

96
00:12:05,920 --> 00:12:11,520
مفتوحة زي هذه تحتوي rational number صح؟ وبالتالي أي

97
00:12:11,520 --> 00:12:16,600
دلتا neighborhood ل ال X هيتقاطع مع المجموعة IQ

98
00:12:16,600 --> 00:12:24,160
في نقطة R مختلفة عن ال X حسب نظرية الكثافة

99
00:12:24,160 --> 00:12:28,040
وبالتالي حسب التعريف إذا ال X هذه اللي هي نقطة

100
00:12:28,040 --> 00:12:33,700
داخلية is a cluster point لمن؟

101
00:12:33,700 --> 00:12:40,260
للمجموعة IQ لو كانت ال .. ال .. ال x هي نقطة الطرف

102
00:12:40,260 --> 00:12:46,960
الحالة الثانية لما x تكون هي صفر لما x تكون بساوي

103
00:12:46,960 --> 00:12:52,160
صفر وخدي أي دلتا neighborhood لأن هاي سالب دلتا

104
00:12:52,160 --> 00:12:56,560
موجب دلتا فالفترة

105
00:12:56,560 --> 00:13:01,200
هذه تتقطع يعني

106
00:13:01,200 --> 00:13:07,230
هاي دلتا هادي دلتا و هادي نقطة صفر الآن الفترة 

107
00:13:07,230 --> 00:13:12,870
هذه بقدر ألاقي فيها rational number حسب مباريك 

108
00:13:12,870 --> 00:13:16,970
الكثافة موجود بين صفر و دلتا و ال rational number

109
00:13:16,970 --> 00:13:23,550
هذا موجود في ال unit closed interval وبالتالي كل 

110
00:13:23,550 --> 00:13:28,450
دلتا neighborhood للصفر يتقاطع 

111
00:13:28,450 --> 00:13:33,670
مع المجموع IQ في نقطة R مختلفة عن الصفر وبالتالي

112
00:13:33,670 --> 00:13:37,910
الصفر هو cluster point بالمثل ممكن تثبتوا بالواحد

113
00:13:37,910 --> 00:13:41,970
cluster point لأن أي دلتا neighborhood للواحد

114
00:13:43,720 --> 00:13:48,560
هيحتوي حسب نظرية الكثافة لو هذا كان واحد ثالث دلتا 

115
00:13:48,560 --> 00:13:54,510
في النقطة هذه وهذه واحد فبنقدر نلاقي Rrational 

116
00:13:54,510 --> 00:13:58,650
number حسب مجرد كدفة بين واحد سالب دلتا وواحد

117
00:13:58,650 --> 00:14:03,710
وبالتالي ال دلتا neighborhood هذا مركزه واحد و

118
00:14:03,710 --> 00:14:08,490
نصف قطره دلتا هيتقاطع مع ال IQ في نقطة مختلفة عن

119
00:14:08,490 --> 00:14:13,250
الواحد وبالتالي واحد cluster point الآن لأن هسيبكم

120
00:14:13,250 --> 00:14:15,650
تكتبوا البرهان بالتفصيل

121
00:14:19,850 --> 00:14:25,250
Okay إذاً هيك يعني عندنا عدة أمثلة على ال cluster 

122
00:14:25,250 --> 00:14:32,490
points نرجع لمفهوم ال limit ل ال function اللي هو

123
00:14:32,490 --> 00:14:47,650
كان عنوان ال section تبعنا إذا

124
00:14:47,650 --> 00:14:48,750
هنا definition

125
00:14:55,450 --> 00:15:07,150
دع الـ f يكون دالة من a إلى r دالة 

126
00:15:07,150 --> 00:15:19,710
في أين a مجموعة جزئية من r و c مجموعة جزئية من الـ

127
00:15:19,710 --> 00:15:22,090
set A

128
00:15:26,660 --> 00:15:35,260
العدد number L هو ليمت

129
00:15:35,260 --> 00:15:39,440
للـ دالة 

130
00:15:39,440 --> 00:15:44,440
f at 

131
00:15:44,440 --> 00:15:59,020
x بس you see إذا تحقق الشرط التالي for any epsilon 

132
00:15:59,020 --> 00:16:05,340
أكبر من صفر يوجد دلتا تعتمد على إبسيلون عدد موجب

133
00:16:05,340 --> 00:16:14,690
بحيث أنه لكل x تنتمي إلى a والمسافة بين .. وال X

134
00:16:14,690 --> 00:16:23,090
هذا يختلف عن ال C والمسافة بينها وبين ال C أصغر

135
00:16:23,090 --> 00:16:30,030
من دلتا لازم هذا يضمن أن absolute F of X minus L

136
00:16:30,030 --> 00:16:41,010
أصغر من دلتا إذن هذا شرط .. هذا شرط أو بسميه أنا

137
00:16:41,010 --> 00:16:49,470
بسميه إبسيلون دلتا definition إبسيلون دلتا

138
00:16:49,470 --> 00:16:54,310
definition of limit للـ

139
00:16:54,310 --> 00:16:58,550
limit of a function الـ Limit لـ function f of x 

140
00:16:58,550 --> 00:17:03,590
بالساوي أو L هي عبارة عن Limit لـ function f of x 

141
00:17:03,590 --> 00:17:09,970
and x = C إذا لو أعطتوني أي إبسلون عدد موجب

142
00:17:09,970 --> 00:17:15,570
لازم أنا أرد عليها Delta عدد موجب آخر يعتمد على

143
00:17:15,570 --> 00:17:20,750
إبسلون بحيث أنه لكل X في المجموعة A اللي هو ال

144
00:17:20,750 --> 00:17:27,300
domain  تبع ال function و X هذه مختلفة لا تساوي C

145
00:17:27,300 --> 00:17:33,360
يعني المتباينة هذه معناها X لا تساوي C إذاً لكل x في

146
00:17:33,360 --> 00:17:38,200
A مختلفة عن الـc والمسافة بينها وبين الـc أصغر من

147
00:17:38,200 --> 00:17:42,580
دلتا لازم تطلع المسافة بين f of x و L أصغر من

148
00:17:42,580 --> 00:17:47,220
إبسلون هذا الكلام اتحقق لكل إبسلون أكبر من الصفر

149
00:17:47,220 --> 00:17:51,640
فبنقول إن العدد L is a limit of the function f عند

150
00:17:51,640 --> 00:17:52,360
النقطة c

151
00:17:59,170 --> 00:18:07,710
من هذا التعريف بينتج على طول اه طيب in this case

152
00:18:07,710 --> 00:18:13,930
in this case we 

153
00:18:13,930 --> 00:18:26,600
say انه if converges if converges to the number L

154
00:18:26,600 --> 00:18:39,520
at X = C and we write ونكتب الحالة هذه limit ل

155
00:18:39,520 --> 00:18:46,940
F of X لما X تقول إلى C = L أو ممكن نكتب limit

156
00:18:46,940 --> 00:18:54,260
F as X tends to C = L أو ممكن نكتب

157
00:19:01,220 --> 00:19:11,260
أو ممكن نكتب f of x tends to L as x tends to c كل

158
00:19:11,260 --> 00:19:16,360
هدول معناهم أن العدد L limit لل function f and x

159
00:19:16,360 --> 00:19:17,360
= c

160
00:19:22,850 --> 00:19:30,090
ف limit f of x as x tends to c does not exist،

161
00:19:30,090 --> 00:19:37,430
يعني مافيش عدد L زي هذا، we say ان ال function f

162
00:19:37,430 --> 00:19:45,590
diverges، diverges at x = c

163
00:19:50,120 --> 00:19:55,320
الآن نستطيع ان نثبت ان ال limit لل function هذه

164
00:19:55,320 --> 00:20:00,040
النقطة لو كانت موجودة لو كان ال function لها limit

165
00:20:00,040 --> 00:20:07,120
فlimit هذه لازم تكون unique ال

166
00:20:07,120 --> 00:20:19,320
function if from A to R can have only

167
00:20:39,940 --> 00:20:44,760
والبرهان شبه البرهان الـ uniqueness of the limit

168
00:20:44,760 --> 00:20:50,700
of a sequence we use epsilon over two argument

169
00:20:51,860 --> 00:20:54,780
استنتاج epsilon على اتنين او برهان epsilon على

170
00:20:54,780 --> 00:21:01,020
اتنين هنشوف مع بعض هاي برهان تروح left epsilon

171
00:21:01,020 --> 00:21:04,300
أكبر

172
00:21:04,300 --> 00:21:11,720
من السفر ب given since

173
00:21:11,720 --> 00:21:19,120
طب

174
00:21:19,120 --> 00:21:25,040
خليني الأول أبرهان النظرية هذه بدي أفرض أنه فيه

175
00:21:25,040 --> 00:21:34,640
two limits assume أن ال limit ل f of x as x tends

176
00:21:34,640 --> 00:21:44,340
to c = عدد الواحد and limit أيضا ل f of x as x

177
00:21:44,340 --> 00:21:50,340
tends to c = عدد تاني الاتنين وعشان أثبت

178
00:21:50,340 --> 00:21:57,860
النظرية لازم أثبت الإدعاء التالي إن ال1 = ال4

179
00:21:57,860 --> 00:22:07,720
فلبرهان ذلك let epsilon أكبر من السفر be given

180
00:22:07,720 --> 00:22:19,500
since مما أننا فرضين أن ال limit لأف as x tends to

181
00:22:19,500 --> 00:22:28,420
c = الواحد then by definition by epsilon

182
00:22:28,420 --> 00:22:33,180
delta definition of limit there exists delta one

183
00:22:33,180 --> 00:22:39,830
depends on epsilon positive number بحيث أنه لو كان

184
00:22:39,830 --> 00:22:46,150
x ينتمي إلى a و |x - c| أصغر من delta

185
00:22:46,150 --> 00:22:54,850
one أكبر من سفر فهذا بيقدي أن |f of x

186
00:22:54,850 --> 00:23:02,530
- l one| أصغر من epsilon على 2 عشان الاستنتاج

187
00:23:02,530 --> 00:23:05,510
هذا واحد

188
00:23:08,770 --> 00:23:13,810
Also ايضا احنا

189
00:23:13,810 --> 00:23:20,610
فرضين من ال limit لل function f of x as x tends to

190
00:23:20,610 --> 00:23:27,990
c = عدد تاني ال اتنين then

191
00:23:27,990 --> 00:23:35,650
for the same for same epsilon أكبر من ستة نفس ال

192
00:23:35,650 --> 00:23:43,140
epsilon يعنيلنفس الـ Epsilon بما أن limit ل F of X

193
00:23:43,140 --> 00:23:48,940
and X = C = L2 نجد Delta 2 تعتمد على

194
00:23:48,940 --> 00:23:53,940
Epsilon على 2 وبالتالي على Epsilon عدد موجد بحيث

195
00:23:53,940 --> 00:24:00,300
أنه لو كان X ينتمي إلى A و |X - C| أصغر

196
00:24:00,300 --> 00:24:07,350
من Delta 2 أكبر من 0 فهذا أكيد بيقدّي أنه |

197
00:24:07,350 --> 00:24:14,510
f of x - L2| أصغر من epsilon على 2 ال sum ال

198
00:24:14,510 --> 00:24:22,030
implication هي D2 الآن بناخد .. بنعرف delta ل L

199
00:24:22,030 --> 00:24:31,230
Delta = ال minimum ل delta واحد و delta اتنين

200
00:24:32,560 --> 00:24:37,340
طبعا هذا بيطلع عدد

201
00:24:37,340 --> 00:24:43,200
موجب لإن دلتا واحد ودلتا اتنين عدد موجب وكذلك دلتا

202
00:24:43,200 --> 00:24:46,200
دي تعتمد على ابسلون لإن دلتا واحد ودلتا اتنين

203
00:24:46,200 --> 00:24:52,720
يعتمدوا على ابسلون then

204
00:24:52,720 --> 00:24:55,860
by

205
00:24:55,860 --> 00:25:07,520
واحد and اتنين نحصل على التالي، لو كان x ينتقل إلى

206
00:25:07,520 --> 00:25:14,980
a و |x - c| أصغر من delta أكبر من سفر

207
00:25:14,980 --> 00:25:26,590
فهذا هيقدر أن |L1 - L2| = |

208
00:25:26,590 --> 00:25:39,610
L1 - F of X + F of X - L2| إذا انطلعت

209
00:25:39,610 --> 00:25:46,590
أنا F of X ورجعتها فكأني ما جيرتش حاجة وهذا بيطلع

210
00:25:46,590 --> 00:25:50,460
باستخدام ال triangle inequality بالترائنجل الـ

211
00:25:50,460 --> 00:25:54,900
equality لـ | مجموعة حاجتين أصغر من

212
00:25:54,900 --> 00:26:00,920
لو يساوي |L1 - F of X| + |F

213
00:26:00,920 --> 00:26:07,980
of X - L2| الآن

214
00:26:07,980 --> 00:26:13,340
باستخدام ال implication واحد، اللحظة أن الـ delta

215
00:26:13,340 --> 00:26:17,960
هي ال minimum لـ delta واحد و delta اتنين وبالتالي

216
00:26:17,960 --> 00:26:24,340
الـ delta هذه أصغر من delta واحد فحسب ال

217
00:26:24,340 --> 00:26:28,600
implication واحد لما يكون x ينتمي ل a و |x 

218
00:26:28,600 --> 00:26:33,800
- c| أصغر من delta واحد فانا بقدم ال |

219
00:26:33,800 --> 00:26:40,460
value هذه أصغر من epsilon على 2 كذلك باستخدام ال

220
00:26:40,460 --> 00:26:45,060
implication 2 أنا عندي الـ delta هذه هي الـ minimum

221
00:26:45,060 --> 00:26:51,760
لـ delta 1 و delta 2 وبالتالي أصغر من delta 2 فبال

222
00:26:51,760 --> 00:26:55,680
implication 2 بتقول لو كان x ينتمي ل a و |

223
00:26:55,680 --> 00:27:00,320
x - c| أصغر من delta 2 فال | ل f

224
00:27:00,320 --> 00:27:07,500
of x - l2| < epsilon على 2 هذا بيساوي

225
00:27:07,500 --> 00:27:16,080
epsilon إذا أنا طلع عندي أثبتت أن |L1 -

226
00:27:16,080 --> 00:27:22,540
L2| < إبسلون طبعا أكيد أكبر من أو يساوي سفر و

227
00:27:22,540 --> 00:27:28,600
الآن هذا صحيح لكل أبسلون أكبر من السفر لأن one

228
00:27:28,600 --> 00:27:34,500
hand هنا ال epsilon was arbitrary given الإبسلون

229
00:27:34,500 --> 00:27:38,660
was arbitrarily يعني نقول since this holds for

230
00:27:38,660 --> 00:27:43,160
every إبسلون في لمّة أخدناها في بداية ال course

231
00:27:43,160 --> 00:27:48,820
بتقول لو في عندي عدد حفيفي a أكبر من أو يساوي سفر و

232
00:27:48,820 --> 00:27:53,940
أصغر من إبسلون فإن إبسلون أكبر من السفر فهذا بيقدي

233
00:27:53,940 --> 00:28:00,160
أن a = سفر أخد ايه هنا الـ | ل L1

234
00:28:00,160 --> 00:28:09,140
- L2| فحسب النمة هذه هيطلع عندى هذا بقدر اللي

235
00:28:09,140 --> 00:28:15,600
قدر انه |L1 - L2| = سفر وبالتالي

236
00:28:15,600 --> 00:28:24,600
بيطلع عندى L1 = L2 وهو المطلوب إذا أنا فرقت إن

237
00:28:24,600 --> 00:28:28,860
الـ function إلها two limits عن نقطة فطلع الـ two

238
00:28:28,860 --> 00:28:32,680
limits متساوياتين وبالتالي لو كانت الـ function

239
00:28:32,680 --> 00:28:37,240
إلها limit عن نقطة فال limit تطلع وحيدة unique،

240
00:28:37,240 --> 00:28:43,200
بقى ده؟ في أي سؤال أو أي سؤال على البرهانة؟

241
00:29:02,290 --> 00:29:15,590
ناخد ملاحظة هنا الـ

242
00:29:15,590 --> 00:29:27,330
epsilon delta definition of limit of a function f

243
00:29:27,330 --> 00:29:29,270
from a to r

244
00:29:32,670 --> 00:29:40,250
the inequality المتباينة

245
00:29:40,250 --> 00:29:48,030
اللي هي |x - c| > 0 <

246
00:29:48,030 --> 00:29:58,470
دولتان means حاجتين الجزء هذا معناه أن |x

247
00:29:58,470 --> 00:30:09,330
- c| لا يساوى سفروبالتالي X لا يساوي C إذاً هذا

248
00:30:09,330 --> 00:30:17,870
يعني أن X لا تساوي C المتباينة

249
00:30:17,870 --> 00:30:23,410
التانية اللي هي |X - C| أصغر من Delta

250
00:30:23,410 --> 00:30:31,170
هذه بتكافئ أن X - C < Delta > 0

251
00:30:31,170 --> 00:30:39,850
Delta صح؟ وهذه بتكافئ أن X > C - Delta

252
00:30:39,850 --> 00:30:47,870
< C + Delta وهذا معناه أن X تنتمي لـ

253
00:30:47,870 --> 00:30:56,450
Delta Neverhood لـ C اللي هو الفترة اللي اتروها من

254
00:30:56,450 --> 00:30:59,410
C - Delta ل C + Delta

255
00:31:06,690 --> 00:31:12,550
إذا المتباينة دي معناها x لا تساوي c and x تنتمي

256
00:31:12,550 --> 00:31:18,190
لل delta اللي برجود لل c اللي هو الفترة المفتوحة

257
00:31:18,190 --> 00:31:25,170
من c - delta إلى c + delta كذلك

258
00:31:25,170 --> 00:31:29,570
المتباينة also

259
00:31:33,070 --> 00:31:37,490
الإي نكواليتي المتباينة

260
00:31:37,490 --> 00:31:43,450
اللي هي |f of x - L| أصغر من إبسلون

261
00:31:43,450 --> 00:31:46,490
means

262
00:31:46,490 --> 00:31:52,830
لو جينا الحل المتباينة هذه في f of x

263
00:32:05,840 --> 00:32:11,920
فهي عندي f of x - L < إبسلون >

264
00:32:11,920 --> 00:32:17,480
0 حل المتباينة هذه في f of x اجمع L على

265
00:32:17,480 --> 00:32:24,880
كل أطراف فبطلع f of x < L + إبسلون >

266
00:32:24,880 --> 00:32:33,940
L - إبسلون فهذا معناه أن f of x belongs to

267
00:32:33,940 --> 00:32:38,520
the epsilon neighborhood للعدد L اللي هو الفترة

268
00:32:38,520 --> 00:32:44,040
المفتوحة from L - إبسلون إلى L +

269
00:32:44,040 --> 00:32:57,040
إبسلون مظبوط؟ صحيح؟ وبالتالي إن هذا بيقود إلى

270
00:32:57,040 --> 00:32:59,780
المتيجة التالية

271
00:33:06,460 --> 00:33:20,660
دع الـ F تعمل من A إلى R وC مقاومة مقاومة من A

272
00:33:20,660 --> 00:33:32,220
ثم التقالير ممتازة التقالير ممتازة

273
00:33:36,480 --> 00:33:43,660
Limit f of x as x tends to c = عدد delta اللي

274
00:33:43,660 --> 00:33:51,460
هو تعريف epsilon delta هذا معناه أنه لكل epsilon

275
00:33:51,460 --> 00:33:57,640
أكبر من السفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد

276
00:33:57,640 --> 00:33:58,180
موجد

277
00:34:03,020 --> 00:34:10,300
Such that لو كان x ينتمي ل a و |x - c|

278
00:34:10,300 --> 00:34:16,340
أصغر من delta أكبر من ستر فهذا لازم يتضمن أن

279
00:34:16,340 --> 00:34:23,580
|f of x - L| أصغر من أصغر يعني معنى أخر

280
00:34:23,580 --> 00:34:29,200
L هي limit لل function f of x هو بتالي تعريف 

281
00:34:29,200 --> 00:34:33,300
epsilon delta  المتحفان هذا تعريف epsilon دلتا

282
00:34:33,300 --> 00:34:42,000
بكاذب ال-neverhood definition ال

283
00:34:42,000 --> 00:34:54,940
neverhood definition of limit وهو

284
00:34:54,940 --> 00:34:57,720
أن for every

285
00:35:02,320 --> 00:35:06,700
for every epsilon

286
00:35:06,700 --> 00:35:12,480
neighborhood V

287
00:35:12,480 --> 00:35:22,920
epsilon of L there exists delta neighborhood V

288
00:35:22,920 --> 00:35:30,280
delta of C بحيث

289
00:35:32,120 --> 00:35:46,700
إن لو كانت X تنتمي إلى A ومختلفة عن الـC وموجودة

290
00:35:46,700 --> 00:35:53,200
أيضًا في الـDelta neighborhood لـC فلازم هذا يقدر إن

291
00:35:53,200 --> 00:36:01,600
صورة X لازم تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL

292
00:36:06,140 --> 00:36:13,440
و هذا بالظبط عملنا آخر remark، prove it

293
00:36:13,440 --> 00:36:19,240
follows from

294
00:36:19,240 --> 00:36:32,800
above remark write

295
00:36:32,800 --> 00:36:33,380
it down

296
00:36:40,630 --> 00:36:44,690
حاولوا تكتبوا البرهان، البرهان فسرناها هنا

297
00:36:44,690 --> 00:37:00,590
واضحناها من ال-remark خلينا نشوف خلينا

298
00:37:00,590 --> 00:37:10,530
نرسم رسمها في المحور X نحو الـ y وهي ال-origin وخفض

299
00:37:10,530 --> 00:37:16,270
أنه يوجد function مثل هذه فهذا بالحقيقة function y

300
00:37:16,270 --> 00:37:23,070
بسهولة f of x وهي c نقطة في المجال تبع الدالة أو

301
00:37:23,070 --> 00:37:34,330
حتى لو ما كانت موجودة c is the cluster point وهي

302
00:37:34,330 --> 00:37:35,870
هذا عدد حقيقي

303
00:37:38,510 --> 00:37:44,570
فده عدد حقيقي فمعنى

304
00:37:44,570 --> 00:37:50,770
أن limit لل-F and X بالساوية C بالساوية L معناه

305
00:37:50,770 --> 00:37:57,210
لأي أبسلون أكبر من الصفر أي لأي أبسلون أكبر من

306
00:37:57,210 --> 00:38:24,500
الصفر ممكن أنا أقول epsilon neighborhood لأي

307
00:38:24,500 --> 00:38:33,180
epsilon أكبر من 0 يعني بقدر أكون إبسلون نبرهود

308
00:38:33,180 --> 00:38:37,660
بإبسلون

309
00:38:37,660 --> 00:38:44,180
لإل فلو كان هذا given given إبسلون يعني given

310
00:38:44,180 --> 00:38:52,920
إبسلون neighborhood لإل بقدر أجيل

311
00:38:52,920 --> 00:38:56,200
أرد عليه

312
00:39:01,810 --> 00:39:07,770
الدلتا Delta neighborhood هذا عبارة عن Delta 

313
00:39:07,770 --> 00:39:15,250
neighborhood لـ C إذا أنا أخدت أعطتوني إبسلون بقدر

314
00:39:15,250 --> 00:39:20,570
أكون إبسلون neighborhood لـ L فبقدر أرد عليه ال

315
00:39:20,570 --> 00:39:24,110
Delta neighborhood لـ C في الفترة المفتوحة هذه

316
00:39:25,810 --> 00:39:31,550
بالتالي، إذا كان هناك مجتمع إبسلن لـL، فهناك مجتمع

317
00:39:31,550 --> 00:39:38,230
Delta لـC أو هناك مجتمع Delta عدد موجب بحيث إن لو

318
00:39:38,230 --> 00:39:42,930
كانت الـX موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، طب X

319
00:39:42,930 --> 00:39:47,550
موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، معناته X موجودة

320
00:39:47,550 --> 00:39:51,990
في A ومختلفة عن الـC، و X موجودة في الـDelta

321
00:39:51,990 --> 00:39:57,400
neighborhood هذه معناته X تنتمي لـA ومختلفة عن الـC

322
00:39:57,400 --> 00:40:02,480
و X موجودة في الـDelta neighborhood هذا الشرط هذا بيقدي

323
00:40:02,480 --> 00:40:08,760
أن المتباينة هذه تتحقق المتباينة هذه تتحقق معناه أن

324
00:40:08,760 --> 00:40:14,840
الـ F of X صورة X تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL فهو واضح أن 

325
00:40:14,840 --> 00:40:20,020
هذا التعريف بيقدي للتعريف هذا باستخدام تفسير ال

326
00:40:20,020 --> 00:40:31,340
remark والعكس طبعًا صحيح .. صحيح okay تمام؟ إذا هذا

327
00:40:31,340 --> 00:40:36,270
بنسميه الـ .. هذا التعريف بنسميه الـ neighborhood

328
00:40:36,270 --> 00:40:40,630
definition للـ limit of a function والتعريف دا أو

329
00:40:40,630 --> 00:40:45,810
هذا بنسميه الـ epsilon delta definition

330
00:40:45,810 --> 00:40:52,930
of the limit of a function تمام؟ وهذا طبعًا زي ال

331
00:40:52,930 --> 00:40:57,490
epsilon capital N definition للlimit of a sequence

332
00:40:57,490 --> 00:41:00,870
وبعد هي فكرين عرفنا ال-neighborhood definition

333
00:41:00,870 --> 00:41:05,640
للlimit of a sequence هذا يعني يكافئ الكلام اللي

334
00:41:05,640 --> 00:41:09,720
هنا إذا الآن في عندي تعريفين لل-limit of a

335
00:41:09,720 --> 00:41:14,060
function at a point أو at a cluster point الدارس

336
00:41:14,060 --> 00:41:17,080
التعريف اللي هنستخدمه أكثر هو epsilon delta

337
00:41:17,080 --> 00:41:23,580
definition of the limit أكثر من ال-neighborhood

338
00:41:23,580 --> 00:41:26,920
definition لكن أنا ما منعش أن أنا في أوقات معينة

339
00:41:26,920 --> 00:41:30,560
أستخدم ال-neighborhood definition طيب نأخذ بعض

340
00:41:30,560 --> 00:41:38,200
الأمثلة على كيفية إثبات إن الـ limit لـ certain

341
00:41:38,200 --> 00:41:43,980
function is a certain number by

342
00:41:43,980 --> 00:41:49,020
using epsilon delta definition نشوف مع بعض، وهذا

343
00:41:49,020 --> 00:41:54,100
يعني بوازي الكلام اللي عملناه بالنسبة لل-limits of

344
00:41:54,100 --> 00:42:00,240
sequences فإذا هنا في الأمثلة في كل الأمثلة التالية

345
00:42:00,240 --> 00:42:04,500
عايزين نستخدم ال-definition of أو epsilon delta

346
00:42:04,500 --> 00:42:07,520
definition أو ال-neighborhood definition لل-limit

347
00:42:07,520 --> 00:42:10,720
of a function to prove إنه limit عن نقطة محددة

348
00:42:10,720 --> 00:42:18,760
بساوي عدد محدد فمثلًا إن نثبت إنه limit لدالة ثابت

349
00:42:18,760 --> 00:42:22,240
B لما X تقول لها C بساوي B

350
00:42:25,710 --> 00:42:30,410
فلت هنا عندي فان الـ function تبعتي f of x بالساوية

351
00:42:30,410 --> 00:42:38,130
ثابت B لكل x تنتمي إلى R فان الـ function تبعتي

352
00:42:38,130 --> 00:42:43,130
ده اللي ثابتة وبالتالي إذا هنا لثبات إن ال-limit

353
00:42:43,130 --> 00:42:45,290
تبعتها بالساوية B

354
00:42:48,460 --> 00:42:50,340
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من

355
00:42:50,340 --> 00:42:50,500
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من

356
00:42:50,500 --> 00:42:51,200
الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر

357
00:42:51,200 --> 00:42:52,980
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من

358
00:42:52,980 --> 00:42:53,500
الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر

359
00:42:53,500 --> 00:42:54,560
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من

360
00:42:54,560 --> 00:42:55,760
الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر

361
00:42:55,760 --> 00:43:05,680
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر

362
00:43:05,680 --> 00:43:06,180
من الصفر

363
00:43:18,680 --> 00:43:23,060
تعال نشوف ال-implication ال-Delta هذه works ولا

364
00:43:23,060 --> 00:43:27,560
لأ ف أنا عندي إن لو كانت الـ X تنتمي لـ A طبعًا الـ A

365
00:43:27,560 --> 00:43:31,700
مجال الدالة هنا هو كل الأعداد الحقيقية و absolute

366
00:43:31,700 --> 00:43:38,610
X minus C أكبر من 0 أصغر من Delta هل هذا بيقدر

367
00:43:38,610 --> 00:43:43,910
لأبسليوت f of x minus b أصغر من إبسلون بالتأكيد

368
00:43:43,910 --> 00:43:48,910
أنا عندي f of x بالساوية B سالب ال-limit اللي هي

369
00:43:48,910 --> 00:43:55,090
B فهذا بيطلع أبسليوت الصفر بيطلع صفر والصفر هذا

370
00:43:55,090 --> 00:44:02,040
أصغر من أي إبسلون موجبة إذا حصلت تعريف Epsilon Delta

371
00:44:02,040 --> 00:44:06,560
يعني أثبتت أنه لأي Epsilon أي Delta موجبة works

372
00:44:06,560 --> 00:44:10,580
تعمل تعطيل ال-implication وبالتالي by definition

373
00:44:10,580 --> 00:44:20,140
limit F of X as X tends to C بساوي D طيب

374
00:44:20,140 --> 00:44:27,120
نأخذ كمان مثال لو أخذت ال-identity function

375
00:44:34,810 --> 00:44:40,290
بنثبت إن limit ده identity function لما x تقول إلى

376
00:44:40,290 --> 00:44:47,110
أي عدد حقيقي c بساوي c نستخدم

377
00:44:47,110 --> 00:44:52,310
تعريف epsilon delta let epsilon أكبر من الصفر be

378
00:44:52,310 --> 00:44:59,370
given المرة هذه بدي أرد على ال-epsilon هذه ال

379
00:44:59,370 --> 00:45:05,230
Delta تعتمد عليها هأختار ال-Delta بساوي epsilon

380
00:45:05,230 --> 00:45:10,430
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon

381
00:45:10,430 --> 00:45:10,530
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon

382
00:45:10,530 --> 00:45:12,470
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon

383
00:45:12,470 --> 00:45:17,090
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon

384
00:45:17,090 --> 00:45:19,890
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon

385
00:45:19,890 --> 00:45:23,450
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon

386
00:45:23,450 --> 00:45:29,320
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta هي عبارة عن ال

387
00:45:29,320 --> 00:45:33,500
identity function لكل X المجال تبعها كل الأعداد

388
00:45:33,500 --> 00:45:40,060
الحقيقية فلو كانت X تنتمي لـ A اللي هي R و Absolute

389
00:45:40,060 --> 00:45:46,100
X minus C أكبر من Zero أصغر من Delta فخلينا نشوف

390
00:45:46,100 --> 00:45:52,880
هل بيطلع Absolute F of X minus ال-L اللي هو C أصغر

391
00:45:52,880 --> 00:45:56,240
من Epsilon هنشوف

392
00:45:57,800 --> 00:46:04,860
طيب نعوض عن F of X بالساوية X minus C طب أنا عند ال

393
00:46:04,860 --> 00:46:10,320
X هذه موجودة في R و المسافة بينها ومختلفة عن الـ C

394
00:46:10,320 --> 00:46:13,880
والمسافة بينهم أصغر من Delta اللي أنا باخدها

395
00:46:13,880 --> 00:46:19,420
بالساوية epsilon إذا ال-absolute X minus C من هنا أصغر من

396
00:46:19,420 --> 00:46:27,090
Delta اللي هي epsilon وبالتالي درهين أثبتت أنه لأي إبسلون

397
00:46:27,090 --> 00:46:32,990
يوجد Delta اللي هي إبسلون نفسها بحيث لكل x في a إذا

398
00:46:32,990 --> 00:46:36,570
كان absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من Delta

399
00:46:36,570 --> 00:46:40,490
هذا بيقدر أن absolute f of x minus l أصغر من

400
00:46:40,490 --> 00:46:47,650
إبسلون since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary

401
00:46:52,350 --> 00:47:00,830
we get from the definition هذا الكلام صحيح لكل

402
00:47:00,830 --> 00:47:06,690
epsilon وبالتالي by definition بيطلع عندي limit ال

403
00:47:06,690 --> 00:47:10,430
function f of x اللي هي ال-identity function لما x

404
00:47:10,430 --> 00:47:19,750
تقوى لـ c بساوي c وهو المطلوب تمام okay إذا المرة

405
00:47:19,750 --> 00:47:27,480
الجاية هنثبت إن limited ده لتربعية لما x أو لـ c

406
00:47:27,480 --> 00:47:33,280
بساوي c تربيع وهذا موجود طبعًا في الكتاب وفي كمان

407
00:47:33,280 --> 00:47:37,780
أمثلة أخرى فأرجو أنكم تقرأوا الأمثلة هذه من الكتاب

408
00:47:37,780 --> 00:47:44,350
وتحضروها للمحاضرة الجاية وتشوفوا كيف تم استخدام

409
00:47:44,350 --> 00:47:49,410
تعريف epsilon delta في إثبات إن ال-limit لدالة زهر

410
00:47:49,410 --> 00:47:53,530
الدالة التربعية بساوي C تربيع عند أي نقطة C okay

411
00:47:53,530 --> 00:47:58,270
تمام؟ في أي سؤال أو إيضاح؟ إذا نكتفي بهذا القدر

412
00:47:58,270 --> 00:48:02,410
وإن شاء الله اللي أنا أكملّه في المحاضرة القادمة