بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته اليوم هنبدأ محاضرة جديدة في مادة نظرية
القلاد، الموضوع هو استخدام الأرقام المركبة complex
numbers في تحليل القلاد، يعني complex
number analysis of mechanisms
of mechanisms خلّينا
نعمل مراجعة سريعة لل complex numbers في نظام
الإحداثيات الديكارتية. لو أخدنا في 2D بيكون عندي
المحورين X وY. لو عندي نقطة، هنانقطة إحداثياتها
هتكون X و
Y، يعني نقطة معرفة بإحداثيين: إحداثي X و إحداثي Y.
هذا اللي هو Cartesian Coordinates. لأن في حالة
Complex Numbers، بيكون نظام الإحداثيات و
imaginary، يعني يقابلوا الـ X هنا أو real
هنا real يقابلوا الـ Y. أي نقطة تتعرف
بإحداثيين، اللي
هو الإحداثي الحقيقي، الـ real اللي هي في الـ X،
والإحداثي التخيلي في الاتجاه
اللي هو imaginary، Y. هذه نقطة point الآن.
ممكن أحكي أن أعرف النقطة هذه من خلال الـ vector R،
والزاوية هذه θ، tan θ
هتساوي الـ Y على الـ X، أو بتساوي الـ imaginary part
للإحداثيات على الـ real part للإحداثيات، اللي
أنا ممكن أعرف في الـ position، الـ vector ما هو كنقطة
R كإحداثي
X باتجاه الـ real زائد J زائد Y باتجاه الـ J، JY يعني
عندي real part وعندي
imaginary part، في جزء حقيقي وجزء تخيلي.
اللي هنلاحظه، الـ X بيساوي R Cos θ، والـ Y
بيساوي R Sin θ. المعنى اللي هتكون أعبر على
الـ R كـ vector، هتكون الـ X R Cos θ زائد،خدم ده
استخدم الـ I هنا بدل الـ J.
زائد I R، اللي هي R sin θ. يمكن أخذ R عامل مشترك،
يكون عندي cos θ زائد I sin θ. هذه طريقة للتعبير عن
الـ R position vector للنقطة P. طريقة ثانية ممكن
أحكي R كـ vector بيساوي قيمة الـ vector R exponential،
E to the power I θ. طبعًا
الـ EIθ احنا عارفين أن الـ EIθ فيها two
parts، واحدة بتساوي الـ cosine θ، واحدة بتساوي
الـ imaginary sin θ.
هذا المفروض يكونوا عارفينه في المدرسة، يعني هذا
مراجعة أو في الـ calculus، مراجعة الـ complex numbers.
احنا هنستخدم هذه الـ concepts عشان ندرس اللي هو
displacement، نحكي using the
concept of
complex numbers
to make position
to make position, velocity
and
acceleration
analysis.
هنأخذ مثال، هنأخذ مثال الـ four-bar linkage.
ناخذ الـ four-bar mechanism، خلّيني
أرسم الـ four-bar mechanism. الـ
four-bar mechanism هيكون عندك crank،
وعندي connecting rod، وعندي
follower، القضيب.
هسميها link رقم واحد، والـ crank link رقم اثنين، الـ
connecting rod link رقم ثلاثة، والـ follower link
رقم أربعة.
الآن، الـ link اثنين جاية بين نقطة واحد ونقطة
بالنقطة، خلينا نقرأ أساميها دي: a، b، c، d. link رقم
اثنين جاية بين نقطة a ونقطة b. الآن،
هعرف link اثنين as a vector، vector
أسميها R2، و link ثلاثة as a vector R3،
و link أربعة as a vector R4،
و link واحد بين A و D as a vector من D لـ A أو من A
لـ D، سميتها
R1، for
each link.
define a local coordinate system،
يعني
عند link 2 هيكون عندي ايه؟ هاي x، x و y.
وبتعمل R2 مع الـ X axis في اتجاه عكس على
الخارج، الساعية، الزاوية الـ θ2 بالنسبة
للـ Xsmall و Ysmall. ممكن أعرف R2، R2 كـ vector
بيساوي R2 EIθ2.
الآن، R ثلاثة، برضه هعرف لها local coordinate system،
هاي
X وهاي Y، لأن R ثلاثة هتزاويها θ
ثلاثة. R ثلاثة، الـ position vector، R ثلاثة هتساوي
R ثلاثة كـ مقياس في الـ exponential لـ EIθ3.
طبعًا أنا بلف بعكس عقارب الساعة. الآن، link أربعة، هعرف
إحداثيات، هاي
Xsmall وهاي Ysmall، لأن همشي بعكس عقارب الساعة.
هذا هتكون θ أربعة، هتكون
دي R أربعة كـ vector، بس قيمته R أربعة في
EIθ4.
ونفس الشيء عندي هاي R واحد، و R واحد بتساوي R واحد
EIθ1. إلى
اللحظة عندي، عندي، عندي هاي vector R اثنين، R
ثلاثة، R أربعة، ماشيين
clockwise. عندي R اثنين، R ثلاثة، and R أربعة
are moving
or rotating clockwise.
يعني هاي clockwise، يعني ماشي أنا ماشي من اثنين
لأربعة clockwise. الـ vector اللي بيسكر الـ polygon
اللي هو R1، معناته R1 هو المحصلة، معناته R1 كـ vector
بيساوي R2 زائد R3 زائد R4 كـ vector. الآن نعود عن
R1، R1 عبارة عن R1 EIθ1 بيساوي R2 EIθ2
وR3 عبارة عن R ثلاثة، اللحظة، وأنا لما بأحكي vector
بكون حاطط شرطة أعلى الـ letter، إذا ما فيش شرطة بأحكي
عن scalar، زائد R ثلاثة EIθ3 زائد R أربعة EI
θ4.
مع العلم، نحكي θ واحد أفقية، θ واحد أفقية،
أفقية، أفقية، θ واحد أفقية، θ واحد أفقية، θ
واحد أفقية، θ واحد أفقية، θ
واحد أفقية، θ واحد أفقية، θ واحد أفقية، θ
واحد أفقية، θ
واحد أفقية، θ واحد بتساوي R اثنين في cosine
θ اثنين زائد I sine θ اثنين زائد R ثلاثة في الـ
EIθ3، لها real part، cosine θ ثلاثة زائد
I sine θ ثلاثة زائد R أربعة فيه عندي EIθ4
أربعة، لها مركبتين، واحدة real اللي هي cosine θ
أربعة زائد I sine θ أربعة.
لأن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن، عشان الطرف
الأيسر يساوي الطرف الأيمن، لازم الـ real part of the
left hand لازم يساوي الـ real part of the right
hand، والـ imaginary part of the left hand لازم
يساوي الـ imaginary part للـ left hand. يعني الـ real
part هيكون
دي cosine θ واحد بتساوي R1 Cos θ1 بتساوي R2 Cos
θ2 زائد R3 Cos θ3 زائد R4 Cos θ4.
الـ imaginary part، جزء التخيلي، هيكون R1 Sine θ
واحد بتساوي R2 Sine θ اثنين زائد R3 Sine θ ثلاثة زائد R4
Sine θ أربعة. هذه معادلة اثنين. احنا عارفين θ
واحد بيساوي صفر، معناته، و Sine θ واحد هتساوي
واحد، و Sine θ واحد هتساوي صفر. المعادلة واحد
اثنين بيصير بالشكل التالي:
لما أحط θ1 صفر، هصير عندي R1 بتساوي
R2 Cos θ2 زائد R3 Cos θ3 زائد R4 Cos θ4. هذه معادلة
واحدة. المعادلة اثنين اللي حكيته هنا، θ واحد
بيساوي صفر، معناته ساين θ واحد بيساوي صفر، معناته
الصفر هيكون صفر.
هتكون تساوي R اثنين ساين θ اثنين زائد R ثلاثة
ساين θ ثلاثة زائد R أربعة ساين θ أربعة. هذه
معادلة رقم اثنين. لاحظوا
في حالة زي هذه، الـ input بيكون عند الـ link، عادة الـ
input بيكون عند الـ link اثنين، معناته أنا بكون عارف
الزاوية اللي بتتحركها، وبكون عارف السرعة بتاعتها، يعني
أنت بأحكي given
الـ dimensions of the lengths، يعني R2 و R3 و R4 و
R1 و θ2، then
بدي
أحل، أحسب الزاوية θ3 و θ4، solve for
θ ثلاثة and θ أربعة. يعني
لو أخدت المعادلة
واحدة، وعدّلت الترتيب، حكيت، روحت جبت الـ R4 Cos θ4 على
جهة، يعني هتلاقي دي R4 Cos θ4 هتساوي R1 - R2 Cos
θ2 - R ثلاثة Cos θ ثلاثة. هذه معادلة واحد. وحكيت
R أربعة Sin θ أربعة بتساوي ناقص، أو خلينا نحكي الـ
general، minus
R4 Sine θ أربعة بيساوي R2 Sine θ اثنين زائد
R3 Sine θ ثلاثة. خلينا نسميها دلوقت ثلاثة، وهذه
أربعة، الآن.
أنا هرّبع معادلة ثلاثة، وهرّبع المعادلة أربعة، وبعدين
أجمعهم مع بعض، يعني square equation
ثلاثة and أربعة then add. هتلاقي التربيع، المعادلة يعني
اللي هندمج معاها، معايصر، أو أيبن معايبين، هيكون R4
تربيع cos θ أربعة تربيع زائد R أربعة تربيع sin θ أربعة
تربيع، هيكون
عندها، خلّيني
أربع المعادلة هذه: R1 - R1R2 - R1R2
-R3R2 -R3R2 -R3R2 -R3R2 -R3R2 -R3R2
-R3R2 -R3R2 -R3R2 -R3R2 -R3R2 -R3R2 -R3R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2
-R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2
-R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R2R2 -R
-R1R3cosθ3، بعدين minus R1R2cosθ2،
زائد R2 Cos θ2 زائد
R2 R3 Cos θ3 minus R1 R3
Cos θ3.
-r2r3 minus أو زائد r2r3
cos θ3 cos θ2. بس لحظة، خليني أتأكد، أول شيء عندي r1
تربيع minus r1r2 cos θ2 minus r1r3 cos θ3 minus
r1r2
cos θ2 زائد R2 تربيع cos تربيع θ اثنين زائد R2 R3
cos θ ثلاثة cos
دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي دي
بنحل طبعاً معادلة non-linear بنحل بالنسبة ل ..
لثيتا ثلاثة solve solve
solve خمسة
for ثيتا ثلاثة بعد أن حل خمسة for ثيتا ثلاثة بنعود
في معادلة وبعدين substitute about
theta
ثلاثة in أربعة
then solve for theta أربعة، معناته احنا بمعرفتنا
لأطوار الـ link R1 وR2 وR3 وR4 بمعرفتنا حركة الـ
link 2 يعني عارفين الـ theta 2 استطعنا نحسب اللي هو
الـ theta 3 والـ theta 4، وعشان احل الـ theta 3 والـ
theta 4 فعندي معادلتين المجهولين، المجهولين هما الـ
theta 3وثيتا أربعة، ثيتا ثلاثة وثيتا أربعة، بحل
المعادلتين هدول بحصل ثيتا ثلاثة وثيتا أربعة، so far
I define اللي هو displacement and rotation so far
so far we
solve for
displacement
and rotation of
the lengths يعني
أنا مطلوب أن احل بعد هيك الـ velocity علشان احل الـ
velocity، خلينا نمسح
الآن هعمل velocity analysis
الآن
velocity analysis
تحليل سرعات
عشان احل سرعات باشتق المعادلة واحد واتنين بالنسبة
للزمن، differentiate one
and two with respect to time، بالنسبة للزمن، لما
اشتق الـ R واحد constant، مش تقرا إيش هيكون صفر
هتكون هنا عندي R2 هتكون -R2 في sin θ2 في dθ2
by dt، مشتقة الكساين ومشتقة اللي جوا، -R3 sin
θ3 في dθ3 by dt
-r4 sin θ4 dθ4 by dt، هذه المعادلة رقم واحد، اشتقاق
المعادلة التالية، صفر هتساوي r2 cos θ2 dθ2 by dt
زائد r3 cos θ3 dθ3 by dt زائد R4 في cos θ4 dθ4 by dt
الآن اللي هو dθ وdθ هي معدل تغير الزاوية
بالنسبة للزمن وتمثل سرعة زاوية، dθ
أو دعوني أقول أوميجا اثنين اللي هي السرعة الزاوية
للـ link اثنين اللي هي dθ اثنين by dt أو أوميجا
ثلاثة بساوي dθ ثلاثة by dt، أوميجا أربعة بساوي d
ثيتا أربعة by dt، طيب
معناته خلينا نرتب المعادلة هذه، هتصير صفر بتساوي
ونشيل الـ minus هتصير R اثنين أوميجا اثنين sin ثيتا
اثنين زائد R ثلاثة أوميجا ثلاثة sin theta ثلاثة زائد
R أربعة أوميجا
أربعة sin theta أربعة، المعادلة الثانية هتكون صفر
بساوي R اثنين أوميجا اثنين cos θ ثلاثة زائد R ثلاثة
أوميجا ثلاثة cos θ ثلاثة زائد R أربعة أوميجا أربعة
cos θ أربعة
خليني أجيب الـ .. أجيب
الـ R4 أوميجا 4 sin ثيتا 4 على الجهة اليسار هصف
عندي هنا minus
R4 أوميجا 4 sin ثيتا 4 بتساوي
R2أوميجا اثنين sin ثيتا اثنين زائد R ثلاثة أوميجا
ثلاثة sin ثيتا ثلاثة، و
هجيب برضه الـ R أربعة وأوميجا أربعة على جهة اليسار
بيصير -R أربعة أوميجا أربعة cos ثيتا
أربعة بتساوي R اثنين أوميجا اثنين cos ثيتا اثنين
زائد R ثلاثة أوميجا ثلاثة cos ثيتا ثلاثة، خلصناها
هذه المعادلة معادلة رقم ستة، هذه المعادلة رقم سبعة
لاحظوا
أنا so far الزوايا حسبتهم، θ ثلاثة و θ أربعة محسبين
وأطوال الـ links R2 وR3 وR4 معروفين وحركة الـ
link two معروفة يعني omega two is known يعني بدي
أحكي الـ given R2
R3 وR4 و Omega 2، Already Theta 3 و Theta 4
Already Calculated، And Theta 3 و Theta 4 Already
Calculated، حسبناهم، Solve
ستة and سبعة for Omega ثلاثة and Omega أربعة، طبعاً
عشان احل المعادلة هذه ممكن
اقسم المعادلة 6 على المعادلة 7، يعني divide 6 over
7، divide
6
over 7
هذه طريقة بتروح الـ omega أربعة بتروح، أو طريقة
ثانية، أربع معادلة ستة مع معادلة سبعة، or
square
6 and 7 then add، بعدين اجمعهم، خليني
أربع، أحسن طريقة، أربع، يعني هذا هتصير R4 أوميجا 4
هتصير R4 تربيع أوميجا 4 تربيع
في sin تربيع ثيتا 4 زائد R4 أوميجا 4 cos تربيع
ثيتا 4 هتساوي، هربع الطرف هذا، هتكون R2 أوميجا 2
تربيع
sin تربيع ثيتا، sin تربيع ثيتا اثنين زائد R اثنين
تربيع أوميجا اثنين تربيع cos تربيع ثيتا اثنين زائد
R ثلاثة تربيع أوميجا ثلاثة تربيع sin تربيع ثيتا
ثلاثة زائد R ثلاثة تربيع أوميجا ثلاثة تربيع cos
تربيع ثيتا ثلاثة زائد
اثنين اثنين
R اثنين أوميجا اثنين أوميجا
اثنين R اثنين أوميجا اثنين R ثلاثة أوميجا ثلاثة sin
ثيتا اثنين sin ثيتا اثنين sin ثيتا ثلاثة زائد اثنين
R اثنين أوميجا اثنين R ثلاثة أوميجا ثلاثة
cos θ2 cos θ3، خلينا نبسط هذا الـ term الأولاني
هيكون خطوة مشتركة R4 أوميجا 4 تربيع، زائد يعني هذا
هيكون هذا، هيسير R4 تربيع أوميجا 4 تربيع، هيساوي هدول
الـ two terms مع بعض
لأن sin تربيع زائد cos تربيع واحد، هتكون بساوي R
اثنين تربيع أوميجا اثنين تربيع، هقول التنين مع بعض زائد
R ثلاثة تربيع أوميجا ثلاثة تربيع، زائد بدي آخذ عامل
مشترك، R اثنين أوميجا اثنين
R ثلاثة أوميجا ثلاثة في cos
θ اثنين cos θ ثلاثة زائد sin θ اثنين sin θ ثلاثة
احنا .. لاحظوا، في عندنا خطأ هنا اكتشفناه، إذا بالربع
بتضلّ أوميجا تربيع ما حلتش، معناته هذا .. بدي أحكي
عنه، هذا، هذا this
method، this method will not work، ليش؟
لأنه في، we have still، عندنا أوميجا ثلاثة وأوميجا أربعة موجود
في المعادلة، معناته أحسن شيء أن أقسم 6 على 7، لما
أقسم 6 على 7 بيصير عندي بتروح R4 مع R4، أوميجا 4 مع
أوميجا 4، بيصير عندي tan ثيتا 4، tan ثيتا
4 بتساوي R2
وأوميجا اثنين sin ثيتا اثنين زائد R ثلاثة أوميجا
ثلاثة sin ثيتا ثلاثة على R
اثنين أوميجا اثنين cos ثيتا اثنين زائد R ثلاثة
وأوميجا ثلاثة cos ثيتا ثلاثة، يطلع
في المعادلة، أنا عندي R اثنين وR ثلاثة وأوميجا
اثنين وأوميجا اثنين، يعني كلّه معروف، معادلة أوميجا
ثلاثة، خلينا نسمي هذه المعادلة رقم ثمانية، طبعاً هذه it
is nonlinear equation، معناته I will، I have to solve
it for omega ثلاثة، solve equation
ثمانية for
أوميجا ثلاثة، ممكن تستخدم اللي هو mathematical
software زي MATLAB أو MABEL أو Mathematica أو
MATCAD، يعني في برامج كثيرة لحل معادلات غير خطية
بالشكل هذا، طيب
so far، احنا عملنا اللي هو ما يسمى velocity
analysis، هنعمل acceleration analysis الآن، هنعمل
acceleration analysis
الآن صار معروف، أن لحد اللحظة صار معروف أن كل أطوال
الروابط معروفة، الـ motion بتاع link 2 معروفة، ثيتا
ثلاثة وثيتا أربعة حسبناها من الـ displacement analysis و
أوميجا ثلاثة وأوميجا أربعة حسبناها من الـ velocity analysis
نعمل acceleration analysis
analysis، نعمل acceleration analysis، هنطلع على
معادلة ستة، باشتقاق معادلة ستة وسبعة بالنسبة للزمن
differentiate equations
ستة وسبعة with respect to time، هاخد
ستة، هيكون عندي ناقص R أربعة فيه اللي أنا عندي هنا
two functions، أوميجا أربعة sin أربعة، مشتقة الأول
في الثانية اللي هي d أوميجا أربعة by dt
مشتقة الأوميجا، السرعة الزاوية بتعطينا عجل الزاوية
يعني هتكون دي
أوميجا أربعة by dt في cos
ثيتا أربعة زائد الأول مشتقة الثانية، أوميجا أربعة في
cos ثيتا أربعة dθ أربعة by dt بتساوي R
اثنين في
d أوميجا اثنين by dt sin θ2 زائد أوميجا 2 في cos θ2
في dθ2 by dt زائد
R3 في
d أوميجا ثلاثة by dt sin θ3 زائد
أوميجا ثلاثة زائد أوميجا ثلاثة cos θ3 d أوميجا ثلاثة dθ ثلاثة by dt، هذا
اشتقاق المعادلة هذه، اشتقاق المعادلة 6، اشتقاق
المعادلة 7، هيكون -R4
في مشتقة الـ أوميجا اللي هي d أوميجا 4 by dt زائد
أوميجا 4 مشتقة الـ cos اللي هي -أوميجا 4 sin
ثيتا 4 dθ أربعة by dt بتساوي R
اثنين في
d أوميجا اثنين by dt cos، أنا هنا غلطان
يعني دي cos ثيتا أربعة -أوميجا أربعة sin
ثيتا أربعة dثيتا أربعة by dt، يعني دي أوميجا اثنين
by dt في cos ثيتا اثنين -أوميجا اثنين في
sin θ2 في dθ2 by dt زائد R3 في dω3 by dt في cos θ3
-ω3
في sin θ ثلاثة في dθ ثلاثة by dt، هذا
اشتقاق معادلة ستة، هذا اشتقاق معادلة سبعة، الآن احنا بنعرف
انه عندنا اللي هو d أوميجا اثنين by dt
بتساوي ألفا اثنين، و d ثيتا اثنين by dt اللي هي
أوميجا اثنين، وعندي d أوميجا ثلاثة by dt اللي هي
ألفا ثلاثة، العجل الزاوي، و d ثيتا ثلاثة by dt
اللي هي أوميجا ثلاثة، و d أوميجا 4 by dt اللي هي
ألفا 4، و d ثيتا 4 by dt اللي هي أوميجا 4، نعوض
هنا، نبسط
هيكون -R 4
solution جربوا حلّوها على الكمبيوتر، سيطلع أكثر من
solution لإنه عندي sine و cosine الـ .. الـ .. الـ
sine مثلاً بتكون موجبة في الربع الأول والربع
الثاني هي .. هي .. هي .. هي عندي حلين الـ sine
بتكون سالبة في الربع الثالث والرابع، الـ cosine
بتكون موجبة في الربع الأول والرابع، والرابع وبتكون
سالبة في الربع الثاني والثالث، الثاني
بتكون موجبة في الربع الأول والرابع، الثالث وسالبة
في الربع الثاني والرابع، الرابع
طيب، هذا هو الـ complex number analysis لو أنا بدي
أعمل .. يعني خليني أعمل كل startup لـ Slider Crank
Mechanism، نعملها complex number analysis بنفس
الطريقة .. همسح اللوح بس
اللي هو عندي slider crank mechanism، اللي هي بشكلها
بيجي عندي crank، عندي
connecting rod، عندي
slider، خلينا نسمي هذه A، B، C
الأرض link واحد، الـ
crank link اثنين، الـ connecting rod link رقم ثلاثة
الـ slider link رقم أربعة، إذن
بتدخل باستخدام الـ complex number analysis
بدي أعرف define الـ vector R2 هذا
الـ R2 وهي الـ local X تبعه، والـ Y هذا الزاوية θ
اثنين، والـ vector ثلاثة
هذا R ثلاثة، هاي الـ local X وهي الـ local Y، و
الـ angle θ ثلاثة، هذه الـ θ ثلاثة
المرة
أنا هضلّني ماشي لحد يعني، هذه رايحة هيك وهذه
هتكون إيش؟
هذه R1، لاحظوا
θ1 الآن مش صفر، لأن هاي الـ local X، هاي الـ
local X، هاي الـ local Y، θ واحد، هاي الـ θ واحد
الـ θ واحد إيش تساوي؟ 180 درجة، مش صفر، طيب
كـ vectors، وهيكون عندي R1
R2، زائد R3، زائد R1، بالثورة صفر، لأنه بتسكر الـ polygon
بتسكر باتجاه عقارب الساعة زي
السابق، R1 هتكون R1 exponential I θ1، وR اثنين
عبارة عن R اثنين exponential I θ اثنين، وR
ثلاثة، R ثلاثة exponential I θ ثلاثة
لحظة
هذه .. هذه .. هذه .. هذه R .. هذه عندك .. هذه مش R
واحد، هذه .. هذه R أربعة، هذه R أربعة، هيكون عنده يعني
مصحح، زائد R أربعة، هي R أربعة وهي R أربعة، يعني هيكون
عنده R اثنين exponential I θ اثنين، زائد R ثلاثة
exponential I θ ثلاثة، زائد R أربعة exponential I
θ أربعة، بيساوي صفر، يعني
هذا هيكون الـ real part وليس الـ general part، الـ
real part هيكون R اثنين cosine θ اثنين، زائد R
ثلاثة Cos θ ثلاثة، زائد R أربعة Cos θ أربعة، بيساوي
صفر، احنا
عارفين الـ θ أربعة، هذا الـ θ أربعة، مش θ وهات θ
أربعة، سمّيها، وأنتَ ما نعته cosine، هاي الـ cosine الـ
sine، الـ cosine، هاي الـ cosine
الـ cosine الـ 180 هي صفر، 90، 180، الـ cosine
الـ 180 بيساوي سالب واحد، يعني هيكون دي R
اثنين cosine θ اثنين، زائد R ثلاثة cosine
θ ثلاثة، minus R أربعة، بيساوي صفر
يعني أنا هقول إن دي R4 بيساوي R2 Cos θ2، زائد R3 Cos
θ3، هذا معادلة واحد، هذا الـ real، الـ imaginary
المعادلة
هذه هتكون R2 Sin θ2، زائد R3 Sin θ3، زائد R4 Sine θ
4، بيساوي صفر، هذا طبعاً ليش هيكون بيساوي صفر؟ لو
θ أربعة، و 180، الـ Sine 180
بيساوي صفر، معناته R2 Sine θ2، زائد R3 Sine
θ3، بيساوي صفر، هذه معادلة رقم 2
أنا هيكون معروف عندي الـ motion بتاعة الكرانك
بتكون معروفة، given R2
وأطوال الانكات، R3 أو θ2، find θ3
find
R4، ولأنه قيمة متغيرة، بيفتحوا ويضموا، و θ
ثلاثة، من معادلة اثنين، from two
الطريقة اللي بفضل أكتب المعادلات على نحو التالي، لسبب
لأنه هحكي R ثلاثة من واحد، من واحد، R ثلاثة، R ثلاثة
cosine θ ثلاثة، بتساوي
R أربعة، minus R اثنين cosine θ اثنين، من هذه R
ثلاثة، أو minus R ثلاثة sin θ ثلاثة، بيساوي R2
Sine θ2، و
Square
وأجمعهم، Square، و
Square، وأجمع، هتكون عندي R ثلاثة تربيع، R Cos تربيع
θ ثلاثة، زائد R ثلاثة تربيع Sin θ ثلاثة تربيع، هتساوي
R اثنين تربيع Cos تربيع θ اثنين، زائد R اثنين
تربيع Sin تربيع θ اثنين، زائد R أربعة تربيع
minus اثنين R اثنين
R4 Cos θ2، هذا سيصفي، هذا R3 تربيع Cos تربيع، زائد R3
تربيع Sin تربيع، R3 تربيع، سيصفي هذا R2 تربيع Cos
تربيع، زائد R2 تربيع Sin تربيع، عبارة عن R2 تربيع، R2
تربيع
زائد R أربعة تربيع، minus اثنين R اثنين R أربعة
cosine θ اثنين، خلّيني أرتّب المعادلة، هأسيب إن
عندي R أربعة تربيع، R أربعة تربيع ناقص اثنين R
اثنين R اثنين cosine θ اثنين
R4
يعني أخذت الـ term هذا والـ term هذا، زائد R اثنين
تربيع، minus R ثلاثة تربيع، بالثوابت صفر، يعني هذه
تقريباً على شكل صيغة المعادلة AX تربيع، زائد BX، زائد C
بالثوابت صفر، الـ root في المعادلة بتكون X، والثوابت minus
B، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ B تربيع، minus 4AC
على اثنين A، يعني معناته الـ R أربعة، الـ R أربعة
هتساوي الـ B، minus B، هتكون اثنين R اثنين cosine
θ اثنين، زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ B تربيع
اللي هو أربعة R2 تربيع Cos تربيع θ اثنين، minus
أربعة A، أربعة في A في C، minus أربعة في R2 تربيع
minus R ثلاثة تربيع، على
اثنين، لاحظوا دائماً، أو بدّي أحكي يعني most commonly
يعني R2، R3 أكبر من R2، R3 أكبر من R2، معناته هذا الـ
term هيكون موجب، معناته هذا الـ term هيكون هذا إيش؟
هذا الـ term أكبر من هذا الـ term، معناته الإشارة
السالبة مرفوضة، الإشارة السالبة هتكون مرفوضة، هذه
هتصبح R4 هتكون تساوي R2 cos θ2، زائد جذر التربيعي
لأربعة R2 تربيع cos تربيع θ2، زائد أربعة في R3 تربيع
ناقص R2 تربيع، الكل على اثنين
الكل على اثنين، طيب أنا ليش عملت .. يبدو أنا أخطأت
الأمور، بس لا أنا ما أخطأتُ لسبب بسيط، لو رحت
حكيت أنا إنّه، حكيت إنّ استخدمت المعادلة هذه يعني
بسيطة، برضه، اقسم يعني، لازم أعملها على شكل صيغة tan
الآن، بتأخذ هذه، تقسم هذه على هذه، بيصير أن دي minus
R ثلاثة tan θ ثلاثة، بتساوي R
اثنين sine
θ اثنين
على R4، minus
R2، minus R2 cosine θ2، ومن
هنا بحسب tan θ3، tan θ
3
بيساوي R2 sin
θ2، على R3، في R2 cos θ2 - R4، يعني
أنا عرفت R4، وعرفت θ3، عرفت R أربعة و θ ثلاثة، طيب
انتبهوا، إذا بتكون تبرمجوها .. لما تبرمجوها بتكون
تشوفوا الزوايا make sense، ولا does not make sense
إيش يعني make sense أو does not make sense؟ يعني ..
يعني .. يعني .. بدّك .. يعني أنا بفضل إذا بدأت برمجة
على الـ math lab، تكون عملية الحساب مقرونة بـ
graphical user interface، عشان تشوف أوضاع الـ
mechanism، for θ2 من صفر لـ 360
درجة، بتكتشف، يعطيك position أو وضعية غير منطقية، و
سواء حسابات الزوايا، فيه زوايا بتكون الـ sign بتكون
موجودة في الربع الأول والرابع، الثاني، الـ cosine
موجودة في الربع الأول والرابع، الثاني، موجودة في
الربع الأول والثالث، وثالث، رابع، الثاني والرابع
الرابع، هذه بتعمل، ممكن تعمل مشاكل في البرمجة، يعني
عندك برمجة، تنتبه للتفاصيل هذه، طيب احنا بالطريقة
هذه حسبنا، حسبنا اللي هو عملنا displacement and
rotation analysis، اللي هنعمل velocity analysis
velocity
analysis، عشان أنا في velocity analysis دي أشتغل
المعادلة واحد واثنين، بالنسبة للزمن، differentiate
differentiate one and two with respect to time
المعادلة
رقم واحد، R أربعة هذه ثابتة ولا متغيرة؟ متغيرة
معناه إن في dR أربعة by dt، هتساوي minus
R2 cosine θ2، minus R2 sine θ2، minus R2
sine θ2 dθ2 by dt، minus R3 sine θ3
dθ3 by dt، احنا بنعرف إنّ ω اثنين بيساوي
dθ اثنين by dt، ω اثنين هي السرعة
الزاوية لـ link اثنين، والـ ω ثلاثة بيساوي d
θ ثلاثة by dt، والسرعة للـ slider اللي هو V4
بيساوي dR4 by dt
بتساوي minus R اثنين ω اثنين Sine θ اثنين
minus R ثلاثة ω ثلاثة Sine θ ثلاثة، هذه
معادلة، هسمّيها معادلة رقم ثلاثة، نشتق معادلة اثنين
هيكون dR اثنين ω اثنين، R اثنين cos θ2 dθ2 by
dt، زائد R3 cos θ3 dθ3 by dt، بيساوي صفر، هنعمل
Simplification، هسيب دي R2 ω2 cos θ2، زائد R3
ω ثلاثة cosine θ ثلاثة، بتساوي صفر، احنا so
far، الـ motion للـ link اثنين معروفة، يعني R2 معروفة
و ω ثلاثة معروفة، و θ اثنين معروفة، و already
حسبنا، already حسبنا اللي هو هذا، معادلة أربعة، و
already حسبنا θ ثلاثة، معناته بقدر أحسب إيش من
معادلة أربعة؟ ممكن أحسب ω ثلاثة، from equation
four، from four، بنحسب ω ثلاثة بيساوي minus R
اثنين ω اثنين cosine θ اثنين، على R ثلاثة
cosine θ ثلاثة، خلاص، فهمتوا؟ معناته ومن ثلاثة
بحسب سرعة الـ slider، V4، from three، calculate
V4
معناته so far، عملنا احنا velocity .. velocity
analysis
حسابات الـ sine والـ cosine والـ tan في الربع الرابع
الأول ولا الرابع؟ الـ tan في الربع الثالث ولا الرابع؟
الرابع الرابع. بذكركم كمان مرة: الـ sign
بتكون موجبة في الربع الأول والثاني...
الـ cosine بتكون موجبة في الربع الأول والرابع
الـ tan بتكون موجبة في الربع الأول والثالث. فمهم كتير
كتير لما تبرمجوا، تنتبهوا لشكل الميكانيزم
إنه يعني does make sense ده
هتختار اللي هو الـ correct
correct واللي هو الـ realistic solution