1 00:00:20,940 --> 00:00:25,320 بسم الله الرحمن الرحيم، المرة الماضية بدأنا فيها 2 00:00:25,320 --> 00:00:31,060 تطبيقات على استخدام التكامل في حساب الحجوم، وأخذنا 3 00:00:31,060 --> 00:00:35,140 على ذلك طريقتين، الطريقة الأولى كانت طريقة الـ disk 4 00:00:35,140 --> 00:00:40,820 وهذا للمجسم المصمت، ثم أخذنا طريقة الـ washer، وهذا 5 00:00:40,820 --> 00:00:46,180 للمجسم اللي فيه تجويف من الداخل، اليوم نأخذ الطريقة 6 00:00:46,180 --> 00:00:51,460 الثالثة وهي طريقة القشرة الأسطوانية، يبقى 7 00:00:51,460 --> 00:00:56,900 cylindrical shell قشرة أسطوانية، أعطيك مثال، هات 8 00:00:56,900 --> 00:00:59,480 واحد يعطيني دفتره ويعطيني دفترك أشوف 9 00:01:02,410 --> 00:01:07,330 الدفتر هذا لو عملناه على شكل أسطوانة بهذا الشكل 10 00:01:07,330 --> 00:01:11,570 طبعًا يبقى إيه أسطوانة بهذا الشكل زي ما أنتم 11 00:01:11,570 --> 00:01:15,790 شايفين الفكرة، ما الموضوع؟ بدي أجيب حجم المجسم اللي 12 00:01:15,790 --> 00:01:22,020 قدامي هذه، فلو أخذت ورقة من ورق الدفتر يبقى 13 00:01:22,020 --> 00:01:28,240 هذه الورقة تعتبر قشرة أسطوانية، القشرة الأسطوانية 14 00:01:28,240 --> 00:01:34,280 لو جبت المساحة الجانبية لها، وكملت عليها، بيعطيني 15 00:01:34,280 --> 00:01:38,680 مقدار الحجم، تبقى الأسطوانة داير مايدور 16 00:01:41,980 --> 00:01:50,540 المساحة الجانبية للأسطوانة هو 2πr محيط 17 00:01:50,540 --> 00:01:54,380 القاعدة اللي هو القطر في الارتفاع تبع 18 00:01:54,380 --> 00:01:58,400 الأسطوانة الدائرية القائمة، يبقى 2πr هو 19 00:01:58,400 --> 00:02:02,360 المساحة الجانبية للأسطوانة، بدي أكامل عليها، بيعطيني 20 00:02:02,360 --> 00:02:07,640 إيه؟ بيعطيني جدّاش حجم المجسم أو الأسطوانة اللي 21 00:02:07,640 --> 00:02:11,520 عندنا هذه، واضح؟ واضح، لأن هذه على الطبيعة بدنا نشوفها 22 00:02:11,520 --> 00:02:17,180 من خلال الكلام اللي قدامنا هنا فضلًا، يبقى بنانية 23 00:02:17,180 --> 00:02:20,540 الكلام اللي احنا كاتبينه volumes by cylindrical 24 00:02:20,540 --> 00:02:25,620 shells الحجوم باستخدام القشر الأسطوانية 25 00:02:46,450 --> 00:02:51,870 الـ Y تساوي F of X about the line X يساوي L X 26 00:02:51,870 --> 00:02:57,910 يساوي L قد يكون محور Y وقد يكون خط موازي لمحور Y 27 00:02:57,910 --> 00:03:02,390 لأن X يساوي رقم، تمام؟ سواء كان هذا الرقم موجب أو 28 00:03:02,390 --> 00:03:07,170 سالب، بهم ليش؟ بهم إنه في عند دوران حوالي هذا 29 00:03:07,170 --> 00:03:15,000 المحور، الـ volume V يساوي تكامل من A لـ B لـ 2π في 30 00:03:15,000 --> 00:03:20,700 الارتفاع تبع الأسطوانة، 2πr نصف 31 00:03:20,700 --> 00:03:27,380 قطر القشرة الأسطوانية، القاعدة تبعتها، r في 32 00:03:27,380 --> 00:03:32,400 الارتفاع تبع مين؟ تبع الأسطوانة تمام؟ أو اختصر ما 33 00:03:32,400 --> 00:03:36,720 قلت، أكامل إيه؟ ببساطة 2πx في الـ F of X DX 34 00:03:36,720 --> 00:03:41,620 تعال نشوف هذا الكلام على الطبيعة، أنا عندي منحنى زي 35 00:03:41,620 --> 00:03:46,640 ما أنتم شايفين، Y تساوي F of X وخليته أعلى محور X 36 00:03:46,640 --> 00:03:50,680 ممكن يتقاطع مع المحور، وممكن ما يتقاطعش، يبقى أنا 37 00:03:50,680 --> 00:03:54,360 جبت الـ general form الشكل العام، سواء تقاطع مع الـ x أو 38 00:03:54,360 --> 00:04:00,200 لم يتقاطع، هذا المنحنى حصر لي مساحة، المساحة اللي 39 00:04:00,200 --> 00:04:03,580 بينه وبين محور x اللي هي المساحة المظللة اللي 40 00:04:03,580 --> 00:04:09,000 قدامنا هذه، ما لها هذه؟ هذه دارت حوالي الخط 41 00:04:11,520 --> 00:04:16,080 الخط اللي عندنا هذا، يبقى هيجيني شكل في الناحية 42 00:04:16,080 --> 00:04:21,660 التانية تمامًا زيها، وجيني بالشكل هذا تمام، يبقى هذا 43 00:04:21,660 --> 00:04:25,680 المنحنى اللي هيجيني فوق بالشكل اللي عندنا هذًا، زي 44 00:04:25,680 --> 00:04:30,400 اللي هناك بالضبط، والـ b اللي هناك هتيجيني b زيها 45 00:04:30,400 --> 00:04:35,400 هنا بس بإشارة مين؟ سالب، والـ a اللي هناك هيجيني a 46 00:04:35,400 --> 00:04:41,660 زيها بس بإشارة سالبة، هيجي هذه سالب a وسالب b، يبقى هذه 47 00:04:41,660 --> 00:04:47,520 عند دورانها بدها ترسم لي محيط دائرة تمام؟ وهذه عند 48 00:04:47,520 --> 00:04:53,140 دورانها كذلك بدها ترسم لي محيط دائرة، زي ما أنتم 49 00:04:53,140 --> 00:04:58,280 شايفين بالشكل هذا، يبقى هذا الشكل المجسم الناتج من 50 00:04:58,280 --> 00:05:03,040 الدوران، لسه ما اتكلمتش في الشلة، أنا أعطيتك شكل 51 00:05:03,040 --> 00:05:09,380 المجسم، هذه الشجرة التانية كمان بتكون برضه مظللة زي 52 00:05:09,380 --> 00:05:14,980 اللي هناك بالضبط تمامًا، يبقى هذا شكل المجسم الناتج 53 00:05:14,980 --> 00:05:21,440 من الدوران، هذه اللي جوا هيك، هذه الصغيرة هذه بتكون 54 00:05:21,440 --> 00:05:26,660 بالشكل هذه، يعني كأنه في تجويف، كويس؟ الآن المجسم 55 00:05:26,660 --> 00:05:30,580 اللي يعني يسيبك من التجويف، المنطقة هذه داير مايدور 56 00:05:30,580 --> 00:05:36,450 حواليها وكله مصمت، الآن بنروح نعمل cylindrical 57 00:05:36,450 --> 00:05:40,490 shell، بدنا نأخذ مقطع، أو المقطع عادي على شكل 58 00:05:40,490 --> 00:05:46,550 أسطوانة، يبقى بالعادة في الحالة هذه بعكس من ما كنا 59 00:05:46,550 --> 00:05:51,210 نعمل المرة اللي فاتت في الـ disk، وكذلك في الـ 60 00:05:51,210 --> 00:05:55,900 washer، بجرب نفسي، خط يقطع منطقة التكامل وعمودي على 61 00:05:55,900 --> 00:06:00,960 محور الدوران، مظبوط؟ اليوم بدنا نعمل خط يقطع منطقة 62 00:06:00,960 --> 00:06:04,920 التكامل وموازي لمحور الدوران، على عكس المرة اللي 63 00:06:04,920 --> 00:06:09,840 فاتت، يبقى بدي أقول لو كان عندي هذا الخط بالشكل 64 00:06:09,840 --> 00:06:16,280 اللي إنه هذا، والحظوظ شايفينه؟ تمام، يبقى هذه النقطة 65 00:06:16,280 --> 00:06:22,520 عند دورانها بدها ترسم لمحيط دائرة، بدها تجي هيك 66 00:06:22,520 --> 00:06:26,600 بالشكل اللي عندنا هذا، هذا هيك، وهذا بده يجيني 67 00:06:26,600 --> 00:06:31,540 هيك، وهذا الخط الراسي هيه، ومن هنا بدها تعمل 68 00:06:31,540 --> 00:06:39,800 لمحيط دائرة بالشكل اللي عندنا هنا تمام؟ طيب لو جيت 69 00:06:39,800 --> 00:06:44,800 هذه نقطة الأصل على سبيل المثال، يبقى هذا البعد لحد 70 00:06:44,800 --> 00:06:50,340 هنا جدّاش؟ بده يكون x يعني x، البعد من نقطة الأصل هذه 71 00:06:50,340 --> 00:06:54,940 لغاية النقطة هذه، يبقى هذا هو x، شايفين الأسطوانة 72 00:06:54,940 --> 00:06:59,220 الخضراء هذه؟ الأسطوانة الخضراء هذه اللي هي الـ shell زي ما 73 00:06:59,220 --> 00:07:02,700 وريتكوا توي، سحيت إحدى الورقات من الدفتر اللي 74 00:07:02,700 --> 00:07:07,470 عملناه على شكل أسطوانة، يبقى الخضراء هذه هو الـ 75 00:07:07,470 --> 00:07:12,210 cylindrical shell القشرة الأسطوانية، بدي أجيب قدّاش 76 00:07:12,210 --> 00:07:17,670 المساحة الجانبية لها، هذا نصف القطر قدّاش؟ x، 77 00:07:17,670 --> 00:07:25,180 المساحة الجانبية 2πr، يبقى 2π في x في من؟ 78 00:07:25,180 --> 00:07:29,880 في الارتفاع، الارتفاع هو F of X هذا، صحيح ولا لأ؟ 79 00:07:29,880 --> 00:07:35,940 يبقى هذا هو الارتفاع اللي عندنا اللي هو F of X، 80 00:07:35,940 --> 00:07:39,600 يبقى هذا بيعطينا المساحة الجانبية للوسط، وأنا من 81 00:07:39,600 --> 00:07:44,340 هنا قلنا الـ volume يبدو يساوي تكامل 2πx في F 82 00:07:44,340 --> 00:07:51,190 of X DX، إن كاملت عليها بطلع لي قدّاش حجم المجسم المصمت 83 00:07:51,190 --> 00:07:54,650 داير مايدور اللي عندنا هذا، يبقى واضح شكل الـ 84 00:07:54,650 --> 00:07:58,610 cylindrical shell هذا، لو كان التكامل بالنسبة لـ x 85 00:07:58,610 --> 00:08:03,530 يبقى هنا بفرج عن المرتين الماضيتين، إن المقطع اللي 86 00:08:03,530 --> 00:08:07,390 هو الخط المستقيم اللي بنرسمه، بدل ما كنا نرسمه 87 00:08:07,390 --> 00:08:11,390 عمودي على محور الدوران، اليوم نرسمه موازن لمحور 88 00:08:11,390 --> 00:08:15,670 الدوران، هذا الخط الموجود هو F of x 89 00:08:26,270 --> 00:08:30,750 هذا الدوران حوالي الخط يكون محور Y أو موازي لمحور 90 00:08:30,750 --> 00:08:37,690 Y، ممكن يكون الدوران حوالي الخط موازي لمحور X تمام؟ 91 00:08:37,690 --> 00:08:42,930 يبقى في هذه الحالة يصير التكامل بالنسبة لـ Y، يبقى يصير 92 00:08:42,930 --> 00:08:48,310 التكامل 2πy F of Y Dy، طبعًا هذه كاملة على 93 00:08:48,310 --> 00:08:53,450 الشجرتين كيف هذه وكيف هذه، يبقى الفكرة في الأساس بس 94 00:08:53,870 --> 00:08:59,830 تعرف اللي هو شكل النص في القطر تبع الـ cylindrical 95 00:08:59,830 --> 00:09:04,230 shell وتعرف الارتفاع، ضروري كل مرة ارسم ومرة ارسم 96 00:09:04,230 --> 00:09:09,330 هذا؟ لا مش ضروري، بس ارسم لي منطقة التكامل، ارسم لي 97 00:09:09,330 --> 00:09:15,130 خط موازي لمحور الدوران، وحدد قدّاش بقى الطرف الخط عن 98 00:09:15,130 --> 00:09:19,130 المركز اللي عندك بيكون هذا هو نصف القطر، والخط اللي 99 00:09:19,130 --> 00:09:24,410 رسمته بيكون هو الـ shell height هو الارتفاع أو الارتفاع 100 00:09:24,410 --> 00:09:28,410 الجانبي للقصانة، بعد هيك حدود التكامل ممكن تكون 101 00:09:28,410 --> 00:09:33,490 محددة عندك، ممكن أنت بدك تحددها من حال مستقيمات مع 102 00:09:33,490 --> 00:09:38,150 منحنيات أو منحنيات مع بعضها لبعض، كما سنراه بعد 103 00:09:38,150 --> 00:09:43,640 قليل، هذا كل جزء النظر اللي موجود في هذا الـ section 104 00:09:43,640 --> 00:09:46,920 بس الكلمتين اللي قدامك على اللوحة دول، حدا اللي هو 105 00:09:46,920 --> 00:09:54,260 أي تساؤل، طيب نبدأ في الأمثلة، نجي لأول مثال على هذا 106 00:09:54,260 --> 00:09:55,900 الموضوع، يبقى examples 107 00:10:03,850 --> 00:10:08,530 أول مثال من هذه اللي ألمتله بوليفي، الـ volume of 108 00:10:08,530 --> 00:10:19,330 the solid، find the volume of the solid generated 109 00:10:19,330 --> 00:10:23,350 by 110 00:10:23,350 --> 00:10:27,010 revolving 111 00:10:28,290 --> 00:10:34,990 Generated by the region revolving 112 00:10:34,990 --> 00:10:42,570 the 113 00:10:42,570 --> 00:10:46,750 region 114 00:10:46,750 --> 00:10:51,470 between the 115 00:10:51,470 --> 00:10:51,990 region 116 00:10:59,710 --> 00:11:07,430 بين اثنين، bounded والمغلقة 117 00:11:07,430 --> 00:11:19,770 بيه by the curves المنحنيات، Y تساوي X تربيع، و Y 118 00:11:19,770 --> 00:11:33,110 يساوي 2 ناقص X، and X تساوي زيرو، for X greater 119 00:11:33,110 --> 00:11:44,450 than or equal to zero about the Y axis 120 00:11:57,220 --> 00:12:02,900 خلّينا نرسم المنطقة 121 00:12:02,900 --> 00:12:06,360 المحدودة بالمنحنيات اللي عندنا، نقول المنحنى 122 00:12:06,360 --> 00:12:11,420 الأولاني، Y تساوي X تربيع، إذا لو جيت رسمت هذا 123 00:12:11,420 --> 00:12:18,880 المنحنى، هذا محور X، هذا محور Y، هذه نقطة الأصل، يبقى 124 00:12:18,880 --> 00:12:27,700 هذا Y تساوي X تربيع، بعدها قال الخط المستقيم Y يساوي 125 00:12:27,700 --> 00:12:33,020 2 ناقص x، إذا لو كانت الـ x بـ 0، y يبقى دي إيش؟ 126 00:12:33,020 --> 00:12:40,420 بـ 2، يبقى هذه 2، وإذا كان الـ y بـ 0، و x 127 00:12:40,420 --> 00:12:46,260 بـ 2، يبقى بـ 2، هذه الـ 2 اللي عندنا هذه، يبقى 128 00:12:46,260 --> 00:12:52,140 هذه كمان 2، يبقى هتان النقطتان تقعان على الخط 129 00:12:52,140 --> 00:12:57,220 المستقيم اللي عندنا، يبقى أروح نرسمنا هذا الخط 130 00:12:57,220 --> 00:13:02,900 المستقيم بالشكل هذا دوام، يبقى هذا هو الخط المستقيم 131 00:13:10,240 --> 00:13:15,340 يبقى هاي المنطقة اللي موجودة وين؟ اللي موجودة أنا 132 00:13:15,340 --> 00:13:20,420 يبقى باقي المنحنى هذا كله مش لازم، ليه؟ المهم هاي 133 00:13:20,420 --> 00:13:27,040 المنحنى رسمناها، وهذا الخط اللي همين Y يساوي 2 134 00:13:27,040 --> 00:13:31,820 ناقص x، هاي المنطقة المظللة، المنطقة المظللة اللي 135 00:13:31,820 --> 00:13:36,510 بدها تدور حوالي مين؟ أو للمحور Y، إذا أنا بادر 136 00:13:36,510 --> 00:13:44,370 أرسم خط يقطع منطقة التكامل وموازٍ لمحور Y، يبقى 137 00:13:44,370 --> 00:13:49,650 بالدقة أقول له هذا خط يقطع منطقة التكامل وموازٍ 138 00:13:49,650 --> 00:14:03,820 لمحور Y، النقطة هذه نصف 139 00:14:03,820 --> 00:14:09,840 القطر، يعني لو جيت من هنا رسمت نصف دائرة بيكون هذا 140 00:14:09,840 --> 00:14:15,120 هو نصف قطر الدائرة، طب والارتفاع تبع الدائرة؟ الجزء 141 00:14:15,120 --> 00:14:19,360 اللي في المنطقة المظللة، للي تحت ما له دعوة تمام؟ 142 00:14:19,360 --> 00:14:25,300 إذا أنا بدي أعرف قدّاش هذا طول الخط الأخضر قدّاش؟ 143 00:14:25,300 --> 00:14:30,740 2 ناقص x، 2 ناقص x اللي هو بُعد الخط 144 00:14:30,740 --> 00:14:34,880 اللي عندنا هذا عن محور x، بدي أشيل هذا البعد هذا 145 00:14:34,880 --> 00:14:42,190 البعد قدّاش؟ هذا الخط أو هذا الجزء هو عبارة عن 146 00:14:42,190 --> 00:14:48,470 2 ناقص X ناقص X تربيع، يبقى هذا هو الذي يمثل 147 00:14:48,470 --> 00:14:54,060 عندي هنا main الـ F of X اللي هو الارتفاع تبع من؟ 148 00:14:54,060 --> 00:14:58,700 تبع الأسطوانة أو تبع الـ cylindrical shell يبقى 149 00:14:58,700 --> 00:15:03,620 كويس، يبقى بدي أكامل بالنسبة لـ x، إذا بدي أعرف x 150 00:15:03,620 --> 00:15:09,560 ستتغير من وين لوين؟ طبعًا x ستتغير من 0 لغاية آخر 151 00:15:09,560 --> 00:15:14,670 نقطة هنا، آخر نقطة هنا قدّاش؟ أنا مش عارف، بنحل معادلة 152 00:15:14,670 --> 00:15:20,010 الخط المستقيم مع مين؟ مع منحنى الـ parabola Y تساوي 153 00:15:20,010 --> 00:15:20,810 X تربيع 154 00:15:28,980 --> 00:15:35,040 الشباب، لو كملت هذا هيك، بدي يحصل تقابل عن مين؟ سالب 155 00:15:35,040 --> 00:15:39,460 2 ما لي دعوة فيها، هذه برا المنطقة، يبقى أنا 156 00:15:39,460 --> 00:15:44,960 عندي بس x يساوي قدّاش؟ 1، إذا بدي أجي أقول له الـ 157 00:15:44,960 --> 00:15:52,680 volume V بدي يساوي تكامل من 0 لـ 1 لـ 2πx 158 00:15:52,680 --> 00:15:57,200 في الـ F of X، F of X الارتفاع اللي هو البعد هذا 159 00:15:57,200 --> 00:16:05,160 اللي هو ما هو اللي هو الـ 2 ناقص x، 2 ناقص x 160 00:16:05,160 --> 00:16:11,610 ناقص X تربيع، كله بالنسبة لمين؟ لـ x، أو هذا 2 161 00:16:11,610 --> 00:16:17,330 π برا تكامل من 0 لـ 1 لـ 2x ناقص X 162 00:16:17,330 --> 00:16:23,930 تربيع ناقص X تكعيب، كله بالنسبة إلى DX، النتيجة 163 00:16:23,930 --> 00:16:29,590 تساوي 2π هيها برا، وتكامل هذا اللي هو x 164 00:16:29,590 --> 00:16:34,190 تربيع على 2 مع الـ 2 الله يسهل عليها، ناقص x 165 00:16:34,190 --> 00:16:40,950 تكعيب على 3، ناقص x أس 4 على 4، كله من 166 00:16:40,950 --> 00:16:48,070 أندي الـ 0 لغاية الـ 1، يبقى يساوي 2π 167 00:16:48,070 --> 00:16:56,670 ناقص 1/3 ناقص 1/4 ناقص كل الباقي بقدّاش؟ بـ 0، هذا 168 00:16:56,670 --> 00:1 201 00:20:43,190 --> 00:20:49,330 محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero Y 202 00:20:49,330 --> 00:20:53,670 تساوي جذر الـ X يا ما رسمناه خلال الفصل هذا كله 203 00:20:53,670 --> 00:21:00,970 بيُعرف رسمه يبقى هذا Y تساوي جذر الـ X بعد ذلك يقول 204 00:21:00,970 --> 00:21:06,650 لي Y تساوي زيرو Y تساوي زيرو هو ميان محور X Y 205 00:21:06,650 --> 00:21:12,690 تساوي زيرو هو محور X بعد ذلك قال لي الخط Y تساوي X 206 00:21:12,690 --> 00:21:17,590 ناقص اثنين بحدد النقطتين عليه و بوصل فيه ما بينهما 207 00:21:17,590 --> 00:21:24,010 لو كانت الـ X بزيرو فـ Y بسالب اثنين يبقى I سالب 208 00:21:24,010 --> 00:21:31,440 اثنين لو كانت Y بزيرو X باثنين يبقى أنا من اثنين 209 00:21:31,440 --> 00:21:39,100 بيأتي بوصل فيما بينهما و بمد الخط على استقامته 210 00:21:39,100 --> 00:21:45,800 يبقى الآن المنطقة اللي احنا بدنا إياها هي هذه المنطقة 211 00:21:45,800 --> 00:21:54,420 والباقي كله مش لازم لي تمام؟ طيب، هذه المنطقة بدها 212 00:21:54,420 --> 00:21:59,800 دور حوالين مين؟ حوالين محور X، بدي أروح أهلي 213 00:21:59,800 --> 00:22:03,860 بالـ Cylindrical Shell، مش بالواشرة، يبقى موضوعنا 214 00:22:03,860 --> 00:22:08,400 الـ Cylindrical Shell، يبقى بدأ أروح أرسم خط يقطع 215 00:22:08,400 --> 00:22:15,580 هذه المنطقة ومواز لمحور الدوران يبقى باجي بقول لو 216 00:22:15,580 --> 00:22:22,300 جيت أخد هذا الخط الأفقي، الشكل أن هذا، قطع منطقة 217 00:22:22,300 --> 00:22:27,780 التكامل ومواز لمحور الدوران، يبقى هذا يُعتبر 218 00:22:27,780 --> 00:22:33,700 ارتفاع الـ Cylindrical Shell، مظبوط؟ بدي نصف القطر، 219 00:22:33,700 --> 00:22:39,840 يبقى باجي بنزل عمود من هنا، بيكون هذا نصف القطر 220 00:22:40,850 --> 00:22:45,030 طيب، هنا التكامل بيكون على عكس اللي جابله، اللي 221 00:22:45,030 --> 00:22:49,470 جابله كاملة بالنسبة لمن؟ هنا بيكامل بالنسبة إلى Y، 222 00:22:49,470 --> 00:22:55,210 إذا هذا البعد لو جيت Goal taken أفقي، هذا Y، 223 00:22:55,210 --> 00:23:01,960 الارتفاع Y يبقى بيكون نصف القطر، هذا هو Y يبقى طول 224 00:23:01,960 --> 00:23:05,980 اللي عندي أعرف قد إيش الطول اللي عندنا هذا بدلالة 225 00:23:05,980 --> 00:23:14,380 مين؟ بدلالة Y هذا Y تساوي جذر الـ X يعني X يساوي Y 226 00:23:14,380 --> 00:23:21,460 تربيع يبقى X يساوي Y تربيع اللي هو مين الجزء المنقطة 227 00:23:21,460 --> 00:23:29,020 اللي عندنا هذا مصبوغ يبقى هذا الجزء فقط هو X يساوي 228 00:23:29,020 --> 00:23:34,140 Y تربيع ربعنا الطرفين اللي هنا هذا الخط اللي هو 229 00:23:34,140 --> 00:23:42,280 معادلته كانت إيش كانت Y تساوي X ناقص اثنين أو X 230 00:23:42,280 --> 00:23:48,000 يساوي Y زائد اثنين طبعًا إذا أنا باجي بقول البعد 231 00:23:48,000 --> 00:23:53,620 الكبير ناقص البعد الصغير يبقى هذا الطول يمثل البعد 232 00:23:53,620 --> 00:24:00,730 هذا كله لـ Y زائد اثنين ناقص البعد هذا اللي هو Y 233 00:24:00,730 --> 00:24:06,770 تربيع، ضالت عند الـ Y ستتغير من عند Zero لعند ابصر 234 00:24:06,770 --> 00:24:12,770 قد إيش، لحد هنا تمام؟ يبقى بدي أعرف قد إيش الإحداثيات تبع 235 00:24:12,770 --> 00:24:18,510 Y هذا، مشان هيك بروح أحل المعادلة هذه بالنسبة لمين 236 00:24:18,510 --> 00:24:25,240 إلى Y هذه النقطة تقع وين؟ على المنحنيين يبقى بدي 237 00:24:25,240 --> 00:24:32,380 أروح أسوي المعادلتين ببعض اللي هو Y تربيع يساوي Y 238 00:24:32,380 --> 00:24:38,220 زائد اثنين أو بمعنى آخر لو عملت معادلة صفرية بيصير 239 00:24:38,220 --> 00:24:44,540 Y تربيع ناقص Y ناقص اثنين بدي يساوي قد إيش Zero أو لو 240 00:24:44,540 --> 00:24:49,520 حللتها بأقواس بالشكل هذا بدي يساوي Zero يبقى هاي Y 241 00:24:49,740 --> 00:24:54,660 هذا واي واي واحد وهذا اثنين وهذا ناقص وهذا زائد 242 00:24:54,660 --> 00:24:58,480 زائد واي وناقص اثنين واي بناقص واي يبقى تحليلنا 243 00:24:58,480 --> 00:25:02,960 سليم مائة بالمائة يبقى بناءً على هدف يعطينا أن واي 244 00:25:02,960 --> 00:25:08,800 تساوي سالب واحد والواي تساوي قد إيش اثنين إيش رأيك 245 00:25:08,800 --> 00:25:16,290 في واي تساوي سالب واحد؟ مرفوض أو لا؟ هذا لو كملت 246 00:25:16,290 --> 00:25:20,570 هكذا كملت المنحنى و بدأت تقاطعني و تساوي سالب واحد ما ليش 247 00:25:20,570 --> 00:25:24,450 علاقة فيها يبقى Y تساوي اثنين اللي هو البعد اللي 248 00:25:24,450 --> 00:25:30,570 عندنا هذا يبقى بدي يصير التكامل عندي من Zero لغاية 249 00:25:30,570 --> 00:25:37,090 قد إيش اثنين طيب هذه لو كانت Y تساوي اثنين يبقى الـ X 250 00:25:37,090 --> 00:25:38,150 تساوي قد إيش 251 00:25:42,010 --> 00:25:47,230 أربعة يبقى النقطة هذه اللي إحداثيات تبعها اللي هو 252 00:25:47,230 --> 00:25:53,370 أربعة واثنين طبعًا كيف أربعة واثنين؟ شو المنحنى 253 00:25:53,370 --> 00:26:02,590 هذا؟ يبقى X بقد إيش؟ أربعة بتتربع الطرفين. وين 254 00:26:02,590 --> 00:26:08,070 اثنين؟ هذا اثنين البعد الأفقي يا رجل. هذا البعد 255 00:26:08,070 --> 00:26:14,110 رأسي. مش إحنا طلعنا Y باثنين، حط فيه أي معادلة 256 00:26:14,110 --> 00:26:19,170 بدك إياها، حط Y باثنين، بصير X بأربعة، حط Y باثنين، 257 00:26:19,170 --> 00:26:22,510 بصير X بأربعة، لأن النقطة تقع على المنحنيين، بتحقق 258 00:26:22,510 --> 00:26:28,790 كل منهما، إذا إنت الـ volume V، بده يساوي تكامل من 259 00:26:28,790 --> 00:26:36,370 Zero لغاية قد إيش؟ لغاية اثنين، للاثنين by one في نصف 260 00:26:36,370 --> 00:26:40,950 القطر اللي عندنا هذا نصف القطر اللي عندنا وهو Y زي 261 00:26:40,950 --> 00:26:47,890 ما هو اثنين ناقص اللي هو مين هذا هذا Y زي ما هو اثنين 262 00:26:47,890 --> 00:26:57,770 ناقص Y تربيع يبقى في Y زي ما هو اثنين ناقص Y تربيع كل 263 00:26:57,770 --> 00:27:03,770 هذا الكلام بالنسبة لمين؟ له دي Y يبقى الـ volume V 264 00:27:03,770 --> 00:27:11,630 يبقى يساوي 2π برا تكامل من 0 لغاية 2 يدخل الـ Y جوا 265 00:27:11,630 --> 00:27:19,310 يبقى Y تربيع زائد 2Y ناقص Y تكعيب كله بالنسبة 266 00:27:19,310 --> 00:27:27,580 لمين؟ لـ DY يبقى هذا الكلام يساوي 2π VY تكعيب على 267 00:27:27,580 --> 00:27:33,060 ثلاثة زائد Y تربيع اثنين مع اثنين مع السلامة Y 268 00:27:33,060 --> 00:27:40,090 أربعة على أربعة من Zero لغاية اثنين يساوي اثنين باي 269 00:27:40,090 --> 00:27:44,970 برا يبقى ثمانية 270 00:27:44,970 --> 00:27:55,250 على ثلاثة زائد أربعة ناقص ستة عشر على أربعة أربعة 271 00:27:55,250 --> 00:28:01,750 مع أربعة بصير يبقى هذا ستة عشر باي على ثلاثة هذا 272 00:28:01,750 --> 00:28:05,110 الحجمين حجم هذه المنطقة 273 00:28:10,000 --> 00:28:14,320 ما رأيك تجي هنا على اللوحة نشوفك شوية إيه اللي حد 274 00:28:14,320 --> 00:28:19,400 تعالي شو؟ عالي بالكوا يمكن نجاوب على بعض أسئلتكوا 275 00:28:19,400 --> 00:28:24,140 آه تفضل أنا 276 00:28:24,140 --> 00:28:29,680 بكامل بالنسبة لـ .. أنا بكامل بالنسبة لـ Y لو بالنسبة 277 00:28:29,680 --> 00:28:36,700 لـ X طيب أنت من الصفر اللي هو أربعة ليه X؟ ما لك؟ طيب 278 00:28:36,700 --> 00:28:41,480 اضحكوا زيه لأ لو كان لو الـ .. لو الـ قصد من Y تساوي 279 00:28:41,480 --> 00:28:46,000 من X لو كانتش فـلال Y جذر الـ X أبسوليوت الـ X 280 00:28:46,000 --> 00:28:51,420 أبسوليوت فـلال X طيب هتكون على الجهتين؟ كيف حالك 281 00:28:51,420 --> 00:28:54,700 أنت بصيا بصيك الدورة .. استنى شوية بصيك الدورة 282 00:28:54,700 --> 00:28:57,780 حواليها نفسها مش إيه؟ آه آه لأن على يمين محورها 283 00:28:57,780 --> 00:29:02,240 زيها ما جبتش جديد طيب 284 00:29:02,240 --> 00:29:04,460 نعطي كمان مثال 285 00:29:07,670 --> 00:29:13,590 مثال ثلاثة ثلاثة 286 00:29:13,590 --> 00:29:17,210 هي سؤال تسعة و عشرين من الكتاب يقول احصل على كمية 287 00:29:17,210 --> 00:29:26,150 المجسم احصل على كمية المجسم 288 00:29:26,150 --> 00:29:28,310 نحتاج حجم المجسم 289 00:29:37,130 --> 00:29:44,690 تُحَل المنطقة المنطقة 290 00:29:44,690 --> 00:29:51,910 مجموعة من مجموعة 291 00:29:51,910 --> 00:30:01,070 من Y تساوي X و Y تساوي X تربيع 292 00:30:06,520 --> 00:30:18,520 the y axis حوالي المحور y by using باستخدام 293 00:30:18,520 --> 00:30:32,580 نمرا a the shell method نمرا b the washer method 294 00:30:45,870 --> 00:30:46,910 قلناها برسمها 295 00:30:53,920 --> 00:30:58,380 سؤال مرة ثانية بيقول هات الحجم المجسم المتولد من 296 00:30:58,380 --> 00:31:04,820 دوران المنطقة المحدودة بالخط Y تساوي X بالمنحنى Y 297 00:31:04,820 --> 00:31:10,080 تساوي X تربيع والدوران حوالين محور Y بطريقتين 298 00:31:10,080 --> 00:31:13,700 الطريقة اللي هو طريقة shell method اللي طريقتنا 299 00:31:13,700 --> 00:31:19,080 قبل قليل والثانية الـ washer method طريقتنا اللي هو 300 00:31:19,080 --> 00:31:20,920 يوم أمس الأول 301 00:31:23,160 --> 00:31:29,460 بنرسم وبعد ذلك بيصير خير يبقى هذا محور X هذا محور 302 00:31:29,460 --> 00:31:35,040 Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero في أن المنحنى Y 303 00:31:35,040 --> 00:31:41,540 تساوي X تربيع يبقى Y تساوي X تربيع المنحنى هتجيك 304 00:31:41,540 --> 00:31:41,940 هيك 305 00:31:44,760 --> 00:31:52,380 الخط الثاني Y تساوي X يبقى Y تساوي X اللي هو الخط 306 00:31:52,380 --> 00:31:59,420 اللي عندنا هذا يبقى هذا Y تساوي X هذا Y تساوي X 307 00:31:59,420 --> 00:32:04,180 تربيع حصروا المنطقة فيما بينهم اللي المنطقة 308 00:32:04,180 --> 00:32:09,570 المظللة دي هذه المنطقة المظللة لابدها تدور حوالين 309 00:32:09,570 --> 00:32:15,150 محور Y تمام؟ مدام بدها تدور حوالين محور Y يبقى 310 00:32:15,150 --> 00:32:22,390 إحنا بدنا نروح نرسم خط يقطع منطقة التكامل ومواز 311 00:32:22,390 --> 00:32:29,110 لمحور Y يبقى لو جيت من هنا رسمت خط موازي لمحور Y 312 00:32:29,110 --> 00:32:34,970 ويقطع منطقة التكامل يبقى هذا يُعتبر الارتفاع 313 00:32:34,970 --> 00:32:40,690 الجانبي للـ cylindrical shell بدي أعرف قد إيش طول 314 00:32:40,690 --> 00:32:48,490 الخط الأخضر هذا بقوله تمام من هنا لهنا هذا Y تساوي 315 00:32:48,490 --> 00:32:57,620 X ومن هنا لهنا هذا Y تساوي X تربيع، إذا هذا الخط 316 00:32:57,620 --> 00:33:04,120 يكون الفرق بينهم اللي هو مين؟ X ناقص X تربيع، هذا 317 00:33:04,120 --> 00:33:12,240 البعد، هذا البعد بيكون X نصف قطر من اللي هو 318 00:33:12,240 --> 00:33:18,810 cylindrical shell بدل الـ X ستتغير من Zero لغاية 319 00:33:18,810 --> 00:33:25,760 ابصر قد إيش يبقى بدي أعرف هنا آخر حاجة لذلك بدي أحل 320 00:33:25,760 --> 00:33:31,540 المعادلتين هدول مع بعضهم يبقى أنا عندي Y تساوي X 321 00:33:31,540 --> 00:33:39,060 تربيع وعندي Y تساوي X يبقى هذه ها بقدر أقول X 322 00:33:39,060 --> 00:33:44,820 تربيع ناقص X يساوي Zero أو لو أخدت X عامل مشترك 323 00:33:44,820 --> 00:33:49,940 بصير X ناقص واحد يساوي Zero يبقى X يساوي Zero و X 324 00:33:49,940 --> 00:33:55,790 يساوي واحد يبقى نقطة التقاطع الأولى عند الـ 0 ونقطة 325 00:33:55,790 --> 00:34:02,850 التقاطع الثانية عند الـ 1 يبقى بصير الـ Volume V بدي 326 00:34:02,850 --> 00:34:11,050 يساوي تكامل من 0 لغاية 1 للاثنين باي X في الـ F of X 327 00:34:11,050 --> 00:34:15,390 اللي همّان X ناقص X تربيع 328 00:34:20,080 --> 00:34:25,560 يبقى X ناقص X تربيع كل هذا الكلام بالنسبة لمين؟ 329 00:34:25,560 --> 00:34:32,620 إلى DX يبقى هذا الكلام بيساوي 2π تكامل من 0 ل 1 لل X 330 00:34:32,620 --> 00:34:40,820 تربيع ناقص X تكعيب كله بالنسبة إلى DX يبقى 2π وهذه 331 00:34:40,820 --> 00:34:44,640 عبارة عن X تكعيب على 3 332 00:34:47,470 --> 00:34:51,390 نرجع لسؤالنا هذا مرة ثانية وهو آخر مثال في هذا ال 333 00:34:51,390 --> 00:34:55,670 section قال هات لي حجم المجسم المتولد من دوران 334 00:34:55,670 --> 00:34:59,990 المنطقة المحصورة بالمنحنى Y يساوي 2X ناقص X تربيع 335 00:34:59,990 --> 00:35:04,810 والخط المستقيم Y تساوي X والدوران بدي يكون مرة 336 00:35:04,810 --> 00:35:09,950 حوالين محور Y ومرة حوالين خط مواز لمحور Y اللي همّان 337 00:35:09,950 --> 00:35:16,710 X يساوي Y نعود للخط المستقيم Y تساوي X نعود لهذا 338 00:35:16,710 --> 00:35:22,810 المنحنى هذا المنحنى طبعًا parabola أنه Y دالة في X و 339 00:35:22,810 --> 00:35:26,450 X من الدرجة الثانية يبقى parabola بس معمولة لها 340 00:35:26,450 --> 00:35:30,310 Shift إذا بدي أعرف وين الـ vertex بالضبط تبع هذه ال 341 00:35:30,310 --> 00:35:36,500 parabola إذا بتروح تعمل إكمال للمربع يبقى هذه لو 342 00:35:36,500 --> 00:35:42,500 جيت قلت Y تساوي بدنا نكمّل مربع يعني قد إيش نضيف و 343 00:35:42,500 --> 00:35:50,400 نطرح أربعة ولا واحد يعني أنت بتحذر تحذير طيب مشان 344 00:35:50,400 --> 00:35:57,710 تعرف قد إيش وما حدش يولد تاني برنامج نضيف مربع معامل 345 00:35:57,710 --> 00:36:05,710 X على أربعة أمثال معامل X تربيع 346 00:36:09,680 --> 00:36:16,180 بقول مربع معامل X قد إيش؟ أربعة أربعة أمثال معامل X 347 00:36:16,180 --> 00:36:20,700 تربيع أربعة في واحد تمام؟ أما هو واحد جد وارمى 348 00:36:20,700 --> 00:36:24,520 أربعة يبقى أربعة على أربعة في قد إيش؟ يبقى بضيف واحد 349 00:36:24,520 --> 00:36:31,640 وبطرح واحد يبقى هذا Y بدي يساوي واحد ناقص واحد 350 00:36:31,640 --> 00:36:38,560 زائد اثنين X ناقص X تربيع هذا بدي أكتبه بالشكل اللي 351 00:36:38,560 --> 00:36:44,080 أنه هذا هذا الـ Y ناقص واحد هذا كله بدي أخد منه 352 00:36:44,080 --> 00:36:49,820 ناقص عامل مشترك مضروب X تربيع يعني ناقص اثنين X 353 00:36:49,820 --> 00:36:58,320 زائد واحد هذا معناه أن Y ناقص واحد يساوي الناقص X 354 00:36:58,320 --> 00:37:04,320 ناقص واحد الكل تربيع يبقى هذه parabola والـ vertex 355 00:37:04,320 --> 00:37:14,780 واحد وواحد يبقى هذه parabola open Down ولا Up؟ 356 00:37:14,780 --> 00:37:23,160 Down بسبب الإشارة السالبة يبقى open down with 357 00:37:23,160 --> 00:37:25,760 vertex 358 00:37:27,210 --> 00:37:35,510 يبقى H و K يبقى واحد وواحد يبقى لو جيت قلت هذه 359 00:37:35,510 --> 00:37:40,690 القيمة اللي عندنا واحد وجيت طالع هنا هذه واحد 360 00:37:40,690 --> 00:37:46,470 يبقى إحداثيات النقطة هذه واحد وواحد يبقى واحد وواحد 361 00:37:46,470 --> 00:37:50,730 تقع على الخط المستقيم وفي نفس الوقت 362 00:37:59,220 --> 00:38:06,910 السؤال هو هل الـ parabola تمر بنقطة الأصل؟ نعم ليش؟ 363 00:38:06,910 --> 00:38:12,490 أن لو حطيت الـ X بـ Zero و Y بـ Zero يبقى الـ parabola 364 00:38:12,490 --> 00:38:18,170 هذه لو جيت رسمتها هتأخذ الشكل التالي الشكل اللي 365 00:38:18,170 --> 00:38:22,990 عندنا هذا هيك يبقى هذا الـ parabola يبقى المنطقة 366 00:38:22,990 --> 00:38:30,250 اللي محصورة فيما بينهما للمنطقة هذه تمام؟ يبقى من 367 00:38:30,250 --> 00:38:36,080 هنا بدأنا الحل نمر أيه؟ الدوران يكون حوالين محور Y 368 00:38:36,080 --> 00:38:43,880 جل المطلوب الأول يبقى بدرجة أرسم خط يقطع منطقة 369 00:38:43,880 --> 0 401 00:42:30,680 --> 00:42:36,310 هذا البعد كله X لأن هذه نقطة الأصل هي Zero الدوران 402 00:42:36,310 --> 00:42:42,190 حوالين محور Y حوالين للخط X يساوي واحد يبقى أين 403 00:42:42,190 --> 00:42:50,090 نصف القطر؟ واحد ناقص X ممتاز هذه المسافة كلها وهذا 404 00:42:50,090 --> 00:42:59,210 هو نصف القطر تمام؟ يبقى هذا 1-X كويس يبقى 405 00:42:59,210 --> 00:43:06,550 بدي يصير ال Volume دي بدي يساوي تكامل من 0 لاثنين by 406 00:43:06,550 --> 00:43:14,070 واحد ناقص X هذا اللي هو نصف القطر فاهمين؟ فيه؟ 407 00:43:14,410 --> 00:43:17,990 الـ Height هذا الارتفاع هل اختلف عن الارتفاع اللي 408 00:43:17,990 --> 00:43:25,310 هناك؟ هو هو يبقى 2X-X تربيع يبقى 2X-X 409 00:43:25,310 --> 00:43:31,690 تربيع ناقص X الكل بالنسبة ل X والـ X ستتغير من Zero 410 00:43:31,690 --> 00:43:40,210 لغاية واحد كما هي يبقى النتيجة تساوي أي 2π و 411 00:43:40,210 --> 00:43:46,410 أي تكامل من zero لغاية واحد وهنا 1-x 412 00:43:46,410 --> 00:43:54,080 فاهمين؟ في الـ (2x-x²) الكل بالنسبة الى dx 413 00:43:54,080 --> 00:44:02,100 هذا الكلام يساوي 2π تكامل من zero ل1 يبقى 414 00:44:02,100 --> 00:44:10,290 2x -x² -x² +x³ الكل 415 00:44:10,290 --> 00:44:16,270 بالنسبة الى DX يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π 416 00:44:16,270 --> 00:44:23,410 تكامل من Zero لغاية 1 dx ما فيش غيرها ونقص 2x 417 00:44:23,410 --> 00:44:30,130 تربيع + X تكعيب الكل بالنسبة الى من؟ الى DX 418 00:44:30,130 --> 00:44:36,780 يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π x تربيع على 419 00:44:36,780 --> 00:44:47,100 2 - 2/3 x تكعيب أو هنا + x أس 4 420 00:44:47,100 --> 00:44:52,660 على 4 من زيرو لغاية 1 يبقى هذا الكلام بده 421 00:44:52,660 --> 00:45:04,890 يساوي 2π في (1/2 - 1/3 + 1/4) كيف؟ اه 422 00:45:04,890 --> 00:45:10,430 2/3 هذا ولا يما يبقى 1/2 - 2/3 زي 1/4 في 423 00:45:10,430 --> 00:45:16,790 2π يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π 424 00:45:16,790 --> 00:45:24,020 المضاعف المشترك كله لهم له قداش 12 على 2 هي 6 425 00:45:24,020 --> 00:45:33,600 في 1 ب 6 نقص 12 3 في 4 في 2 8 12 على 4 هي قداش 3 426 00:45:34,740 --> 00:45:40,960 يبقى 3 أو 6 9 يبقى 2π في 1 على 427 00:45:40,960 --> 00:45:48,140 12 يبقى π على 6 كذلك يبقى هذا الحجم اللي 428 00:45:48,140 --> 00:45:53,360 موجود هنا لحد هنا stop انتهى هذا ال section اللي 429 00:45:53,360 --> 00:45:57,080 هو 6.2 وعليكم أرقام المسائل 430 00:46:00,430 --> 00:46:09,110 يبقى exercises 6.2 المسائل التالية من واحد 431 00:46:09,110 --> 00:46:21,990 للاحداشر القد ومن 15 لتسعة وتلاتين القد كذلك 432 00:46:25,300 --> 00:46:29,740 مين اللي قال ليس بالضرورة لأ لإن هاجر نضل على 433 00:46:29,740 --> 00:46:31,420 الشجر نضل على الشجر تاني