1
00:00:20,670 --> 00:00:25,410
بسم الله الرحمن الرحيم مثل ما أخذنا تطبيقات على

2
00:00:25,410 --> 00:00:30,790
التفاضل برضه بدنا نأخذ تطبيقات على التكامل بعد ما 

3
00:00:30,790 --> 00:00:36,810
أخذنا في chapter 5 كيفية تكامل الدوال المختلفة يبقى

4
00:00:36,810 --> 00:00:42,100
chapter 6 هو تطبيقات على استخدام التكامل في هذه

5
00:00:42,100 --> 00:00:49,820
التطبيقات سنحاول إيجاد الحجوم والمساحات وأطوال

6
00:00:49,820 --> 00:00:54,920
المنحنيات طبعًا هنجد الحجوم وهذا جديد علينا لم 

7
00:00:54,920 --> 00:01:00,900
نتعرض لهم من قبل سنجد المساحات السطحية للمجسمات 

8
00:01:00,900 --> 00:01:05,760
لأن المساحة بين المنحنيات درسناها في chapter خمسة

9
00:01:05,760 --> 00:01:11,060
في آخر section كان section خمسة ستة ولذلك المساحات 

10
00:01:11,060 --> 00:01:15,940
هنا ليست المساحات في المستوى وإنما المساحات في

11
00:01:15,940 --> 00:01:21,900
الفضاء يعني مساحة اللي هو مجسم موجود في الفضاء

12
00:01:21,900 --> 00:01:27,060
هنبدأ بأول نقطة وهي إيجاد الحجوم يبقى applications

13
00:01:27,060 --> 00:01:32,780
of definite integrals تطبيقات التكاملات المحدودة

14
00:01:32,780 --> 00:01:37,800
section 61 volumes using cross sections يبقى بدنا 

15
00:01:37,800 --> 00:01:44,440
نحاول نوجد الحجوم باستخدام المقاطع للمجسمات 

16
00:01:44,440 --> 00:01:51,300
المجسم هذا بده ينشأ عندنا من دوران بدنا نأخذ مقطع 

17
00:01:51,300 --> 00:01:55,420
لهذا المجسم الناتج ومن خلال المقطع اللي عندنا هذا

18
00:01:55,420 --> 00:02:01,560
بدنا نحاول نوجد قداش حجم المجسم طبعًا في هذا ال

19
00:02:01,560 --> 00:02:08,400
section في عندي يا إما طريقة ال disk لو كان المقطع

20
00:02:08,400 --> 00:02:15,820
هو عبارة عن اللي هو دائرة مصممة وبالتالي بسميها 

21
00:02:15,820 --> 00:02:23,010
disk يعني قرص مصمت أو ممكن يكون قرص مصمت بس فيه

22
00:02:23,010 --> 00:02:29,490
تجويف ممكن يكون شريحة تمام يبقى هناخد طريقة اللي 

23
00:02:29,490 --> 00:02:34,670
هو الشريحة هذه و نأخذ طريقة ال disk فنبدأ بطريقة

24
00:02:34,670 --> 00:02:40,630
ال disk في الأول فقال لي volume of revolution يعني

25
00:02:40,630 --> 00:02:47,880
حجم المجسم الناتج من الدوران revolution دوران solid

26
00:02:47,880 --> 00:02:53,520
مجسم يبقى حجم المجسم الناتج من الدوران وببدأ نتعرف 

27
00:02:53,520 --> 00:02:59,560
لأول طريقة The disk method طريقة القرص نعطيه

28
00:02:59,560 --> 00:03:05,140
التعريف التالي يبقى volume of the solid حجم المجسم 

29
00:03:05,140 --> 00:03:11,780
generated المتولد أو المتكون by revolving the

30
00:03:11,780 --> 00:03:17,660
region between بدوران المنطقة المحصورة ما بين الرسم

31
00:03:17,660 --> 00:03:23,280
البياني لمنحنى دالة y تساوي r of x and the x axis

32
00:03:23,280 --> 00:03:28,760
about the x axis يعني الدوران هيكون حوالي محور x

33
00:03:28,760 --> 00:03:35,130
is يبقى لو جئت افترضت أن عندي منحنى زي ما أنت شايف

34
00:03:35,130 --> 00:03:40,650
Y تساوي R of X بدي أخلي هذا المنحنى يدور حوالي

35
00:03:40,650 --> 00:03:46,090
محور X وبعد شوية هاخذ مثلا خليه يدور حوالي خط

36
00:03:46,090 --> 00:03:50,630
موازٍ لمحور X بعد ذلك يمكن أن يكون المنحنى يدور 

37
00:03:50,630 --> 00:03:56,650
حوالي محور Y حسب طبيعة المنحنى أو حوالي خط موازٍ 

38
00:03:56,650 --> 00:04:01,050
لمحور Y كل هذا سناخذ عليه أمثلة للحالات الأربع

39
00:04:01,050 --> 00:04:06,210
دوران حول محور X حولين خط موازٍ لمحور X حولين محور

40
00:04:06,210 --> 00:04:11,750
Y حولين خط موازٍ لمحور Y ايه بنشوف كيف بنجيب الحجوم

41
00:04:11,750 --> 00:04:15,510
في الحالات الأربع خلّينا في البداية لو كان الدوران 

42
00:04:15,510 --> 00:04:20,930
حول محور X نشوف كيف بنجد حجم المجسم الناتج من 

43
00:04:20,930 --> 00:04:26,070
الدوران يبقى هذه عندي R of X زي ما أنت شايف بدي 

44
00:04:26,070 --> 00:04:30,990
أخليها تدور في الفضاء بدي أريك ما هو شكل المجسم 

45
00:04:30,990 --> 00:04:35,640
الناتج من الدوران الآن لما أقول محور الدوران هو 

46
00:04:35,640 --> 00:04:41,560
محور X يبقى أي نقطة خارج محور الدوران عند دورانها

47
00:04:41,560 --> 00:04:47,720
سترسم محيط دائرة تمام تمام إذا النقطة هذه هنا

48
00:04:47,720 --> 00:04:54,330
هترسم لي محيط دائرة يبقى لو جئت للدائرة و روحت قلت 

49
00:04:54,330 --> 00:04:59,170
هذه الدائرة اللي عندنا تمام هذه كمان النقطة

50
00:04:59,170 --> 00:05:04,450
هترسم لي محيط دائرة هذا هو نصف قطرها يبقى لما أديت 

51
00:05:04,450 --> 00:05:08,990
هذا على استقامته بقدر طوله يبقى هتصبح الدائرة اللي 

52
00:05:08,990 --> 00:05:16,650
عندنا بهذا الشكل تمام يبقى الخط الخارجي هذا هيصبح 

53
00:05:16,650 --> 00:05:22,420
على الشكل التالي يبقى هذا المجسم اللي نتج منه دورة 

54
00:05:22,420 --> 00:05:28,660
كل نقطة على هذا المنحنى بترسم محيط دائرة فحصل عندنا 

55
00:05:28,660 --> 00:05:34,820
من المجسم اللي أمامنا هذا بدنا نوجد حجم هذا المجسم

56
00:05:34,820 --> 00:05:39,220
إذا بدي أروح أأخذ cross section من أعلى إلى أسفل

57
00:05:39,220 --> 00:05:44,520
بدي أقطعه بمقطع و أشوف شكل المقطع السؤال هو ما هو 

58
00:05:44,520 --> 00:05:50,350
شكل المقطع؟ دائرة كذلك يبقى الدائرة هذه لو روحت 

59
00:05:50,350 --> 00:05:55,510
رسمتها بدي يكون عندي خط بالشكل هذا يكتر ومن 

60
00:05:55,510 --> 00:05:59,690
الناحية الثانية بيظهر ليش فهارسمه منقط خط بالشكل 

61
00:05:59,690 --> 00:06:03,730
اللي عندنا هنا يبقى هذه دائرة هذه دائرة هذه دائرة 

62
00:06:03,730 --> 00:06:09,570
يبقى هذا هو المقطع اللي عندنا هنا طيب مدام دائرة 

63
00:06:09,570 --> 00:06:15,590
حد بيقدر يقول لي قداش مساحة الدائرة؟  πr² ممتاز جدا 

64
00:06:15,590 --> 00:06:21,710
يبقى أنا لو هذه المساحة أعطيتها الرمز a يبقى a هذه 

65
00:06:21,710 --> 00:06:26,550
هي المساحة من هنا راح نقول له ال volume v يساوي

66
00:06:26,550 --> 00:06:34,090
تكامل من عند ال a هنا لغاية ال b هنا تكامل من a

67
00:06:34,090 --> 00:06:39,740
إلى b لهذه المساحة اللي هي A of X بيعطيني حجم

68
00:06:39,740 --> 00:06:44,400
المجسم كله يبقى تكامل هذه المساحة من عند ال A إلى 

69
00:06:44,400 --> 00:06:48,940
B يساوي تكامل من A إلى B مساحة دائرة تحت النقطة 

70
00:06:48,940 --> 00:06:54,820
الرباعية وين نقلوا المسافة؟ من هنا لغاية هنا هذا

71
00:06:54,820 --> 00:06:59,960
الخط اللي عندنا الغامق هذا هو مين؟ هذا هو نصف 

72
00:06:59,960 --> 00:07:06,680
القطر يبقى نصف القطر البعد ما بين المنحنى ومحور X

73
00:07:09,870 --> 00:07:14,370
R of X هو البعد اللي عندنا يبقى لما يقول لي طه نقطة

74
00:07:14,370 --> 00:07:20,650
بيه يصير بي R of X لكل قيمة يعد X يبقى هذا حجم 

75
00:07:20,650 --> 00:07:26,290
المجسم الناتج من الدوران يبقى نصف القطر هذا اللي 

76
00:07:26,290 --> 00:07:32,150
عندنا هو عبارة عن مين عبارة عن R of X إن كامل هذا

77
00:07:32,150 --> 00:07:38,050
من A لـ B بنحصل على حجم المجسم الناتج من الدوران قد 

78
00:07:38,050 --> 00:07:43,670
يكون الدوران حسب طبيعة المنحنى حول محور Y إذا كان

79
00:07:43,670 --> 00:07:48,270
الدوران حول محور Y يبقى بدنا نروح نكامل بالنسبة 

80
00:07:48,270 --> 00:07:52,750
لمين إلى Y وبالتالي بيصير ال volume في هذه الحالة

81
00:07:52,750 --> 00:07:57,430
V يساوي تكامل من C إلى D لل A of Y دي Y أو تكامل بـ I

82
00:07:57,430 --> 00:07:59,810
R of Y لكل قيمة مين

83
00:08:02,620 --> 00:08:07,700
الآن بعد هذا الكلام نروح نأخذ أمثلة تطبيقية على 

84
00:08:07,700 --> 00:08:12,580
الكلام اللي احنا بنقوله ونشوف كيف هنحسب هذه الحجوم

85
00:08:12,580 --> 00:08:18,120
بدنا نيجي لأول مثال على هذا الموضوع يبقى example

86
00:08:18,120 --> 00:08:18,620
one

87
00:08:24,530 --> 00:08:29,530
يبقى مشان أحسب الحجم بدي شغلتين بدي أعرف بس حدود

88
00:08:29,530 --> 00:08:34,310
التكامل من وين لوين اتنين بدي أعرف قداش نصف القطر 

89
00:08:34,310 --> 00:08:38,150
تبع المقطع إذا عرفت هذا بصير الشغل تكامل عادي 

90
00:08:38,150 --> 00:08:43,920
روتيني عادي لا شيء فيه يبقى هدول أهم حاجة عندي حدود

91
00:08:43,920 --> 00:08:49,960
التكامل اتحددها الصح اتنين اللي هو مان نصف القطر تبع

92
00:08:49,960 --> 00:08:54,340
اللي هو دائرة المقطع أو تبع ال disk يبقى هذا اللي

93
00:08:54,340 --> 00:09:00,220
رسمناه مظلة للي عندنا هذا هذا هو ال disk يبقى هذا

94
00:09:00,220 --> 00:09:04,300
هو ال disk لأن احنا قلنا بناخد أول طريقة اللي هي 

95
00:09:04,300 --> 00:09:10,000
ال disk مثال نعطي مثال يبقى example one بيقول ما 

96
00:09:10,000 --> 00:09:16,540
يأتي find the volume of the solid find the volume

97
00:09:16,540 --> 00:09:27,480
of the solid generated by 

98
00:09:27,480 --> 00:09:31,000
revolving

99
00:09:31,000 --> 00:09:44,910
the region bounded by the region bounded by

100
00:09:44,910 --> 00:09:59,470
والمحدود بـ Y تساوي X تكعيب وY تساوي Zero and X 

101
00:09:59,470 --> 00:10:04,550
يساوي اتنين about the X axis about 

102
00:10:06,500 --> 00:10:09,520
the X Axis

103
00:10:27,460 --> 00:10:31,460
لما نحل مثال على هذا الموضوع يبقى أول شغلة بدنا

104
00:10:31,460 --> 00:10:36,180
نعملها بدنا نرسم الرسمة مشان نقدر نحدد حدود 

105
00:10:36,180 --> 00:10:41,680
التكامل يبقى بيقول هات لي حجم المجسم الناتج من

106
00:10:41,680 --> 00:10:47,700
دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى Y تساوي X تكعيب

107
00:10:47,700 --> 00:10:53,340
يبقى لو رحنا رسمنا المنحنى بالشكل هذا هذا محور X

108
00:10:53,570 --> 00:11:01,510
هذا محور Y وهذا نقطة الأصل Z يبقى المنحنى Y تساوي

109
00:11:01,510 --> 00:11:07,370
X تكعيب منحنى رسمناه عدة مرات قبل ذلك يبقى ما هو 

110
00:11:07,370 --> 00:11:13,370
جديد بالنسبة لنا يبقى هذا المنحنى المهم يبقى Y 

111
00:11:13,370 --> 00:11:15,470
تساوي X تكعيب

112
00:11:19,640 --> 00:11:24,700
بعد هيك قال كمان محدود ب مين؟ Y تساوي صفر مين Y

113
00:11:24,700 --> 00:11:29,860
تساوي صفر هذا؟ محور X يبقى هذا الخط اللي هو Y

114
00:11:29,860 --> 00:11:35,320
تساوي صفر بعد هيك قال الخط X يساوي 2 يبقى 

115
00:11:35,320 --> 00:11:41,600
خط رأسي بهذا الشكل X يساوي 2 يبقى هذا 2 

116
00:11:41,810 --> 00:11:48,310
يبقى بين محور X والمنحنى Y تساوي X تكعيب والخط X

117
00:11:48,310 --> 00:11:53,750
يساوي 2 يبقى عبارة عن المنطقة المظللة اللي عندنا 

118
00:11:53,750 --> 00:12:01,020
هذه ما للمنطقة هذه؟ هذه بدها تدور حوالي محور X

119
00:12:01,020 --> 00:12:07,480
تمام يبقى هل بدورة أرسم المجسم الناتج من الدوران؟

120
00:12:07,480 --> 00:12:13,520
ليس بدورة لكن حدد نصف قطر ال disk تبعك بصير خلصه

121
00:12:13,520 --> 00:12:17,840
يبقى مشان هيك كأن المجسم موجود و بدو يروح اعمل فيه

122
00:12:17,840 --> 00:12:23,510
مهم مقطع المقطع هذا بدو يكون ال disk تبعه بالشكل

123
00:12:23,510 --> 00:12:29,050
اللي عندنا هذا يبقى هذا نصف القطر تبع ال disk

124
00:12:29,050 --> 00:12:35,330
السؤال هو قداش مقدار نصف القطر هذا؟ X تكعيب لأن 

125
00:12:35,330 --> 00:12:39,290
X تكعيب هي المسافة بين محور X والمنحنى اللي فات

126
00:12:39,290 --> 00:12:43,890
لأن هذا المنحنى لو جئت كملته بدو يجيني بالشكل اللي 

127
00:12:43,890 --> 00:12:50,970
عندنا هذا بالشكل هذا و بدو يجيني هذا هيك مش هذا

128
00:12:50,970 --> 00:12:57,860
الشكل هذه هترسم لي محيط دائرة وهذه نقطة الأصل زي ما

129
00:12:57,860 --> 00:13:02,480
هي ثابتة إذا هذا لو أخذت ال disk بدو يكون ال disk

130
00:13:02,480 --> 00:13:08,040
بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا نصف القطر بدي أحدد 

131
00:13:08,040 --> 00:13:12,740
نصف القطر والباقي بيصير كله شغل روتيني يبقى نصف 

132
00:13:12,740 --> 00:13:16,880
القطر اللي عندنا هو عبارة عن المسافة هذه هي Y 

133
00:13:16,880 --> 00:13:24,380
تساوي يبقى بروح بقول له ال volume V بدو يساوي تكامل ال

134
00:13:24,380 --> 00:13:30,820
X هتتغير من وين لوين؟ من صفر لغاية 2 لل باي R 

135
00:13:30,820 --> 00:13:36,760
of X اللي هي X تكعيب الكل تربيع بالنسبة لـ dx 

136
00:13:36,760 --> 00:13:42,160
بالنسبة لـ DX باي مقدار ثابت ما له دعوة وهي تكامل 

137
00:13:42,160 --> 00:13:50,510
من صفر لـ 2 وهذا X أس 6 DX يبقى هذه تساوي باي

138
00:13:50,510 --> 00:13:58,670
وهذه X السابعة على 7 من zero لغاية 2 يبقى 

139
00:13:58,670 --> 00:14:06,910
هذه باي على 7 في 2 أس 7 ناقص zero 2 

140
00:14:06,910 --> 00:14:13,820
أس 7 اللي هي قداش؟ 128 يبقى 128

141
00:14:13,820 --> 00:14:22,160
على 7 باي هذا حجم المجسم الناتج من الدوران وهذا من

142
00:14:22,160 --> 00:14:26,140
أبسط أنواع المسائل اللي ما فيش فيه تفكير ولا حاجة

143
00:14:26,140 --> 00:14:33,640
مباشرة طيب نعطيك سؤال أأصعب شوية example 2

144
00:14:40,150 --> 00:14:44,750
بيقول find the

145
00:14:44,750 --> 00:14:58,630
volume of the solid بنقدر حجم المجسم generated by

146
00:14:58,630 --> 00:15:02,750
revolving

147
00:15:02,750 --> 00:15:11,120
the region الناتج من دوران المنطقة in the first

148
00:15:11,120 --> 00:15:18,820
quadrant in the first quadrant 

149
00:15:18,820 --> 00:15:31,740
في الربع الأول bounded above by bounded above 

150
00:15:31,740 --> 00:15:34,420
by

151
00:15:37,240 --> 00:15:42,440
by the line y

152
00:15:42,440 --> 00:15:58,380
تساوي 2 below ومن أسفل by the curve y يساوي 2 sin

153
00:15:58,380 --> 00:16:06,980
x 2 sin x و ال X هذه محصورة بين ال Zero وما بين ال

154
00:16:06,980 --> 00:16:18,600
π على 2 and on the left ومن الجهة اليسرى by

155
00:16:18,600 --> 00:16:32,560
the y axis by the y axis بمحور y about the line y 

156
00:16:32,560 --> 00:16:33,680
تساوي 2

157
00:17:04,310 --> 00:17:10,090
سؤال مرة ثانية بيقول هات لي حجم المجسم المتولد من

158
00:17:10,090 --> 00:17:15,470
دوران المنطقة في الربع الأول والمحدودة من أعلى

159
00:17:15,470 --> 00:17:20,530
بالخط Y تساوي 2 ومن أسفل بالمنحنى Y يساوي

160
00:17:20,530 --> 00:17:26,330
2 sin X و X فقط من Zero لغاية π على 2 and

161
00:17:26,330 --> 00:17:31,000
on the left ومن الجهة اليسرى بمحور Y والدوران 

162
00:17:31,000 --> 00:17:37,460
حوالي الخط Y تساوي 2 وليس حوالي محور X يبقى 

163
00:17:37,460 --> 00:17:41,880
المثال السابق أن الدوران حوالي هنا حوالي خط

164
00:17:41,880 --> 00:17:47,540
موازٍ لمحور X إذا خلينا نرسم المنطقة اللي عندنا 

165
00:17:47,540 --> 00:17:51,880
هذه ونشوف كيف بدنا نحسب اللي هو الـ dx اللي هو

166
00:17:51,880 --> 00:17:58,060
التكامل هذا يبقى هذا محور X هذا محور y هذا الخط 

167
00:17:58,060 --> 00:18:04,030
اللي عندنا y اللي هو y تساوي كذا يساوي 2 يبقى 

168
00:18:04,030 --> 00:18:11,170
هذا من أعلى من أسفل جلّي بالمنحنى y تساوي 2 sin x 

169
00:18:11,170 --> 00:18:16,090
sin x أكبر قيمة بياخد قداش؟ 1 لما أضربه بـ 2

170
00:18:16,090 --> 00:18:21,690
صير 2 يعني أقصى حاجة بوصلها أنه يمس الخط اللي

171
00:18:21,690 --> 00:18:25,610
عندنا هذا مظبوط طب هو بياخد الـ sin القيمة 1

172
00:18:25,610 --> 00:18:31,500
عند π على 2 اذا لو جئت قلت هذه 

173
00:18:31,500 --> 00:18:37,220
النقطة Zero و جئت رسمت هذا المنحنى يقول المنحنى

174
00:18:37,220 --> 00:18:40,740
بدو يجيني بالشكل اللي عندنا هذا هذه النقطة اللي هي 

175
0

201
00:21:06,340 --> 00:21:11,580
سميناها هي الدوران لفوق تمام حد بدي يوصل تاني قبل

202
00:21:11,580 --> 00:21:15,800
ما نفقد إذا مين اللي بحكي إيوه

203
00:21:18,700 --> 00:21:23,980
مش بنزل عمود أنت لو رسمت دائرة أنا بجيب نص قطر لأنّه

204
00:21:23,980 --> 00:21:28,420
قبل شوية قلنا ليس بالضرورة أني ارسم الرسمة كلها

205
00:21:28,420 --> 00:21:33,360
صحيح ولا لأ؟ فجأة أنا بأخذ بس نص قطر دائرة المقطع

206
00:21:33,360 --> 00:21:38,720
يعني نص قطر الـ disk اللي عندك هذا لو دار لفوق يبقى

207
00:21:38,720 --> 00:21:43,140
هذه بدها تيجي هنا و هذه مكانها زي ما هي بدها يصير

208
00:21:43,140 --> 00:21:47,580
هذا نصف قطر دائرة المقطع واستفدت من عليك أنها بس

209
00:21:47,580 --> 00:21:51,320
يكفيني ارسم نصف القطر والله يعطيك العافية ليس

210
00:21:51,320 --> 00:21:57,840
بالضرورة أن ارسم رسمة كاملة لهمين؟ وين ما بدك من

211
00:21:57,840 --> 00:21:59,820
هنا لغاية هنا

212
00:22:18,400 --> 00:22:23,840
بتنزل عمود من المنطقة اللي عندك على محور الدوران

213
00:22:25,880 --> 00:22:31,480
Y تساوي اثنين يبقى هذا نصف القطر يبقى ما ضلش اللي هي

214
00:22:31,480 --> 00:22:36,440
كامل وكامل عندنا هي من Zero لغاية كده ايش؟ لـ π على

215
00:22:36,440 --> 00:22:42,240
اثنين يبقى باجي بقول له Volume V يبقى تكامل من

216
00:22:42,240 --> 00:22:47,760
Zero لـ π على اثنين لـ π فيه نصف القطر اللي هو

217
00:22:47,760 --> 00:22:55,610
اثنين ناقص اثنين Sin X الكل تربيع  يقعد X يبقى هذا

218
00:22:55,610 --> 00:23:01,510
بدّه يتساوي الـ π هيها برة وهي تكامل من Zero لغاية

219
00:23:01,510 --> 00:23:06,770
π على الـ X فتفكر التربيع اللي عندنا هذا يبقى هذا

220
00:23:06,770 --> 00:23:15,130
ناقص ثمانية Sin الـ X زائد أربعة Sin تربيع الـ X

221
00:23:15,130 --> 00:23:23,070
كله بالنسبة لمين؟ إلى DX تمام؟ طيب الآن الـ term

222
00:23:23,070 --> 00:23:29,710
الأول والـ term الثاني سهل تكامله، المشكلة في الـ

223
00:23:29,710 --> 00:23:34,720
term الثالث يبقى الـ term الثالث بدنا نروح نكتبه

224
00:23:34,720 --> 00:23:40,360
بدلالة ضعف الزاوية يبقى هذا الكلام بدّه يساوي π π

225
00:23:40,360 --> 00:23:46,120
برة تكامل من Zero لغاية π على اثنين وهي الـ 

226
00:23:46,120 --> 00:23:54,280
هي الأربعة ناقص ثمانية في Sin الـ X زائد 4 Sin

227
00:23:54,280 --> 00:24:00,300
التربيع هي عبارة عن نصف في واحد زائد Cos يبقى هي أربعة في

228
00:24:00,300 --> 00:24:08,060
Cos يفتح قوس واحد ناقص Cos اثنين X كل هذا الكلام

229
00:24:08,060 --> 00:24:16,320
بالنسبة لمن؟ لـ DX هذا بدّه يساوي هي الـ π برة

230
00:24:16,320 --> 00:24:22,460
وهي تكامل من Zero لغاية π على اثنين طبعاً طلع لي إلى

231
00:24:22,460 --> 00:24:27,840
هنا أربعة في نصف باثنين اثنين في واحد باثنين اثنين

232
00:24:27,840 --> 00:24:35,200
وأربعة ستة يبقى هذه بدها تصير ستة ناقص ثمانية Sin

233
00:24:35,200 --> 00:24:42,880
الـ X زي ما هي ما فيش فيها مشكلة نيجي هنا ونضلي 2 Cos 2X

234
00:24:42,880 --> 00:24:48,340
يبقى ناقص 2 Cos 2X

235
00:24:48,340 --> 00:24:56,590
كل هذا الكلام بالنسبة إلى DX يبقى نيجي نكامل يبقى

236
00:24:56,590 --> 00:25:02,250
هذا أصبح الـ Volume V بدّه يساوي π π اللي برة و

237
00:25:02,250 --> 00:25:08,250
بدنا نكامل تكامل الـ 6 اللي هي في 6X وسالب 8 ما لهاش

238
00:25:08,250 --> 00:25:15,170
علاقة وتكامل الـ Sin بسالب Cos مع سالب بصير موجب ب

239
00:25:15,170 --> 00:25:23,010
ثمانية Cos الـ X واللي بعدها ناقص Sin اثنين X

240
00:25:23,010 --> 00:25:28,230
على اثنين بتروح مع الاثنين والكلام من Zero لغاية

241
00:25:28,230 --> 00:25:29,230
π على اثنين

242
00:25:33,960 --> 00:25:41,860
بنعوض بالقيمة اللي فوق يبقى 6 في π على 2 يبقى 3

243
00:25:41,860 --> 00:25:48,080
π يبقى هذه 3 π اللي بعدها Cos π على 2 هو

244
00:25:48,080 --> 00:25:52,280
0 يبقى هذه زائد 0 ناقص

245
00:25:57,310 --> 00:26:02,810
هذه القيمة اللي فوق ناقص اللي تحت ستة في Zero

246
00:26:02,810 --> 00:26:10,110
بقد ايش؟ بـ Zero و Cos صفر بواحد يبقى ناقص ثمانية

247
00:26:10,110 --> 00:26:15,510
ناقص مع ناقص بصير زائد Sin الـ Zero اللي هو بقد ايش؟

248
00:26:15,510 --> 00:26:23,720
بـ Zero يبقى النتيجة صارت π 3 π ناقص ثمانية

249
00:26:23,720 --> 00:26:29,480
مين اللي بيحكي؟ اللي فوق ناقص اللي تحت كـ وصلة ستة

250
00:26:29,480 --> 00:26:34,440
باقي طبعاً يبقى دخلت سالب على كل واحدة منهم يبقى هذه

251
00:26:34,440 --> 00:26:38,000
النتيجة النهائية لمين؟ لحجم يبقى زي ما أنت شايف كلّه

252
00:26:38,000 --> 00:26:43,280
شغل روتيني بس حدّ الحدود التكامل صح اثنين أحد النص

253
00:26:43,280 --> 00:26:51,430
القطر صح بصير باقي الشغل روتيني عادي مثال رقم ثلاثة

254
00:26:51,430 --> 00:27:01,070
example three find the

255
00:27:01,070 --> 00:27:13,150
volume of the solid generated by

256
00:27:13,150 --> 00:27:15,770
revolving

257
00:27:17,990 --> 00:27:25,130
by revolving the region bounded

258
00:27:25,130 --> 00:27:38,270
by the line the region bounded by الـ X بدّه يساوي

259
00:27:38,270 --> 00:27:47,300
اثنين على Y زائد واحد والـ X يساوي Zero والـ Y تساوي

260
00:27:47,300 --> 00:28:00,900
Zero and الـ Y تساوي ثلاثة about the Y axis أولياً

261
00:28:00,900 --> 00:28:12,600
محور Y السؤال

262
00:28:12,600 --> 00:28:20,420
مرة ثانية بقول هات لي حجم المجسم المتكون من دوران

263
00:28:20,420 --> 00:28:27,220
المنطقة المحدودة بالمنحنى X يساوي اثنين على Y زائد

264
00:28:27,220 --> 00:28:33,340
واحد شكله هيك مش عارفينه لكن لو حطيته Y as a

265
00:28:33,340 --> 00:28:37,900
function of X هلاقي شكله صار معروف ومقلوب بالنسبة

266
00:28:37,900 --> 00:28:43,400
لنا لكن هيك مش طبيعي مش عارفينه طيب لما نوصله سهل

267
00:28:43,400 --> 00:28:49,240
X يساوي Zero و Y تساوي Zero محور Y ومحور X ما عندناش

268
00:28:49,240 --> 00:28:53,880
مشكلة فيهم و Y تساوي ثلاثة ما عندناش مشكلة والدوران

269
00:28:53,880 --> 00:28:59,220
حول محور Y احنا اخذنا مثالين الأول حول محور X

270
00:28:59,440 --> 00:29:04,900
الثاني حول خط موازي لمحور X هذا منين؟ محور Y طب

271
00:29:04,900 --> 00:29:09,800
نحاول نرسم هذه المنطقة مشان نرسم هذه المنطقة احنا

272
00:29:09,800 --> 00:29:16,920
عندنا X يساوي 2 على Y زائد 1 أو ممكن اكتب Y زائد

273
00:29:16,920 --> 00:29:23,980
واحد بدّه يساوي اثنين على X أو ممكن اقول أن Y

274
00:29:23,980 --> 00:29:32,480
يساوي اثنين على X ناقص واحد ناقص واحد هدف تبع

275
00:29:32,480 --> 00:29:37,400
Shift واثنين ما لها دعوة بتجرب على المنحنى دي

276
00:29:37,400 --> 00:29:42,320
بجانب رسمة Y تساوي واحد على X اظن يا ما رسمناها هي

277
00:29:42,320 --> 00:29:46,640
مش جديدة بالنسبة لنا يبقى هذا صارت مسألة سهلة جداً

278
00:29:46,640 --> 00:29:52,560
إذا لو روحت رسمت المنحنى هياخد الشكل التالي يبقى

279
00:29:52,560 --> 00:29:59,180
هذا عندنا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي

280
00:29:59,180 --> 00:30:04,640
Zero يبقى هذا Y يساوي 2 على X ونجرب على محور Y و

281
00:30:04,640 --> 00:30:06,880
Shift إلى أسفل بمقدار

282
00:30:12,200 --> 00:30:19,540
Y تساوي سالب واحد يبقى هذا Y تساوي سالب واحد يبقى

283
00:30:19,540 --> 00:30:24,220
المنحنى يريد أن ينزل لتحت المقدار سلبي Y تساوي

284
00:30:24,220 --> 00:30:28,980
واحد X عارفينه جوس على اليمين وجوس على الشمال من

285
00:30:28,980 --> 00:30:34,020
هنا بس مش كل الرسم بدي إياها يبقى أنا بروح برسم اللي

286
00:30:34,020 --> 00:30:38,140
بدي إياها يبقى اللي جوس اللي على اليمين بدي اعمله

287
00:30:38,140 --> 00:30:43,340
Shift لأسفل بمقدار واحد بس هوسع الرسم مشان الكل

288
00:30:43,340 --> 00:30:48,300
يشوف يبقى بداجي اقول هذا المنحنى اللي عندنا تمام

289
00:30:48,300 --> 00:30:56,140
يبقى هذا هو الـ X يساوي اثنين على Y زائد واحد أو Y

290
00:30:56,140 --> 00:31:00,780
يساوي اثنين على X ناقص واحد هذا والله هذا سيء بعد

291
00:31:00,780 --> 00:31:06,920
هيك قال لي هذا محور X وهذا محور Y يبقى خلصنا من

292
00:31:06,920 --> 00:31:12,700
هدول يبقى Y تساوي ثلاثة يبقى بادروح ارسم له الخط

293
00:31:12,700 --> 00:31:17,980
اللي عندنا هذا Y تساوي ثلاثة إذا أصبحت المنطقة

294
00:31:17,980 --> 00:31:23,580
اللي محصورة بين المنحنى ومحور X ومحور Y وخط Y تساوي

295
00:31:23,580 --> 00:31:28,660
ثلاثة اللي هي المنطقة المظللة اللي عندنا هذه يبقى

296
00:31:28,660 --> 00:31:34,820
هذه المنطقة بدها تدور وين؟ حول محور Y إذا بدي

297
00:31:34,820 --> 00:31:41,720
ارسم خط يقطع هذه المنطقة وعمودي على محور الدوران

298
00:31:41,720 --> 00:31:48,660
يبقى لو جيت هنا قلت ارسم هذا الخط العمودي تمام؟

299
00:31:48,660 --> 00:31:57,210
بدي اعرف قد ايش الطول تبعه يبقى من هنا لغاية هنا هذا

300
00:31:57,210 --> 00:32:03,830
X يساوي كم؟ اثنين على Y زائد واحد يبقى هذا هو نصف

301
00:32:03,830 --> 00:32:09,590
القطر تمام؟ يبقى باجي بقول له يبقى بدي اكامل بالنسبة

302
00:32:09,590 --> 00:32:14,990
إلى Y أقل قيمة بتاخذها Y هنا كم؟ واكبر قيمة هنا

303
00:32:14,990 --> 00:32:19,050
بتاخذها كم؟ ثلاثة لأن هذا النقطة الإحداثية تبعها

304
00:32:19,050 --> 00:32:25,140
ثلاثة لأن الخط هذا Y تساوي ثلاثة يبقى الـ Volume V

305
00:32:25,140 --> 00:32:33,680
يبقى تكامل من Zero لغاية ثلاثة لـ π في R اللي هي اثنين

306
00:32:33,680 --> 00:32:41,780
على Y زائد واحد الكل تربيع D Y طيب هذا الكلام يبقى

307
00:32:41,780 --> 00:32:48,040
يساوي لو ربعت هذا يصبح أربعة مع π خليك برة يبقى

308
00:32:48,040 --> 00:32:54,510
هذه أربعة π خليها برة Y تكامل من Zero إلى ثلاثة

309
00:32:54,510 --> 00:33:03,310
للوحد على Y زائد واحد الكل تربيع D Y هذا يبدو يساوي

310
00:33:03,310 --> 00:33:09,730
أربعة π في تكامل اللي بيعرف يكاملها على طول كان بها

311
00:33:09,730 --> 00:33:17,690
يعرفش حط له تعويض بنعرف نكاملها على طول سالب واحد

312
00:33:17,690 --> 00:33:22,350
على Y زائد واحد تعرفش هه هتروح تقول لي في الهمش

313
00:33:22,350 --> 00:33:29,310
حط لي مثلاً T تساوي Y زائد واحد يبقى DT بدّه يساوي

314
00:33:29,310 --> 00:33:38,010
مين؟ DY يبقى هذا بيصير تكامل لواحد على T تربيع و

315
00:33:38,010 --> 00:33:46,020
DT بدل DY بقيت حدود التكامل لما تبقى Y بثلاثة يبقى

316
00:33:46,020 --> 00:33:55,010
T بقد ايش؟ بأربعة لما تبقى Y بـ Zero يبقى T بقد ايش؟ بواحد أو

317
00:33:55,010 --> 00:33:58,470
لو خليتها زي ما هي وقولتي لي سالب واحد على واي زائد

318
00:33:58,470 --> 00:34:02,770
واحد بيطلع كلام مظبوط مية المية يبقى هذا الكلام

319
00:34:02,770 --> 00:34:09,670
بدّه يساوي أربعة π تكامل من واحد لغاية أربعة لـ T

320
00:34:09,670 --> 00:34:17,130
أس ناقص اثنين DT يبقى النتيجة تساوي أربعة π و

321
00:34:17,130 --> 00:34:23,950
T أس سالب واحد على سالب واحد والحكي من عند الواحد

322
00:34:23,950 --> 00:34:31,230
لغاية كده؟ لأربعة يبقى سالب أربعة π وهذه واحدة

323
00:34:31,230 --> 00:34:38,290
على تي من عند الواحد لغاية كده؟ لغاية الأربعة يبقى

324
00:34:38,290 --> 00:34:42,950
هذا الكلام بدّه يساوي سالب أربعة π ما له دعوة

325
00:34:42,950 --> 00:34:51,690
وهذا الربع ناقص واحد ويساوي هي سالب أربعة π برة

326
00:34:51,690 --> 00:34:59,110
وربع ناقص واحد بقد ايش؟ بناقص ثلاثة أرباع يبقى الجواب

327
00:34:59,110 --> 00:35:06,750
يساوي ثلاثة π فقط لغير هو حجم المجسم الناتج من

328
00:35:06,750 --> 00:35:08,030
الدوران

329
00:35:38,230 --> 00:35:47,610
تفضل تمام والتعويض هذه ايش بتسوي؟ اه كيف مش اخذنا

330
00:35:47,610 --> 00:35:52,250
التكامل بالتعويض ولما الحد ما تحط تعويض بتتغير

331
00:35:52,250 --> 00:35:57,150
حدود طبقا للتعويض الجديدة Zero ثلاثة هذا للمتغير

332
00:35:57,150 --> 00:36:03,190
Y ينعكسهم للمتغير T من واحد إلى أربعة طيب ناخذ

333
00:36:03,190 --> 00:36:11,380
كمان مثال رقم أربعة الرقم أربعة بقول find the

334
00:36:11,380 --> 00:36:21,640
volume of the solid find the volume of the solid

335
00:36:21,640 --> 00:36:24,720
generated

336
00:36:24,720 --> 00:36:27,800
by

337
00:36:27,800 --> 00:36:32,300
revolving

338
00:36:32,300 --> 00:36:34,820
the

339
00:36:36,290 --> 00:36:43,270
region ناتج من دوران المنطقة bounded by the lines

340
00:36:43,270 --> 00:36:51,330
بالخطوط

341
00:36:51,330 --> 00:37:03,130
المستقيمة Y تساوي 2X Y تساوي Zero والـ X يساوي

342
00:37:03,130 --> 00:37:04,890
واحد about

343
00:37:09,040 --> 00:37:20,500
X يساوي 1 احنا 

344
00:37:20,500 --> 00:37:26,160
حتى الآن اخذنا ثلاثة أمثلة مثال

345
00:37:26,160 --> 00:37:30,260
الأول الدوران حول محور X الثاني خط موازي

346
00:37:30,260 --> 00:37:33,600
لمحور X الثالث الرابع 

347
00:37:48,490 --> 00:37:53,840
المنطقة المحصورة ما بين الخط Y تساوي 2X يبقى Y يساوي

348
00:37:53,840 --> 00:38:01,720
2X ويبقى 

349
00:38:01,720 --> 00:38:07,000
Y يساوي 2X ويبقى Y يساوي 0

350
00:38:19,500 --> 00:38:23,520
يبقى المنطقة اللي محصورة بين الثلاثة هذول هي

351
00:38:23,520 --> 00:38:30,620
المنطقة المظللة اللي عندنا هذه تمام يبقى هذه

352
00:38:30,620 --> 00:38:37,200
المنطقة الدوران حول مين؟ حول اللي هو X يساوي

353
00:38:37,200 --> 00:38:41,880
واحد يعني خط موازي لمحور وراء Y وبالتالي احنا بنكامل

354
00:38:41,880 --> 00:38:46,690
بالنسبة لـ Y ولا بالنسبة لـ X؟ بالنسبة لـ Y لموازي

355
00:38:46,690 --> 00:38:54,130
لمحور Y إذا بدأت ارسم خط يقطع منطقة التكامل بشكل

356
00:38:54,130 --> 00:39:01,790
عن هذا يبقى هذا يمثل نصف قطر disk أو نصف قطر دائرة

357
00:39:01,790 --> 00:39:07,880
في المقطع بدي اعرف قد ايش مقدار هذا نصف القطر السؤال

358
00:39:07,880 --> 00:39:13,040
هو قد ايش المسافة هذه

359
00:39:13,040 --> 00:39:22,720
واحد ناقص اثنين واحد ناقص اثنين هذا الان solution

360
00:39:26,650 --> 00:39:36,030
عندنا المنحنى Y تساوي 2X يعني لو اخذنا أي قيمة X

361
00:39:36,030 --> 00:39:41,830
على أفكر تطلع Y على راسك هل بنقدر نكتب X بدلالة

362
00:39:41,830 --> 00:39:48,630
Y؟ جواب نعم يعني هذه الـ X بدها تساوي نصف Y أو Y على

363
00:39:48,630 --> 00:39:53,920
2 يبقى لما اقول البعد X البعد X يمثل البعد اللي

364
00:39:53,920 --> 00:40:00,740
عندنا هذا المنقط هكذا تمام؟ قد ايش البعد هذا من هنا

365
00:40:00,740 --> 00:40:07,280
لهنا اللي هو مين؟ Y على 2 يبقى هذا البعد هو Y على

366
00:40:07,280 --> 00:40:12,510
2 اللي هي معادلة الخط اللي عندنا هذا بدل ما اقول Y

367
00:40:12,510 --> 00:40:17,930
تساوي اثنين X بدي اقول X يساوي كده Y بدل ما اخذ

368
00:40:17,930 --> 00:40:24,090
البعد الرأسي باخذ البعد الأفقي وبالتالي هذا نصف

369
00:40:24,090 --> 00:40:30,870
القطر اللي عندنا هذا بيصير واحد ناقص Y على مين؟ على

370
00:40:30,870 --> 00:40:37,420
اثنين مرة ثانية بقول البعد هذا كله واحد صحيح يعني

371
00:40:37,420 --> 00:40:42,060
البعد هذا كله ايه؟ واحد صحيح انا بدي طول الخط

372
00

401
00:43:35,040 --> 00:43:42,520
اتنين النتيجة تساوى Hi Bye برة وبدنا نعود هذا اتنين

402
00:43:42,520 --> 00:43:49,820
ناقص اتنين أربع على اتنين باتنين زائد ثمانية على

403
00:43:49,820 --> 00:43:57,910
إثنا عشر-000 كله راح معاه السلامة يبقى ألة المسألة

404
00:43:57,910 --> 00:44:03,910
اتنين مع اتنين الله سهل عليها بيظل باي في جداش في

405
00:44:03,910 --> 00:44:10,430
ثمانية على إثنا عشر على الأربعة فيها الثلاثة على

406
00:44:10,430 --> 00:44:14,390
الأربعة فيها اثنين وعلى الأربعة فيها الثلاثة يبقى

407
00:44:14,390 --> 00:44:22,230
اثنين باي على ثلاثة قيمة هذا الحجبطيب أعطانا الآن

408
00:44:22,230 --> 00:44:26,850
أربعة أمثلة على الأربع حالات محور X خط موازٍ له

409
00:44:26,850 --> 00:44:32,230
ومحور Y خط موازٍ له طيب هذه الحالة الأولى اللي لو

410
00:44:32,230 --> 00:44:39,490
كان المقطع disk مصمت قد يكون disk فيه تجويف كويس

411
00:44:39,490 --> 00:44:44,370
من النتيجة شو القصة هذا disk فيه تجويف هذا

412
00:44:44,370 --> 00:44:49,650
بنسميها الطريقة الثانية وهي طريقة ال washer وشر

413
00:44:49,650 --> 00:44:54,870
يعني رندلة رندلة إيش رندلة اللي فاهم ده ال ring

414
00:44:54,870 --> 00:44:59,230
ماشي ال ring ماشي لما تشوف صمولة بيحط تحتها حديدة

415
00:44:59,230 --> 00:45:02,910
مثقوبة مظبوط حتى مشان تمسك الصمولة الحديدة

416
00:45:02,910 --> 00:45:07,010
المثقوبة هذه بيسميها رندلة أو واشر بلاش لما

417
00:45:07,010 --> 00:45:10,130
تيجيكم للتابع الغاز يجيبوكم جرق الغاز بيعطيكم

418
00:45:10,130 --> 00:45:14,830
جلدة الصمرة هذه جلدة الصمرة اللي هو قرص بس مثقوب

419
00:45:14,830 --> 00:45:20,360
من النص مظبوط يبقى هذه الواشر كذلك العشرة الشكل هذا

420
00:45:20,360 --> 00:45:24,780
لو ضيّعنا لأصفر اللي في المص بيصير washer بيظل في

421
00:45:24,780 --> 00:45:30,800
الخارج وهكذا يبقى هذه موضوع main موضوع ال washer

422
00:45:30,800 --> 00:45:37,940
بدنا نيجي نعرف متى نستخدم طريقة ال washer طبعا

423
00:45:37,940 --> 00:45:45,500
طريقة ال disk إذا كان المقطع مصمتا مش فيه أي تجويف

424
00:45:53,020 --> 00:45:57,340
إذا بدنا نيجي للطريقة الثانية اللي هو the washer

425
00:45:57,340 --> 00:46:03,580
method أخذنا أول طريقة اللي هي طريقة ال desk اثنين

426
00:46:03,580 --> 00:46:16,020
the washer method we

427
00:46:16,020 --> 00:46:21,900
use this method we use this

428
00:46:23,230 --> 00:46:33,270
method نستخدم هذه الطريقة if the solid إذا كان 

429
00:46:33,270 --> 00:46:38,270
المجسم of revolution

430
00:46:38,270 --> 00:46:51,040
of revolution has a hole موجود في ثقب أو تجويف and

431
00:46:51,040 --> 00:46:59,840
it بداخله وفي هذه الحالة بقوله the volume the

432
00:46:59,840 --> 00:47:10,570
volume V بتساوي التكامل من A إلى B لل by لمين للـ R

433
00:47:10,570 --> 00:47:18,450
of X لكل تربيع ناقص R of X لكل تربيع كله بالنسبة

434
00:47:18,450 --> 00:47:34,070
إلى DX where capital R of X نصف

435
00:47:34,070 --> 00:47:45,670
القطر الخارجي and الـ r of x is the inner radius

436
00:47:45,670 --> 00:47:49,550
نصف القطر الداخلي

437
00:48:21,870 --> 00:48:26,770
نرجع لكلام اللي احنا كاتبينه هذا مرة ثانية يبقى

438
00:48:26,770 --> 00:48:30,930
طريقة الواشر method الواشر يا شباب على الشكل

439
00:48:30,930 --> 00:48:38,450
التالي قرص بهذا الشكل يبقى هذا القرص الخارجي وقرص

440
00:48:38,450 --> 00:48:44,210
داخلي أو دائرة داخلية بهذا الشكل هذه المنطقة اللي

441
00:48:44,210 --> 00:48:50,530
بينهم كلها منطقة مصمتة واللي في الداخل هذا تجويف

442
00:48:50,870 --> 00:48:57,150
وهذا المركز تمام الخط

443
00:48:57,150 --> 00:49:04,370
اللي عندنا هذا من هنا لهنا هذا اللي هو ال small r

444
00:49:04,370 --> 00:49:13,670
of x نصف القطر الداخلي وهذا ال outer radius اللي

445
00:49:13,670 --> 00:49:16,710
هو نصف القطر الخارجي

446
00:49:19,270 --> 00:49:24,070
يعني المقطع لما نقطع لهذا التجويف هيكون في نصف قطر

447
00:49:24,070 --> 00:49:29,790
خارجي وفي نصف قطر داخلي كما سترى يبقى لو جينا

448
00:49:29,790 --> 00:49:37,670
تخيلنا أن هذا محور X على سبيل المثال وهذا محور Y

449
00:49:37,670 --> 00:49:43,690
وجئت للمنحنى اللي عندنا بهذا الشكل مثلا كان Y

450
00:49:43,690 --> 00:49:51,000
تساوي R of X وجئنا لمنحنى ثاني المنحنى الثاني كان

451
00:49:51,000 --> 00:50:00,720
بالشكل هذا اللي هو Y تساوي R of X small تمام الآن

452
00:50:00,720 --> 00:50:06,240
على المنطقة A وB افترض أنه بدأ هذا الكلام من عند

453
00:50:06,240 --> 00:50:15,570
ال A ولغاية من ولغاية B الاثنين هذول حصروا بينهم

454
00:50:15,570 --> 00:50:20,410
مساحة اللي هي المساحة المظللة اللي عندنا هذه كلها

455
00:50:20,410 --> 00:50:27,150
تمام هذا لو دار حول الخط اللي هو المحور y تساوي

456
00:50:27,150 --> 00:50:33,130
x كان هو محور الدوران يبقى فيه إن حاجة اسمها outer

457
00:50:33,130 --> 00:50:38,030
radius وفيه إن حاجة اسمها inner radius ال inner

458
00:50:38,030 --> 00:50:44,840
radius عند أي لحظة هو الخط اللي عندنا هذا يبقى هذا

459
00:50:44,840 --> 00:50:52,260
هو r of x small ال outer radius هو الخط اللي عندنا

460
00:50:52,260 --> 00:50:52,860
هذا

461
00:50:58,380 --> 00:51:01,640
لا احنا بياخدهم على نفس النقطة لأنك تجي على نفس

462
00:51:01,640 --> 00:51:06,420
النقطة بالضبط تماما لكن ليس بالضرورة خد وين ما بدك

463
00:51:06,420 --> 00:51:11,300
تمام بس أنا رسمت بيدي مشان يوضح لك من وين لوين هذا

464
00:51:11,300 --> 00:51:16,480
سميته مين اللي هو ال R of X بالشكل اللي عندنا هذا

465
01:00:17,150 --> 01:00:24,790
يعني لو دار المجسم حول محور ال X بتلاقي هذا

466
01:00:24,790 --> 01:00:30,550
النقطة صارت مدينة هذه على استقامتها لغاية هنا يبقى

467
01:00:30,550 --> 01:00:35,210
هذه بدها تجيك الدائرة اللي عندك هذه أو هذه بدها

468
01:00:35,210 --> 01:00:41,090
تجيك دائرة بالشكل اللي عندك هذا أو هذا بده يجيلك

469
01:00:41,090 --> 01:00:46,880
الخط اللي فوق أو من هنا بده يجيلك main بدي اجيلك

470
01:00:46,880 --> 01:00:53,340
الخط اللي تحت بالشكل اللي عندك هذا هيك تمام يبقى

471
01:00:53,340 --> 01:00:58,420
هذا اللي بدي يصير إيش بيصير عندك لو جئت أخذت disk

472
01:00:58,420 --> 01:01:00,760
يبقى ال disk هاي معاه

473
01:01:09,040 --> 01:01:15,080
لما ناخد ال disk مقطع واحد يبقى بده يجيلك الشكل

474
01:01:15,080 --> 01:01:20,420
هذا هيك هذا مش هيظهر يبقى هيكون في الناحية الثانية

475
01:01:20,420 --> 01:01:27,900
بهذا الشكل هذا ههه بده يكون عندك بالشكل هذا وهذا

476
01:01:27,900 --> 01:01:34,100
كمان بالشكل هذا كويس يبقى وين ال washer في هذه

477
01:01:34,100 --> 01:01:38,300
الحالة ال washer المنطقة الحمرة هذه كلها

478
01:01:46,440 --> 01:01:50,480
هذه المنطقة الحمرة اللي هو washer يبقى فيه تجويف

479
01:01:50,480 --> 01:01:55,300
التجويف اللي هو المنطقة البيضاء يبقى هذا هو ال

480
01:01:55,300 --> 01:02:01,580
inner radius وهذا هو ال outer radius من هنا هيحصلك

481
01:02:01,580 --> 01:02:07,600
بالأسود لغاية ما توصل لوين للنقطة هذه يبقى هذا كله

482
01:02:07,600 --> 01:02:13,960
هذا هو ال R of X الشكل اللي عندنا وهذا من هنا لهنا

483
01:02:13,960 --> 01:02:20,490
فقط هو ال inner radius R of X بالشكل اللي عندك

484
01:02:20,490 --> 01:02:26,770
تعالى تشوف إيش اللي قال لي ال volume اللي قال لي

485
01:02:26,770 --> 01:02:31,730
ال volume يجب أن تتكامل من A إلى B ل π مضروبة في

486
01:02:31,730 --> 01:02:37,530
مين في نقطة رمزية هذا الكلام لو فكته لحد هنا بيعطيني

487
01:02:37,530 --> 01:02:43,310
المساحة تبع الدائرة الكبيرة هذا بيعطينا المساحة تبع

488
01:02:43,310 --> 01:02:48,330
الدائرة الصغيرة لما تتنين من بعض بيصير المنطقة

489
01:02:48,330 --> 01:02:53,190
المظللة بكمل عليها من A إلى B بجيب له حجم المجسم

490
01:02:53,190 --> 01:02:57,970
الناتج من الدوران يبقى هذه ال washer هذه اللي أنت

491
01:02:57,970 --> 01:03:03,460
شايفها وهذه اللي جوا هيها رسمتها لكنا للتوضيح يبقى

492
01:03:03,460 --> 01:03:07,000
ال ultra radius من النقطة هذه لنقطة هذه ال inner

493
01:03:07,000 --> 01:03:10,620
radius من النقطة هذه لوين لنقطة اللي عندنا لنقطة

494
01:03:10,620 --> 01:03:17,660
طبعا هذه المركز المشترك للدائرتين أو لل two disks

495
01:03:17,660 --> 01:03:22,100
ال disk المجوف على شكل دائرة وال disk المصمت

496
01:03:22,100 --> 01:03:28,210
الثاني واضح الكلام هذا يبقى مشان نجيب ال volume في

497
01:03:28,210 --> 01:03:33,290
هذه الحالة شو بالزامنين بالزامنين شغلتين الشغلة

498
01:03:33,290 --> 01:03:37,370
الأولى بدك تحدد حدود التكامل زي ما كنا في حالة ال

499
01:03:37,370 --> 01:03:41,710
disk الشغلة الثانية بدك تحدد ال inner radius أو

500
01:03:41,710 --> 01:03:46,710
out of radius مثل

501
01:03:46,710 --> 01:03:50,690
هذا الكلام لو كان بالنسبة ل Y لو كان الدوران

502
01:03:50,690 --> 01:03:56,190
حول محور Y أو حول خط موازٍ لمحور Y بنعمل نفس

503
01:03:56,190 --> 01:04:01,210
السفينة بسيطة كمان من C إلى D ل π ل R of Y الكل تربيع

504
01:04:01,210 --> 01:04:05,050
ناقص R of Y الكل تربيع يعني نفس القصة بس بصير

505
01:04:05,050 --> 01:04:09,750
بالنسبة ل Y كمان أحد فيكم له أي تساؤل قبل أن

506
01:04:09,750 --> 01:04:14,350
نذهب إلى الأمثلة طبعا هذا آخر جزء نظري موجود في

507
01:04:14,350 --> 01:04:18,250
هذا ال section بس الكلمتين اللي قدامك علقوا علينا

508
01:04:18,250 --> 01:04:23,690
أحد لديكم له أي تساؤل ندخل للأمثلة توكلنا على

509
01:04:23,690 --> 01:04:28,710
الله يبقى بنجي لأول مثال على موضوع أو استخدام

510
01:04:28,710 --> 01:04:44,050
الوشر method يبقى example one find

511
01:04:44,050 --> 01:04:49,970
the volume of the sun يعني اكتب

512
01:04:49,970 --> 01:04:58,360
أنت وياه بدون صوت بقول يجب أن تجد قطعة المسلحة التي

513
01:04:58,360 --> 01:05:02,100
تم

514
01:05:02,100 --> 01:05:04,400
تجرى منها حول المنطقة

515
01:05:24,070 --> 01:05:35,670
bounded by the curve بالمنحنى y يساوي أربعة ناقص x

516
01:05:35,670 --> 01:05:47,530
تربيع and the line والخط المستقيم y تساوي اثنين

517
01:05:47,530 --> 01:05:49,750
ناقص x about

518
01:05:53,050 --> 01:06:13,030
X Axis طبعا

519
01:06:13,030 --> 01:06:19,310
ذكرنا إن هذه الطريقة طريقة ال washroom نستخدمها إذا

520
01:06:19,310 --> 01:06:25,430
كان في عندي تجويف أو ثقب في هذا المجسم واضح أن

521
01:06:25,430 --> 01:06:30,050
الجزء الأبيض هذا كله يعتبر تجويف داخل المجسم

522
01:06:30,050 --> 01:06:33,770
الكبير في هذا السؤال طبعا هو بيقول ليش في عندك

523
01:06:33,770 --> 01:06:37,990
تجويف ولا ما عندكش أنت لحالك من خلال الرسم بتستنتج

524
01:06:37,990 --> 01:06:43,210
هل هناك تجويف أم لا إذا نرجع لمسألتنا نقرأ ونرسم

525
01:06:43,210 --> 01:06:44,310
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم

526
01:06:44,310 --> 01:06:46,610
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم

527
01:06:46,610 --> 01:06:51,710
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم

528
01:06:51,710 --> 01:06:55,310
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم

529
01:06:55,310 --> 01:06:55,610
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم

530
01:06:55,610 --> 01:07:06,130
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم 

531
01:07:06,130 --> 01:07:11,560
نرسم نY تساوي ناقص X تربيع يبقى الفرابولة مفتوحة

532
01:07:11,560 --> 01:07:17,140
إلى أسفل زائد أربعة يبقى shift إلى أعلى بمقدار أربعة

533
01:07:17,140 --> 01:07:21,950
يبقى الفرابولة بتجيني وين بالشكل اللي عندنا هذا

534
01:07:21,950 --> 01:07:28,690
يبقى هذا ال Y تساوي أربعة ناقص X تربيع طبعا لو حطيت

535
01:07:28,690 --> 01:07:33,550
Y تساوي Zero بصير X باثنين وسالب اثنين يبقى

536
01:07:33,550 --> 01:07:38,610
النقطة هذه سالب اثنين والنقطة هذه قداش اللي هو

537
01:07:38,610 --> 01:07:44,690
الاثنين اللي هم نقطتي تقاطع المنحنى مع محور X تمام

538
01:07:47,770 --> 01:07:55,770
خط y تساوي 2 ناقص x باجي بقول لو كانت x ب 0 يبقى y

539
01:07:55,770 --> 01:08:02,170
ب 2 يبقى ب 2 نصف اللي هي النقطة اللي عندنا هذه ولو

540
01:08:02,170 --> 01:08:08,290
كانت y ب 0 يبقى x في قداش ب 2 يبقى لما y تساوي 0 x

541
01:08:08,290 --> 01:08:14,500
ب 2 يبقى حتاني نقطة ثانية تقع على الخط المستقيم

542
01:08:14,500 --> 01:08:20,560
يبقى لو وصلت ما بينهم ومديت الخط على استقامته

543
01:08:20,560 --> 01:08:26,660
يكون هذا هو الخط اللي موجود عندنا اللي هو main y

544
01:08:26,660 --> 01:08:34,400
تساوي 2 ناقص 6 الاثنين هذول حصروا لي مساحة فيما

545
01:08:34,400 --> 01:08:40,220
بينهما قال هات لي حجم المجسم المتولد من دوران

546
01:08:40,220 --> 01:08:44,940
المنطقة المحدودة بالمنحنى والخط المستقيم يبقى هذا

547
01:08:44,940 --> 01:08:48,960
الخط المستقيم وهذا المنحنى يبقى هذه المنطقة

548
01:08:48,960 --> 01:08:53,180
المظللة المحصورة فيما بينهما هذه المنطقة بدها

549
01:08:53,180 --> 01:08:59,230
دور حول محور X يبقى معنى هذا الكلام هذا

550
01:08:59,230 --> 01:09:05,050
يعتبر تجويف فيما لو دارت هذه المنطقة تجويف موجود

551
01:09:05,050 --> 01:09:10,510
داخل المجسم يبقى أنا بدي وين ال outer radius وين

552
01:09:10,510 --> 01:09:15,330
ال inner radius يبقى بالداخل ال outer radius بدي

553
01:09:15,330 --> 01:09:20,750
ارسم خط يقطع المنطقة المظللة لو عمودي على محور

554
01:09:20,750 --> 01:09:28,500
الدوران يبقى هذا يعتبر مين outer radius يبقى outer

555
01:09:28,500 --> 01:09:28,900
radius

556
01:09:37,880 --> 01:09:44,700
اللي هو capital R of X بدها تساوي أربعة ناقص X

557
01:09:44,700 --> 01:09:49,400
تربيع بدنا ال inner radius ال inner radius هو

558
01:09:49,400 --> 01:10:06,600
المسافة من هنا لهنا اللي هو منطقة الفراغ طب منطقة

559
01:10:06,600 --> 01:10:16,380
الفراغ Y كده تساوي هنا؟ يبقى هذه المنطقة فقط من هنا

560
01:10:16,380 --> 01:10:24,980
لغاية هنا Y تساوي أو R of X يبقى يساوي اثنين ناقص

561
01:10:24,980 --> 01:10:29,780
X يبقى حددت ال outer radius وال inner radius صار

562
01:10:29,780 --> 01:10:34,820
شغل روتيني ده اللي عندي بدي حدد main حدود التكامل

563
01:10:35,160 --> 01:10:40,020
أقل قيمة بتاخدها X اللي هو القيمة اللي عندنا هذه وأكبر

564
01:10:40,020 --> 01:10:43,680
قيمة بتاخدها X اللي هو القيمة اللي عندنا هذه

565
01:10:43,680 --> 01:10:49,460
هذه معروفة بقيت هذه مجهولة مشان أجيب هذه هي القيمة

566
01:10:49,460 --> 01:10:54,560
بروح بحل المعادلتين مع بعض وبجيب قيمة X يبقى أنا

567
01:10:54,560 --> 01:11:01,790
عندي أربعة ناقص X تربيع يساوي اثنين ناقص X بدي أنقل

568
01:11:01,790 --> 01:11:07,770
هذه على الجهة الثانية بصير X تربيع ناقص X ناقص 2

569
01:11:07,770 --> 01:11:13,990
بيصبح Zero يبقى جثين بالشكل اللي عندنا هذا بيصبح

570
01:11:13,990 --> 01:11:20,590
Zero يبقى هذه X وهذه X وهذه واحد اثنين ناقص زائد

571
01:11:20,590 --> 01:11:26,690
من هذه بقدر أقوله يبقى X بيصبح سالب واحد وهنا X

572
01:11:26,690 --> 01:11:33,290
بيصبح اثنين الاثنين الحمد لله هي موجودة بقيت

573
01:11:33,290 --> 01:11:38,170
هذه اللي هي قداش سالب واحد إذا انحددت حدود التكامل

601
01:05:36,270 --> 01:05:42,750
ناقص كمز هذا

602
01:05:42,750 --> 01:05:47,410
الكلام ممكن يسوي هذه و هذه و هذه و هذه معكم سلامة

603
01:05:47,410 --> 01:05:54,570
بالتمانية زائد اثنين و ثلاثين على خمسة زائد اثنا عشر

604
01:05:54,570 --> 01:06:04,380
ناقص ثلاثة يبقى ناقص ثلاثة وعندك هنا ناقص اثنين و

605
01:06:04,380 --> 01:06:10,260
هنا زائد خمسة شكل اللي عندنا هذا يبقى هذا الكلام

606
01:06:10,260 --> 01:06:16,940
بده يساوي by فيه ثمانية و اثنا عشر عشرين عشرين شيل

607
01:06:16,940 --> 01:06:22,460
منهم خمسة بيضل كده خمسة عشر وعندك هنا اثنين و

608
01:06:22,460 --> 01:06:29,470
ثلاثين و واحد بتلاتة و ثلاثين على خمسة يبقى هذا

609
01:06:29,470 --> 01:06:36,470
الكلام بده يساوي باي في خمسة في خمسة عشر بخمسة 

610
01:06:36,470 --> 01:06:42,290
و سبعين خمسة وسبعين بيضيف عليهم ثلاثين بيصير مئة و

611
01:06:42,290 --> 01:06:50,330
ثمانية مئة وثمانية على خمسة باي هذا هو حجم المجسم

612
01:06:50,330 --> 01:06:52,350
اللي موجود عندنا

613
01:07:15,390 --> 01:07:22,250
بناخد كمان مثال تبقى

614
01:07:22,250 --> 01:07:30,230
example two will

615
01:07:30,230 --> 01:07:36,690
find the volume of

616
01:07:38,220 --> 01:07:44,720
هذا صليت أن حجم المجسم generated by revolving

617
01:07:44,720 --> 01:07:52,960
generated by revolving

618
01:07:52,960 --> 01:07:59,420
generated by revolving ماتخليش أطرد أطردكوا برا

619
01:07:59,420 --> 01:08:04,360
ماتخليش أضطرر لهذا الأسلوب احترم نفسك و بديش كلام

620
01:08:06,060 --> 01:08:13,700
يبقى generated by revolving the

621
01:08:13,700 --> 01:08:23,640
region bounded by

622
01:08:23,640 --> 01:08:30,220
the parabola y

623
01:08:30,220 --> 01:08:34,660
تساوي x تربيع below

624
01:08:37,620 --> 01:08:51,000
by the x axis ومن أسفل بمحور x and on the right by

625
01:08:51,000 --> 01:09:02,540
the right من جهة اليمين by the line بالخط

626
01:09:02,540 --> 01:09:07,240
المستقيم x يساوي واحد

627
01:09:24,340 --> 01:09:27,060
x يساوي اثنين

628
01:09:51,230 --> 01:09:56,150
نرجع لسؤالنا مرة ثانية السؤال بيقول فات لحجم

629
01:09:56,150 --> 01:10:01,930
المجسم المتولد من دوران المنطقة المحدودة بالبرابله

630
01:10:01,930 --> 01:10:08,230
y تساوي x تربيع و من أسفل بمحور x و من جهة اليمين

631
01:10:08,230 --> 01:10:14,660
بالخط y أو ال x تساوي واحد حولين محور yوالتانية

632
01:10:14,660 --> 01:10:19,680
حولينا الخط x يساوي 2 يبقى ده مش سؤال واحد وانما

633
01:10:19,680 --> 01:10:25,580
سؤالين في آلة واحد يبقى بدنا نيجي نشوف كيف ننهل

634
01:10:25,580 --> 01:10:32,460
هدين السؤالين ونبدأ بالنقطة a مشان نيجي للنقطة a

635
01:10:32,460 --> 01:10:40,240
بدنا نروح نرسم المنطقة مشان نحدد حدود التكامليبقى

636
01:10:40,240 --> 01:10:46,780
أنا لو جيت قلت هاي المحاور هذا محور x هذا محور y

637
01:10:46,780 --> 01:10:54,220
هذا نقطة الأصل اللي هي zero y تساوي x تربيع بجيلي

638
01:10:54,220 --> 01:11:01,830
بالشكل اللي عنها يبقى هذا y تساوي x تربيع تمام؟

639
01:11:01,830 --> 01:11:07,590
جالي ومن أسفل بمحور x تحت بمحور x ومن الشجرة اللي

640
01:11:07,590 --> 01:11:13,110
قمت بالخط x يساوي واحد يبقى لو جيت قلت هذا ال line

641
01:11:13,110 --> 01:11:18,510
له x يساوي واحد يبقى المنطقة اللي عندنا هذه هي

642
01:11:18,510 --> 01:11:24,030
المنطقة اللي محصورة عندنا هذه المنطقة بدها تدور في

643
01:11:24,030 --> 01:11:28,500
الحالة الأولى حوالي مين؟ حوالي المحور y يبقى

644
01:11:28,500 --> 01:11:32,160
معناه هذا الكلام بدي أكمل بالنسبة ل y ولا بالنسبة

645
01:11:32,160 --> 01:11:38,660
ل x؟ ل y مادة بالنسبة ل y إذا بدي أرسم خط يقطع

646
01:11:38,660 --> 01:11:44,920
منطقة التكامل وعمودي على محور الدوران يبقى لو جيت

647
01:11:44,920 --> 01:11:50,320
قلت هذا الخط اللي هو يقطع منطقة التكامل وعمودي

648
01:11:50,320 --> 01:11:57,360
على محور الدوران بدي أعرف كده طول من هنا لغاية هنا

649
01:11:57,990 --> 01:12:04,910
يبقى هذا يعتبر ال outer radius وهذا يعتبر inner

650
01:12:04,910 --> 01:12:10,850
radius تمام تمام تمام

651
01:12:10,850 --> 01:12:18,670
تمام تمام تمام تمام تمام تمام

652
01:12:18,670 --> 01:12:20,510
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام

653
01:12:20,510 --> 01:12:20,650
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام

654
01:12:20,650 --> 01:12:20,730
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام

655
01:12:20,730 --> 01:12:27,030
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام

656
01:12:27,030 --> 01:12:27,210
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام

657
01:12:27,210 --> 01:12:27,310
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام

658
01:12:27,310 --> 01:12:27,330
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام

659
01:12:27,330 --> 01:12:30,650
تمام تمام تمام تمام يبقى المسافة هذه كلها شباب قداش

660
01:12:30,650 --> 01:12:38,390
يبقى هذا x يساوي جذر ال y و المسافة من هنا لهنا

661
01:12:38,390 --> 01:12:43,510
قداش واحد صحيح اللي المسافة من هنا يبقى ال outer

662
01:12:43,510 --> 01:12:48,530
radius يساوي واحد و ال inner radius اللي هو قداش

663
01:12:48,530 --> 01:12:58,210
جذر ال y يبقى أصبح عندنا هنا ال outer radius ال x

664
01:12:58,210 --> 01:13:06,270
يساوي قداش واحد وال inner radius نصف القطر الداخلي

665
01:13:06,270 --> 01:13:13,450
ال x يساوي جذر ال y يبقى الفرق في ما بينهما

666
01:13:13,450 --> 01:13:19,530
يعطيني الحجم المجسم الناتج من الدوران دلوقتي بدي

667
01:13:19,530 --> 01:13:25,270
أعرف y تتغير من أين إلى أين يبقى y هتتغير من هنا

668
01:13:25,270 --> 01:13:30,430
لغاية هنا هذه أقل قيمة بتاخدها y وهذه أكبر قيمة

669
01:13:30,430 --> 01:13:35,690
بتاخدها y مشان أطل أعرف قداش القيمة هذه بدروح أحل

670
01:13:35,690 --> 01:13:41,690
المعادلتين هدول مالهم مع بعض يبقى احنا عندنا جذر

671
01:13:41,690 --> 01:13:47,130
ال y بده يساوي واحد هذا معناه أن y تساوي قداش واحد

672
01:13:47,360 --> 01:13:52,400
يبقى هذا النقطة لو كانت ال y بواحد يبقى x بقداش

673
01:13:52,400 --> 01:13:57,420
بواحد كذلك إذا نحدث النقطة هذه واحد وواحد يبقى ال

674
01:13:57,420 --> 01:14:03,540
y تتغير من zero لغاية واحد يبقى بالداجي لل volume

675
01:14:03,540 --> 01:14:10,680
v يساوي تكامل من zero إلى واحد ال outer radius by

676
01:14:10,680 --> 01:14:15,360
i ال outer radius اتفجنا من هنا لهنا اللي هو

677
01:14:15,360 --> 01:14:22,070
قداش واحد تربيع ناقص ال inner radius اللي هو من هنا

678
01:14:22,070 --> 01:14:27,630
لغاية هنا اللي هو ال gathering ال y لكل تربيع و

679
01:14:27,630 --> 01:14:33,310
التكامل كله بالنسبة لمين الى dy يبقى اشتغلت شغل

680
01:14:33,310 --> 01:14:36,410
سليم مائة بالمائة يبقى النتيجة جد ما تطلع تطلع

681
01:14:36,410 --> 01:14:41,900
ماتفرجش عننا يبقى هذه بدها تساوي π برا و π تكمل

682
01:14:41,900 --> 01:14:48,540
من zero لواحد لواحد ناقص y كله dy طبعا النتيجة

683
01:14:48,540 --> 01:14:55,040
تساوي π برا و π ناقص y تربيع على اثنين كله من

684
01:14:55,040 --> 01:15:01,240
عند ال zero لغاية واحد يبقى هذا بدي يعطيك π وهنا

685
01:15:01,240 --> 01:15:08,980
واحد ناقص نصف والباقي كله بناقص zero ويساوي π في

686
01:15:08,980 --> 01:15:16,600
نصف يعني π على اثنين هذا هي الحجم المطلوب π على

687
01:15:16,600 --> 01:15:23,560
اثنين تمام فضل لو دار

688
01:15:23,560 --> 01:15:30,370
حوالين محور x بطل يصير في عندي washer يبقى برجع لل

689
01:15:30,370 --> 01:15:35,450
disk تمام و هذا الفرق ما بين الاثنين هنا نظرا لإنه

690
01:15:35,450 --> 01:15:40,170
دار حولين محور y يعني بالعربي لو حبيت أبينها

691
01:15:40,170 --> 01:15:46,530
لك بده أقولك هنا هذه بدها توصل وهذه بدها تصير هيك

692
01:15:46,530 --> 01:15:55,100
وهذه هيك وهذه من هنا هيك وهذه هيك طبعا؟ يبقى هذا

693
01:15:55,100 --> 01:16:00,180
ايش؟ هاي الصارع عندك تجيب في هذا بدي أجيلك هيك

694
01:16:00,180 --> 01:16:05,620
بالشكل اللي عندي أو هذا بدي أجيلك هيك و هيك هذا

695
01:16:05,620 --> 01:16:11,780
الشكل طبعا؟ يبقى هذه ال washer اللي عندي هذه ال

696
01:16:11,780 --> 01:16:18,620
washer اللي عندي طبعا؟

697
01:16:18,620 --> 01:16:21,600
واضحيت؟

698
01:16:21,970 --> 01:16:28,090
يبقى كأنه ايش؟ قص طوانة وجوفناها بالتجويف الداخلي،

699
01:16:28,090 --> 01:16:37,730
اه يبقى good سمعتش

700
01:16:37,730 --> 01:16:41,570
قلنا له مش ممكن تكون نفس الحاجة ده؟ ليش؟ هو

701
01:16:41,570 --> 01:16:48,530
المجسم بيطلع نفسه يعني؟ المجسم بصير نفسه جرب احنا

702
01:16:48,530 --> 01:16:53,410
حسبناها حوالي المحور y وانت جربها حوالي المحور x

703
01:16:53,410 --> 01:16:58,990
وهي اللي بقولك ال x ستتغير من عند ال zero لغاية

704
01:16:58,990 --> 01:17:05,610
واحد و ال y تساوي x تربيع هي موجودة عندك احسب

705
01:17:05,610 --> 01:17:13,560
المساحة بالله وقل لجد نرجع الآن لنمر بيه من

706
01:17:13,560 --> 01:17:18,040
المثلة يبقى لو جيت لنمر بيه من المثلة يبقى هذه

707
01:17:18,040 --> 01:17:25,680
المحاولة وهذا محور x وهذا محور y وهذا نقطة الأصل

708
01:17:25,680 --> 01:17:30,920
اللي هي zero والملحنة اللي عندنا رسمناها فكان بهذا

709
01:17:30,920 --> 01:17:38,200
الشكل هذا y تساوي x تربيع و هذا الخط له x يساوي

710
01:17:38,200 --> 01:17:42,060
واحد و هاي المساحة اللي موجودة عندنا اللي هي

711
01:17:42,060 --> 01:17:46,460
المساحة اللي عندنا هذه وإحداثيات النقطة هذه واحد

712
01:17:46,460 --> 01:17:51,610
واحد جل الحالة الثانية لو المساحة اللي دارت حولينا

713
01:17:51,610 --> 01:17:58,210
الخط y أو x يساوي مين؟ اثنين يبقى x يساوي اثنين بدي

714
01:17:58,210 --> 01:18:08,710
يجيلك هذا ال x يساوي قداش اثنين هذا الشكل تمام؟

715
01:18:08,710 --> 01:18:17,860
يبقى هذا الخط اللي هو x يساوي اثنين طيب مدام هيك

716
01:18:17,860 --> 01:18:22,920
بيكي عندي outer radius و inner radius إذا بدي أرسم

717
01:18:22,920 --> 01:18:28,460
خط يقطع منطقة التكامل وعمودي على محور الدوران

718
01:18:28,460 --> 01:18:34,140
بالشكل اللي عندنا هذا مثلا هذا الخط الأحمر هذا

719
01:18:34,140 --> 01:18:42,180
يعتبر main outer radius هذا من هنا لهنا يعتبر من ال

720
01:18:42,180 --> 01:18:47,300
inner radius يبقى مشان اميزك فيما بيننا هذا ال

721
01:18:47,300 --> 01:18:51,560
inner radius هو القطع الأسود والقطع الأحمر هو ال

722
01:18:51,560 --> 01:18:56,920
outer radius السؤال هو المسافة من هنا لهنا كده؟

723
01:18:56,920 --> 01:19:02,000
اثنين بدي أشيل منها المسافة هذه يبقى لو جيت

724
01:19:02,000 --> 01:19:03,480
المسافة هذه

725
01:19:11,580 --> 01:19:20,360
يبقى المسافة هذه x يساوي جذر ال y طيب إذا ال volume

726
01:19:20,360 --> 01:19:26,900
v بدي تساوي تكامل ل π y بدي أجيلك ال outer radius ال

727
01:19:26,900 --> 01:19:31,700
outer radius يصل من هنا لهنا يعني الاثنين بدي

728
01:19:31,700 --> 01:19:38,540
أشيل منها جذر ال y يبقى الاثنين ناقص جذر ال y لكل

729
01:19:38,540 --> 01:19:43,080
تربيع ناقص ال inner radius ال inner radius

730
01:19:43,080 --> 01:19:49,300
المستفادة دي كلها باثنين بدي أشيل منها واحد يبقى 2

731
01:19:49,300 --> 01:19:54,900
ناقص واحد لكل تربيع كله بالنسبة لمين الى dy

732
01:19:54,900 --> 01:20:01,180
بقية حدود التكامل هل تغيرت؟ لأ يبقى زي ما هي من صفر

733
01:20:01,180 --> 01:20:06,380
لغاية واحد يبقى من صفر لغاية واحد كما هي يبقى

734
01:20:06,380 --> 01:20:11,760
النتيجة تساوي π by برة وتكامل من صفر لغاية واحد

735
01:20:11,760 --> 01:20:19,780
بده افكر قوس هذا أربعة ناقص اثنين جذر ال y والله

736
01:20:19,780 --> 01:20:25,560
ناقص أربعة جذر ال y يبقى ناقص أربعة جذر ال y

737
01:20:39,070 --> 01:20:44,890
يبقى النتيجة تساوي π تكامل من صفر لغاية واحد

738
01:20:44,890 --> 01:20:51,760
عندك ناقص واحد وزاد أربعة بيضل قداش ثلاثة وهنا زائد

739
01:20:51,760 --> 01:21:00,460
y وهنا ناقص أربعة y أصل نص كل هذا الكلام نسبة الى

740
01:21:00,460 --> 01:21:06,900
مين الى by يبقى أصبح ال volume v اللي عندنا بده

741
01:21:06,900 --> 01:21:14,720
يساوي π by برة وبدنا نكامل يبقى ثلاثة y زائد y

742
01:21:14,720 --> 01:21:23,540
تربيع على اثنين ناقص أربعة والثالثة على اثنين على

743
01:21:23,540 --> 01:21:29,100
ثلاثة على اثنين كله من صفر لغاية واحد يبقى هذا

744
01:21:29,100 --> 01:21:35,860
الكلام بده يساوي π في ثلاثة y زائد y تربيع على

745
01:21:35,860 --> 01:21:43,320
اثنين ناقص ثمانية على ثلاثة y أقصى ثلاثة على اثنين

746
01:21:43,320 --> 01:21:51,740
كله من صفر لغاية واحد يبقى بده يساوي π في ثلاثة

747
01:21:54,930 --> 01:22:02,050
ناقص ثمانية على ثلاثة والباقي كله ناقص ناقص ناقص ناقص

748
01:22:02,050 --> 01:22:05,610
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

749
01:22:05,610 --> 01:22:06,130
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

750
01:22:06,130 --> 01:22:06,890
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

751
01:22:06,890 --> 01:22:09,390
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

752
01:22:09,390 --> 01:22:11,210
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

753
01:22:11,210 --> 01:22:17,850
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

754
01:22:39,100 --> 01:22:45,840
المثال الأخير في هذا ال section يبقى example ثلاثة

755
01:22:45,840 --> 01:22:52,420
بيقول ما يأتي find volume

756
01:22:55,020 --> 01:23:02,180
of the solid generated

757
01:23:02,180 --> 01:23:05,400
generated

758
01:23:05,400 --> 01:23:13,380
by revolving the

759
01:23:13,380 --> 01:23:17,380
region by

760
01:23:17,380 --> 01:23:21,240
revolving the region bounded

761
01:23:25,050 --> 01:23:38,070
by y تساوي x تربيع and y تساوي أربعة above the

762
01:23:38,070 --> 01:23:44,670
line y

763
01:23:44,670 --> 01:23:50,430
تساوي خمسة حولنا الخط y تساوي خمسة

764
01:24:17,270 --> 01:24:22,530
نرجع لأسوالنا مرة ثانية قولي هاتلي حجم المجسم

765
01:24:22,530 --> 01:24:28,710
المتولد تعالى يا ابنيا تعالى كيف حالك أنت من وقتاش

766
01:24:28,710 --> 01:24:32,370
احنا بنرد على الجولات في المحاضرات تعالى عوضي وقعد

767
01:24:32,370 --> 01:24:37,310
وإلا بخليك تاخد دفاعك ومتعودش على القعب المرة يا

768
01:24:37,310 --> 01:24:38,370
جوال يا محاضرة

769
01:24:45,180 --> 01:24:49,340
مرة ثانية يبقى find the volume of the solid هاتلي

770
01:24:49,340 --> 01:24:53,860
حجم المجسم المتولد بدوران المنطقة المحدودة

771
01:24:53,860 --> 01:24:59,180
بالمنحنى y تساوي x تربيع وy تساوي أربعة حولين الخط

772
01:24:59,180 --> 01:25:05,670
y تساوي خمسة يبقى لو روحت رسمت المنطقة هذه يبقى هاي

773
01:25:05,670 --> 01:25:12,790
المحاور هذا محور x وهذا محور y وهذا نقطة الأصل

774
01:25:12,790 --> 01:25:17,270
اللي هي zero y تساوي x تربيع الكل بيعرفه برابولة

775
01:25:17,270 --> 01:25:24,310

801
01:27:59,810 --> 01:28:03,910
من الأربعة لغاية كده خمسة

802
01:28:15,360 --> 01:28:24,660
واحد ضالت عند الـ X بدها تتغير من أقل قيمة لها إلى

803
01:28:24,660 --> 01:28:30,960
أكبر قيمة لها هيها لذلك سنحل المعادلات مع بعض

804
01:28:34,490 --> 01:28:42,050
يبقى احنا عندنا y تساوي x تربيع يبقى هذه هي من ال

805
01:28:42,050 --> 01:28:47,830
x تربيع وهنا عندنا y تساوي كده؟ أربعة معناه هذا

806
01:28:47,830 --> 01:28:52,570
الكلام أن الـ x بدأ تساوي زائد أو ناقص يبقى هنا

807
01:28:52,570 --> 01:28:59,020
بيصير الـ x بسالب اثنين وهنا الـ x بقدر؟ اثنين إذا

808
01:28:59,020 --> 01:29:04,940
أصبح الـ volume V متساوي تكامل من سالب اثنين إلى

809
01:29:04,940 --> 01:29:10,640
اثنين إلى باي للـ outer radius الكل تربيع الخمسة

810
01:29:10,640 --> 01:29:17,300
ناقص X تربيع الخمسة ناقص X تربيع الكل تربيع ناقص

811
01:29:17,300 --> 01:29:23,540
الـ small radius اللي هو واحد لكل تربيع كله بالنسبة

812
01:29:23,540 --> 01:29:30,840
إلى ماذا يعني صار هذا تكامل من سالب اثنين إلى اثنين

813
01:29:30,840 --> 01:29:37,620
لبي بده فك الجزء يبقى هاي خمسة وعشرين ناقص عشرة X

814
01:29:37,620 --> 01:29:45,900
تربيع زائد X أس أربعة ناقص واحد في DX أظن ناقص واحد

815
01:29:45,900 --> 01:29:48,320
وزائد خمسة وعشرين بيظل جداش

816
01:29:57,170 --> 01:30:05,390
عشرة اكس تربيع زائد اكس أس أربعة ناقص واحد في DX

817
01:30:05,870 --> 01:30:10,730
أظن ناقص واحد وزائد خمسة وعشرين بيظل جداش أربع

818
01:30:10,730 --> 01:30:16,110
وعشرين يبقى تكامل من سالب اثنين إلى اثنين لبي في

819
01:30:16,110 --> 01:30:23,830
الأربع وعشرين ناقص عشرة x تربيع زائد x أس أربعة كله

820
01:30:23,830 --> 01:30:28,510
بالنسبة لما إلى dx الدالة دي even function

821
01:30:28,510 --> 01:30:36,550
هيكفي هذا اثنين وتكامل من صفر للاتنين وهي الـ

822
01:30:36,550 --> 01:30:45,030
باي برا يبقى اثنين باي وضل عندك هنا للأربع وعشرين ناقص

823
01:30:45,030 --> 01:30:52,830
عشرة X تربيع زائد X أُس أربعة كله بالنسبة إلى من؟

824
01:30:52,830 --> 01:31:00,140
إلى DX عملنا ليش؟ لأن هذه الدالة Event Function

825
01:31:00,140 --> 01:31:05,880
يبقى نظرة لإنها دالة زوجية والـ Symmetric Interval

826
01:31:05,880 --> 01:31:10,880
من سالب اثنين إلى اثنين X تربيع و X أُس أربعة يبقى

827
01:31:10,880 --> 01:31:15,280
ماعنديش أسس فردية يبقى هذه Evil Function على طول

828
01:31:15,390 --> 01:31:21,430
الخط يبقى النتيجة يساوي هي اثنين باي برا يبقى أربع

829
01:31:21,430 --> 01:31:28,570
وعشرين اكس عشرة على تلاتة اكس تكعيب زي اكس وخمسة

830
01:31:28,570 --> 01:31:36,070
على خمسة من صفر لغاية اثنين يبقى هذا اثنين باي في

831
01:31:36,070 --> 01:31:42,570
اثنين في أربع وعشرين ثمانية وأربعين ناقص ثمانية

832
01:31:42,570 --> 01:31:50,850
في عشرة ثمانين على تلاتة زائد اثنين أقصد خمسة التي

833
01:31:50,850 --> 01:31:55,690
هي اثنين و تلاتين على خمسة والباقي كله بـ zero

834
01:31:55,690 --> 01:32:01,510
ماعنا مشكلة في هذه الحالة يبقى نتيجته ساوي اثنين

835
01:32:01,510 --> 01:32:07,530
by هذا بقدر أقول كله على خمستاشر يبقى بيننا نيجي

836
01:32:07,530 --> 01:32:14,020
نضرب ثمانية و أربعين في خمستاشر خمسة في ثمانية اب

837
01:32:14,020 --> 01:32:20,120
أربعين خمسة في أربع وعشرين أربع وعشرين ثمانية

838
01:32:20,120 --> 01:32:26,680
وأربعين اثنا عشر سبعمية وعشرين يبقى هذه السبعمية

839
01:32:26,680 --> 01:32:33,380
وعشرين ناقص خمستاشر ع تلاتة فيها الخمسة أربعمية

840
01:32:33,380 --> 01:32:41,750
زائد تلاتة اللي هو ستة وتسعين يبقى هنا ستة وتسعين

841
01:32:41,750 --> 01:32:49,610
بصير عندي ستة وتسعة واثنين أحد عشر يبقى ثمانمية

842
01:32:49,610 --> 01:32:56,170
وستاش بده أشيل منها أربعمية بيظل أربعمية وستاش

843
01:32:56,170 --> 01:33:04,880
تمام؟ يبقى هذه يساوي اثنين باي أربعمية وست عشر كله

844
01:33:04,880 --> 01:33:15,470
على كدهش على خمستاشر يبقى ثمانمية و 32 باي على 15

845
01:33:15,470 --> 01:33:24,090
هذا مقدار الحجم الجسم المتكون من الدوران وصلنا إلى

846
01:33:24,090 --> 01:33:30,250
نهاية الـ section بدنا أرقام المسائل لـ exercises

847
01:33:30,250 --> 01:33:37,230
ستة واحدة يبقى هنا بنجي بنقول exercises ستة واحد

848
01:33:37,230 --> 01:33:47,690
المثال من خمستاشر لغاية تسعة وأربعين الاد من اللي

849
01:33:47,690 --> 01:33:55,350
بده يسأل ايه اتفضل ما عرفتش كيف يبقى تعالي ارسم

850
01:33:55,350 --> 01:34:01,940
الرسم هذي لفوق وشوف هذا بصير صدوف ولا لا يبقى لو

851
01:34:01,940 --> 01:34:10,700
جينا رسمنا هذه بده يصير هيك مظبوط يا سيدي؟ و هذا

852
01:34:10,700 --> 01:34:17,680
الخط .. الخط هي جانبك و هذا الخط التاني بده يصير

853
01:34:17,680 --> 01:34:23,440
هيك يبقى هذا مصمد بالشكل اللي عندك كده لأن هذه

854
01:34:23,440 --> 01:34:30,860
عملتلك دائرة الشكل هذا و هذه عملتلك دائرة بالشكل

855
01:34:30,860 --> 01:34:36,480
اللي عندك كان، مظبوط هيك؟ عرفته ولا ما عرفتش؟ حد

856
01:34:36,480 --> 01:34:40,360
بدي يسأل تاني؟ أنا بيعطيك العافية