1
00:00:00,070 --> 00:00:02,430
بسم الله الرحمن الرحيم، اليوم إن شاء الله راح نكمل

2
00:00:02,430 --> 00:00:06,230
في chapter العاشر، بنحكي .. بدينا عن ال series،

3
00:00:06,230 --> 00:00:09,710
حكينا بالأول ال sequence طبعا، بعدين ال series، و

4
00:00:09,710 --> 00:00:14,350
آخر شيء حكينا عن الخمس اختبارات اللي بنستخدمها ل

5
00:00:14,350 --> 00:00:19,030
series of positive terms التي هي الـ Integral Test

6
00:00:19,030 --> 00:00:21,350
و الـ Comparison Test، الـ Limit Comparison Test، و

7
00:00:21,350 --> 00:00:25,090
الـ Ratio Test، و الـ Root Test. اليوم راح نحكي عن

8
00:00:25,090 --> 00:00:27,750
سيكوينس أخرى غير الـ Positive Terms، اللي هو اسمها

9
00:00:27,750 --> 00:00:31,230
الـ Alternating Series. بنعرف إيش هي ال Alternating

10
00:00:31,230 --> 00:00:36,010
Series وكيف نشوفها هل هي Converge ولا Diverge لأن

11
00:00:36,010 --> 00:00:39,210
ال Alternating Series هي عبارة عن Series in which

12
00:00:39,210 --> 00:00:42,910
terms are alternately positive and negative، يعني

13
00:00:42,910 --> 00:00:45,570
مرة .. يعني في terms positive و negative positive

14
00:00:45,570 --> 00:00:50,250
نكتبها كذا، يعني alternating يعني مترددة. term موجب

15
00:00:50,250 --> 00:00:53,650
ترم سالب موجب سالب موجب سالب وهكذا. يعني هي عبارة

16
00:00:53,650 --> 00:00:57,690
عن، بلغة رياضية، summation للإن و ال an، في an زائد

17
00:00:57,690 --> 00:01:02,130
واحد أقل من السفريعني a n، والعدد اللي بعده لحد ال

18
00:01:02,130 --> 00:01:06,370
nوني، ولحد ال n زائد واحد. حاصل ضربهم سالب، يعني واحد

19
00:01:06,370 --> 00:01:09,570
موجب والثاني سالب. مش التانين سالبين ولا التانين

20
00:01:09,570 --> 00:01:13,190
موجبين. واحد منهم موجب واللي بعده بكون سالب. أمثل

21
00:01:13,190 --> 00:01:15,850
على الأرض ال alternating series. يعني مثلا the

22
00:01:15,850 --> 00:01:19,810
summation لـ -1 أس n. هذه alternating series. هذه

23
00:01:19,810 --> 00:01:23,650
أشياء ناقص واحد، زائد واحد، ناقص واحد، واحد، ناقص واحد

24
00:01:23,650 --> 00:01:28,240
واحد، تتردد بين ناقص واحد، واحد. بين موجب وسالب. كمان

25
00:01:28,240 --> 00:01:31,260
من أمثلة ال series طبعا كثيرة منها مثلا ناقص واحد

26
00:01:31,260 --> 00:01:34,880
أس n زائد واحد على 4 N زائد 1. هالي

27
00:01:34,880 --> 00:01:38,860
alternating series لإنه في term موجب و term سالب. 

28
00:01:38,860 --> 00:01:42,520
لو N تساوي واحد بطلع إيش؟ موجب. يعني مثلا لو N تساوي

29
00:01:42,520 --> 00:01:49,420
اتنين بطلع هذه سالب، سالب تسعة وهكذا. يعني موجب

30
00:01:49,420 --> 00:01:52,800
سالب موجب سالب وهكذا. ال series بتكون بهذا الشكل.

31
00:01:53,580 --> 00:01:57,220
الآن، كيف بدنا نشوف ال alternating series هل هي ..

32
00:01:57,220 --> 00:01:59,700
نشوف إيش ال test اللي بدنا نعمله إلها ونشوفها

33
00:01:59,700 --> 00:02:03,140
Converge ولا Diverge. طبعا لو كتبنا ال alternating

34
00:02:03,140 --> 00:02:07,660
series بشكلها (-1) أس n زائد 1 UN يعني

35
00:02:07,660 --> 00:02:10,700
المفكوكة هذه U1 - U2 + U3 

36
00:02:10,700 --> 00:02:15,200
- U4 إلى آخرها. الآن هذه .. بتكون ال

37
00:02:15,200 --> 00:02:17,880
series هذه بنسميها طبعا alternating series. هي

38
00:02:17,880 --> 00:02:22,730
مترددة بين موجبة وسالبة. بتكون Converge إذا كان تحقق

39
00:02:22,730 --> 00:02:26,830
فيها الثلاث شروط، ثلاث شروط كاملة. أول شرط أن all

40
00:02:26,830 --> 00:02:30,670
ال UNs are positive. ال UN هدولة كلهم، يعني U1 و

41
00:02:30,670 --> 00:02:34,070
U2، بغض النظر عن الإشارة، بس ال U ال U هدولة كلهم

42
00:02:34,070 --> 00:02:37,930
يكونوا موجبين. يبقى ال UN أشيل الناقص، بنشيل

43
00:02:37,930 --> 00:02:41,930
الناقص واحد أس n زائد واحد، و ال UN هذه لازم تكون

44
00:02:41,930 --> 00:02:47,140
لحالها موجبة. هذا أول شرط. الشرط الثاني اللي هو ال UN

45
00:02:47,140 --> 00:02:50,960
هدولة يكونوا non-increasing. non-increasing يعني

46
00:02:50,960 --> 00:02:53,640
decreasing. طب إيش الفرق بين كلمة decreasing و non

47
00:02:53,640 --> 00:02:57,680
-increasing؟ باليساوي الآن. بال decreasing يعني UN

48
00:02:57,680 --> 00:03:01,560
أكبر من UN زائد واحد. بتكون decreasing. يعني أيش؟ كل

49
00:03:01,560 --> 00:03:05,040
مالها الأعداد بتصغر مافيش تساوي لهم. إذا كان وجد

50
00:03:05,040 --> 00:03:08,610
تساوي بنسميها non-increasing. يعني ممكن ال UN تساوي

51
00:03:08,610 --> 00:03:13,050
ال UN زائد واحد. في فكرة فبتصير مش decreasing بتكون

52
00:03:13,050 --> 00:03:15,750
non increasing. حتى لو كانت non increasing فيها

53
00:03:15,750 --> 00:03:20,370
تساوي مافيش عندنا مشكلة بتكون هذا الشرط متوفر for

54
00:03:20,370 --> 00:03:24,150
all n أكبر أو يساوي n. يعني لأي نقطة n ممكن

55
00:03:24,150 --> 00:03:27,410
ما تكونش من بداية ال series من الواحد تكون من بداية

56
00:03:27,410 --> 00:03:31,450
أخرى مش مشكلة. for some integer n. الشرط الثالث أنه

57
00:03:31,450 --> 00:03:34,490
limit ال UN يساوي صفر. limit ال UN لازم إيش يقول

58
00:03:34,490 --> 00:03:39,230
الصفر. إذا كانت توفر الثلاث شروط هدولة في الـ UN

59
00:03:39,230 --> 00:03:43,890
اللي هي الموجودة هنا بال Series بتكون ال Series

60
00:03:43,890 --> 00:03:47,030
تبعنا هذه الـ Alternate Series تبعتناها Converge.

61
00:03:47,030 --> 00:03:49,510
تبعناها Converge. تبعناها Converge. تبعناها Converge.

62
00:03:49,510 --> 00:03:51,550
تبعناها Converge. تبعناها Converge. تبعناها Converge.

63
00:03:51,550 --> 00:03:51,570
تبعناها Converge. تبعناها Converge. تبعناها Converge.

64
00:03:51,570 --> 00:03:51,630
تبعناها Converge. تبعناها Converge. تبعناها Converge.

65
00:03:51,630 --> 00:03:51,830
تبعناها Converge. تبعناها Converge. تبعناها Converge.

66
00:03:51,830 --> 00:04:00,770
تبعناها Converge. تبعناها Converge. تبعناها Converge.

67
00:04:00,770 --> 00:04:06,240
تبعا... الآن بدنا نطبق ال UN هاد، نطبق عليها الثلاث شروط

68
00:04:06,240 --> 00:04:08,400
إذا كان نطبق عليها الثلاث شروط بتكون ال series

69
00:04:08,400 --> 00:04:11,480
Converged. لأن ال UN هي عبارة عن ln(n+1) على N

70
00:04:11,480 --> 00:04:14,480
و بدأت ال series تبعتها من واحد إلى ما لا نهاية.

71
00:04:14,480 --> 00:04:17,940
يعني نشوف نطبق الشروط، إما بتنطبق من واحد أو بعد

72
00:04:17,940 --> 00:04:21,200
الواحد مش مشكلة. أول شيء ال UN، ln(n+1) على N 

73
00:04:21,200 --> 00:04:24,560
لما N أكبر أو يساوي واحد. لما N تساوي واحد يعني

74
00:04:24,560 --> 00:04:27,820
بيصير لها دي بادية من ln 2. وبعدين لما n تساوي 2

75
00:04:27,820 --> 00:04:31,280
بيصير ln 1.5، وهاكذا. كل هدولة يعني أكبر من

76
00:04:31,280 --> 00:04:36,430
واحد، لإنه زدت مقدار موجب. أكثر من واحد وبعد الواحد

77
00:04:36,430 --> 00:04:39,790
كله بقوة موجبة. إذا ال N تبعتها موجبة for all N

78
00:04:39,790 --> 00:04:42,950
أكبر أو يساوي الواحد. لأن عشان نشوف ال decrement

79
00:04:42,950 --> 00:04:47,010
بدنا نجيب المشتقة. المشتقة لها 1 على (n+1)

80
00:04:47,010 --> 00:04:50,370
في ناقص 1 على N تربيع. طبعا بدون ما نجمعها يكفي

81
00:04:50,370 --> 00:04:53,170
وجود الإشارة السالبة. طبعا ال N دائما موجبة وهذا

82
00:04:53,170 --> 00:04:57,110
موجب ففي إشارة سالبة. فهذا دائما سالب. إذا ال U N

83
00:04:57,110 --> 00:05:01,020
تبعتها decreasing. الشرط الثالث أنه limit الـ UN

84
00:05:01,020 --> 00:05:03,860
يساوي صفر. الآن limit ln(1+1/N)

85
00:05:03,860 --> 00:05:07,540
طبعا بتدخل ال limit لجوا. هذه limitها صفر. بيظل ln

86
00:05:07,540 --> 00:05:10,460
الواحد. يبقى ال limit لهذا يساوي ln الواحد. و ln

87
00:05:10,460 --> 00:05:14,260
الواحد يساوي صفر. إذا الثلاث شروط تبعتنا مطبقة،

88
00:05:14,260 --> 00:05:19,320
وبالتالي ال series تبعتنا Converge،

89
00:05:19,320 --> 00:05:22,300
طيب، الآن ال convergence تبعت ال series ال

90
00:05:22,300 --> 00:05:26,460
alternating series هذه إلها نوعين. في نوعين

91
00:05:26,460 --> 00:05:29,800
إلها إما Absolute أو Conditional. يبقى ال Converge

92
00:05:29,800 --> 00:05:32,680
تبعتنا إما بتكون Absolute أو Conditional

93
00:05:32,680 --> 00:05:36,260
Convergence. طب كيف بدنا نشوفها نوع ال convergence

94
00:05:36,260 --> 00:05:40,140
تبعها هل هو Absolute ولا Conditional؟ بدنا نتبع

95
00:05:40,140 --> 00:05:44,260
الاختبار التالي. بنسمي ال series تبعتنا Σ لل an

96
00:05:44,260 --> 00:05:48,340
Converge Absolutely أو Absolutely Convergent if

97
00:05:48,340 --> 00:05:51,680
the corresponding series of absolute value Σ

98
00:05:51,680 --> 00:05:55,830
لل absolute value لل an Converges. يعني لو أخدنا الان

99
00:05:55,830 --> 00:05:58,950
دي وحطيناها داخل absolute value صارت series of

100
00:05:58,950 --> 00:06:02,230
positive terms. ال series of positive terms هذه

101
00:06:02,230 --> 00:06:05,910
ممكن نعملها أي واحد من الاختبارات الخمسة السابقة. إذا

102
00:06:05,910 --> 00:06:08,470
كان عملت أي Test من الاختبارات الخمسة وطلعت Converge

103
00:06:08,470 --> 00:06:11,910
بنسمي ال series تبعتنا هذه Converge Absolutely.

104
00:06:11,910 --> 00:06:16,150
يبقى بتكون Converge Absolutely إذا كانت ال series

105
00:06:16,150 --> 00:06:19,250
of positive terms تبعتها. يعني لما أخد ال Absolute

106
00:06:19,250 --> 00:06:24,210
value تكون Converge بأي من الاختبارات الخمسة. طيب إذا

107
00:06:24,210 --> 00:06:28,330
كان طلعت معاه Diverge

108
00:06:28,920 --> 00:06:31,580
بروح بطبق الثلاث شروط. يبقى هاي إيش؟ عشان ال

109
00:06:31,580 --> 00:06:33,320
Definition الثاني، امتى بتكون Converge

110
00:06:33,320 --> 00:06:36,940
Conditionally؟ ال series that converges but does

111
00:06:36,940 --> 00:06:39,720
not converge absolutely. يبقى هي مش Converge

112
00:06:39,720 --> 00:06:42,120
Absolutely. عشان يعني مش Converge Absolutely يعني

113
00:06:42,120 --> 00:06:47,020
بال absolute value Diverge بتكون والثلاث شروط وهي

114
00:06:47,020 --> 00:06:50,100
Converge. يعني الثلاث شروط تبعتنا اتحققت في

115
00:06:50,100 --> 00:06:52,960
النظرية السابقة. فبنسمي ال series في هذه الحالة

116
00:06:52,960 --> 00:06:56,280
Converge Conditionally. إيش يعني Conditional؟ يعني

117
00:06:56,280 --> 00:06:58,960
بال conditions يعني بالشروط. يعني هي Converge

118
00:06:58,960 --> 00:07:02,940
بالشروط و ال Absolutely Converge بال absolute value

119
00:07:02,940 --> 00:07:06,220
يعني بال .. بال .. بإنه تكون ال series of

120
00:07:06,220 --> 00:07:08,580
positives. يعني Converge Conditionally يعني

121
00:07:08,580 --> 00:07:11,340
Converge بالثلاث شروط فقط و ال Absolutely Diverge

122
00:07:11,340 --> 00:07:16,140
لازم يكون ال Absolutely Diverge. طبعا طيب الآن لما

123
00:07:16,140 --> 00:07:19,360
نكون ال series of positives Converge هذه بتكون

124
00:07:19,360 --> 00:07:21,900
برضه Converge بس not Absolutely. يعني هذه Converge

125
00:07:21,900 --> 00:07:25,040
إيش يعني؟ يعني لو أنا حققت الثلاث شروط، تتحقق

126
00:07:25,040 --> 00:07:30,420
تلقائيًا. يبقى الـ Absolute Convergence test if the

127
00:07:30,420 --> 00:07:33,820
summation لـ Absolute الـ AN Converges، then ال

128
00:07:33,820 --> 00:07:36,500
summation للـ AN Converges. إيش يعني ال summation

129
00:07:36,500 --> 00:07:40,120
للـ AN Converges؟ يعني تنطبق عليها الثلاث شروط،

130
00:07:40,120 --> 00:07:44,560
يعني تنطبق عليها الثلاث شروط تنطبق. يبقى أي سؤال،

131
00:07:44,560 --> 00:07:47,080
بس ليش؟ طب ليش بنعمل هذا ال Test؟ علشان نشوف نوع

132
00:07:47,080 --> 00:07:50,040
ال Convergence، هل هو Converge Absolutely ولا

133
00:07:50,040 --> 00:07:53,870
Conditionally؟ إذا كانت Conversion بالـ absolute

134
00:07:53,870 --> 00:07:56,150
value هي Converge فبتكون هذه ال series Converge

135
00:07:56,150 --> 00:08:00,670
Absolutely. بس هم استلزموا شروط متحققة. يعني لو قال لي

136
00:08:00,670 --> 00:08:03,370
شوف ال series هل Converge ولا Diverge بس يكفي أني

137
00:08:03,370 --> 00:08:06,050
أجيب الثلاث شروط بدون أني أجيب Absolutely. لكن لو

138
00:08:06,050 --> 00:08:08,790
قال لي شوف ال series هذي هل هي Converge Absolutely

139
00:08:08,790 --> 00:08:12,170
أو Conditionally لازم أجيب بال absolute value. إذا

140
00:08:12,170 --> 00:08:14,370
كان بال absolute value Converge بتكون Converge 

141
00:08:14,370 --> 00:08:17,950
absolutely وبيكون أقدم الثلاث شروط متحققة لكن لو

142
00:08:17,950 --> 00:08:20,390
كانت هذه طلعت diverge هذا لا يؤدي إلى أن هذه ال

143
00:08:20,390 --> 00:08:23,810
series diverge بنروح نتأكد من تحقيق الثلاث شروط إذا تحقق

144
00:08:23,810 --> 00:08:27,670
الثلاث شروط بتكون converge إذا لم تتحقق بتكون 
diverge

145
00:08:27,670 --> 00:08:32,420
كمان هذه برضه شغلة مهمة أن شروط التناقص إذا

146
00:08:32,420 --> 00:08:35,920
لم تتحقق لا يؤدي إلى أنه يصبح diversified لازم نلجأ

147
00:08:35,920 --> 00:08:38,800
إلى test آخر، الـ test الآخر الذي قلت راح نشوف كيف من

148
00:08:38,800 --> 00:08:46,520
خلال الأمثلة يعني أن الثلاث شروط هذه في الثلاث

149
00:08:46,520 --> 00:08:51,660
شروط التي هنا نرجع هنا للثلاث شروط، اه الثلاث شروط

150
00:08:51,660 --> 00:08:54,890
هذه، ماذا هنا بقول إذا كان all three of the

151
00:08:54,890 --> 00:08:58,050
following are satisfied فبتكون الـ series تبعتي

152
00:08:58,050 --> 00:09:02,110
converge إذا كان الشروط تحققت يؤدي إلى أن الـ series

153
00:09:02,110 --> 00:09:05,690
converge لكن لو لم تتحقق مثلا ما كانت هؤلاء كلهم 

154
00:09:05,690 --> 00:09:08,810
positive ولا ما كانت increasing ما كانت decreasing

155
00:09:08,810 --> 00:09:11,710
كانت increasing هل هذا يؤدي إليها diverge؟ لا، لا

156
00:09:11,710 --> 00:09:15,730
يؤدي إليها diverge، لازم ايه؟ الثلاث شروط تتحقق،

157
00:09:15,730 --> 00:09:18,530
بتكون الـ alternating series تبعتها تكون converge، إذا

158
00:09:18,530 --> 00:09:21,930
لم يتحقق من واحد من الشروط، لا يؤدي إلى أن الـ series

159
00:09:21,930 --> 00:09:27,150
diverge، لازم نلجأ إلى test آخر، ولو لاحظنا إذا

160
00:09:27,150 --> 00:09:30,030
كان هذا الشرط الذي انفق به un أن الـ limit لها لا 

161
00:09:30,030 --> 00:09:33,860
يساوي 0 بالـ end term تسبب تكون الـ series diverged

162
00:09:33,860 --> 00:09:36,760
لأنه معناه أن هذا مثلا الـ limit له واحد يعني الـ

163
00:09:36,760 --> 00:09:40,000
series هذه التي جوا هي الـ end term بيكون الـ limit

164
00:09:40,000 --> 00:09:42,740
لها موجب أو سالب واحد وبالتالي الـ limit لا يساوي

165
00:09:42,740 --> 00:09:45,240
واحد، إذا من الـ end term تسبب الـ series diverged

166
00:09:45,240 --> 00:09:49,040
لكن إذا كان طلعت increasing لا يؤدي إلى أن الـ series

167
00:09:49,040 --> 00:09:51,780
diverged، إذا كان مش كل الـ terms positive لا يؤدي

168
00:09:51,780 --> 00:09:54,540
إلى أن الـ series diverged لازم نعمل test، إذا كان

169
00:09:54,540 --> 00:09:58,700
هذا الشرط فقد فهو بالـ end ... إذا الـ limit هو الذي

170
00:09:58,700 --> 00:10:04,060
مش موجود وبالـ Interim Test Series Diverge بيس فهذا

171
00:10:04,060 --> 00:10:08,940
المهم جدا أن احنا اللحظة مهم جدا هدول الثلاث

172
00:10:08,940 --> 00:10:14,580
نظريات أو two definitions ونظرية، إذا كان بنا نشوف

173
00:10:14,580 --> 00:10:17,320
نوع الـ convergence تبعت الـ alternating series

174
00:10:17,320 --> 00:10:21,220
بنروح بنعمل الذي هو series على الـ positive terms

175
00:10:21,220 --> 00:10:23,500
إذا كانت converge بتكون الـ series converge

176
00:10:23,500 --> 00:10:27,740
absolutely، لو طلعت diverge بنحقق الثلاث شروط إذا 

177
00:10:27,740 --> 00:10:30,740
كانت تحقق الثلاث شروط بتكون الـ series converge

178
00:10:30,740 --> 00:10:35,860
conditionally، لا يؤدي إذا كان الـ series converge

179
00:10:35,860 --> 00:10:39,400
لا يؤدي إلى أن الـ series diverge إذا كانت الـ absolute

180
00:10:39,400 --> 00:10:42,720
value diverge لا يؤدي إلى أن الـ series diverge إذا

181
00:10:42,720 --> 00:10:44,260
كانت الـ series converge يؤدي أنها converge

182
00:10:44,260 --> 00:10:47,240
absolutely، إذا كانت الـ series diverge بنروح بنحقق

183
00:10:47,240 --> 00:10:50,360
الثلاث شروط وإذا تحقق الثلاث شروط بتكون converge

184
00:10:50,360 --> 00:10:54,140
conditionally، والنظرية دي مهمة إذا كانت الـ

185
00:10:54,140 --> 00:10:56,100
summation على الـ an converge على الـ absolute

186
00:10:56,100 --> 00:11:00,020
value converge فبالتالي لازم الشروط الثلاث يكونوا

187
00:11:00,020 --> 00:11:03,740
متحققين لإنه أصلا الـ series على an بتكون converge

188
00:11:04,670 --> 00:11:10,390
نشوف الأمثلة الـ Alternating Harmonic Series ناقص

189
00:11:10,390 --> 00:11:13,050
واحد أس n زائد واحد في واحد على n، لأن لو شيلنا

190
00:11:13,050 --> 00:11:15,270
هذه بيظل الـ summation واحد على n هي الـ harmonic

191
00:11:15,270 --> 00:11:19,310
series التي نحن بنعرفها لكن لو ضفنا عليها الموجب

192
00:11:19,310 --> 00:11:22,390
و السالب بنسميها الـ alternating harmonic series

193
00:11:22,390 --> 00:11:26,140
التي هي واحد ناقص نص زائد ثلث ناقص ربع إلى الآلان

194
00:11:26,140 --> 00:11:28,520
هذا الـ series بنشوفها هل هي converge ولا diverge

195
00:11:28,520 --> 00:11:31,480
طبعا الـ harmonic series لحالها بدون ناقص واحد أس n

196
00:11:31,480 --> 00:11:34,880
كانت diverge التي فيه series وفيه تساوي واحد كانت 

197
00:11:34,880 --> 00:11:37,360
diverge طب نشوف الـ alternating هل تختلف ولا لا

198
00:11:37,360 --> 00:11:45,740
الآن لو أجينا طبعا بنحقق الثلاث شروط تبعتنا un تساوي

199
00:11:45,740 --> 00:11:50,120
واحد على n و n أكبر أو يساوي واحد التي هي الـ un أولا

200
00:11:50,120 --> 00:11:54,060
الـ واحد على n موجبة بعدين المشتقة ناقص واحد على n تربيع

201
00:11:54,060 --> 00:11:57,340
سالبة وبالتالي decreasing limit الـ un يساوي limit الـ

202
00:11:57,340 --> 00:12:00,460
واحد على n يساوي صفر، إذا الـ series تبعتنا converge

203
00:12:00,460 --> 00:12:05,240
إذا لحظة الـ alternating harmonic series ما لها الـ

204
00:12:05,240 --> 00:12:06,880
alternating harmonic series converge

205
00:12:11,290 --> 00:12:13,850
طيب نشوف ذات summation convergence لحظة ماشي بقول لي

206
00:12:13,850 --> 00:12:16,150
converge ما قال لي نوع الـ convergence لما يقول لي

207
00:12:16,150 --> 00:12:19,690
converge و خلاص بنحقق الثلاث شروط مباشرة والثلاث خلاص

208
00:12:19,690 --> 00:12:22,250
بدون absolute value لكن لو قال لي شوف الـ series

209
00:12:22,250 --> 00:12:25,210
converge ايش نوع الـ convergence تبعها بنروح بنعمل

210
00:12:25,210 --> 00:12:31,840
بالـ absolute value الـ un تبعتي

211
00:12:31,840 --> 00:12:35,540
موجبة un' تساوي ناقص واحد على اثنين الجذر سالبة

212
00:12:35,540 --> 00:12:39,120
وبالتالي الـ un decreasing limit الواحد على الجذر

213
00:12:39,120 --> 00:12:43,080
الـ n اس اربعة يساوي واحد عمالانيها التي هو صفر، إذا الـ

214
00:12:43,080 --> 00:12:49,260
series برضه convergent بنسمي ناقص واحد اس n زائد

215
00:12:49,260 --> 00:12:53,080
واحد في n تربيع زائد خمسة على n تربيع زائد واحد

216
00:12:53,080 --> 00:12:57,520
لأن الـ un تبعتي هي هذه الآن بدنا نطبق عليها

217
00:12:57,520 --> 00:13:01,700
الثلاث شروط أول شيء un أكبر من الصفر طبعا موجبة

218
00:13:01,700 --> 00:13:04,860
un' تساوي ناقص ثمانية n على n تربيع زائد واحد كل

219
00:13:04,860 --> 00:13:08,540
تربيع سالبة وجود هنا سالب والـ n طبعا موجبة يبقى هي

220
00:13:08,540 --> 00:13:11,640
decreasing لأن الـ limit لـ n تربيع زائد خمسة على n

221
00:13:11,640 --> 00:13:14,140
تربيع زائد واحد درجة البسط تساوي درجة مقام الـ

222
00:13:14,140 --> 00:13:16,800
limit يساوي واحد لا يساوي صفر وبالتالي الـ test في

223
00:13:16,800 --> 00:13:20,780
هذه الحالة مش فاعل فقد واحد من الشروط هذه فالـ test

224
00:13:20,780 --> 00:13:25,900
fail لا يجب أن أنا أستخدمه لكن بنستفيد من هذا

225
00:13:25,900 --> 00:13:31,140
الشرط أن الـ limit لا يساوي صفر له يساوي واحد يبقى

226
00:13:31,140 --> 00:13:35,000
الـ limit بنروح بجيب الـ limit لـ an هذه كلها الآن

227
00:13:35,000 --> 00:13:39,460
باستخدام الـ interim test limit ناقص واحد اس n زائد

228
00:13:39,460 --> 00:13:41,860
واحد في n تربيع زائد خمسة على n تربيع زائد واحد

229
00:13:41,860 --> 00:13:45,570
يساوي موجب أو سالب واحد لا يساوي صفر وبالتالي الـ

230
00:13:45,570 --> 00:13:48,350
series diverge من واحد الـ series diverge ليست من

231
00:13:48,350 --> 00:13:51,970
فقدر هذا الشرط وإنما بالـ end term test طبعا هنا في

232
00:13:51,970 --> 00:13:55,430
ملاحظة أنه يمكن استخدام الـ end term test مباشرة

233
00:13:55,430 --> 00:13:59,610
يعني لو أنا لاحظت من الأول على الـ series تبعتي أنه

234
00:13:59,610 --> 00:14:03,530
اه والله الـ limit مش صفر مش ضروري أعمل هذه كلها

235
00:14:03,530 --> 00:14:06,090
على طول بعمل بالـ end term test و بطلعها diverge

236
00:14:06,090 --> 00:14:09,970
وهذا مش ضروري لكن لو أنا روحت عملت الشروط زي هيكده

237
00:14:09,970 --> 00:14:14,960
و ما لاحظتش هذه الملاحظة ولا حتى لما وصلت لهنا عادي

238
00:14:14,960 --> 00:14:24,080
بعمل بعتمد in turn test فالآن

239
00:14:24,080 --> 00:14:27,060
في عندي ملاحظة هنا بقول every absolutely

240
00:14:27,060 --> 00:14:33,220
convergent series converges أي convergent series

241
00:14:33,220 --> 00:14:37,880
absolutely بتكون هي converges however the converse

242
00:14:37,880 --> 00:14:41,870
statement is false يعني هل كل conversion series

243
00:14:41,870 --> 00:14:44,990
بتكون absolutely converge؟ لا ليست كل series

244
00:14:44,990 --> 00:14:47,570
converge بتكون absolutely converge لكن كل

245
00:14:47,570 --> 00:14:50,710
absolutely converge هي converge ليش؟ لأن many

246
00:14:50,710 --> 00:14:54,210
conversion series do not converge many conversion

247
00:14:54,210 --> 00:14:57,410
series do not converge absolutely كثير في من الـ

248
00:14:57,410 --> 00:15:00,170
conversion series زي الـ harmonic series قبل شوية

249
00:15:00,170 --> 00:15:04,340
الـ harmonic series التي في المثال الأول هما

250
00:15:04,340 --> 00:15:09,100
converge تلعبت هي converge لكن absolutely هي الـ

251
00:15:09,100 --> 00:15:14,140
harmonic series بتكون diverge التي هي في الـ

252
00:15:14,140 --> 00:15:19,280
metaretherapy نكمل أمثلة example أربعة صميش ناقص

253
00:15:19,280 --> 00:15:22,340
واحد أسئلة واحد في واحد على n تربيع نشوف هل هي

254
00:15:22,340 --> 00:15:24,660
converge absolutely ولا conditional طبعا الأسئلة

255
00:15:24,660 --> 00:15:28,100
هذه كلها على الـ ... هنا بدنا نكتب هنا أنه converge

256
00:15:28,100 --> 00:15:31,450
نشوف absolutely أو conditional الصممش اللي absolute

257
00:15:31,450 --> 00:15:34,390
لأن يساوي بيشيل الذي ناقص واحد اس n بيظل هذا

258
00:15:34,390 --> 00:15:37,270
واحد على n تربيع طبعا الصممش الواحد على n تربيع

259
00:15:37,270 --> 00:15:41,030
converges لأنها فيه series P 2 أكبر من واحد

260
00:15:41,030 --> 00:15:45,990
وبالتالي الـ series converge absolutely طيب الـ

261
00:15:45,990 --> 00:15:49,270
summation لـ sin n على n تربيع الـ summation لـ

262
00:15:49,270 --> 00:15:52,590
absolute an طبعا هنا في sin الـ n الـ sin فيها موجب

263
00:15:52,590 --> 00:15:56,370
فيها سالب فبالتالي ايش بنعمل؟ بنحط الـ sin داخل

264
00:15:56,370 --> 00:15:58,810
absolute value، لاحظوا الـ series هذه alternating

265
00:15:58,810 --> 00:16:02,550
series ما فيش فيها ناقص واحد اس n، لكن فيها sin مش

266
00:16:02,550 --> 00:16:05,550
sin تربيع، لاحظوا الـ positive term كان يقول الـ sin

267
00:16:05,550 --> 00:16:08,690
تربيع عشان تكون ايش positive term، لكن لو كانت sin

268
00:16:08,690 --> 00:16:12,560
لحالها، هذه بيصير نوعها alternating series وبالتالي

269
00:16:12,560 --> 00:16:15,300
لما أجيب الـ positive منها لازم أحط الـ sign داخل

270
00:16:15,300 --> 00:16:17,900
absolute value الآن بدنا نشوف الـ series of

271
00:16:17,900 --> 00:16:20,500
positive terms التي صارت هل هي convergent ولا

272
00:16:20,500 --> 00:16:23,830
divergent بنستخدم الذي هو الـ comparison test طبعا

273
00:16:23,830 --> 00:16:26,890
معروف أن الـ absolute sign أقل أو يساوي واحد بنقسم

274
00:16:26,890 --> 00:16:31,170
الطرفين على n تربيع الآن الـ series هذي التي كبيرة

275
00:16:31,170 --> 00:16:33,750
لازم تكون converge طبعا هي converge لأنها في

276
00:16:33,750 --> 00:16:36,750
series P 2 سواء اثنين أكبر من واحد وبالتالي بالـ

277
00:16:36,750 --> 00:16:38,910
comparison test الصممش اللي absolute لـ ال an

278
00:16:38,910 --> 00:16:43,650
convergence إذا الصممش التي لـ ال an تبعتي converge

279
00:16:43,650 --> 00:16:44,470
absolutely

280
00:16:48,180 --> 00:16:50,980
Test summation ناقص واحد اس n لإن الـ n على n 

281
00:16:50,980 --> 00:16:53,120
تربيع زائد واحد for absolute and conditional

282
00:16:53,120 --> 00:16:53,800
convergence

283
00:17:18,550 --> 00:17:22,670
بحيث أنه شوفوا عليكم يا جماعة دا بيطر طبعا بنعرف أن لن

284
00:17:22,670 --> 00:17:25,150
الـ N أقل أو يساوي الـ N أو الـ C والـ C أكبر من الصفر

285
00:17:25,150 --> 00:17:29,270
بنقسم الطرفين على N تربيع زائد واحد الآن بدي أنا

286
00:17:29,270 --> 00:17:34,130
أتخلص هنا من الواحد لما أصغر المقام بيكبر الكسر

287
00:17:34,130 --> 00:17:37,890
بيكبر الكسر فبشيل الموجب بواحد بخلي بس N تربيع

288
00:17:37,890 --> 00:17:42,350
فبتصير الكسر كله يا إيش بيكبر الآن بننزل .. بنطرح لنا

289
00:17:42,350 --> 00:17:45,630
الأسس بتصير 1 على 2 ناقص C الآن هذه ما هي

290
00:17:45,630 --> 00:17:49,050
الكبيرة بديها تكون converge عشان تكون converge لأن

291
00:17:49,050 --> 00:17:53,530
2 ناقص C تكون أكبر من 1 فلو اخترت C تساوي نص يعني

292
00:17:53,530 --> 00:17:58,250
C .. لد C تساوي نص بتصير هذه N أس 3 على 2 أكبر 

293
00:17:58,250 --> 00:18:02,070
من 1 converge إذن بتصير عندنا لن الـ N على N أس

294
00:18:02,070 --> 00:18:07,270
زائد 1 أقل من 1 على N أس 3 على 2 الآن الـ

295
00:18:07,270 --> 00:18:11,850
summation لـ 1-3 ع 2 converge لأنها P Series P

296
00:18:11,850 --> 00:18:15,930
تساوي 3 ع 2 أكبر من 1 إذا صارت هذه الـ summation

297
00:18:15,930 --> 00:18:18,910
بالـ absolute value converge وبالتالي الـ series

298
00:18:18,910 --> 00:18:20,790
تبعتي converge absolutely

299
00:18:29,010 --> 00:18:32,130
السؤال اللي بعده summation ناقص واحد قوس N في الـ Inter

300
00:18:32,130 --> 00:18:35,350
P على Inter K زائد واحد قلنا كل هذه الأسئلة

301
00:18:35,350 --> 00:18:39,300
نشوفها converge absolute أو conventional الآن نشوف 

302
00:18:39,300 --> 00:18:41,860
الـ Absolute Value اللي هي summation بيروح من أس

303
00:18:41,860 --> 00:18:43,860
واحد و أس N بيظهر الـ Inter V على Inter K زائد

304
00:18:43,860 --> 00:18:47,180
واحد الآن بدنا نعمل على هذه الـ test إن خمسة test

305
00:18:47,180 --> 00:18:50,040
نستخدمها نستخدم طبعا هنا limit comparison test

306
00:18:50,040 --> 00:18:53,000
يعني بأخذ أعلى أس في الـ bus على أعلى أس في المقام

307
00:18:53,000 --> 00:18:56,680
فبطلع عندي واحد على N الآن الـ serious تبعتي أول

308
00:18:56,680 --> 00:19:00,320
إيش طبعا بشوف الـ limit إن هم التنتين جروا دسمريات

309
00:19:00,820 --> 00:19:03,460
فالـ limit هذه على هذه بطلع الـ limit واحد يبقى الـ

310
00:19:03,460 --> 00:19:06,080
two two grow at the same rate summation اللي واحد على

311
00:19:06,080 --> 00:19:09,360
n diverge لأنها harmonic series وبالتالي الـ series

312
00:19:09,360 --> 00:19:12,100
of positive terms هذه للـ absolute value diverge

313
00:19:12,100 --> 00:19:16,280
هذا لا يؤدي إن الـ series تبعتي الأصلية diverge إذن

314
00:19:16,280 --> 00:19:18,980
we have to apply the three conditions مدام هذه

315
00:19:18,980 --> 00:19:22,680
diverge بنروح نحقق التلات شروط نشوف هم متحققة ولا

316
00:19:22,680 --> 00:19:26,930
لأ الـ UN تساوي N تربيع على N تكعيب زائد واحد طبعا

317
00:19:26,930 --> 00:19:31,710
هي موجبة المشتقة تبعتها اللي هي N في 2 ناقص N

318
00:19:31,710 --> 00:19:36,150
تكعيب على هذا الكلام الآن لما الـ N عند الواحد لو

319
00:19:36,150 --> 00:19:39,130
بدبدها من واحد بتظلها positive يعني لكن لو N

320
00:19:39,130 --> 00:19:41,410
بدلتها من 2 بيصير هذا اللي هذا إيش هذا term

321
00:19:41,410 --> 00:19:44,950
negative يبقى N أكبر أو يساوي الـ 2

322
00:19:44,950 --> 00:19:49,170
بتكون هذه decreasing إذن هنا بدأنا إعاشة هنا من

323
00:19:49,170 --> 00:19:51,690
2 مافي مشكلة الـ series المبنية من واحد وهنا 

324
00:19:51,690 --> 00:19:55,050
انطبق الشرط من 2 الـ limit لـ UN بيه على

325
00:19:55,050 --> 00:19:57,610
UN كإزاحة الواحد يساوي صفر لأن درجة الـ bus أقل

326
00:19:57,610 --> 00:20:00,950
من درجة المقام وبالتالي التلات شروط تحققت إذن الـ

327
00:20:00,950 --> 00:20:03,210
series في هذه الحالة بتقوم convert conditionally

328
00:20:03,210 --> 00:20:05,330
convert conditionally إيش يعني convert

329
00:20:05,330 --> 00:20:08,230
conditionally يعني بالـ absolute value diverse لكن

330
00:20:08,230 --> 00:20:13,970
مش التلات شروط تحققت conditions يعني الشروط طيب السؤال

331
00:20:13,970 --> 00:20:17,170
اللي بعده summation ناقص 1 أس N N ثلاثة أس N على

332
00:20:17,170 --> 00:20:20,830
أربعة أس N الآن summation للـ absolute value للـ AN

333
00:20:20,830 --> 00:20:24,430
اللي هي بتروح ناقص واحد أس N بضل الباقي الآن هذا

334
00:20:24,430 --> 00:20:29,950
بدنا نعمله test اللي بدنا نعمله الـ root test الآن 

335
00:20:29,950 --> 00:20:33,110
الجذر الـ N للـ absolute value للـ AN اللي هي N أس

336
00:20:33,110 --> 00:20:36,710
واحد على N وثلاثة وأربعة بروت الأس N تبعها الـ

337
00:20:36,710 --> 00:20:39,710
Unlimited لـ N أس 1 على N بالـ Table يساوي 1 فبضل

338
00:20:39,710 --> 00:20:43,410
عندي 3 على 4 الـ 3 على 4 أقل من 1 وبالتالي الـ

339
00:20:43,410 --> 00:20:47,450
series تبعتي converge بالـ root test بالـ root test إذا

340
00:20:47,450 --> 00:20:49,530
مين اللي converge ليه الـ absolute value وبالتالي

341
00:20:49,530 --> 00:20:52,710
الـ series تبعتي بيقول عنها converge absolutely

342
00:20:52,710 --> 00:20:57,070
عفوا absolutely مشكلة هذه مخطئش بدلها absolutely

343
00:20:57,070 --> 00:21:03,950
absolutely converge طيب summation ناقص 5 أس N على N

344
00:21:03,950 --> 00:21:08,150
زائد 5 أس N طبعا هنا هذه ناقص 5 أس N هي ناقص 1

345
00:21:08,150 --> 00:21:11,190
أس N في 5 أس N لما أبدأ أجيب الـ absolute value

346
00:21:11,190 --> 00:21:14,830
بتشيل ناقص 1 أس N بيبقى 5 أس N على N زائد 5 أس

347
00:21:14,830 --> 00:21:20,550
N الآن بدنا نشوف إيش .. نعمل هذه اللي هو الـ ..

348
00:21:20,550 --> 00:21:24,090
نشوف هي converge ولا diverge الآن لاحظت أنا من

349
00:21:24,090 --> 00:21:28,210
الأول أنه درجة الـ bus تساوي درجة المقام لأن خمسة 

350
00:21:28,210 --> 00:21:31,070
أس 2 أكبر أكبر من الـ N وبالتالي أعلى درجة الـ bus

351
00:21:31,070 --> 00:21:34,010
خمسة أس 2 وأعلى درجة المقام خمسة أس 2 زي بعض

352
00:21:34,010 --> 00:21:38,850
فلاحظت إنه لو عملت الـ limit إلها بطلع لا يساوي صفر

353
00:21:38,850 --> 00:21:42,650
فالـ limit خمسة أس 2 على N زائد خمسة أس 2 قسمنا على

354
00:21:42,650 --> 00:21:45,650
خمسة أس 2 الـ bus والمقام طلع واحد وهنا N على

355
00:21:45,650 --> 00:21:49,150
خمسة أس 2 زائد واحد لأن N على خمسة أس 2 لو عملنا 

356
00:21:49,150 --> 00:21:52,010
اللوبيتال وبطلع الـ limit إلها صفر وبالتالي الـ limit

357
00:21:52,010 --> 00:21:55,550
لهذه بيطلع هو واحد والواحد لا يساوي صفر يبقى بالـ

358
00:21:55,550 --> 00:21:59,350
end of test الـ series تبعتنا هو diverse الـ series

359
00:21:59,350 --> 00:22:02,830
diverse إذا الـ absolutely diverse يبقى إيش بدنا 

360
00:22:02,830 --> 00:22:06,990
نعمل بدنا نروح نعمل بـ three conditions لـ three

361
00:22:06,990 --> 00:22:10,610
conditions ناخد الـ UN هي الـ UN تبعتي الـ UN طبعا 

362
00:22:10,610 --> 00:22:15,420
موجبة UN prime تساوي هذا الكلام هي المشتقة المشتقة 

363
00:22:15,420 --> 00:22:18,080
مش فيها إشارة سالبة بالمرة وكل الـ terms موجبة

364
00:22:18,080 --> 00:22:21,820
وبالتالي المشتقة تبعتي موجبة يعني الـ UN increasing

365
00:22:21,820 --> 00:22:25,180
إذا الشرط الثاني فقط increasing وبالتالي هذا الـ

366
00:22:25,180 --> 00:22:30,260
test يا إيش fail يبقى بدنا نروح يا إيش نعمل test آخر

367
00:22:30,260 --> 00:22:33,800
اللي هو الـ nth term test الـ Nth term test اللي هو 

368
00:22:33,800 --> 00:22:37,180
بدي أجيب الـ limit لـ ناقص 5 أس N على N زائد 5 أس N 

369
00:22:37,180 --> 00:22:41,800
يساوي الـ limit ناقص 1 أس N في 5 أس N على هذا طبعا

370
00:22:41,800 --> 00:22:44,560
هذا الـ limit تبعه طلع 1 يعني الـ limit كله بيطلع 

371
00:22:44,560 --> 00:22:47,940
موجب أو سالب 1 لا يساوي 0 وبالتالي الـ series تبعتي

372
00:22:47,940 --> 00:22:51,760
diverge الـ series يا إيش diverge طبعا أنا عملت كل هذا

373
00:22:51,760 --> 00:22:55,800
للي إيش بيلاحقوش لكن أنت من الأول من هنا لو لاحظت

374
00:22:55,800 --> 00:22:59,670
من البداية من هنا تعمل الـ Nth term test لأنه هو حتى

375
00:22:59,670 --> 00:23:02,110
من هنا لما عملنا الـ limit طلع واحد وبس اللي

376
00:23:02,110 --> 00:23:04,990
بيفرق ناقص واحد قوس N وناقص واحد قوس N limit

377
00:23:04,990 --> 00:23:07,730
هموجب أو سالب واحد وبالتالي بتظلها لا يساوي صفر

378
00:23:07,730 --> 00:23:11,350
إذا من الأول من البداية ولو عملنا الـ nth term test

379
00:23:11,350 --> 00:23:14,830
وطلع إنه لا يساوي صفر واستوقفنا فيش داعي نعمل كل

380
00:23:14,830 --> 00:23:18,890
هذا كل هذا مش داعي يا إيش إن احنا نلجأ إليه نلجأ إليه

381
00:23:18,890 --> 00:23:23,310
لكن أنا عملت كله علشان أنتم تشوفوا الخطوات اللي 

382
00:23:23,310 --> 00:23:28,320
بنمشي فيها وبالأخر بنوصل لكن ممكن الخطوة الأخيرة

383
00:23:28,320 --> 00:23:32,200
من البداية إننا نعملها طيب الـ summation ناقص واحد 

384
00:23:32,200 --> 00:23:35,660
أس N factorial كل تربيع على تلاتة N factorial الـ

385
00:23:35,660 --> 00:23:38,580
series للـ quotient term هي عبارة عن ناقص واحد أس N 

386
00:23:38,580 --> 00:23:41,500
بنطيرها بضل N factorial تربيع على تلاتة N

387
00:23:41,500 --> 00:23:44,760
factorial طبعا وجود الـ factorial بيحتم علي أني 

388
00:23:44,760 --> 00:23:48,840
لازم أستخدم الـ ratio test فبنجيب U N زائد واحد على U N

389
00:23:48,840 --> 00:23:52,440
يساوي بنروح بالـ U N زائد واحد بنحط بدل الـ N N زائد

390
00:23:52,440 --> 00:23:55,400
واحد وهنا N زائد واحد بتصير يعني تلاتة N زائد 

391
00:23:55,400 --> 00:23:59,280
تلاتة على الـ AN أو الـ UN اللي هي مقلوبة ضرب 

392
00:23:59,280 --> 00:24:03,000
مقلوبة الاب بدنا نفك هذه لما نوصلها للـ N فبتصير N

393
00:24:03,000 --> 00:24:06,280
زائد واحد تربيع ونفك هذه لما نوصلها لتلاتة N 

394
00:24:06,280 --> 00:24:09,420
فبنفكها تلاتة N زائد تلاتة في تلاتة N زائد 2 

395
00:24:09,420 --> 00:24:14,270
في تلاتة N زائد 1 لأن درجة الـ bus 2 ودرجة المقام

396
00:24:14,270 --> 00:24:17,850
3 وبالتالي درجة الـ bus أقل من درجة المقام يبقى

397
00:24:17,850 --> 00:24:22,110
limit يساوي صفر والصفر أقل من الواحد يبقى by the

398
00:24:22,110 --> 00:24:27,290
ratio test الـ series تبعتي converge وبالتالي مدام

399
00:24:27,290 --> 00:24:30,230
الـ series طلعت converge إذا الـ summation الـ series 

400
00:24:30,230 --> 00:24:32,890
تبعتنا الأصلية بتكون converge absolutely

401
00:24:35,770 --> 00:24:39,130
الأخر شيء بنتعرف عليه الـ Alternating P Series زي 

402
00:24:39,130 --> 00:24:42,270
ما فيه عندنا P Integral وقارننا بـ P Series فهنا

403
00:24:42,270 --> 00:24:45,970
Alternating P Series إيش الـ Alternating P Series؟

404
00:24:45,970 --> 00:24:50,070
اللي نفس الـ P Series بنضيف عليها ناقص 1 أس N أو أس N

405
00:24:50,070 --> 00:24:52,470
زائد واحد طبعا الـ P دائما موجبة

406
00:24:57,200 --> 00:25:00,720
النتيجة دائما Converge لكن في عندي نوعين من الـ

407
00:25:00,720 --> 00:25:03,980
conversion تبعتها إذا كانت الـ P أكبر من 1 تكون

408
00:25:03,980 --> 00:25:06,640
Converge Absolutely إذا كانت الـ P أقل أو يساوي 1 تكون

409
00:25:06,640 --> 00:25:09,100
Converge Conditionally تعالوا نشوف هذا كيف طلع

410
00:25:09,100 --> 00:25:12,720
تبعه الآن لو .. بنجيب الـ summation الـ absolute

411
00:25:12,720 --> 00:25:15,800
value للـ AN اللي هي summation 1 على N أس P الآن

412
00:25:15,800 --> 00:25:18,520
صارت الـ P series الأصلية هذه converge إذا كانت P

413
00:25:18,520 --> 00:25:21,040
أكبر من واحد يبقى converge يبقى الـ absolutely

414
00:25:21,040 --> 00:25:23,900
converge معناه ذلك إنه الـ summation على AN 

415
00:25:23,900 --> 00:25:26,640
converge absolutely يبقى converge absolutely إذا

416
00:25:26,640 --> 00:25:29,960
كانت P أكبر من واحد حين خلصنا من هذه لكن الـ P

417
00:25:29,960 --> 00:25:32,840
series هذه بالـ absolute value diverge إذا كانت الـ

418
00:25:32,840 --> 00:25:35,540
P أقل أو يساويها يبقى في هذه الحالة test fail

419
00:25:35,540 --> 00:25:39,760
بموجب نطبق التلات شروط التلات شروط لمين لهذه الحالة P

420
00:25:39,760 --> 00:25:43,040
أقل أو يساوي واحد بنطبق التلات شروط هي الـ UN 1 على 

421
00:25:43,040 --> 00:25:47,940
N أقصى P الشروط تبعتها UN موجبة و UN ناقص P على N

422
00:25:47,940 --> 00:25:51,340
أقصى P زائد واحد سالب وبالتالي ال UN decreasing 

423
00:25:51,340 --> 00:25:53,940
limit تبعتها يساوي صفر إذا الثلاث شروط انطبقت

424
00:25:53,940 --> 00:25:56,740
وبالتالي ال series converged conditionally for P

425
00:25:56,740 --> 00:26:00,580
أقل أو يساوي واحد فهذه هي ال alternating P

426
00:26:00,580 --> 00:26:04,740
series لأن على طول ممكن أنت تكتبي الإجابة تبعتها

427
00:26:04,740 --> 00:26:07,560
يبقى هذي converged absolutely لو كانت ال P أكبر من 

428
00:26:07,560 --> 00:26:10,250
واحد، لو كانت ال P أقل أو يساوي هت converge

429
00:26:10,250 --> 00:26:16,550
conditionally هي كلها دائماً بتكون  ash converge لكن 

430
00:26:16,550 --> 00:26:21,610
أنواع ال conversion تبعتها على حسب قيمة ال P وبهيك 

431
00:26:21,610 --> 00:26:25,630
بنكون خلصنا هذا ال section ال alternating series