1
00:00:00,800 --> 00:00:04,740
اليوم دي ان شاء الله نكمل في شبتر عشرة نحكي عن الـ

2
00:00:04,740 --> 00:00:09,160
series infinite series section عشرة أربعة بنحكي عن

3
00:00:09,160 --> 00:00:14,240
كمان testين من ال testات اللي ذكرناها اللي هو

4
00:00:14,240 --> 00:00:17,100
اليوم راح نحكي عن ال testين أخدناهم بالتكامل اللي

5
00:00:17,100 --> 00:00:19,720
هو ال comparison و limit comparison test

6
00:00:22,580 --> 00:00:25,940
الـ Comparison Test طبعا قبل ما نحكي من الراجع

7
00:00:25,940 --> 00:00:28,200
بالأول إيش اللي أخدناه ال test اللي أخدناها طبعا

8
00:00:28,200 --> 00:00:31,020
فيه يعني ماقلنا خمس testات إحنا راح ناخدها لل

9
00:00:31,020 --> 00:00:33,760
series of positive terms إيش يعني ال series of

10
00:00:33,760 --> 00:00:36,280
positive terms؟ يعني ال series ال A and هدولة كلهم

11
00:00:36,280 --> 00:00:39,620
موجبين يعني باتكلمش عن إيه يكون A and فيها موجة

12
00:00:39,620 --> 00:00:45,020
بسالب أوي يعني series من نوع آخر لكن لازم ال A and

13
00:00:45,020 --> 00:00:48,040
تكون دائما كل الفدوط بعيدها موجة بقى أكبر من السفر

14
00:00:49,940 --> 00:00:52,860
أخدنا النوع الأول أو الـ test الأول اللي هو الـ

15
00:00:52,860 --> 00:00:55,940
Integral Test وقلنا إيه الشروط و إمتى بنستخدمه

16
00:00:55,940 --> 00:00:58,420
الآن ال test التاني اللي راح نستخدمه اسمه ال

17
00:00:58,420 --> 00:01:01,700
comparison test ال comparison test زي ال test اللي

18
00:01:01,700 --> 00:01:03,880
مار معناه في التكامل كيف يعملنا للـ improper

19
00:01:03,880 --> 00:01:08,960
integral هذا ال test اللي هو بروح بدي أنا ال

20
00:01:08,960 --> 00:01:12,680
series لل AN بدي أشوفها هل هي converge ولا diverge

21
00:01:12,680 --> 00:01:16,830
بشوف series تانية مثلا ال series CNكيف بدأ أختار

22
00:01:16,830 --> 00:01:20,890
ال CN؟ ال CN بحيث تكون أكبر من ال AN إذا كان جيبت

23
00:01:20,890 --> 00:01:24,830
CN أكبر من ال AN لازم تكون ال series تبع ال CN

24
00:01:24,830 --> 00:01:27,770
converge لأن هي الكبيرة لازم تكون converge عشان

25
00:01:27,770 --> 00:01:32,150
الصغيرة تكون converge إذا كان لقيت CN أكبر من ال

26
00:01:32,150 --> 00:01:36,770
AN for all N أكبر من N رقم معين N مش ضروري من

27
00:01:36,770 --> 00:01:41,210
بداية ال series و ال series على ال CN كانت

28
00:01:41,210 --> 00:01:44,710
converge بتكون ال series تبع ال AN convergeاذ كان

29
00:01:44,710 --> 00:01:48,130
مالاقيتش واحدة كبيرة بروح بجيب واحدة إيش صغيرة dn

30
00:01:48,130 --> 00:01:51,950
تكون أقل من ال an أصغر منها الصغيرة هنا لازم تكون

31
00:01:51,950 --> 00:01:55,530
diverse والكبيرة تكون diverse فإذا كانت ال series

32
00:01:55,530 --> 00:01:58,530
على ال dn diverse فبتكون ال series على ال an

33
00:01:58,530 --> 00:02:02,250
diverse إذا إذا كان ال cn summation cn converge

34
00:02:02,250 --> 00:02:05,070
فال summation على ال an also converge إذا كان ال

35
00:02:05,070 --> 00:02:07,410
summation على ال dn اللي هي الصغيرة diverse فال

36
00:02:07,410 --> 00:02:11,630
summation على ال an diverse also converge هاي إيش

37
00:02:11,630 --> 00:02:16,000
النظرية ونشوف إيش الأمثلةنطبق عليها هذه النظرية

38
00:02:16,000 --> 00:02:19,240
طبعا الشرط الوحيد انه series of positive terms

39
00:02:19,240 --> 00:02:26,100
test summation لsin تربية N على خمسة أس N الان sin

40
00:02:26,100 --> 00:02:28,760
تربية يعني معنادلك ليش حتى التربية ماخلهاش sin

41
00:02:28,760 --> 00:02:33,080
لحالها بمعنادلك ايش ضمنها انه ال series تبعتي of

42
00:02:33,080 --> 00:02:35,520
positive terms لو كانت sin لحالة بينه التربية

43
00:02:35,520 --> 00:02:39,140
بيكون ال sin مرات تاخد موجب سالب موجب مرات موجب و

44
00:02:39,140 --> 00:02:43,330
مرات سالبة مابتظبطش ان اعمل عليها دا ال testعشان

45
00:02:43,330 --> 00:02:46,350
هي أغطنيها sign تربيع الآن بدنا نستخدم ال

46
00:02:46,350 --> 00:02:49,090
comparison test دايما بنعرف أن ال sign أقل أو

47
00:02:49,090 --> 00:02:51,410
يساوي الواحد وبالتالي ال sign تربيع برضه أقل أو

48
00:02:51,410 --> 00:02:55,670
يساوي الواحد بدنا نقسم الطرفين هدول على خمسة أُس N

49
00:02:55,670 --> 00:02:59,560
بنقسم على خمسة أُس N أسمنة على مقدار موجبوبالتالي

50
00:02:59,560 --> 00:03:02,960
تبقى إشارة الـ inequality زي ما هي إذا وجدنا هنا

51
00:03:02,960 --> 00:03:06,720
series 1 على 5 أُس N اللي هي أكبر منها لازم تكون

52
00:03:06,720 --> 00:03:09,460
هذه ال series عليها converge طيب نشوف هل هذه

53
00:03:09,460 --> 00:03:13,060
converge ولا لأ طبعا 1 على 5 أُس N هي 5 أُس N إيش

54
00:03:13,060 --> 00:03:15,640
هي 5 أُس N من اللي مر علينا في section 2؟

55
00:03:25,160 --> 00:03:29,360
والخمس أقل من الواحد مع أن الـ Series A تتغير في

56
00:03:29,360 --> 00:03:32,800
الـ Test دا معظم اللي راح نستخدمهم إما Geometric

57
00:03:32,800 --> 00:03:35,440
Series أو P Series اللي راح يكون المقارنات معاهم

58
00:03:35,440 --> 00:03:38,700
يعني لا يحتاجوا أنه Test آخر أوأشوفهم لأ من

59
00:03:38,700 --> 00:03:41,000
الأشياء اللي احنا حافظينها إما الـ Geometric

60
00:03:41,000 --> 00:03:48,620
Series أو الـ P Series إذن هاد الـ Geometric

61
00:03:48,620 --> 00:03:51,420
Series Converge وبالتالي مادام الكبيرة Converge

62
00:03:51,420 --> 00:03:54,380
إذن الصغيرة Converge By comparison test the series

63
00:03:54,380 --> 00:04:00,100
converge مثال اتنين مثال اتنين بقول ال test

64
00:04:00,100 --> 00:04:03,160
summation واحد على جذر لن ال N for convergence

65
00:04:03,160 --> 00:04:07,950
واحد على جذر لن ال Nلن الـ N دايما أقل أوي ساوي N

66
00:04:07,950 --> 00:04:11,650
طبعا نعرف أن الـ N بتقلل من القيمة يعني لن 2 أقل

67
00:04:11,650 --> 00:04:15,970
من 2 لن 3 أقل من 3 و هكذا لن ال N أقل أوي ساوي ال

68
00:04:15,970 --> 00:04:19,350
N لو أخدنا الجذر التربيعي للطرفين بتظل الإشارة أقل

69
00:04:19,350 --> 00:04:23,150
مش مشكلة لأن الجذر increasing فجذر هادي أقل أوي

70
00:04:23,150 --> 00:04:26,810
ساوي جذر هاديالان بدنا نقلب واحد على واحد على

71
00:04:26,810 --> 00:04:29,950
بتغير إشارة ال inequality يبقى لما نقلب الطرفين

72
00:04:29,950 --> 00:04:33,310
أقلب هذا مقلب هذا إشارة ال inequality هذه الأصغر

73
00:04:33,310 --> 00:04:37,650
بتصير أكبر بتصير أكبر إذا ال function هذه تبعتي أو

74
00:04:37,650 --> 00:04:43,830
ال series ال end أكبر من هذه هذه الصغيرة اللي هي

75
00:04:43,830 --> 00:04:47,530
لازم تكون diverse لو ماكنتش diverse مظبوطش ال test

76
00:04:47,530 --> 00:04:51,590
معانا1 على جذر ال N التي هي 1 على N أقص نص الان ال

77
00:04:51,590 --> 00:04:55,110
series تبعت 1 على N أقص نص هذه عبارة عن P series P

78
00:04:55,110 --> 00:04:59,230
تساوي نص و النص أقل من 1 diverse يبقى فعلا إيش

79
00:04:59,230 --> 00:05:02,770
طلعت معايا الصغيرة diverse إذا الكبيرة إيش بتكون

80
00:05:02,770 --> 00:05:05,650
برضه diverse يبقى by comparison test the series

81
00:05:05,650 --> 00:05:06,590
diverse

82
00:05:11,560 --> 00:05:14,800
Test Summation tan inverse N على N تربيع زائد N

83
00:05:14,800 --> 00:05:17,100
زائد واحد بدنا نشوف في هذه ال series هل هي

84
00:05:17,100 --> 00:05:20,680
converge ولا diver طبعا أولش نبدأ بال tan inverse

85
00:05:20,680 --> 00:05:23,320
tan inverse N معروفة أقل أو يساوي باية على اتنين

86
00:05:23,320 --> 00:05:25,800
tan inverse دايما محصورة من نقص باية على اتنين

87
00:05:25,800 --> 00:05:28,480
لباية على اتنين يبقى هاي tan inverse N هاي نحطلها

88
00:05:28,480 --> 00:05:31,960
في المربع عشان تحفظوه ما دولة برضه المفيدين جدا

89
00:05:31,960 --> 00:05:38,060
عندك ال sine و ال cosine أقل أو يساوي واحد و ال N

90
00:05:38,060 --> 00:05:43,100
أقل من ال Nالـ 10 inverse أقل من البيعة 2 الآن

91
00:05:43,100 --> 00:05:47,260
بنقسم الطرفين على المقام هذا بنقسم ال 10 inverse

92
00:05:47,260 --> 00:05:50,880
وهي البيعة 2 بنقسمهم على المقام حصلنا على هذه، هذه

93
00:05:50,880 --> 00:05:55,260
لسه برضه مش معروفة وكبيرة بنبسط في المقام هذا الآن

94
00:05:55,260 --> 00:05:58,360
إن تربيع ودفنالها إن ودفنالها ودفنالها مقدار موجب

95
00:05:58,580 --> 00:06:02,640
الانتربيع دفنالها موجة بنحذفه هذا لأن هذا أكبر

96
00:06:02,640 --> 00:06:05,780
منها من الانتربيع لإنه دفنالها شغلة موجة بقى

97
00:06:05,780 --> 00:06:09,540
الواحد عالى بتصير إيش أقل يبقى هذا بتصير إيش أقل

98
00:06:09,540 --> 00:06:13,520
من هذا يبقى لما أرفع مقدار موجة من المقام المقام

99
00:06:13,520 --> 00:06:17,540
إيش يعني زغرته فبالتالي الكاسر كله بيكبر الكاسر

100
00:06:17,540 --> 00:06:22,610
كله بيكبريبقى هذا كله أقل من بيعة 2 على N تربية

101
00:06:22,610 --> 00:06:25,930
إذا هنا إيش حصلنا على هذه؟ هذه هي بالحالة المبسطة

102
00:06:25,930 --> 00:06:28,630
اللي أنا ممكن أشوفها هل هي converge ولا diverge

103
00:06:28,630 --> 00:06:32,210
إذا سيريز على بيعة 2 على N تربية سواء بيعة 2

104
00:06:32,210 --> 00:06:35,510
الصماش 1 على N تربية طبعا هذه الـ Series هي عبارة

105
00:06:35,510 --> 00:06:39,010
عن الـ P Series والـ P تساوية 2 أكبر من 1 وبالتالي

106
00:06:39,010 --> 00:06:42,190
converge إذا هذه الـ Series تبعتنا converge إذا

107
00:06:42,190 --> 00:06:45,730
الـ Series تبعتها converge وبالتالي هذهماذا نسميه

108
00:06:45,730 --> 00:06:49,590
Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent

109
00:06:49,590 --> 00:06:49,670
لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة

110
00:06:49,670 --> 00:06:54,630
Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة

111
00:06:54,630 --> 00:06:56,970
Convergent لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent

112
00:06:56,970 --> 00:07:04,530
لكبيرة Convergent لكبيرة Convergent لكبير

113
00:07:04,530 --> 00:07:06,630
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

114
00:07:06,630 --> 00:07:09,030
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

115
00:07:09,030 --> 00:07:09,650
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

116
00:07:09,650 --> 00:07:11,490
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

117
00:07:11,490 --> 00:07:12,630
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

118
00:07:12,630 --> 00:07:12,630
Convergent لكبير Convergent لكبير Convergent لكبير

119
00:07:12,630 --> 00:07:16,110
Convergent لكبير2-1 2 بيصيروا متساويين طيب مضروب

120
00:07:16,110 --> 00:07:19,710
التلاتة ستة ستة مضروب التلاتة تلاتة ناقص واحد

121
00:07:19,710 --> 00:07:22,850
تلاتة ناقص واحد اتنين اتنين تربيع اربع يبقى ستة

122
00:07:22,850 --> 00:07:27,090
اكبر من الأربع وهكذا هذه العبارة دائما صحيحة if

123
00:07:27,090 --> 00:07:29,610
factorial أكبر أو يساوي اتنين و نص if ناقص واحد

124
00:07:29,800 --> 00:07:33,280
الان احنا بدنا 1 على 1 على N factorial يبقى بنقلب

125
00:07:33,280 --> 00:07:36,360
الطرفين وبالتالي إشارة ال inequality برضه الأكبر

126
00:07:36,360 --> 00:07:39,740
بتصير أصغر يبقى حصلنا على هذه ال inequality ان 1

127
00:07:39,740 --> 00:07:43,340
على N factorial أقل أو يساوي 1 على 2 أس N ناقص 1

128
00:07:43,930 --> 00:07:47,130
الان هذه اللي كبيرة لازم تكون converge طب تعالى

129
00:07:47,130 --> 00:07:50,530
نشوف مع بعض هل هي converge ولا لأ 1 ع 2 أثنين ناقص

130
00:07:50,530 --> 00:07:53,590
واحد عبارة عن نص أثنين ناقص واحد يعني عبارة عن R

131
00:07:53,590 --> 00:07:56,770
أثنين وقبل تالي هذي Geometric Series الـR تساوي نص

132
00:07:56,770 --> 00:07:59,890
أقل من واحد إذا ال Series Converge Geometric

133
00:07:59,890 --> 00:08:03,750
Series Converge يبقى ال Series تبعها Converge وهي

134
00:08:03,750 --> 00:08:06,370
الكبيرة يبقى ال Series تبعها دي برضه بتكون

135
00:08:06,370 --> 00:08:08,810
Converge By Comparison Test

136
00:08:12,380 --> 00:08:17,380
Summation Tangent in على in تربيع طبعا معروفة الـ

137
00:08:17,380 --> 00:08:20,260
Tangent أنها أقل أو يساوي واحد فهي نحط نقل مربع

138
00:08:20,260 --> 00:08:23,920
عشان دول كلهم تتذكروها وتحفظوهم ال Tangent أقل أو

139
00:08:23,920 --> 00:08:26,240
يساوي الواحد ال Tangent محصورة دائما من ناقص واحد

140
00:08:26,240 --> 00:08:30,130
لواحدتانش ال N أقل أوي سوى واحد لأننا نقسم الطرفين

141
00:08:30,130 --> 00:08:33,890
على N تربية مقدار موجب نقسم عليه تانش N على N

142
00:08:33,890 --> 00:08:36,530
تربية أقل من واحد على N تربية لأن هذه مين؟ هذه

143
00:08:36,530 --> 00:08:41,970
الكبيرة الكبيرة لازم تكون converge لأنها P Series

144
00:08:41,970 --> 00:08:46,050
P تساوي اتنين اكبر من واحد وبالتالي converge يبقى

145
00:08:46,050 --> 00:08:47,930
ال series الكبيرة converge إذا ال series على

146
00:08:47,930 --> 00:08:50,070
الأصغر بتكون برضه converge

147
00:08:55,790 --> 00:09:00,150
فصمعش الواحد على لن ال N لكل تربيع، الآن في عبارة

148
00:09:00,150 --> 00:09:05,410
في المربع برضه تحفظوها ان لن ال N أقل أو يساوي N

149
00:09:05,410 --> 00:09:09,830
أو C for any positive number C لأي عدد C لن ال N

150
00:09:09,830 --> 00:09:14,070
أقل من N أو C يعني قبل شوي احنا أخدنا مثال ان لن

151
00:09:14,070 --> 00:09:17,700
ال N أقل أو يساوي Nوهذه صحيحة يعني الـC تساوي واحد

152
00:09:17,700 --> 00:09:21,320
طب أقل من N أقص نص برضه صحيحة أقل من N أقص تلت

153
00:09:21,320 --> 00:09:26,100
برضه صحيحة أقل من N أقص سرق صحيحة دائما هذه صحيحة

154
00:09:26,100 --> 00:09:29,980
بس الـC تكون H أكبر من سفر طبعا لا تساوي سفر أكبر

155
00:09:29,980 --> 00:09:34,620
من سفر نص تلت ربع خمس اتنين تلاتة أربعة أي عدد بس

156
00:09:34,620 --> 00:09:39,370
يكون أكبر من بالسفر دائما هذه العلاقة صحيحةطيب

157
00:09:39,370 --> 00:09:42,590
إحنا بدنا يبقى لن ال N أقل أو سوى N²C بعدين بنختار

158
00:09:42,590 --> 00:09:45,310
C على حسب هدف بتاعتي المرونة في ال converge و ال

159
00:09:45,310 --> 00:09:50,010
divergence لن تربيع بدنا لن ال N تربيع أقل من N²C

160
00:09:50,010 --> 00:09:56,230
رفعنا الطرفين لتربيعالان بدنا 1 على 1 على 1 على 1

161
00:09:56,230 --> 00:09:56,470
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

162
00:09:56,470 --> 00:09:57,410
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

163
00:09:57,410 --> 00:09:57,410
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

164
00:09:57,410 --> 00:09:57,410
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

165
00:09:57,410 --> 00:09:57,530
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

166
00:09:57,530 --> 00:09:58,490
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

167
00:09:58,490 --> 00:10:06,390
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

168
00:10:06,390 --> 00:10:08,430
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

169
00:10:08,430 --> 00:10:08,430
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

170
00:10:08,430 --> 00:10:08,430
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

171
00:10:08,430 --> 00:10:08,430
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

172
00:10:08,430 --> 00:10:08,430
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

173
00:10:08,430 --> 00:10:08,430
على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1 على 1

174
00:10:08,430 --> 00:10:08,450
على 1 على 1 على

175
00:10:17,100 --> 00:10:23,880
لازم تكون اقل من او يساوي واحد يبقى we need

176
00:10:23,880 --> 00:10:27,900
summation 1 على 2 C to be diverse so which was C

177
00:10:27,900 --> 00:10:31,900
such that اتنين C اقل او يساوي واحد اتنين C اقل او

178
00:10:31,900 --> 00:10:34,680
يساوي واحد يعني C اقل او يساوي نصف يعني ممكن نختار

179
00:10:34,680 --> 00:10:38,220
مدام فيها يساوي ممكن اختارها نصف يبقى لما اختار C

180
00:10:38,220 --> 00:10:43,750
تساوي نصف C تساوي نصف فبتصير هذه أس Nيبقى هنا إياش

181
00:10:43,750 --> 00:10:48,050
فيه إنه مرونة لإني بدي إياها diverse فبختار الـC

182
00:10:48,050 --> 00:10:52,450
بحيث إن هذه تطلع معاه diverse بدي إياها converge

183
00:10:52,450 --> 00:10:55,350
بختار C بحيث إنها تكون converge بس لازم تكون هذه

184
00:10:55,350 --> 00:11:04,450
الإشارة أقل فبالتالي الآن نختار C تساوي نصصارت 1

185
00:11:04,450 --> 00:11:10,250
على N لن تربيع الـ N أكبر أو يساوي 1 على N الان ال

186
00:11:10,250 --> 00:11:13,230
summation لو 1 على N هي harmonic series diverse

187
00:11:13,230 --> 00:11:18,550
بنقول by comparison this is the series diverse راح

188
00:11:18,550 --> 00:11:22,250
ناخد برضه كمان مثال على ال N أُس C عشان تثبت

189
00:11:22,250 --> 00:11:25,910
المعلومة summation لن ال N لكل تربيع على N أُس 3 ع

190
00:11:25,910 --> 00:11:29,570
2 الان لن ال N برضه بنستخدم أقل أو يساوي N أُس C

191
00:11:31,140 --> 00:11:40,180
الانها دي بدنا

192
00:11:40,180 --> 00:11:42,920
نزلها على المقام بيصير تلاتة على اتنين ناقص اتنين

193
00:11:42,920 --> 00:11:48,660
C الانها دي مين هي هذه الكبيرة هي اقلهذا أقل من

194
00:11:48,660 --> 00:11:51,500
هذا لأن هذه هي الكبيرة بدنا الكبيرة إيش تكون

195
00:11:51,500 --> 00:11:55,380
convergent يبقى الأسس هذا كله بدنا نختاره بحيث

196
00:11:55,380 --> 00:11:58,280
يكون أكبر من الواحد عشان تكون convergent P series

197
00:11:58,280 --> 00:12:01,700
لازم تكون ال P أكبر من واحد يبقى we need summation

198
00:12:01,700 --> 00:12:05,450
لهذه to be convergentSo we choose 3 ع 2 نقص 2C

199
00:12:05,450 --> 00:12:09,870
أكبر من 1 طبعا ممكن تختاري أي C أي رقم بدك إياه

200
00:12:09,870 --> 00:12:13,610
مثلا انا اختارت تمان لما اختارت تمان ايش صارت هذه

201
00:12:13,610 --> 00:12:17,710
صارت N أقص 5 ع 4 هي أكبر من 1 ممكن تختاري رقم أخر

202
00:12:17,710 --> 00:12:23,080
مش مشكلةالمهم أن هذا الـP كلها تظهر أكبر من الواحد

203
00:12:23,080 --> 00:12:25,980
يبقى هنا اخترنا C شوف قدش الـC قدتني مرونة في

204
00:12:25,980 --> 00:12:30,340
الاختيار ماقلتزمش بإنه C تساوي واحد دايما لن لن

205
00:12:30,340 --> 00:12:33,380
أقل من N مش دايما تظبط معنا لكن لو حطيناها N أو

206
00:12:33,380 --> 00:12:38,480
الـC إحنا بنختار C بأي رقم إحنا بدنا إيا بحيث بدي

207
00:12:38,480 --> 00:12:42,580
Series converge بختارها C بحيث تكون converge بدي

208
00:12:42,580 --> 00:12:46,470
diverge بنختارها C بحيث تكون divergeالان الكبيرة

209
00:12:46,470 --> 00:12:49,810
هذه بدنياها converge فاخترنا C تساوي ثم انطلعت هذي

210
00:12:49,810 --> 00:12:53,110
Converge طبعا هذي Converge لإن ال P أكبر خمسة على

211
00:12:53,110 --> 00:12:56,090
أربع أكبر من الواحد وبالتالي By the comparison

212
00:12:56,090 --> 00:13:01,290
test the series converge summation

213
00:13:01,290 --> 00:13:06,350
لن ال N على N تكييب زائد جدر ال N لأن لن ال N أقل

214
00:13:06,350 --> 00:13:08,590
أو سوى ال N طبعا انا اخترت C من الأول تساوي واحد

215
00:13:08,590 --> 00:13:13,550
لأنه ضبطة يعني لن ال N أقل أو سوى ال N بتطبقلكن

216
00:13:13,550 --> 00:13:16,290
انت دايما تحطها الـC عادي فش مشكلة لو في الآخر

217
00:13:16,290 --> 00:13:20,270
تختاري الـC1 لأن الـN أقل أو ساوي الـN نقسم

218
00:13:20,270 --> 00:13:23,150
الطرفين على إنت كيب زائد جذر الـN على إنت كيب زائد

219
00:13:23,150 --> 00:13:26,110
جذر الـN طبعا هذه كبيرة هيك بالشكل هذا لأ أنا بدي

220
00:13:26,110 --> 00:13:29,710
أبسطها أكتر لأن إنت كيب زائد جذر الـN بدي أتخلص من

221
00:13:29,710 --> 00:13:34,070
جذر الـN باخد الكبيرة و أحذف هذه الصغيرة عشان

222
00:13:34,070 --> 00:13:40,690
أحذفها هذا أكبر من هذاولكن في المقام بيصير الكثر

223
00:13:40,690 --> 00:13:44,330
كله بيكبر، يبقى لما أنا أزغر المقام، الكثر كله

224
00:13:44,330 --> 00:13:47,630
بيكبر، زغرنا المقام، هذا المقام أصغر من المقام

225
00:13:47,630 --> 00:13:52,340
هذا، وبالتالي الكثر كله أكبر، صار هو الكبيرن على n

226
00:13:52,340 --> 00:13:55,560
تقعيد هي 1 على n تربيع يبقى هي ضبطت معناه 1 على n

227
00:13:55,560 --> 00:13:59,480
تربيع يبقى هذه أقل من 1 على n تربيع و ال series

228
00:13:59,480 --> 00:14:03,140
تبعت 1 على n تربيع هي P series P تسوى 2 أكبر من 1

229
00:14:03,140 --> 00:14:06,440
يعني converged يبقى by comparison test the series

230
00:14:06,440 --> 00:14:11,860
convergedوبهك إيش أخدنا هنا أمثلة متعددة على ال

231
00:14:11,860 --> 00:14:14,880
comparison test طبعا الأسهل منه هو limit

232
00:14:14,880 --> 00:14:19,380
comparison test طبعا سهل هذا ال test لأنه يستخدم

233
00:14:19,380 --> 00:14:21,840
لأسس في ال bus و أسس في المقام يعني ماينفعش تكون

234
00:14:21,840 --> 00:14:25,120
ال sign و ال design و ال link و لغريات مشغلة زيها

235
00:14:25,120 --> 00:14:28,560
بنستخدملها إذا كان وجدت هذه ال functions أو ال

236
00:14:28,560 --> 00:14:33,280
series بنستخدملها ال comparison test إذا وجد أسس

237
00:14:33,280 --> 00:14:36,660
في ال bus و المقام بنستخدم limit comparison test

238
00:14:36,660 --> 00:14:40,670
زي التكامل بالظبطالانهيارة ماعطينا limit

239
00:14:40,670 --> 00:14:45,830
comparison test لو كان عندي AN و BN for all N أكبر

240
00:14:45,830 --> 00:14:48,950
أو ساول N طبعا التنتين برضه of positive terms

241
00:14:48,950 --> 00:14:52,450
التنتين يكونوا مجابين والبقارن معها برضه تكونموجبة

242
00:14:52,450 --> 00:14:55,690
طبعاً بختار أنا ال «A» ال «B» «N» أنها تكون بنفس

243
00:14:55,690 --> 00:14:58,430
درجة ال «A» «N» يعني تتمتعي growth at the same

244
00:14:58,430 --> 00:15:00,830
rate عشان لو ال series على ال «A» «N» طلعت

245
00:15:00,830 --> 00:15:03,230
converge هذه برضه زيها converge طلعت diverge و

246
00:15:03,230 --> 00:15:06,410
تكون هذه زيها diverge طبعاً لحيث أنه growth at the

247
00:15:06,410 --> 00:15:09,410
same rate طب لو مش كتير growth at the same rate

248
00:15:09,410 --> 00:15:12,850
يعني كانت واحدة أسرع من التانية طبعاً في عندنا

249
00:15:12,850 --> 00:15:16,250
كمان هنا زيادة عن اللي أحكيناه في التكامل في عندنا

250
00:15:16,250 --> 00:15:20,190
برضه قانونالان اذا كان limit الان ع ال BN طلع C و

251
00:15:20,190 --> 00:15:23,370
ال C أكبر من السفر يعني ماطلعتش لا سفر ولا ما لا

252
00:15:23,370 --> 00:15:26,550
نهاية يعني ما ذلك ال group الدسمرية ف ال summation

253
00:15:26,550 --> 00:15:29,550
ع ال AN و ال BN التنتين يا converge يا التنتين

254
00:15:29,550 --> 00:15:32,610
diverse يبقى حسب ال BN اذا كانت ال BN converge

255
00:15:32,610 --> 00:15:34,950
بتكون هاي converge هاي diverse بتكون هادي diverse

256
00:15:35,090 --> 00:15:39,810
زيها إذا كان طلع ال limit C أكبر من ال 0 طب لو طلع

257
00:15:39,810 --> 00:15:43,830
معناه limit 0 إيش يعني ال limit 0؟ ال limit 0 يعني

258
00:15:43,830 --> 00:15:49,830
ال BN أسرع من ال AN يعني ال AN هي الأبطأ يعني هذه

259
00:15:49,830 --> 00:15:53,630
الأسرع يعني هي الأكبر هي الأكبر مادام الأكبر يبقى

260
00:15:53,630 --> 00:15:56,350
لازم تكون converge يبقى في هذه الحالة إذا كان طلع

261
00:15:56,350 --> 00:15:59,170
ال 0 بيكون حالة حاصة لازم ال summation على ال BN

262
00:15:59,170 --> 00:16:03,400
convergeبظبطش تكون diverse لو طلع سفر لازم تكون ال

263
00:16:03,400 --> 00:16:06,280
BN converge طب لو طلع ال limit ماله نهاية ماله

264
00:16:06,280 --> 00:16:09,920
نهاية يعني ال AN هي الأسرع يعني هي الأكبر يعني ال

265
00:16:09,920 --> 00:16:13,340
BN هي الأصغر لازم تكون diverse وبالتالي طلع ال

266
00:16:13,340 --> 00:16:16,320
limit ماله نهاية لازم ال summation على ال BN يكون

267
00:16:16,320 --> 00:16:19,000
diverse بظبطش تكون converge إذا كان طلع converge

268
00:16:19,000 --> 00:16:23,730
بكون هذا ال test fail إذا كان طلع ال limit سفرلازم

269
00:16:23,730 --> 00:16:26,410
تكون الـ Summation على الـ BN Converged إذا كان

270
00:16:26,410 --> 00:16:29,870
طلعها طبعاً هذا بخفف علينا كل شيء لو طلع عدد له

271
00:16:29,870 --> 00:16:33,650
سفر وله ما لنهاية طبعاً أحسب إذا كان هذا Converged

272
00:16:33,650 --> 00:16:36,430
و هذا Converged زيها دا يجب أن تكون Diverged زيها

273
00:16:36,430 --> 00:16:40,570
كويسة هذا بـ Limit Comparison Test و طبعاً بنعرف

274
00:16:40,570 --> 00:16:43,370
كيف نختار اللي هي الـ BN طبعاً لاحظوا أن هذا

275
00:16:43,370 --> 00:16:46,870
دايماً مستخدم لأسس البسط و أسد في المقام مثل هذا

276
00:16:46,870 --> 00:16:51,170
السؤال Summation 2N زائد 1 على N زائد 1 لكل تربيع

277
00:16:51,330 --> 00:16:54,350
نأخد أكبر قص في الـ bust اللي هو N أكبر قص في

278
00:16:54,350 --> 00:16:58,190
المقام هو N تربيع N تربيع يعني واحد على N لأن

279
00:16:58,190 --> 00:17:01,730
الواحد على N بدي أقارنها مع هذه لازم نجيب ال limit

280
00:17:01,730 --> 00:17:07,210
علشان نشوف converge ولا diverge ال limit ل A N على

281
00:17:07,210 --> 00:17:10,610
B N يعني ضرب مقلوب درب N بتصير يعني على واحد على N

282
00:17:10,610 --> 00:17:14,650
يعني ضرب Nطبعا هذه الـ BEST 2 N تربية و المقام N

283
00:17:14,650 --> 00:17:17,430
تربية درجة الـ BEST تساوي درجة المقام ناخد

284
00:17:17,430 --> 00:17:20,690
المعاملة تبقى ال limit يساوي 2 اتنين اتنين مالها

285
00:17:20,690 --> 00:17:25,030
اكبر من السفر مادام اكبر من السفر يبقى هذي لو كانت

286
00:17:25,030 --> 00:17:27,250
converge بتكون هذي converge و لو كانت هذي diverse

287
00:17:27,250 --> 00:17:30,450
بتكون هذي diverse لكن ال summation الواحد على N is

288
00:17:30,450 --> 00:17:33,610
harmonic series diverse وبالتالي by limit

289
00:17:33,610 --> 00:17:36,670
comparison تسمى series diverse يبقى هنا فينا خطوة

290
00:17:36,670 --> 00:17:40,030
لازم نجيب ال limit و بعدين نقرر إيش بدنا .. هل هي

291
00:17:40,030 --> 00:17:41,210
converge ولا diverse

292
00:17:44,810 --> 00:17:48,650
تسمح أن واحد على اتنين أس إن ماقص واحد الان هذه لو

293
00:17:48,650 --> 00:17:51,050
جيت اقارنها مع واحد على اتنين أس إن مافيش غيرها

294
00:17:51,050 --> 00:17:53,690
فالبس واحد والمقام مافيش غير اتنين أس إن هي

295
00:17:53,690 --> 00:17:56,570
الكبيرة مع واحد على اتنين أس إن طبعا بقارن مع

296
00:17:56,570 --> 00:18:00,930
series معروفة الان هذه و هذه نشوف هل grow at the

297
00:18:00,930 --> 00:18:04,170
same rate limit واحد على اتنين أس إن ماقص واحد على

298
00:18:04,170 --> 00:18:08,440
واحد على اتنين أس إن يعني ضرب اتنين أس إنالأن

299
00:18:08,440 --> 00:18:11,440
طبعاً درجة ال bus 2 أُس N على 2 أُس N اللي هي

300
00:18:11,440 --> 00:18:14,020
بتطلع ال limit إيه عشان واحد و لو قسمنا ال bus و

301
00:18:14,020 --> 00:18:17,080
المقام على 2 أُس N بتطلع ال limit يساوي واحد أكبر

302
00:18:17,080 --> 00:18:20,000
من السفر يبقى إذا كانت هذي converge هذي converge

303
00:18:20,000 --> 00:18:23,100
زيها لو كانت diverse هذي diverse ولكن summation 1

304
00:18:23,100 --> 00:18:25,980
على 2 أُس N ما لها؟ هي عبارة عن ال summation لنص

305
00:18:25,980 --> 00:18:29,140
أُس N يبقى هذي geometric series و ال R تساوي نص

306
00:18:29,140 --> 00:18:32,220
أقل من واحد وبالتالي converge يبقى هذي converge

307
00:18:32,220 --> 00:18:35,440
إذا هذي برضه converge زيها by limit comparisons

308
00:18:35,440 --> 00:18:37,360
test the series converge

309
00:18:46,630 --> 00:18:54,490
طبعا لو أخدت كل N لن ال N بيصير يعني صعب استخدامها

310
00:18:54,490 --> 00:18:57,930
فبدأ أخد يا N يا أخد لن ال N طبعا باخد N لأن ال N

311
00:18:57,930 --> 00:19:03,220
هي الأكبر ال N بتزغرهاالـ N فباخد N من ال bus على

312
00:19:03,220 --> 00:19:07,300
N تربيه من المقام يعني 1 على N الان نجيب ال limit

313
00:19:07,300 --> 00:19:10,320
ال limit 1 زائد N لان ال N عن N تربيه زائد خمسة

314
00:19:10,320 --> 00:19:14,300
على 1 على N يعني ضرب N طبعا لما نضرب ال N هنا في

315
00:19:14,300 --> 00:19:17,580
ال bus بيصير مالة نهاية على مالة نهاية بنعمل loop

316
00:19:17,580 --> 00:19:21,980
ترول هي limit بنروح بنفاضل ال bus على تفاضل المقام

317
00:19:21,980 --> 00:19:26,180
تفاضل ال bus برضه لما نعود في مالة نهاية على مالة

318
00:19:26,180 --> 00:19:30,330
نهاية بنروح نعمل loop ترول كمان مرة limitطبعا هذه

319
00:19:30,330 --> 00:19:33,910
تفاضلها 0 وهذه تفاضلها 1 وهذه الواحد وبعدين اتنين

320
00:19:33,910 --> 00:19:36,550
N لن ال N الأولى في تفاضل التانية زاد التانية في

321
00:19:36,550 --> 00:19:40,670
تفاضل الأولى على تفاضل المقام ال unlimited لما انت

322
00:19:40,670 --> 00:19:43,470
قول لما لا نهاية لن ما لا نهاية ما لا نهاية على

323
00:19:43,470 --> 00:19:46,870
اتنين بطلع ايه الجواب ما لا نهاية ايش يعني ما لا

324
00:19:46,870 --> 00:19:51,390
نهايةيعني هذه هي الكبيرة وهذه الواحدة على N هي

325
00:19:51,390 --> 00:19:54,550
الصغيرة معناه ما لنهاية يعني هذه الواحدة على N هي

326
00:19:54,550 --> 00:19:59,850
ايش الصغيرة الصغيرة لازم تكون diverge هل هي

327
00:19:59,850 --> 00:20:02,990
diverse معناه ولا لا الصممش الواحد على N الهارمون

328
00:20:02,990 --> 00:20:05,810
ال series diverse يبقى ظبط معناه لما يطلع limit ما

329
00:20:05,810 --> 00:20:08,590
لنهاية لازم ال series اللي قارنت معها تكون diverse

330
00:20:08,590 --> 00:20:11,570
يعني لو هذه طلعة تكون diverse مابظبطش السؤال بدك

331
00:20:11,570 --> 00:20:16,100
تعيدي تختاري اشي تانيإذا طلعت مالنهاية أو diverge

332
00:20:16,100 --> 00:20:18,820
هي كده مظبوط by limit comparison test بسيرل

333
00:20:18,820 --> 00:20:19,820
diverge

334
00:20:22,810 --> 00:20:30,370
Summation جذر 2 N-1 N-N 7 أعلى أسف البص جذر N أعلى

335
00:20:30,370 --> 00:20:34,890
أسف المقام N تربية يبقى هذين المقامين نزلها على

336
00:20:34,890 --> 00:20:40,870
المقام 2 نقص نص تلاتة على اتنين نجيب ال limit جذر

337
00:20:40,870 --> 00:20:47,690
1 N 3 2 يعني ضرب N 3 2نقص ثلاثة على اتنين وهذا نقص

338
00:20:47,690 --> 00:20:51,550
نص يظهر انتر بيه وانتر بيه يعني درجة البس تساوي

339
00:20:51,550 --> 00:20:55,350
درجة المقام ناخد المعاملات جذر الأتنين على واحد

340
00:20:55,350 --> 00:21:01,010
جذر الأتنين أكبر من السفرات وبالتالي إذا كانت هذي

341
00:21:01,010 --> 00:21:02,610
convergent هذي بيكون convergent، ده بيكون

342
00:21:02,610 --> 00:21:05,870
divergent، هذي بيكون divergentطبعا الصماش الـ 1

343
00:21:05,870 --> 00:21:09,930
على N أس 3 ع 2 هدبع عن P Series P تساوي 3 ع 2 أكبر

344
00:21:09,930 --> 00:21:13,970
من 1 يعني converge فبنقول by limit comparison test

345
00:21:13,970 --> 00:21:18,770
the series converge وهيك بنكون خلصنا اللي هو ال

346
00:21:18,770 --> 00:21:23,250
test .. test 2 او ال test 2 في هذا ال section ال

347
00:21:23,250 --> 00:21:25,650
comparison test و limit comparison test