1
00:00:00,490 --> 00:00:05,090
بسم الله الرحمن الرحيم راح نكمل في شابتر 11 اللي هو

2
00:00:05,090 --> 00:00:08,170
قولنا شابتر 11 بيحكي عن ال parametric equations و

3
00:00:08,170 --> 00:00:10,990
ال polar coordinates حكينا في ال section الأولاني

4
00:00:10,990 --> 00:00:14,850
عن ال parametric equations اليوم راح نحكي عن ال

5
00:00:14,850 --> 00:00:18,690
polar coordinates و ال polar equations اللي هو

6
00:00:18,690 --> 00:00:20,030
section 11-3

7
00:00:24,210 --> 00:00:27,810
Polar Coordinates طبعاً في هذا ال section اللي راح 

8
00:00:27,810 --> 00:00:30,690
ندرسه هو Polar Coordinates and their relations

9
00:00:30,690 --> 00:00:33,370
with Cartesian Coordinates يعني إيش علاقتها علاقة

10
00:00:33,370 --> 00:00:36,170
ال Polar بالCartesian زي برضه محكينا عن ال

11
00:00:36,170 --> 00:00:40,130
Parametric you will see that Polar Coordinates are

12
00:00:40,130 --> 00:00:45,110
very useful for calculating multiple integrals

13
00:00:45,110 --> 00:00:49,330
studied in chapter 15 طبعا هنا في Polar

14
00:00:49,330 --> 00:00:53,170
Coordinates كتير بتساعدنا في حكاية اللي هو التكامل

15
00:00:54,530 --> 00:00:58,050
الـ  في chapter 15 فيه كتير functions غير

16
00:00:58,050 --> 00:01:01,650
قابلة للتكامل لكن لو حولتها لل polar بتصير ايش؟

17
00:01:01,650 --> 00:01:06,590
تتكامل فكتير مهمة جدا اللي هو ال polar coordinates

18
00:01:06,590 --> 00:01:10,810
ايش اللي بنعرف اللي هي ال polar coordinates؟ ايش

19
00:01:10,810 --> 00:01:15,630
هم ال polar coordinates؟ ال polar coordinates هي

20
00:01:15,630 --> 00:01:24,290
عبارة عن إحدى  R و θ أول شي علشان نشوف R و θ على

21
00:01:24,290 --> 00:01:30,810
هذه الرسمة نبدأ من نقطة O أو الـ Pool نقطة الأصل

22
00:01:30,810 --> 00:01:34,490
مثلا إذا كنا في الـ XY Plane نعتبرها نقطة الأصل

23
00:01:34,490 --> 00:01:42,050
الـ 0 و0 الـ Origin اللي نسميها Pool هو نقطة

24
00:01:42,050 --> 00:01:44,930
البداية اللي بنبدأ من عندها نشوف ايش هي ال R و ايش

25
00:01:44,930 --> 00:01:48,750
هي ال θ لان لو امشينا باتجاه ال positive x axis ال

26
00:01:48,750 --> 00:01:51,790
X axis هذا هذا بيكون بنسميه ال initial ray اللي هو

27
00:01:51,790 --> 00:01:55,890
خط البداية أو الشعاع اللي بنبدأ منه بعدين من هنا

28
00:01:55,890 --> 00:02:01,610
بنروح بندير ايش لفين زاوية θ بهذا الاتجاه مثلا θ هي

29
00:02:01,610 --> 00:02:04,810
كده بنلف هنا زاوية مثلا بي على أربع بي على تلاتة

30
00:02:04,810 --> 00:02:09,200
بي على ستة باي على كذا المهم نلف زاوية معينة باي

31
00:02:09,200 --> 00:02:14,700
على اتنين باي نلف زاوية ثتا و بنمشي نشوف من النقطة

32
00:02:14,700 --> 00:02:19,420
السفر هذه بنروح ماشية مسافة R مسافة R بهذا الاتجاه

33
00:02:19,420 --> 00:02:24,000
بنوصل لنقطة هنا اللي هي إحداثياتها R وثتا ال R

34
00:02:24,000 --> 00:02:27,060
اللي هي طول هذا الخط المستقيم وثتا اللي هي هذه

35
00:02:27,060 --> 00:02:30,820
الزاوية اللي احنا عايش لفناها فاللي هي R وثتا إذا

36
00:02:30,820 --> 00:02:34,850
الإحداثيات الجديدة تبعتي اللي هي R وثتا ثتا بيروح

37
00:02:34,850 --> 00:02:38,390
من الـ initial ray باللي في زاوية معينة اللي هي R و

38
00:02:38,390 --> 00:02:43,890
بيروح ماشيين بالاتجاه هذا اللي هو مسافة معينة واحد

39
00:02:43,890 --> 00:02:49,870
اتنين تلاتة أكبر كور اللي هي R من الوحدات نوصل

40
00:02:49,870 --> 00:02:53,950
لنقطة إحداثياتها R وثتا هدول الإحداثيات بنقول هم

41
00:02:53,950 --> 00:02:58,110
عبارة عن ال polar coordinates هدول هم ال polar

42
00:02:58,110 --> 00:03:05,870
coordinates لنقطة اللي هي P طبعا هنا polar

43
00:03:05,870 --> 00:03:13,750
coordinates بي ار و سيطا ار عبارة عن distance من

44
00:03:13,750 --> 00:03:17,150
نقطة

45
00:03:17,150 --> 00:03:22,250
O لنقطة P

46
00:03:26,260 --> 00:03:31,000
هذه الـ distance هي عبارة عن R ثتة هي directed

47
00:03:31,000 --> 00:03:34,960
angle from the initial point OB برضه هي عبارة عن

48
00:03:34,960 --> 00:03:39,700
زاوية من الـ initial ray للخط OB زي ما شوفنا قبل

49
00:03:39,700 --> 00:03:42,780
شوية على ده ثتة طب إيش كلمة directed هذه؟ ليش

50
00:03:42,780 --> 00:03:48,240
بنقول directed؟ directed ليش؟ الان ال directed لل

51
00:03:48,240 --> 00:03:51,960
R و ال directed ل ثتة راح نقول عنهم في هدولة

52
00:03:51,960 --> 00:03:57,040
الملاحظة الملاحظة الأولى الزاوية theta is positive

53
00:03:57,040 --> 00:04:00,220
when it is measured counter clockwise يبقى لو انا

54
00:04:00,220 --> 00:04:04,580
مشيت عكس عقارب الساعة فبتكون theta بالاتجاه الموجب

55
00:04:04,580 --> 00:04:07,840
and negative when it is measured clockwise لما

56
00:04:07,840 --> 00:04:12,440
امشي مع عقارب الساعة بتكون الزاوية theta بالسالب

57
00:04:12,440 --> 00:04:17,700
هي معناه directed angle يعني في إلها اتجاه موجب

58
00:04:17,700 --> 00:04:22,940
وإلها اتجاه سالب The angle θ associated with a

59
00:04:22,940 --> 00:04:25,940
point is not unique كمان ال θ اللي احنا بتجيبها مش

60
00:04:25,940 --> 00:04:30,700
ثابتة ممكن يعني مش واحدة not unique مش وحيدة ممكن

61
00:04:30,700 --> 00:04:35,780
يكون عدد كثير من الزوايا نوصل لنفس النقطة بإني

62
00:04:35,780 --> 00:04:39,120
أجيب عدد كثير من الزوايا وكل هذا الكلام راح نعرف

63
00:04:39,120 --> 00:04:44,230
رأينا خلال الأمثلة الزاوية فيتا اول اش هينا نرجع

64
00:04:44,230 --> 00:04:47,530
هنا الزاوية فيتا لو لش فيتا في هذا الاتجاه تكون

65
00:04:47,530 --> 00:04:50,250
فيتا موجبة لو من ال initial إذا فيتا في هذا

66
00:04:50,250 --> 00:04:53,230
الاتجاه بتكون فيتا سالبة يبقى في هذا ال positive

67
00:04:53,230 --> 00:04:56,370
direction و من هنا ل F الاتجاه هذا بتكون هي ال

68
00:04:56,370 --> 00:05:00,970
negative direction ل Fتا طيب نيجي لل R negative

69
00:05:00,970 --> 00:05:05,130
values of R to reach the point R فتا we first turn

70
00:05:05,130 --> 00:05:10,350
فيتارديان يعني أول شي بنلف زاوية theta from the

71
00:05:10,350 --> 00:05:14,150
initial ray then if R موجبة بقى إذا كانت ال R أكبر

72
00:05:14,150 --> 00:05:18,270
من 0 we go forward R units بنمشي ايش forward يعني

73
00:05:18,270 --> 00:05:23,550
ايش بنفس الاتجاه إذا كانت ال R سالبة we go

74
00:05:23,550 --> 00:05:26,890
backward absolute R units إذا كان ال R سالبة

75
00:05:26,890 --> 00:05:33,610
فبنمشي بالاتجاه العكسي قداش ال absolute R units

76
00:05:34,410 --> 00:05:38,070
ماذا يعني هنا؟ نرجع تاني لهادي يعني أنا لفت زاوية

77
00:05:38,070 --> 00:05:42,050
θ هيك ومشيت forward forward يعني هيك بالاتجاه هذا

78
00:05:42,050 --> 00:05:46,190
القطب بوصل هنا ر بالموجة بيكون R بالموجبة طب لفت

79
00:05:46,190 --> 00:05:49,750
زاوية θ طب كيف backward؟ يعني برجع برجوع طبعا لأ

80
00:05:49,750 --> 00:05:52,830
من هنا يعني برجع على امتداد الخط هنا برجوع برجع

81
00:05:52,830 --> 00:05:56,590
إذا كان رجعت برجوع هالبرجع فبتبقى إحداثيات النقطة

82
00:05:56,590 --> 00:06:00,350
ناقص R و θ ناقص R و θ طبعا لو كانت ال R هنا إيش و

83
00:06:00,350 --> 00:06:03,790
اعتبرناها موجبة يعني افرض لأقل هنا 2 وهذه πاية على

84
00:06:03,790 --> 00:06:08,070
4 فبلف زاوية by على 4 و بمشي forward يعني بمشي مع

85
00:06:08,070 --> 00:06:13,670
هذا الخط وحدتين طب لو كان ناقص 2 و by على 4 بلف

86
00:06:13,670 --> 00:06:17,250
زاوية by على 4 و باجي من عند نقطة الأصل و برجع و

87
00:06:17,250 --> 00:06:21,750
رجوع وحدتين فبوصل للنقطة هنا ناقص 2 و by على 4

88
00:06:21,750 --> 00:06:27,280
مثلا يبقى فيها نقاش R بيبقى Directed إذا نقاشها

89
00:06:27,280 --> 00:06:30,920
Directed Distance يبقى Directed R Directed يبقى

90
00:06:30,920 --> 00:06:37,870
إليها في R موجبة و في R إيش سالبة و في R سالبة الان

91
00:06:37,870 --> 00:06:41,870
كل الـ Polar Coordinates للنقطة كيف ممكن نعبر

92
00:06:41,870 --> 00:06:45,210
عنهم؟ إذا كانت P لديها Polar Coordinates R و Theta

93
00:06:45,210 --> 00:06:49,910
لو أعطاني نقطة R و Theta فطبعا في R و Theta أنها

94
00:06:49,910 --> 00:06:54,470
ليست وحيدة وإنما لها عدد حتى لنهائي من الاعترافات

95
00:06:54,470 --> 00:06:57,630
في ال Polar Coordinates فال Polar Coordinates

96
00:06:57,630 --> 00:07:00,970
تبعتنا اللي هي بالـ R الموجبة بـ R أو الـ R اللي هي

97
00:07:00,970 --> 00:07:06,760
هنا R نفس العدد لو ضفنا لها 2 in π يعني لو لفت 2

98
00:07:06,760 --> 00:07:10,780
in π نوصل لنفس النقطة طب ألف كمان يعني دورة كاملة

99
00:07:10,780 --> 00:07:15,540
يبقى كل دورة كاملة بنرجع لنفس النقطة كل دورة كاملة

100
00:07:15,540 --> 00:07:19,280
بنرجع لنفس النقطة كمان اللي هو بالسالب R لأن

101
00:07:19,280 --> 00:07:24,780
بالسالب R ممكن أنا ألف زاوية بالاتجاه اللي هو سالب

102
00:07:24,780 --> 00:07:28,680
R و اوصل لنفس النقطة برضه يبقى سالب R إيش الزاوية

103
00:07:28,680 --> 00:07:32,480
اللي بتقالفها اللي هو θ زائد بار θ دي بتقضف لها

104
00:07:32,480 --> 00:07:36,600
بار طبعا زائد إيش كل دورات الكاملة اللي هي 2 in

105
00:07:36,600 --> 00:07:41,860
π و in بتاخد الأعداد اللي هي الصحيحة يعني مين

106
00:07:41,860 --> 00:07:45,620
سفر موجب أو سالب واحد موجب أو سالب اتنين موجب أو

107
00:07:45,620 --> 00:07:49,520
سالب تلت وهكذا يعني in تنتمي إلى Z يبقى باخد اش

108
00:07:49,520 --> 00:07:52,820
ثتا زائد باي او ممكن تاتا ناقص باي امتى بقول ناقص

109
00:07:52,820 --> 00:07:56,920
باي لو كانت التاتا كبيرة يعني اكتر من باي لو كانت

110
00:07:56,920 --> 00:07:59,760
التاتا أكبر من باي بنقص منها باي لو كانت التاتا

111
00:07:59,760 --> 00:08:04,100
اقل من ال باي بزيدلها باي علشان ما تطلعش كبيرة

112
00:08:04,100 --> 00:08:05,780
كتير الزاوية

113
00:08:08,210 --> 00:08:12,030
نشوف الأمثلة بالأمثلة يظهر حد كثيرا أو جديد كل ال

114
00:08:12,030 --> 00:08:15,710
polar coordinates للنقطة للنقطتين هدولة اتنين و

115
00:08:15,710 --> 00:08:19,010
باي على ستة و سالب تلتة و باي على اربعة الام بدي

116
00:08:19,010 --> 00:08:21,470
كل ال polar coordinates لاتنين و باي على ستة طبعا

117
00:08:21,470 --> 00:08:24,590
أول نقطة هي اتنين و باي على ستة و نضيف لها اتنين

118
00:08:24,590 --> 00:08:28,390
and π و بعدين بالسالب اللي هو سالب اتنين و باي

119
00:08:28,390 --> 00:08:31,090
على ستة و نضيف لها باي و زاد اتنين and π يبقى

120
00:08:31,090 --> 00:08:35,170
ثتا زائد ايش باشة اوى و عدنا بنشوف على الرسمة كمان

121
00:08:35,340 --> 00:08:40,080
طبعا الـ π زائد اتنين in π باي ع ستة زائد باي

122
00:08:40,080 --> 00:08:42,680
هي سبعة باي ع ستة يبقى بلف سبعة باي ع ستة زائد

123
00:08:42,680 --> 00:08:46,060
اتنين in π اللي هي بكل دورات الكاملة و ان تنتمي

124
00:08:46,060 --> 00:08:49,260
الى z طيب يعني ايش ان انا بدي ألف زاوية ال ..

125
00:08:49,260 --> 00:08:54,100
اللقطة الأولى بلف زاوية باي على ستة و بمشي اتجاه

126
00:08:54,100 --> 00:08:58,560
اللي هو وحدتين بالاتجاه forward بوصل للنقطة اتنين

127
00:08:58,560 --> 00:09:01,920
و باي على ستة طيب كيف التانية اللي هي ناقص اتنين

128
00:09:01,920 --> 00:09:04,960
اني انا بلف زاوية ايه هي سابعة باية على ستة هي

129
00:09:04,960 --> 00:09:08,160
الزاوية سابعة باية على ستة و بمشي ايش بالعكس كيف

130
00:09:08,160 --> 00:09:11,540
بالعكس يعني برجع برجع طبعا لما اوصل لهنا ال

131
00:09:11,540 --> 00:09:14,660
forward بتبقى هذه لكن بالعكس هي هذه برجع برجع

132
00:09:14,660 --> 00:09:18,260
بسالب اتنين و سبعة باية على ستة يبقى هي باية على

133
00:09:18,260 --> 00:09:21,900
ستة بمشي forward وحدتين و بوصل للنقطة اتنين و باية

134
00:09:21,900 --> 00:09:27,130
على ستة لو مشيت الزاوية هذه 7π على 6 برجع برجوع على

135
00:09:27,130 --> 00:09:30,330
الخط يبقى برجع إيش برجوع لإن ال forward للزاوية

136
00:09:30,330 --> 00:09:33,470
هذه هو هذا الخط يبقى برجع برجوع و برجع من هنا طبعا

137
00:09:33,470 --> 00:09:37,610
دائما عد النتدات من عند نقطة الاصل بمشي إيش واحدة

138
00:09:37,610 --> 00:09:41,310
تان ال absolute R هي ال absolute R اللي هي لكن

139
00:09:41,310 --> 00:09:44,950
الإحدى فيه إيش تطلع سالب 2 و 7π على 6 اللي هي هذه

140
00:09:45,170 --> 00:09:50,130
يبقى هذه هذه وهذه نوصل منهم لنفس النقطة لاحظوا في 

141
00:09:50,130 --> 00:09:54,890
عندي عدد لا نهائي من النقاط لكن تمثيلهم تبقى رموزًا

142
00:09:54,890 --> 00:09:58,270
بقدرش الزاوية تبعدها وR سالبة وقدرش الزاوية تبعدها

143
00:09:58,820 --> 00:10:02,860
طيب النقطة الثانية نقص 3 وπ على 4 طبعًا الأولى نقص

144
00:10:02,860 --> 00:10:05,960
3 وπ على 4 ونضيف لها 2 in π الثانية اللي هو بالـ R

145
00:10:05,960 --> 00:10:09,180
بالثالثة طبعًا ثالث ثلاثة بثالثها بتطلع إيش ثلاثة

146
00:10:09,180 --> 00:10:12,400
إيش الزاوية اللي بنضيفها اللي بـπ على 4 زائد π

147
00:10:12,400 --> 00:10:16,860
اللي هي 5 π على 4 زائد 2 in π كيف تمثيلها هنا على

148
00:10:16,860 --> 00:10:21,580
الرسم الآن بنرفع النقطة نقص 3 وπ على 4 يبقى بنرفع

149
00:10:21,580 --> 00:10:25,590
π على 4 نقص ثلاثة يعني بدي أرجع backward يعني بدي

150
00:10:25,590 --> 00:10:29,510
أرجع على الخط هنا ثلاثة وحدات فبنوصل ناقص ثلاثة و

151
00:10:29,510 --> 00:10:33,170
π على أربعة طيب الثانية خمسة π على أربعة لأن بلف

152
00:10:33,170 --> 00:10:37,290
زاوية خمسة π على أربعة وبمشي forward يبقى بمشي 

153
00:10:37,290 --> 00:10:41,330
ثلاثة لأن وصلت للخط هذا ومشيت forward على الخط

154
00:10:41,330 --> 00:10:45,430
يبقى بمشي إيش بالـ R بالموجبة اللي هي ثلاثة يبقى

155
00:10:45,430 --> 00:10:49,090
النقطة المكافئة لهذه هي ثلاثة وخمسة π على أربعة

156
00:10:49,090 --> 00:10:53,730
الزاوية تبعتها هي خمسة π على أربعة الآن نعرف ال

157
00:10:53,730 --> 00:10:56,910
polar equations إيش الـ polar equations اللي هي 

158
00:10:56,910 --> 00:11:01,630
المعادلات القطبية إيش هي؟ طبعًا عندي معادلات ثابتة

159
00:11:01,630 --> 00:11:07,110
هي R تساوي A إيش يعني R تساوي A؟ اللي هي عبارة عن

160
00:11:07,110 --> 00:11:10,970
المعادلة الثانية معادلة الدائرة والـ radius تبعها

161
00:11:10,970 --> 00:11:14,070
اللي هو absolute value of A والـ center تبعها صفر

162
00:11:14,070 --> 00:11:18,110
وصفر الآن كيف هذه اجت؟ R تساوي A يعني R ثابتة A و

163
00:11:18,110 --> 00:11:23,220
θ متغيرة في كل الزوايا يعني لما تتساوي صفر R تساوي

164
00:11:23,220 --> 00:11:27,940
A تتساوي π على أربعة برضه المسافة A نمشي مسافة A

165
00:11:27,940 --> 00:11:31,560
إن لـ π تتساوي π على اثنين نمشي مسافة A تتساوي

166
00:11:31,560 --> 00:11:35,420
هنا إيه تتساوي π برضه مسافة A يبقى كل المسافات

167
00:11:35,420 --> 00:11:39,820
هذه إيش دا إيه اللي هي متساوية وبالتالي يعني كأنه

168
00:11:39,820 --> 00:11:44,900
أ نصف قطر أكبر هنا متساوية هنا ترسم للنقطة دائرة نصف

169
00:11:44,900 --> 00:11:48,820
قطرها A ومركزها نقطة الأصل إذا معادلة الدائرة

170
00:11:48,820 --> 00:11:55,520
مركزها 0 و0 ونصف قطرها A هي عبارة عن معادلتها R

171
00:11:55,520 --> 00:12:00,180
تساوي A بالـ Polar Coordinates طيب أنا لو ثبتت ثيتا

172
00:12:00,180 --> 00:12:03,160
ثيتا تساوي ثيتا نوت إيش تطلع هذه يعني بدي اثبت

173
00:12:03,160 --> 00:12:06,320
ثيتا وR متغيرة تثبيت ثيتا إيه ثبت ثيتا نوت هنا

174
00:12:06,320 --> 00:12:09,540
يعني أنا ثبتت ثيتا هنا R متغيرة يعني R ممكن تكون

175
00:12:09,540 --> 00:12:13,240
forward وماشي ما لهاش طول معين يبقى ماشي إلى ما لا

176
00:12:13,240 --> 00:12:16,180
نهاية أو ممكن أمشي backward يعني R بالسالب برضه

177
00:12:16,180 --> 00:12:19,360
متمتدة للسالب يبقى هو عبارة عن هذا الخط المستقيم

178
00:12:19,360 --> 00:12:24,580
اللي بيصنع زاوية ثيتا نوت مع الـ positive x axis أو

179
00:12:24,580 --> 00:12:32,080
الطب لو أخذنا أمثلة على هدول المعادلتين إيش يعني R

180
00:12:32,080 --> 00:12:35,720
أكبر أو يساوي واحد أقل أو يساوي اثنين و θ أكبر

181
00:12:35,720 --> 00:12:37,960
أو يساوي صفر أقل أو يساوي π على اثنين

182
00:12:43,170 --> 00:12:49,070
الآن إيش معنى أقل أو أكبر أو أقل أو أقل أو أقل أو

183
00:12:49,070 --> 00:12:49,670
أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو

184
00:12:49,670 --> 00:12:50,590
أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو أقل أو

185
00:12:50,590 --> 00:12:50,850
أقل أقل أو أقل أقل أو أقل أقل أو أقل أقل أقل أقل

186
00:12:50,850 --> 00:12:51,190
أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل

187
00:12:51,190 --> 00:12:54,190
أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل أقل

188
00:12:54,190 --> 00:13:05,150
أقل أقل أقل أقل طيب بينهم يبقى رح تطلع إيش اللي

189
00:13:05,150 --> 00:13:09,150
بينهم طب ليش أخذت أنا جزء هذا فقط لأن θ قال لي من 0

190
00:13:09,150 --> 00:13:13,010
إلى π على 2 يبقى ما أخذتش إيش باقي إيش الدائرة من

191
00:13:13,010 --> 00:13:16,870
هنا فقط من 0 إلى π على 2 فرح يطلع اللي بين

192
00:13:16,870 --> 00:13:21,170
الدائرتين اللي هو فقط هذا الجزء يبقى هنا بمفهومنا

193
00:13:21,170 --> 00:13:27,450
بقرتي يساوي a و θ يساوي θ انها هنا برضه طبقنا على هذا

194
00:13:27,450 --> 00:13:31,410
المثال طيب لو كانت R أكبر أو يساوي سالب ثلاثة أقل أو

195
00:13:31,410 --> 00:13:36,310
يساوي و θ ثبتها عند π على أربعة الآن θ ثبتت عند

196
00:13:36,310 --> 00:13:38,810
π على أربعة يعني إليها بس زاوية واحدة تأخذ π 

197
00:13:38,810 --> 00:13:44,860
على أربعة يمر عن القطعة المستقيمة هذا خط مستقيم لأن

198
00:13:44,860 --> 00:13:49,140
هذا الخط المستقيم لا يوجد هنا أي restriction على

199
00:13:49,140 --> 00:13:53,200
الـ R لكن هنا الـ R أشقل من ناقص 3 إلى 2 طيب لو أنا

200
00:13:53,200 --> 00:13:56,400
مشيت π على أربعة لفيت زوجي π على أربعة ومشيت

201
00:13:56,400 --> 00:14:00,360
اثنين بمشي هنا يبقى هي هنا بوصل عند هنا بوقف طيب

202
00:14:00,360 --> 00:14:03,760
R يساوي سالب ثلاثة يعني بدي ألف زاوية π على أربعة

203
00:14:03,760 --> 00:14:08,020
وأمشي بالعكس إيش ثلاثة وحدات بوصل لهذه النقطة يبقى

204
00:14:08,020 --> 00:14:10,760
الخط المستقيم اتحدد إيش من نقطتين هي النقطة

205
00:14:10,760 --> 00:14:15,580
البداية والنهاية تبعتها يعني إيش خط اللي بتسميه

206
00:14:15,580 --> 00:14:24,200
line segment يعني بس خط اللي هو مقطع مقطع من الخط

207
00:14:24,200 --> 00:14:30,400
وليس الخط كله طيب لو قال لي هنا θ من 2π على 3 إلى 5π

208
00:14:30,400 --> 00:14:33,520
على 6 و no restriction on R ما قال لي ولا إيش عن

209
00:14:33,520 --> 00:14:37,820
الـ R، إيش معناه هذا الكلام؟ فخذ θ، θ يساوي 2π على 3،

210
00:14:37,820 --> 00:14:41,000
إيش هي؟ يعبر عن الخط المستقيم، بلف زاوية 2π على 3

211
00:14:41,000 --> 00:14:44,080
اللي هي الزاوية الصغيرة وبطلع الخط المستقيم هذا

212
00:14:44,080 --> 00:14:46,940
طبعًا ما فيش restriction على الـ R يعني الخط المستقيم

213
00:14:46,940 --> 00:14:49,740
هذا ماشي على طول، من هنا ما فيش له طول ومن هنا

214
00:14:49,740 --> 00:14:53,670
برضه ما فيش له طول طيب θ تساوي 5 π على 6 5

215
00:14:53,670 --> 00:14:56,530
π على 6 يعني الزاوية في الربع الثاني فبروح لك

216
00:14:56,530 --> 00:15:00,650
فهنا زاوية للربع الثاني 5 π على 6 وأقعد

217
00:15:00,650 --> 00:15:04,630
وبرسم لي إيش الخط المستقيم هذا طبعًا ما لهوش إيش

218
00:15:04,630 --> 00:15:08,670
برضه حدود ماشي مثال مهالة مهالة مهالة طيب θ منها

219
00:15:08,670 --> 00:15:11,810
بين هذه الزاوية بين هذه راح تأخذ لي هذه المساحة وهذه

220
00:15:11,810 --> 00:15:15,090
هذه المساحة اللي بين الخطين فراح ياخذ لي إيش اللي

221
00:15:15,090 --> 00:15:17,830
هي المساحة هذه اللي بين الخطين

222
00:15:22,430 --> 00:15:26,170
الآن شوف إيش علاقة الـ cartesian coordinate بالـ

223
00:15:26,170 --> 00:15:32,730
polar coordinates لأن

224
00:15:32,730 --> 00:15:39,300
لو جينا للدائرة هذه الدائرة هذه بنلف زاوية θ ونمشي

225
00:15:39,300 --> 00:15:44,140
مسافة R نطلع لهذا النقطة R و θ لأن في نفس الدائرة

226
00:15:44,140 --> 00:15:50,100
هذه المسافة X وهذه المسافة Y نصل لإحداثية XY يبقى

227
00:15:50,100 --> 00:15:53,360
هذه النقطة نفس إحداثية XY يبقى هذه المسافة Y وهذه

228
00:15:53,360 --> 00:15:56,540
المسافة X لو كانت إحداثياتها R ثيتا فبتكون هذه

229
00:15:56,540 --> 00:16:00,040
الزاوية ثيتا وهذه المسافة R يبقى R ثيتا وXY

230
00:16:00,040 --> 00:16:05,140
جمعناهم في مثلث واحد اللي هو مثلث قائم الزاوية إيش

231
00:16:05,140 --> 00:16:08,560
علاقة الـ X والـ Y بالـ R والثيتا؟ بنلاحظ على إن

232
00:16:08,560 --> 00:16:11,900
هنا اللي هي X هنا إيش تساوي اللي هو المجاور هنا

233
00:16:11,900 --> 00:16:15,720
تساوي R cos θ الـ Y اللي هو مقابل لزاوية ثيتا اللي

234
00:16:15,720 --> 00:16:19,870
عبارة عن R sin θ من المثلث القائم زاوية X تربيع

235
00:16:19,870 --> 00:16:24,270
زائد Y تربيع تساوي R تربيع tan θ تساوي Y على X

236
00:16:24,270 --> 00:16:28,690
tan θ تساوي Y على X هي أربع علاقات بين R و θ و

237
00:16:28,690 --> 00:16:33,730
X و Y بينا نستخدمهم في تحويل معادلات أو نقاط

238
00:16:33,730 --> 00:16:38,450
نحولها لـ X Y أو R و θ

239
00:16:42,810 --> 00:16:46,410
Example واحد find the cartesian coordinates of the

240
00:16:46,410 --> 00:16:50,770
point P given in polar coordinates as P تساوي ناقص

241
00:16:50,770 --> 00:16:54,210
ستة وناقص π على ثلاثة لأن هذه النقطة اللي هي بالـ

242
00:16:54,210 --> 00:16:56,850
polar coordinates بنتحولها لـ cartesian coordinates

243
00:16:56,850 --> 00:17:00,470
طبعًا هنا R تساوي سالب ستة θ تساوي ناقص π على

244
00:17:00,470 --> 00:17:05,450
ثلاثة يبقى X إيش تساوي؟ R cos θ كوساين سالب π على

245
00:17:05,450 --> 00:17:07,430
ثلاثة اللي هي نفس كوساين π على ثلاثة اللي هي نصف

246
00:17:07,430 --> 00:17:12,870
فتطلع النقطة ناقص ثلاثة Y تساوي R sin θ ساين ناقص

247
00:17:12,870 --> 00:17:17,010
π على ثلاثة طبعًا تطلع الناقص برا وساين π على ثلاثة جذر

248
00:17:17,010 --> 00:17:20,830
الثلاثة على اثنين فتطلع ثلاثة جذر الثلاث إذا النقطة

249
00:17:20,830 --> 00:17:23,870
تبعت بالـ cartesian coordinates هي ناقص ثلاثة وثلاثة

250
00:17:23,870 --> 00:17:27,870
جذر الثلاث فلو لاحظنا إن هنا كيف بنمثلها على

251
00:17:27,870 --> 00:17:31,370
الرسم أول شيء من الزاوية ستة بيناقص π على ثلاثة

252
00:17:31,370 --> 00:17:34,430
فبنلف زاوية ناقص π على ثلاثة اللي هو موقع قريب 

253
00:17:34,430 --> 00:17:38,170
الساعة وبعدين إيش ناقص ستة يعني backward يعني من

254
00:17:38,170 --> 00:17:42,560
النقطة هذه برجع للوراء ست وحدات فبوصل لها دي إم يبقى

255
00:17:42,560 --> 00:17:45,760
هي النقطة تبعتها هذا هي هنا اللي هو ناقص ستة و

256
00:17:45,760 --> 00:17:48,500
π على ثلاثة نفسها الإحداثيات اللي أنا مشيت

257
00:17:48,500 --> 00:17:53,360
مسافة ناقص ثلاثة وطلعت ثلاثة π على جذر الثلاث

258
00:17:53,360 --> 00:17:55,160
فبوصل لنفس النقطة

259
00:17:59,950 --> 00:18:03,610
الآن بالعكس بدي أعطينا نقاط نقطة cartesian

260
00:18:03,610 --> 00:18:06,910
coordinate وأنا أوجد الـ polar طبعًا هذه الأصعب لأن

261
00:18:06,910 --> 00:18:10,970
الـ polar coordinates ما لهاش صيغة واحدة وإنما لها

262
00:18:10,970 --> 00:18:14,550
قدر صيغة زي ما توي قبل شوية علمنا وبدي أوجدلهم

263
00:18:14,550 --> 00:18:17,830
كلهم all all مش واحدة بس لأ كل الـ polar

264
00:18:17,830 --> 00:18:21,830
coordinates طب كيف نعمل هذه؟ أشوف الآن جذر الثلاث

265
00:18:21,830 --> 00:18:25,590
واحد يعني x تساوي جذر الثلاث و y تساوي واحد طبعًا

266
00:18:25,590 --> 00:18:28,350
جذر الثلاث وواحد يعني النقطة هذه تقع في الربع الأول

267
00:18:28,350 --> 00:18:31,850
وهذا ضروري أن ننتبه إليه في أي ربع تقع لأن

268
00:18:31,850 --> 00:18:34,330
من R تساوي .. إيش تساوي الـ R؟ تقولنا R تربيع

269
00:18:34,330 --> 00:18:37,110
تساوي X تربيع زائد Y تربيع يعني R تساوي جذر X

270
00:18:37,110 --> 00:18:40,390
تربيع زائد Y تربيع X تربيع اللي هي 3 و Y تربيع

271
00:18:40,390 --> 00:18:44,780
اللي هي 1 يعني جذر الـ 4 اللي يساوي 2 بنطلع تان

272
00:18:44,780 --> 00:18:49,820
θ تبع tan θ تساوي Y على X Y على X يعني واحد

273
00:18:49,820 --> 00:18:53,560
على جذر الثلاث إيش هي tan تانها واحد على جذر

274
00:18:53,560 --> 00:18:58,400
الثلاث هي π على ستة زاوية π على ستة طبعًا هذه إيش

275
00:18:58,400 --> 00:19:02,480
فادتني الربع الأول اللي في هذه الزاوية إني جبت هذه

276
00:19:02,480 --> 00:19:06,560
الزاوية في الربع الأول لأن ممكن tan tan θ واحد

277
00:19:06,560 --> 00:19:10,800
على جذر الثلاث tan برضه موجبة في الربع الرابع

278
00:19:10,800 --> 00:19:15,890
فممكن برضه تطلع في الربع الثالث عفوا فبتكون برضه

279
00:19:15,890 --> 00:19:21,430
زاوية أخرى إذا π على ستة لأنها في الربع الأول طيب

280
00:19:21,430 --> 00:19:24,370
يبقى النقطة اللي هي 2 و π على ستة يبقى النقطة عند 

281
00:19:24,370 --> 00:19:26,890
اتنين و π على ستة طبعا بدي أوجد كل polar

282
00:19:26,890 --> 00:19:29,770
coordinates فبقول اتنين و π على ستة و بنضيف لها 

283
00:19:29,770 --> 00:19:33,930
اتنين in π هي الـ .. الـ .. اللي هو الـ .. التمثيل

284
00:19:33,930 --> 00:19:36,750
الأول و التمثيل الثاني بناقص اتنين ناقص اتنين و

285
00:19:36,750 --> 00:19:39,310
قداش قلنا π على ستة و بنضيف لها π اللي

286
00:19:39,310 --> 00:19:42,850
بتطلع سبعة π على ستة و بنضيف زائد اتنين in π

287
00:19:42,850 --> 00:19:47,070
يبقى الدولة بتطلع في كل الـ polar coordinates للمتقال

288
00:19:47,070 --> 00:19:52,570
طيب النقطة الثانية P2 P2 إيش هي إحداثياتها؟ اللي

289
00:19:52,570 --> 00:19:56,430
هي ناقص جذر الثلاث و سالب واحد للناقص جذر الثلاث

290
00:19:56,430 --> 00:19:59,570
و ناقص واحد وين هذه النقطة تقع في الربع إن هو الثالث

291
00:19:59,570 --> 00:20:03,250
يبقى إن تقع النقطة في الربع الثالث الـ X تساوي ناقص

292
00:20:03,250 --> 00:20:06,350
جذر الثلاث و Y تساوي سالب واحد إذا الـ R تساوي نفس

293
00:20:06,350 --> 00:20:10,090
الشيء برضه اثنان ف θ تساوي ناقص جذر الثلاث على

294
00:20:10,090 --> 00:20:13,950
ناقص واحد يعني جذر الثلاث على واحد طبعا هذه

295
00:20:13,950 --> 00:20:15,670
النقطة إيش في الربع الثالث

296
00:20:18,000 --> 00:20:22,680
في الربع الثالث ناقص

297
00:20:22,680 --> 00:20:27,580
واحد على جذر الثلاث بالعكس ناقص 

298
00:20:27,580 --> 00:20:29,580
واحد على ناقص جذر الثلاث يعني واحد على جذر

299
00:20:29,580 --> 00:20:33,980
الثلاث طبعا لأن الزاوية تقع في الربع الثالث فأنا

300
00:20:33,980 --> 00:20:36,000
بدي أجيب الزاوية في الربع الثالث فالزاوية في

301
00:20:36,000 --> 00:20:39,180
الربع الثالث هي 7π على 6 يبقى بنجيب الزاوية عشر

302
00:20:39,180 --> 00:20:43,280
في الربع الثالث اللي هو 7π على 6 يعني لاحظوا أنه

303
00:20:43,280 --> 00:20:47,970
طلعت نفس الشيء واحد على جذر الثلاث لكن هي بدنا

304
00:20:47,970 --> 00:20:50,530
نجيب الزاوية مش π على ستة بدنا نكتبها لأ بنكتبها

305
00:20:50,530 --> 00:20:53,230
سبعة π على ستة فبنختار الزاوية اللي هي في الربع

306
00:20:53,230 --> 00:20:56,930
الثالث إذن النقطة P2 كل الـ polar coordinates

307
00:20:56,930 --> 00:21:02,450
سبعتها اللي هي 2 بالموجب اللي هي اتنين 2 و 7π

308
00:21:02,450 --> 00:21:06,150
على 6 و بنضيف لها 2 in π و بالسالب اللي هي سالب 2

309
00:21:06,150 --> 00:21:10,130
طبعا قلنا لو كانت الزاوية أكثر من π بروح بطلع بطرح

310
00:21:10,130 --> 00:21:15,130
منها π مش بزود كمان π لأن زاوية π بتصير 13

311
00:21:15,130 --> 00:21:19,030
π على ستة كبيرة كثير يعني لفت مرتين لكن أنا لما

312
00:21:19,030 --> 00:21:22,330
تكون الزاوية أكثر من π بطرح منها π أسهل فبصير

313
00:21:22,330 --> 00:21:27,850
هنا π على ستة زائد اتنين in π لما تكون الزاوية

314
00:21:27,850 --> 00:21:32,930
أكثر من π بطرح π لما تكون الزاوية أقل من π

315
00:21:32,930 --> 00:21:38,850
بزود π بالتمثيل الآخر find a polar equation for

316
00:21:38,850 --> 00:21:41,710
the circle X تربيع زائد Y تربيع ساوية

317
00:21:41,710 --> 00:21:43,870
تسعة الآن هنا معادلة بالـ Cartesian coordinate

318
00:21:43,870 --> 00:21:47,610
بنحولها إلى polar الآن نفكر بالأول التربيع هذا

319
00:22:05,730 --> 00:22:11,110
هذه المعادلة تُعتبر عن معادلة دائرة هذه الدائرة هي

320
00:22:11,110 --> 00:22:17,560
بهذا الشكل من هنا اللي هو نصف قطرها ثلاث و مركزها

321
00:22:17,560 --> 00:22:23,600
صفر و ثلاث .. مركزها صفر و ثلاث .. صفر و ثلاث

322
00:22:23,600 --> 00:22:28,580
.. صفر و ثلاث .. و هنا صفر و ثلاث .. فوق .. فوق

323
00:22:28,580 --> 00:22:31,820
يعني .. أعلي .. هنا فوق .. غلط يعني .. هنا .. إيش

324
00:22:31,820 --> 00:22:34,560
برضه .. هنا .. إذا راح تكون أعلى .. صفر و

325
00:22:34,560 --> 00:22:38,120
ثلاث هنا و نصف قطرها ثلاث

326
00:22:43,820 --> 00:22:47,740
فبتمان برضه معادلات بالـ Polar الآن و معادلات

327
00:22:47,740 --> 00:22:51,560
بالـ Polar بنحولها لـ Cartesian بالعكس يعني و بدنا

328
00:22:51,560 --> 00:22:54,560
نشوف إيش هو الـ curve اللي بتطلع معنا R cos θ ساوية

329
00:22:54,560 --> 00:22:58,080
أربعة يعني R cos θ يبقى عن X يبقى X ساوية

330
00:22:58,080 --> 00:23:01,840
أربعة هذي يبقى عن Vertical Line R تربيع بنحط

331
00:23:01,840 --> 00:23:05,020
بدلها X تربيع زائد Y تربيع تساوي أربعة R cos θ

332
00:23:05,020 --> 00:23:08,840
بنحط بدلها X الآن هاي لو جبنا 4X على الجهة الثانية

333
00:23:08,840 --> 00:23:15,000
و ضفنا 4 هنا و بنضيف 4 بعد اللي يساوي و حللنا هذه x - 2

334
00:23:15,000 --> 00:23:18,760
الكل تربيع زي هيك يساوي 4 هي تطلع لنا عبارة عن

335
00:23:18,760 --> 00:23:24,780
دائرة اللي مركزها 2 و 0 و نصف قطرها 2 الثالث هنا

336
00:23:24,780 --> 00:23:29,420
طبعا بهذا الشكل بروح نضرب الطرفين هذا يساوي 4

337
00:23:29,420 --> 00:23:35,260
فبتصير 2R cos θ - R sin θ يساوي 4 لأن R cos θ ممكن

338
00:23:35,260 --> 00:23:38,720
تبدلها x R sin θ ممكن تبدلها y يساوي 4 تطلع لنا

339
00:23:38,720 --> 00:23:44,790
معادلة خط مستقيم أو جديد برضه هنا polar

340
00:23:44,790 --> 00:23:47,710
coordinates بنتحولها لـ Cartesian ونشوف إيش المعادلة

341
00:23:47,710 --> 00:23:52,630
اللي بتطلع معنا R Cos θ زائد 3 يساوي 4 طبعا هنا

342
00:23:52,630 --> 00:23:55,930
بدنا نفك الـ Cosine مجموع زاويتين فبصير Cos θ Cos

343
00:23:55,930 --> 00:24:01,010
π على 3 ناقص Sin θ Sin π على 3 Cos π على 3 نص Sin π 

344
00:24:01,010 --> 00:24:05,560
على 3 جذر الثلاث على 2 بنعوض بدالها فبتصير إيش هنا R cos

345
00:24:05,560 --> 00:24:10,140
θ بنعوض بدالها X و R sin θ بنعوض بدالها Y يساوي 4 نضرب

346
00:24:10,140 --> 00:24:15,440
في 2 فبتصير X - 3Y يساوي 8 ليه طلعت معادلة خط مستقيم

347
00:24:15,440 --> 00:24:19,960
يبقى هذه المعادلة طلعت لنا معادلة خط مستقيم وبهيك

348
00:24:19,960 --> 00:24:23,480
بنكون خلصنا اللي هو الجزء الأول من الكورس فيه

349
00:24:23,480 --> 00:24:27,040
أيضا Section على الـ polar coordinates برضه مهم جدا إن

350
00:24:27,040 --> 00:24:28,460
شاء الله نأخذه في مرة قادمة