1
00:00:02,330 --> 00:00:06,030
بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله راح نكمل

2
00:00:06,030 --> 00:00:09,290
في تشابتر عشرة اللي هو عن ال infinite series section

3
00:00:09,290 --> 00:00:15,330
عشرة سبعة همنا نحكي اليوم عن ال power series power

4
00:00:15,330 --> 00:00:18,190
series بدنا نعرف بالأول إيش هي ال power series

5
00:00:18,190 --> 00:00:21,530
طبعا power series إما بتكون حوالين x تساوي صفر أو

6
00:00:21,530 --> 00:00:25,950
x تساوي أي نقطة أخرى اللي هي ال a  ال power series

7
00:00:25,950 --> 00:00:29,810
حوالين x تساوي صفر يعني شكلها بتكون  ∑ cn x

8
00:00:29,810 --> 00:00:33,300
أس n  Cn هي عبارة عن coefficients تباعت الـ Series

9
00:00:33,300 --> 00:00:38,040
و الـ X هي عبارة عن أي عدد حقيقي متغير يعني لو فكنا

10
00:00:38,040 --> 00:00:42,060
دي عبارة عن C0 عدد لما نعود بـ N تساوي صفر بيطلع

11
00:00:42,060 --> 00:00:47,140
علينا عدد حقيقي زائد C1 في X زائد C2 X تربيع و هكذا

12
00:00:47,140 --> 00:00:50,820
يعني الأنهاء دي لو احنا وقفنا لعين دليان بتكون هي

13
00:00:50,820 --> 00:00:54,840
polynomial بالأصل لكن لما النهاية تروح إلى ما لا نهاية

14
00:00:54,840 --> 00:00:58,280
بنسميها power series يبقى هي ال power series هي

15
00:00:58,280 --> 00:01:01,150
عبارة عن infinite polynomial infinite polynomial

16
00:01:01,150 --> 00:01:06,150
إذا كانت ال power series حوالين x تساوي a فبتكون

17
00:01:06,150 --> 00:01:09,910
ال series تبعتي بشكل بدل x أُس n يعني x ناقص a أُس

18
00:01:09,910 --> 00:01:16,330
n x ناقص a أُس n يعني لو فكناها بتفكر هذا الشكل ال

19
00:01:16,330 --> 00:01:19,830
a ها دي ال a أو الصفر هنا هو عبارة عن ال center

20
00:01:19,830 --> 00:01:23,950
تبع ال series و ال c هدول c1 و c2 هم ال

21
00:01:23,950 --> 00:01:29,860
coefficients تبع ال series طبعا بكونوا constant مثل

22
00:01:29,860 --> 00:01:33,500
أمثلة على ذلك يعني مثلا لو هنا summation مثلا قلنا

23
00:01:33,500 --> 00:01:36,880
x أس n يعني ال coefficient cn هي عبارة عن واحد

24
00:01:36,880 --> 00:01:40,280
يعني هي واحد زائد x زائد x تربيع إلى آخره فهذه

25
00:01:40,280 --> 00:01:44,280
عبارة عن power series حوالين ال x تساوي صفر مثلا

26
00:01:44,280 --> 00:01:46,780
∑ n زائد اتنين على اتنين أس n هي function

27
00:01:46,780 --> 00:01:50,580
of n هي cn هذه كلها cn في x ناقص واحد أس n هي

28
00:01:50,580 --> 00:01:53,740
الواحد هي ال a ال center تبع ال series يبقى هذه

29
00:01:53,740 --> 00:01:58,500
برضه power series و الـ center تبعها اللي هي واحد

30
00:01:58,500 --> 00:02:03,180
أو about x تساوي واحد و لما لو فكناها بنعوض ب N

31
00:02:03,180 --> 00:02:06,980
تساوي صفر بطلع اتنين بعدين N تساوي واحد باتير هنا

32
00:02:06,980 --> 00:02:10,560
أس واحد و بعدين هنا تربيع و هكذا لاحظوا انها برضه

33
00:02:10,560 --> 00:02:15,100
كولينوميل ولكن غير منتهية طيب ال ∑ اللي X أس N ع

34
00:02:15,100 --> 00:02:18,640
اتنين الان N ع اتنين هذي مش N هذي كسر يعني لو احنا

35
00:02:18,640 --> 00:02:21,820
عوضنا مثلا N تساوي صفر بمشي الحال واحد لكن عندما

36
00:02:21,820 --> 00:02:26,500
تكون ستظهر X أُس نصف لا يجب أن تكون X أُس أعداد

37
00:02:26,500 --> 00:02:32,380
كسريّة يجب أن تكون X مرفوعة على أعداد طبيعيّة يعني

38
00:02:32,380 --> 00:02:36,520
بهذا الشكل يكونوا مثل كل نوميال ملاحظة أن الـ

39
00:02:36,520 --> 00:02:39,420
Geometric series is a power series الـ Geometric

40
00:02:39,420 --> 00:02:42,160
series هي عبارة عن power series و سنأخذ عليها ده

41
00:02:42,160 --> 00:02:44,880
أمثلة يعني حالة خاصة من ال power series هي الـ

42
00:02:44,880 --> 00:02:47,400
Geometric series و أخذنا قبل هيك في الـ Geometric

43
00:02:47,400 --> 00:02:50,960
series برضه أمثلة فيها X يعني مثلا لو قلنا

44
00:02:50,960 --> 00:02:54,160
∑ ل X أس n من N تساوي Zero لما لنهاية هذه

45
00:02:54,160 --> 00:02:58,080
زي ∑ R أس n فالـ R هنا تساوي X الـ X هي

46
00:02:58,080 --> 00:03:01,620
الـ R في الـ Geometric Series الآن هذه الـ Series

47
00:03:01,620 --> 00:03:05,040
هي Power Series وهي Geometric برضه Series و

48
00:03:05,040 --> 00:03:08,200
Converge إذا كان |X| أقل من واحد و Diverge

49
00:03:08,200 --> 00:03:12,100
إذا كان |X| أكبر أو يساوي واحد و كمان مجموعها

50
00:03:12,100 --> 00:03:14,280
في هذه الحالة لما تكون Converge اللي هو واحد على

51
00:03:14,280 --> 00:03:19,910
واحد ناقص X، X اللي هي R يبقى النوع الخاص من ال

52
00:03:19,910 --> 00:03:23,610
power series هي ال geometric series مثل الآخر

53
00:03:23,610 --> 00:03:28,630
∑ (x-2) أُس N على 10 أُس N الآن هادي ممكن

54
00:03:28,630 --> 00:03:32,830
نكتبها بما أن كل أس n واحد الأساس فبتصير (x-2) على

55
00:03:32,830 --> 00:03:36,390
عشرة كل أس n الآن هادي صارت R أس n يبقى هادي power

56
00:03:36,390 --> 00:03:41,310
series و ال .. ال .. ال center بتبعها اللي هو 2 و

57
00:03:41,310 --> 00:03:43,730
.. و برضه هي عبارة عن حالة خاصة من ال power series

58
00:03:43,730 --> 00:03:45,890
اللي هو geometric series يعني هادي عبارة عن

59
00:03:45,890 --> 00:03:49,050
geometric برضه series الآن هادي converge إذا كان

60
00:03:49,050 --> 00:03:52,800
ال absolute value للـ R كلها اللي (x ناقص 2) على 10

61
00:03:52,800 --> 00:03:57,540
أقل من 1 يعني لو فكناها x أكبر من x ناقصين أقل من

62
00:03:57,540 --> 00:04:01,440
10 يعني x ناقصين أكبر من ناقص عشر و أقل من عشر يعني

63
00:04:01,440 --> 00:04:06,010
x أكبر من سالب 8 إلى 12 يبقى من سالب على في ال

64
00:04:06,010 --> 00:04:09,610
interval من ناقص 8 إلى 12 مفتوحة بتكون ال series

65
00:04:09,610 --> 00:04:12,830
هذه تبعتنا converge otherwise بتكون diverge يعني

66
00:04:12,830 --> 00:04:17,390
بعد ال 12 من ال 12 و بعد ال 12 و من ناقص 8 و قبلها

67
00:04:17,390 --> 00:04:21,350
كله بيكون اللي هو diverge يعني |x ناقص من|

68
00:04:21,350 --> 00:04:25,250
الأكبر أو يساوي عشرة إذا ال geometric series حالة

69
00:04:25,250 --> 00:04:27,910
خاصة من ال power series طب لو كانت ال function أو

70
00:04:27,910 --> 00:04:30,590
ال series هذه ال power series ليست geometric

71
00:04:30,590 --> 00:04:34,130
series كيف بدنا نتصرف معاها تعالوا نشوف كيف بدنا

72
00:04:34,130 --> 00:04:37,490
نطلعها الآن في شغل نسميها ال radius of convergence

73
00:04:37,490 --> 00:04:41,350
لل power series ال power series في لها نص قطر ال

74
00:04:41,350 --> 00:04:46,290
convergence تبعها قد إيش نص القطر هذا طبعا هنا في ال

75
00:04:46,290 --> 00:04:49,130
geometric series برضه في نص قطر نص القطر هو عبارة

76
00:04:49,130 --> 00:04:55,460
عن عشرة بنفعش من هنا نقول واحد نص القطر لأ لازم

77
00:04:55,460 --> 00:04:59,500
يكون |x ناقص a| أقل من العدد هذا ف |

78
00:04:59,500 --> 00:05:03,400
x ناقص a| أقل من العشرة فالعشرة هي عبارة عن ال

79
00:05:03,400 --> 00:05:07,000
radius و ال interval هي من ناقص 8 إلى 12 يبقى في

80
00:05:07,000 --> 00:05:09,420
عندي حاجة اسمها ال radius of convergence و في حاجة

81
00:05:09,420 --> 00:05:12,320
اسمها ال interval of convergence طبعا ال interval

82
00:05:12,320 --> 00:05:16,380
مثل ال radius هي نص قطر ال interval

83
00:05:19,580 --> 00:05:23,000
أما نطلعها عن طريق ال interval أو نطلعها عن طريق

84
00:05:23,000 --> 00:05:27,400
ال |x-a| أقل من العدد العدد هذا عبارة عن R

85
00:05:28,340 --> 00:05:31,480
طيب الآن ال series اللي ناخد لو أخذنا ال power

86
00:05:31,480 --> 00:05:35,540
series هذه طبعا هذه شاملة إذا كانت ال a تساوي صفر

87
00:05:35,540 --> 00:05:39,600
فبطلع about x تساوي صفر إذا كان في عدد هنا بتظل إن

88
00:05:39,600 --> 00:05:44,440
x حوالين ال a الآن ال series هذه ال convergence

89
00:05:44,440 --> 00:05:46,820
اللي لها أو ال radius of convergence لهذه ال

90
00:05:46,820 --> 00:05:50,180
series لها تلت حالات تلت حالات لل radius of

91
00:05:50,180 --> 00:05:55,630
convergence الحالة الأولى إنه في عندي عدد حقيقي

92
00:05:55,630 --> 00:06:01,130
موجب R بحيث إنه ال series تبعتي diverges for x

93
00:06:01,130 --> 00:06:05,310
with |x-a| أكبر من ال R ال |x-a|

94
00:06:05,310 --> 00:06:09,050
أكبر من ال R ففي عندي R بحيث ال series في هذه

95
00:06:09,050 --> 00:06:13,250
الفترة أكبر من ال R بتكون diverges و converges

96
00:06:13,250 --> 00:06:17,110
absolutely for x اللي هو |x-a| أقل من ال R

97
00:06:17,110 --> 00:06:20,390
لما تكون |x-a| أقل من ال R يعني زي الأمثلة

98
00:06:20,390 --> 00:06:24,550
اللي فاتت اللي شوفناها بتكون في هذه الفترة الـ

99
00:06:24,550 --> 00:06:31,330
converge absolutely الـ series عند اليساوي

100
00:06:31,330 --> 00:06:36,730
عند اليساوي يعني إيش الـ a-r و a زائد r عند

101
00:06:36,730 --> 00:06:40,010
اليساوي اللي هي نقاط الطرفية عند النقاط الطرفية

102
00:06:40,010 --> 00:06:44,030
طبعا بدها فحص عند كل نقطة لحالة هل هي converge أو

103
00:06:44,030 --> 00:06:46,890
diverge ممكن تكون converge ممكن تكون diverge ليش

104
00:06:46,890 --> 00:06:51,390
لإن احنا راح نعمل test اللي هو ال ratio test أو ال

105
00:06:51,390 --> 00:06:54,950
root test فعند الواحد اللي كنا نقول أكبر من واحد و

106
00:06:54,950 --> 00:06:58,250
أقل من واحد هذا بتكون إيه عشان عند يساوي واحد

107
00:06:58,250 --> 00:07:02,750
بتكون ال test fail فبالتالي بدنا عشان عند النقاط

108
00:07:02,750 --> 00:07:07,330
الطرفية لازم احنا نفحص هذه ال series هل هي

109
00:07:07,330 --> 00:07:08,670
converge ولا diverge

110
00:07:11,110 --> 00:07:14,090
الحالة الثانية من ال radius of convergence إن ال

111
00:07:14,090 --> 00:07:17,710
series تبعتي converge absolutely for every x يعني

112
00:07:17,710 --> 00:07:21,230
for all x هي converge مافيش ولا نقطة عندها diverge

113
00:07:21,230 --> 00:07:24,510
كلهم يعني ما يعني ذلك إن ال interval تبعتي هي كل

114
00:07:24,510 --> 00:07:27,550
الأعداد الحقيقية من ناقص ما لا نهاية إلى ما لا نهاية

115
00:07:27,550 --> 00:07:31,050
يعني في هذه الحالة ال radius يكون يساوي ما لا نهاية

116
00:07:31,370 --> 00:07:33,850
الحلقة الثالثة اللي بيكون عندها ال series converge

117
00:07:33,850 --> 00:07:36,810
عند نقطة إنها تكون converge عند نقطة فقط يعني ال X

118
00:07:36,810 --> 00:07:41,530
تساوي A مثلا ف .. و غير .. و .. و .. و باقي النقاط

119
00:07:41,530 --> 00:07:44,810
بتكون diverge فبهذه الحلقة بتكون ال radius تبعنا

120
00:07:44,810 --> 00:07:49,810
يساوي صفر يبقى الحلقات الثلاث لل radius of

121
00:07:49,810 --> 00:07:54,040
convergence لل power series أما يكون عدد حقيقي

122
00:07:54,040 --> 00:07:58,220
و بالتالي يكون هناك نقاط طرفية أفحص عندها أو يكون

123
00:07:58,220 --> 00:08:01,680
ال radius ما لا نهائية أو يكون ال radius صفر طيب

124
00:08:01,680 --> 00:08:05,020
كيف أنا بدي أفحص هذا أو بدي أعمل test إيش ال test

125
00:08:05,020 --> 00:08:09,200
اللي أنا بدي استخدمه بحيث إنه أشوف ال interval و

126
00:08:09,200 --> 00:08:12,840
ال radius of convergence يبقى how to test a power

127
00:08:12,840 --> 00:08:16,080
series for convergence كيف بدنا نعمل ال test هذا

128
00:08:16,080 --> 00:08:19,420
for convergence طبعا راح نستخدم ال ratio test أو

129
00:08:19,420 --> 00:08:23,040
ال root test فقط راح نستخدم واحد من هدول يعني لو

130
00:08:23,040 --> 00:08:25,760
كان عندي factorials بنستخدم ال ratio test لو كان

131
00:08:25,760 --> 00:08:32,720
عندي powers يعني أسوس بنستخدم ال root test يبقى

132
00:08:32,720 --> 00:08:35,620
بنستخدم واحد من هدول طبعا ال absolute لازم ratio

133
00:08:35,620 --> 00:08:37,860
test و ال absolute root test ليش بنستخدم ال

134
00:08:37,860 --> 00:08:41,120
absolute ال absolute و بالتالي بكون عندي absolutely

135
00:08:41,120 --> 00:08:44,400
convergence ليش لأنه في x و ال x مش معروفة هل هي

136
00:08:44,400 --> 00:08:48,080
موجبة ولا سالبة فبنعتبرها زي ال alternating series

137
00:08:49,790 --> 00:08:52,410
يبقى بنستخدمها to find the interval where the

138
00:08:52,410 --> 00:08:57,370
series converges absolutely طبعا ال series

139
00:08:57,370 --> 00:09:02,650
converges absolutely لما ال x ناقص a أقل من r يعني

140
00:09:02,650 --> 00:09:09,330
x بين a ناقص a و a ناقص r و a زائد r الآن بعد هيك

141
00:09:09,330 --> 00:09:14,470
دقيقاش لازم الخطوة الثانية اللي هو if the interval

142
00:09:14,470 --> 00:09:17,290
of absolute convergence is finite يعني ال interval

143
00:09:17,290 --> 00:09:21,670
هذا اللي A-R و A زائد R test for convergence or

144
00:09:21,670 --> 00:09:25,490
divergence at each end point عند كل end point اللي

145
00:09:25,490 --> 00:09:29,450
بأخذ النقطة X-R وببحث عندها series هل هي converge

146
00:09:29,450 --> 00:09:32,850
ولا لأ و A زائد R بأخذها كمان مرة لحالها وببحث ال

147
00:09:32,850 --> 00:09:36,990
series هل هي converge ولا diverge طبعًا في هذه

148
00:09:36,990 --> 00:09:40,190
الحالة بنشوف ال series إيش اللي بتطلع معنا إذا

149
00:09:40,190 --> 00:09:43,930
كانت series of positive terms قدامي خمسة sets

150
00:09:43,930 --> 00:09:47,050
أستخدمهم إذا كانت ال series alternating series

151
00:09:47,050 --> 00:09:52,410
طبعًا بنعرف برضه كيف نفحص ال alternating series إذا

152
00:09:52,410 --> 00:09:55,270
كانت الخطوة الثالثة أو الخطوة الثالثة if the

153
00:09:55,270 --> 00:09:58,290
interval of absolute convergence اللي هي إنقص R

154
00:09:58,290 --> 00:10:03,250
وزيادة الـR، the series diverges عند باقي النقاط،

155
00:10:03,250 --> 00:10:07,610
الأكبر من R كلها diverges حتى لو بال conditions

156
00:10:07,610 --> 00:10:11,390
عملناها برضه بتطلع diverges بال conditions، ليش؟

157
00:10:11,390 --> 00:10:15,190
لأن هي divergence بالـn term test، لأن limit

158
00:10:15,190 --> 00:10:20,220
للـAN بكون لا يساوي صفر طيب كل هذا الكلام نظري راح 

159
00:10:20,220 --> 00:10:25,360
نفهمه كله بالظبط من خلال الأمثلة example find

160
00:10:25,360 --> 00:10:28,840
their radius and interval of convergence of the

161
00:10:28,840 --> 00:10:32,480
power series summation ناقص واحد أس إن ناقص واحد X

162
00:10:32,480 --> 00:10:35,100
أس إن على N الآن هي عندنا إيش power series هذه

163
00:10:35,100 --> 00:10:39,300
power series بدنا نشوف إيش قيم X أو ال interval

164
00:10:39,300 --> 00:10:42,400
يعني الموجود فيها X وكمان ال radius اللي عندها ال

165
00:10:42,400 --> 00:10:46,460
series هذه converge طبعًا otherwise بتكون divergent

166
00:10:48,190 --> 00:10:51,930
الآن نستخدم ال ratio test أو ال root test بال

167
00:10:51,930 --> 00:10:52,930
absolute value

168
00:10:59,660 --> 00:11:03,800
لأ ده سؤال سهل a n زائد واحد على n داخل ال

169
00:11:03,800 --> 00:11:06,200
absolute value ليش قلنا absolute وبناخد absolute

170
00:11:06,200 --> 00:11:09,880
ratio test علشان في عندنا x وال x هذه ممكن تكون

171
00:11:09,880 --> 00:11:13,160
موجبة وممكن تكون سالبة لأن a n زائد واحد لما أخد

172
00:11:13,160 --> 00:11:17,580
absolute value الناقص واحد هذه of n بتروح ليش لإنه

173
00:11:17,580 --> 00:11:20,260
داخل ال absolute value السالب بيصير كله موجب

174
00:11:20,260 --> 00:11:24,070
فبالتالي هذه بكتبهاش بالأصل بالمرة بكتبهاش ليش؟

175
00:11:24,070 --> 00:11:26,410
لأنه أخدت أنا ال absolute value فبال absolute

176
00:11:26,410 --> 00:11:30,510
value ما بروحش بكتب هنا جوا a n زائد واحد بحطها دي

177
00:11:30,510 --> 00:11:33,750
بدل ال n n زائد واحد وبحط الناقص واحد وبعدين

178
00:11:33,750 --> 00:11:36,870
أقعد أختصل فيهم، لأ هذا كله الناقص واحد بلغيّه

179
00:11:36,870 --> 00:11:42,170
تمامًا، ليش؟ لأنه احنا أخدنا ال absolute value بنحط

180
00:11:42,170 --> 00:11:46,490
الـ N X plus N زائد واحد على N زائد واحد على N يعني

181
00:11:46,490 --> 00:11:50,850
ضرب مقلوبه ضرب N على X plus N الآن بنختصر هذه مع

182
00:11:50,850 --> 00:11:54,750
هذه بيظل X في ال bus هنا وهنا بيظل N على N زائد

183
00:11:54,750 --> 00:11:57,150
واحد يبقى N على N زائد واحد وطلعناها خارج ال

184
00:11:57,150 --> 00:12:00,970
absolute value لإن هي ال N موجبة هذا كله موجب بيظل

185
00:12:00,970 --> 00:12:04,730
X داخل ال absolute value لإن X مجهولة مش معروفة هل

186
00:12:04,730 --> 00:12:08,670
هي موجبة ولا سالبة الآن بناخد في ال ratio test طبعًا

187
00:12:08,670 --> 00:12:12,310
إيش بنعمل بس بنعمل ال AN زائد واحد على ال AN ونجيب

188
00:12:12,310 --> 00:12:15,770
ال limit لما انت قول إلى مال نهاية لما انت قول لما

189
00:12:15,770 --> 00:12:18,010
لنهائي إيش limit هذا طبعًا درجة بس تساوي درجة

190
00:12:18,010 --> 00:12:20,690
المقام وبالتالي ال limit واحد يعني بيظل absolute

191
00:12:20,690 --> 00:12:24,110
value of X يبقى ال limit له يقول ال absolute value

192
00:12:24,110 --> 00:12:27,050
of X لأن في ال ratio test بتكون هت converge إذا

193
00:12:27,050 --> 00:12:30,850
كانت أقل من واحد وأكبر من واحد diverse وعند اللي

194
00:12:30,850 --> 00:12:33,250
يساوي واحد ال test fail اللي هو بدنا نفقص إنت هيبقى

195
00:12:33,250 --> 00:12:37,850
هاي الثلاث حالات اللي قبل شوية حكيناهم في الثلاث

196
00:12:37,850 --> 00:12:42,410
خطوات الآن أول شيء بنحكي هذه أقل من واحد أقل من واحد

197
00:12:42,410 --> 00:12:45,890
بالواحد طبعًا هي ال R هي ال radius هي absolute X

198
00:12:45,890 --> 00:12:51,480
أقل من واحد فالواحد هي عبارة عن ال radius يعني لو

199
00:12:51,480 --> 00:12:53,960
فكينا هذه ال absolute value إن X بالنقص واحد إلى

200
00:12:53,960 --> 00:12:58,160
واحد يعني إننا في هذه الفترة converge absolutely

201
00:12:58,160 --> 00:13:01,180
ليش converge absolutely علشان احنا عملنا absolute

202
00:13:01,180 --> 00:13:04,140
ratio test فبتكون هذه الفترة فيها converge

203
00:13:04,140 --> 00:13:07,580
absolutely طيب عند اليساوي واحد قلنا ال test fail

204
00:13:07,580 --> 00:13:10,780
يبقى لازم أفحص عند الأكبر من واحد diverge يبقى هاي

205
00:13:10,780 --> 00:13:13,630
الحالات كلها أقل من واحد converge أكبر من واحد

206
00:13:13,630 --> 00:13:17,010
diverge بيظل عند الي يساوي واحد بدنا نفحصها ونشوف

207
00:13:17,010 --> 00:13:19,490
هل هي converge ولا diverge لإن هذا ال test failed

208
00:13:19,490 --> 00:13:23,310
عند الي يساوي واحد يعني يعني هنا بيكون في إشارة

209
00:13:23,310 --> 00:13:26,450
يساوي يعني في عندنا X تساوي سالب واحد و X

210
00:13:26,450 --> 00:13:30,550
تساوي واحد بدنا ناخد كل حالة منهم على حده يبقى عند

211
00:13:30,550 --> 00:13:33,690
ال X تساوي سالب واحد بنروح لل series الأصلي يعني

212
00:13:33,690 --> 00:13:38,610
لأن هذه القطة وخلصناها بناخد هذه النقطة ونعوض هنا

213
00:13:38,610 --> 00:13:42,350
بالـ x بساوي سالب واحد بنعوض هنا سالب واحد هي سالب

214
00:13:42,350 --> 00:13:46,710
واحد بيصير سالب واحد قُوة إن الآن هدول بنجمع هدول

215
00:13:46,710 --> 00:13:49,930
الأساسات واحدة بنجمع الأسس الأسس بيصير اتنين إن

216
00:13:49,930 --> 00:13:53,930
ناقص واحد لأن هذا الأس قُد وبالتالي ناقص واحد أس

217
00:13:53,930 --> 00:13:57,610
قُد فبيبقى ناقص واحد فبيبقى ناقص واحد على N الناقص

218
00:13:57,610 --> 00:14:01,090
تطلع برا ال series بيبقى ال series واحد على N ده

219
00:14:01,090 --> 00:14:03,510
هي ال series اللي طلعت معناها طبعًا هذه ال series

220
00:14:03,510 --> 00:14:07,550
معروفة إنها diverse لإنها harmonic series ولا بدها

221
00:14:07,550 --> 00:14:10,110
test ولا إشي لإنها إيه عشان معروفة يبقى هذه ال

222
00:14:10,110 --> 00:14:13,010
series معروفة harmonic series وبالتالي هي diverse

223
00:14:13,010 --> 00:14:15,870
يبقى عند النقطة X لساوية سالب واحد ال series

224
00:14:15,870 --> 00:14:21,390
تبعي إنها diverse for x equal 1 نرجع ثاني لل series

225
00:14:21,390 --> 00:14:25,490
وينعوض بدل x equal 1 هينعوضنا واحد واحد أس إن

226
00:14:25,490 --> 00:14:28,710
equal واحد فطلعت معنا ال series هذه لأن ال series

227
00:14:28,710 --> 00:14:32,050
هذه إيش نوعها برضه بدهاش test لإنها معروفة هي

228
00:14:32,050 --> 00:14:35,230
عبارة عن ال alternating harmonic series AHS

229
00:14:35,230 --> 00:14:38,350
alternating harmonic series ومعروف إن ال

230
00:14:38,350 --> 00:14:40,510
alternating harmonic series هي converge هنا

231
00:14:40,510 --> 00:14:43,430
conditionally converge conditionally طبعًا هذي احنا

232
00:14:43,430 --> 00:14:48,010
حاضرينها وعارفينها إذا معنى هذا الكلام إن ال

233
00:14:48,010 --> 00:14:51,690
interval تبعتي of convergence الناقص واحد مفتوحة ولا 

234
00:14:51,690 --> 00:14:56,290
مغلقة وهي عند الواحد converge conditionally و

235
00:14:56,290 --> 00:15:01,250
عند الناقص واحد ال diverge وعند الناقص واحد

236
00:15:01,250 --> 00:15:04,430
diverge من ناقص واحد إلى واحد converge absolutely

237
00:15:09,750 --> 00:15:12,990
وباقي النقاط غير هدول النقاط بتكون ال scene ال

238
00:15:12,990 --> 00:15:17,090
diverse طبعًا ال radius برضه يساوي واحد أما هي طول

239
00:15:17,090 --> 00:15:21,130
الفترة هذه اتنين بنقسمها اتنين بناخد نصها اللي هي

240
00:15:21,130 --> 00:15:24,250
تساوي واحد أو من هنا من هنا على طول بنقول من هنا

241
00:15:24,250 --> 00:15:31,440
الـR تساوي واحد الآن نشوف مثال آخر Series ناقص واحد

242
00:15:31,440 --> 00:15:34,800
برضه أس N ناقص واحد X أس 2N ناقص واحد على 2N ناقص

243
00:15:34,800 --> 00:15:37,760
واحد الآن بدنا نعمل برضه عليها test اللي هو ال

244
00:15:37,760 --> 00:15:41,240
absolute برضه ال absolute ratio test AN زائد واحد

245
00:15:41,240 --> 00:15:44,300
على AN داخل ال absolute value وقلنا الناقص واحد

246
00:15:44,300 --> 00:15:47,060
هذه بنلغيها بالمرة لإنه داخل ال absolute value هو

247
00:15:47,060 --> 00:15:51,720
بيصير موجبة وبنروح إيش كل N هنا بنعوض بدلها N زائد

248
00:15:51,720 --> 00:15:58,460
واحد على اتنين إن يعني الآن هذه الأس زي المقام يعني

249
00:15:58,460 --> 00:16:00,600
هذه المقام 2N زي 2N ناقص واحد اللي هي

250
00:16:00,600 --> 00:16:05,460
2N زي واحد على a n يعني ضرب مقلوب الآن فبتصير

251
00:16:05,460 --> 00:16:08,380
2N ناقص واحد على x أس 2N ناقص واحد

252
00:16:08,380 --> 00:16:12,640
الآن هذه مع هذه بنختصرهم فبظل عندك x تربيع في ال

253
00:16:12,640 --> 00:16:16,220
bus وبظل في ال bus اللي هو 2N ناقص واحد على

254
00:16:16,220 --> 00:16:20,150
2N زائد واحد الآن ال limit لهذا الكلام لما X

255
00:16:20,150 --> 00:16:22,850
تقول ما لنهاية طبعًا هنا درجة البس تساوي درجة

256
00:16:22,850 --> 00:16:28,050
المقام إذا بيصير إيش اللي هو اللي بناخد المعاملات

257
00:16:28,050 --> 00:16:31,610
اللي هو 2 على 2 و1 فبظل عندنا إيش X تربيع يبقى ال

258
00:16:31,610 --> 00:16:33,850
limit لهذا يساوي X تربيع وممكن نشيل ال absolute

259
00:16:33,850 --> 00:16:39,290
value لإن X تربيع موجبة الآن هي وجدنا ال limit في

260
00:16:39,290 --> 00:16:41,910
ال ratio test الآن بتكون ال series converge إذا

261
00:16:41,910 --> 00:16:45,920
كانت أقل من 1 إذا كان هذا أقل من 1 يعني لو أخدنا

262
00:16:45,920 --> 00:16:49,880
الجذر التربيعي للطرفين جذر ال X تربيع أقل من واحد

263
00:16:49,880 --> 00:16:53,760
يعني X من ناقص واحد إلى واحد طبعًا في هذه الفترة ال

264
00:16:53,760 --> 00:16:56,920
series تبعتنا converge absolutely وكمان مرة ليش

265
00:16:56,920 --> 00:17:00,360
قلنا absolutely عشان احنا عملنا absolute test وليس

266
00:17:00,360 --> 00:17:06,520
reference مباشرة بضل إيش وأين بدنا نفحص طبعًا خارج

267
00:17:06,520 --> 00:17:10,340
الواحد والناقص واحد يعني لما تكون ال extra بيه

268
00:17:10,340 --> 00:17:14,500
أكبر من واحد بتكون ال series diverse عند اليساوي

269
00:17:14,500 --> 00:17:19,000
بتكون fail ال test fail وبالتالي لازم نبحث عند

270
00:17:19,000 --> 00:17:21,860
اليساوي يعني عند اليساوي اللي هنا يعني عند الناقص

271
00:17:21,860 --> 00:17:26,020
واحد والواحد الآن نشوف عند الناقص واحد عند الناقص

272
00:17:26,020 --> 00:17:32,640
واحد يعني بنرجع لل series تبعتنا ونعوض بدل ال X

273
00:17:32,640 --> 00:17:36,420
تساوي سالب واحد ال X هنا بنعوض بدلها سالب واحد

274
00:17:36,420 --> 00:17:40,780
الآن سالب واحد قُوة 2N ناقص واحد مع هذه

275
00:17:40,780 --> 00:17:43,880
بنجمعهم بيصير 3N ناقص 2 الآن 3N

276
00:17:43,880 --> 00:17:48,520
ناقص 2 يعني هذه لو احنا عوضنا إن تساوي واحد

277
00:17:48,520 --> 00:17:53,060
بتطلع سالب واحد لما إن تساوي 2 3 في

278
00:17:53,060 --> 00:17:55,880
2 ستة ناقص 2 أربعة يعني بتطلع واحد يعني

279
00:17:55,880 --> 00:17:59,680
مفكوك هذه مرة ناقص واحد واحد ناقص واحد واحد وهكذا

280
00:17:59,680 --> 00:18:02,620
يعني ممكن نفقها بشكل ناقص واحد بدل القوس اللي 

281
00:18:02,620 --> 00:18:06,840
كونها القوة الكبير هي نفسها ناقص واحد قسمة ان لما أنتو

282
00:18:06,840 --> 00:18:09,600
ساوي واحد بتطلع ايش ناقص واحد قسمة واحد فبتطلع اول 

283
00:18:09,600 --> 00:18:12,080
pair ناقص واحد انتو ساوي اتنين بتطلع واحد انتو

284
00:18:12,080 --> 00:18:17,230
ساوي ثلاثة ناقص واحد وهاكذا نفس ما هو ممكن بطريقة

285
00:18:17,230 --> 00:18:21,390
أخرى أن هذا الأس او  n وبالتالي هذا ناقص واحد ناقص

286
00:18:21,390 --> 00:18:25,050
واحد ونجمع مع الأس هذا او بنعمله من هذه الطريقة

287
00:18:25,050 --> 00:18:28,450
لأن هذه .. هذه ال series اللي طلعت بدنا نشوف هل هي 

288
00:18:28,450 --> 00:18:31,210
converge ولا diverge طبعا ال series هذه بره

289
00:18:31,210 --> 00:18:34,070
alternating series بدنا نشوف هل هي converge

290
00:18:34,070 --> 00:18:38,250
conditionally أو absolutely طيب او .. او diverge

291
00:18:38,250 --> 00:18:42,800
الآن بناخد ال summation ل absolute ال a nاللي هي

292
00:18:42,800 --> 00:18:45,880
بالواحد ناقص واحد اثنين بيظل واحد ع  n ناقص واحد

293
00:18:45,880 --> 00:18:49,240
بنعمل لها limit comparison test مع واحد على n هي

294
00:18:49,240 --> 00:18:52,640
ال limit بتاعهم بيطلع نص اللي هو L الآن ال series 

295
00:18:52,640 --> 00:18:55,340
هذي diverge وبالتالي هذي ال series بتطلع diverge

296
00:18:55,340 --> 00:18:58,420
يبقى بال absolute value ايش طلعت diverge يبقى ايش 

297
00:18:58,420 --> 00:19:00,420
بدنا نعمل بدنا نعمل ال conditions التلاتة

298
00:19:00,420 --> 00:19:03,620
conditions يبقى ال alternating series بتكون may

299
00:19:03,620 --> 00:19:06,220
converge or may diverge مدام هذي ال series diverge

300
00:19:06,220 --> 00:19:09,340
ايش بدنا نعمل بدنا نعمل فيه conditions بناخد u n

301
00:19:09,340 --> 00:19:12,380
اللي هي تساوي واحد ع n ناقص واحد بنطبق عليها

302
00:19:12,380 --> 00:19:16,420
التلات شروط طبعا هي موجبة وهي تفاضلها سالب يعني

303
00:19:16,420 --> 00:19:19,920
decreasing وهي limit هي الى صفر يبقى التلات شروط

304
00:19:19,920 --> 00:19:22,220
انطبقوا يبقى ال series تبعتي converge

305
00:19:22,220 --> 00:19:25,880
conditionally يبقى ال series عند ال x تساوي سالب

306
00:19:25,880 --> 00:19:29,720
واحد converge conditionally فهيبقى ال x تساوي واحد 

307
00:19:29,720 --> 00:19:32,220
برضه بنروح بنعوض عليه في ال series اللي فوق بال x

308
00:19:32,220 --> 00:19:35,780
تساوي واحد فبصير هي ناقص واحد أس n ناقص واحد في

309
00:19:35,780 --> 00:19:36,240
واحد

310
00:19:39,550 --> 00:19:43,210
الآنها دي برضه alternating series هي نفس ال series

311
00:19:43,210 --> 00:19:48,150
اللى فوق هنا نفس ال series ها دي هي هي ال n او n-1

312
00:19:48,150 --> 00:19:52,850
مفارقةش لكن نفس هذا ال series فهي نفس الحل هذا

313
00:19:52,850 --> 00:19:55,130
ما بنرجعش نقيده مرة تانية يبقى هي converge

314
00:19:55,130 --> 00:19:58,490
conditionally هي as before زي نفس الخطوات هي اللي

315
00:19:58,490 --> 00:20:01,850
احنا عملناها لانها نفس ال series  تلعب معناها اذا

316
00:20:01,850 --> 00:20:05,050
صار عند الواحد وعند سالب واحد التلكين converge

317
00:20:06,190 --> 00:20:09,530
converge conditionally وبينهم converge absolute

318
00:20:09,530 --> 00:20:12,670
يبقى ال interval of convergence ناقص واحد واحد 

319
00:20:12,670 --> 00:20:22,250
مغلقة وال radius of convergence يساوي واحد سؤال 

320
00:20:22,250 --> 00:20:27,750
التالت summation ل x أس n على n factorial نعمل ال 

321
00:20:27,750 --> 00:20:31,570
ratio test absolute ratio test a n زائد واحد هي x أس

322
00:20:31,570 --> 00:20:34,660
n زائد واحد على n زائد واحد factorial على a n يعني

323
00:20:34,660 --> 00:20:40,200
ضرب مقلوبها الآن هادي على هادي بيظل x في البسط و

324
00:20:40,200 --> 00:20:43,980
هادي على هادي بيظل n زائد واحد في المقام فبيكون ال

325
00:20:43,980 --> 00:20:49,120
limit بيقدر بهذا الشكل absolute x وهي من طلعها من

326
00:20:49,120 --> 00:20:52,720
تحت ال absolute value الآن ال limit لهذا لما انت

327
00:20:52,720 --> 00:20:55,480
تقول الى مال نهاية يعني absolute x على مال نهاية

328
00:20:55,480 --> 00:20:58,900
ايش بيطلع ال limit؟ صفر دائما أقل من 1

329
00:20:58,900 --> 00:21:02,160
وبالتالي ال series هد converge for all x راحة x

330
00:21:02,160 --> 00:21:05,480
يبقى في أي قيمة ل x تختارها هنا دائما ال limit 0 

331
00:21:05,480 --> 00:21:08,980
وال 0 أقل من 1 بس ال series تبع ت converge for 

332
00:21:08,980 --> 00:21:11,960
all x تبع converge absolutely for all x يعني ال 

333
00:21:11,960 --> 00:21:14,500
interval of convergence هي من ناقص مالا نهاية لمالا

334
00:21:14,500 --> 00:21:18,300
نهاية وبالتالي ال radius يساوي مالا نهاية وهد الحلقة 

335
00:21:18,300 --> 00:21:23,360
التانية اللي حكينا عنهم بالحلقة فال summation ل n 

336
00:21:23,360 --> 00:21:27,410
factorial x أس n برضه جينا نعمل ال ratio test ن

337
00:21:27,410 --> 00:21:31,610
مضلها n زائد واحد و x زائد واحد على ال a n اللي هي 

338
00:21:31,610 --> 00:21:34,950
n factorial في x زائد واحد طبعا هذه بنختصرها مع

339
00:21:34,950 --> 00:21:38,170
هذه بيضل n زائد واحد في البسط وهي مع هاي بيضل x في 

340
00:21:38,170 --> 00:21:41,470
البسط شلنا ال absolute value من هاي وحطيناها على

341
00:21:41,470 --> 00:21:44,790
ال x لان ال limit لهذا عندما تقول إلى مالا نهاية

342
00:21:44,790 --> 00:21:48,230
تصبح مالا نهاية في أي عدد موجود هنا مالا نهاية

343
00:21:48,230 --> 00:21:51,210
طبعا ما عدا إذا كان العدد هذا صفر لو كانت ال x

344
00:21:51,210 --> 00:21:54,570
هذه صفر صفر في n زائد واحد قبل ما نوجد limit بطلع

345
00:21:54,570 --> 00:21:57,710
صفر و limit الصفر يساوي صفر يبقى هذا ال limit

346
00:21:57,710 --> 00:22:00,590
مالا نهاية عند كل الأعداد ما عدا عندما ال x تساوي 

347
00:22:00,590 --> 00:22:03,310
صفر بطلع صفر المعنى ذلك أن ال series تبع ت converge 

348
00:22:03,310 --> 00:22:07,390
النقطة واحدة وهي r صفر اذا ال radius

349
00:22:07,390 --> 00:22:10,850
of convergence يساوي صفر و هذه الحالة التالتة اللي

350
00:22:10,850 --> 00:22:16,910
حكينا عنها بالحلقة كمان

351
00:22:16,910 --> 00:22:21,230
سؤال على series عادية اللي هو الصممة لهذا المقدار

352
00:22:21,230 --> 00:22:25,930
كله طبعا هنا برضه بدنا نعمل ratio test absolute

353
00:22:25,930 --> 00:22:31,290
ratio test طبعا ناقص واحد أس n خلاص بنشيلها بنقطع 

354
00:22:31,290 --> 00:22:35,410
ثلاثة أس n بيصير ثلاثة أس n زائد واحد وهذا بيصير 

355
00:22:35,410 --> 00:22:38,900
أس n زائد واحد على و n زائد واحد الكل تربيع وبعدين 

356
00:22:38,900 --> 00:22:43,400
زائد واحد ضرب مقلوب ال a n الآن بدنا نختصر ثلاثة

357
00:22:43,400 --> 00:22:45,860
أس n وثلاثة أس n زائد واحد بيظل ثلاثة في البسط

358
00:22:45,860 --> 00:22:49,740
الآن هذه وهذه بيظل عندك 2 x زائد واحد في 

359
00:22:49,740 --> 00:22:52,460
البسط و هدولة ما فيش اشي يختصر بينهم بيظلوا زي ما 

360
00:22:52,460 --> 00:22:56,400
همنا فده هو a n مقبلة الآن ال limit لهدا لما انت 

361
00:22:56,400 --> 00:22:59,160
تقول لما لنهاية طبعا ثلاثة في هذا بيظل داخل ال

362
00:22:59,160 --> 00:23:02,820
value وال limit لهذا درجة البسط هذه n تربيع ودرجة

363
00:23:02,820 --> 00:23:06,420
المقام برضه n تربيع يبقى limit لهذا واحد فبيظل عندك

364
00:23:06,420 --> 00:23:10,480
ثلاثة في absolute 2 x ناقص واحد هذا ال limit يكون

365
00:23:10,480 --> 00:23:13,060
هذا ال series converge اذا كان هذا ال limit اقل من

366
00:23:13,060 --> 00:23:16,040
واحد أو diverge اكبر من واحد عند الواحد فيه

367
00:23:16,040 --> 00:23:20,480
وبالتالي بدنا نوجد ايش ال interval طبعا بنحلها هذه

368
00:23:20,480 --> 00:23:23,660
بنقسم على ثلاثة بالاول وبعدين بنفتر ال absolute

369
00:23:23,660 --> 00:23:27,920
value وبعدين ايش بتطلع x عندنا من ناقص اثنين ع 

370
00:23:27,920 --> 00:23:32,070
ثلاثة الى ناقص ثلث الآن ضال ال end points اللي هو 

371
00:23:32,070 --> 00:23:35,650
ناقص اثنين ع ثلاثة وناقص ثلث لازم نختبر عندهم طبعا هذه ال

372
00:23:35,650 --> 00:23:40,250
interval ال series عندها غير absolute الآن بدنا

373
00:23:40,250 --> 00:23:43,250
نختبر عند النقطة الطرفية بناخد النقطة الطرفية

374
00:23:43,250 --> 00:23:47,410
الأولى at x تساوي ناقص اثنين ع ثلاثة وبنروح بنعوض في ال

375
00:23:47,410 --> 00:23:52,120
series الأصلية طيب شوية بس بدنا نقول ملاحظة هنا إنه

376
00:23:52,120 --> 00:23:56,120
لما أنا بكتب هذه بقولش الثلث هي r ليش الثلث مش r

377
00:23:56,120 --> 00:24:01,460
لان هذه 2 x زائد واحد لازم تكون x زائد أو ناقص a x

378
00:24:01,460 --> 00:24:05,540
ناقص a مش 2 x يعني لو احنا اخذنا اثنين عامل مشترك

379
00:24:05,540 --> 00:24:09,400
بيصير .. لو أخدت من هنا اثنين عامل مشترك بتصير x

380
00:24:09,400 --> 00:24:13,720
زائد نص أقل من ثلث وقسمنا على الاثنين فتصير هذا

381
00:24:13,720 --> 00:24:16,960
سدس فبطلع ال radius سدس لو احنا بدنا نشتغلها من

382
00:24:16,960 --> 00:24:19,980
هنا نطلع ال radius لكن ممكن احنا نطلع ال radius من 

383
00:24:19,980 --> 00:24:22,790
هنا يعني هذه ال interval بنشوف قد ايش طولها وبنقسم 

384
00:24:22,790 --> 00:24:27,870
على اثنين طيب لان ناخد عند ال x فهو ناقص اثنين ع

385
00:24:27,870 --> 00:24:32,090
ثلاثة فبنروح بنعوض بدل ال x هذه ناقص اثنين ع ثلاثة

386
00:24:32,090 --> 00:24:35,370
فاتنين في ناقص اثنين ع ثلاثة زائد واحد بطلع ناقص

387
00:24:35,370 --> 00:24:39,230
ثلث فبطلع ناقص ثلث أس n لأن هذه ثلاثة أس n وفي

388
00:24:39,230 --> 00:24:43,690
ثلاثة أس n هنا في المقام بروح مع بعض فبتظل اللي هو

389
00:24:43,690 --> 00:24:48,070
ناقص واحد أس n ناقص واحد أس n مع ناقص واحد أس n

390
00:24:48,070 --> 00:24:51,810
بظل ناقص واحد أس اثنين يعني بروحوا مع بعض بيصير

391
00:24:51,810 --> 00:24:56,710
موجب فبتضل هنا 1 يعني بتضل في الآخر 1

392
00:24:56,710 --> 00:25:00,170
على n تربيع زائد واحد الآنها دي بنعمل لها limit

393
00:25:00,170 --> 00:25:03,830
comparison test مع 1 على n تربيع وال 1 على n تربيع

394
00:25:03,830 --> 00:25:06,770
ال series تبعتنا converge وبالتالي converge طيب

395
00:25:06,770 --> 00:25:12,070
انا ما فصلتش هنا لأنه كثير عدنا فيه فال series ل 1

396
00:25:12,070 --> 00:25:14,070
على n تربيع converge وبالتالي هاد ال series 

397
00:25:14,070 --> 00:25:17,050
converge يبقى ال series تبعتنا converge عند اللي

398
00:25:17,050 --> 00:25:22,950
هو ناقص 2 على 3 لان اد x تساوي سالب مالا نهاية عند السالب 

399
00:25:22,950 --> 00:25:26,670
مالا نهاية طبعا بنعوض عن ال x فوق هنا سالب مالا نهاية في 2 زائد

400
00:25:26,670 --> 00:25:30,430
1 بطلع ثلث أس n ثلث أس n يعني ثلاثة أس n مع ثلاثة 

401
00:25:30,430 --> 00:25:33,090
أس n بتروح مع بعض بتظهر انها ناقص واحد أس n على

402
00:25:33,090 --> 00:25:37,450
n تربيع زائد واحد طبعا هذه alternating series ال 

403
00:25:37,450 --> 00:25:38,810
alternating series اللي بنشوفها converge 

404
00:25:38,810 --> 00:25:41,290
absolutely ولا conditionally ناخد ال absolute

405
00:25:41,290 --> 00:25:43,790
value بتطلع هذه ال series طبعا هذه ال series هي

406
00:25:43,790 --> 00:25:46,570
نفسها هذه فبالتالي هي converge وبالتالي ال series 

407
00:25:46,570 --> 00:25:51,230
تبقى ت converge absolutely إذن صار عندك اللي هو ال

408
00:25:51,230 --> 00:25:55,030
interval of convergence مغلقة من عند النقاط 

409
00:25:55,030 --> 00:26:00,210
الطرفية الثلثين ناقص ثلث وناقص ثلث وناخد طول هذه 

410
00:26:00,210 --> 00:26:03,830
الفترة ونقل نصها فبطلع طول الفترة اللي هو طول

411
00:26:03,830 --> 00:26:08,090
اللي بتطلع نصها اللي هو سدس اللي هو نصف طول الفترة 

412
00:26:08,090 --> 00:26:11,490
أو زي ما قلنا من فوق من خلال ال absolute value

413
00:26:11,490 --> 00:26:16,330
كويس هلقيته؟ ايش؟ نشوف السؤال اللي بعده Formation 

414
00:26:16,330 --> 00:26:21,790
ناقص 1 أس n زائد 1 في x زي 2 أس n على n 2 أس n

415
00:26:21,790 --> 00:26:24,670
اللي أنا هنا بدي أعمل عليها دي ال root test ليش؟

416
00:26:24,670 --> 00:26:28,730
لان في عندك أسس هنا و n أس واحد على n معروف قد ايش

417
00:26:28,730 --> 00:26:31,930
الليمت لهذا الآن الجذر النوني لل a n ال absolute

418
00:26:31,930 --> 00:26:35,610
value طبعا ناقص واحد أس n بنحطهاش وبنحط هذا داخل

419
00:26:35,610 --> 00:26:39,430
absolute value الجذر النوني لهذه بتروح ال n هذي و

420
00:26:39,430 --> 00:26:43,370
2 أس n بتروح ال n بيضل هنا n أس واحد على n يبقى n

421
00:26:43,370 --> 00:26:47,010
أس واحد على N وهذي 2 وهذي الأس تبعها هذي الآن ال

422
00:26:47,010 --> 00:26:49,190
limit لهذه لما أنت تقول لما للنهاية بيصير بس ال

423
00:26:49,190 --> 00:26:51,590
limit لهذا وlimit لهذا واحد معروف من خلال ال

424
00:26:51,590 --> 00:26:57,200
table طب يظل عندنا absolute x زائد اثنين على اثنين

425
00:26:57,200 --> 00:27:00,280
طب عن ال series converge إذا كان هذا المقدر أقل من

426
00:27:00,280 --> 00:27:04,080
واحد يعني x زائد اثنين أقل من اثنين الآن هنا ممكن

427
00:27:04,080 --> 00:27:07,380
هادد هنا والاثنين هي الـ R على طول من هنا الـ R

428
00:27:07,380 --> 00:27:09,820
radius of convergence هي اثنين ليش؟ لأنه هاد X

429
00:27:09,820 --> 00:27:13,200
معاملة واحد X زائد اثنين يعني عبارة عن X ناقص A

430
00:27:13,200 --> 00:27:16,600
يعني الـ center تبعي هو عبارة عن ناقص اثنين أقل من

431
00:27:16,600 --> 00:27:19,880
اثنين فالأثنين هي R الآن عشان احنا بدنا .. طبعا

432
00:27:19,880 --> 00:27:23,400
لازم نفك الـ interval هذه على absolute value علشان

433
00:27:23,400 --> 00:27:27,320
نطلع النقاط الطرفية إيش هي؟ فبنفكها يعني بنقول X زي

434
00:27:27,320 --> 00:27:31,380
2 أكبر من ناقص N أقل من 2 يعني الـ X تبعتي أكبر من

435
00:27:31,380 --> 00:27:36,020
ناقص 4 أقل من 0 لأن النقطة الطرفية هذه بدنا نختبر

436
00:27:36,020 --> 00:27:40,180
أنها فبناخد النقطة الأولى X تساوي سالب 4 وبنعوض

437
00:27:40,180 --> 00:27:46,140
بالـ X هذه سالب 4 زي 2 بيطلع ناقص 2 ناقص 2 أس N ناقص 1

438
00:27:46,140 --> 00:27:51,580
أُس N مع هذه تصبح 2N زائد 1 ويبقى 2 أُس N على

439
00:27:51,580 --> 00:27:56,040
المقام الآن 2 أُس N بيختصروا مع بعض وهذه ناقص 1 أُس

440
00:27:56,040 --> 00:28:00,600
4 بيبقى ناقص 1 على N يعني هي برة ناقص المجموع اللي

441
00:28:00,600 --> 00:28:07,400
1 على N طبعا هذه harmonic series diverge يبقى عند

442
00:28:07,400 --> 00:28:10,260
النقطة الثانية اللي هو الـ X ساوي 0 مثلا هو ده الـ X

443
00:28:10,260 --> 00:28:15,570
ساوي 0 يبقى 2 أُس N بتروح من اثنين مع اثنين فبتظهر

444
00:28:15,570 --> 00:28:18,430
لإنها ناقص واحد اثنين زائد واحد على N طبعا هذي

445
00:28:18,430 --> 00:28:20,910
converge conditionally لإنها alternating harmonic

446
00:28:20,910 --> 00:28:24,410
series إذا صار عندك الـ interval of convergence

447
00:28:24,410 --> 00:28:27,910
ناقص أربعة مفتوحة لإنها أنت diverge والسفر إنها

448
00:28:27,910 --> 00:28:32,530
مغلقة لإنها converge والـ R تساوي اثنين أو نصف طول

449
00:28:32,530 --> 00:28:35,910
الفترة الفترة دي طولها أربعة نصفها يساوي اثنين

450
00:28:39,260 --> 00:28:42,880
فضيلة عندنا شغلتين بس مضاريتين بدنا نمر عليهم

451
00:28:42,880 --> 00:28:46,000
اللي هو كيف بدنا .. بدنا بيه x الآن الـ power

452
00:28:46,000 --> 00:28:49,120
series هذه فيها x معناه ذلك هذه الـ series تبعتي هي

453
00:28:49,120 --> 00:28:52,620
عبارة عن function of x function of x إذن بعتبرها

454
00:28:52,620 --> 00:28:56,140
هي f of x f of x تساوي الـ series هذه طبعا ليش؟

455
00:28:56,140 --> 00:29:00,300
لإنها قلنا بكل نومية لغير منتهية فبالتالي هي عبارة

456
00:29:00,300 --> 00:29:05,780
عن برضه function function of x إذا ممكن أنا أفاضلها

457
00:29:05,780 --> 00:29:09,240
وممكن أكملها فبنشوف كيف بدنا أن نفاضل الـ series و

458
00:29:09,240 --> 00:29:12,080
كيف بدنا أن نكاملها الانتفاع دول الـ series عم

459
00:29:12,080 --> 00:29:14,860
بتقوش الـ F prime of X كيف بدنا نفاضلها هذه ال

460
00:29:14,860 --> 00:29:18,160
series طبعا وين هي converge في الـ interval of

461
00:29:18,160 --> 00:29:22,520
convergence تبعتها إذا كانت هذه الـ series converge

462
00:29:22,520 --> 00:29:26,700
في هذه الفترة بـ A ناقص R وA زائد R فتفاضلها برضه

463
00:29:26,700 --> 00:29:29,880
converge if prime تبعتها لـ converge و if double

464
00:29:29,880 --> 00:29:33,580
prime كل التفاضلات تبعتها الـ derivatives برضه

465
00:29:33,580 --> 00:29:37,240
بتكون converge في هذه الفترة اللي عندها الـ series

466
00:29:37,240 --> 00:29:40,020
converge طبعا لو كان عند الـ end points converge لأ

467
00:29:40,020 --> 00:29:43,060
احنا بناخد داخل الفترة لما نفاضل بناخد التفاضل و

468
00:29:43,060 --> 00:29:46,440
نكون داخل الفترة بيكون برضه converge طيب كيف

469
00:29:46,440 --> 00:29:49,900
بنفاضلها؟ طبعا لما بنفاضل series يعني خليني بس هنا

470
00:29:49,900 --> 00:29:53,000
احتاج .. الآن هي مفكوك الـ series هي مفكوك الـ

471
00:29:53,000 --> 00:29:55,940
series كيف بنفاضلها؟ بنروح بنفاضل أولا 3 تفاضل و0

472
00:29:55,940 --> 00:29:59,960
تفاضل و1 هذي تفاضل و2 X وهذي 3 X تربيع و4 X و

473
00:29:59,960 --> 00:30:03,860
4 يبقاش بنفاضل term by term كل term لحاله بنفاضله

474
00:30:03,860 --> 00:30:06,540
والـ term سبعتناه هي نفس الـ term اللي موجودة هنا

475
00:30:06,540 --> 00:30:09,440
هي الـ term سبعتناه هنا يبقى معنى ذلك أنا بدأ فاضل

476
00:30:09,440 --> 00:30:12,320
هذا الـ term اللي جوا الـ term هذا إيش تفاضله؟ اللي

477
00:30:12,320 --> 00:30:17,030
هو N X ناقص A قص N ناقص 1 يبقى هاي f prime of x

478
00:30:17,030 --> 00:30:20,270
تساوي هذه ash تتريباتيف بروح بفاضل الـ ash اللي جوا

479
00:30:20,270 --> 00:30:24,070
طيب هنا بدأ من N تساوي حد ليش بدنا من N تساوي حد؟

480
00:30:24,320 --> 00:30:30,460
لأن أفاضل الـ 1 هو 0 يبقى راح أول term لذلك عندما

481
00:30:30,460 --> 00:30:33,620
N تساوي 0 راح الـ term يبدأ في الـ series من N تساوي

482
00:30:33,620 --> 00:30:37,000
1 طب كيف بدنا نعرف؟ نروح من في الـ أول term عندما N

483
00:30:37,000 --> 00:30:42,040
تساوي 0 يظهر X نقص A أُس 0 يعني أول term هو C صفر

484
00:30:42,040 --> 00:30:46,040
C صفر هو عدد حقيقي ومبتدأ تفاضله صفر إذا تبدأ ال

485
00:30:46,040 --> 00:30:49,120
series من N تساوي 1 طب بدنا الـ second derivative F

486
00:30:49,120 --> 00:30:51,540
double prime إيش بنعمل برضه من الفاضل اللي جوا

487
00:30:51,830 --> 00:30:56,490
بتصير هذه N-1 X-A أُس N-2 طب بنتشوف الـ series

488
00:30:56,490 --> 00:30:59,830
نبتقها من وين؟ من اثنين ولا برضه من واحد؟ الآن

489
00:30:59,830 --> 00:31:03,250
بتشوف أول term لما N تساوي واحد بيصير هذه أُس صفر و

490
00:31:03,250 --> 00:31:06,890
الصفر يعني بيضل هنا وهذه واحد يعني C واحد يعني

491
00:31:06,890 --> 00:31:10,330
هذه إيش C واحد، C واحد عدد حقيقي تفاضله صفر يبقى

492
00:31:10,330 --> 00:31:13,750
الـ term الأول راح فبالتالي الـ series تبدأ من ال

493
00:31:13,750 --> 00:31:18,500
term الثاني اللي هو من N تساوي اثنين وها كذا ممكن

494
00:31:18,500 --> 00:31:22,000
نوجد الـ third derivative أو أي derivative بدنا

495
00:31:22,000 --> 00:31:26,800
يعني طيب أوجد دي بقول أوجد الـ series for f prime

496
00:31:26,800 --> 00:31:30,980
of x and f double prime of x if f of x تساوي اللي

497
00:31:30,980 --> 00:31:34,040
هي الـ series ها طبعا الـ series ها دي هي مفكوكة هي

498
00:31:34,040 --> 00:31:37,220
عبارة عن summation لل x أُس N طبعا هذه الـ series

499
00:31:37,220 --> 00:31:40,440
أخدناها مثال وهي برضه الـ geometric series اللي هي

500
00:31:40,440 --> 00:31:44,990
converge من ناقص واحد إلى واحد ومجموعة يساوي 1 على

501
00:31:44,990 --> 00:31:49,330
1 ناقص x الآن بيدناقش f prime of x اللي هي المشتقة

502
00:31:49,330 --> 00:31:53,550
تبعتها المشتقة تبعتها لـ n x أُس n ناقص واحد طب

503
00:31:53,550 --> 00:31:55,930
البداية هل هي من صفر ولا من واحد بما أن الـ series

504
00:31:55,930 --> 00:31:59,150
تبدأ من واحد يبقى أول pair برة يبقى يبدأ من n

505
00:31:59,150 --> 00:32:02,870
تساوي واحد فمش .. برضه هذه ال .. هذه ممكن لوجد

506
00:32:02,870 --> 00:32:06,590
مجموعة عليه مجموعة هذه يبقى تفاضل هذه تفاضل هذه

507
00:32:06,590 --> 00:32:09,190
إيش يساوي اللي هو واحد على واحد ناقص x اللي كنت

508
00:32:09,190 --> 00:32:11,950
بيبقى يبقى مجموعة هذه الـ series كمان معروف اللي هو

509
00:32:11,950 --> 00:32:16,660
هذا المقدار فبيصير if w prime of x إيش تساوي n ناقص

510
00:32:16,660 --> 00:32:20,920
واحد x أُس n ناقص اثنين طبعا في ال n فبالتالي من

511
00:32:20,920 --> 00:32:23,640
فاضلها .. من فاضل الـ terms اللي جوا كمان برضه لما

512
00:32:23,640 --> 00:32:26,400
n تساوي واحد بيطلع دي x أُس صفر يعني أول term في

513
00:32:26,400 --> 00:32:30,360
هذه الـ series واحد وبالتالي الـ series بتاعتى تبدأ

514
00:32:30,360 --> 00:32:34,640
من اثنين طيب الآن هذه الـ series بنروح برضه .. من

515
00:32:34,640 --> 00:32:37,180
الممكن إنها تساوي هذه يبقى هذه تفاضلة إيش تساوي

516
00:32:37,180 --> 00:32:40,960
اثنين على واحد ناقص x لكل تكعيب يبقى كمان مجموع هذه

517
00:32:40,960 --> 00:32:43,040
الـ series يساوي هذا المقدار

518
00:32:45,720 --> 00:32:49,940
فيها سيريز ثانية اسمها الـ Exponential Function E

519
00:32:49,940 --> 00:32:52,880
أُس X E أُس X هي عبارة عن الـ Sum measure X plus N

520
00:32:52,880 --> 00:32:58,060
على N factorial يعني هي 1 زي X زي X تربيع 2 زي X

521
00:32:58,060 --> 00:33:03,000
تربيع 3 factorial X plus 4 على 4 factorial وهكذا

522
00:33:03,000 --> 00:33:07,320
لأن هذه السيريز بدنا نشوف التفاضل تبعها التفاضل

523
00:33:07,320 --> 00:33:13,180
الأول تفاضل الأول لما نفاضلها هي E أُس X تساوي N X

524
00:33:13,180 --> 00:33:16,500
أُس N ناقص واحد على N factorial طبعا بتنزل زي ما

525
00:33:16,500 --> 00:33:19,380
هي طبعا بما أنه أول term واحد فالـ series تبدأ من

526
00:33:19,380 --> 00:33:24,800
واحد لأن هذه الـ series هي لو أنا اختصرت هذه مع هذه

527
00:33:24,800 --> 00:33:28,680
لو هذه فكيتها بيصير إيش N في N ناقص واحد factorial

528
00:33:28,680 --> 00:33:31,880
بتروح مع ال N فبتضل عندك في المقام N ناقص واحد

529
00:33:31,880 --> 00:33:35,980
factorial طبعا هذه الـ series هي نفسها الـ series

530
00:33:35,980 --> 00:33:42,020
تبعت الـ E أُس X يعني لو احنا اجينا فكناها بنلاقي

531
00:33:42,020 --> 00:33:46,600
المفكوكة هو نفسه هذا أو لو غيرنا الـ index نخليه من

532
00:33:46,600 --> 00:33:50,520
صفر زي هذه هل هذه هي نفسها هذه تعالوا نغير ال

533
00:33:50,520 --> 00:33:55,380
index لما نقص N من صفر يعني بدي نقص هنا واحد فهنا

534
00:33:55,380 --> 00:33:58,880
بدي ازود واحد لما ازود واحد بيصير X of N وهنا ازود

535
00:33:58,880 --> 00:34:03,450
واحد بيصير H of N فبنطلع هي نفس هذه السيرة الآن if

536
00:34:03,450 --> 00:34:07,590
w prime of x برضه بيبقى فاضل هدى كمان مرة بيصير إن

537
00:34:07,590 --> 00:34:10,950
فاضل هنا من هنا اللي هي n ناقص واحد x أُس n ناقص

538
00:34:10,950 --> 00:34:14,390
اثنين ثم برضه بنفك هدى بيبقى n ناقص اثنين فاكتوريا

539
00:34:14,390 --> 00:34:18,090
اللي بتروح ن ناقص واحد اللي هدى الـ series برضه هي

540
00:34:18,090 --> 00:34:21,550
نفس الـ series تبع الـ E أُس X اللي هدى لو بدناها من

541
00:34:21,550 --> 00:34:24,170
صفر يعني بدنا ناقص اثنين هنا بنروح نزود اثنين

542
00:34:24,170 --> 00:34:27,870
فبنزود هنا اثنين فبيطلع n x أُس n على n فاكتوريا

543
00:34:27,870 --> 00:34:32,460
اللي يبقى هي نفس إيش هدى الـ series إذا تفاضل E أُس X

544
00:34:32,460 --> 00:34:35,900
هي نفسها E أُس X وهي الـ Series برضه طلعت نفسها هي

545
00:34:35,900 --> 00:34:41,940
هي فبالتالي هذه بالنسبة للتفاضل الـ Kip التفاضل

546
00:34:41,940 --> 00:34:44,720
اللي هو الـ Series الآن كيب بدنا نكامل الـ Series

547
00:34:44,720 --> 00:34:47,680
term by term integration theorem برضه ال

548
00:34:47,680 --> 00:34:50,620
integration برضه term by term زي ما احنا بدنا

549
00:34:50,620 --> 00:34:54,120
نكامل مثلا هي عندك هذه الـ Series لو بدنا نكامل هذه

550
00:34:54,120 --> 00:34:57,340
الـ Series بروح بكامل هذه ناقص تكامل هذه جاءت تكامل

551
00:34:57,340 --> 00:35:00,880
هذه ولا كده فهيك بنكمل الـ series إذا برضه تكامل ال

552
00:35:00,880 --> 00:35:03,960
series بروح بكمل المقدار اللي جوا الـ terms اللي

553
00:35:03,960 --> 00:35:08,160
جوا طبعا وين كان الـ series هادي converge بهدى ال

554
00:35:08,160 --> 00:35:11,960
interval برضه تكاملها برضه بيكون converge فالتكامل

555
00:35:11,960 --> 00:35:25,520
تبعها برضه converge في نفس ال فترة تبع الـ series

556
00:35:25,520 --> 00:35:30,780
دايما عن نقطة البداية لإنها فيش إيش تكمل وصفر

557
00:35:31,710 --> 00:35:35,890
وبالتالي التكامل بيكبر مش ب .. مش ب .. ب .. بزاطر

558
00:35:35,890 --> 00:35:39,490
وبالتالي مثلا هنا بدت بـ X فبتصير X تربيع تكاملها

559
00:35:39,490 --> 00:35:43,390
بدت بواحد تكاملها X فمافيش terms بضيعه فبتظل نفس

560
00:35:43,390 --> 00:35:53,210
بداية الـ series هي نفسها إذا التكامل يبقى تكامل 

561
00:35:53,210 --> 00:35:58,830
f of x dx هي عبارة عن التكامل اللي جوا وبعدين تبقى 

562
00:35:58,830 --> 00:36:03,090
برضه ذائد c مثال

563
00:36:03,090 --> 00:36:07,750
على ذلك identify the function f of x<sup>2</sup> ساوي نقص

564
00:36:07,750 --> 00:36:10,410
واحد أسئلة إيش يعني identify the function؟ يعني

565
00:36:10,410 --> 00:36:12,810
شوف هذه ال function إيش هي؟ إيش هي هذه ال

566
00:36:12,810 --> 00:36:17,460
function؟ الآن هذه ال function اللي مفكوكة بهذا

567
00:36:17,460 --> 00:36:20,700
الشكل واللي conversion من ناقص واحد إلى واحد طبعا

568
00:36:20,700 --> 00:36:24,860
أخدنا نفس الشيء و بس سالب واحد نفس الشيء الآن لو

569
00:36:24,860 --> 00:36:27,360
أجيت أنا أفاضل هذه ال function f prime of x إيش

570
00:36:27,360 --> 00:36:29,940
تساوي طبعا قلنا بإننا نفاضل إيه؟ ال x اللي جوا

571
00:36:29,940 --> 00:36:35,750
إيش تفاضل هذه؟ اللي 2n زائد 1 x  قوة 2n لأن 2 و Z1

572
00:36:35,750 --> 00:36:40,830
تختلف مع هذه فبيظل و هنا X تربيع و ناقص واحد بنوحد

573
00:36:40,830 --> 00:36:44,310
الأسس تبعتها من فترة كل أسئن يعني بيصير ناقص X

574
00:36:44,310 --> 00:36:48,830
تربيع أسئن لأن هذه ال series  أسئن هي عبارة عن

575
00:36:48,830 --> 00:36:51,870
Geometric Series Converged إذا كانت ال absolute

576
00:36:51,870 --> 00:36:54,990
value لناقص X تربيع أقل من واحد يعني absolute X

577
00:36:54,990 --> 00:37:02,290
أقل من واحد الآن كمان ال F prime هذه ال F prime

578
00:37:02,290 --> 00:37:06,470
اللي هي تساوي هذه ال seriesنقل من ناقص واحد إلى

579
00:37:06,470 --> 00:37:10,350
واحد يبقى مجموعة إيش يساوي واحد على واحد ناقص R

580
00:37:10,350 --> 00:37:13,390
والـR تبعتي هي ناقص X تربيع فبتصير زائد X تربيع

581
00:37:13,390 --> 00:37:18,530
يبقى F prime F prime تساوي المشتقة تبع هذه ال

582
00:37:18,530 --> 00:37:21,570
series واحد على واحد زائد X تربيع احنا بنقول

583
00:37:21,570 --> 00:37:24,150
identify بدرك إيش هي ال F of X يبقى إيش بدي اعمل

584
00:37:24,150 --> 00:37:28,600
بدي اكامل بدي اكامل الآن نجي هنا f prime تساوي هذه

585
00:37:28,600 --> 00:37:33,540
يبقى بدي اكامل تكامل f prime اللي هو f يساوي تكامل

586
00:37:33,540 --> 00:37:37,260
اللي هو 1 على 1 زائد x تقريبا إيش تكامل هذه عبارة

587
00:37:37,260 --> 00:37:40,460
عن tan inverse x من ثم زائد c يبقى عرفنا ال

588
00:37:40,460 --> 00:37:43,660
function تبعتي f of x اللي ال series الأصلية هذه

589
00:37:43,660 --> 00:37:47,360
اللي فوق هي عبارة عن tan inverse x زائد c الآن

590
00:37:47,360 --> 00:37:51,020
ممكن هنا ناخد condition عشان نطلع قيمة c انه f of

591
00:37:51,020 --> 00:37:54,400
0 يساوي 0 من وين جبناها؟ دي من هنا لما نعوض هنا ب

592
00:37:54,400 --> 00:37:58,840
x صفر، صفر، صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،

593
00:37:58,840 --> 00:38:02,760
زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،

594
00:38:02,760 --> 00:38:02,980
زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،

595
00:38:02,980 --> 00:38:03,480
زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،

596
00:38:03,480 --> 00:38:05,260
زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،

597
00:38:05,260 --> 00:38:07,580
زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،

598
00:38:07,580 --> 00:38:12,310
زائد صفر الآن نجي هنا نعوض يبقى f of 0 اللي يتساوي 0

599
00:38:12,310 --> 00:38:15,350
اللي يتساوي tan inverse of 0 زائد c طبعا tan

600
00:38:15,350 --> 00:38:18,910
inverse of 0 يساوي 0 فبتطلع ال constant تبعنا 0

601
00:38:18,910 --> 00:38:22,270
إذن ال f of x تبعتنا هي عبارة عن tan inverse x

602
00:38:22,270 --> 00:38:25,110
يبقى هيك عرفنا اللي هو ال tan inverse ال function

603
00:38:25,110 --> 00:38:28,050
tan inverse هي ال series تبعتها هذه هي ال series

604
00:38:28,050 --> 00:38:34,730
تبعت ال tan inverse السؤال الأخير ال series تبعت

605
00:38:34,730 --> 00:38:38,290
اللي هي 1 على 1 زائد T اللي هي ال series هذه طبعا

606
00:38:38,290 --> 00:38:41,170
هذه geometric series اللي قاعدة تساوي ناقص T فيها

607
00:38:41,170 --> 00:38:45,290
اللي هي هذه المفتوحة طبعا هذه geometric series

608
00:38:45,290 --> 00:38:49,290
converge من ناقص 1 إلى 1 لأن لو أجيت أكامل هذه ال

609
00:38:49,290 --> 00:38:51,950
series إيش تكامل هذه ال series؟ بنروح من كامل هذا

610
00:38:51,950 --> 00:38:56,370
1 على 1 زائد T بناخد condition أو بنفت حدود

611
00:38:56,370 --> 00:39:00,590
للتكامل من 0 إلى x لما اكامل هذا من 0 إلى x بيطلع

612
00:39:00,590 --> 00:39:04,510
التكامل هو len 1 زائد t من 0 إلى x بنعوض بالx

613
00:39:04,510 --> 00:39:07,730
فبيطلع len 1 زائد x ولما أتعويض بالصفر بيطلع اللي

614
00:39:07,730 --> 00:39:11,910
هو len الواحد اللي هو صفر فبالتالي بيصير إيش len 1

615
00:39:11,910 --> 00:39:15,490
زائد x يبقى التكامل هذا إيش ساوي len 1 زائد x اللي

616
00:39:15,490 --> 00:39:18,930
هي ال series تبعته إيش يعني جهنم كامل T وهذه T

617
00:39:18,930 --> 00:39:22,810
تربيعة اتنين T تكيبعة تلاتة T أقصد 4 على 4 وهكذا

618
00:39:23,140 --> 00:39:26,500
الحدود التكامل من 0 إلى X بنعوض بالـ X وبعدين

619
00:39:26,500 --> 00:39:29,740
تعويض بالـ 0 بيطلع إيه؟ 0 فبتطلع هنا ال series

620
00:39:29,740 --> 00:39:32,320
بالشكل هذا ال series لأن هذه ال series ممكن

621
00:39:32,320 --> 00:39:36,040
تبطغتها اللي هي عبارة عن موجة بسالب موجة بسالب

622
00:39:36,040 --> 00:39:40,040
فبنفتق ناقص واحد أُس N مائس واحد في X أُس N طبعا X

623
00:39:40,040 --> 00:39:43,320
بعدين X تربيع اتنين X تربيع تلاتة أربع على أربع

624
00:39:43,320 --> 00:39:47,660
يعني X أُس N على N هذه ال series هي إيش صغرها بهذا

625
00:39:47,660 --> 00:39:51,840
الشكل يبقى هنا برضه عرفنا اللي هو ال series هذه هي

626
00:39:51,840 --> 00:39:55,700
عبارة عن لن الواحد زائد x طبعا converged

627
00:39:55,700 --> 00:39:58,700
بالinterval من ماقص واحد إلى واحد يبقى هاي كمان

628
00:39:58,700 --> 00:40:01,880
function برضه يعرفنا ال series تبعتها من خلال

629
00:40:01,880 --> 00:40:07,740
استعمال اللي هو التهامل وبعدين خلصنا section 7