1
00:00:22,730 --> 00:00:27,590
المرة الماضية أخذنا نظرية على الـ subgroups

2
00:00:27,590 --> 00:00:33,590
ومختصرها إن الـ H لو كانت non-empty هال condition

3
00:00:33,590 --> 00:00:37,470
الأول و الـ condition الثاني لو أخدت two elements في

4
00:00:37,470 --> 00:00:42,090
الـ group أو في الـ subgroup و أثبت إنه حصل ضرب 

5
00:00:42,090 --> 00:00:45,770
الأول في معكوس الثاني موجود في هذه الـ subset اللي

6
00:00:45,770 --> 00:00:50,010
هي الـ H يبقى الـ H بتكون is a subgroup و أخذنا على

7
00:00:50,010 --> 00:00:55,500
ذلك أربعة أمثلة وهذا هو المثال رقم خمسة المثال رقم

8
00:00:55,500 --> 00:00:59,800
خمسة جيء به في إحدى الامتحانات في إحدى السنوات

9
00:00:59,800 --> 00:01:04,180
السابقة اللي هو في الجامعة الإسلامية عندنا هنا

10
00:01:04,180 --> 00:01:10,580
ولذلك أحببت أن أحل هذا السؤال كمثال على موضوع هذه

11
00:01:10,580 --> 00:01:15,050
النظرية السؤال بيقول little h بيبقى subset of a 

12
00:01:15,050 --> 00:01:19,610
group g بيبقى احنا أخذنا h subset من الـ group g

13
00:01:19,610 --> 00:01:25,310
أخذنا الـ element أو الـ set a هي كل العناصر a اللي

14
00:01:25,310 --> 00:01:31,630
موجودة في g بحيث أن الـ a h تساوي h a يعني كل

15
00:01:31,630 --> 00:01:37,190
العناصر اللي بتبقى commutative مع عناصر h فقط

16
00:01:52,630 --> 00:01:56,840
الخطوة الأولى بدي أثبت أن الـ H is non-empty بعدين

17
00:01:56,840 --> 00:02:04,440
بأخذ أشياء موجودة في a و أثبت أن الأول في معكوس

18
00:02:04,440 --> 00:02:09,280
الثاني موجود في a يفجر بعدين بقول له solution

19
00:02:09,280 --> 00:02:19,400
الخطوة الأولى أن الـ a is non empty السبب because

20
00:02:22,540 --> 00:02:28,180
طبعًا الـ identity elements مع ناسر g كلها وبالتالي

21
00:02:28,180 --> 00:02:37,440
مع ناسر h because الـ E موجود في الـ A since السبب

22
00:02:37,440 --> 00:02:43,740
في ذلك أن الـ E في الـ H هو الـ H في الـ E طب الـ H في

23
00:02:43,740 --> 00:02:44,940
E ايش بيعطينا

24
00:02:53,110 --> 00:02:58,350
هذه النقطة الأولى هي a non empty النقطة الثانية

25
00:02:58,350 --> 00:03:05,530
بدي آخذ عنصرين موجودين في الـ set a يبقى بداجي أقول

26
00:03:05,530 --> 00:03:12,070
افترض أن الـ a و الـ b موجودات في الـ a طيب هذا معناه

27
00:03:12,070 --> 00:03:21,110
then الـ a h بده يساوي الـ h a and الـ b h بده يساوي 

28
00:03:21,110 --> 00:03:27,530
الـ h b هذا معناه بدالي امسك هذا الـ element اللي

29
00:03:27,530 --> 00:03:32,410
عندنا هذالو ذهبت و ضربت من جهة الشمال في الـ B

30
00:03:32,410 --> 00:03:37,670
inverse و ضربت من جهة اليمين في الـ B inverse بدي

31
00:03:37,670 --> 00:03:42,010
أشوف الدوصل ليه طب أنت بكتره في الـ B inverse ليش؟

32
00:03:42,010 --> 00:03:46,930
بقوله اه أنا فرضت أن A و B موجودة في A إذا هي

33
00:03:46,930 --> 00:03:52,220
موجودة وين؟ فتش موجودة في a يعني موجودة في g

34
00:03:52,220 --> 00:03:58,080
الأصلية لأن كل عناصر a موجودة في g إذا هذه موجودة

35
00:03:58,080 --> 00:04:04,960
في g يبقى الـ b inverse موجود في g لكن أنا بدي أثبت

36
00:04:04,960 --> 00:04:10,680
أن الـ a b inverse موجود في a بمعنى آخر أن الـ a b

37
00:04:10,680 --> 00:04:15,240
inverse في الـ set a بدي أساوي الـ a في الـ a b

38
00:04:15,240 --> 00:04:20,810
inverse إن أثبت هذا الكلام بيتم المطلوب يبقى بده

39
00:04:20,810 --> 00:04:25,050
أجعل هذه و أضرب من جهة اليمين في الـ B inverse و من

40
00:04:25,050 --> 00:04:29,510
جهة الشمال كمان وين في الـ B inverse يبقى هذا معناه

41
00:04:29,510 --> 00:04:36,350
أن B inverse في BH بده يساوي هاي ضربنا من جهة

42
00:04:36,350 --> 00:04:43,730
الشمال يبقى بنتجينا B inverse H BH يبقى ضربنا خليا

43
00:04:43,730 --> 00:04:47,830
من جهة الشمالمرة جيب نضرب من جهة اليمين ولا يمك

44
00:04:47,830 --> 00:04:53,530
ولا نضربهم مرة واحدة رياحة أنها اضرب من جهة الشمال

45
00:04:53,530 --> 00:04:58,990
ومن جهة اليمين في الـ B inverse يبقى بدي جينا كمان

46
00:04:58,990 --> 00:05:05,290
هنا B inverse بدي أساوي الـ B inverse في الـ BH بدي

47
00:05:05,290 --> 00:05:12,010
أساوي الـ B inverse H في الـ BB inverse بالشكل اللي

48
00:05:12,010 --> 00:05:18,260
عندنا بالدرجة هذا الـ element فيه معكوس ويش بيعطينا

49
00:05:18,260 --> 00:05:24,500
الـ identity يبقى هذا بدري يعطينا أن الـ E H B

50
00:05:24,500 --> 00:05:26,640
inverse بدري يساوي

51
00:05:38,550 --> 00:05:44,150
بإنفرس هذي مباشرة هذه ضربت من جهة الشمال و من جهة

52
00:05:44,150 --> 00:05:48,790
اليمين هنا ضربت من جهة الشمال و من جهة اليمين طيب

53
00:05:48,790 --> 00:05:53,050
هذه الآن الـ بي بي انفرس بتعطينا الـ identity يبقى

54
00:05:53,050 --> 00:05:59,630
هدف السوى بي انفرس he بناءً عليه الـ identity في أي

55
00:05:59,630 --> 00:06:03,250
element والله في أي set بيعطينا نفس الـ element أو

56
00:06:03,250 --> 00:06:09,750
نفس الـ set يبقى هذا معناه أن الـ H P inverse بده

57
00:06:09,750 --> 00:06:12,250
يساوي P inverse H

58
00:06:21,020 --> 00:06:26,020
أنا بدي أثبت أن الـ A B inverse موجود في الـ A

59
00:06:26,020 --> 00:06:30,560
بمعنى أن الـ A B inverse مضروب في الـ H بيساوي الـ

60
00:06:30,560 --> 00:06:35,440
H في الـ A B inverse المعادلة هذه مافيش فيها A لكن

61
00:06:35,440 --> 00:06:40,420
لو ضربت الطرفين في A بوصل لمن؟ للمطلوب إذا حاجة

62
00:06:40,420 --> 00:06:45,980
لهذه و أروح أضرب الطرفين من جهة الشمال في من؟ في

63
00:06:45,980 --> 00:06:52,900
الـ A يبقى هذا بدي أعطيك إنه A H B inverse بدي أساوي

64
00:06:52,900 --> 00:07:00,430
A B inverse H بالشكل اللي عندنا طب احنا فيها معلومة

65
00:07:00,430 --> 00:07:08,070
حتى الآن لم نستخدمها ليمين الـ a h بده يساوي h a إذا

66
00:07:08,070 --> 00:07:15,460
بقدر أشيل هذه الـ a h و أكتب بدالها الـ h a يبقى هذا

67
00:07:15,460 --> 00:07:23,360
معناه أن الـ a h بده أكتبها h a في الـ b inverse بده

68
00:07:23,360 --> 00:07:28,840
يساوي من خاصية الـ associativity بقدر أقول هذه a b

69
00:07:28,840 --> 00:07:33,420
inverse مضروب في الـ h يبقى هذه بده يساوي a b

70
00:07:33,420 --> 00:07:39,140
inverse مضروبة في مين في الـ h يبقى بناء عليه كمان

71
00:07:39,140 --> 00:07:44,300
مرة من خاصية الـ associativity بصير عندنا الـ H في

72
00:07:44,300 --> 00:07:51,140
الـ A B inverse بده يساوي الـ A B inverse في الـ H

73
00:07:51,140 --> 00:07:55,720
ايش تفسير كل ذلك؟ معناه أن الـ A B inverse موجود

74
00:07:55,720 --> 00:08:04,310
وين؟ في a يبقى سا الـ a بي انفرس موجود في الـ a هذا

75
00:08:04,310 --> 00:08:10,710
بدي يعطينا أن الـ a is a sub group من g أثبتنا في

76
00:08:10,710 --> 00:08:14,450
الأول أن الـ a is non empty وجدنا فيها الـ identity

77
00:08:14,450 --> 00:08:18,970
element أخذنا two elements موجودة في a أثبتنا أن

78
00:08:18,970 --> 00:08:23,390
الأول في معكوس الثاني موجود في اللي هو الـ a

79
00:08:23,630 --> 00:08:28,690
وبالتالي الـ a is a subgroup من مين؟ من G و مرة ثانية

80
00:08:28,690 --> 00:08:34,570
بقول هذا السؤال جيء به في إحدى الامتحانات السابقة

81
00:08:34,570 --> 00:08:40,470
على أي حال احنا حتى الآن أثبتنا نظرية واحدة بواسطة

82
00:08:40,470 --> 00:08:45,030
تحليل بدل المثال خمسة على إثبات إن الـ subset

83
00:08:45,030 --> 00:08:47,850
اللي بأخذها كيف هي الـ subgroup من الـ group

84
00:08:47,850 --> 00:08:52,290
الأساسية عن طريق إثبات نقطتين النقطة الأولى إن الـ

85
00:08:52,290 --> 00:08:55,930
subset اللي بأخذها non empty والنقطة الثانية لو

86
00:08:55,930 --> 00:08:59,430
أخذت elements في هذه الـ set بدي أثبت إن الأول في

87
00:08:59,430 --> 00:09:05,750
معكوس الثاني موجود في هذه الـ set طيب نجي الآن

88
00:09:05,750 --> 00:09:12,590
لنظرية ثانية يبقى الـ theorem النظرية

89
00:09:12,590 --> 00:09:25,190
الثانية بتقول let الـ H be a non empty subset

90
00:09:25,190 --> 00:09:28,630
of

91
00:09:28,630 --> 00:09:31,990
a group G

92
00:09:38,050 --> 00:09:47,510
الـ H is a subgroup من G if and only if الـ A و الـ

93
00:09:47,510 --> 00:09:54,450
B موجودة في H whenever عندما

94
00:09:54,450 --> 00:10:04,690
الـ A و الـ B موجود في H and الـ A inverse belongs to

95
00:10:04,690 --> 00:10:07,230
H whenever

96
00:10:10,270 --> 00:10:16,730
الـ A موجودة

97
00:10:16,730 --> 00:10:17,450
في H

98
00:10:32,050 --> 00:10:34,830
النظرية الثانية اللي عندنا بالنسبة للـ subgroups

99
00:10:34,830 --> 00:10:40,430
بتقول ما يأتي H non-empty subset of A group G يبقى

100
00:10:40,430 --> 00:10:44,690
نفس الـ condition الأول تبع من؟ تبع النظرية السابقة

101
00:10:44,690 --> 00:10:48,670
الآن كان عندي condition واحد في النظرية السابقة

102
00:10:48,670 --> 00:10:52,790
حاصل ضرب الأول في معكوس الثاني موجود في H إذا two

103
00:10:52,790 --> 00:10:56,870
elements موجودات في H هنا هذا الـ condition فصل على

104
00:10:56,870 --> 00:11:03,060
شكل two conditions H Subgroup من G if and only if

105
00:11:03,060 --> 00:11:09,660
حاصل ضرب A في B في H لأي عنصرين A وB موجودة في H

106
00:11:09,660 --> 00:11:14,280
والمعكوس لأي element موجود في H إذا كان هذا الـ

107
00:11:14,280 --> 00:11:19,560
element موجود في H بتطلع للنظرية بتقول if and only

108
00:11:19,560 --> 00:11:24,840
if يبقى البرهان بيصير في اتجاهين يبقى بدي آخذ

109
00:11:24,840 --> 00:11:31,100
الاتجاه الأول بدي أقول له assume افترض أن الـ H is

110
00:11:31,100 --> 00:11:38,380
a subgroup من G مدام subgroup من G لو أخدت أي two

111
00:11:38,380 --> 00:11:42,820
elements موجودة في H حصل ضربه في H ولا لا لأن

112
00:11:42,820 --> 00:11:50,550
عليها binary operation بدي يطلع في H يبقى then الـ

113
00:11:50,550 --> 00:11:58,570
A B موجود في H الـ for all A و B اللي موجودة في H

114
00:11:58,570 --> 00:12:06,230
and الـ B inverse موجود في H لكل الـ B اللي موجودة

115
00:12:06,230 --> 00:12:12,310
في H يبقى الاتجاه الأول مافيش فيه مشكلة إذا هذه الـ

116
00:12:12,310 --> 00:12:16,010
subgroup يبقى لو أخدت any two elements موجودات في

117
00:12:16,010 --> 00:12:21,070
H بدي يكون A star B موجود في H والأمر الثاني مدام

118
00:12:21,070 --> 00:12:25,950
subgroup يعني هي group تحت نفس الـ operation يبقى

119
00:12:25,950 --> 00:12:30,330
أي عنصر فيها له معكوس إذا الـ B inverse موجود فيه

120
00:12:30,330 --> 00:12:35,690
لان بدنا نمشي لعملية العكسية يبقى conversely

121
00:12:35,690 --> 00:12:38,870
assume

122
00:12:38,870 --> 00:12:47,710
افترض إن الـ A B موجود في H لكل الـ A و الـ B اللي

123
00:12:47,710 --> 00:12:55,230
belong to H and الـ B inverse موجود في H لكل الـ B

124
00:12:55,230 --> 00:12:56,730
اللي موجودة في H

125
00:13:01,210 --> 00:13:07,290
ماذا بدنا نثبت؟ الـ H Subgroup ممتاز جدا طيب بداجي

126
00:13:07,290 --> 00:13:12,090
أقوله الأولاني بدي أحاول أستفيد من كل معطى معطى

127
00:13:12,090 --> 00:13:16,390
عندنا هنا أنا عندي أخدت elements ضربتهم وجدتهم في

128
00:13:16,390 --> 00:13:20,910
H أخدت element في الـ H وجدته بعكوس في H بقولي تحت

129
00:13:20,910 --> 00:13:25,150
ال two conditions الاتنين هذول بدي أثبت أن الـ H

130
00:13:25,150 --> 00:13:32,730
is a subgroup من من جي الأصلية بقوله كويس الآن

131
00:13:32,730 --> 00:13:41,810
since ال B موجود في H بما أن B موجود في H we have

132
00:13:41,810 --> 00:13:49,810
ال B انفرس موجود في H طب من وين جبت الكلام هذا من

133
00:13:49,810 --> 00:13:53,530
ال second condition من ال condition الثاني يبقى

134
00:13:53,530 --> 00:13:59,510
هذا from the second condition

135
00:14:02,590 --> 00:14:08,590
طيب احنا ماخدين هنا ال a و ال b موجودة في h الآن

136
00:14:08,590 --> 00:14:20,190
ال a موجودة في h كويس؟ and ال a في b belongs to h

137
00:14:20,190 --> 00:14:25,850
لكل اللي هو ال a و ال b اللي موجودة في h implies

138
00:14:25,850 --> 00:14:33,430
هذا الآن موجود في h صح؟ و هذا موجود في H و ال

139
00:14:33,430 --> 00:14:38,030
condition هذا حاصل ضرب أي عنصر من H موجود في H إذا

140
00:14:38,030 --> 00:14:43,930
بدي أضرب الاتنين هدول في بعض ي بجا بدي أصير A B

141
00:14:43,930 --> 00:14:51,740
inverse موجود في H الآن الـ H non-empty مُعطى أخدت

142
00:14:51,740 --> 00:14:56,400
الـ two elements موجودات في H وجدت حصل ضرب الأول

143
00:14:56,400 --> 00:14:59,480
في التاني موجودة في H يبقى الـ H is a subgroup

144
00:14:59,480 --> 00:15:05,680
بالنظرية السابقة يبقى هذا بدّي يعطينا أن الـ H is

145
00:15:05,680 --> 00:15:11,660
a subgroup من G from the previous

146
00:15:13,190 --> 00:15:17,590
الثيوريم يبقى بالنظرية السابقة هذه سارة subgroup

147
00:15:17,590 --> 00:15:28,470
وهو المطلوب نعطي مثال توضيحي example let

148
00:15:28,470 --> 00:15:39,110
ال g بدها تساوي r star اللي بدها تساوي ال r ناقص

149
00:15:39,110 --> 00:15:41,370
ال zero under

150
00:15:46,570 --> 00:15:56,170
multiplication تحت عملية الضرب little h بدها تساوي

151
00:15:56,170 --> 00:16:03,510
كل العناصر x اللي موجودة في g بحيث أن ال x بدها

152
00:16:03,510 --> 00:16:08,070
تساوي واحد or ال x is irrational

153
00:16:11,120 --> 00:16:21,100
عدد غير نسبي and ال k بدها تساوي كل ال x اللي

154
00:16:21,100 --> 00:16:26,280
موجودة فيه بحيث أن ال x greater than or equal to

155
00:16:26,280 --> 00:16:34,160
one السؤال هل هدول subgroups أم لا R

156
00:16:34,160 --> 00:16:44,840
H N K subgroups of

157
00:16:44,840 --> 00:16:50,240
G هل هدول subgroups من G ولا لأ solution

158
00:17:10,540 --> 00:17:14,980
خلّيني أقول لكم هنا الست اللي أنا للا أسطار اللي

159
00:17:14,980 --> 00:17:19,540
مجموعة الأعداد الحقيقية بدي أشيل منها من ال zero و

160
00:17:19,540 --> 00:17:22,940
ال binary operation اللي هي عملية الضرب العادية

161
00:17:22,940 --> 00:17:26,500
بدي أعملية الضرب على مجموعة الأعداد الحقيقية بعد

162
00:17:26,500 --> 00:17:31,280
ما أشيل منها ال zero أخدت منها subset مجموعة جزئية

163
00:17:31,280 --> 00:17:35,750
submitted مين هي هذه؟ هي كل العناصر اللي موجودة في

164
00:17:35,750 --> 00:17:39,650
هذه ال element يوعبه إيه؟ ال X بده يساوي واحد اللي

165
00:17:39,650 --> 00:17:43,870
هو ال identity element تبع عملية الضرب أو ال X

166
00:17:43,870 --> 00:17:50,470
يكون irrational طيب التانية ال K كل ال X اللي

167
00:17:50,470 --> 00:17:55,390
موجودة في G بحيث ال X greater than or equal to 1

168
00:17:55,390 --> 00:18:01,390
بيسأل هل هدول subgroups أم لا؟ بنقوله كويس المثال

169
00:18:01,390 --> 00:18:05,790
هذا جاي بعد مين؟ بعد النظرية إذا أنا بدي احاول اطبق

170
00:18:05,790 --> 00:18:09,730
النظرية هذه واشوف شو اللي بيصير إذا تطبقت النظرية

171
00:18:09,730 --> 00:18:13,270
بيبقى هم ال seven groups اختل أي شرط من الشروط

172
00:18:13,270 --> 00:18:17,590
اللي موجودة فيها يبقى ماهياش seven groups طيب لأ

173
00:18:17,590 --> 00:18:21,310
لو جيت هنا على ال H بيقول لي أما ال X بدي أسميه

174
00:18:21,310 --> 00:18:25,830
واحد وهو ال identity element هذا هو وضع الطبيعي or

175
00:18:25,830 --> 00:18:29,290
الـ x يجب أن يكون irrational يعني هذا عندما نحب

176
00:18:29,290 --> 00:18:34,410
الـ or تعني ال union يبقى العناصر هم الواحد الصحيح

177
00:18:34,410 --> 00:18:39,570
و ال irrational number تمام؟ أريد أن أشوف هل هذه

178
00:18:39,570 --> 00:18:44,570
closed under multiplication بمعنى أنه لو أخذت two

179
00:18:44,570 --> 00:18:50,730
elements موجودات في ال group هل حاصل ضربه ما يكون

180
00:18:50,730 --> 00:18:54,500
في ال group ولا لأ؟ السؤال هو، ضروري الـ two

181
00:18:54,500 --> 00:18:58,560
elements اللي أخدهم يكونوا مختلفات عن بعض؟ ليس

182
00:18:58,560 --> 00:19:03,600
بالضرورة، ممكن ال element و نفسه، تمام؟ ممكن مشان

183
00:19:03,600 --> 00:19:06,320
تبقى close، سواء ضربته في نفسه إن شاء الله تضربه

184
00:19:06,320 --> 00:19:09,860
في نفسه عشرين مرة ولا تضربه في أي element آخر، بدي

185
00:19:09,860 --> 00:19:15,160
يكون موجود في H إن كانت subgroup طيب، الآن أنا

186
00:19:15,160 --> 00:19:22,590
أدعي أن الـH هذه is not a subgroup من هنا أنا أدعي

187
00:19:22,590 --> 00:19:29,570
طيب شو السبب because جذر

188
00:19:29,570 --> 00:19:34,390
ثلاثة موجود في itch ولا لا يا شباب مش جذر ثلاثة

189
00:19:34,390 --> 00:19:42,930
irrational number and جذر ثلاثة مضروب في جذر ثلاثة

190
00:19:42,930 --> 00:19:49,110
بده يساوي ثلاثة هل التلاتة irrational number لأ مش

191
00:19:49,110 --> 00:19:57,470
موجود في itch يبقى أنا أخدت عنصرين من H وجدت حاصل

192
00:19:57,470 --> 00:20:03,030
ضربهما مش موجود في H معناته الـ H هذه ما هياش

193
00:20:03,030 --> 00:20:06,750
subgroup يختل ال condition الأول في النظرية اللي

194
00:20:06,750 --> 00:20:13,070
ذكرناها قبل قليل الآن أنا ده أدعي كذلك أن الـ H is

195
00:20:13,070 --> 00:20:15,410
not a subgroup من G

196
00:20:19,030 --> 00:20:27,950
السؤال لماذا؟ لأن أي

197
00:20:27,950 --> 00:20:37,690
element يأتي في بالي موجود في كيه لأن الست هذه

198
00:20:37,690 --> 00:20:43,930
موجودة في كيه لأن عناصر كيه من واحد وطلع

199
00:20:46,730 --> 00:20:53,790
أنا روحت أخدت الستة موجودة هادئة في كتر شو معكوس

200
00:20:53,790 --> 00:21:00,660
الستة؟ سُدسها ضرب عملية الضرب العادية يبقى هذا

201
00:21:00,660 --> 00:21:06,680
بده يعطينا أن معكوس الستة ليه ستة inverse يساوي

202
00:21:06,680 --> 00:21:10,320
واحد على ستة لإنه ستة في سُدس هو اللي بالساوية

203
00:21:10,320 --> 00:21:16,680
واحدة صحيح السؤال هو هل السُدس هذا موجود في ك؟ لأ

204
00:21:16,680 --> 00:21:22,540
لأنه واحد وطلع هذا أقل من الواحد يبقى هذا does not

205
00:21:22,540 --> 00:21:27,540
belong to K معناته اختلت الشرط الثاني إذا أخدت

206
00:21:27,540 --> 00:21:32,540
element ال H لقيته معكوسه ما هوش في H إذا لا يمكن

207
00:21:32,540 --> 00:21:38,220
لهذه الست أو هذه أن تكون subgroup ملي جروب اللي

208
00:21:38,220 --> 00:21:42,940
موجودة نيجي ناخد النظرية رقم ثلاثة على ال

209
00:21:42,940 --> 00:21:53,460
subgroups بيقول ال H با non-empty نفس ال condition

210
00:21:53,460 --> 00:22:00,900
هو هو في النظريات الثلاث non-empty بس أضافنا عليها

211
00:22:00,900 --> 00:22:06,180
finite subset

212
00:22:06,180 --> 00:22:09,320
of

213
00:22:09,320 --> 00:22:11,480
a group G

214
00:22:18,370 --> 00:22:32,950
ثم الـ H هو مجلد من G إذا كان الـ H مقفل

215
00:22:32,950 --> 00:22:40,370
تحت عمل

216
00:22:40,370 --> 00:22:43,650
G

217
00:23:02,130 --> 00:23:09,910
مرة ثانية بقول جالي H non-empty زاد على نظريتين

218
00:23:09,910 --> 00:23:16,190
الجالي finite subset يبقى عدد المحدود في هذه الست

219
00:23:16,190 --> 00:23:21,470
عدد ال subset اللي أخدته محدود تمام بيقول لذن ال H

220
00:23:21,470 --> 00:23:26,010
is a subgroup إذا كانت ال H closed under the

221
00:23:26,010 --> 00:23:29,510
operation شو يعني closed under the operation يعني

222
00:23:29,510 --> 00:23:35,110
ال condition هذاهذا يعني أن الـ H مقفل تحت الـ

223
00:23:35,110 --> 00:23:40,570
operation يعني A*)B يكون موجود في H لكل الـ A و الـ

224
00:23:40,570 --> 00:23:45,630
B الموجودة في H يبقى في المقابل شال ال condition

225
00:23:45,630 --> 00:23:51,130
التاني هذا واستعاد عنه بمين بأن الـ H is finite

226
00:23:51,130 --> 00:23:56,290
إذن لو كانت ال group finite يا شباب و ال subsidy

227
00:23:56,290 --> 00:24:00,530
اللي أخدته من ال group كان إجباري هيصير finite

228
00:24:01,220 --> 00:24:06,040
مظبوط يبقى كان ال subgroup non-empty وفي نفس الوقت

229
00:24:06,040 --> 00:24:12,060
هيكون finite يعني عدد العناصر فيه عددا محدودا بدي

230
00:24:12,060 --> 00:24:16,580
أثبت أن هذا ال subgroup يكفي أنه تاخد two elements

231
00:24:16,580 --> 00:24:22,920
موجودات في H و تثبت أن حاصل ضربهما موجود في H طبقا

232
00:24:22,920 --> 00:24:28,800
لهذه النظرية إن تم ذلك يبقى ال H is a subgroup يبقى

233
00:24:28,800 --> 00:24:34,380
الآن احنا بداية أقوله افترض أن ال a و ال b موجود

234
00:24:34,380 --> 00:24:45,220
في h and ال a و ال b موجود في h تمام يبقى أنا أخد

235
00:24:45,220 --> 00:24:53,580
أي عنصرين في جي و أفرض أنه حاصل ضاربهم يعني هذا

236
00:24:53,580 --> 00:24:58,840
اللي معناه أن ال H is closed under the operation

237
00:24:58,840 --> 00:25:05,320
تمام؟ يبقى هي المعنى تبعها طيب بيقول لي أثبت أن هذه

238
00:25:05,320 --> 00:25:10,780
عبارة عن إيه؟ عن ال subgroup بقوله كويس يبقى الآن

239
00:25:10,780 --> 00:25:17,340
أنا بدي أحاول أطبق النظرية الأولى مثلا كيف النظرية

240
00:25:17,340 --> 00:25:17,880
الأولى؟

241
00:25:22,290 --> 00:25:28,350
أو حاصل ضرب الأول في الثاني موجود في H أو حاصل

242
00:25:28,350 --> 00:25:35,170
الضرب موجود في H يكفيني أن أثبت أن معكوس أي عنصر

243
00:25:35,170 --> 00:25:39,030
موجود في H إذا طبقًا لهذه النظرية تصبح هذه

244
00:25:39,030 --> 00:25:41,390
subgroup موجودة

245
00:25:44,750 --> 00:25:49,710
يبقى الـ condition الأول متحقق ضايل عليه أثبت مين

246
00:25:49,710 --> 00:25:54,690
ال condition التاني بنكون خلصه يعني لو أخد أي عنصر

247
00:25:54,690 --> 00:25:59,350
موجود في itch أثبت أنه معكوس موجود في itch بقدر

248
00:25:59,350 --> 00:26:05,430
أطبق النظرية هذه مباشرة لذلك هروحض أي عنصر موجود

249
00:26:05,430 --> 00:26:10,630
وين في itch وشوف وين بتوجه الدنيا يبقى باجي بقوله

250
00:26:10,630 --> 00:26:17,070
little a موجود في itch من ال a أنا مش عارف يبقى

251
00:26:17,070 --> 00:26:23,590
باجي بقوله if the a بدرساه the identity لو طلع

252
00:26:23,590 --> 00:26:34,150
لأخدته عشوائيا هذا هو the identity then أخدته

253
00:26:34,150 --> 00:26:41,590
في itch طلع من the identity يبقى then the A Inverse

254
00:26:41,590 --> 00:26:46,570
موجود

255
00:26:46,570 --> 00:26:51,450
في H يعني أنه اتطبق من the condition التاني

256
00:26:51,450 --> 00:26:58,680
وبالتالي صارت the H is A يبقى هذا بده يعطينا أن the

257
00:26:58,680 --> 00:27:03,600
h sub group من G هذا لو طلع the element اللي هو

258
00:27:03,600 --> 00:27:11,280
the identity طيب لو ما طلعش يبقى the a لا تساوي the

259
00:27:11,280 --> 00:27:18,120
a بمعنى آخر لا يمكن يكون the order لل a واحد صحيح

260
00:27:18,120 --> 00:27:22,330
لأن لو كان واحد صحيح بيطلع فعلا طيب احنا في عندنا

261
00:27:22,330 --> 00:27:28,470
معلومة حتى الآن لم نستخدمها اللي هو مين؟ finite

262
00:27:28,470 --> 00:27:34,170
يعني عدد العناصر في H محدود طب استنى شوية ايش

263
00:27:34,170 --> 00:27:39,610
بيقول هنا أنه حاصل ضرب أي عددين من H موجود في H

264
00:27:39,610 --> 00:27:46,870
السؤال هو هل A تربيع موجود في H؟ لأنه ايه فيه؟ طب

265
00:27:46,870 --> 00:27:52,680
هل A تكييب موجود في H؟ لأن a تربية في h و a في h

266
00:27:52,680 --> 00:27:57,940
يبقى a تربية هل a أس أربعة موجود في a كل a أربعة

267
00:27:57,940 --> 00:28:04,500
أو أي أس يطلع موجود في h يبقى the a لا تساوي the a

268
00:28:04,500 --> 00:28:16,000
then according طبقا to the condition

269
00:28:17,640 --> 00:28:24,480
طبقا للشرط أن the a بي موجود في h لكل the a و the b

270
00:28:24,480 --> 00:28:32,040
اللي موجودة في h بقول we have أن the a و the a تربيع

271
00:28:32,040 --> 00:28:40,960
و the a تكعيب ومشي لجد ما بدك are all in h كلهم هذول

272
00:28:40,960 --> 00:28:48,250
موجودات في ايه؟ موجودات في h ممتاز جداطيب الآن the

273
00:28:48,250 --> 00:28:53,990
H finite افترض فيها خمسين عنصر وأنا حاطط a

274
00:28:53,990 --> 00:29:02,030
والسبعين بدي يكون موجود فيها ولا لا؟ ليش؟ مش the H

275
00:29:02,030 --> 00:29:07,870
عدد العناصر خمسين يبقى عنصر حاطط فلوس عشرة والله

276
00:29:07,870 --> 00:29:12,130
عشرين والله خمسمية بدي يكون فيها مظبوط ولا لأ بس

277
00:29:12,130 --> 00:29:17,170
ماهي اللي بدي يحصل أن the a سبعين هذه متساوي عشرين

278
00:29:17,170 --> 00:29:22,090
مظبوط ولا لأ زي ايه زي عملية the مقياس a modulo n

279
00:29:22,090 --> 00:29:26,210
بعد ما زيت the n كله برجع بيصير فيها مظبوط ولا لأ

280
00:29:26,210 --> 00:29:31,240
طيب ايه اللي حكمنا يا عزيزي لأن هذه finite فاينيت

281
00:29:31,240 --> 00:29:36,980
يبقى a مرفوعة لأي أس عندك بدي يكون من ضمن هدول بدي

282
00:29:36,980 --> 00:29:42,520
يكون موجود وين؟ موجود في إتش شئنا أم أبينا تمام

283
00:29:42,520 --> 00:29:50,640
يبقى هنا هذا معناه these elements

284
00:29:50,640 --> 00:29:54,020
are

285
00:29:54,020 --> 00:29:59,420
not all disjoint

286
00:30:00,850 --> 00:30:04,530
مش كل هدول بدهم يكونوا كل واحد مختلف عن الثاني

287
00:30:04,530 --> 00:30:10,110
لازم ألاجي بعضهم الأس تبعه مختلف عن الثاني لكن

288
00:30:10,110 --> 00:30:14,710
موجود في H مش

289
00:30:14,710 --> 00:30:23,630
كلهم يبقى let the A I بده يساوي A J مثلا افترض أن

290
00:30:23,630 --> 00:30:30,540
the I بيساوي the J و the I هذي أكبر من J هي الكبيرة

291
00:30:30,540 --> 00:30:39,920
فيهم طيب هذا يعني لو ضربت الطرفين من جهة اليمين في

292
00:30:39,920 --> 00:30:50,320
معكوس هذه يبقاش بدرسي يعني AI AJ inverse بدرساوي

293
00:30:50,320 --> 00:30:54,380
AJ AJ inverse

294
00:30:56,640 --> 00:31:03,440
هذا معناه a i في a سالب j يساوي the element في

295
00:31:03,440 --> 00:31:10,980
معكوسه كم يعطينا the identity يبقى هذا يعطينا a i

296
00:31:10,980 --> 00:31:18,760
minus j يساوي the identity element طب السؤال هو لما

297
00:31:18,760 --> 00:31:24,880
أقول i ناقص j معقول يكون الفرق بينهم واحد يا شباب

298
00:31:28,780 --> 00:31:36,160
لو كان الفرق بينهم واحد لأصبح

299
00:31:36,160 --> 00:31:42,500
A أس واحد يساوي the identity بيطلع من أن the A هو بال

300
00:31:42,500 --> 00:31:48,130
E لكن أنا شرقإن the A لا يمكن أن يكون the E إذا لا

301
00:31:48,130 --> 00:31:53,270
يمكن أن يكون الفرق فيما بينهما واحد صحيح يبقى

302
00:31:53,270 --> 00:31:59,330
الفرق فيما بينهم ماله أكبر من واحد يبقى the I نقص

303
00:31:59,330 --> 00:32:04,830
the J أكبر من واحد على الأقل بيكون اتنين تلاتة

304
00:32:04,830 --> 00:32:12,660
أربعة الاخرين بما أن the I ناقص D أكبر من 1 يبقى

305
00:32:12,660 --> 00:32:19,580
هذا بطل بيصير the identity بطل بلاش هذا معناه أن

306
00:32:19,580 --> 00:32:28,240
the A I minus G يساوي the A في the A I minus G

307
00:32:28,240 --> 00:32:35,100
minus the 1 خله A أس واحد في the A أس I ناقص D

308
00:32:35,100 --> 00:32:41,980
ناقص واحد تمام؟ مظبوط هيك؟ طلعت منهم ايه فقط ولا

309
00:32:41,980 --> 00:32:48,860
غير هذا الكلام كله بيساوي جداش the identity element،

310
00:32:48,860 --> 00:32:55,050
مظبوط؟ طيب لو روحت ضربت في the A inverse ضربت

311
00:32:55,050 --> 00:33:01,330
المعادلة هذه في the A inverse من جهة الشمال يبقى

312
00:33:01,330 --> 00:33:08,450
ايش بيصير عندنا A I ناقص D ناقص 1 يساوي the A

313
00:33:08,450 --> 00:33:17,530
inverse السؤال هو هذا ههه هو عنصر من هذول ولا لا

314
00:33:20,970 --> 00:33:26,050
هو واحد منهم صحيح ولا لأ؟ لأن the H finite يبقى هذا

315
00:33:26,050 --> 00:33:33,150
the عنصر لازم يكون واحد من هذول هذا معناه أن the A I

316
00:33:33,150 --> 00:33:40,130
minus D minus 1 belongs to H مدان belongs to H

317
00:33:40,130 --> 00:33:47,170
يبقى the A inverse موجود في H يبقى تحقق the

318
00:33:47,170 --> 00:33:51,130
condition الثاني ولا لأ؟ يبقى باجي بقوله by the

319
00:33:51,130 --> 00:33:55,850
above theorem هذي صارت the sub group يبقى هنا باجي

320
00:33:55,850 --> 00:34:04,250
بقوله by the above theorem the

321
00:34:04,250 --> 00:34:07,670
H is a sub group من G

322
00:34:14,000 --> 00:34:18,700
عشان اللي كان سارح ياخد باله كويس اللي فاتته حاجة

323
00:34:18,700 --> 00:34:25,150
يفهمها خلي بالك كده أنا لم أجد non-empty مثل

324
00:34:25,150 --> 00:34:29,530
النظريةتين اللي فاتوا زيادة على ذلك the subset اللي

325
00:34:29,530 --> 00:34:35,410
أخدت عدد عناصرها finite عددا محدودا لو أخدت two

326
00:34:35,410 --> 00:34:39,550
elements موجودة في اتش ولا جيت حاصل ضربهما موجودة

327
00:34:39,550 --> 00:34:42,510
في اتش تحت هذا the condition أو تحت the condition

328
00:34:42,510 --> 00:34:46,290
finite اللي اتش بتبقى the subgroup من G هذا اللي

329
00:34:46,290 --> 00:34:51,850
عايزين نثبته يبقى أنا عندي معطيات اتنين H non-empty

330
00:34:51,850 --> 00:34:55,950
زي اللي جاب الهدا لكن the non-empty هذا finite

331
00:34:55,950 --> 00:35:00,910
وحاصل ضرب أي عنصر من H بلا G في H هذا the condition

332
00:35:00,910 --> 00:35:05,250
الثاني تحت the two condition بثبت أن هذه the سابع

333
00:35:05,250 --> 00:35:08,930
جروس قلت له ماشي افترض أن the A و the B موجودة في the

334
00:35:08,930 --> 00:35:11,750
H و the A و the B موجودة في the H هذه هي المعطيات

335
00:35:16,010 --> 00:35:20,050
خد element موجود في H

336
00:35:23,260 --> 00:35:27,300
يبقى إذا كان بال identity يبقى the identity هو

337
00:35:27,300 --> 00:35:34,400
معكوس لنفسه إذا the A inverse هو the A وبالتالي the A

338
00:35:34,400 --> 00:35:38,820
inverse هي the A inverse موجودة في H يبقى طبق the

339
00:35:38,820 --> 00:35:43,260
condition الثاني التابع لنظرية H الصحيحة هذا لو كان

340
00:35:43,260 --> 00:35:48,880
بكل بساطة أن A تساوي طب لو كانت the A لا تساوي the

341
00:35:48,880 --> 00:35:53,640
E، ايش بدك تعمل؟ بقول أه طبقا لمن the condition

342
00:35:53,640 --> 00:35:59,260
لأنه حاصل ضرب لأي two elements في H هو موجود في H،

343
00:35:59,260 --> 00:36:02,720
بدي أجي لل A وأضربه في نفسه يعني بدي أضربه في

344
00:36:02,720 --> 00:36:06,260
نفسه، بيطلع A تربيع موجود في H أضربه كمان في A،

345
00:36:06,260 --> 00:36:10,070
بيطلع A تكعيب موجود في H أضرب وأضرب وهكذا هذا

346
00:36:10,070 --> 00:36:15,310
يعني أن the A و the A³ و the A³ كلهم هدول جد ما تحط

347
00:36:15,310 --> 00:36:20,070
أسس لكن أنا مادام the H finite افترض فيها خمسين

348
00:36:20,070 --> 00:36:24,350
عنصر مثل ما قلت لكن أنا بضلماجي خمسين وواحد و

349
00:36:24,350 --> 00:36:29,570
خمسين وسبعين وثمانين إلى آخرين إذاً هيطلع كله

350
00:36:29,570 --> 00:36:35,530
موجود في H وبالتالي بعض العناصر لازم تتساوى عنصر من

351
00:36:35,530 --> 00:36:41,470
بعد الخمسين يساوي عنصر من قبل الخمسين

352
00:36:50,940 --> 00:36:55,240
بيكونوا مش كلهم disjoint are not all of them مش

353
00:36:55,240 --> 00:37:01,340
كلهم disjoint لذلك هيطلع عندي كتير فيهم اتنين بسوا

354
00:37:01,340 --> 00:37:06,400
بعض اختي اتنين عشوائيا اختي the ai بده يساوي the aj

355
00:37:06,400 --> 00:37:11,380
واختي the i اكبر من مين اكبر من جي اكبر واحد باتنين

356
00:37:11,380 --> 00:37:15,900
وبتلات الله أعلم اللي هم انه اكبر منه دائما وابدا

357
00:37:16,340 --> 00:37:24,420
الآن إذا جيت للمعادلة دربتها في معكوس the aj الاولى

358
00:37:24,420 --> 00:37:28,900
صغير يبقى دربتها في معكوس the aj وهنا دربتها هذا

359
00:37:28,900 --> 00:37:34,220
بيعطينا the identity element هذا بيعطينا اللي هو ai

360
00:37:34,220 --> 00:37:39,880
في a ناقص g اللي هو ai ناقص g بده يساوي من the

361
00:37:39,880 --> 00:37:44,800
identity element وال i ناقص g اكبر من الواحد اكبر

362
00:37:44,800 --> 00:37:49,680
من الواحد ليش؟ لأنه لو طلع هذا بواحد معناته ايه؟

363
00:37:49,680 --> 00:37:52,680
إذا واحد يساوي the identity يبقى ايه هو the

364
00:37:52,680 --> 00:37:58,140
identity؟ لكن احنا شرطنا أنه ايه؟ مش ممكن، إذا هذا

365
00:37:58,140 --> 00:38:02,530
الكلام دائما وابدا اكبر من واحد ممكن يكون اتنين

366
00:38:02,530 --> 00:38:08,230
تلاتة اربعة الاخري ما علينا اكبر من الواحد إذا the

367
00:38:08,230 --> 00:38:14,430
a ij طبعا هتقدر تقولي هذا اكبر من واحد مشان ماتوش

368
00:38:14,430 --> 00:38:21,450
تقولي because السبب أن the a بسويش the a