بسم الله الرحمن الرحيمالمرة الماضية كنا بتحدث في
نقطة النظرية رقم اتنين تبع هذه ال section وهي ال
identities of inverse trigonometric functions يعني
بعض المتطابقات المجتملة على معكوس الدوال المثلثية
واخدنا المرة الماضية مثالا واحدا اللى هو رسمة ال
two functions الاولى كانت الى cosine inverse لسالب
X والثانية كانت اتنين tan inverse لمين لسالب X
وشوفنا كيف رسمناهم ننتقل لمثال رقم اتنين وهو هاتل
القيمة الحقيقية لكل مما يأتيبنقدرش القيمة العددية
للمقدار يعني لابد أشوف في المثل كتان ولا سين انفرس
ولا سيك انفرس بدي أشوف هذا كله وإنما بدي قيمة
محددة بسيطة جدا يبقى هذه كتانالمرة الماضية
المتطابقة على الرقم 2 قلنا ان sin inverse x هي
عبارة عن odd function يبقى السالب يخرج من ال
function يبقى هذا بقدر اقول سالب sin inverse لنص
الطلال المتطابق الرقم تلاتة رقم تلاتة لتلت نقاط
النقطة الأولى في رقم تلاتة كانت six inverse x
تساوي cosine inverse واحد على x وبشرط ان ال x
greater than oneأكبر من الواحد الصحيح او تساوي اذا
عندي اتنين اكبر من الواحد الصحيح اذا بقدر اشيل هذه
و اكتب cosine inverse واحد على اتنين يعني cosine
inverse نص يبقى هذه cosine inverse لنص بالشكل اللي
عندنا هذاهذا الكلام بده يساوي كتان بدنا ناخد سالب
عام المشترك بيطلع عندنا مين اللي هو sin inverse نص
زائد cosine inverse نص بالشكل اللي عندنا هذا
ويساوي كتان لسالب أبصر قداشر طلعلي المقدار هذا بين
القوسينهل المص في domain الـsin inverse وفي domain
الـcos inverse؟ صحيح لأن ال domain تبعهم من سالب
واحد إلى واحد، إذا فعلا طبقا للمتطابق الأولى، هذا
الكلام بيساوي جداش باي على اتنين، يبقى سالب باي
على اتنين ويساوي.بنرجع لك القلص إيه؟ ال cotan even
ولا الot؟أد ممتاز جدا الدوالي المتلاتية الستتين
تين كانوا even اللي هي cosine ال X هو مقلبها اللي
هو second X وباقى الأربع نسب اد تمام يبقى هذه اد
إذا السالب برا سالب كتان باي على اتنين كتان باي
على اتنين طبعا مقدرش ب zero إذا المقدار كله هذا
اللي عندنا بده يساوي مين؟ بده يساوي Zeroناخد
النقطة التانية نمرا بي يبقى نمرا بي بد مقدش قيمة
سك لمين لتان inverse سالب تلاتة
طب كويس لان انا لا اعرف قداش القيمة العددية لهذا
المقال يعني لا بد اشوف سك ولا تان انفرس في المثلة
بيقولوا بسيطة جدا هذا الكلام بد يسوي سك الان تان
انفرس من النقطة تانية للمرة اللي فاتقل قد يبقى
مادام قد السلب معله يطلع برا تان انفرس يبقى هاي
سالب تان انفرس ليه تلاتةالآن الـ Sec even ولا الـ
Odd؟ سيك،
واش الكلام اللي قلناه قبل قليل؟ مش قلنا الـ Cos
وSec even والأربعة Odd؟ وين كنت في الفترة هذه؟
يبقى صح صحيح كويس، يبقى هذا بيتساوي جداش Sec لتان
inverse تلاتة، ليش؟ لأن سيك هي عبارة عن Odd
function
طيب الآن التكتيك اللي اتبعناه المرة الماضية بأنه
يتبع عند حسب هذه القيمة بدي أقوله افترض ان θ تساوي
tan inverse ثلاثةالتلاتة طبعا في دمين مين؟ 10
inverse والـ 10 inverse الدمين تبعها كل الـ real
line إذا في عندي عبارة مكافئة لهذه العبارة وهي 10
θ يساوي كده؟ يساوي 3 يبقى الظلم بيساوي 3 ممتازلأ
لو رجعنا بالذاكرة إلى الوراء و روحنا و قولنا هي
عندي محاور هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة من
الاصل
لما جينا المعكوس ال 10 خلّينا ال domain تبع ال 10
حصرناه من إيه إلى أين؟ من سالب باي على اتنين إلى
باي على اتنين ممتاز as an open interval إذا لو جيت
على المحاوروقلت هذه ناقص باي على اتنين هذا لو مشيت
مع عقارة بالساعة لو مشيت ضد عقارة بالساعة بتكون
هذه قداش باي على اتنين إذا نحنا بنمشي من سالب باي
على اتنين إلى باي على اتنين يعني أخدنا أي أربعة من
الأربعة الأربعة الأول والرابع ممتازة لإن لو جيتلي
التان التان هذا في الرابع الرابع يسوي قيمةسالب أو
في الربع الأول احنا عندنا تام تيتا بالساعة القيمة
موجبة إذا الزاوية تيتا في الربع الأول يبقى لو جانا
قولنا هذه ها هي الزاوية تيتا هذه الزاوية قائمة
وهذه الزاوية تيتاالظل يسوي المقابل على المجاور
يبقى المقابل تلاتة والمجاور واحد يبقى هذا بد يكون
جدر عشرة حسب فيثة غرف إذا صارت المسألة أن هنا سك
لمين لتان inverse ثلاثة بد يسوي سك ثيتالو جهت هنا
الـ sixteenth اللي هو الوطر على المجاور يبقى الوطر
جذر عشرة على المجاور اللي هو واحد يبقى جذر عشرة
القيمة الحقيقية للمقدار اللي عندنا طيب نعطي مثال
نربط فيه الجديد بالقديم يعني نربط section 7 3
بsectionسبعة ستة نمر الـ C. بدنا .. بدنا قيمة
لإتنين مرفوعة للأس logarithm باي square للأساس
أربعة ناقص cosine inverse لمين لسالب واحد على جذر
إتنينبتعرف قداش قيمة المقدار هذا أو أبسط المقدار
هذا إلى أبسط صورة يبقى أنا الكلام يساوي بقول يا
سلام لو كانت هذه أربعة و هذه أربعة كانت خلاصة من
إيه؟ من ال log و بظلمة داخل ال log لكن بسيطة
الشغلة في دك هذا log باعي تربية للأساس أربعة يبقى
التربية هذا او اتنين بقدر اكتبه مين؟خارج ال log
يبقى لو كتبناه خارج ال log بصير اتنين مرفوع لل أس
اتنين مضروب في logarithm باي للأساس مين للأساس
أربع هذا ال term الأول و جينا هنا ناقص و هيفتحنا
قصرالمرة اللي فاتت اخدنا اخر نقطة اللي هي النقطة
الرابعة كانت cosine inverse لسلب x يسوى مقداش بي
ناقص cosine inverse x بشرط ال x من سلب 1 إلى 1واحد
على جذر اتنين ما لو اقل من الواحد الصحيح بإشارة
سالب يكون اكبر من سالب واحد صحيح يعني في domain
main ال cosine inverse وهيو بالسالب إذا بدرج و
الهدى هو by ناقص cosine inverse واحد على جذر اتنين
بالشكل الهن هذاطيب هذا الكلام بده يساوي اتنين
تربيه تاني قداش اربع يبقى هذا اربع مرفوع للاص
logarithm باي للاساس اربع للاساس اربع ناقص باي
زائدهذه ناقص ناقص اتزاد Cos inverse واحد على جذر
اتنين طبعا اذا اعطيتك مثال زاده اللي هو كان Cos
اول مثال اخدته في هذا ال section كان Cos inverse
نص قلنا خد θ بCos inverse نص اثر على الطرف
المجوسية صار Cos θ يساوي نص يبقى الزاوية θ هي
بقايا تلاتة يبقى مين الزاوية اللي جيب تماما واحد
على جذر اتنينخمسة وأربعين يبقى باي على أربعة إذا
هذا المقدار كله بقدر أقول باي على أربعة و يساوي
هنا الأساس أربعة وهنا الأساس أربعة يبقى هذا
المقدار كله يساوي جداش باي يبقى هاي باي وهاي ناقص
باي وهاي زائد باي على أربعة يبقى الجواب كله جداش
يبقى كل المقدار هذا الإجابة تبعت وهي عبارة عن باي
على أربع نروح للمثال رقم تلاتة وهذا المثال جئنا به
كسؤال في إحدى امتحانات أعمال الفصل السابقة السؤال
اللي بيقول هي solvefor x حل بالنسبالي x cosine
inverse لسالب x ناقص لن x في E cosine inverse E
cosine inverse x تمام كل هذا الكلام بدي يساوي باي
علتني
يقول الحل المعادلة اللي عندي هذي وشوف انك ادهاش
الإجابة تلتها، هنقوله بسيطةيبقى المطلوب من هذه
المثلة انه اجيب قداش القيمة العددية بالنسبة ل X
انه يقول الـSol4X من قبله بسيطة الحلقة التالية
يبقى بدك تستخدم ايش عندك من المعلومات في هذا ال
section او ال sections الماضية عشان نقدر نحصل على
X لوحدها فCos-X هي Piناقص cosine inverse X يبقى
هذي باي ناقص cosine inverse X خلصنا من الterm
الأول اللي بعده لن هذه عبارة عن لن لمين لحاصل ضرب
مقدرين يبقى لن الأول زائد لن الثاني وفي هناك شر
السلب برا سالب لن الأول سالب لن الثانييبقى هذه
سالب لن ال X سالب لن E Cos Inverse X كله بده يسمى
كده؟ Pi على 2 طيب هذه صارت Pi ناقص Cos Inverse X
ناقص لن ال X ناقصهذا الـ S بقدر أخده برا الـ Lin
بصير sin inverse X في Lin الـ E يعني هذا فقط هو
sin inverse X بدي ساوي Pi على 2يبقى هذه باي طلعلي
لهذه هه وهذه في بينهم سالب عامل مشترك يبقى بقدر
اخد سالب وبظل انك cosine inverse x زائد sine
inverse x بظل ان هنا ناقص لان ال X بدي سوى جداش
باي على اتنين شو رأيك؟ هذه بايناقص بي على اتنين
هذي ناقص بي على اتنين بده يساوي لن الاكس
يبقى هذا سيعطيك أن زيرو يسوى مين لن ال X يبقى E أو
زيرو يسوى E أسلن X يبقى هذا سيعطيك أن X يسوى E أو
زيرو بقداش إذا حل المعادلة عبارة عن مين؟ عن X يسوى
واحدإذا ننتقل الآن إلى النقطة الأخيرة من الجزء
النظري في هذا ال section وهي مشتقة معكوس الدوال
المثلثية والتكاملات المتعلقة بها يبقى
بدنا نيجي هنا إلى النقطة الثالثة والأخيرة في هذا
ال section اللي هي ال derivatives
of inverse trigonometric functions
مشتقة معكوس الدول المثلثة خلي بالك معناه هنا باجي
بقول لو كانت ال U Fالـ U is a differentiable
function of X then نم
رايحة خلوا بالك معايا كويسبدنا D على DX لصين
Inverse U يوها دي ليست X وانما هي دل في X ففاجب
اقول مشتقتها واحد على الجذر التربية إلى واحد ناقص
U تربية في DU على DX وبشرط ان ال absolute value
لليو اقل من الواحد ولا تساويلأن إن سوى 1 يصبح
المشتقة undefined 1 على صفر مدى نهاية كمية غير
قُعَرفة نمر اتنين بدنا D على DX لcos inverse Uيبقى
واحد على الجدر التربية يعني لو واحد ناقص U تربية
في الـDU على DX والـabsolute value أقل من الواحد
بدي واحد منكم يفت يقول هو بستنى المشتقتين زي بعض
يقولك نعم زي بعض ولكن بإشارتين مختلفتين يبقى هذه
ناقص تمام؟طيب بدنا نيجي لمن؟ لتالتة بدنا D على DX
ل 10 inverse U يبقى واحد على واحد زائد U تربيع في
DU على DX والكلام هذا صحيح for all Xلأن ال domain
تبع من ال 10 inverse كل ال real line بالاستثناء
طيب بدنا نيجي لمين؟ رقم 4D على DX لمين؟ ليكو 10
inverse Uيبقى واحد على واحد زائد U تربية في ال D
وعلى DX absolute value لل U وهذا الكلام صحيح for
all U بلا استثناء وهذه for all U وليست for all X
للكلبس طلع هذه و هذه زي بعض كمان بيختلفوا عن بعض
بالإشارة فبنروح بنحط هنا إشارة مين سالم بالمثل رقم
خمسة بدنا دي على DXلسك inverse u اللي هو واحد على
absolute value ل U الجدرى التربية ل U تربية ناقص
واحد في DU على DX وال absolute value ل U greater
than one اكبر من الواحد نمري ستةالـD على DX
لاكوسيكنت انفرس U يسوى سالب واحد على absolute
value لـU الجدرى التربية لـU تربية ناقص واحد في
الـDU على DX وال absolute value لـU greater than
one
نعود إلى هذه المشتقات مرة أخرى ونعقد مقارنة ما
بينها يبقى الأن احنا عطينا مشتقة معكوس الدول
المثلثية الست هذين ستة ولا تلاتة؟ستة، لكن في
الحقيقة تلاتة، لأن التلاتة اللي زيهم، اللي التلاتة
هذول زيهم بس بشعرة مخالفة يبقى، هاي خصمنا عليكم
خمسين في المية من اللي هو الحفظ والفهم وما إلى
ذلك، تمام؟ طيب نيجي للتلاتة هذول، المطلوب يعني
نحفظهم ولا بيجيون موجودات في الأداء؟ بدك تحفظهم
مثل إسمكطبعا؟ طيب نشوف حفظه مش صعب ولا سهل، إذا
صعب بدناش ياه، وإذا سهل بدناه ياه، ليه جدال؟ لو
جدل مشتقت التان Inverse اللي في المصفيها جدل؟ لأ،
واحد زاد يوتر بيدي وعلى DXإذا لو كانت هذه 10
inverse X بقول 1 على 1 زاد X تربية هي مشتقة 10
inverse X صح بيها دي؟ لأ طيب، ظلت الأولى والأخيرة
الأولى والأخيرة هذه اللي فيها جدر يبدأ بالنسبة لل
sign inverse X مشتقة 1 على 1 نقص X تربية لكن ال 6
inverse جلبناها بصير ايش؟ X تربية ناقص واحد ضربنا
برا بس في absolute value ل Xيبقى الجذر هو الجذر،
قلبنا لتحت، وهذه كل موقف تبتدوا لتحت، ضربناها في
مين؟ ضربناها في Absolute فلن .. then كله very easy
هذا، easy صحيح بشكل. الحين هذه وسيلة كيف أنا
أحفظهااللي يعني بتلزج في دماغك بعد ما اتحلك كام
سؤال بيتجيك لحالك حافظته بدون ايه بدون ما تحاول
ايه تحفظهم تمام؟ خير لو حبينا نسأل من أين لك هذا؟
يعني أنت كيف جيبتهم هديه؟ يعني أخبط ألزج بصحتناهم
ولا اللي هم براهين؟ اللي هم براهين؟ بديش أبرهنهم
كلهم كفيني واحدة بدي أبرهنك واحدة فيهم مشان تعرف
كيف أجتوبعد قليل بنروح نستخدم التكامل نستفيد
معلومات لم نكن نعرفها قبل ذلك خلّيني في الأول اقرأ
طبعا
اللي بيقول هناك بتيجي إذا برهنت واحد اجوتك الباقي
زيه خلاص كله مطلوب ييجي وما ميجيش مهمنيش بهمني
تعرف من وين هذا أجا مش نزل من السماء زي ما هو لا
نزل بعلمفهو نجي لو أخد مثلا A على بارة كده، لو
عندنا Y تساوي الصين inverse X، بدنا نشتاقهاعشان
اشتغل انا ماعرفش مشتقة ال sign inverse لكن بقدر
اجيب العبارة المكافية لهذه العبارة العبارة
المكافية لهذه العبارة اللي هي ال sign ال Y بدل
سواء من؟ بدل سواء X بنقول اه يعني لو كان عندي مثلث
قائم الزاوية بهذا الشكل وهذه الزاوية Yفجيب الوعي
المقابل على ال water يبقى هذا المقابل و هذا ال
water و حسب فيه ثغورت اقبلها التالت واحد ناقص
extra beerطب ان نشتاق هذه يبقى هذا بيعطيك تفاضل ال
sign بيكو صين واي في دي واي على دي اكس هذا مشتاقة
الطرف الشمالي الطرف اليمين مشتاقة الجدرش بواحد هذا
بيعطيك ان دي واي by دي اكس بيساوي واحد على كوصين
الواحدطبعا هذا بده يعطيك دي على دي إكس ليه؟ مين هي
ال Y؟Sin inverse X صحيح ولا لأ؟ إذا بدي أشيل Y و
أضع متى الـSin inverse X بدي يساوي واحد.بتدى دي
على ال cosine زي Y ال cosine هو المجاور على ال
water يبقى الجذري التربيعي لمين؟ لو واحد ناقص X
تربيع.وهو المطلوب؟مظلومش هنا it's chain rule بدي
بقول if ال U is a differentiable function of X
then بدي أطبق ال chain rule فبقول دي على دي اكس ل
sign inverse U يساوي واحد على الجدر التربية لواحد
ناقص U تربية في دي U على دي X وهنا ال absolute
value ل U أقل من الواحدوهنا absolute value ل X أقل
من ال main واحد وهو المطلوب التكتيك تبع ذلك الباقي
بنفس الطريقة لكن لكن هذا هيجيبلي الشغلات ماكنتش
اقدر اعملها قبل هيك زي ايش مثلا الان بالذات
للتكاملات نمر واحد لو جيت قلت لجديش تكامل واحد على
جذر التربية ل A تربية ناقص X تربية في D Xهذه شبه
هذه اللهم إلا بدل التربيع جدميا لول واحد يعني كأن
هذه حالة خاصة من مين؟ من هذه.بنقولها بسيطة، هذه
بنقدر نقولك الجواب كالتالي يساوي sine inverse لل X
على A زائد constant Cهذه ماكناش بنعرفها قبل هيك لا
في كل كلص A ولا حتى اللي درسناه في كل كلص B طب
النقطة الثانية لو عندك تكامل واحد على A تربيه زائد
X تربيه عن X يعني شبه مهم ابهاديجديش النتيجة يبقى
النتيجة واحد على ايه في مين في تان inverse x على a
زائد كنستان c طب والتالتة والاخيرة التالتة
والاخيرة يتكامل لواحد على x الجدر التربيعي ل x
تربيع ناقص a تربيع dx يسوى واحد على aفى sec
inverse absolute value of x على a زائد constant c
شوف ازدي ماديتش عفوية كمان الشغلة لما هي واحدة
اتنين و تلاتة لاحظ اتنين و تلاتة في جابلها واحد
على a لكن في حالة ال sign ماعنديش واحد على aليش؟
هذا الكلام اللي بدنا نقوله مشان نثبت صحتي التلاتة
التلاتة لهم نفس التعويضة كويس ايش التعويضة اللي
بدنا نحطها؟ بدنا نيجي مشان البرهم بدك تقوللي pot x
بده يساوي aT يبقى dx يساوي a في مين؟فى DET يبقى لو
كنت برهن أي واحدة منهم و التكن النقطة الأولى للـA
تبعتها بعض هقولك الأن بيقولك إنها بعض فعلا و هقولك
و هقولك الـA تبعتهم موجودة كيف؟ فبعدين بقول احنا
بدنا تكامل واحد على الجدر التربية إلى A تربية ناقص
X تربية DX يساوي التكامل الـDX مقدرشب A D T يبقى
ال A D T طبعا يا شباب كل اللي عندنا هذا ال A و ال
A و ال A كله ال A greater than zeroيبقى تحكمي أن
الـA أكبر من الـ0 دائما و أبدا يبقى باجي بقول على
الجذر التربية اللي يمين للـA تربية ناقص X تربية
تعني A تربية T تربية يبقى A تربية T تربية بالشكل
اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام بيساوي تكامل A D T
علىإيه تربيع مع إيه تربيع تطلع برا؟ بـA يبقى هذا
الـA وهذا الجدر التربيع لواحد ناقص T تربيع الـA
والـM على السلامة يبقى تكامل DT على الجدر التربيع
لواحد ناقص T تربيعبتطلع لي هنا هاي عندك مين مشتاق
ال sign inverse x هي 1 على 1 ناقص x تربيع لو كملت
هنا بيجيني التكمل اللي هناك صح؟ و لو كملت هنا
هيضيع تفهيم مين بيطلع عندىسين انفرس X يبدو هذا
الجواب يبدو يساوي سين انفرس T زائد كونستان C لكن
اتطلعلي هذي T قداش بدها تساوي X على A إذا هذي بدها
تساوي سين انفرس X على A زائد كونستان C وهو المطلوب
الأول اللي عندنانفس التعويضة بدي أضعها للدلة اللي
عندنا هذه، يبقى انا ايش بدي أشيلها يا شباب؟ ايه
تربيعتي تربيع، وهنا قادتي، يبقى بدي أخد ايه تربيع
عامل مشتركه فوق، ايه بيظل جداش؟1 على A هايها و بضل
1 على 1 زي T تربيع اللي هو tan inverse T بشيل ال T
و بحط مكانها X على A بيقول حصلنا على هذي هذي بنفس
الطريقة اللي بعدها بدي أشيل ال X و أحط مكانها A T
وهذه A تربيع T تربيع و فوق A دي Tهنا ا تربية ا
تربية تطلع برا با مع ال ا ا تربية وعندي ا فوق يبقى
واحد على ا بيظل واحد على ت واحد زي ا و ت تربية
ناقص واحد لوسيك inverse t بشيل ال t و بحط مكان x
عليه بيقول وصلنا لمين وصلنا للنتيجةطبعا استفدنا
فائدة كبيرة جدا كثير من المسائل اللي كنا بنقدرش
كاملة في calculus A أو في ال sections الماضيةهذه
من كاملها بسهولة خاصة إذا المسألة فيها جذور يبقى
قدرنا نخلص من الجذور و نحط التكامل تبع من الدلالة
لإنها طيب إذا بنبدأ ناخد ايش بعض الأمثلة على هذا
الموضوع يبقى examples أول
مثال بيقول find the following
Limits بدنا النهايات التالية أول واحدة منهم بدنا
limit لما ال X بدها تروح إلى infinity لل X في 10
inverse 2 على Xطب ما احنا خدنا limit قبل ذلك و ليه
جاي تعطينا limit هنا؟ الإجابة بسيطة جدا لإن هناك
أخدنا limit في حالة Lobital وما أخدناهاش لمعكوث
ماكانش ولا سؤال في معكوث لدالة مثلثية لإنه ما
أخدناهاش الدوال المثلثية يوم أن أخدنا قاعدة
Lobital إذا بدنا نعمم Lobital لمعكوث الدول
المثلثية و لا غيرهطب اللي انا بدي احسب هذه اللي
بتبقى اول خطوة هي التعويض المباشر شيل ال X وحط
انفينيتي ونشيل ال X التاني ونحط انفينيتي اتنين على
انفينيتي بزيرو تان انفرز زيرو بزيرو يبقى انفينيتي
بزيرو هي الحالة الثانية يوم ما درسنا ال section
اللي فيه قاعدات نوبةيبقى نحوّر هذه المسألة بحيث
نحوّلها إلى 0 على 0 أو infinity على infinity يبقى
هذه ال limit لما ال x tends to infinity لمين لتان
inverse اتنين على x على واحد على xهذه حولت للمثال
لمين؟ واحد عمل نهاية بالزيرو و واحد عمل نهاية
بالزيرو والتاني عمل نهاية بالزيرو يبقى صفر زيرو
على زيرو مبام زيرو على زيرو إذا بقدر أستخدم قاعدة
Logical يبقى هذا الكلام يسوي ال limit لما ال X
tends to infinityمشتقة البسط على مشتقة المقام
مشتقة ال turn inverse أخدناها قبل قليل يبقى واحد
على واحد زائد اتنين على اكس لكل تربيع في مشتقة
الزاوية اتنين مالكش دعوة مشتقة واحد اكس بسالب واحد
على اكس تربيع يبقى هي عندك الاتنين في سالب واحد
على اكس تربيععلى مشتقة المقام كمان اللي بسالب واحد
على X تربيع نختصر هذا المقدار مع هذا المقدار
وبالتالي بتقول المسألة إلى اتنين برا ال limit وهي
limit لما ال X tends to infinity بقى عندنا فقط
واحد على واحد زيدي اتنين على X لكل تربيعطب العامة
التعريض مباشر عدد على مالة نهاية ب zero بضال جداش
واحد على واحد اللي هو بواحد يبقى الجواب اتنين في
واحد ويساوي اتنين قيمة هذه ال limitطيب نجي ناخد
هذا نمرة واحد وناخد نمرة اتنين بدنا ال limit لما
ال X بدها تروح لل zero من جهة اليمين لل sign
inverse X تربية على ال sign inverse X لكل تربية
تعالى نعود طريقة مباشرة Zero تربية ب Zero ال sign
inverse Zero جداشملحنة sign inverse بمربو نقطة
الأصل هو الرسم أخدناها في مركز الدول المثلثية
بمربو نقطة أولى بمربو نقطة أولى بمربو نقطة أولى
بمربو
نقطة أولىيبقى هذا الكلام limit لما ال X بدي يروح ل
Zero من جهة اليمين لمشتقة البسط على مشتقة المقام
واحد على الجدري التربيعي لواحد ناقص X تربيع لكل
تربيع في مشتقة الزاوية له جداش باتنين X هذا كله
البسطبنجي المقام، المقام قوس و القوس مرفوع لأس
يبقى بنجي بنقول الأس في القوس نفسه في مشتقة ما
داخل القوس مشتقة ال sign inverse اللي هي واحد على
الجدرى التربية لواحد ناقص X تربيةهذا الكلام بده
يساوي limit لما ال X بده يروح لل zero من جهة
اليمين اظن اتنين في البصد و اتنين في المقام هذي مش
لازمة ايش بده اللي عنده في البصد هذا هذا بدي اعيد
صيارته فبقول واحد على السؤال هو أليس هذا فرق بين
المربعينيعني بقدر أحلله واحد ناقص X تربية و واحد
زائد X تربية كله تحت مين؟ تحت الجذر وبالتالي بقدر
أوزع الجذر لكل منهم يعني هذا كأنه الجذر التربية
إلى واحد ناقص X تربية في الجذر التربية إلى واحد
زائد X تربية هذا الجذر الأول اللي عندنا هذا تمام؟
و فوق ضلت أن هذا الواحد مضروب في X يبقى ب X دغري
يبقى اصبع ان اكس على حاصل ضرب الجدرين هذا من البصر
نجل المقام
1 على sin inverse x هذا الجدر يجب ان ينجلب و يطلع
فوق يبقى لو انجلب و يطلع فوق يصبح الجدر التربية
إلى 1 من ناقص x تربية اظن في اختصارات الجدر هذا و
الجدر هذا معاهم مع السلامة اذا آلة ال limit اللي
عندنا إلى x بدأت تروح ل zero من جهة اليمينبقى في
البصد فقط x لا غير في المقام صار عندنا الجدري
التربيهي لا واحد زائد x تربيه في sin inverse x
ويسوىلو جيه تعويض مباشر يبقى هدف Zero هدف Zero في
واحد يبقى ب Zero يبقى Limiter Roll كمان مرة يبقى
High Limit لما ال X بده يروح ل Zero من جهة اليمين
تفاضل البسطج واحد على تفاضل المقام المقام مشتق
تحاصل ضرب دلتين يبقى دل الأولىفى مشتقة الدالة
الثانية مشتقة ال sign inverse اللى هو واحد على
الجدرى التربية لواحد ناقص X تربية زائد الدالة
التانية اللى هو sign inverse X فى مشتقة الأولى
مشتقة الجدر بواحد على اتنين الجدر تمامفى مشتقة ما
داخل الجدر اللى هو كده بتنين X طيب نجى نشوف العوض
عن X بزيرو يبقى اتش بصير واحد على زيرو بتطير هادي
زيرو بتطير هادي بظل واحد على واحد اللى هو بواحدوصل
لزائد زائد sign inverse ل zero في zero على اتنين
يبقى الجواب
كله قداش يساوي واحد صحيح هو نهاية هذه الدالة حد
بدي اسأله سؤال بالنسبة لهذه ال limit
طيب تهيأنا من المثال اللي هو الأول بابنا نروح
للمثال الثاني يبقى example two يقول
find y prime for each of
بنجدوش مشتقت كل من المقادير التالية نمرا واحد هو
يساوي 10 inverse لإن ال Xيبقى كأن المثال Y تساوي
10 inverse U يبقى
1 على 1 زاد U تربية في مشتقة الـ U حسب ما خدناه
قبل قليل يبقى هذا يعطيك ان Y prime يساويمشتقة الـ
tan inverse واحد على واحد زائد U تربيع يعني لإن ال
X الكل تربيع في دي U على دي X يعني في مشتقة كدوش
يعني واحد على اكس اختصارات مافيش بروح بخليها نمر
اتنين بدنا Y تساوي كتان inverseكتان انفرس الجدري
التربيع إلى X تربيع ناقص واحد Y'
يساوي الكتان انفرس شرطه عند اشتقاق بالسالم يبقى
السالم واحد على واحد زائد الجدري التربيع إلى X
تربيع ناقص واحد لكل تربيع
مشتقت الجدر واحد على اتنين الجدر في مداخل الجدر
اتنين اكس
طبعا هنا تربية حيطير الجذر يبقى بضال واحد زائد X
تربية ناقص واحد هيربع من هذا المقدار اتنين مع
اتنين الله يسهل عليها بضالة من يمين X على مين على
الجذر التربية الى X تربية ناقص واحديبقى هذا الكلام
يساوي سالب واحد على X تربية واحد و سالب واحد مع
السلامة بظل مضروب في X على الجذر التربية ل X تربية
ناقص واحد نختصر ال X مع ال X بظل ناقص واحد على X
الجذر التربية ل X تربية ناقص واحد طيب السؤال
التالتسؤال التالت بيقولي y تساوي general x ال
square root لل x في cosine inverse ال square root
لل x كله أس أربعة يبقى بدنا y prime تساوي يلا
فكروني في الموضوعكيف بننحل السؤال هذا؟
طلعنا كويسة يباشر من هنا عصر البرد دل تاني يبقى
الدل الأولىفي مستقلة دولتنا التانية جوس مرفوع لأس
يبقى الأس في الجوسمرفوعة لنفس القص مطروح منه في
مشتقة مداخل القوس اللي هو مين؟ سالب واحد على واحد
زائد مربع هذا اللي هو جذر ال X الكل تربيه في مين؟
في مشتقة الزاوية اللي هو قداشر واحد على اتنين جذر
ال Xيبقى كل اللي عملناها الكلكة علي كتيرة لسه
الأول في مشتقت التاني زائد التاني زائد cosine
inverse لجذر ال X الكل أس أربعة في مشتقة جذر ال X
لواحد على اتنين جذر ال X واحد على اتنين جذر ال X
طبعا في اختصارات هذه X جذر ال X في المقام وجذر ال
X في البصرأتنين هذه وهنا أربعة بظل اتنين يبقى
أصبحت النتيجة كالتالي يبقى أن هذا كله ناقص اتنين
وهنا cosine inverse لجذر ال X الكل تكيب عالمين
واحد زائد X فقط لا غير هذا الجسم الأولالجزء التاني
مش فيه اختصارات يبقى يبقى كما هو cosine inverse
لجدر ال X الكل أس أربعة على اتنين جدر ال X الخطوة
ليه المرة التانية قال يبقى بالك معايا كويس صح صح
اللي كان سرحان اللي مش فاهم اللي ناسي ايه اللي ايه
اللي يخلمك معاياهذا المثل اللي عناه يبقى احنا عنا
هذه دالة هذه function وهذه function تانية إذا
السؤال هو مشتقة حاصل ضارب دالتين مضايق اقوله
الدالة الأولى في مشتقة الدالة الثانية الدالة
الأولى جذر ال Xالدالة التانية جوص ومرفوعة لأس في
كل قلص ايه علبوكوا المدرسين ان شودة الاس في الجوص
مرفوعة لنفس الاس مطرح من واحد فيه مشتقة مداخل
القواص مش هيك بدنا نترجمها عرفيا يبقى هذا الاسالـ
cos زي ما هو مرفوع لنفس القص مطروح من واحد يبقى
صارت تلاتة مشتقة مداخل القوس يعني مشتقة الـ cosine
inverse اللي سالب واحد على واحد زي مربع الزاوية
طيب، الزاوية هذه دالة في X مش X، يبقى بدنا نروح
نضرب في مشتقة جدر الـX اللي واحد على اتنين جدر
الـX أظن التالي مافيش فيها مشكلة؟ ولا حاجة، ايوا
اسمع طيانات، ايوة؟ هادي، كيه مرتين؟
يا راجل تجي الله، مشتقت هاديهي نص وهي تكوين في
مشتقة دي اللي جوا القوس، مشتقة ال cosine inverse
سالب واحد على واحد زائد مرد المقدار هذا، قرب اسمها
تينا، وهو الجدار
اه اه الجذر قصدك هذا اه صحيح هذا مظبوط و هذه اه
cosine inverse سبحان الله هذه سالب مظبوطكلامك صحيح
هذا صح طبعا وفوق كل ذي علم عليم اقر ان اخططه
الراجل بيحكي صحيح لإن هذا مشتقة ال cosine inverse
هي واحدة على الجدر التربية لواحد ناقص X تربية يبقى
هذه بالناقص يبقى هذه بتصير بالناقص بالشكل اللي هنا
واحد ناقص Xو تحت الجدرق فقط لا غير انا استمع يبقى
هاي عدلناها طيب هبنجي للنقطة الرابعة النقطة
الرابعة بيبنى Y تساوي تلاتة أستان inverse X زائد و
تان inverse لتلاتة و ستأنا بلكن بنشتق
هذه وننهي المحاضرة ان شاء الله وتعالى بالنواي
قرائم يساوي هذه كأنها AOSU يبقى AOSU في لن ال F
ومشتقة ال U مظبوط؟ يبقى AOSU الدالة كما هيفى لن
التلاتة فى مشتقة ال 10 inverse لواحد زائد X تربيع
طبعا خلاص ما منها ال quotient inverse شريتها
بالسالب يبقى سالب واحد على واحد زائد تلاتة أس X
لكل تربيع فى مشتقة مين التلاتة أس X اللى تلاتة أس
X فلن التلاتةأكتر من هيك ماعنديش اللهم إلا إذا بدك
تكتب هذه تلاتة واس اتنين X ماعناش مشكلة وإذا بدك
تكتبها تسعة واس اكس كمان ماعناش مشكلةهذا أُس
مُركّب بيصير تلاتة أُس الـ X في اتنين اللي هو
باتنين الـ X أو تلاتة ربيع أُس X يعني تسعة و أس
إكتبت إيه كتبت إيه كتبت إيه كله زي ما هو ماعنديش
اختصارات يبقى بيخليها و بروح وبس يبقى نكمل ان شاء
الله المرة القادمة