الآن بنرجع لشبتر الـ permutation groups اللي خدناهم
مع الأستاذ محمود السرساوي ونقش لكوا أول عشرة مسائل
بنحاول نناقش بقية المسائل إن شاء الله وتوفيق الله تعالى
اللي أنا بنجي لسؤال 11، السؤال 11 بيقول لي خد لي a
positive integer و
if الـ a is odd و في عندي cycle طولها n طبعًا
السؤال بيقول مرة ثانية السؤال 11 بيقول الـ n
positive integer و الـ a is odd والا الـ alpha is
odd و طولها n cycle ف الـ n cycle هذه بتبقى odd والا
even قالي بالك معاك الآن
أنا عندي الـ n ماخد ليه اللي هو positive integer
لو كان الـ n is oddو أنا عندي الـ cycle الـ cycle هذه
طولها n يعني بمعنى a1 a2 و لغاية an بهذا الشكل هل
الـ permutation هذه بتبقى even والله قد علمًا أن الـ n
هذه عبارة عن odd هذا هو السؤال طب لو كانت الـ n
even برضه إيش اللي بده يكون يبقى الـ n سواء كانت
odd والله even بدنا نعرف هذه إيش بدها تكون إذا بدي
أخد الحالة الأولى لو كانت الـ n الـ n is odd
يبقى هدول عددهم odd كم Transposition بقدر أسوي
منهم لما يكون عددهم n chemical composition أو
two cycles بقدر أعمل منهم قداش عددهم يعني
أكثر من عددهم بمقدار واحد والله أقل من عددهم بمقدار
واحد أقل من عددهم بمقدار واحد طب لو كان الـ n فردي
يبقى الأقل منه بواحد إيش بيكون زوجي يبقى هنا if الـ
n is odd أو even يبقى هذه بتبقى is even أو odd
permutation
يعني يعني عكس العدد اللي عندنا هذا لو كان العدد زي
مثال و ذلك لو قلت أنا أشير أنزل سايكل فيها واحد
اثنين ثلاثة هيبقى هذه الطول فردي مظبوط أكمل
ترانسبوزش إن بقدر أعمل واحد ثلاثة واحد اثنين يبقى
اثنين فقط يبقى هذه بيصير even permutation يبقى إذا
الـ cycle عدد العناصر فيها odd أو الطول تبعها عبارة
عن odd يبقى عدد الـ transposition is even أو الـ
permutation هذه بقول عنها even وإن كان العدد هذا
even يبقى الـ permutation بقول عنها أو odd وهكذا
يبقى هذا المقصود بسؤال 11 إذا كان السؤال 12 يقول
لو كان الـ alpha even شوف للـ alpha inverse أو اثبت
أن الـ alpha inverse even و لو كانت الـ alpha odd
اثبت أن الـ alpha inverse is even يبقى هنا سؤال 12
يقول if الـ alpha is even أو odd then الـ alpha
inverse is even أو odd هذا اللي عايزين إن تبدأ
يبقى هنا solution حليت
السؤال هذا أنت يا أبو الأعداد هذه طب هذه أعداد
even و odd يعني حليت السؤال هذا مش مستاهل كلام
ذاري يعني أنت عندك الآن لو افترضت إنه alpha even
يبقى if الـ alpha is even معناته إن الـ alpha هذه
بقدر أكتبها alpha 1 alpha 2 لغاية alpha
2N and هدول مالهم two cycles أو transpositions
مظبوط يبقى هذه الـ alpha 1 والـ alpha 2 و
لغاية الـ alpha 2N كل واحدة فيهم الطول تبقى
2 يبقى كتبت على شكل في الـ cycles أوى
transpositions طب ليش كتبت 2N لأنه قال لي
alpha is even يعني عدد هدول كلهم 2N اللي أنا
بده أجيب المعكوس تبعها يبقى باجي بقوله الـ alpha
inverse بدها تساوي alpha 1 alpha 2 alpha
2N و كله inverse
الآن الـ inverse لهذه بعيد كتابتهم من الخلف إلى
الأمام على الشكل التالي alpha 2N inverse اللي
جابله alpha 2N ناقص 1 inverse بضل ماشي لغاية
alpha 2 inverse alpha 1 inverse السؤال هو أخذته في
الجزء النظري إنه الـ transposition المعكوس تبعه هو
نفسه ولا بيختلف نفسه إذا بقدر أشيل كل واحد و أحط
main و أحط اللي هو نفسه إذا هذا الكلام بده يساوي
alpha 2N alpha 2N minus الـ 1 لغاية alpha 2 alpha
1 قداش عددهم هدول؟ عددهم 2N يعني even يبقى
هذا even تمام إذا لو كانت الـ alpha even الـ alpha
inverse even لو كانت الـ alpha odd يبقى الـ alpha
inverse كذلك odd similarly بنفس الطريقة similarly
if الـ alpha is odd then alpha inverse is odd
وانتهينا من هذه الشغلة هذه صعبة يعني برضه صعبة
تجيب الـ inverse تبعها وترجعها لأصلها طيب هذا سؤال
17 نيجي لسؤال 17 معطيني alpha و beta سؤال
17 معطيني alpha و beta alpha تساوي اللي هي الـ
permutation من 1 لغاية 6 2 3 4
5 6 والصفر الثاني 2 1 3 5 2
1 3 5 4 و هنا 6 و beta تساوي برضه
من 1 لـ 6 2 3 4 5 6 والصفر
الثاني 6 1 2 4 6 1 2 4
3 5 بالشكل اللي عندنا هنا طلب مني ثلاث
شغلات alpha inverse و beta alpha و alpha beta طلب
find alpha inverse و alpha beta و beta alpha
الخيار يا بنجيب الـ alpha مباشرة من هذا الوضع يا
بنحولها للـ cycles وبعدين بنجيب الـ inverse على زي
ما بدك ع الشكلتين ماشي طيب احنا الآن لو بدنا نجيب
معكوس هذين مباشرة كيف بنجيب معكوس هذين؟ حد بيعرف؟
نفس نفسه
كيف بنجيب معكس الـ permutation اللي بتبقى مكتوبة صفين؟
يعني
إيش قال لكوا الأستاذ محمود إيش بنعمل مشان يجيب المعكوس
تبعها؟ إيش بنعمل؟ cycle كيش يا راجل؟ أنا ما عطيك
permutation اللي لأ .. ما حولتهاش لـ cycles، ما بدأت
يبهيكد مباشرة بدون cycles كل واحد لواحد يعني واحد
لواحد يعني إيش نسوي بالظبط فاهمني على أي حال كلمتين
أصغار مفيش غيرهم ببدل الصف الأول مكان الثاني
والثاني مكان الأول وبعيد ترتيب الـ permutation بس
جلها الكوالا ما جلهاش الكهاجر ما حسبش الكوالا معكوس
لـ permutation كيف؟ بتاعة الـ cycles
استفيد كمان هذه المعلومة مدى ما قال لكوا الطريقة هذه
خذها الطريقة هذه يبقى بدي أخذ الـ alpha inverse
يبقى يساوي الصفر الثاني 2 1 3 5 4
6 1 2 3 4 5 6 يبقى هذا
المعكوس بس بدي أعيد الترتيب بحيث فعلًا الصف الأول
يكون هو الأرقام اللي اهالمرتبة ترتيب حسب وضعها
يفاجئ 1 2 3 4 5 6 وهيجفلنا
الواحد إيش صورته؟ 2 يفاجئ 2 2 إيش
صورته؟ 1 الآن الثلاثة صورتها 3 الخمسة
صورته إيش؟ لأ قبلها الأربعة صورتها إيش صورتها 5
والخمسة صورتها 4 والستة صورتها 6 إذا هذا
المعكوس تبع الـ permutation طب ده تأكد حل الصح و
الله غلط ما عليك اللي تمسك هذه و تضربها في هذه
لازم يطلع مين identity permutation 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
تمام؟ يبقى ده تشكلك اعمله وشوف هذه صح ولا غلط بدك
عن طريق الـ cycles ما عندناش مشكلة زي ما علمك عن طريق
الـ cycles اللي علموه لك كلام صحيح مئة بالمئة على
أي حال هذا المطلوب اللي مطلوب الثاني قال لي بده
الفا بيتا الآن بدنا نجيب له alpha beta ما عليك إلا
تعمل الـ permutations مباشرة أوي تحولهم إلى الـ
cycle و تجيب إيه عشان الـ composition تبعهم حسب لكوا
الـ composition مباشرة زي هيك ولا زي .. يعني
حسب لكوا هذه طيب ماشي يا سيدي هذه الأولى هي الـ
alpha 1 2 3 4 5 6 2 1
3 5 4 6 والتاني 1 2 3
4 5 6 الصف الثاني 6 1 2 4
3 5 ويساوي بذكر تذكير يبقى بعدين ابدأ هاي
1 2 3 4 5 6 وهيجفلنا الآن ببدأ
بالواحد ببدأ من اليمين للشمال الواحد صورته آه ستة
باجي طالع هنا على الستة صورتها صورتها آه يبقى
الواحد صورته ستة بعدين بدي اجي للاتنين اثنين
صورتها واحد والواحد صورتها آه اثنين يبقى اثنين ده
يجي اللي بعده الثلاثه صورتها اثنين واثنين صورتها
واحد بالشكل اللي عندنا اللي بعده وصلنا للاربعه
الاربعه صورتها اربعه والاربعه صورتها خمسه الخمسة
صورتها ثلاثه والثلاثه صورتها ثلاثه الستة صورتها
خمسه والخمسة صورتها اربعه زي ما انت شايف يبقى هذا
الـ composition انت تلاحظ انه لما تجيب ال
composition ولا رقم يتكرر مرتين الرقم لا يظهر إلا
المرة الواحدة لأن الـ permutation هي عبارة عن
function وهذه الـ function one to one and onto
بتغطي لجميع العناصر ومافيش عنصر يشتركوا في نفس
الصورة على الاطلاق يبقى هذا بالنسبة للـ alpha beta
من الـ beta alpha زيها ما عنديش مشكله فيها طيب هذا
كان سؤال سبعة عشر بدنا نروح لتسعة عشر قل اتش subgroup
من الـ Sn سؤال تسعة عشر قل اتش subgroup من الـ Sn هذا
بده يعطيلك اللي هو any element of H is even or half
elements of
S and R are even
قبل ما نبدأ الشغل الـ Sn فيها permutations ايش
even وا يش odd؟ روحنا اثبتنا له من خلال جزء النظري
ان الـ set of all even permutations وديناها الرمز
An is a subgroup من مين؟ من الـ Sn وفي المقابل قلنا
له the set of all odd permutation is not a
subgroup ليش؟ مافيش فيها الـ identity الـ identity
even permutation تمام اثنين لو ضربتوا odd
permutation يعطيني even يعني الـ operation عليها is
not a binary operation او is not closed under the
composition of functions او of permutations
وبالتالي مجموعة الـ odd permutation لا يمكن تكون
في يوم من الايام اللي هي الـ subgroup هذا السؤال
الموجود عندك في التمرين الان بيقولش انها اخذنا h
subgroup من Sn يبدأك تروح تثبت لي انه كل element من
h بيكون even permutation وهو واضح على الطبيعي لان
الـ odd permutations عمرهم مش بيعملولي الـ subgroup
بدكش بلاش اثبت لي ان الـ elements of h نص عناصر Sn
بدهم يكونوا even يعني لو كانت الـ Sn فيها عشرين عنصر
فعشرة even وعشرة odd هاي اللي بقوله يثبته بقوله
بسيطة جدا يبقى بقوليش اثبت للاثنين بقولي بكفيني منك
واحد اللي تقدر تثبته فيهم لانه or or تعني هذا او
هذا طيب ماشي تمام انا بدي احاول اتنطلع ان نص
العناصر تبع الـ SN بيكونوا even وبالتالي عدد الـ odd
permutation جد عدد الـ even permutation واعتقد ان
الاستاذ محمود جالكوا في الجزء النظري ان الـ order
للـ alternating group AN هو عبارة عن N factorial
على اثنين مظبوط طيب مدام جالكوا احنا بدأنا بتهدى
عمليا الـ A مش هنتبت عمليا بضروح افترض اني عندي odd
permutation beta يبقى assume that ان الـ beta is an
odd permutation كويس
طيب انا عندي odd وعندي even بدي اعرف function من
الـ even permutations للـ odd permutations واذا طلعت
هذه الـ function one to one and onto يبقى عدد ال
odd بصير جد عدد من الـ even يبقى عدد الـ even بيكون
نص عدد اللي هو الـ S انه بيكون خلصنا مظبوط يبقى
بداجي اقوله define
من الـ Alternating group of degree n إلى الـ set
of all odd permutations للـ S ناقص الـ An هذه ال
group هذه الـ set كلها
طيب مين هي هذا يا شباب؟ الـ Sn لما شيل منها الـ
even مين بيظل الـ odd يبقى هدول الـ set of all odd
permutations وهدى الـ set of all even permutations
باي فاي of alpha بده يسوى alpha beta مثلا بتتأكد
تعريفي صح ولا غلط انا معرف Function Phi من الـ set
of all even permutation للـ set of all odd
permutation باي Phi of Alpha يبقى Alpha ياش even
موجودة في الـ a in بدت روح لمين للـ odd الان هذه
even وهذه ايش فرضها انا odd طب odd في even ايش
بيعطيني odd في even آه يبقى آه يبقى ميه الميه هذه
موجودة هنا يبقى تعريف سليم مائه بالمائه هذه ال
function لو جلسنا نثبت انها one to one and انتوا
بيقول خلصنا بصير عدد الـ odd permutation جد عدد الـ
even permutation يبقى مص عناصر s ان بصيروا even
permutation بصيروا even permutation او odd
permutation زي ما بدك وهذا يتفق مع عدد الـ a n يسوى
n factorial على اثنين اللي اقالكمين الاستاذ محمود
يبقى الان انا بتدعي ان فاي is one to one مشان هيك
بدأت اخذ صورتين متساويتين assume that ان في of
alpha one يسوى في of alpha two اذا قلت اثبت ان الفا
وان يتساوي الفا تو بتم المطلوب يبقى بناء عليه هذا
معناته ان الفا وان بيتا يساوي الفا تو بيتا بال
right cancellation law يبقى هذا ما يريد ان يعطيك
ان الفا وان يتساوي الفا تو لذلك فاي هو واحد تو
واحد بدي اثبت الان الـ fi is onto يفجر بروح اخد let
هه بديش اقول بي تبدى سميها مثلا جاما موجودة في
الاس ان نقص الام يعني اخدت element موجود في ال
code domain تبع الـ function وبدي اثبت انه له اصل
في الـ domain اللي عندنا then
الـ gamma is odd مظبوط ولا لا؟ ليش؟ لانها موجودة
في الـ set of all odd permutation implies that ممكن
اكتب الجامعة هذه على الشكل alpha beta يعني حاصل ضرب
even في قد اللي هو مين قد صح ولا لا يبقى هالكلام
هذا ممكن ولا غير ممكن الاجابة ممكن لان هذه قد وهذه
قد فعلا طب حسب الـ definition هذه بتعطينا مين فاي of
alpha يبقى جاما حتى في الـ code main لقيت اللي اصل
في الـ domain اللي هو alpha يبقى بناء عليه فاي is
onto يبقى بناء عليه اللي هو الـ فاي is one to one
and onto مدام one to one and one to hada بده يعطينا
ان الـ order للـ AN بده ساوي الـ order للـ SN ناقص ال
AM هذا بده يعطينا اللي هو half of the elements of
SN is even يبقى نصهم بيكون even مثل ما طلب في
السؤال وهو المطلوب طيب
هذا كان سؤال تسعة عشر الان بعد تسعة عشر انا سؤال
اثنين وعشرين مائتين alpha و beta موجودة في Sn و
اثبت ان الـ alpha inverse beta inverse alpha beta
even permutation على طول الخط الان سؤال اثنين
وعشرين بقولي alpha و beta موجودة في الـ Sn اثبت انه
Alpha inverse Beta inverse Alpha Beta is even
دائما وابدا
محطليش ميودة على alpha و beta اللهم إلا
permutation موجودة في الـ Sn هل even و odd خد زي ما
بدك اذا انا عندي ثلاث احتمالات العربية عليها
الاحتمال الاول ان alpha و beta التنتين even
الاحتمال الثاني ان alpha و beta التنتين odd
الاحتمال الثالث واحدة odd واحدة even مش هيك على كده
الاحتمالات الثلاثه بدي اثبت له انه حصل ضربة ده او
حصل composition ما بين الاربع permutation even
تمام يبقى الان بداية اخدله المقطة الاولى if alpha
and beta are even then الـ alpha inverse beta
inverse alpha beta توا قبل قليل اثبتنا انه لو كانت
الـ alpha even يبقى معكوسة even لو كانت الـ alpha
odd يبقى معكوسة odd كذلك اذا هذه الاولى even
والثانية even والثالثة even والرابعة even يبقى
ناتج جداش يبقى ان كانوا التنتين even في المجموع او
ال composition ما بينهم even الحالة الثانية لو كانت
ال alpha and ال beta are both odd تمام then ايش
اللي بدي يحصل ال alpha inverse beta inverse alpha
beta بتبقى على الشكل التالي الحين التنتين odd يبقى
المعكوس تبعهم odd تمام يبقى odd والتانية odd
والتالتة odd والرابعة odd لكن odd زائد odd ايش
بتعطينا؟ even و odd زائد odd التانية بتعطينا؟ و
even زائد even ايش بتعطينا؟ even يبقى على كل
الأمرين سواء التنتين odd أو التنتين even الناتج
even وصلنا للحالة الثالثة والأخيرة لو كانت ال alpha
is odd and beta is even then بدنا ناخد alpha
inverse beta inverse alpha beta الان alpha odd
يبقى معكوسة كذلك odd الان beta even يبقى معكوسة
even alpha قلنا عليها odd و beta even هذا الكلام
بده يساوي اطلعلي لهذه اض زائد اد شو بتعطينا even
يبقى even هو عندك زائد even زائد even يبقى كل وش
بيعطيلك even على كل الاحتمالات الممكنة فإن ال
composition بين الأربعة permutations دائما و أبدا
even هي permutation يبقى هنا س ال alpha inverse
beta inverse alpha beta is even لكل ال alpha و
beta اللي موجودة في مين موجودة في sn بلا استثناء
طيب هذا كان سؤال اتنين وعشرين الان بدنا نروح لسؤال
ستة وعشرين بيقول لي اثبت ان ال cycle واحد اتنين
تلاتة اربعة is not the product of three cycle يبقى
هنا ستة وعشرين show that ان واحد اتنين تلاتة اربعة
is not is a product of three cycles هذا الكلام مش
ممكن يحصل أبدا طيب تعالى نشوف صحة هذا الكلام الان
ال permutation هادي even والله odd يا شباب odd
اتكلمتش عن ال order لها ال order لها يسبب أربعة
صحيح وهو طول ال cycle مظبوط انا اتكلمت اكمتوا cycle
بتقدر تكون منها تلاتة اذا هذه odd فباجي بقوله هنا
solution يبقى the cycle او the permutation
permutation
اللي هو واحد اتنين تلاتة او اربعة is odd أد ليش؟
لأنه تلاتة transpositions هي تلاتة اللي هو واحد
اربعة واحد تلاتة واحد اتنين تمام يبقى هذه اد بدي
افترض جدلا ان جدرت اكتب هذه على شكل cycle واحدة
طولها يساوي تلاتة يبقى لما اكتب ال cycle طولها
تلاتة even والله اديعني بنفعل permutation تكون
even و odd معناته فيه شغل غلط يبقى اللي فرضته أنا
هذا غلط و عكسه هو الصح إذا لا يمكن كتابة ال
permutation اللي عندي على شكل three cycle وماقلش
three cycle قال لي product وين قال لي product of
three cycles بدي أفترضي الآنان بقدر اكتبها على شكل
product of three cycles وشوف هذا فرضي بوصلني الى
نتيجة صحيحة ولا الى نتيجة خاطئة اذا وصلني الى
نتيجة صحيحة معناته شغل صح وصلني الى نتيجة خاطئة
معناته فرض اللي انا فرضته خطأ وعكسه ايه هو الصح
اذا هروح اقول assume
إن الواحد اتنين تلاتة أربعة is a product of three
cycles that is I N الواحد اتنين تلاتة أربعة بدي
أكتب على شكل ABC في DEF بالشكل اللي عندنا هي
product of three cycles then الان
ال a,b,c في d,e,f يساوي بدي اكتبها على شكل
transposition يبقى هذا بدي يعطينا a,c و هنا a,b و
التانية d,f والتالتة دي ايه؟ كده عددهم؟ اربعة يعني
even صح ولا لا؟ يعني معناته هذه even permutation
ايش
رأيك؟ وصلنا للتناقض ولا لا؟ مش واحد اتنين تلاتة
اربعة قدلما كتبت على شكل three ال cycle صارت ايش؟
صارت even يبقى هذه even تسمح له أنه وصلنا إلى
contradiction يبقى هذا تناقض معناته فرض اللي انا
فرضته هذا صح ولا غلط؟ غلط يبقى هنا so الواحد اتنين
تلاتة اربع كانت ب written as a product of three
cycles طيب يجي واحد تاني يقولي انت خدتين تانى طب
انا ممكن احط كمان واحدة تالتة اقوله حط مش تالتة حط
رابعة او خمسة او سادة او زى ما بدك الحين اللى ما
تحطلي كمان واحدة three cycle هدول عددهم اربعة
الواحدة بتجيبلي قداش two transposition بتصير قداش؟
ستة يعني even لو اخدتين تانى مش واحدة بتجيبلك
اربعة او اربعة تمانية even وهكذا يعني أيش ما تحط في
three cycles بتطلع even يبقى هذا الكلام غير ممكن
على الإطلاق وبالتالي هذه مالها دائما و أبدا لا
يمكن كتابت على شكل product of three cycles طيب هذا
كان سؤال ستة و عشرين سبعة و عشرين جالي beta موجودة
في S7 جالي سبعة و عشرين Beta موجودة في أس سبعة
وزيادة على ذلك جالي ال Beta أس أربعة ال Beta أس
أربعة ليه اتنين واحد اربعة تلاتة اتنين واحد اربعة
تلاتة خمسة ستة سبعة خمسة ستة سبعة جالي find Beta
بيتا بده اعرف البيتا هذه ايه شكلها يعني ما هي شكل
العناصر او قداش ما هي العناصر الموجودة في اللي هو
بيتا علم ان بيتا أقصى أربعة بالشكل اللي عندنا هذا
حد فيك وحل السؤال هذا احليت يعني ايوة احكي الفكرة
شوف مربع البيت أربعة وربيحها ال CBS تانية وعند ال
order البيت سبعة أشعر فك أن ال order لل بيسم يعني كل
element موجود في ال سبعة ال order له سبعة هي
موجودة في السبعة أنا موافق أنها موجودة في السبعة
لكن هل ال order له يسوى سبعة
أنا منافق إنها سبعة بس كيف جيبتها بك تثبتها مش
عشوائية واخ بتطلع غير انه طلعت سبعة ها هي سبعة صح
بس كيف نثبتها بتثبت ان ال order ل beta يساوي سبعة
حتى يطلع كلامك صحيح الحين هذي beta أُس أربعة ال
order لها كمان يساوي سبعة ليش ان هاي هال cycle
كلها سبعة و كلهم are disjoint elements مظبوط يعني
هذه permutation او cycle موجودة في السبعة صحيح وال
order الها يساوي طولها يساوي السبعة صحيح هذا ال
order ل beta اربعة يساوي سبعة انا بد ال order ل
beta وبالتالي اذا جبت ال order ل beta صارت قصتنا
بسيطة تمام طيب نرجع هنانرجع هنا مرة تانية من خلال
الكلام اللي احنا كتبينه خليني اسألكوا سؤال لستاذ
محمود حسبلكوا جداش ال order .. اي جداش ال order لل
elements لل S7 جداش
ال orders الممكنة لعناصر S7
جديش؟ مش عدد العناصر بتكلمش عن عدد العناصر،
العناصر كله عارف أنه السبعة فقه سبعة factorial
بقول ال order لعناصر ل group السبعة، جيش ال orders
الممكنة؟ من واحد لسبعة بس، مزيدش أكتر من هيك؟ طب
احنا مشان نجيب ال order ل cycles كيف بجيب ال order
لcycles مضربات في بعض؟ two cycles مثلا هذه طولها
تلاتة وهذه طولها خمسة وموافق التنتين دوس جوينت
تلاتة وخمسة يعني التنتين دوس جوينت ال least common
multiple ممتاز جدا يبقى لو عندي cycle واحدة فال
order لها يساوي طولها إذا عندي تنتين والتنتين are
disjoint بجيب ال least common multiple للإتنين
بيكون هو ال order لل permutation لو كانوا التلاتة
والتلاتة are disjoint بجيب ال is common multiple
للتلاتة وبالتالي هذا هو ال order لهم تمام يبقى
الآن ما هي ال orders الممكنة لعناصر السبعة هذا
ضروري لازم لفي العلم لازم اعرفهم وهو مثال محلول
عندك في الكتاب يعني الأستاذ محمود لازم يكون شرحه
مائة بالمائة أه مين مذكر ال orders يعني مغششك في
صفحة قداش كمان يا سيدي هذا في الكتاب موجود عندك
تفصيليا المثال يا سيدي المثال في الكتاب اللي هو
صفحة 102 و 103 example 4 صفحة 102 و 103 أكيد
شرحلكوا تفصيليا
أي نعم اثنين ناقش لكل مسائل من واحد إلى عشرة اطلع لي
في سؤال سبعة في الأسئلة بتلاقي نفس السؤال السؤال
السابعة بيقول لي what are the possible orders of the
elements of A6 وA6 و what about A7 يعني معناه إذا
ما انشرح في النظري انحل في المحاضرة بس أنت مش
قاري هذه القصة ثانية بتقول أعداد ما هذه الأعداد طب
تروح تراجع في الكتاب و ال orders واحد اثنين ثلاثة
أربعة خمسة ستة سبعة ثمانية عشر اثنا عشر هدول بس يبقى الآن
the solution the
possible orders
the possible orders of the elements of
السبعة are الواحد والاثنين والثلاثة والأربعة
والخمسة والستة والسبعة والعشرة والثمانية عشر خلّي
هؤلاء العشاق نعود لهم بعد قليل الآن نعود لمن؟
لصاحبتنا هذا البيت أربعة الآن ال order ل beta 4
يساوي طولها كم طولها سبعة يبقى سبعة هذا معناه أن
beta أس أربعة أس سبعة ستعطي ال identity
permutation هذا معناه أن بيتا أس ثمانية وعشرين بده
يساوي ال identity السؤال هو ما علاقة ال order تبع
بيتا بالثمانية والعشرين يجي اسمه ممتاز جدا الآن هذا
بده يعطينا أن ال order لبيتا divide الثمانية
وعشرين طيب كل ال possible orders هاي هم قدامي يبقى
بده أروح أدور مين منهم بيقسم ال 28 يبقى باجي بقول
saw the possible orders
of beta R الواحد بيقسم ال 28 والاثنين يقسم الـ 28
والأربعة يقسم الـ 28 والسبعة يقسم الـ 28 في غيرهم
تقول الـ 14 بقول لك الـ 14 مش منهم ما فيش عندي
permutation في السبعة ال order إلى يساوي 14 يبقى أنا
بدي آخذ من هدول الأرقام اللي بتقسم للثمانية والعشرين
طلعت هذه الآن إذا استبعدت الواحد واثنين والأربعة
بيصير ال order ل beta هو سبعة مظبوط هيك دي أخ
العران شو اسمك أنت؟ على إيش؟ على أبعودة على أبعودة
خلانا نعود إلى السؤال من جديد يعني إحنا بدنا نوصل
لكلام اللي قاله أن ال order يساوي سبعة وإني بصمته
بس سألنا كيف قال خبطها من عندي ما فيش حاجة يسمع
خبطها ما تش تشتغل رياضي سليم تمام الآن باجي أقول له
if ال order ل beta كان يساوي واحد هل هذا ممكن ولا
غير ممكن غير ممكن أن بيتا لا يمكن يساوي ال identity
بدليل أن بيتا أس أربعة تساوي هذه لو كانت بيتا تساوي
ال identity ليه كان بيتا أس أربعة يساوي ال identity
يبقى ال order لبيتا يساوي واحد impossible غير ممكن
السبب because أن بيتا لا يساوي ال identity
permutation لأن لو كانت ال beta بال identity يبقى
beta و أربعة بال identity يبقى هذا مستبعد تماما
طيب نيجي نأخذ الاحتمال الثاني بعدك
باجي بقول له لو كان ال order ل beta بده يساوي أربعة
اسمع يا راجل then تمام ال beta أس أربعة بده يساوي
ال identity هذا كلام حقيقي لأ لأن beta أس أربعة
هيها يبقى هنا this is impossible ليش because إن الـ
beta أس أربعة ليست ال identity وإنما تساوي وراحت
اثنين واحد أربعة ثلاثة اثنين واحد أربعة ثلاثة خمسة
ستة سبعة هذا اللي مستعجل عليه الاحتمال الثالث اللي
هو F بتا تربيع بده يساوي اثنين ثم بتا تربيع بده
يساوي اثنين ثم بتا تربيع بده يساوي اثنين ثم بتا
تربيع بده يساوي اثنين ثم بتا تربيع بده يساوي اثنين
يبقى سؤال order ل beta كده؟ سبعة يبقى سؤال order ل
beta بده يساوي السبعة يعني معناه beta و السبعة بده
يساوي من ال identity element طب أنا بدي beta بقدر
أجيب أو أخليك من هنا beta؟ كيف؟ واضرب في Beta يبقى
لو ضربت في Beta بيصير Beta أس ثمانية بده يساوي Beta
يبقى صارت Beta بدها تساوي Beta أس أربعة في Beta أس
أربعة ليه Beta أس ثمانية؟ مظبوط هذا معناه أن بيتا
تساوي بيتا أس أربعة هي جاهزة عندنا اثنين واحد
أربعة ثلاثة خمسة ستة سبعة خمسة ستة سبعة اثنين واحد
أربعة ثلاثة خمسة ستة سبعة يبقى صورة beta تساوي يبقى
صورة
تساوي
يبقى صورة تساوي يبقى صورة تساوي يبقى صورة تساوي
يبقى تمام الآن وصلتي للتلاتة التلاتة موجودة هنا
موجودة صورتها مين؟ و الخمسة مين صورتها؟ هاي الستة
الستة صورتها سبعة و السبعة صورتها اثنين صورته واحد
و الواحد صورته الأربعة صورته ثلاثة و الثلاثة صورته
الخمسة صورته ستة و الستة صورتها سبعة السبعة صورتها
اثنين و اثنين صورتها واحد جفلت طب السؤال هو خلصنا و
لا ضايق الأرقام واحد اثنين ثلاثة أربعة خمسة ستة
سبعة تمام خلصنا يبقى إيه ال cycle يبقى هذه ال beta
اللي عندنا تمام يبقى هذا الشغل الرياضي بيخرج شمال
ولا واحد بيقدر يقول لك إنه في شغلة ضعيفة أو شغلة غلطة
بس تقول لي إنها سبعة مباشرة حأحط لك علامة تفهم لو كان
السؤال يجيلك ويقول لك why يعني كيف نزلت من السماء ال
order يساوي سبعة لأ هو لو قلت لي ال order ل beta
أس أربعة يساوي سبعة ده ال order ل beta يساوي
سبعة هو كلام غلط
طيب، هذا كان سؤال سبعة وعشرين، الآن وصلنا لسؤال
تسعة وعشرين وما أدرك ما تسعة وعشرين، ها يا أخويا
عدوا، وشوفوا كيف حلتوا هذا، هاي السؤال تسعة وعشرين
تسعة و عشرين بيقول اجالي find the element sigma
اللي موجودة في S تسعة بدنا sigma اللي موجودة في S
تسعة such that اللي هو sigma تقريب بده يساوي واحد
خمسة سبعة واحد خمسة سبعة اثنين ثمانية ثلاثة اثنين
ثمانية ثلاثة و هنا أربعة ستة تسعة أربعة ستة تسعة
آه في عندنا sigma موجودة في اس تسعة بحيث sigma
تقريب يساوي هذا الرقم قلي هات لي ثلاث سيجمات بحيث
يعطونا الرقم هذا و السيجما هدول موجودة و انفي S9
يعني بدي ثلاثة permutations من S9 لو لو كعبت
الواحدة فيهم تعطيني حاصل ضرب ل three cycles اللي
عندنا هذون خلص
الوقت طيب بدي أعطيك واحدة لبعد الظهر تجيب لي كمان
غيرها تماما الواحدة بدي آخذها من الأرقام اللي
قدامك يبقى آخذ هي sigma one sigma one شوف كيف بدي
آخذها طلع معي هي جوس بدي أبدأ بالواحد هنا
والواحد هنا يعني أول رقم يبقى هي واحد اثنين أربع
بدي أبدأ بالثاني خمسة ثمانية ستة الثالث سبعة ثلاثة
تسعة تمام تقول لك كمان واحدة طيب سيجما اثنين من هذه
بدي أجيبها بدي أخلي الواحد ثابت زي ما هو بدي أقول
أربعة اثنين بدلت اثنين مع بعض الخمسة ثابت زي ما هو
ستة ثمانية بدل الستة ثمانية السابعة ثابت تسعة
ثلاثة تأخذ لك كمان واحدة سيجما ثلاثة بجيب لك ستة مش
ثلاثة بجيب لك جد ببدأك مرتين تمام يبقى sigma ثلاثة
أنا بدأت هنا بالواحد بدأ ابدأ بالاثنين يبقى لو قلت
اثنين آه آه واحد أربع بدأ ابدأ باللي في المص يبقى
ثمانية خمسة ستة يبقى بدأ آخذ اللي في المص يبقى
ثلاثة سبعة تسعة الحين أنت من هنا لبعد الظهر مسك لي
أي واحدة فيهم و ضربها في نفسها ثلاث مرات إذا ما
طلع لك الشيء الجواب هذا بتيجي ترجعني