1
00:00:00,720 --> 00:00:03,140
بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله نكمل في

2
00:00:03,140 --> 00:00:06,840
شيتة 8 techniques of integration طرق التكامل

3
00:00:06,840 --> 00:00:09,760
سبشن 8.2 اللي نحكي اليوم عن ال

4
00:00:09,760 --> 00:00:13,240
trigonometric integrals يعني التكاملات اللي فيها

5
00:00:13,240 --> 00:00:15,560
الـ trigonometric functions اللي هي الاقترانات

6
00:00:15,560 --> 00:00:20,840
المثلثية الـ trigonometric integrals راح يكون في

7
00:00:20,840 --> 00:00:25,100
عندنا راح ناخد الأنواع تبعتها كلها إذا كانت تكامل

8
00:00:25,100 --> 00:00:30,180
Sine أُس M في Cosine أُس N يعني في طبعاً Sine أُس M في Cosine أُس N يعني

9
00:00:30,180 --> 00:00:33,380
في عندنا أسس للـ Sine والـ Cosine كيف نتعامل مع

10
00:00:33,380 --> 00:00:38,100
هذا التكامل؟ طبعاً راح ناخد الحالات تبعتها إذا كانت

11
00:00:38,100 --> 00:00:41,060
الـ M بالأول إيش هي الحالة الأولى؟ إذا كانت الـ M

12
00:00:41,060 --> 00:00:44,100
تبعتي odd يعني الـ Sine مرفوعة أُس odd Sine تكعيب

13
00:00:44,100 --> 00:00:47,860
Sine أُس 5 Sine أُس 7 إلى آخرها M odd يعني

14
00:00:47,860 --> 00:00:51,820
بتنكتب بشكل 2K زائد 1 فبنروح وبنستخدم في

15
00:00:51,820 --> 00:00:54,500
هذه الحالة كمان الـ identity اللي هي Sine تربيع تساوي

16
00:00:54,500 --> 00:00:57,850
1 ناقص Cosine تربيع كيف؟ الـ Sine أُس M

17
00:00:57,850 --> 00:01:02,510
بنحطها لي Sine أُس 2K زائد 1 بناخد منها Sine أُس 1

18
00:01:02,510 --> 00:01:05,770
Sine لحالها والثانية Sine أُس 2K اللي هي Sine

19
00:01:05,770 --> 00:01:09,570
تربيع أُس K الـ Sine تربيع هذه بنروح بنبدلها

20
00:01:09,570 --> 00:01:13,090
باستخدام الـ identity اللي قلناه هنا 1 ناقص Cos

21
00:01:13,090 --> 00:01:17,490
تربيع أُس K في Sine فبنفتك الأُس K هذه بنفتك الأُس

22
00:01:17,490 --> 00:01:21,550
هذا أُس مثلاً أُس تكعيب تربيع الأخري بنفتكه

23
00:01:21,550 --> 00:01:27,130
وبنستخدم اللي هي U تساوي Cos DU تساوي ناقص الـSin

24
00:01:27,130 --> 00:01:33,730
فبنستخدمها بهذا الشكل Sin X DX ناقص الـD للـCos

25
00:01:33,730 --> 00:01:40,030
فبتكون تكامل الـU DU ونكمل الحلقة الآن الحلقة

26
00:01:40,030 --> 00:01:43,270
الثانية لو لقينا الـ M تبعتي مش odd لو كانت الـ M

27
00:01:43,270 --> 00:01:47,250
is even بنروح بننتقل للأس الـ Cosine بنشوف إذا

28
00:01:47,250 --> 00:01:50,850
كانت الـ N is odd يعني الـ Cosine مرفوعة أُس odd يبقى

29
00:01:50,850 --> 00:01:54,790
الـ Sine أُس even خلّفنا منها هذه الـ N بنروح ننتقل

30
00:01:54,790 --> 00:01:57,810
لمين؟ للـ N اللي هي الأس تبع الـ Cosine بنشوفه إذا كان

31
00:01:57,810 --> 00:02:03,060
هو odd يعني الـ Sin أُس M Cosine أُس N هذه even بنشوف

32
00:02:03,060 --> 00:02:05,480
هذه إذا كانت odd يبقى أول شيء بنطلع على هذه إذا

33
00:02:05,480 --> 00:02:08,460
كانت odd نتعامل معها إذا كانت even بنروح ننتقل

34
00:02:08,460 --> 00:02:12,920
للأس الـ Cosine إذا كان odd يعني الـ N تساوي 2K زائد

35
00:02:12,920 --> 00:02:17,540
1 بنحطها وبنستخدم الـ identity نفسها بس هنا

36
00:02:17,540 --> 00:02:21,080
Cosine تربيع تساوي 1 ناقص Sin تربيع يبقى Cosine أُس

37
00:02:21,080 --> 00:02:24,680
N بدنا نحطها Cosine أُس 2K زائد 1 Cosine واحدة بدنا

38
00:02:24,680 --> 00:02:29,640
ناخدها لحالها بتضل هنا Cosine أُس 2K بدال الـ Cosine تربيع

39
00:02:29,640 --> 00:02:33,540
نضع 1 ناقص Sin تربيع أُس K في هذه الحالة نفك

40
00:02:33,540 --> 00:02:36,320
الأس K وفي هذه الحالة ناخد الـSin هي U تطلع

41
00:02:36,320 --> 00:02:41,040
الـ Cosine هي DU بالضبط بدون إشارة سالبة طيب إذا كانت

42
00:02:41,040 --> 00:02:44,840
لا الـ M ولا الـ N ولا واحدة منهم odd التنتين even

43
00:02:44,840 --> 00:02:48,700
إذا كانت الـ M والـ N are both even ففي هذه الحالة

44
00:02:48,700 --> 00:02:51,880
بنستخدم... بنحول الـ Sine تربيع... الـ Sine تربيع

45
00:02:51,880 --> 00:02:54,340
بنحولها لقانون ضعف الزاوية والـ Cosine تربيع برضه

46
00:02:54,340 --> 00:02:58,960
بنحولها لقانون ضعف الزاوية بهذا الشكل وبنضربهم في

47
00:02:58,960 --> 00:03:02,820
بعض وبنشوف إيش بيطلع معانا شغلانة بنشوف الأمثلة

48
00:03:02,820 --> 00:03:08,580
على هذا النوع من التكامل أول شيء evaluate التكامل لـ

49
00:03:08,580 --> 00:03:12,940
Sin تكعيب Cos تربيع الآن بتلاحظ نتطلع بالأول حتى

50
00:03:12,940 --> 00:03:15,780
لو كانت هذه التنتين odd احنا بناخد هذه odd

51
00:03:15,780 --> 00:03:18,840
والثانية ما نلجأ فيها even أو odd الآن مدام ال

52
00:03:18,840 --> 00:03:21,780
Sin مرفوعة odd odd بنتعامل معها هي اللي بالأول

53
00:03:21,780 --> 00:03:25,800
فمدام الـ Sin odd odd يبقى بناخد Sin واحدة ناخد

54
00:03:25,800 --> 00:03:28,820
Sin واحدة بيظل عندنا هنا Sin تربيع الـ Sin تربيع

55
00:03:28,820 --> 00:03:32,200
بنروح بنحولها للقانون اللي هو 1 ناقص Cosine

56
00:03:32,200 --> 00:03:36,150
تربيع وفي Cos تربيع وهذا الـ Sine بنخلّيها هيك بين

57
00:03:36,150 --> 00:03:40,390
أُسّين معين DX عشان هي بتكون DU الآن هنا ده في Cos

58
00:03:40,390 --> 00:03:43,210
تربيع بنروح بنفتك الأس بندخل الـ Cos تربيع على

59
00:03:43,210 --> 00:03:48,010
الأس بيصير Cos تربيع ناقص Cos أربعة في Sin X DX

60
00:03:48,010 --> 00:03:52,010
الآن هنا بيصير الـ Cosine كأنها هي U هي DU موجودة

61
00:03:52,010 --> 00:03:55,170
بس بالسالم يبقى لو أخذنا U تساوي Cosine تبقى DU

62
00:03:55,170 --> 00:03:58,630
تساوي ناقص Sin يعني بدناش احنا نحوّل لـ U بدنا

63
00:03:58,630 --> 00:04:01,930
نضلنا نستخدمها بدأ الشكل لو حطينا هنا ناقص تبقى

64
00:04:01,930 --> 00:04:05,010
هذه كلها هي DU حطينا هنا ناقص من الفترة برا هنا

65
00:04:05,010 --> 00:04:09,570
برضه ناقص فعلى طول بنستخدم انه كل واحدة من هدولة U

66
00:04:09,570 --> 00:04:14,510
وهذا بيكون هي DU يعني ممكن مباشرة هي كانت أسهل من

67
00:04:14,510 --> 00:04:18,910
انه نحوّل لـ U لأنها سهلة فهنا في هاي السالب Cosine

68
00:04:18,910 --> 00:04:22,550
تربيع تكاملها Cosine تكعيب على 3 Cosine أُس 4 تكاملها

69
00:04:22,550 --> 00:04:28,390
Cosine أُس 5 على 5 وفي الآخر بنحط زائد C الآن مثال

70
00:04:28,390 --> 00:04:33,470
الثاني Cosine أُس 5 الآن لم توجد Sin فيه Cosine

71
00:04:33,470 --> 00:04:36,070
و Cosine أُس odd يبقى هذه الـ Cosine أُس odd نتعامل

72
00:04:36,070 --> 00:04:39,130
معها لو كانت فيه Sin أُس even برضه نتعامل بنفس

73
00:04:39,130 --> 00:04:42,910
الشكل ما فيش Sin بالمرة بس موجود Cosine ونفس

74
00:04:42,910 --> 00:04:45,450
الشيء اللي فوق لو كانت Sin أُس odd موجودة برضه

75
00:04:45,450 --> 00:04:49,030
نتعامل بنفس الطريقة اللي حكيناها الآن الـ Cosine هي

76
00:04:49,030 --> 00:04:51,470
اللي أُس odd فنروح عشان نعمل في الـ Cosine ناخد منها

77
00:04:51,470 --> 00:04:56,650
Cosine واحدة وبنخلي هذه Cosine أُس 4 Cos 4 هي

78
00:04:56,650 --> 00:05:00,770
Cos تربيع كل تربيع Cos تربيع بنحولها لـ 1-Sin تربيع

79
00:05:00,770 --> 00:05:03,870
هي كل تربيع وهاد الـ Cos بتظلها زي ما هي هيك و

80
00:05:03,870 --> 00:05:08,570
نفطها مع الـ DX عشان هي تكون DU طبعاً قبل لازم نفك

81
00:05:08,570 --> 00:05:13,810
التربيع اللي هنا فبنفك 1-Sin تربيع كل تربيع 1-2Sin

82
00:05:13,810 --> 00:05:18,330
تربيع زي Sin أُس 4 في Cos X DX لأن لو كانت هذه Sin

83
00:05:18,330 --> 00:05:22,390
هي U فـ DU هي Cosine طبعاً هاد بس يعني بتفطي بعقلك

84
00:05:22,390 --> 00:05:26,990
يعني لكن مش راح نفطّها هنا طبعاً أنت ممكن تحطّيه لكن مش

85
00:05:26,990 --> 00:05:31,190
ضروري لإنه سؤال سهل الآن بيصير لو أخذنا الـ Sin U

86
00:05:31,190 --> 00:05:34,590
فهي الـ Cosine هي DU الآن أول شيء بنكامل الواحد

87
00:05:34,590 --> 00:05:37,090
الواحد طبعاً في الـ Cosine يعني كأنه تكامل الـ Cosine

88
00:05:37,090 --> 00:05:40,910
تكامل الـ Cosine Sin ناقص اثنين Sin تربيع تكاملها

89
00:05:40,910 --> 00:05:43,690
Sin تكعيبها ثلاثة و Sin أُس 4 تكاملها Sin أُس

90
00:05:43,690 --> 00:05:47,810
5 على 5 وبنحط زائد C هي الحالة الثانية

91
00:05:47,810 --> 00:05:51,690
الحالة الثالثة لو كانوا التنتين even فهدي أُس even

92
00:05:51,690 --> 00:05:56,530
وهذه برضه أُس even قلنا في هذه الحالة بأن نحوّل

93
00:05:56,530 --> 00:05:59,450
كل واحدة منهم لقانون ضعف الزاوية فـ Sin تربيع بنحط

94
00:05:59,450 --> 00:06:04,730
بدالها 1-Cos 2X على 2 Cos أُس 4 هي Cos تربيع كل

95
00:06:04,730 --> 00:06:08,690
تربيع هي كل تربيع و Cos تربيع لجوه برضه بنحطها 1 زي

96
00:06:08,690 --> 00:06:12,890
Cos 2X على 2 طبعاً هدول الاثنين بدنا نضربهم في بعض

97
00:06:13,600 --> 00:06:17,120
الآن هذه اثنين تربيع يعني أربعة وهنا في اثنين

98
00:06:17,120 --> 00:06:20,060
ثمانية هي هتموا من برا 1 ناقص كوزاين اثنين X

99
00:06:20,060 --> 00:06:24,420
1 زائد كوزاين اثنين X  1 عشان بتصير مربع

100
00:06:24,420 --> 00:06:27,380
زي هيك 1 ناقص كوزاين تربيع وبظل أُس من هدولة

101
00:06:27,380 --> 00:06:31,000
1 زائد كوزاين اثنين X بتفكيهم بأي كيفية كانت

102
00:06:31,000 --> 00:06:34,600
وبتضرب هدول اثنين الـ Cosine ببعض هنا ضربناهم هيش

103
00:06:34,600 --> 00:06:37,380
مركوكم 1 زائد كوزاين ناقص كوزاين تربيع ناقص

104
00:06:37,380 --> 00:06:41,580
كوزاين تكعيب DX الآن كل واحدة بنتعامل منها لحالة

105
00:06:41,580 --> 00:06:47,140
الآن الـ Cosine تربيع والـ Cosine تكعيب بدهم شغل

106
00:06:47,140 --> 00:06:50,580
الـ Cosine تربيع بنحولها لواحد زائد كوزاين ضعف

107
00:06:50,580 --> 00:06:53,500
الزاوية على اثنين طبعاً هذا من Calculus A إن كوزاين

108
00:06:53,500 --> 00:06:59,480
تربيع وساين تربيع بنكملهم بهذا الشكل الـ Cos تكعيب

109
00:06:59,480 --> 00:07:03,940
الـ Cos تكعيب إيش نعمل فيها؟ هذه أُس قوة مرفوعة أُس

110
00:07:03,940 --> 00:07:09,200
قوة بناخد منها Cos واحدة و Cos التربيع بنحولها لـ

111
00:07:09,200 --> 00:07:13,660
1-Sin²2X ليه الحالة اللي قبل الحالة الثانية كويسة

112
00:07:13,660 --> 00:07:19,820
هي 1-Sin²2X في Cos 2X DX الآن هذه عشان نكملها

113
00:07:19,820 --> 00:07:21,320
مباشرة هذه

114
00:07:29,020 --> 00:07:33,680
هذا الوضع يجب أن يكون DU

115
00:07:39,260 --> 00:07:42,760
هذه 2X فهي مضروبة X في 2 فهنا روحنا الـ

116
00:07:42,760 --> 00:07:45,200
Cosine هي نضربها في 2 زي السالب اللي حطيناها

117
00:07:45,200 --> 00:07:48,420
قبلها في 2 وهي قسمناها على 2 هي الاثنين

118
00:07:48,420 --> 00:07:50,760
الثانية يبقى قسمناها على 2 وضربناها هنا في

119
00:07:50,760 --> 00:07:55,570
2 عشان أكمل هذا الـ Eta مباشرة الآن هي التكامل

120
00:07:55,570 --> 00:07:58,610
هذا وهنا جذقنا التكامل لأنه هذا اشتغلنا فيه شوية

121
00:07:58,610 --> 00:08:02,790
الآن أول شيء فيه عندك 1 وهنا ناقص نصف ناقص نصف

122
00:08:02,790 --> 00:08:06,530
يعني تطلع نصف هي النص كويس؟ إذا بدنا نكامل النص نصف

123
00:08:06,530 --> 00:08:10,890
تكاملها نصف X ناقص تكامل الـ Cos 2X اللي هي Sin

124
00:08:10,890 --> 00:08:15,450
2X على 2 ناقص برضه ناقص اللي هي الـ Cosine هنا

125
00:08:15,450 --> 00:08:20,150
Cosine 4X تكاملها اللي هي Sin 4X على 4 وفيه هنا

126
00:08:20,150 --> 00:08:24,720
2 بتصير أشر هنا 8 ناقص الآن هنا دي 1 على 16 هي 1

127
00:08:24,720 --> 00:08:29,640
على 16 الواحد الواحد اللي مضروبة في 2 Cos 2X تكامل

128
00:08:29,640 --> 00:08:33,680
الـ Cos 2X اللي هي Sin 2X على 2 بتروح الـ 2 هذه فبضل

129
00:08:33,680 --> 00:08:38,000
Sin 2X ناقص اللي هي Sin تربيع تكملها Sin تكعيب على

130
00:08:38,000 --> 00:08:42,260
3 طبعاً هذه جاهزة احنا عملنا دي U جاهزة هي من هنا

131
00:08:42,260 --> 00:08:46,140
زي هنا فهنا Sin تكعيب على 3 بدون النظر للـ 2 لإن الـ

132
00:08:46,140 --> 00:08:51,380
2 احنا حطيناه هنا زيادة hc وبعدين بس هنا h جمعت Sin

133
00:08:51,380 --> 00:08:55,760
2X مع Sin 2X اللي هنا وبعدين Sin 4X لحالها والـ

134
00:08:55,760 --> 00:09:02,070
Sin تكعيب هي هنا لحالها زائد C هذه بالنسبة للتلك

135
00:09:02,070 --> 00:09:05,950
حالات تبعتها اللي هو الـ Sin والـ Cos مرفوع على أسس

136
00:09:05,950 --> 00:09:09,230
في عندنا فكرة أخرى اللي هي eliminating square

137
00:09:09,230 --> 00:09:11,750
roots يعني لما يكون في عندنا تكامل في عندنا جذر

138
00:09:11,750 --> 00:09:15,350
هنا واللي تحت الجذر فاضله مش موجود برا فبالتالي

139
00:09:15,350 --> 00:09:19,370
كيف نتعامل معاه؟ بدنا نستخدم الـ identities إذا في

140
00:09:19,370 --> 00:09:23,010
هذا المثال بدنا نستخدم الـ identity اللي هي 1 زي 

141
00:09:23,010 --> 00:09:28,150
الـcos 2θ تساوي 2cos²θ اللي هو قانون ضعف الزاوية

142
00:09:28,310 --> 00:09:31,650
الآن الموجود عندي هنا اللي هو زي هذا القوس اللي

143
00:09:31,650 --> 00:09:34,830
هنا اللي هو 1 زائد كوزاين 2 فيتا 2 فيتا

144
00:09:34,830 --> 00:09:38,850
هنا هي عبارة عن 4 X الآن بدنا نستخدمها عشان

145
00:09:38,850 --> 00:09:41,810
نطلع لتحت الجذر ايه عشان مربع كامل نطلع تربيع

146
00:09:41,810 --> 00:09:45,350
وبالتالي يطلع من تحت الجذر إذا 1 زائد كوزاين

147
00:09:45,350 --> 00:09:49,980
4 X هي عبارة عن 2 كوزاين تربيع 2 X وهي

148
00:09:49,980 --> 00:09:55,100
باستخدام هذا القانون 2cos²2x الآن تحت الجذر طبعا

149
00:09:55,100 --> 00:09:59,220
بنفك الجذر 2 هي جذر 2 والكوزاين تربيع تحت الجذر

150
00:09:59,220 --> 00:10:03,500
بنفكها بتطلع من تحت الجذر كوزاين 2x طبعا بالموجب

151
00:10:03,500 --> 00:10:07,180
ليش؟ لأن في عندي حدود تكامل هنا وعشان هيك إتدانى

152
00:10:07,180 --> 00:10:10,340
الجذر إتدانى في حدود تكامل عشان ما يكونش فيه نطلع

153
00:10:10,340 --> 00:10:13,540
absolute value من 0 إلى π على 4 طبعا ال cosine

154
00:10:13,540 --> 00:10:16,960
موجبة وبالتالي تظهر إياها موجبة لأن هذه ممكن تتكامل

155
00:10:16,960 --> 00:10:20,980
بسهولة تكامل ال cosine اللي هو sin 2x على 2 من 0

156
00:10:20,980 --> 00:10:24,300
إلى π على 4 إلى أن end ال π على 4 في 2 يعني بيصير

157
00:10:24,300 --> 00:10:27,900
π على 2 و sin ال π على 2 هو 1 و sin الصفر إياها صفر

158
00:10:27,900 --> 00:10:30,360
فبتظهر أن الجواب جذر 2 على 2

159
00:10:34,020 --> 00:10:40,900
التكاملات تان مع سك راح 

160
00:10:40,900 --> 00:10:44,860
نستخدم الـ Identities تان تربيع تساوي سك تربيع

161
00:10:44,860 --> 00:10:48,380
ناقص 1 أو سك تربيع هي المحولة لتان تربيع زائد

162
00:10:48,380 --> 00:10:52,020
1 وبعدين ممكن كمان في بعض الأسئلة نستخدم ال

163
00:10:52,020 --> 00:10:55,400
integration by parts إذا كان necessary إذا كان ضروري

164
00:10:55,420 --> 00:11:00,020
عشان تقفز الأسس

165
00:11:00,020 --> 00:11:03,840
إلى أقل قوى

166
00:11:10,800 --> 00:11:14,100
طبعا ما فيش في cases واحد اثنين ثلاثة لأ أنت بدك

167
00:11:14,100 --> 00:11:17,400
تشوف ايش اللي موجود ليش؟ لأن هناك تفاضل ال sine و

168
00:11:17,400 --> 00:11:21,560
ال cosine اللي هم تفاضلاتهم زي بعض لكن هنا تفاضل

169
00:11:21,560 --> 00:11:24,980
التان سك تربيع فبالتالي ايش التان علاقتها مع سك

170
00:11:24,980 --> 00:11:28,600
تربيع وتفاضل السك سك في تان إذا برضه علاقتها سك و

171
00:11:28,600 --> 00:11:32,340
تان فسك و تان التان مرتبطين في بعض فكل سؤال احنا

172
00:11:32,340 --> 00:11:35,680
بدنا نشوف ايش بدنا نستخدم له لأن تكامل تان أس أربعة

173
00:11:35,680 --> 00:11:39,740
طبعا تان أس أربعة لا يمكن أكملها بهذا الشكل احنا تان

174
00:11:39,740 --> 00:11:42,440
تربيع واحنا حولناها لـ سك تربيع ناقص 1 عشان نقدر

175
00:11:42,440 --> 00:11:45,580
نكملها برضه نفس الشيء هنا بدنا نقول تان تربيع في

176
00:11:45,580 --> 00:11:48,280
تان تربيع واحدة من التان تربيع اللي حولناها لـ سك

177
00:11:48,280 --> 00:11:52,100
تربيع ناقص 1 فبتدخل تان تربيع هنا فبتصير تان

178
00:11:52,100 --> 00:11:55,800
تربيع سك تربيع ناقص تان تربيع الآن تان تربيع سيك

179
00:11:55,800 --> 00:12:00,080
تربيع ليس هنا مشكلة مظبوطة لأن تان تربيع تربيع

180
00:12:00,080 --> 00:12:02,600
تفاضل تان تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع

181
00:12:02,600 --> 00:12:05,600
تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع

182
00:12:05,600 --> 00:12:08,940
تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع

183
00:12:08,940 --> 00:12:10,600
تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع

184
00:12:10,600 --> 00:12:11,770
تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع U تربيع

185
00:12:11,770 --> 00:12:14,810
dU يعني U تكعيب على 3 يعني تان تكعيب على 3

186
00:12:14,810 --> 00:12:18,630
ناقص اللي هو تكامل تان تربيع بنحولها لـ سك تربيع

187
00:12:18,630 --> 00:12:22,750
ناقص 1 عشان نقدر نكاملها تكامل سك تربيع اللي هو

188
00:12:22,750 --> 00:12:27,470
تان وتكامل الواحد اللي هو X ونحط زائد C يبقى كل

189
00:12:27,470 --> 00:12:31,940
سؤال أنت بدك تشوف ايش بدك تستخدم له الآن مثلا في هنا

190
00:12:31,940 --> 00:12:36,720
تكامل سك تكعيب سك أس فردي دائما السك تكعيب أو سك أس

191
00:12:36,720 --> 00:12:40,880
خمسة أو كذا بنروح بنكاملها by parts هذا السؤال

192
00:12:40,880 --> 00:12:44,580
الأسئلة اللي هي بنكاملها دائما by parts حتى الكسك

193
00:12:44,580 --> 00:12:48,980
برضه كسك مثلا تكعيب أس فردي برضه تتكامل by parts

194
00:12:48,980 --> 00:12:53,100
الآن أول شيء بناخد U طبعا هنا سك تكعيب بنحوله لـ سك

195
00:12:53,100 --> 00:12:56,890
في سك تربيع واحدة منهم تتفاضل والثانية قابلة للتكامل

196
00:12:56,890 --> 00:13:00,290
لايش أخدنا سك تربيع عشان نعرف تكاملها تان والسك

197
00:13:00,290 --> 00:13:03,630
تفاضلها سك في تان ايش بيصير تكامل السك تكامل يساوي

198
00:13:03,630 --> 00:13:08,590
U في V سك في تان ناقص تكامل V dU اللي هو تان بتصير

199
00:13:08,590 --> 00:13:13,870
تان تربيع في سك الآن سك في 10 ناقص الآن سك تربيع سك 

200
00:13:13,870 --> 00:13:16,770
في 10 تربيع ايش بدنا نعمل فيها؟ بدنا نحول ال 10

201
00:13:16,770 --> 00:13:20,850
تربيع لـ سك تربيع ناقص 1 فبتصير ايه؟ اشهد سك تكعيب

202
00:13:20,850 --> 00:13:25,410
ناقص سك يبقى سك تكعيب ناقص سك وفي ناقص هنا وزعنا

203
00:13:25,410 --> 00:13:28,870
التكامل وتسارق هنا زائد الآن تكامل ال سك تكعيب هذه

204
00:13:28,870 --> 00:13:32,250
بالسالم بنروح بنحولها للجهة هذه بنجمعها مع هذه

205
00:13:32,250 --> 00:13:35,770
بيصير 2 تكامل سك تكعيب وتكامل السك طبعا معروفة

206
00:13:35,770 --> 00:13:39,770
هي لين absolute سك زائد تان زائد C وبعدين بنقسم

207
00:13:39,770 --> 00:13:43,470
على 2 بنخلع منها تكامل السك تكعيب هيقسم بالقسم

208
00:13:43,470 --> 00:13:46,630
على 2 علشان ما فيش سطر واسع هنا كويس هذا

209
00:13:46,630 --> 00:13:49,890
بالنسبة لنا يعمل لنا bypass وبعدين كمان استخدمنا

210
00:13:49,890 --> 00:13:53,670
هنا حولنا ال identity استخدمنا تان تربيع سك تربيع

211
00:13:53,670 --> 00:14:00,150
ناقص 1 تكامل سك أس أربعة تان تربيع لأن التنتين

212
00:14:00,150 --> 00:14:02,370
مرفوعين لأساس موجود السك وموجود التان

213
00:14:10,460 --> 00:14:13,720
بظل سك تربيع بظل هنا سك تربيع السك تربيع بنحولها

214
00:14:13,720 --> 00:14:16,840
كلها لـ 10 ليش؟ لأن تفاضل الـ 10 سك تربيع يبقى دي

215
00:14:16,840 --> 00:14:20,840
نأخذها dU يبقى الباقي اللي هو كله لازم يكون 10 سك

216
00:14:20,840 --> 00:14:23,560
تربيع بنحولها لـ 10 تربيع زائد 1 في 10 تربيع

217
00:14:23,560 --> 00:14:26,960
وبندخل ال 10 هنا بتصير 10 أس 4 زائد 10 تربيع في

218
00:14:26,960 --> 00:14:31,660
سك تربيع الأنصار هذه ال U هي 10 وال dU هي سك

219
00:14:31,660 --> 00:14:35,960
تربيع بدون منحول يعني بس بتحطيها بعقلك هيك فبتصير

220
00:14:35,960 --> 00:14:39,540
هذه تتعملها 10 أس 4 على 4 وهذه تتعملها 10 تكعيب

221
00:14:39,540 --> 00:14:39,740
على 

222
00:14:42,680 --> 00:14:46,000
ثلاثة إذا كانوا التنتين مرفوعين أو سيكود سك أس

223
00:14:46,000 --> 00:14:48,760
خمسة في تان تكعيب التنتين أو سيكود ايش بنعمل؟ يعني

224
00:14:48,760 --> 00:14:52,820
لو أخدنا من هنا من هنا واحدة أو اثنتين بضال ثلاثه

225
00:14:52,820 --> 00:14:56,020
بقدرش أحولها لـ تان إذا ايش بنعمل؟ بناخد من هنا

226
00:14:56,020 --> 00:14:59,340
واحدة ونأخذ من هنا واحدة سك في تان سك في تان هي

227
00:14:59,340 --> 00:15:02,240
تفاضل السك يعني لازم اللي هنا كله يتحول إلى سك

228
00:15:02,240 --> 00:15:05,940
لازم اللي هنا كله يتحول إلى سك بالتالي الآن التان

229
00:15:05,940 --> 00:15:10,500
تربيع بنحولها إلى سك تربيع ناقص 1 فبندخل سك أس 4

230
00:15:10,500 --> 00:15:15,020
هنا سك أس 6 ناقص سك أس 4 في سك تان سارت السك هي U

231
00:15:15,020 --> 00:15:21,400
وهذه ده دي U فعقلنا هينعملها لكن على طول بنكامل سك

232
00:15:21,400 --> 00:15:25,420
أس 7 على 7 ناقص سك أس 5 على 5 زائد C

233
00:15:28,830 --> 00:15:33,430
الآن فينا آخر معلومة اللي هم التكاملات الـ

234
00:15:33,430 --> 00:15:38,130
trigonometric integrals اللي هو ال product لـ sine

235
00:15:38,130 --> 00:15:41,710
و cosine في مرات بيجي عنا sine في sine لكن هذه

236
00:15:41,710 --> 00:15:46,550
الزاوية تختلف عن هذه M، N، MX و NX تكامل sine في

237
00:15:46,550 --> 00:15:50,910
cosine وهذه M وهذه N وتكامل cosine في cosine وهذه

238
00:15:50,910 --> 00:15:53,810
الزاوية إياها مختلفة هذه الزاوية تبعتهم إياها مختلفة

239
00:15:54,210 --> 00:15:57,110
الآن هدول الثلاث تكاملات فيه قانون اللي هو الثلاث

240
00:15:57,110 --> 00:16:01,030
قوانين هدول كيف اجوا هدول القوانين من قوانين ايش

241
00:16:01,030 --> 00:16:04,010
اللي هو مجموعة زاويتين وطرح زاويتين يعني مثلا

242
00:16:04,010 --> 00:16:07,090
احنا قلنا cosine a ناقص b تساوي cosine cosine

243
00:16:07,090 --> 00:16:10,290
زائد sine sine cosine a زائد b بس الإشارة اللي

244
00:16:10,290 --> 00:16:14,910
بينهم بتصير زائد ناقص الآن لو احنا جمعنا بالجمع لو

245
00:16:14,910 --> 00:16:18,290
احنا جمعنا هدول الاثنين فبيصير cosine a ناقص b زائد

246
00:16:18,290 --> 00:16:21,630
cosine a زائد b الآن هذه بتروح مع هذه بيظل اثنين

247
00:16:21,630 --> 00:16:25,310
هذه 2 cosine cosine وبنقسم على 2 فبتطلع لي

248
00:16:25,310 --> 00:16:28,490
cosine a ب cosine b يبقى cosine في cosine قانون

249
00:16:28,490 --> 00:16:31,750
cosine في cosine هي عبارة عن نفس cosine طرح

250
00:16:31,750 --> 00:16:35,110
الزاويتين زائد cosine مجموع الزاويتين ليش؟ لأنه

251
00:16:35,110 --> 00:16:39,110
اجت هذه بالجمع يبقى جمع cosine الفرق زائد cosine

252
00:16:39,110 --> 00:16:42,880
المجموعة طيب لو احنا طرحنا هذه من هذه، هذه ناقص

253
00:16:42,880 --> 00:16:47,300
هذه، ايش بتصير؟ لأن هذه ناقص هذه تساوي هذه ناقص

254
00:16:47,300 --> 00:16:50,400
هذه بتصير بتروح مع بعض، وهذه ناقص هذه بيصير نجمعهم

255
00:16:50,400 --> 00:16:53,620
لأن ناقص في ناقص بيصير زائد، يبقى 2 sin في

256
00:16:53,620 --> 00:16:56,740
sin، 2 sin في sin، وبنقسم على 2، بيطلع

257
00:16:56,740 --> 00:17:00,740
معنى ايش؟ تكامل sin sin، يبقى تكامل sin sin هي

258
00:17:00,740 --> 00:17:04,480
عبارة عن نص ال cosine فرق الزاويتين ناقص cosine

259
00:17:04,480 --> 00:17:09,080
مجموع الزاويتين هذه القانوة طبعا القانون الثالث هذا

260
00:17:09,080 --> 00:17:12,080
sin في ال cosine جاي برضه نفس الشيء زيك بس مش

261
00:17:12,080 --> 00:17:15,640
cosine قانون ال cosine كان قانون ال sin sin الفرق

262
00:17:15,640 --> 00:17:18,500
بين زاويتين و sin مجموع الزاويتين بنفس الكيفية

263
00:17:18,500 --> 00:17:22,620
الطريقة فبيطلع نص sin فرق بين الزاويتين زائد sin

264
00:17:22,620 --> 00:17:26,340
مجموع الزاويتين كويس هدول القوانين احفظهم لو نسوت

265
00:17:26,340 --> 00:17:31,140
سيفرها بتروح تعملوهم بالطريقة السابقة سهل وبسرعة

266
00:17:31,140 --> 00:17:37,480
يعني طيب بنشوف في الأمثلة تكامل sin 3x cos 5x dx

267
00:17:37,480 --> 00:17:40,920
لأن هي الزاوية مختلفة عن الزاوية هذه وهذه sin في

268
00:17:40,920 --> 00:17:44,260
ال cosine ايش القانون تبعهم اللي هو نص الفرق بين

269
00:17:44,260 --> 00:17:48,020
sin الفرق بين زاويتين زائد sin مجموع الزاويتين

270
00:17:48,020 --> 00:17:52,260
يبقى 3 ناقص 5 طبعا حافظوا على الترتيب لهذه M ناقص

271
00:17:52,260 --> 00:17:56,160
M يعني هذه ناقص هذه لأنها sin cosine هذه ناقص هذه

272
00:17:56,160 --> 00:18:00,760
يبقى 3 ناقص 5 وهذه 3 زائد 5 3 ناقص 5 اللي هي ناقص

273
00:18:00,760 --> 00:18:05,280
2 الـSin أوضة تخرج من ناقصها برا Sine 2X زائد Sine

274
00:18:05,280 --> 00:18:09,920
8X DX الآنها بتتكامل سارت بسهولة Sine 2X تكاملها

275
00:18:09,920 --> 00:18:13,900
ناقص Cos في ناقص بتصير زائد Cos 2X على 2 تكامل

276
00:18:13,900 --> 00:18:20,780
الـSin ناقص Cos 8X على 8 طيب Cos Cos تكامل Cos في

277
00:18:20,780 --> 00:18:25,400
Cos طبعا Cos في Cos اللي هو نص Cos الفرق بين

278
00:18:25,400 --> 00:18:29,100
الزاويتين زائد Cos مجموع الزاويتين طبعا هنا فرق بين

279
00:18:29,100 --> 00:18:32,260
ذاتين ليه الأولى ناقص الثانية 3 ناقص 2 و

280
00:18:32,260 --> 00:18:35,320
بعدين ايه 3 زائد 2 3 ناقص 2 1 

281
00:18:35,320 --> 00:18:38,600
فبيطلع cosine X و ثلاثة زائد اثنين اللي هو خمسة X

282
00:18:38,600 --> 00:18:41,580
تكامل ال cosine لأن بنكامل بسهولة تكامل ال cosine

283
00:18:41,580 --> 00:18:44,800
اللي هي sine و تكامل ال cosine هنا برضه sine خمسة

284
00:18:44,800 --> 00:18:49,100
X على خمسة زائد C و بِتْ  من طول خلصنا اللي هو

285
00:18:49,100 --> 00:18:53,260
section 8.2 ال section بسيط وسهل وإن شاء 

286
00:18:53,260 --> 00:18:56,040
الله ننتقل لل section اللي بعده المدرسة