Prueba de hipótesis para la varianza

Sea \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) una muestra aleatoria proveniente de una población normal con varianza \(\sigma^2\) y supóngase que se desea probar la hipótesis de que \(\sigma^2\) es igual a un valor de referencia \(\sigma^2_0\), es decir, la hipótesis nula a estudiar es \(H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2\). En este problema las sospechas sobre la varianza \(\sigma^2\) se resumen por medio de la hipótesis alterna (\(H_a\)) en una de tres situaciones como se muestra a continuación:

• \(H_a: \sigma^2 < \sigma_0^2\),
• \(H_a: \sigma^2 \neq \sigma_0^2\),
• \(H_a: \sigma^2 > \sigma_0^2\),

El estadístico para realizar la prueba es:

\[ X_0^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2}, \]

donde \(S\) corresponde a la desviación estándar muestral. Bajo la suposición de que \(H_0\) es verdadera, el estadístico \(X_0^2\) tiene distribución \(\chi^2\) con \(n-1\) grados de libertad.

Si el valor calculado para el estadístico dado en la ecuación anterior se denota por \(\chi_0^2\), entonces el valor-\(P\) de la prueba se calcula de acuerdo a la hipótesis alterna \(H_a\) así:

• Si \(H_a: \sigma^2 < \sigma_0^2\) entonces valor-\(P\)=\(P(\chi^2_{n-1} < \chi_0^2)\).
• Si \(H_a: \sigma^2 \neq \sigma_0^2\) entonces valor-\(P\)=\(2 \times \min \left\{ P(\chi^2_{n-1} < \chi_0^2),~ P(\chi^2_{n-1} > \chi_0^2) \right\}\).
• Si \(H_a: \sigma^2 > \sigma_0^2\) entonces valor-\(P\)=\(P(\chi^2_{n-1} > \chi_0^2)\).