images
images listlengths 0
39
| text
stringlengths 132
35.1k
| answer
stringlengths 143
39.8k
| tags
stringlengths 5
176
|
|---|---|---|---|
{"text": [{"text": "В космосе летает мыльный пузырь радиуса $R_1$. С помощью внешнего ионизатора мыльную пленку быстро заряжают некоторым положительным зарядом, после чего радиус пузыря через некоторое время перестаёт меняться и становится равным $R_2=2R_1$."}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите электрический заряд $q$, который был сообщен мыльной пленке, если ее теплоемкость и теплопроводность ничтожно малы. Коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки не зависит от температуры и равен $\sigma$. Воздух считать идеальным двухатомным газом."}]} | [{"condition": "Найдите электрический заряд $q$, который был сообщен мыльной пленке, если ее теплоемкость и теплопроводность ничтожно малы. ", "solution": {"text": "Расталкивание зарядов на поверхности приведёт к увеличению пузыря. По инерции он проскочит положение равновесия и возникнут колебания. Из-за внутреннего трения в газе колебания затухнут, пузырь придёт в новое равновесное состояние, при этом кинетическая энергия плёнки перейдёт во внутреннюю энергию газа, поэтому газ в этом процессе не подчиняется уравнению адиабаты.Воспользуемся законом сохранения энергии для системы плёнка-газ:$$\frac{5}{2}P_1V_1+\sigma 8\pi R_1^2+\frac{kq^2}{2R_1}=\frac{5}{2}P_2V_2+\sigma 8\pi R_2^2+\frac{kq^2}{2R_2}. \tag{1}$$Начальное давление газа в пузыре с учётом поверхностного натяжения равно$$p_1=\frac{4\sigma}{r_1}. \tag{2}$$Конечное давление с учётом электростатических сил отталкивания равно (известная задача для сил, старающихся разорвать заряженную сферу)$$p_2=\frac{4\sigma}{R_2}-\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4_2}. \tag{3}$$В нашем случае $$V_1=4\pi R_1^3/3, \quad V_2=4\pi R_2^3/3. \tag{4}$$При этих условиях совместное решение уравнений $(1)-(4)$ дает ответ$$q=32\pi\sqrt{\varepsilon_0\sigma R_1^3}. \tag{5}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q=32\pi\sqrt{\varepsilon_0\sigma R_1^3}. $$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Испытывается новый скорострельный многоствольный пулемет, дающий $n=100~выстрелов/с$. Скорость полета пули составляет $u=1000~м/с$, а ее масса равна $m =10~г$. Мишенью служит вертикально подвешенный на канате ящик с песком, масса которого равна $M=1000~кг$."}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "3,00"}, "text": "Считая, что пули застревают в ящике, определите максимальный угол отклонения ящика с песком от вертикали после начала стрельбы."}]} | [{"condition": "Считая, что пули застревают в ящике, определите максимальный угол отклонения ящика с песком от вертикали после начала стрельбы. ", "solution": {"text": "Пусть за время $\Delta t$ в ящик с песком попало $\delta N$ пуль. Тогда переданный ящику импульс равен $\Delta p=\Delta Nmu$, что эквивалентно действия на него горизонтальной силы, равной$$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{\Delta Num}{\Delta t}=nmu. \tag{1}$$При отклонении на угол $\alpha$ горизонтальная сила $F$ совершает работу$$A=Fl\sin\alpha. \tag{2}$$Здесь $l$ — расстояние от точки подвеса до центра масс.Угол отклонения будет максимальным тогда, когда вся эта работа перейдет в потенциальную энергию мишени, равную$$W=Mgl(1-\cos\alpha). \tag{3}$$Полагая по закону сохранения $A=W$, получаем ответ$$\alpha_{\max}=2\operatorname{arctg}\left(\frac{F}{Mg}\right)=2\operatorname{arctg}\left(\frac{nmu}{Mg}\right)=0.2~рад=11.65^{\circ}. \tag{4}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha_{\max}=2\operatorname{arctg}\left(\frac{nmu}{Mg}\right)=0.2~рад=11.65^{\circ}. $$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Фотографировать тигра с расстояния менее $20~м$ опасно."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какой размер может иметь камера-обскура с отверстием диаметром в $1~мм$, чтобы тигр на фотографии был полосатым? Расстояние между полосами на шкуре тигра равно $20~см$."}]} | [{"condition": "Какой размер может иметь камера-обскура с отверстием диаметром в $1~мм$, чтобы тигр на фотографии был полосатым? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Глубина камеры должна быть больше $10~см$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Оптика", "Геометрическая оптика", "Всероссийские", "Камера обскура"] |
|
{"text": [{"text": "В калориметр наливают ложку горячей воды, при этом его температура увеличивается на $5$ градусов. После того как в него добавили еще одну ложку горячей воды, температура возросла еще на $3$ градуса."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На сколько еще градусов возрастет температура калориметра, если в чего добавить еще $48$ ложек горячей воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь."}]} | [{"condition": "На сколько еще градусов возрастет температура калориметра, если в чего добавить еще $48$ ложек горячей воды? ", "solution": {"text": "$\begin{aligned} \Delta t_1 & =5^{\circ} \mathrm{C} \\ \Delta t_2 & =8^{\circ} \mathrm{C}\end{aligned}$Пусть $m$ — масса воды в калориметре до добавления ложек горячей воды, $t_0$ — ее температура в начальной момент.Пусть $\Delta m$ — масса воды в ложке, $t_л$ — ее температура. Если в калориметр добавить $n$ ложек горячей воды и дождаться установления теплового равновесия, то установится температура $t_n$, так что:$$t_n(m+n \Delta m)=t_л \cdot \Delta m \cdot n+m \cdot t_0 \\t_n=\frac{t_л \cdot n \cdot \Delta m+t_0 m}{m+n \Delta m} \\\Delta t_n=t_n-t_0=\frac{n t_л \cdot \Delta m+t_0 m}{m+n \Delta m}-t_0=\\=\frac{n \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+n \Delta m}.$$В частности, $\Delta t_1=\frac{\Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+\Delta m}$; $\Delta t_2=\frac{2 \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+2 \Delta m}$.$$\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\frac{2(m+\Delta m)}{m+2 \Delta m}=\frac{2\left(1+\frac{\Delta m}{m}\right)}{1+\frac{2 \Delta m}{m}} .\\\kappa:=\frac{\Delta m}{m} \\\begin{aligned}& \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}(1+2 \kappa)=2+2 \kappa \\& 2\kappa\left(\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}-1\right)=2-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} \\& \kappa=\frac{2-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}}{2\left(\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}-1\right)}=\frac{2 \Delta t_1-\Delta t_2}{2\left(\Delta t_2-\Delta t_1\right)}=\frac{1}{3}\end{aligned}. $$$$\begin{aligned}& \Delta t_{50}=\frac{50 \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+50 \Delta m} \\& \frac{\Delta t_{50}}{\Delta t_1}=\frac{50(m+\Delta m)}{m+50 \Delta m}=\frac{50(1+\kappa)}{1+50 \kappa}=\frac{200}{53} . \\& \Delta t_{50}=\Delta t_1 \cdot \frac{200}{53} \approx 18.9{ }^{\circ} \mathrm{C} .\end{aligned}$$Тогда искомая температура равна $\Delta t_{50}-\Delta t_2=10.9^{\circ} \mathrm{C} $"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta t=10.9~{}^\circ\mathrm C$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Всероссийские", "Теплота", "Температура"] |
|
{"text": [{"text": "С одним молем идеального одноатомного газа проводят квазистатический процесс, в результате которого его начальный объем $V_0=1~м^3$ увеличивается в четыре раза, а начальное давление $p_0=10^5~Па$ уменьшается в два раза. Известно, что для каждого малого участка квазистатического процесса отношение работы к изменению внутренней энергии является величиной постоянной."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите полную работу $A$ газа в этом процессе."}]} | [{"condition": "Найдите полную работу $A$ газа в этом процессе. ", "solution": {"text": "Работа $dA$, совершаемая газом при изменении его объема на $dV$$$dA = pdV, \tag{1}$$где $p$ — его давление.Изменение внутренней энергии $dU$ одного моля идеального одноатомного газа связано с изменением его температуры $dT$ соотношением$$dU=\frac{3}{2}RdT. \tag{2}$$По условию задачи должно выполняться соотношение$$\eta=\frac{dA}{dU}=\operatorname{const}, \tag{3}$$которое, наряду с уравнением идеального газа$$pV=RT, \tag{4}$$приводит к следующему уравнению$$\frac{2}{3\eta}\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}. \tag{5}$$Уравнение $(5)$ легко интегрируется и приводится к виду$$\frac{T}{T}=\left(\frac{V}{V_0}\right)^{\frac{2}{3\eta}}. \tag{6}$$В начальном состоянии уравнение идеального газа дает$$p_0V_0=RT_0, \tag{7}$$а в конечном состоянии $$\frac{p_0}{2}4V_0=RT, \tag{8}$$откуда получаем температуру газа в конечном состоянии$$T=2T_0. \tag{9}$$Из уравнений $(6)$ и $(9)$ легко находится коэффициент$$\eta=\frac{4}{3}. \tag{10}$$Полная работа газа в процессе определяется интегралом уравнения $(1)$ и равна$$A=\int\limits_{V_0}^{4V_0}pdV=2p_0V_0=2.0\times 10^5~Дж. \tag{11}$$ Примечание: Описанный в данной задаче процесс является политропным, то есть происходит при постоянной теплоемкости. Действительно, так как совершаемая газом работа составляет фиксированную часть изменения внутренней энергии, то это и означает, что теплоемкость газа остается постоянной за все время процесса. При этом уравнение политропы $pV^n=\operatorname{const}$ справедливо при выбранных условиях задачи для $n =1/ 2$, а работа газа, очевидно, не зависит от его типа, будь то одноатомный или многоатомный газ."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=2p_0V_0=2.0\times 10^5~Дж. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Где ускорение свободного падения больше: на поверхности Земли или на глубине $100~ км$? Считайте Землю сферически симметричной. Средняя плотность Земли $\rho_З = 5500~ кг/м^3$ , плотность земной коры $\rho_к = 3000~ кг/м^3$ . (Можно считать, что толщина коры по крайней мере не меньше $100 ~км$.)"}]} | [{"condition": "Где ускорение свободного падения больше: на поверхности Земли или на глубине $100~ км$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: На глубине ускорение свободного падения на $0,7\%$ больше, чем на поверхности Земли."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Гравитация", "200 задач", "Оценка"] |
|
{"text": [{"text": "Солнечным утром на освещаемом солнцем сухом асфальте видны блестящие пятна, похожие на лужи воды. Их появление является простейшим миражом — реально в этих «лужах» мы видим отражение неба. Цель данной задачи дать теоретическое описание этого явления. Показатель преломления воздуха $n$ зависит от концентрации молекул $\gamma$ в соответствии с формулой $$ n=1+\frac{\alpha \gamma}{2}. \ (1) $$ где $\alpha=2.3\cdot10^{-29}~м^{3}$ — средняя поляризуемость молекул воздуха. Будем считать, что темпе-ратура воздуха равна $t_{0}=20^{\circ}\mathrm{C}$, атмосферное давление $P_{0}=1.0\cdot 10^{5}~Па$. Благодаря солнечным лучам у поверхности асфальта образуется тонкий слой более нагретого воздуха, темпе-ратура которого на $\Delta t=2.0^{\circ}\mathrm{C}$ выше, чем температура более высоких слоев. Водитель движется прямолинейно по горизонтальной дороге, причем его глаза находятся на высоте $h=1.2~м$ над поверхностью асфальта."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Оцените, на каком расстоянии от водителя он может увидеть ближайшую к нему лужу-мираж. Постоянная Больцмана $k_{B}=1.38\cdot 10^{-23}~Дж/К$. $$ (1+x)^{\gamma} \approx 1+\gamma x \\ \sin x \approx x \\ \cos x \approx 1-\frac{x^{2}}{2} $$"}]} | [{"condition": "Оцените, на каком расстоянии от водителя он может увидеть ближайшую к нему лужу-мираж. ", "solution": {"text": "В действительности, кажущиеся «лужи» появляются из-за отражения лучей, идущих от неба, от более нагретого слоя воздуха вблизи асфальта. На рисунке схематично показан один из таких лучей. <img_0> Условие полного отражения имеет вид$$n_{0}=n_{1}\cos \varphi, \ (1)$$где $n_{0}$, $n_{1}$ — показатели преломления воздуха у поверхности асфальта и на удалении от него, соответственно. Показатель преломления зависит от концентрации молекул, и, следовательно, от температуры воздуха. Из уравнения состояния идеального газа $$P=\gamma kT, \ (2)$$выразим значение концентрации и подставим в формулу для показателя преломления:$$n_{1}=1+\frac{\alpha P}{2kT}, \quad n_{0}=1+\frac{\alpha P}{2k(T+\Delta T)}. \ (3)$$найдем отношение показателей преломления (с учетом того, что они мало отличаются от единицы).$$\frac{n_{0}}{n_{1}}=\frac{1+\frac{\alpha P}{2k(T+\Delta T)}}{1+\frac{\alpha P}{2kT}} \approx \frac{1+\frac{\alpha P}{2kT}\left(1-\frac{\Delta T}{T} \right)}{1+\frac{\alpha P}{2kT}} \approx 1-\frac{\alpha P\Delta T}{2kT^{2}}. \ (4)$$Так как угол $\varphi$ мал, можно воспользоваться приближенной формулой $\cos \varphi 1-\frac{\varphi ^{2}}{2}$. В этом случае из формул (1) и (4) следует, что $$\varphi =\sqrt{\frac{\alpha P \Delta T}{k T^{2}}}. \ (5)$$Теперь легко найти, что расстояние на котором видна «лужа» при заданных условиях равно$$L=\frac{h}{\varphi}=h\sqrt{\frac{kT^{2}}{\alpha P\Delta T}}=1.2\sqrt{\frac{1.38\cdot10^{-23}\cdot (293)^{2}}{2.3\cdot 10^{-29}\cdot 1.0 \cdot 10^{5}\cdot 2.0}} \approx 6.1\cdot 10^{2}~м. \ (6)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$L=h\sqrt{\frac{kT^{2}}{\alpha P\Delta T}} \approx 6.1\cdot 10^{2}~м. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Однородная планета радиуса $R$ не имеет атмосферы и не вращается. С поверхности планеты бросают камень под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_0$, равной первой космической скорости на поверхности этой планеты."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите максимальную высоту подъёма камня над поверхностью планеты. На каком расстоянии от места броска, измеренном вдоль поверхности, камень упадёт?"}]} | [{"condition": "Найдите максимальную высоту подъёма камня над поверхностью планеты. На каком расстоянии от места броска, измеренном вдоль поверхности, камень упадёт? ", "solution": {"text": "<img_0>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h=R\sin\alpha.$$$$l=2R(\frac{\pi}{2}-\alpha).$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Однородный цилиндр длиной $l_0$ и площадью поперечного сечения $S$ имеет в состоянии покоя плотность $\rho_0$. Найдите плотность цилиндра $\rho$ этого цилиндра, когда он движется со скоростью $v=0.9c$, где $c$ – скорость света."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Если соответствующая электрону волна де Бройля является плоской волной с длиной волны $\lambda$, распространяющейся в положительном направлении оси $Ox$, найдите проекцию $p_x$ импульса электрона на эту ось и его координату $x$."}]} | [{"condition": "Однородный цилиндр длиной $l_0$ и площадью поперечного сечения $S$ имеет в состоянии покоя плотность $\rho_0$. Найдите плотность цилиндра $\rho$ этого цилиндра, когда он движется со скоростью $v=0.9c$, где $c$ – скорость света. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\rho=\rho_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1}=5.26\rho.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Если соответствующая электрону волна де Бройля является плоской волной с длиной волны $\lambda$, распространяющейся в положительном направлении оси $Ox$, найдите проекцию $p_x$ импульса электрона на эту ось и его координату $x$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[p_x=\frac{h}{\lambda},\]где $h$ — постоянная Планка. Т.к. $\Delta p_x=0$, то из соотношения неопределённости Гейзенберга $\Delta x \Delta p_x \geq h$ следует, что координата электрона $x$ не определена."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "СТО", "Кинематика СТО", "Китайские"] |
|
{"text": [{"text": "Очень маленький, размером с муравья, автомобиль, едет по ровной горизонтальной поверхности вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$. На его крыше закреплён точечный источник света $S$, находящийся на главной оптической оси линзы. Скорость автомобиля изменяется так, что скорость изображения $S_{1}$ точечного источника $S$ остаётся постоянной и равной $v_{0}$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «автомобиля». Коэффициент трения между колёсами автомобиля и дорогой равен $\mu$."}]} | [{"condition": "Определите, на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «автомобиля». ", "solution": {"text": "Пусть расстояние от источника $S$ до переднего фокуса линзы paвно $x$, а расстояние от его изображения до заднего фокуса равно $y$. <img_0> Воспользуемся формулой тонкой линзы в форме Ньютона:$$x y=f^{2}.$$Ее можно легко получить из стандартной формулы тонкой линзы $1 / a+1 / b=1 / f$, выполнив замену $a=x+f$ и $b=y+f$. Для малых перемещений $\Delta x$ и $\Delta y$ получим$$x \Delta y+y \Delta x=0 \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{v}{v_{0}}=-\frac{x}{y}=-\frac{x y}{y^{2}}=-\frac{f^{2}}{y^{2}},$$отсюда скорость автомобиля: $v=-v_{0} f^{2} / y^{2}$. Знак «ー» означает, что если автомобиль удаляется от фокуса ($x$ растет, то есть $v>0$), его изображение приближается к фокусу ($y$ уменьшается, $v_{0}<0$). Ускорение автомобиля:$$a=\frac{d v}{d t}=2 \frac{v_{0} f^{2}}{y^{3}} \frac{d y}{d t}=2 \frac{v_{0}^{2} f^{2}}{y^{3}}=2 \frac{v_{0}^{2} x^{3}}{f^{4}}.$$Это ускорение не может превышать (по модулю) значения $a_{\max }=\mu g$. Следовательно, получаем неравенство:$$\frac{2 v_{0}^{2}|x|^{3}}{f^{4}} \leqslant \mu g, \quad \text { откуда } \quad|x| \leqslant f \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}},$$т.е. автомобиль не может удалиться от фокуса на расстояние, большее, чем $f \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}$.В случае $v_{0}>\sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ расстояние $l$ от автомобиля до линзы может изменяться в пределах$$f\left(1-\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right) \leqslant l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$Изображение может быть как мнимым $(l < f)$, так и действительным $(l > f)$.В случае $v_{0} < \sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ получаем$$0 < l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: В случае $v_{0}>\sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ расстояние $l$ от автомобиля до линзы может изменяться в пределах$$f\left(1-\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right) \leqslant l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$В случае $v_{0} < \sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ получаем$$0 < l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Кинематика", "Оптика", "Геометрическая оптика", "Всероссийские"] |
|
{"text": [{"text": "Водяной пар массой $m=1~г$ находится в теплоизолированной камере объемом $V=39~л$ при температуре $T=300~K$. В той же камере имеется вода, масса которой меньше массы пара. В процессе адиабатного сжатия температура пара возрастает на $\Delta T=1~K$, а часть воды испаряется."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На сколько увеличится при этом масса пара в камере? Теплота испарения воды $\lambda=2.37 \cdot 10^{6}~Дж/кг$; пар считать идеальным газом с молярной теплоемкостью $C_{V}=3 R \approx 25~Дж/(моль \cdot К)$; теплоемкостью воды пренебречь. Известно также, что при малых изменениях температуры $\Delta T$ насыщенного пара его давление изменяется на $\Delta p=k \Delta T$, где $k=2 \cdot 10^{2}~Па/ К$."}]} | [{"condition": "На сколько увеличится при этом масса пара в камере? ", "solution": {"text": "Пусть $m$ — масса пара в камере, $\Delta m$ — увеличение массы пара, $\mu$ — его молярная масса. Считая, что приращение давления пара равно $\Delta p$, приращения его объема $\Delta V$ и температуры $\Delta T$, из уравнения состояния $p V=\frac{m}{\mu} R T$ получим $$ p \Delta V+V \Delta p=\frac{\Delta m}{\mu} R T+\frac{m}{\mu} R \Delta T. \quad (1) $$ За счет работы внешних сил при сжатии пара его температура увеличивается и происходит испарение воды: $$ -p \Delta V=\lambda \Delta m+\frac{m}{\mu} C_{V} \Delta T \quad (\Delta V<0). \quad (2) $$ По условию задачи $$ \Delta p=k \Delta T. \quad (3) $$ Из уравнений $(1)$, $(2)$, $(3)$ окончательно получаем $$ \Delta m=\frac{k \mu V-m\left(C_{V}+R\right)}{\lambda \mu+R T} \Delta T \approx 3.0 \cdot 10^{-3}~г. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta m=\frac{k \mu V-m\left(C_{V}+R\right)}{\lambda \mu+R T} \Delta T \approx 3.0 \cdot 10^{-3}~г. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Всероссийские", "Фазовый переход", "Насыщенный пар"] |
|
{"text": [{"text": "От антарктического ледового шельфа отломился огромный айсберг, который затем под действием океанического течения приплыл к некоторому городу. Один человек в городе придумал схему, позволяющую вырабатывать с помощью айсберга электричество. Она выглядит следующим образом: 1) сначала некоторое количество воздуха из окружающей среды необходимо поместить в контейнер с регулируемым объёмом, после чего привести его в контакт с айсбергом, позволяя воздуху внутри достичь его температуры при постоянном давлении; 2) удалить контейнер от айсберга, и, зафиксировав его объём, дать воздуху нагреться обратно до температуры окружающей среды; 3) зафиксировав объём контейнера, начать выпускать из него воздух, используя его энергию для работы устройства, вырабатывающего электричество. Цикл можно продолжать, пока весь айсберг не растает. Температура окружающей среды известна и равна $T_a=293~\text{К}$, температура айсберга равна температуре плавления льда $T_1=273~\text{К}$, а доступная масса айсберга $m=1.0\cdot10^{11}~\text{кг}$. Чтобы определить, какое количество электроэнергии можно выработать, создатель схемы использует следующие приближения и данные: 1) Воздух можно считать идеальным газом. 2) Теплота плавления льда равна $L=3.34\cdot10^5~\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$, и вода, образовавшаяся в результате таяния льда, больше не используется. 3) Внутренняя энергия воздуха $U=2.5pV$, где $p$ и $V$ – его давление и объём соответственно. 4) Теплообмен между контейнером и окружающей средой происходит достаточно быстро, чтобы считать температуру воздуха постоянной всё время, пока его выпускают из контейнера на шаге $(c)$. 5) Выход воздуха из контейнера может быть разделён на серию небольших процессов. Объём выходящего воздуха в каждом из них равен $u$, и $u$ много меньше объёма контейнера. В каждом процессе выходящий газ ускоряется под действием разности давлений внутри и снаружи, приобретая на выходе кинетическую энергию $\Delta E$. Несмотря на изменение объёма газа в процессе разгона, считайте, что давление в контейнере всё ещё однородно, а атмосферное давление не меняется. 6) Только $45\%$ кинетической энергии газа $\Delta E$ могут быть переработаны в электричество. 7) При $x\ll1$ пользуйтесь приближением $\ln{\left(1+x\right)}\approx x$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "15,00"}, "text": "Найдите, какое количество электроэнергии $E_1$ может быть получено из айсберга по предложенной схеме."}]} | [{"condition": "Найдите, какое количество электроэнергии $E_1$ может быть получено из айсберга по предложенной схеме. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E_1=\frac{9}{70}mL\frac{1-\frac{T_1}{T_a}+\frac{T_1}{T_a}\ln{\frac{T_1}{T_a}}}{1-\frac{T_1}{T_a}}=1.5\cdot10^{14}~\text{Дж}.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "15,00"}] | ["T", "Термодинамика", "Тепловые машины", "Китайские"] |
|
{"text": [{"text": "Автомобиль движется по горизонтальному неподвижному конвейеру со скоростью $v_{0}=20~м/с$ в безветренную погоду. При этом половина мощности двигателя затрачивается на преодоление сопротивления воздуха, другая половина - на преодоление трения качения."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0}=20~м/с$ (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0}=20~м/с$ в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? Примечание 1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату относительной скорости, сила трения качения постоянна. Примечание 2. Во всех случаях проскальзывания колес не возникает. Примечание 3. Уравнение третьей степени можно решить методом подбора."}]} | [{"condition": "Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0}=20~м/с$ (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен? ", "solution": {"text": "Сила трения $F_{в}$ между автомобилем и воздухом и сила трения качения $F_{к}$ уравновешиваются силой трения $F_{т}$ между колёсами и дорогой. Момент силы трения $M$ равен по модулю моменту, развиваемому двигателем машины: $$ M=F_{т} r=F_{в} r+F_{к} r, $$ где $r$ — радиус колёс машины. Двигатель развивает мощность $$ P=M \omega=M \frac{v_{отн}}{r}=\left(F_{в}+F_{к}\right) v_{отн}, $$ где $v_{отн}$ — скорость движения автомобиля относительно конвейера, $\omega$ — угловая скорость вращения колёс. По условию $F_{в}=k v_{в}^{2}$, где $v_{в}$ — скорость движения воздуха относительно автомобиля. Запишем выражения для мощностей, затрачиваемых на преодоление сопротивления воздуха и трения качения в случае неподвижного конвейера и отсутствия ветра: $$ \frac{P}{2}=k v_{0}^{3}=F_{к} v_{0}. $$ Отсюда найдем коэффициент пропорциональности в зависимости силы сопротивления воздуха от скорости и силу трения качения: $$ k=\frac{P}{2 v_{0}^{3}}, F_{к}=\frac{P}{2 v_{0}}. $$ В случае неподвижного конвейера и дующего навстречу ветра мощность двигателя равна $$ P=\left(k\left(v_{1}+v_{0}\right)^{2}+F_{к}\right) v_{1}, $$ откуда получаем уравнение на скорость: $$ \left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{3}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{2}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)-2=0 . $$ Это уравнение имеет ровно один корень из промежутка $0$$ v_{1} \approx 0.575 v_{0} \approx 11.5~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{1} \approx 11.5~м/с. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0}=20~м/с$ в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? ", "solution": {"text": "Аналогично в случае движущегося конвейера мощность двигателя: $$ P=\left(k v_{2}^{2}+F_{к}\right)\left(v_{0}+v_{2}\right), $$ соответствующее уравнение на скорость: $$ \left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{3}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)-1=0 . $$ Его решение также единственно, находим ответ численно: $$ v_{2} \approx 0.544 v_{0} \approx 10.9~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{2} \approx 10.9~м/с. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Механика", "Вязкое трение", "Всероссийские", "Трение", "Мощность"] |
|
{"text": [{"text": "Из трех конденсаторов с емкостями $C_1$, $C_2$ и $C_3$ соответственно, катушки индуктивностью $L$ и источника постоянного напряжения $U_0$ собрана представленная на рисунке схема. В начальный момент времени конденсаторы не заряжены, а ток в катушке равен нулю. Ключ $K$ замыкают. Сопротивление соединительных проводов считать малым. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите максимальный ток через катушку $I_\max$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите минимальное напряжение $U_\min$ на конденсаторе $C_2$."}]} | [{"condition": "Найдите максимальный ток через катушку $I_\max$. ", "solution": {"text": "Ток через катушку индуктивности мгновенно измениться не может и сразу после замыкания ключа \( K \) остается равным нулю. При этом, так как сопротивления подводящих проводов очень мало, то практически мгновенно заряжаются конденсаторы $C_{1}$ и $C_{2}$ до зарядов $ q_{10} $ и $ q_{20}$ соответственно, а конденсатор \( C_{3} \) останется не заряженным: \( q_{30}=0 \), так как он заряжается через катушку индуктивности. Отметим, что в проводах выделяется джоулево тепло. Таким образом, в в начальный момент времени конденсаторы $C_1$ и $C_2$ подключены последовательно к источнику постоянного напряжения \( U_{0} \) и заряды их равны \[ q_{10}=q_{20}, \] а напряжения на них складываются, так что \[ \frac{q_{10}}{C_{1}}+\frac{q_{20}}{C_{2}}=U_{0}, \] Таким образом, из уравнений выше находим \[ q_{10}=q_{20}=\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}} U_{0} \] Полная энергия системы сразу после замыкания ключа \( K \) оказывается равной \[ W_{0}=\frac{q_{10}^{2}}{2 C_{1}}+\frac{q_{20}^{2}}{2 C_{2}}=\frac{C_{1} C_{2} U_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)} \] После зарядки конденсаторов \( C_{1} \) и \( C_{2} \) ток через катушку начинает возрастать и в системе начинаются гармонические колебания, при которых уже можно пренебречь джоулевыми потерями, так как сопротивления подводящих проводов мало. Заметим, что в тот момент времени, когда ток в катушке максимален, напряжение на ней равно нулю и конденсаторы $C_2$ и $C_3$ оказываются включенными параллельно. Для такого соединения конденсаторов выполняются следующие соотношения для зарядов $$ q_{1}=q_{2}+q_{3} \\ \frac{q_{2}}{C_{2}}=\frac{q_{3}}{C_{3}} \\ \frac{q_{1}}{C_{1}}+\frac{q_{2}}{C_{2}}=U_{0} $$ Решая совместно уравнения выше, находим заряды конденсаторов $$ q_{1}=\frac{C_{1}\left(C_{2}+C_{3}\right)}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \\ q_{2}=\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \\ q_{3}=\frac{C_{1} C_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} $$ а энергия системы в этом состоянии очевидно равна \[ W=\frac{C_{1}\left(C_{2}+C_{3}\right) U_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)}+\frac{L I_{\max }^{2}}{2} \] Работа источника при этом составляет величину \[ A=\left(q_{1}-q_{10}\right) U_{0} \] а закон сохранения энергии записывается в виде \[ W_{0}+A=W \] откуда находим максимальный ток"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ I_{\max }=\sqrt{\cfrac{C_{3}}{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right) L}} C_{1} U_{0} $"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите минимальное напряжение $U_\min$ на конденсаторе $C_2$. ", "solution": {"text": "Нахождение минимального напряжения \( U_{\min } \) на конденсаторе \( C_{2} \) несколько более сложная задача, которая имеет простое решение. Очевидно, что в системе происходят гармонические колебания, при которых постоянно потенциальная энергия переходит в кинетическую. Для представленной электрической цепи роль кинетической энергии играет энергия катушки индуктивности. Следовательно, когда ток через катушку равен нулю, то система находится в самом крайнем положении, при этом напряжение на конденсаторе \( C_{2} \) равно \[ U_{20}=\frac{q_{20}}{C_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}} U_{0} \] Отметим, что равенство тока нулю соответствует начальному моменту замыкания ключа \( K . \) После того, как пройдет четверть периода, ток в катушке становится максимальным, система проходит через положение равновесия и напряжение на конденсаторе \( C_{2} \) падает до значения \[ U_{2}=\frac{q_{2}}{C_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \] то есть падает на величину \( U_{20}-U_{2} . \) Еще через четверть периода напряжение на конденсаторе упадет еще на такую же величину, которая в тоже время равна \( U_{2}-U_{\min }, \) поэтому искомое минимальное напряжение оказывается равным"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ U_{\min }=2 U_{2}-U_{20}=\cfrac{C_{1}\left(C_{1}+C_{2}-C_{3}\right)}{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)} U_{0} $"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электромагнетизм", "Цепь с конденсатором", "Цепь с катушкой", "Расчет цепей", "2021", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Тонкая плоско-параллельная стеклянная пластина с показателем преломления $n = 1.5$ разрезана на две части, одна из которых представляет собой бипризму Френеля с малым преломляющим углом $\gamma = 0.1~рад.$ (см. рисунок). <img_0> Пластина облучается мощным пучком монохроматического излучения с интенсивностью $I = 10~кВт/см^{2}$. Свет падает перпендикулярно плоскости пластины площадью $S = 10~см^{2}$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Какую силу $F$ необходимо приложить, чтобы раздвинуть разрезанные части пластины так, чтобы между ними образовался небольшой зазор постоянной толщины? Потерями света в стекле и отражением на границах пренебречь."}]} | [{"condition": "Какую силу $F$ необходимо приложить, чтобы раздвинуть разрезанные части пластины так, чтобы между ними образовался небольшой зазор постоянной толщины? ", "solution": {"text": "Со стороны излучения на бипризму действует сила давления, связанная с преломлением света. Эта сила направлена вдоль оси x распространения пучка света и по величине равна изменению импульса фотонов в единицу времени. Каждый фотон после прохождения через призму отклоняется на угол $$\theta=(n-1)\gamma.$$Изменение импульса фотона$$\Delta p_{x}=p(1-\cos\theta)\approx \frac{p\theta^{2}}{2}=\frac{p(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2}=\frac{\left(\frac{hv}{c}\right)(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2}.$$Число фотонов падающих на призму в единицу времени$$N=\frac{IS}{hv}.$$Сила $$F=N\Delta p_{x}\frac{IS(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2c}=4.2\cdot10^{-7}~Н.$$Так как полный импульс фотонов после прохождения пластины не изменяется, то на вторую призму (вогнутую) действует такая же по величине сила, но противоположная по направлению. Таким образом, для создания небольшого зазора, необходимо преодолеть силу давления излучения, растягивая призмы в разные стороны силой $$F=4.2\cdot10^{-7}~Н.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F=N\Delta p_{x}\frac{IS(n-1)^{2}\gamma^{2}}{2c}=4.2\cdot10^{-7}~Н.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Две сферы c радиусами $r$ и $R$ $(r < R)$ и общим центром разбивают пространство на три области. <img_0> Внутренность малой сферы равномерно заряжена по объёму с плотностью $-\rho$, пространство между сферами равномерно заряжено с объёмной плотностью $+\rho$, вне большой сферы зарядов нет."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите отношение радиусов $R/r$, при котором потенциал в центре симметрии системы будет равен потенциалу на бесконечности."}]} | [{"condition": "Найдите отношение радиусов $R/r$, при котором потенциал в центре симметрии системы будет равен потенциалу на бесконечности. ", "solution": {"text": "Из соображений размерности потенциал в центре равномерно заряженного по объёму шара относительно бесконечно удаленной точки равен $$\varphi \sim k\frac{q}{R}\sim \alpha\frac{\rho R^3}{R}\sim \alpha\rho R, \tag{1}$$где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех шаров.Нашу систему зарядов можно представить как результат суперпозиции шара радиусом $R$, заряженного с плотностью $+\rho$, и шара радиусом $r$, заряженного с плотностью $-2\rho$. Тогда для потенциала в центре имеем$$\alpha\rho R^2+\alpha(-2\rho)r^2=0, \tag{2}$$откуда$$\frac{R}{r}=\sqrt{2}. \tag{3}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{R}{r}=\sqrt{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Вертикальный цилиндр радиуса $R$ укреплён на гладкой горизонтальной поверхности. На цилиндр плотно намотана нить, свободный конец которой длиной $l_0$ соединён с небольшой шайбой массы $m$. Шайбе сообщили горизонтальную скорость $v$, перпендикулярную нити (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Через какое время после этого нить порвётся, если максимальная сила, которую она выдерживает, равна $T$."}]} | [{"condition": "Через какое время после этого нить порвётся, если максимальная сила, которую она выдерживает, равна $T$. ", "solution": {"text": "Так как нить нерастяжима и натянута, то скорость шайбы всегда перпендикулярна нити. Поэтому сила натяжения нити работы не совершает и скорость шайбы остаётся постоянной по модулю$$v=\operatorname{const}. \tag{1}$$Шайба движется по траектории с радиусом кривизны, равным длине не намотанной нити $l$, поэтому условие разрыва нити находится из второго закона Ньютона$$T=m\frac{v^2}{l}. \tag{2}$$Длина нити изменяется в результате наматывания на цилиндр на величину$$dl=-Rd\alpha, \tag{3}$$где$$d\alpha=\omega dt, \tag{4}$$а угловая скорость вращения нити равна$$\omega=\frac{v}{l}. \tag{5}$$Из уравнений $(3)-(5)$ следует, что$$ldl=-Rvdt, \tag{6}$$а его интегрирование дает$$l^2-l^2_0=-2R vt. \tag{7}$$Подставляя $(1)$ в $(7)$, получаем искомое время$$t=\frac{l_0^2-\left(\frac{mv^2}{T}\right)^2}{2Rv}=\frac{l_0^2T^2-m^2v^4}{2RvT^2}. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t=\frac{l_0^2T^2-m^2v^4}{2RvT^2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В однородной плазме с концентрацией зарядов $n$ (число зарядов каждого знака в единице объема) все электроны, первоначально находящиеся в слое толщиной $d$, смещаются по нормали к этому слою на расстояние $d$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найти напряженность электрического поля в точках плоскости $S$ (см. рисунок). <img_0>"}]} | [{"condition": "Найти напряженность электрического поля в точках плоскости $S$ (см. рисунок). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ E_{s s}=\frac{e n d}{\varepsilon_{0}} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Электростатика", "Напряженность", "Плазма", "Всероссийские"] |
|
{"text": [{"text": "Тонкая гибкая замкнутая лента, состоящая из проводящих пластин шириной $a$, разделенных изолирующими промежутками шириной $b$ $(b \gg a)$, с помощью шкивов приведена в соприкосновение с обкладками плоского конденсатора (см. рисунок). <img_0> Расстояние между обкладками равно $d$ $(d \gg b)$, ширина ленты $l$. Конденсатор подключили к батарее, создающей напряжение $U$ между обкладками. С помощью внешнего воздействия шкивы провернули на несколько оборотов, после чего воздействие устранили, а лента продолжала движение с установившейся скоростью $v$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какой ток $I$ протекает через батарею?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Какую мощность $P$ затрачивает батарея при движении ленты?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Какая сила трения $F$ действует на ленту? Считайте, что трение есть только между лентой и нижней обкладкой."}]} | [{"condition": "Какой ток $I$ протекает через батарею? ", "solution": {"text": "Напряженность поля в конденсаторе $E=U / d$. Во время касания ленты и пластин конденсатора на ленту переходит заряд с такой же поверхностной плотностью, какая была на пластинах конденсатора:$$\sigma=\varepsilon_{0} E=\frac{\varepsilon_{0} U}{d}.$$Интервал времени между касаниями между соседними проводящими пластинами и верхней обкладкой конденсатора$$\tau=\frac{a+b}{v} \approx \frac{b}{v}.$$При каждом таком прикосновении заряд проводящей пластины меняется с $-q$ на $q$, где $q=\sigma a l$. Поэтому ток через батарею$$I=\frac{2 q}{\tau}=2 v \varepsilon_{0} U \frac{a l}{b d}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I=2 v \varepsilon_{0} U \frac{a l}{b d}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какую мощность $P$ затрачивает батарея при движении ленты? ", "solution": {"text": "$$ P=U I=2 v \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d} . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ P=2 v \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d} . $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какая сила трения $F$ действует на ленту? ", "solution": {"text": "Поскольку скорость ленты не изменяется, то мощность суммарной силы трения $P^{\prime}=F v$ по абсолютной величине равна мощности батареи, откуда $$ F=2 \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ F=2 \varepsilon_{0} U^{2} \frac{a l}{b d}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Конденсатор", "Электромагнетизм", "Всероссийские", "Мощность"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "1", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите период малых радиально симметричных колебаний кольца, состоящего из $n$ одинаковых коротких невесомых пружинок жёсткостью $k$, соединяющих $n$ точечных масс $m$ (см. рисунок). <img_0> Считайте, что $n\gg 1$."}]} | [{"condition": "Найдите период малых радиально симметричных колебаний кольца, состоящего из $n$ одинаковых коротких невесомых пружинок жёсткостью $k$, соединяющих $n$ точечных масс $m$ (см. рисунок). ", "solution": {"text": "Кинетическая энергия колебаний$$E_{k}=n\frac{mv^{2}}{2}=n\frac{mx^{'2}}{2}=\frac{\alpha x^{'2}}{2}, \text{ где } \alpha=nm.$$Потенциальная энергия колебаний$$E_{p}=\frac{(k/n)(\Delta l)^{2}}{2}=\frac{(k/n)(2\pi x)^{2}}{2}=\frac{(4\pi^{2}k/n)\cdot x^{2}}{2}=\frac{\beta x^{2}}{2},$$где $\beta = 4\pi ^{2}k/n$. Циклическая частота $$\omega^{2}=\beta/\alpha=4\pi^{2}k/n^{2}m.$$Период колебаний$$T=2\pi/\omega=n\sqrt{m/k}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=n\sqrt{m/k}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Из одного куска нихромовой проволоки спаяли прямоугольный треугольник с катетами длиной $3 a$ и $4 a$. К трем сторонам проволочного треугольника подсоединили небольшие по размерам вольтметры так, что соединительные провода и стороны треугольника образуют квадраты (см. рисунок). <img_0> Вся конструкция находится в одной плоскости, перпендикулярно которой направлено однородное магнитное поле. Индукция поля изменяется со скоростью $\frac{\Delta B}{\Delta t}=k>0$. Сопротивления вольтметров намного больше сопротивления сторон треугольника."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите показания вольтметров."}]} | [{"condition": "Найдите показания вольтметров. ", "solution": {"text": "ЭДС в проволочном треугольном контуре направлена против часовой стрелки и равна $\mathscr{E}=6 k a^{2}$. Пусть сопротивления сторон треугольника равны $3 R$, $4 R$ и $5 R$. Тогда сила тока в треугольнике$$I=\frac{\mathscr{E}}{3 R+4 R+5 R}=\frac{k a^{2}}{2 R} .$$Этот ток направлен против часовой стрелки. Сила тока через вольтметры намного меньше $I$. ЭДС в контуре в виде квадрата со стороной $3 a$ равна $\mathscr{E}_{1}=9 k a^{2}$ и «направлена» против часовой стрелки. По второму правилу Кирхгофа для этого контура $\mathscr{E}_{1}=U_{1}- 3RI$. С учетом выражений для $\mathscr{E}_{1}$ и $I$ находим показания вольтметра $V_{1}$ :$$U_{1}=\mathscr{E}_{1}+3 R I=\frac{21}{2} k a^{2} .$$Аналогично находим показания вольтметров $V_{2}$ и $V_{3}$ :$$U_{2}=18 k a^{2}, \quad U_{3}=\frac{55}{2} k a^{2} .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{array}{l}U_{1}=\mathscr{E}_{1}+3 R I=\frac{21}{2} k a^{2} .\\U_{2}=18 k a^{2}.\\U_{3}=\frac{55}{2} k a^{2} .\end{array}"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электромагнетизм", "Всероссийские", "Электромагнитная индукция", "Напряжение"] |
|
{"text": [{"text": "В течение своей «жизни» айсберг несколько раз опрокидывается, поворачиваясь на $90^\circ$. Для изучения этого явления любознательный школьник проделал несколько модельных экспериментов, наблюдая процесс таяния льда в ванне. Опыты показали, что «айсберг» неустойчив к перевороту, если хотя бы один из его поперечных размеров меньше его высоты примерно на $20\%$. Затем был проделан следующий количественный эксперимент: тающий брусок льда в форме параллелепипеда размером $a\times b \times c= 10 \times 10 \times 8~ см^3$ опускался в ванну с водой при температуре $t_0 = 20^\circ С$. Попытки заставить плавать «айсберг» в положении а) (см. рис) не увенчались успехом: он практически сразу самопроизвольно опрокидывался в устойчивое положение б). Далее в процессе таяния «айсберг», оставаясь параллелепипедом (тонкий надводный козырёк подтаивал и практически не образовывался), изменялся в размерах и примерно через полчаса ($\tau_0 = 30~ мин$) самопроизвольно опрокинулся. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какими были размеры модельного «айсберга» непосредственно перед этим опрокидыванием?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "На основании описанного опыта оцените время $\tau_1$ опрокидывания реального айсберга с размерами $500\times 500 \times 400~ м^3$ в океане с температурой $t_1= 5^\circ С$. Каковы его размеры при опрокидывании? Считайте, что теплоподвод происходит только по воде и скорость таяния пропорциональна разности температур льда и окружающих его вод. Примечание. Температуру айсбергов принять равной $0^\circ С$."}]} | [{"condition": "Какими были размеры модельного «айсберга» непосредственно перед этим опрокидыванием? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ 4\times 4 \times 5~см^3 $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На основании описанного опыта оцените время $\tau_1$ опрокидывания реального айсберга с размерами $500\times 500 \times 400~ м^3$ в океане с температурой $t_1= 5^\circ С$. Каковы его размеры при опрокидывании? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau_{1} \simeq 4 y / x \approx 1 \text { год и } 2 \text { месяца. } $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Механика", "Всероссийские", "Устойчивость равновесия", "Теплообмен"] |
|
{"text": [{"text": "В закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде радиуса $R$ полностью заполненном водой находится однородный сплошной шар радиуса $R/2$. Сосуд раскрутили вокруг его вертикальной оси до угловой скорости $\omega$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. Плотность воды — $\rho_{0}$, плотность материала шара — $\rho$."}]} | [{"condition": "Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. ", "solution": {"text": "На шар действует сила давления со стороны стенки $\vec{F}_{1}$ (которая по третьему закону Ньютона равна по модулю искомой силе давления шара на стенку) и сила давления $\vec{F}_{A}$ со стороны жидкости (сила Архимеда). Центр шара движется по окружности радиуса $R/2$ с угловой скоростью $\omega$, поэтому на основании второго закона Ньютона для центра масс можно записать уравнение$$m\omega^{2}\frac{R}{2}=F_{1}+F_{A}, \ (1.1)$$где $m=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho$ — масса шара. Сила Архимеда может быть записана в виде (по аналогии с выводом закона Архимеда из условия равновесия жидкости)$$F_{A}=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}. \ (1.2)$$Из уравнения (1.1) с учетом формулы (1.2) получаем:$$F_{1}=\frac{1}{6} \pi R^{3} \rho \frac{\omega^{2}R}{2}-\frac{1}{6}\pi R^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}). \ (1.3)$$Заметим, что данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$. В противном случае шар не будет касаться стенки (уплывет к оси сосуда), поэтому при $\rho < \rho_{0}$ сила давления будет равна нулю."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_{1}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}).$$Данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Что покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? <img_0> Сопротивление амперметра пренебрежимо мало."}]} | [{"condition": "Что покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $3~А$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Электричество", "Цепи", "Всероссийские", "Цепь с резистором", "Амперметр"] |
|
{"text": [{"text": "Маленькая шайба массы $m_{1}$ лежит на краю длинной доски массой $m_{2}$, покрытой смазкой (см. рисунок). <img_0> Трение между шайбой и доской вязкое (сила трения, действующая на шайбу, $\vec{F}=-\alpha_{отн} \cdot \vec{v}_{отн}$, где $\vec{v}_{отн}$ — скорость шайбы относительно доски). Система находится на гладкой горизонтальной поверхности. Шайбе сообщают скорость $v_{0}$, направленную вдоль доски."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "С какими скоростями будут двигаться шайба и доска через достаточно большой промежуток времени?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии $L$ от края доски окажется шайба?"}]} | [{"condition": "С какими скоростями будут двигаться шайба и доска через достаточно большой промежуток времени? ", "solution": {"text": "Пусть $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ — скорости шайбы и доски соответственно. Обозначим через $\vec{u}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}$ их относительную скорость. Найдем $\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}$. По второму закону Ньютона$$m_{1} \frac{\Delta \vec{v}_{1}}{\Delta t}=-\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right), \quad m_{2} \frac{\Delta \vec{v}_{2}}{\Delta t}=\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right) .$$Отсюда$$\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}=-\alpha\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \vec{u}=-\frac{\vec{u}}{\tau}, \text{ где } \frac{1}{\tau}=\frac{\alpha}{\mu}, \quad \frac{1}{\mu}=\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right).$$Постоянная $\tau$ имеет размерность времени, а $\mu$ — массы. Таким образом, относительная скорость $\vec{u}$ будет изменяться по тому же закону, что и скорость материальной точки массой $\mu$, движущейся в вязкой среде с силой сопротивления $-\alpha \vec{u}$. Со временем эта материальная точка затормозится — установившееся значение скорости $\vec{u}$ будет равно нулю, то есть скорости шайбы и доски станут одинаковыми. Их значения $\vec{v}$ можно найти из закона сохранения импульса:$$m_{1} \vec{v}+m_{2} \vec{v}=m_{1} \vec{v}_{0}, \quad v=v_{0} \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} .$$Обозначим через $\vec{r}$ вектор, соединяющий шайбу и конец доски. Поскольку $\vec{u}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$, имеем$$\Delta \vec{r}=\vec{u} \Delta t=-\tau \Delta \vec{u} .$$При изменении скорости $u$ от $v_{0}$ до нуля $\left(\Delta u=-v_{0}\right)$ расстояние $r$ между шайбой и концом доски изменяется на$$\Delta r=v_{0} \tau.$$Таким образом, в установившемся режиме шайба и доска будут двигаться со скоростью $v=\frac{v_{0} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}$, а шайба удалится от края доски на расстояние$$L=v_{0} \tau=\frac{v_{0}}{\alpha} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=\frac{v_{0} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "На каком расстоянии $L$ от края доски окажется шайба? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L=v_{0} \tau=\frac{v_{0}}{\alpha} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Динамика", "Вязкое трение", "Всероссийские", "Относительное движение"] |
|
{"text": [{"text": "С одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите теплоемкость газа в точке $A$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "В какой точке процесса теплоемкость газа максимальна?"}]} | [{"condition": "Найдите теплоемкость газа в точке $A$. ", "solution": {"text": "Из определения теплоемкости, первого закона термодинамики и формулы для внутренней энергии одного моля идеального газа $U=c_{v} T$ получаем для теплоемкости одного моля: $$ c=\frac{\delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+p \Delta V}{\Delta T}=\frac{c_{v} \Delta T+p \Delta V}{\Delta T}=c_{v}+p \frac{\Delta V}{\Delta T} . $$ Вычислим отношение $\frac{\Delta V}{\Delta T}$ в точке $A$ заданного процесса. Для этого рассмотрим бесконечно малый участок процесса от точки $A$ $\left(p_{A}=2 p_{0}, V_{A}=V_{0}\right)$ до близкой точки $B\left(p_{B}=p_{A}+\Delta p; V_{B}=V_{A}+\Delta V\right)$. Очевидно, $\Delta p$ и $\Delta V$ имеют разные знаки. Запишем уравнение процесса в виде $$ \frac{p}{p_{0}}+\frac{V}{V_{0}}=3. \quad (1) $$ В точке $A$ $$ \frac{p_{A}}{p_{0}}+\frac{V_{A}}{V_{0}}=3, \quad (2) $$ в точке $B$ $$ \frac{p_{A}+\Delta p}{p_{0}}+\frac{V_{A}+\Delta V}{V_{0}}=3. \quad (3) $$ Вычитая $(2)$ из $(3)$, для малых изменений $\Delta p$ и $\Delta V$ получаем $$ \frac{\Delta p}{p_{0}}+\frac{\Delta V}{V_{0}}=0. \quad (4) $$ Еще одно соотношение для малых изменений можно получить из уравнения Менделеева - Клапейрона для начального и конечного состояний: $$ p_{A} V_{A}=R T_{A}, \quad \left(p_{A}+\Delta p\right)\left(V_{A}+\Delta V\right)=R\left(T_{A}+\Delta T\right) . $$ Раскроем скобки, вычтем из второго уравнения первое и пренебрежем малой поправкой $\Delta p \Delta V$: $$ p_{A} \Delta V+V_{A} \Delta p=R \Delta T, \text { или } 2 p_{0} \Delta V+V_{0} \Delta p=R \Delta T. \quad (5) $$ Теперь исключим $\Delta p$ из $(4)$ и $(5)$: $$ p_{0} \Delta V=R \Delta T, \text { или } p_{0} \frac{\Delta V}{\Delta T}=R. $$ Из формулы $(1)$ для теплоемкости газа в точке $A$ получаем $$ c=c_{v}+p_{A} \frac{\Delta V}{\Delta T}=c_{v}+2 p_{0} \frac{\Delta V}{\Delta T}=c_{v}+2 R=\frac{7}{2} R . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ c=c_{v}+p_{A} \frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac{7}{2} R . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "В какой точке процесса теплоемкость газа максимальна? ", "solution": {"text": "График данного процесса касается изотермы в точке $\left(1.5 p_{0}; 1.5V_{0}\right)$. Теплоемкость газа в левой окрестности этой точки стремится к бесконечности и, следовательно, максимальна."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Теплоемкость газа в левой окрестности точки $\left(1.5 p_{0}; 1.5V_{0}\right)$ стремится к бесконечности и, следовательно, максимальна."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Теплоемкость", "Всероссийские"] |
|
{"text": [{"text": "Теплоемкости тел могут зависеть от температуры (например, при низких температурах). Два одинаковых тела, удельные теплоемкости которых зависят от температуры $t$ по закону $$ c(t)=c_{0}(1+\alpha t), $$ (где $c_{0}$ и $\alpha$ — известные постоянные величины) приведены в тепловой контакт. Начальные температуры тел равны $t_{1}$ и $t_{2}$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите установившуюся температуру тел. Потерями теплоты пренебречь."}]} | [{"condition": "Определите установившуюся температуру тел. ", "solution": {"text": "Построим график зависимости теплоемкости тел от температуры. <img_0> Площадь под этим графиком численно равна количеству полученной или отданной теплоты. Так как теплоемкости тел одинаковы, условию теплового баланса соответствует равенство площадей трапеций под графиком от $t_{1}$ до установившейся температуры $t^{*}$ и от $t^{*}$ до $t_{2}$. Из этого условия следует равенство$$(c(t_{1})+c(t^{*}))\cdot (t^{*} -t_{1})=(c(t_{2})+c(t^{*}))\cdot (t_{2}-t^{*}). \ (1.4)$$Подстановка выражения для теплоемкости приводит к уравнению$$(1+\alpha t_{1}+1+\alpha t^{*})(t^{*}-t_{1})=(1+\alpha t_{2}+1+\alpha t^{*})(t_{2}-t^{*}), \ (1.5)$$положительный корень которого дает ответ на вопрос задачи:$$t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{1+\alpha(t_{1}+t_{2})+\frac{\alpha^{2}}{2}(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})}-1 \right)=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). \ (1.6)$$ Примечания. 1. Возможен интересный геометрический вариант решения данной задачи. Продлим график зависимости теплоемкости от температуры до пересечения с осью температур (точка $A$). <img_1> Обозначим площади треугольников от точки $A$ до соответствующих температур $S_{1}$, $S^{*}$, $S_{2}$. Так как эти треугольники подобны, то их площади пропорциональны квадратам высот, то есть $c^{2}(t)$. Условие равенства нужных площадей имеет вид$$S_{2}-S^{*}=S^{*}-S_{1.}$$Откуда следует$$S^{*}=\frac{S_{1}+S_{2}}{2},$$или$$(1+\alpha t^{*})^{2}=\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}.$$Из этого уравнения конечная температура $t^{*}$ выражается элементарно. 2. Допустимо получить выражение для внутренней энергии тел (проинтегрировав теплоемкости) и затем записать закон ее сохранения."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Эквивалентная схема реального источника переменного напряжения частоты $\omega = 1.00\cdot 10^3~с^{-1}$ состоит из идеального источника напряжения амплитудой $U = 15.0~В$, резистора $r = 2019~Ом$ и конденсатора $C = 100~мкФ$. К источнику можно подключать в качестве нагрузки различные схемы из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "При какой нагрузке выделяющаяся в ней тепловая мощность будет максимальна? Предложите схему нагрузки и рассчитайте параметры входящих в неё элементов. Если вы нашли несколько решений, приведите самый простой вариант. Найдите также саму максимальную мощность."}]} | [{"condition": "При какой нагрузке выделяющаяся в ней тепловая мощность будет максимальна? Предложите схему нагрузки и рассчитайте параметры входящих в неё элементов. Если вы нашли несколько решений, приведите самый простой вариант. Найдите также саму максимальную мощность. ", "solution": {"text": "Пусть $R$ — активная составляющая нагрузки (действительная часть импеданса), а $X$ — реактивная составляющая всей цепи (мнимая часть полного импеданса). Тогда амплитуда тока равна$$I=\frac{U}{\sqrt{(r+R)^2}+X^2}.$$Средняя тепловая мощность в нагрузке$$P=\frac{1}{2}I^2R=\frac{U^2R}{2[(r+R)^2+X^2]}.$$Видно, что максимальной мощности соответствует $X = 0$, т.е. в цепи не должно быть сдвига фаз. Оставшееся выражение имеет максимум при $R = r$.Сдвиг фаз будет нулевым, если последовательно конденсатору подключить катушку, такую что $\frac{1}{\omega C}=\omega L$ откуда $L=\frac{1}{\omega^2C}=1.00\cdot10^{-2}~Гн$.Получается, что простейшая нагрузка должна состоять из последовательно соединённых резистора, сопротивлением $2019~Ом$ и катушки индуктивностью $1.00 \cdot 10^{−2}~Гн$.Максимальная мощность равна$$P_{\max}=\frac{1}{2}\frac{U^2}{4r}=\frac{U^2}{8r}=13.9~мВт.$$"}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Один моль идеального одноатомного газа совершает процесс, график которого в координатах $VT$ полностью лежит на прямой линии. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите теплоёмкость газа в точке $A$, равноудалённой от точек пересечения этой прямой с осями координат."}]} | [{"condition": "Найдите теплоёмкость газа в точке $A$, равноудалённой от точек пересечения этой прямой с осями координат. ", "solution": {"text": "По определению теплоемкость равна$$C=\frac{\delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+P\Delta V}{\Delta T}=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}. \tag{1}$$Пусть в требуемой точке параметры газа равны $(P_0, V_0, T_0)$. Тогда уравнение процесса имеет следующий вид$$\frac{V}{V_0}+\frac{T}{T_0}=2. \tag{2}$$Для малых изменений получаем$$\frac{\Delta V}{V_0}+\frac{\Delta T}{T_0}=0, \tag{3}$$$$\frac{\Delta V}{\Delta T}=-\frac{V_0}{T_0}. \tag{4}$$Окончательно, с учётом равенства $P_0V_0=RT_0$, получаем$$C=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}=C_V-P_0\frac{V_0}{T_0}=C_V-R=\frac{R}{2}. \tag{5}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C=C_V+P\frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac{R}{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Упоры-ролики $А$ и $Б$ позволяют «закрепить» балку горизонтально (см. рис.). Давить на балку роликом можно с силой, не превышающей $F_0$, иначе она разрушается. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какой самый большой груз можно подвесить к правому концу балки?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Как нужно ее расположить при этом? Масса балки $m$, длина $L$, расстояние между роликами по горизонтали $l$."}]} | [{"condition": "Какой самый большой груз можно подвесить к правому концу балки? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Балку нужно расположить так, чтобы она находилась в равновесии при силе реакции со стороны упора $A$, равной нулю. Тогда наибольшая масса груза будет равна $$ M=\frac{F_0}{g} - m $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Как нужно ее расположить при этом? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Расстояние от упора $Б$ до правого конца балки будет равно $$ x=\frac{L}{2}\frac{m}{M+m}=\frac{L}{2}\frac{mg}{F_0} $$ Ограничения на $l$ не существенны."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Механика", "Статика", "Всероссийские", "Момент сил"] |
|
{"text": [{"text": "«Черный ящик» содержит катушку, резистор и конденсатор и имеет три вывода. При его исследовании были получены следующие результаты. В схеме, изображенной на рисунке а, амперметр показал $I_1 = 0.1~ А$ при частоте генератора $v_1 = 1000 ~Гц$, а ток через него отставал от входного напряжения на $\pi/6$. Частоту генератора уменьшили в $100$ раз, при этом ток возрос менее чем в $2$ раза. Частоту генератора вернули к прежнему значению, а вместо амперметра подключили вольтметр, как показано на рисунке б. Он показал $U_1=20 ~В$, а сдвиг фаз между напряжением на вольтметре и входным напряжением опять составил по величине $\pi/6$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите по этим данным параметры элементов «черного ящика»."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме на рисунке б сдвиг фаз составил $\pi/2$? Измерительные приборы можно считать идеальными. Напряжение на выходе генератора неизменно, его внутреннее сопротивление пренебрежимо мало."}]} | [{"condition": "Найдите по этим данным параметры элементов «черного ящика». ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме на рисунке б сдвиг фаз составил $\pi/2$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "Конденсатор", "Всероссийские", "Переменный ток", "Черный ящик", "Амперметр"] |
|
{"text": [{"text": "Система, изображенная на рисунке, предоставлена самой себе. <img_0> При этом оказалось, что невесомый брус длины $L=1~м$ движется вверх с ускорением $g / 2$, оставаясь все время в горизонтальном положении."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите расстояние $x$, на котором подвешено тело массы $m_{3}$, если известно, что $m_{1}=2~кг$, $m_{2}=3~кг$. Трением можно пренебречь."}]} | [{"condition": "Определите расстояние $x$, на котором подвешено тело массы $m_{3}$, если известно, что $m_{1}=2~кг$, $m_{2}=3~кг$. ", "solution": {"text": "Так как брус движется, все время оставаясь в горизонтальном положении, то ускорение тел, массы которых равны $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно, равно $\frac{g}{2}$ и направлено вниз (см. рисунок). <img_1> Запишем следующую систему уравнений:$$\left\{\begin{array}{l}\frac{m_{1} g}{2}=m_{1} g-T_{1}, \\\frac{m_{2} g}{2}=m_{2} g-T_{2}\end{array}\right.$$и уравнение для моментов сил относительно точки $O$ :$$T_{1} x=T_{2}(L-x).$$Отсюда $x=L \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=0.6~м$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x=L \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=0.6~м. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Механика", "Динамика", "Всероссийские", "Блоки", "Момент сил"] |
|
{"text": [{"text": "В электрической цепи (см. рисунок) все элементы можно считать идеальными. <img_0> Вначале конденсатор ёмкостью $C$ не заряжен. Ключ $K$ замыкают, а затем, когда скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума - размыкают."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите мощность $N$, которую развил источник постоянного напряжения к моменту размыкания ключа."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Пусть сопротивления резисторов равны $R_{1}=R_{2}=R$. В этом случае скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума через время $$ $$ $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$."}]} | [{"condition": "Найдите мощность $N$, которую развил источник постоянного напряжения к моменту размыкания ключа. ", "solution": {"text": "Пусть $I_{C}$ — сила тока, идущего на зарядку конденсатора, а $I_{R}$ — сила тока, протекающего через резистор $R_{2}$, включённый параллельно конденсатору, $I$ — ток через источник, $q_{R}$ — заряд, протекший через резистор $R_{2}$, $q_{C}$ — заряд конденсатора, $q$ — заряд, протекший через источник, $U$ — напряжение на конденсаторе и резисторе $R_{2}$. Тогда $$ U=\frac{q}{C}=I_{R} R_{2}=\mathscr{E}-I R_{1}, $$ откуда находим $$ I=\frac{\mathscr{E}-U}{R_{1}}, \quad I_{R}=\frac{U}{R_{2}}, \quad I_{C}=I-I_{R}=\frac{\mathscr{E}}{R_{1}}-U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right). $$ Зависимость скорости изменения энергии конденсатора от напряжения на нём является квадратным трёхчленом $$ P=U \cdot I_{C}=U\left[\frac{\mathscr{E}}{R_{1}}-U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\right], $$ максимум которого находится посередине между его корнями $$ U_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}, \quad I_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2 R_{1}}. $$ Ток через источник в этот момент $$ I=I_{R}+I_{C}=\frac{U_{m}}{R_{2}}+I_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}}, $$ а искомая мощность источника равна $$ N=\mathscr{E} I=\frac{\mathscr{E}^{2}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ N=\frac{\mathscr{E}^{2}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть сопротивления резисторов равны $R_{1}=R_{2}=R$. В этом случае скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума через время $$ t_{0}=C R \ln \sqrt{2} $$ (это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$. ", "solution": {"text": "Запишем второе правило Кирхгофа для контура с резисторами $\left(R_{1}=R_{2}=R\right)$ $$ \mathscr{E}=I R_{1}+I_{R} R_{2}=\left(I+I_{R}\right) R, $$ домножим это уравнение на $\Delta t$ $$ \mathscr{E} \Delta t=\left(I \Delta t+I_{R} \Delta t\right) R=\left(\Delta q+\Delta q_{R}\right) R $$ и просуммируем по времени от $0$ до $t_{0}$: $$ \mathscr{E} t_{0}=\left(q+q_{R}\right) R=\left(2 q-q_{C}\right) R. \quad\left(q_{R}=q-q_{C}\right) $$ Отсюда с учётом $$ q_{C}=C U_{m}=\frac{C \mathscr{E}}{2} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{C \mathscr{E}}{4} $$ находим $q$ $$ q=C \mathscr{E} \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{4} \ln 2\right). $$ Из закона сохранения энергии найдем количество теплоты $Q$, выделившееся в цепи при замкнутом ключе $К$: $$ Q=\mathscr{E} q-\frac{q_{C}^{2}}{2 C}=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{4}\left(\frac{3}{8}+\ln 2\right)=0.27 C \mathscr{E}^{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{4}\left(\frac{3}{8}+\ln 2\right)=0.27 C \mathscr{E}^{2}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Электричество", "RC-цепи", "Всероссийские", "Электрические цепи", "Энергия"] |
|
{"text": [{"text": "На гладкую поверхность закреплённой на столе полусферы радиуса $R$ кладут небольшое тело и отпускают без толчка. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1A", "exponent": "2,00"}, "text": "На какой высоте $h$ над столом тело оторвётся от полусферы, если его начальное положение находилось на высоте $h_{0}$."}]} | [{"condition": "На какой высоте $h$ над столом тело оторвётся от полусферы, если его начальное положение находилось на высоте $h_{0}$. ", "solution": {"text": "Запишем для тела второй закон Ньютона в проекции на радиус$$m\frac{v^{2}}{R}=mg\cos\alpha-N, \ (1)$$и закон сохранения энергии$$\frac{mv^{2}}{2}=mgx. \ (2)$$Из системы уравнений $(1)$ и $(2)$ получаем при $N = 0$ условие отрыва:$$h = 2x,$$где $h = R \cos\alpha$ — высота тела над центром сферы. <img_1> Таким образом, тело оторвётся, когда его высота над центром будет вдвое больше высоты, на которую он опустился от начального положения. Поэтому $$h=\frac{2}{3}h_{0}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h=\frac{2}{3}h_{0}.$$"]}, "number_part": "1A", "exponent_part": "2,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В горизонтальный цилиндрический сосуд герметично вставлен поршень, перемещающийся с помощью прикреплённой к нему рукоятки. В сосуде находится насыщенный пар воды при температуре $T_0=333~\text{К}$. Жидкой фазы воды в сосуде нет.Водяной пар можно считать идеальным многоатомным газом. Удельная теплота парообразования воды при температуре $T_0$ равна $L=2{.}36~\text{МДж}/\text{кг}$ и в рамках задачи может считаться не зависящей от температуры. Универсальная газовая постоянная равна $R=8{.}31~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot{\text{К}})$. Молярная масса воды равна $\mu=18.0~\text{г}/\text{моль}$.Считайте известным, что малые относительные изменения давления насыщенного пара и его абсолютной температуры вблизи значений $p_0(T_0)$ и $T_0$ соответственно связаны соотношением $\varepsilon_p=\Delta{p}/p_0=\alpha\varepsilon_T=\alpha\cdot\Delta{T}/T_0$, где $\alpha=15{.}3$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным. Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Рассмотрим адиабатически изолированный сосуд."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$."}]} | [{"condition": "Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным. Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? ", "solution": {"text": "Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем: $$\delta{Q}=dU+\delta{A}=dU+pdV=dU+d(pV)-Vdp{.} $$ Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева-Клапейрона: $$U=\nu C_VT\qquad pV=\nu RT{.} $$ Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе: $$d(pV)=\nu RdT{.} $$ Тогда получим: $$\delta{Q}=\nu C_VdT+\nu RdT-Vdp=\nu C_pdT-Vdp{,} $$ где $C_p=C_V+R=4R$ — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении. Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры $(p{,}T)$, имеем: $$C=\cfrac{\delta{Q}}{dT}=\nu C_p-V\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu C_p-\cfrac{\nu RT}{p}\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu\left(C_p-R\cdot\cfrac{\varepsilon_p}{\varepsilon_T}\right){.}$$ Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C_\text{нас}=C_p-\alpha R=R(4-\alpha)=-93{.}9~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot{\text{К}}){.}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$. ", "solution": {"text": "При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса: Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии. Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим: $$pV=\nu RT\Rightarrow pdV+Vdp=\nu RdT=\cfrac{pVdT}{T}\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_T} {.}$$ Запишем первое начало термодинамики: $$dU=-\delta{A}\Rightarrow \nu C_VdT=-pdV=-\cfrac{\nu RTdV}{V}\Rightarrow{\varepsilon_T=-\cfrac{R\varepsilon_V}{C_V}} {.}$$ Обратим внимание, что $\varepsilon_T>0$, поскольку $\varepsilon_V<0$. Далее находим: $$\varepsilon_p=\varepsilon_T-\varepsilon_V=\varepsilon_T\left(1+\cfrac{C_V}{R}\right)=\cfrac{C_p\varepsilon_T}{R}=4\varepsilon_T<\alpha\varepsilon_T {.}$$ Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным. Тогда полученное нами выражение для $\varepsilon_T$ является применимым и температура увеличивается на величину, равную:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{T}=T_0\cdot\cfrac{\beta}{C_V/R}=\cfrac{\beta T_0}{3}\approx 5{.}6~\text{К}{.}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$. ", "solution": {"text": "Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно. Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде:$$pV=\nu RT\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu+\varepsilon_T}\Rightarrow{\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu}{,}$$поскольку в рассматриваемом процессе $\varepsilon_p=\alpha\varepsilon_T$. Из первого начала термодинамики:$$\delta{Q}_\text{нас}+L dm=0{,}$$где $Q_\text{нас}$ - количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а $dm=\mu d\nu$ - изменение массы водяного пара.Поскольку состояние не конденсирующегося водяного пара в координатах $(p{,}T)$ описывается кривой фазового равновесия — его теплоёмкость равна теплоёмкости $\nu C_\text{нас}$, полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты $\delta{Q}_\text{нас}$ имеем:$$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_\text{нас}dT{.}$$ Примечание: Отметим, что формула $$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_VdT+pdV{,}$$ где $dV$ – изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина $dV$ не равна изменению объёма, занимаемого не конденсирующимся водяным паром. Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим:$$\nu C_\text{нас}dT+\lambda\mu d\nu=0\Rightarrow{=\varepsilon_\nu=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }}{.}$$Отсюда:$$\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }{.}$$Окончательно находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{T}=-T_0\cdot\cfrac{\beta}{\alpha-1+\cfrac{(C_p-\alpha R)T_0}{\mu\lambda}}=-T_0\cdot\cfrac{\beta}{\alpha-1+\cfrac{(4-\alpha)R}{\mu\lambda}}\approx-1{.}2~\text{К}{.}$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}] | ["T", "★", "Термодинамика", "Теплоемкость", "Влажность", "Всероссийские", "Насыщенный пар"] |
|
{"text": [{"text": "Тело остывает в воздухе так, что скорость теплообмена пропорциональна разности температур тела и воздуха. На графике показана зависимость температуры тела от времени. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите температуру воздуха."}]} | [{"condition": "Найдите температуру воздуха. ", "solution": {"text": "Возможное решение. Мощность потока теплоты от тела в воздух пропорциональна разности температур тела $T$ и воздуха $T_x$ с коэффициентом $\alpha$, то есть$$P=\alpha(T-T_x), \tag{1}$$в результате чего тело с теплоемкостью $C$ за время $dt$ остывает на $dT$, которое подчиняется уравнению баланса теплоты$$CdT=-Pdt. \tag{2}$$Уравнения $(1)$ и $(2)$ при начальном условии $T=T_0$ имеют решение$$T(t)=T_x+(T_0-T_x)e^{\beta t}, \tag{3}$$где $\beta=\alpha/C$ — некоторая постоянная.Пусть за некоторый интервал времени тело остыло от температуры $T_0$ до температуры $T_1$, тогда из $(3)$ $$(T_1-T_0)=\gamma(T_0-T_x). \tag{4}$$где $\gamma$ — постоянная. За следующий такой же промежуток времени эта разность также изменится в $\gamma$ раз$$(T_2-T_1)=\gamma(T_1-T_x). \tag{5}$$Из этих уравнений следует уравнение$$\frac{(T_0-T_x)}{T_1-T_0}=\frac{(T_1-T_x)}{T_2-T_0}, \tag{6}$$которое имеет решение$$T_x=\frac{T_0T_2-T_1^2}{(T_0+T_2)-2T_1}. \tag{7}$$Из графика легко найти: начальная температура $T_0= 373~К$, через $10$ минут $T_1= 337~К$, через $20$ минут $T_2=319~К$. Подставляя эти значения в формулу $(7)$, находим, что комнатная температура равна$$T_x=301~К=28^{\circ}\mathrm{C}. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T_x=301~К=28^{\circ}\mathrm{C}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Ионы внутри ионных ловушек взаимодействуют с падающим на них светом, поэтому можно получить их "фотографии". Для этого можно использовать флуоресценцию: процесс самопроизвольного перехода между двумя состояниями системы, сопровождающийся излучением света. Рассмотрение любой системы с точки зрения квантовой механики приводит к тому, что у этой системы выделяются дискретные энергетические уровни и соответствующие им состояния. Другими словами стационарное состояние квантовой системы (в отличии от классической) не может быть вообще любым, а лишь одним из некоторого дискретного набора. Для описания громадного количества свойств квантовых объектов достаточно использовать двухуровневую систему (ДУС) - то есть рассматривать переходы системы только между двумя ее уровнями. В частности рассмотрим два уровня в ионе $\rm ^{41}Ca^+$. Чтобы различать их, назовем их $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. Разность энергий между ними соответствует энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Энергия фотона задается уравнением $\hbar \omega$, где $\hbar=1.05 \cdot 10^{-34}~\text{Дж}\cdot\text{с}$ - постоянная Планка, а $\omega = 2\pi c / \lambda$ - частота фотона. Скорость света $c=2.98 \cdot 10^8~\text{м}/\text{с}$, элементарный заряд $e=1.602 \cdot 10^{-19}~\text{Кл}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите разность энергий $\Delta E = E_{4^2P_{1/2}} - E_{4^2S_{1/2}}$ в электрон-вольтах между состояниями $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. Любая ДУС находится не в чистом вакууме, а в "бане" электромагнитного излучения, с которой она может обмениваться энергией. Это приводит к тому, что если ДУС находится не в состоянии с наименьшей энергией, то она с некоторой вероятностью излучает фотоны. В нашем случае это проявляется в том, что если ион $\rm ^{41}Ca^+$ находится в состоянии $4^2P_{1/2}$ то он с вероятностью в единицу времени $\Gamma = dP/dt$ самопроизвольно релаксирует в состояние $4^2S_{1/2}$ при этом испуская фотон с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Это явление и называется флюоресценцией."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы. Принцип неопределенности Гейзенберга состоит в том, что для любого квантового объекта существует принципиально непреодолимая неопределенность определения импульса $\sigma_p$ и неопределенность определения координаты $\sigma_x$, которые связаны выражением"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$. Поглощение ионом света и флюоресценция используются для уменьшения их кинетической энергии, то есть для охлаждения. Такой метод называется доплеровским охлаждением. Его идея заключается в том, что двигающийся ион поглощает свет не длины волны $\lambda$ а длины волны $\lambda + \delta \lambda$ из-за эффекта Доплера."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Пусть ион двигается со скоростью $v \ll c$ вдоль оси $x$. Вдоль этой же оси летит фотон с частотой $\omega + \delta \omega$. При каком значении $\delta \omega=\delta\omega_0$ энергия фотона в системе отсчета иона совпадает с разностью энергией $\hbar \omega$ между уровнями иона?"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": null}, "text": "Если интенсивность лазера равна $I$, а частота излучения $\omega$ то чему равен поток $\Phi=dN/dt$ фотонов через единицу площади? Если ион поглощает фотон, то ему передается импульс фотона $\hbar \omega/c$. При флюоресценции наоборот ион отдает импульс $\hbar \omega/c$ испущенному фотону. Но при этом импульс поглощаемых фотонов направлен в одну сторону, а импульс испущенных фотонов направлен в случайном направлении! Поэтому, освещая ион светом с частотой $\omega + \delta \omega$ мы действуем на него в среднем не нулевой силой."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": null}, "text": "Найдите среднее изменение импульса $\delta p$ иона после поглощения и испускания фотона с частотой $\omega + \delta \omega$, который летел в направлении оси $x$. Считайте, что $\delta \omega \ll \omega$ и скорость иона $v \ll c$. Для нахождения изменения импульса иона возможен и энергетический анализ, но он предполагает более тонкое изучение картины явления: большая часть энергии $\hbar \omega$ идет на изменение энергии конкретного электрона, и малая часть $\hbar \omega$ на изменение кинетической энергии всего иона. Оценить соотношение между этими величинами можно с помощью закона сохранения импульса. На самом деле спектр поглощения иона обладает некоторой шириной, то есть он поглощает фотоны не только с частотой (в системе отсчета иона) в точности равной частоте перехода $\omega$. Характер спектра поглощения напрямую связан с вероятностью в единицу времени $\Gamma $ самопроизвольного перехода. Если частота фотона (в системе отсчета иона) равна $\omega + \Delta \omega$, то вероятность поглощения задается выражением: \[ P = \frac{\Gamma^2}{\Delta \omega^2 + \Gamma^2}.\] Обратите внимание, что это не вероятность в единицу времени, а просто вероятность поглощения при пролете фотона через эффективную площадь сечения иона $\sigma$."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": null}, "text": "Оцените среднее время жизни возбужденного состояния иона $\tau_1'$, измеренное в его собственной системе отсчета. Выразите ответ через $\Gamma$."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": null}, "text": "Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$, запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$."}, {"balls": {"number": "A9", "exponent": null}, "text": "Какой знак должен быть у $\delta \omega$ чтобы ион охлаждался, т.е. его кинетическая энергия уменьшалась со временем? Охладив ион, мы можем приступать к изучению его взаимодействия с разными физическими объектами. При этом можно получать "изображение" иона. Как мы обсудили выше, ион взаимодействует со светом. При этом использовать свет охлаждающего лазера не удобно и обычно прибегают к другому методу. Добавим 3-ий уровень $3^2D_{3/2}$ в рассмотрение. Тогда ион из возбужденного состояния будет не только самопроизвольно релаксировать при переходах $4^2P_{1/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda = 397~\text{нм}$, но и самопроизвольно релаксировать путем $4^2P_{1/2} \to 3^2D_{3/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_1=866~\text{нм}$ и $3^2D_{3/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_2$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A10", "exponent": null}, "text": "Чему равно $\lambda_2$? Будем использовать флуоресцентный свет с длиной волны $\lambda_1$ для получения изображения иона. Для этого постав оптический фильтр непрозрачный для $\lambda$ и $\lambda_2$ и после него плоскую линзу диаметром $D$ и с фокусным расстоянием $f$ и за ней светочувствительную матрицу. Расстояние от плоскости линзы до иона равно $a$."}, {"balls": {"number": "A11", "exponent": null}, "text": "При каком расстоянии $b$ от плоскости линзы до светочувствительно матрицы на ней образуется наиболее четкое изображение иона? Оцените размер наиболее четкого изображения иона для линзы с $f=0.6~\text{мм}$, $D=0.2~\text{мм}$."}]} | [{"condition": "Найдите разность энергий $\Delta E = E_{4^2P_{1/2}} - E_{4^2S_{1/2}}$ в электрон-вольтах между состояниями $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. ", "solution": {"text": "Разность энергий равна энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$: \[\Delta E = \hbar \omega = \frac{2\pi \hbar c}{\lambda} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta E = \frac{2\pi \hbar c}{\lambda} = 3.12~\text{эВ}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[A =1.46\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$. ", "solution": {"text": "$$\sigma_p = m \sigma_{dx/dt} = m\omega \sigma_{dx/d\xi}/2 = m\omega \sigma_x/2A $$Поэтому\[ \sigma_x = \sqrt{\frac{A \hbar}{\omega m}} = 4.9~\text{Å} \ll \lambda \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \sigma_x = \sqrt{\frac{A \hbar}{ \omega m}} = 4.9~\text{Å} \ll \lambda \]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть ион двигается со скоростью $v \ll c$ вдоль оси $x$. Вдоль этой же оси летит фотон с частотой $\omega + \delta \omega$. При каком значении $\delta \omega=\delta\omega_0$ энергия фотона в системе отсчета иона совпадает с разностью энергией $\hbar \omega$ между уровнями иона? ", "solution": {"text": "Энергия фотона в лабораторной СО равна $E_p=\hbar(\omega + \delta \omega)$, а проекция импульса на ось $x$ равна $p_{p x} = \hbar(\omega + \delta \omega) /c$. Запишем преобразования Лоренца, чтобы найти энергию фотона в СО иона $E_p'$:$$ E_p' = \gamma (E_p - \beta p_{px}c) =\gamma \hbar (\omega + \delta \omega_0)(1-\beta)= \hbar (\omega + \delta \omega_0) \sqrt{\cfrac{1-\beta}{1+\beta}}$$Здесь $\beta = v/c$. С другой стороны энергия фотона в СО иона совпадает совпадает с энергией перехода между энергетическими уровнями: $E_p' = \hbar \omega$. Отсюда находим точное решение для $\delta \omega_0$:$$ \delta \omega_0 = \omega \Bigg( \sqrt{\cfrac{1+\beta}{1-\beta}} - 1 \Bigg) $$Используя приближение $\beta = v/c \ll 1$ получаем:\[ \delta \omega_0 \approx \omega \frac{v}{c} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \delta \omega_0 = \omega \frac{v}{c} \]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Если интенсивность лазера равна $I$, а частота излучения $\omega$ то чему равен поток $\Phi=dN/dt$ фотонов через единицу площади? ", "solution": {"text": "$I = \hbar \omega \Phi$, поэтому $\Phi = \cfrac{I}{\hbar \omega}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \Phi = \frac{I}{\hbar \omega}\]"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднее изменение импульса $\delta p$ иона после поглощения и испускания фотона с частотой $\omega + \delta \omega$, который летел в направлении оси $x$. Считайте, что $\delta \omega \ll \omega$ и скорость иона $v \ll c$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим излучение фотона ионом в его собственной системе отсчета. Обозначим угол между импульсом испущенного фотона в СО иона и положительным направлением оси $x$ за $\theta$. Так как в этой СО все направления излучения равновероятны, вероятность того, что угол $\theta$ будет находиться в интервале $[\theta, \theta + d\theta]$ пропорциональна телесному углу и равна $dw = \cfrac{2\pi \sin \theta d \theta }{4 \pi} = \sin \theta d \theta/2$.Найдем проекцию импульса испущенного фотона на ось $x$ в лабораторной СО, используя преобразования Лоренца:\[ p_{2x} = \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \]Посчитаем среднее значение $p_{2x}$:\[ \overline p_{2x} = \int_0^\pi \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \cdot \cfrac{\sin \theta d \theta}{2} = \cfrac{\gamma \beta \hbar \omega}{c} \]Проекция изменения импульса иона на ось $x$ равна разности проекций импульсов поглощенного и испущенного ионов:\[ \delta p_x = \cfrac{\hbar (\omega + \delta \omega)}{c} - \overline p_{2x} = \cfrac{\hbar \omega}{c} \Big( 1+ \cfrac{\delta \omega}{\omega} - \cfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \Big) \]С учетом приближения $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$:\[ \delta p_x \approx \frac{\hbar \omega}{c}\]Усредненные проекции импульса испущенного фотона в лабораторной СО на оси $y$ и $z$ равны 0, поэтому $\delta p = \delta p_x$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \delta p = \frac{\hbar \omega}{c}\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените среднее время жизни возбужденного состояния иона $\tau_1'$, измеренное в его собственной системе отсчета. Выразите ответ через $\Gamma$. ", "solution": {"text": "Для ответа сгодится оценка $\tau_1'=1/\Gamma$, однако можно найти и точное значение. Будем считать, ион перешел в возбужденное состояние в момент $t'=0$.Обозначим вероятность нахождения иона в возбужденном состоянии к момент $t'$ за $P_1(t')$. Мы, что знаем вероятность испускания фотона в промежутке $t'\in[t';t'+dt']$ (при условии, что фотон не был испущен ранее $t'$) равна $\Gamma dt'$, поэтому$$P_1(t'+dt') = P(t')(1-\Gamma dt')$$Отсюда получаем дифференциальное уравнение на $P_1$:$$ \cfrac{dP_1}{P_1} = - \Gamma dt' $$С учетом начального условия $P_1(0) = 1$, находим:$$ P_1(t') = \exp(-\Gamma t') $$Выразим $\tau_1'$:$$ \tau_1' = \int_0^{+\infty} t' \cdot \Gamma \exp(-\Gamma t') dt' = \cfrac{1}{\Gamma} $$ $$ \tau_1' = \cfrac{1}{\Gamma} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A7", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$, запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$. ", "solution": {"text": "Найдем среднее время между испусканием и поглощением фотона в СО иона $\tau_2'$ В системе отсчета иона $\Phi' = \gamma \Phi$, а энергия налетающего фотона равна $\gamma \hbar (\omega + \delta \omega)(1-\beta) = \hbar(\omega + \Delta \omega)$. Среднее время жизни невозбуженного состояния определяется как: $$\tau_2' = \cfrac{1}{P\Phi' \sigma} = \cfrac{( \gamma(1-\beta)(\omega + \delta \omega) -\omega)^2 + \Gamma^2}{\Gamma^2 \gamma \Phi \sigma}$$ Запишем выражение для среднего времени между испусканием и поглощением в лабораторной СО с учетом приближений $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$: $$ \tau_2 = \gamma \tau_2' \approx \cfrac{\Gamma^2 + (\delta \omega - \beta \omega)^2}{\Gamma^2 \Phi \sigma} $$ По условию $\Gamma \gg \Phi \sigma$, поэтому сила действующая на ион равна: $$ F_x \approx \cfrac{\delta p_x}{\tau_2} = \frac{I\sigma}{c} \frac{\Gamma^2}{\left(\delta \omega - \omega \frac{v}{c}\right)^2 + \Gamma^2 } $$ Теперь выделим переменную и постоянные составляющие силы: $$ F \simeq \frac{I\sigma}{c} + \frac{I\sigma}{c^2} \frac{2 \Gamma^2 \delta \omega \, \omega v }{(\delta \omega^2 + \Gamma^2)^2} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F = \frac{I\sigma}{c} \frac{\Gamma^2}{\left(\delta \omega - \omega \frac{v}{c}\right)^2 + \Gamma^2 } \simeq \frac{I\sigma}{c} + \frac{I\sigma}{c^2} \frac{2 \Gamma^2 \delta \omega \, \omega v }{(\delta \omega^2 + \Gamma^2)^2}\]"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какой знак должен быть у $\delta \omega$ чтобы ион охлаждался, т.е. его кинетическая энергия уменьшалась со временем? ", "solution": {"text": "При охлаждении импульс иона должен уменьшаться, поэтому $\delta \omega < 0$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta \omega < 0\]"]}, "number_part": "A9", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему равно $\lambda_2$? ", "solution": {"text": "Запишем разницу энергий уровней $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$ двумя способами:$$ \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda} = \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_1} + \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_2} $$Откуда:\[\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda}{\lambda_1 - \lambda}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda}{\lambda_1 - \lambda}=733~\text{нм}\]"]}, "number_part": "A10", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При каком расстоянии $b$ от плоскости линзы до светочувствительно матрицы на ней образуется наиболее четкое изображение иона? Оцените размер наиболее четкого изображения иона для линзы с $f=0.6~\text{мм}$, $D=0.2~\text{мм}$. ", "solution": {"text": "Из формулы тонкой линзы получим $b$:$$ \cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b} = \cfrac{1}{f}, $$$$b = \frac{af}{a-f} $$Размер пятная ограничен снизу дифракционным пределом:$$ s = \cfrac{1.22 \lambda f}{D} = 3.1\: мкм$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[b = \frac{af}{a-f}, \quad s=\frac{1.22 \lambda f}{D} = 3.1~\text{мкм}\]"]}, "number_part": "A11", "exponent_part": "??"}] | ["T"] |
|
{"text": [{"balls": {"number": "a", "exponent": null}, "text": "Тонкий, прочный, но гибкий стальной канат установлен горизонтально над широкой улицей и сильно натянут. Акробат медленно движется по натянутому канату. Когда он достигает четверти пути (точка $Q$ на рисунке), ближайшая точка трисекции каната $T$ (точка, находящаяся на трети пути) сместилась на $5~см$ от своего изначального положения. На сколько будет смещена точка $Q$, когда акробат достигнет точки $T$? <img_0>"}, {"balls": {"number": "b", "exponent": null}, "text": "Можно ли обобщить полученный результат на произвольные точки $Q$ и $T$? Считать, что масса каната пренебрежимо мала, что его смещения всегда очень малы по сравнению с её длиной и что его натяжение можно считать постоянным."}]} | [{"condition": "Тонкий, прочный, но гибкий стальной канат установлен горизонтально над широкой улицей и сильно натянут. Акробат медленно движется по натянутому канату. Когда он достигает четверти пути (точка $Q$ на рисунке), ближайшая точка трисекции каната $T$ (точка, находящаяся на трети пути) сместилась на $5~см$ от своего изначального положения. На сколько будет смещена точка $Q$, когда акробат достигнет точки $T$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "a", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Можно ли обобщить полученный результат на произвольные точки $Q$ и $T$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для произвольных точек $Q$ и $T$ смещения будут равны."]}, "number_part": "b", "exponent_part": "??"}] | ["T", "★", "Механика", "Статика", "200 задач", "Канат"] |
|
{"text": [{"text": "Тонкостенная диэлектрическая полусфера, заряженная отрицательным зарядом с поверхностной плотностью $-\sigma$, находится на горизонтальном столе. На ее вершину аккуратно кладут точечный шарик массой $m$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите минимальный положительный заряд $Q$ этого шарика, при котором он все еще находится в состоянии устойчивого равновесия на вершине полусферы. Заряды между полусферой и шариком не перераспределяются. Ускорение свободного падения равно $g$."}]} | [{"condition": "Определите минимальный положительный заряд $Q$ этого шарика, при котором он все еще находится в состоянии устойчивого равновесия на вершине полусферы. ", "solution": {"text": "Для изучения вопроса об устойчивости положения равновесия рассмотрим ситуацию, в которой шарик отклонился от верхнего положения на очень маленький угол $d\alpha$ и определим действующие на него силы.Первая сила является электростатической, но для изучения равновесия нам нужна только ее составляющая, направленная по касательной к поверхности полусферы. Идея ее вычисления основана на том, что в проекции на радиальное направление электростатические силы будут скомпенсированы от двух, симметричных относительно нового положения шарика, областей полусферы $I$ и $II$, так что не скомпенсированной останется сила со стороны дольки полусферы $AB$, отсекаемой наклонной плоскостью, проходящей под углом $2d\alpha$. На левом рисунке ниже показано соответствующее сечение в вертикальной плоскости. <img_1> Рассмотрим часть дольки сферы (смотрите правый рисунок выше, на котором показан вид сверху), дополнительно отсекаемой углами $\beta$ и $\beta+d\beta$, так что ее площадь составляет$$dS=2R\cos\beta Rd\beta d\alpha, \tag{1}$$а электрический заряд равен$$dq=-\sigma dS. \tag{2}$$В декартовой системе координат, начало которой совпадает с вершиной полусферы, а ось $z$ направлена вертикально вниз, радиус-вектор, направленный из точки нахождения частицы в выделенную часть дольки сферы, определяется координатами$$\vec{r}=(R\cos\beta,R\sin\beta,R), \tag{3}$$а значит вектор искомой силы равен$$\vec{F}=-\frac{Qdq}{4\pi \varepsilon_0 r^3}\vec{r}. \tag{4}$$Эта сила имеет следующую проекцию на тангенциальное направление$$F_Q=\frac{Qdq}{4\pi\varepsilon_0(\sqrt{2}R)^3}R\cos\beta. \tag{5}$$поэтому интегрирование по $\beta$ от $-\pi/2$ до $\pi/2$ дает полную по модулю силу от всей дольки в виде$$F_Q=\frac{Q\sigma}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0}d\alpha. \tag{6}$$Вторая сила, действующая на шарик, является силой тяжести, проекция которой на тангенциальное направление составляет $$F_g=mgd\alpha. \tag{7}$$Минимальный заряд шарика определяется равенством сил $$F_g=F_Q, \tag{8}$$которое приводит к окончательному ответу$$Q=\frac{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 mg}{\sigma}. \tag{9}$$Очевидно, что при больших зарядах положение равновесия будет устойчивым."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=\frac{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 mg}{\sigma}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В настоящее время мощность всех источников энергии на Земле, используемых человечеством, составляет $\Delta P=10^{13}~Вт$, а мощность солнечной энергии, поступающей на Землю — $P_0=10^{17}~Вт$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводят земные источники энергии?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Какова максимально допустимая величина $\Delta P_{max}$, если предельный перегрев (из экологических соображений) не должен превышать величины $\Delta T_{max}=0.1~К$? Известно, что энергия, излучаемая в единицу времени нагретым телом, увеличивается в $16$ при повышении абсолютной температуры в $2$ раза."}]} | [{"condition": "К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводят земные источники энергии? ", "solution": {"text": "$16=2^4\Rightarrow $ можно заключить из условия, что $P\sim T^4$, т.е. $P=\alpha T^4$.При нормальной температуре поверхности Земли $T_0$ выполняется $P_0=\alpha T_0^4.$Если человечество дополнительно использует источники энергии мощностью $\Delta P$, то поверхность Земли уже получает энергию суммарной мощности $P_0+\Delta P.$$\alpha\left(T_0+\Delta T\right)^4=P_0+\Delta P$.$\Delta P>0$ приводит к перегреву земной поверхности на температуру $\Delta T$.$\Delta P \ll P_0 \Rightarrow \Delta T \ll T_0$ и $\left(T_0+\Delta T\right)^4 \simeq T_0^4+4 \Delta T \cdot T_0^3$.Имеем $\alpha\left(T_0^4+4 \Delta T T_0^3\right)=P_0+\Delta P .$Поэтому $$4\Delta T T_0^3 \cdot \alpha=\Delta P \\\Delta T=\frac{\Delta P}{4 T_0^3 \cdot \alpha}$$$\alpha$ получим из $P_0=\alpha T_0^4$; $\alpha=\frac{P_0}{T_0^4}.$Тогда $\Delta T=\frac{\Delta P T_0}{4 P_0}=7 \cdot 10^{-3}~К$где $T_0\approx285~К.$$$\Delta P_{\max }=\frac{4 P_0}{T_0} \Delta T_{\max } \approx 1.4 \cdot 10^{14}~Вт.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta T=7 \cdot 10^{-3}~К$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какова максимально допустимая величина $\Delta P_{max}$, если предельный перегрев (из экологических соображений) не должен превышать величины $\Delta T_{max}=0.1~К$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta P_{\max }\approx 1.4 \cdot 10^{14}~Вт.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}] | ["T", "Термодинамика", "Излучение", "Всероссийские", "Мощность", "Температура"] |
|
{"text": [{"text": "Одно колено высокой симметричной $U$-образной трубки, имеющей площадь поперечного сечения $S$, открыто в атмосферу, а второе - наглухо закрыто. Трубка заполнена жидкостью плотностью $\rho$, причём в открытом колене уровень жидкости доходит до краёв, а в закрытом - на $h$ ниже из-за оставшегося под крышкой воздуха (см. рисунок). Трубку нагревают от начальной комнатной температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ кипения жидкости при атмосферном давлении $P_{0}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите объём $\Delta V$ жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. Испарением жидкости из открытого колена в процессе нагревания и давлением насыщенных паров жидкости при комнатной температуре можно пренебречь."}]} | [{"condition": "Найдите объём $\Delta V$ жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. ", "solution": {"text": "Пусть $H$ - разность уровней жидкости в коленах в момент закипания (см. рисунок), тогда давления газа в закрытом колене в начальном и конечном состояниях имеют соответственно вид: $$ P_{1}=P_{0}+\rho g h, \quad P_{2}=P_{0}+\rho g H . $$ <img_1> С другой стороны, давление газа в закрытом колене равно сумме парциальных давлений $P_{v}$ воздуха и $P_{n}$ насыщенных паров жидкости: $$ P_{1}=P_{v 1}+P_{n 1} \approx P_{v 1}, \quad P_{2}=P_{v 2}+P_{n 2}=P_{v 2}+ P_{0}. $$ Каждое из парциальных давлений растёт с ростом температуры, что и приводит к выталкиванию жидкости из открытого колена. Из уравнения Менделеева-Клапейрона для воздуха в закрытом колене $$ \frac{P_{v 1} \cdot S h}{T_{1}}=\frac{P_{v 2} \cdot S H}{T_{2}}, $$ находим $$ P_{v 2}=\frac{h T_{2}}{H T_{1}} P_{v 1} \approx \frac{h T_{2}}{H T_{1}}\left(P_{0}+\rho g h\right). $$ Приравнивая $P_{2}$ из первых двух равенств и подставляя $P_{v 2}$ из последнего, получим $$ P_{0}+\rho g H=\frac{h T_{2}}{H T_{1}}\left(P_{0}+\rho g h\right)+P_{0}, $$ откуда $$ H=h \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)} . $$ Объём вытесненной жидкости $$ \Delta V=S(H-h)=S h\left(\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)}-1\right). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta V=S(H-h)=S h\left(\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)}-1\right) $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Сообщающиеся сосуды", "Всероссийские", "Гидростатика", "Насыщенный пар"] |
|
{"text": [{"text": "Паровая машина состоит из вертикального цилиндрического сосуда, в котором может двигаться без трения поршень. В сосуде находится вода, внутри которой расположен электрический нагреватель. Цикл паровой машины состоит из $4$ этапов, показанных на рисунке:$1.$ На поршне находится груз, включают нагреватель, вода кипит, пар поднимает поршень с грузом.$2.$ После того, как поршень поднялся на некоторую высоту, груз быстро снимают и выключают нагреватель.$3.$ Пар под поршнем остывает и конденсируется, поршень медленно опускается.$4.$ После того как поршень опустился на определенную высоту, на него снова кладут груз. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Постройте на диаграмме $(P, V)$ схематически цикл данной машины и найдите ее КПД. Атмосферное давление $P_0=1.0\cdot 10^5~Па$, масса поршня $M=2.0~кг$, его площадь $S=10~см^2$, масса груза $m=1.0~кг$. Ускорение свободного падения $g=9.8~м/с^2$. Считайте, что под поршнем находится только водяной пар. Зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры в рассматриваемом диапазоне описывается функцией $P=at−b$, где $a=4.85~кПа/К$, $b=384~кПа$, $t$ — температура в градусах Цельсия."}]} | [{"condition": "Постройте на диаграмме $(P, V)$ схематически цикл данной машины и найдите ее КПД. ", "solution": {"text": "Кипение на первом этапе происходит при постоянном давлении, следовательно, при постоянной температуре. Аналогично, на третьем этапе конденсация происходит при постоянных давлении и температуре. Второй и четвертый этапы можно считать адиабатическими. Цикл паровой машины показан на рисунке. <img_1> Так как этот цикл состоит из двух изотерм и двух адиабат, то этот цикл является циклом Карно. Поэтому его КПД рассчитывается по формуле$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}, \tag{1}$$где $T_1$ — температура кипения на первом этапе, $T_2$ — температура конденсации на третьем этапе цикла.Температуры могут быть найдены из приведенной в условии зависимости давления насыщенного пара от температуры.Первый этап цикла происходит при постоянном давлении $$P_1=P_0+\frac{(M+m)g}{S}\approx 1.3\cdot 10^5~Па. \tag{2}$$Температура пара есть температура кипения и равна$$t_1=\frac{P_1+b}{a}=\frac{130+384}{4.85}\approx 106^{\circ}\mathrm{C}=379~К. \tag{3}$$Разность температур в формуле $(1)$ удобно вычислить по формуле$$T_1-T_2=\frac{P_1-P_2}{a}=\frac{mg}{Sa}=\frac{20}{4.85}\approx 4.2~К. \tag{4}$$Таким образом, КПД машины равен $\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}=\frac{4.2}{379}=1.1\%$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}=1.1\%.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Электрический нагреватель воды состоит из двух коаксиальных хорошо проводящих цилиндров длиной $L$. Радиус внутреннего цилиндра равен $r$, расстояние между цилиндрами значительно меньше радиусов цилиндров и равно $h$. Цилиндры подключены к источнику постоянного напряжения $U_{0}$. Между цилиндрами медленно протекает вода, которая нагревается благодаря протекающему через нее электрическому току. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1B", "exponent": "3,00"}, "text": "Рассчитайте, с какой скоростью должна течь вода, чтобы ее температура повысилась на $\Delta t$ градусов. Характеристики воды: плотность $\gamma$, удельное электрическое сопротивление $\rho$, удельная теплоемкость $c$. Теплоемкостями цилиндров и потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь."}]} | [{"condition": "Рассчитайте, с какой скоростью должна течь вода, чтобы ее температура повысилась на $\Delta t$ градусов. ", "solution": {"text": "Выделим тонкий слой воды толщиной $z$, перпендикулярный оси системы. Этот слой воды пройдет через нагреватель за время $\tau-\frac{L}{v}$, где $v$ — искомая скорость течения. Вода будет нагреваться за счет теплоты, выделяющейся при прохождении электрического тока. Это количество теплоты определяется по закону Джоуля–Ленца$$Q=\frac{U^{2}}{R}\tau. \ (1)$$Здесь $R$ — электрическое сопротивление выделенного слоя воды. Учитывая, что электрический ток протекает перпендикулярно поверхностям цилиндров, это сопротивление равно$$R=\rho\frac{h}{2\pi rz}. \ (2)$$ <img_1> Вся выделяющая в слое теплота идет на ее нагревание, поэтому может быть определена по формуле $Q=cm\Delta t$. Масса выделенного слоя равна $m=V \gamma =2\pi rzh\gamma$. Уравнение теплового баланса имеет вид $$\frac{U^{2}}{\rho\frac{h}{2\pi rz}}\frac{L}{v}=c\cdot 2\pi rzh\gamma\cdot \Delta t. \ (3)$$Из этого уравнения находим$$v=\frac{U^{2} L}{\rho h^{2}c\gamma \Delta t}. \ (4)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\frac{U^{2} L}{\rho h^{2}c\gamma \Delta t}. $$"]}, "number_part": "1B", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Изображённая на рисунке схема состоит из конденсатора ёмкостью $C=100~мкФ$, идеального диода, источника постоянного напряжения $U=10.0~В$, трёх одинаковых резисторов сопротивлением $R=10.0~кОм$ и ключа. В начальный момент конденсатор не заряжен, ключ разомкнут. После замыкания ключа ток через диод идёт в течение времени $\tau=462~мс$, а затем прекращается. <img_0>"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите ток через диод сразу после замыкания ключа."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "3,40"}, "text": "Найдите полный заряд, протекший через диод."}]} | [{"condition": "Найдите ток через диод сразу после замыкания ключа. ", "solution": {"text": "<img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I_0=\frac{U}{R}=1~мА.$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите полный заряд, протекший через диод. ", "solution": {"text": "В момент, когда ток через диод станет нулевым, токи через первый и второй резисторы будут одинаковы, поэтому будут одинаковы и напряжения на них: $U_1=U_2=U/2$. Такое же напряжение будет на конденсаторе и его заряд в этот момент: $$Q = \frac{CU}{2}. \tag{2}$$Правила Кирхгофа дают:$$q_1 = q + q_2, \tag{3}$$$$q_3 + q = Q. \tag{4}$$$$I_1R = I_3R,$$ и, следовательно,$$q_1 = q_3, \tag{5}$$$$U = I_1R + I_2R. \tag{6}$$Интегрируя последнее уравнение по времени от $0$ до $\tau$, получим:$$U\tau = q_1R + q_2R. \tag{7}$$Решая систему уравнений $(2)-(6)$, получаем ответ:$$q=\frac{1}{3}CU\left(1-\frac{\tau}{RC}\right)= 179~мкКл. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q=\frac{1}{3}CU\left(1-\frac{\tau}{RC}\right)= 179~мкКл.$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "3,40"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "Тело представляет собой куб, в котором вырезана сферическая полость радиуса $R$. Внутри сферической полости в нижней точке покоится шайба, геометрическими размерами которой можно пренебречь. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,50"}, "text": "Найдите минимальную горизонтальную скорость (при всех возможных отношениях масс куба и шайбы), которую необходимо сообщить шайбе, чтобы в процессе движения куб оторвался от поверхности стола. Трение в системе полностью отсутствует. При каком отношении масс куба и шайбы $M/m$ достигается минимальное значение скорости шайбы?"}]} | [{"condition": "Найдите минимальную горизонтальную скорость (при всех возможных отношениях масс куба и шайбы), которую необходимо сообщить шайбе, чтобы в процессе движения куб оторвался от поверхности стола. Трение в системе полностью отсутствует. При каком отношении масс куба и шайбы $M/m$ достигается минимальное значение скорости шайбы? ", "solution": {"text": "<img_1> В мгновенной системе отсчета, связанной с кубом, шайба движется со скоростью $w$ по окружности радиуса $R$ и уравнение ее движения в проекции на радиальное направление имеет вид$$N+mg=\frac{mw^2}{R}. \tag{3}$$Очевидно, что условие отрыва куба от плоскости стола в соответствие с третьим законом Ньютона имеет вид$$N=Mg. \tag{4}$$Решая совместно систему уравнений $(1)-(4)$, находим скорость шайбы $$v=\sqrt{gR}\sqrt{5+\frac{M}{m}+4\frac{m}{M}}. \tag{5}$$Из выражения $(5)$ путем дифференцирования по $M/m$ следует, что минимальная горизонтальная скорость достигается при$$M/m=2$$и равна$$v_{\min}=3\sqrt{gR}. \tag{7}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\sqrt{gR}\sqrt{5+\frac{M}{m}+4\frac{m}{M}}. $$Минимальная горизонтальная скорость достигается при $M/m=2$ и равна$$v_{\min}=3\sqrt{gR}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,50"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
|
{"text": [{"text": "В цилиндрическом сосуде объёма $2 V_{0}$ под тяжёлым поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T_{0}$ и давлении $P_{0} / 2$, занимающий объём $V_{0}$ (см. рисунок). <img_0> Над поршнем вакуум. Внизу в сосуде имеется небольшое отверстие, перекрытое краном. Снаружи пространство заполнено тем же газом при давлении $P_{0}$ и температуре $T_{0}$. Сосуд теплоизолирован. Кран приоткрывают так, что поршень медленно поднимается вверх, После того, как давление внутри и снаружи выравнивается, кран закрывают."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите температуру газа после закрытия крана."}]} | [{"condition": "Определите температуру газа после закрытия крана. ", "solution": {"text": "Пусть при заполнении сосуда газом снаружи в сосуд перешёл газ, ранее занимавший объём $V$ (см. рисунок). <img_1> Внешнее давление при «продавливании» внутрь этого объёма совершает работу $A_{внеш}=P_{0} V$. Закон сохранения энергии для системы газ в сосуде $+$ «внешний» газ объёма $V+$ поршень выглядит так: $$ U_{1}+U_{2}+A_{внеш}=U+\Delta E_{п}, \quad (1) $$ где $U_{1}$ — внутренняя энергия исходного газа в сосуде, $U_{2}$ — энергия «внешнего» газа из объёма $V$, $U$ — энергия газа в сосуде после заполнения, $E_{п}$ — изменение потенциальной энергии поршня. $$ \begin{gathered} U_{1}=\frac{3}{2} \frac{P_{0}}{2} V_{0} ; \quad U_{2}=\frac{3}{2} P_{0} V ; \quad U=\frac{3}{2} P_{0} 2 V_{0}, \quad (2) \\ \Delta E_{п}=m g \Delta h=\frac{P_{0}}{2} S \Delta h=\frac{P_{0}}{2} V_{0}. \quad (3) \end{gathered} $$ Подставляя $(2)$ и $(3)$ в уравнение $(1)$, после преобразований получим: $$ \begin{gathered} \frac{5}{2} P_{0} V=\frac{11}{4} P_{0} V_{0}, \quad (4) \\ V=\frac{11}{10} V_{0}. \quad (5) \end{gathered} $$ Исходное число молей газа в сосуде $$ \nu_{1}=\frac{P_{0} V_{0}}{2 R T_{0}}, $$ число молей «внешнего» газа в сосуде $$ \nu_{2}=\frac{11}{10} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}. $$ Полное число молей $$ \nu=\nu_{1}+\nu_{2}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}. $$ Из уравнения состояния: $$ \frac{P_{0} \cdot 2 V_{0}}{R T}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}, \quad (6) $$ откуда получаем ответ: $$ T=\frac{5}{4} T_{0}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=\frac{5}{4} T_{0}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}] | ["T", "Термодинамика", "Всероссийские", "Неравновесный процесс"] |
|
{"text": [{"text": "На рисунке показана схема моста переменного тока. <img_0> Сопротивление $R_{1} = 2.5~кОм$, индуктивность $L =1~Гн$, сопротивление катушки индуктивности $r_{L} =1~Ом$. На частоте переменного синусоидального напряжения $\nu=100~Гц$ баланс моста наступает при $R_{2} =800~Ом$. Оказалось, что при увеличении частоты переменного тока в два раза баланс моста не нарушается."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите сопротивление утечки $r_{C}$ конденсатора и его емкость $C$."}]} | [{"condition": "Найдите сопротивление утечки $r_{C}$ конденсатора и его емкость $C$. ", "solution": {"text": "Эквивалентная схема моста показана на рисунке ниже, на котором учтено, что эквивалентная схема неидеальной индуктивности — это последовательно соединенные идеальная катушка $L$ и резистор $r_{L}$; эквивалентная схема конденсатора с утечкой — это резистор $r_{C}$ параллельно подсоединённый к идеальному конденсатору $C$. <img_1> Решение 1. Условие баланса моста в комплексных числах записывается в виде $$Z_{L}Z_{C}=R_{1}R_{2},$$ где импедансы равны соответственно $$Z_{L}=r_{L}+i\omega L$$ и $$Z_{C}=\frac{r_{C}}{1+i\omega Cr_{C}}$$ После преобразований из выражений выше получаем: $$i\omega(L-R_{1}R_{2}C)=r_{L}-\frac{R_{1}R_{2}}{r_{C}}.$$ При изменении частоты это равенство не нарушается, если обе части уравнения равны нулю, поэтому $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$ Решение 2. Пусть напряжение на конденсаторе равно $$U_{C}=U_{0}\cos\omega t,$$ тогда через него протекает ток $$I_{C}=-CU_{0}\omega\sin\omega t,$$ а ток через его сопротивление утечки составляет $$I_{r_{C}}=\frac{U_{0}\cos\omega t}{r_{C}}.$$ Полный ток через плечо, содержащее конденсатор, равен $$I_{1}=I_{C}+I_{r_{C}},$$ а так как мост сбалансирован, то такой же ток идёт через сопротивление $R_1$, поэтому $$U_{R_{1}}=I_{1}R_{1}.$$ С другой стороны, это напряжение равно падению напряжения на плече с индуктивностью $$U_{L}=U_{R_{1}},$$ для которой падение напряжения определяется выражением $$U_{L}=L\frac{dI_{2}}{dt}+I_{2}r_{L},$$ в котором ток определяется уравнением баланса $$I_{2}=I_{R_{2}}=\frac{U_{C}}{R_{2}},$$ так как $$U_{R_{2}}=U_{C}.$$ Собирая совместно уравнения выше, получаем $$\left(-\frac{\omega L}{R_{2}}+C\omega R_{1}\right)U_{0}\sin \omega t=\left(\frac{R_{1}}{r_{C}}-\frac{r_{L}}{R_{2}}\right)U_{0}\cos\omega t.$$ Из этого равенства видно, что условие баланса, независящего от частоты, выполняется, если обе части уравнения равны нулю, то есть получаем ответ $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}] | ["T", "Жаутыковские"] |
End of preview. Expand
in Dataset Viewer.
The First Multimodal Chain of Thoughts Dataset for Physics Problems
Dataset Overview
This dataset consists of a diverse collection of physics problems, categorized into different domains:
- 1000 problems on Kinematics
- 600 problems on Electricity and Circuits
- 500 problems on Thermodynamics
Data Sources
All data has been extracted from open sources, ensuring a wide variety of problem types and difficulty levels.
Structure
Each problem is designed to test and enhance problem-solving skills in physics, making use of multimodal inputs for a comprehensive understanding.
This dataset is suitable for educational purposes, research in multimodal AI, and the development of advanced problem-solving models.
Первый Мультимодальный Chain of Thoughts Датасет для Задач по Физике
Обзор Датасета
Этот датасет содержит разнообразную коллекцию задач по физике, распределённых по различным областям:
- 1000 задач по кинематике
- 600 задач на электричество и цепи
- 500 задач по термодинамике
Источники Данных
Все данные были извлечены из открытых источников, что обеспечивает широкий спектр типов задач и уровней сложности.
Структура
Каждая задача предназначена для проверки и улучшения навыков решения задач по физике, используя мультимодальные входные данные для всестороннего понимания.
Этот датасет подходит для образовательных целей, исследований в области мультимодального ИИ, а также для разработки продвинутых моделей решения задач.
Cite: @dataset{, title={Physics Big}, author={Zaharov Timur and Konstantin Korolev and Aleksandr Nikolich}, year={2024}, url={https://huggingface.co/datasets/Vikhrmodels/physics_big} }
- Downloads last month
- 45