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(Ein Argument ist die Behauptung, dass aus einigen Aussagen – den Prämissen – eine bestimmte Aussage – die Konklusion – folgt.)

Eine "Formel" der aussagenlogischen Sprache heißt genau dann semantisch gültig, wenn die Formel unter allen Interpretationen – d. h. unter allen Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den in ihr vorkommenden Atomen – wahr ist; wenn sie sozusagen allgemeingültig ist; mit anderen Worten: Wenn die Wahrheitstabelle für diese Aussage in jeder Zeile das Ergebnis "wahr" zeigt.

Man nennt semantisch gültige Formeln auch Tautologien und schreibt, wenn formula_101 eine Tautologie ist, formal wie folgt: Ein "Argument" heißt genau dann semantisch gültig, wenn unter der Voraussetzung, dass alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion wahr ist.

In der Formulierung von Gottfried Wilhelm Leibniz: "Aus Wahrem folgt nur Wahres."

Diese Definition muss natürlich ebenfalls formal gefasst werden, und das geschieht wie folgt: Ein Argument ist genau dann semantisch gültig, wenn alle Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den in Prämissen und Konklusion vorkommenden Atomen, unter denen die Bewertungsfunktion für alle Prämissen den Wert "wahr" liefert, auch für die Konklusion den Wert "wahr" liefert.

Um auszudrücken, dass aus einer Menge formula_103 von Formeln (der Prämissenmenge) eine Formel formula_101 (die Konklusion) semantisch folgt, schreibt man formal wie folgt: Beachte die graphische Ähnlichkeit und die inhaltliche Verschiedenheit zwischen formula_98 (Kapitel „Herleitung und Beweis“) und formula_105 ("Siehe:" Semantische Folgerung): Die erste Formulierung – formula_98 – drückt die "syntaktische" Gültigkeit des Arguments aus, sagt also, dass aus den Formeln in formula_103 mit den Schlussregeln des gewählten Kalküls die Formel formula_101 "hergeleitet" werden kann.

formula_105 hingegen behauptet die "semantische" Gültigkeit, die in der klassischen Aussagenlogik wie in den vorangegangenen Absätzen als das Leibniz’sche "Aus Wahrem folgt nur Wahres" definiert ist.

Wichtige semantische Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit.

Neben der Eigenschaft der Gültigkeit (Allgemeingültigkeit) gibt es einige andere wichtige Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit.

Im Gegensatz zur Gültigkeit, die Eigenschaft von Formeln oder von Argumenten sein kann, sind Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit Eigenschaften von Sätzen oder von Satzmengen.

Die Frage, ob eine Formel (oder eine Formelmenge) eine der genannten Eigenschaften hat, ist ebenso wie die Frage, ob eine Formel allgemeingültig, d. h. eine Tautologie ist, für allgemeine Formeln nicht effizient lösbar: Zwar ist die Wahrheitstafel ein Entscheidungsverfahren für jede dieser Fragen, doch umfasst eine Wahrheitstafel für eine Aussage bzw. eine Aussagemenge in n Atomen formula_112 Zeilen; das Wahrheitstafelverfahren ist nichts anderes als ein Brute-Force-Verfahren.

Jede dieser Fragestellungen kann auf die Frage zurückgeführt werden, ob eine bestimmte Formel erfüllbar ist: Die Frage, ob eine Aussage erfüllbar ist, wird Erfüllbarkeitsproblem oder "SAT-Problem" (nach dem englischen Wort für Erfüllbarkeit, "satisfiability") genannt.

Das SAT-Problem spielt eine wichtige Rolle in der theoretischen Informatik und Komplexitätstheorie.

Das Erfüllbarkeitsproblem für allgemeine (beliebige) Formeln ist NP-vollständig, d. h. (unter der Voraussetzung, dass P ungleich NP) nicht in polynomialer Laufzeit lösbar.

Für bestimmte echte Teilmengen der Formeln der aussagenlogischen Sprache ist das SAT-Problem dennoch schneller, d. h. in polynomial beschränkter Rechenzeit lösbar.

Eine solche Teilmenge sind die Horn-Formeln, das sind Konjunktionen von Disjunktionen, deren Disjunkte verneinte oder unverneinte Atome sind, wobei innerhalb einer solchen Disjunktion allerdings höchstens ein Atom unverneint sein darf.

Algebraische Sicht.

Wenn man die Semantik betrachtet, die hier für die klassische Aussagenlogik aufgestellt wurde, dann erkennt man gewisse Gesetzmäßigkeiten.

Wird z. B.

die Auswertungsfunktion auf eine Aussage der Form X ∧ W angewendet, wobei W eine beliebige wahre Aussage sein soll, dann stellt man fest, dass die Auswertungsfunktion für X ∧ W immer den Wahrheitswert "wahr" liefert, wenn V(X)=wahr ist (das heißt V(X∧W)=V(X)).

Von der Struktur her gleichwertige Gesetzmäßigkeiten gelten auch in anderen Semantiken, auch in solchen, die für ganz andere, nichtlogische Systeme aufgestellt werden.

Für die Arithmetik gilt z.

B., dass die dortige Bewertungsfunktion (hier VArithmetik genannt) für einen Ausdruck der Form X + Y immer den Wert von X liefert, sofern der Wert von Y null ist: VArithmetik(X+Y)=VArithmetik(X), wenn VArithmetik(Y) = null ist.

Eine formale Wissenschaft, die solche strukturellen Gesetzmäßigkeiten untersucht, ist die abstrakte Algebra (meist Teilgebiet der Mathematik, aber auch der Informatik).

In der abstrakten Algebra wird zum Beispiel untersucht, für welche Verknüpfungen es ein neutrales Element gibt, d. h. ein Element "N", das für eine Verknüpfung "op" dazu führt, dass (für beliebiges X) gilt: X "op" "N" = X.

So würde man aus algebraischer Sicht sagen, dass es für die klassische aussagenlogische Konjunktion genau ein neutrales Element gibt, nämlich "wahr", und dass es für die Addition in der Arithmetik ebenfalls genau ein neutrales Element gibt, nämlich die Zahl Null.

Nur am Rande sei erwähnt, dass es auch für andere Junktoren neutrale Elemente gibt; das neutrale Element für die Disjunktion ist "falsch": V(X ∨ F) = V(X), wenn V(F)=falsch ist.

Die formale Algebra betrachtet formale Semantiken rein nach ihren strukturellen Eigenschaften.

Sind diese identisch, dann besteht zwischen ihnen aus algebraischer Sicht kein Unterschied.

Aus algebraischer Sicht, genauer: Aus Sicht der formalen Algebra ist die Semantik für die klassische Aussagenlogik eine zweiwertige Boolesche Algebra.

Andere formale Systeme, deren Semantiken jeweils eine Boolesche Algebra bilden, sind die Schaltalgebra und die elementare Mengenlehre.

Aus algebraischer Sicht besteht daher zwischen diesen Disziplinen kein Unterschied.

Normalformen.

Jede aussagenlogische Formel lässt sich in eine äquivalente Formel in konjunktiver Normalform und eine äquivalente Formel in disjunktiver Normalform umformen.

Metatheorie.

In der Metatheorie werden die Eigenschaften von logischen Systemen untersucht: Das logische System ist in der Metatheorie der Untersuchungsgegenstand.

Eine metatheoretische Fragestellung ist zum Beispiel die, ob in einem Kalkül ein Widerspruch hergeleitet werden kann.

Der vorliegende Abschnitt soll einige wichtige metatheoretische Fragestellungen aus dem Blickwinkel der Aussagenlogik betrachten.

Ein metatheoretisches Resultat ist zum Beispiel die Feststellung, dass alle korrekten Kalküle auch konsistent sind.

Ein anderes metatheoretisches Resultat ist die Feststellung, dass ein konsistenter Kalkül nicht automatisch korrekt sein muss: Es ist ohne weiteres möglich, einen Kalkül aufzustellen, in dem zwar kein Widerspruch hergeleitet werden kann, in dem aber z. B.

die nicht allgemeingültige Aussage der Form „A ∨ B“ hergeleitet werden kann.

Ein solcher Kalkül wäre aus ersterem Grund konsistent, aus letzterem Grund aber nicht korrekt.

Ein weiteres, sehr einfaches Resultat ist die Feststellung, dass ein vollständiger Kalkül nicht automatisch auch korrekt oder nur konsistent sein muss.

Das einfachste Beispiel wäre ein Kalkül, in dem "jede" Formel der aussagenlogischen Sprache herleitbar ist.

Da jede Formel herleitbar ist, sind alle Tautologien herleitbar, die ja Formeln sind: Das macht den Kalkül vollständig.

Da aber jede Formel herleitbar ist, ist insbesondere auch die Formel P0 ∧ ¬ P0 und die Formel A ∨ B herleitbar: Ersteres macht den Kalkül inkonsistent, letzteres inkorrekt.

Das Ideal, das ein Kalkül erfüllen sollte, ist Korrektheit und Vollständigkeit: Wenn das der Fall ist, dann ist er der ideale Kalkül für ein logisches System, weil er alle semantisch gültigen Sätze (und nur diese) herleiten kann.

So sind die beiden Fragen, ob ein konkreter Kalkül korrekt und/oder vollständig ist und ob es für ein bestimmtes logisches System überhaupt möglich ist, einen korrekten und vollständigen Kalkül anzugeben, zwei besonders wichtige metatheoretische Fragestellungen.

Abgrenzung und Philosophie.

Die klassische Aussagenlogik, wie sie hier ausgeführt wurde, ist ein formales logisches System.

Als solches ist sie eines unter vielen, die aus formaler Sicht gleichwertig nebeneinander stehen und die ganz bestimmte Eigenschaften haben: Die meisten sind konsistent, die meisten sind korrekt, etliche sind vollständig, und einige sind sogar entscheidbar.

Aus formaler Sicht stehen die logischen Systeme in keinem Konkurrenzverhalten hinsichtlich Wahrheit oder Richtigkeit.

Von formalen, innerlogischen Fragen klar unterschieden sind außerlogische Fragen: Solche nach der Nützlichkeit (Anwendbarkeit) einzelner Systeme für einen bestimmten Zweck und solche nach dem philosophischen, speziell metaphysischen Status einzelner Systeme.

Die Nützlichkeitserwägung ist die einfachere, bezüglich deren Meinungsunterschiede weniger tiefgehend bzw. weniger schwerwiegend sind.

Klassische Aussagenlogik zum Beispiel bewährt sich in der Beschreibung elektronischer Schaltungen (Schaltalgebra) oder zur Formulierung und Vereinfachung logischer Ausdrücke in Programmiersprachen.

Prädikatenlogik wird gerne angewandt, wenn es darum geht, Faktenwissen zu formalisieren und automatisiert Schlüsse daraus zu ziehen, wie das unter anderem im Rahmen der Programmiersprache Prolog geschieht.

Fuzzy-Logiken, nonmonotone, mehrwertige und auch parakonsistente Logiken sind hochwillkommen, wenn es darum geht, mit Wissensbeständen umzugehen, in denen Aussagen mit unterschiedlich starkem Gewissheitsgrad oder gar einander widersprechende Aussagen abgelegt werden sollen und dennoch sinnvolle Schlüsse aus dem Gesamtbestand gezogen werden sollen.

Auch wenn es je nach Anwendungsfall sehr große Meinungsunterschiede geben kann, welches logisches System besser geeignet ist, ist die Natur des Problems für alle Beteiligten unmittelbar und in gleicher Weise greifbar.

Einzelwissenschaftliche Überlegungen und Fragestellungen spielen sich überwiegend in diesem Bereich ab.

(Noch) kontroverser als solche pragmatischen Überlegungen sind Fragestellungen philosophischer und metaphysischer Natur.

Geradezu paradigmatisch ist die Frage, „welches logische System richtig ist“, wobei „richtig“ hier gemeint ist als: Welches logische System nicht nur einen Teilaspekt der Wirklichkeit modellhaft vereinfacht, sondern die Wirklichkeit, das Sein als Ganzes adäquat beschreibt.

Zu dieser Fragestellung gibt es viele unterschiedliche Meinungen einschließlich der vom philosophischen Positivismus eingeführten Meinung, dass die Fragestellung als Ganzes sinnlos ist.

In den Bereich metaphysischer Fragestellungen fällt auch die Frage, ob es so etwas wie ein "metaphysisches" Prinzip der Zweiwertigkeit gebe, ob also Aussagen über die Wirklichkeit durchgehend ins Schema wahr/falsch passen oder nicht.

Diese Frage ist unabhängig von der Frage, ob die Beschäftigung mit zwei- oder mehrwertigen Logiken praktisch sinnvoll ist: Selbst wenn ein metaphysisches Prinzip der Zweiwertigkeit herrscht, könnte man anwendungspraktisch mehrwertige Logiken nützen, etwa dazu, epistemische Sachverhalte zu fassen, zum Beispiel aus Aussagen zu schließen, die zwar metaphysisch wahr oder falsch sind, von denen aber nicht oder noch nicht bekannt ist, welches von beidem der Fall ist.

Umgekehrt kann man auch dann, wenn ein solches metaphysisches Prinzip nicht gilt, zweiwertige Logik wegen ihrer Einfachheit für solche Anwendungen bevorzugen, bei denen nur mit solchen Sätzen umgegangen werden muss, die tatsächlich wahr oder falsch sind.

Die Frage nach einem metaphysischen Prinzip der Zweiwertigkeit ist wie die meisten metaphysischen Fragen nicht endgültig zufriedenstellend beantwortet.

Ein früher Einwand gegen ein solches Prinzip, den Aristoteles zur Diskussion stellte, war das Thema der Aussagen über zukünftige Sachverhalte („Morgen wird es regnen“).

Wenn Aussagen über Zukünftiges schon heute wahr oder falsch wären, so wird argumentiert, dann müsse die Zukunft bis ins letzte Detail vorbestimmt sein.

Ein anderer Einwand, der vorgebracht wird, ist, dass es Aussagen gibt, deren Wahrheit praktisch oder theoretisch nicht festgestellt werden kann – zum Beispiel lässt sich die Wahrheit von „Der Rasen vor dem Weißen Haus bestand am 1. Februar 1870 aus genau 6.120.375,4 Grashalmen“ einfach nicht feststellen.

Befürworter eines metaphysischen Zweiwertigkeitsprinzips berufen sich oft auf das Verhalten von Metatheoretikern, also von Mathematikern oder Logikern, die Aussagen "über" formale Systeme treffen: Egal wie mehrwertig oder nichtklassisch das untersuchte System ist, die dabei getroffenen Metavermutungen, Metabehauptungen und Metafeststellungen sind immer zweiwertig: Ein Kalkül, auch ein parakonsistenter oder nonmonotoner, wird immer als "entweder" konsistent "oder" inkonsistent betrachtet, und ein logisches System ist immer "entweder" korrekt oder inkorrekt, vollständig oder nicht vollständig, entscheidbar oder unentscheidbar, niemals „ein bisschen“ von beidem.

Befürworter deuten das als Hinweis darauf, dass es in der Wirklichkeit tatsächlich eine strenge Unterscheidung nach wahr und falsch gebe oder dass es zumindest sinnvoll ist, eine solche anzunehmen.

Eine andere philosophische Fragestellung ist die nach dem metaphysischen Status des Untersuchungsgegenstands der Logik, also danach, was logische Systeme, Kalküle, Wahrheitswerte eigentlich „sind“.

Der platonische Standpunkt besteht darin, dass die in der Logik verwendeten Zeichen und Konstrukte eine außerlogische Bedeutung haben, dass sie Namen für real existierende (wenn auch natürlich nicht-physikalische) Gegenstände sind.

In diesem Sinn gäbe es so etwas wie "das Wahre" und "das Falsche", abstrakte Gegenstände, die von den Zeichen „wahr“ und „falsch“ benannt werden.

Der Gegenpol zum Platonismus wäre der Nominalismus, der Existenz nur den Zeichen zuspricht, die in der Logik manipuliert werden.

Gegenstand der Logik sind Zeichen, und die Tätigkeit der Logiker ist die Manipulation von Zeichen.

Die Zeichen bezeichnen aber nichts, so etwas wie das Wahre oder das Falsche gibt es also nicht.

Im Grundlagenstreit der Mathematik entspräche der nominalistischen Position die formalistische Richtung.

Eine Mittelstellung nähme der philosophische Konstruktivismus ein, demzufolge die Zeichen zwar keine unabhängig existierenden Gegenstände bezeichnen, durch den Umgang mit den Zeichen aber Gegenstände konstruiert werden.

Anthony Minghella, CBE (* 6. Januar 1954 in Ryde auf der Isle of Wight; † 18. März 2008 in London) war ein britischer Filmregisseur, Filmproduzent, Drehbuchautor, Dramatiker, Hörspielautor, Theater- und Opernregisseur.

Leben.

Anthony Minghella war der Sohn italienisch-schottischer Eltern, die auf der Isle of Wight eine Fabrik für Eiscreme betrieben.

Nach seinem Schulabschluss studierte er an der Universität Hull, wo er eine Zeit lang als Dozent tätig war.

Im Jahr 1978 drehte er einen ersten Kurzfilm und seit 1981 war er als Autor und Story Editor tätig.

Er wurde mit Theaterstücken, Rundfunkhörspielen, der Fernsehserie "Inspector Morse" und vielen Drehbüchern für Film und Fernsehen bekannt.

Er entwickelte die Drehbücher für die im Jahr 1988 erfolgreich ausgestrahlte Fernsehserie The Storyteller von Muppets-Erfinder Jim Henson.

Auch als Produzent war er erfolgreich, darunter für die Filme "Der stille Amerikaner", "Die Dolmetscherin" und "Der Vorleser", für den er 2008 posthum für den Oscar (Kategorie „Bester Film“) nominiert wurde.

Gemeinsam mit seinem Freund und Kollegen Sydney Pollack gründete er die Produktionsfirma Mirage Enterprises.

Der Regisseur Minghella galt als ein guter Schauspielerführer: Unter seiner Regie brachten es zahlreiche Darsteller zu Oscar-Nominierungen, zwei Schauspielerinnen erhielten die Auszeichnung als „Beste Nebendarstellerin“: Juliette Binoche ("Der englische Patient") und Renée Zellweger ("Unterwegs nach Cold Mountain").

Gegen Ende seines Lebens kehrte Minghella zu seinen Anfängen im Radio und auf der Bühne zurück: Im Jahr 2006 wurde sein Hörspiel "Eyes Down Looking" mit Jude Law zu Ehren von Samuel Beckett auf BBC Radio 3 ausgestrahlt, ein Jahr zuvor hatte seine Inszenierung der Puccini-Oper Madame Butterfly in der "English National Opera" in London Premiere und wurde auch in der Nationaloper von Vilnius, in der "Metropolitan Opera" in New York und in der Wiener Staatsoper gezeigt.

Am Ende des Films "Abbitte" von Joe Wright (2007) hat er einen Kurzauftritt als Talkshow-Moderator neben Vanessa Redgrave.

Seine letzte Arbeit als Drehbuchautor war das Skript für den Musical-Film "Nine" (gemeinsam mit Michael Tolkin).

Zu seinen letzten Regiearbeiten zählt der Pilotfilm zur Krimiserie "Eine Detektivin für Botswana" (Originaltitel: ), den die BBC fünf Tage nach seinem Tod erstmals ausstrahlte.

Minghella war mit der aus Hongkong stammenden Choreographin, Produzentin und Schauspielerin Carolyn Choa ("Wie verrückt und aus tiefstem Herzen") verheiratet.

Der Ehe entstammen zwei Kinder, die in der Filmbranche tätig sind: Tochter Hannah Minghella in der Produktion und Sohn Max Minghella als Schauspieler ("Agora – Die Säulen des Himmels").

Seine Schwester Edana Minghella (1959–2022) und sein jüngerer Bruder Dominic Minghella (* 1966; u. a. für die britische Fernsehserie "Doc Martin") sind Drehbuchautoren.

Minghella starb am 18. März 2008 im Alter von 54 Jahren in einem Londoner Krankenhaus an inneren Blutungen infolge der Operation eines Tonsillenkarzinoms sowie eines Karzinoms im Nacken.

Auszeichnungen.

Im Jahr 1984 erhielt Minghella den Londoner Kritikerpreis als meistversprechender junger Dramatiker, 1986 den Kritikerpreis für sein Stück "Made in Bangkok" als bestes Stück der Saison.