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[ "La soustraction de nombres entiers relatifs\n\nIl est important de comprendre que faire la soustraction de deux nombres équivaut à additionner le premier nombre et l'opposé du deuxième nombre. Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même valeur absolue, mais qui sont de signe contraire. La somme de deux nombres opposés est toujours égale à zéro. |4+(-4)=0| et |-4+4=0| |9+(-9)=0| et |-9+9=0| L'opposé de |-5| est |5|. |30| est l'opposé de |-30|. Pour effectuer une soustraction de deux nombres, il faut donc procéder de la façon suivante : Faire la soustraction suivante : |-15-(-8)| revient à effectuer l'addition suivante : |-15+8|. Pour calculer la différence de |-3| et |6|, on doit calculer la somme de |-3| et de |-6|. |5-20=5+(-20)| Après avoir transformé notre soustraction en addition, on fait l'addition normalement à l'aide de la méthode de son choix. Voici un exemple complet fait à l'aide de la méthode de la droite numérique : Soustraire |-4 - (-8)| 1) On transforme la soustraction en une addition dont le |2^e| terme est l'opposé du |2^e| terme de la soustraction. |-4 - (-8)| devient |-4 + 8| 2) On dessine une droite numérique. 3) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer (-4). 4) Le deuxième terme de l'addition est positif |(8)|. Il nous indique qu'il faut faire 8 bonds vers la droite. Réponse : |-4-(-8)=-4+8=4| Accéder au jeu Accéder au jeu ", "L'addition de nombres entiers relatifs\n\nLes nombres entiers relatifs sont des nombres entiers |(0, 1, 5, 6, ...)| qui peuvent être positifs ou négatifs. Ils appartiennent à l'ensemble |\\mathbb{Z} = \\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\\}.| Pour effectuer l’addition de deux nombres entiers relatifs, il existe plusieurs méthodes qui peuvent t’aider à comprendre. Pour effectuer l'addition de grands nombres positifs, tu peux consulter la fiche suivante : Voici comment on doit réfléchir logiquement lorsqu'on additionne des nombres entiers relatifs. Les manuels scolaires utilisent souvent le contexte de l'argent ($) ou de la température (°C). Lorsqu'on a un nombre entier positif, on parle d'une augmentation d'une somme d'argent (un dépôt dans notre compte de banque) ou d'une hausse de température (il fait plus chaud). Lorsqu'on a un nombre entier négatif, on parle d'une dette d'argent (un retrait du compte de banque) ou d'une baisse de température (il fait plus froid). On imagine qu'on part toujours de zéro (0 $ dans le compte ou 0 °C). Additionner deux nombres entiers positifs (+,+) On procède comme on en a l'habitude avec les nombres naturels. La somme de deux nombres entiers positifs donne toujours un nombre entier positif. Additionner |6 + 3| Puisque les 2 nombres, |6| et |3|, sont positifs, la réponse sera positive aussi. Sens des nombres : Je dépose |6\\ $| dans mon compte, puis je dépose encore |3\\ $.| J'ai alors |9\\ $.| Visuellement : En partant de |0|, j'augmente de |+6| (flèche orange) puis j'augmente encore de |+3| (flèche verte). La réponse est donc 9. Additionner deux nombres entiers négatifs (-,-) On procède comme avec les entiers positifs, mais avec le sens négatif des nombres. La somme de deux nombres entiers négatifs donne toujours un nombre entier négatif. Additionner |-6 + -3| Puisque les deux nombres, |-6| et |-3,| sont négatifs, la réponse sera négative aussi. Sens des nombres : J'observe une baisse de température de 6 °C suivie d'une autre baisse de 3 °C. La température a subi une baisse totale de 9 °C. Visuellement : En partant de |0,| j'ai une baisse de |-6,| suivie d'une baisse de |-3.| La réponse est donc -9. Additionner deux nombres de signes différents (+,-) ou (-,+) On procède avec le sens des nombres. La somme sera positive ou négative selon le signe du nombre qui est le plus éloigné de |0| sur la droite numérique. Exemple 1 : Additionner |6 + (-3)| Les deux nombres sont de signes contraires : |6| et |-3.| Sur la droite, |6| est le nombre le plus éloigné de |0.| La réponse sera donc positive. Sens des nombres : La température hausse de 6 °C (flèche orange), puis baisse de 3 °C (flèche verte). La température atteint alors 3 °C. La réponse est donc 3. Exemple 2 : Additionner |5 + -4| |5| est plus éloigné du |0| que |-4.| La réponse sera donc positive. Sens des nombres : Je dépose |5\\ $| dans mon compte, puis je retire |4\\ $.| Il me reste |1\\ $.| |5 + -4 =1| Exemple 3 : Additionner |-6 + 3| Les deux nombres sont de signes contraires : |-6| et |3.| Sur la droite, |-6| est plus éloigné de |0,| alors la réponse sera négative. Sens des nombres : La température a baissé de 6 °C (flèche orange), puis a augmenté de 3 °C (flèche verte). Réponse : |-6 + 3 = -3| On peut utiliser la droite numérique pour effectuer l’addition ou la soustraction de nombres positifs et de nombres négatifs. Cette méthode est très visuelle. Dans le cas d’une addition, on procède de la façon suivante : Additionner |−4+8| 1) On dessine une droite numérique. 2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer (-4). 3) Le deuxième terme de l'addition est positif (8). Il nous indique qu'il faut faire 8 bonds vers la droite. Réponse : |-4+8=4| Additionner |-1 + -4| 1) On trace une droite numérique. 2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer (-1). 3) Le deuxième terme de l'addition est négatif (-4). Il nous indique de faire 4 bonds vers la gauche. Réponse : |-1 + -4=-5| Additionner deux nombres de signes différents (+,-) ou (-,+) Additioner |8 + -6| 1) Il te faut des jetons de deux couleurs différentes. 8 jetons orange pour les positifs, 6 jetons verts pour les négatifs. 2. On annule chaque jeton positif avec un jeton négatif. 3. La réponse de l’opération est donnée par le nombre de jetons restants. Le signe est fourni par la couleur des jetons restants. Puisqu'il reste 2 jetons orange, la réponse sera donc positive. Ainsi, |8+ -6 = 2| Additionner deux nombres de mêmes signes (+,+) ou (-,-) Additionner: |8 + 6| Les deux termes de l'addition sont positifs, alors les jetons ne s'annulent pas entre eux. On doit les additionner : Ainsi, |8+6=14| Accéder au jeu Accéder au jeu ", "La division de fractions\n\nAfin de résoudre une division de deux fractions, il est important de se souvenir que faire une division revient à faire une multiplication par l'inverse. ||\\frac{2}{3}\\div\\frac{1}{9}=\\frac{2}{3}\\times\\frac{9}{1}=\\frac{2\\times9}{3\\times1}=\\frac{18}{3}=6|| ||\\frac{4}{5}\\div\\frac{2}{3}=\\frac{4}{5}\\times\\frac{3}{2}=\\frac{4\\times3}{5\\times2}=\\frac{12}{10}=\\frac{6}{5}|| Dans le cas d’une division avec des nombres fractionnaires, il faut d’abord transformer ces nombres fractionnaires en fractions, puis effectuer l’opération comme il a été expliqué plus haut. ||4\\frac{1}{3}\\div\\frac{2}{5}=\\frac{13}{3}\\div\\frac{2}{5}=\\frac{13}{3}\\times\\frac{5}{2}=\\frac{65}{6}=10\\frac{5}{6}|| ||8\\frac{1}{2}\\div4\\frac{1}{3} =\\frac{17}{2}\\div\\frac{13}{3}=\\frac{17}{2}\\times\\frac{3}{13} =\\frac{51}{26}|| Pour valider ta compréhension des fractions de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante : ", "Les fractions équivalentes et la réduction\n\nLes fractions équivalentes sont des fractions qui représentent le même nombre, la même proportion. Pour passer d'une fraction à une autre fraction équivalente, on peut multiplier ou diviser cette fraction par une fraction-unité |\\left(\\dfrac { 2 }{ 2 } ,\\dfrac { 3 }{ 3 } ,\\dfrac { 6 }{ 6 }\\right)| On cherche des fractions équivalentes à |\\dfrac { 3 }{ 4 }.| A) On peut décider de multiplier par la fraction-unité : |\\dfrac { 2 }{ 2 }| |\\dfrac { 3 }{ 4 } \\times \\dfrac { 2 }{ 2 } =\\dfrac { 3\\times 2 }{ 4\\times 2 } =\\dfrac { 6 }{ 8 }| (fraction équivalente) B) On peut aussi décider de multiplier par |\\dfrac { 5 }{ 5 }| |\\dfrac { 3 }{ 4 } \\times \\dfrac { 5 }{ 5 } =\\dfrac { 3\\times 5 }{ 4\\times 5 } =\\dfrac { 15 }{ 20 }| (fraction équivalente) On peut utiliser un rectangle pour représenter une fraction. On peut comparer ce rectangle à une tablette de chocolat à partager. On remarque que peu importe le nombre de divisions, la surface de toutes les portions reste la même. Les parties colorées en jaune représentent la fraction utilisée (le numérateur de la fraction). On se rend vite compte que l’on pourrait encore diviser le rectangle en de plus petites parties et trouver d’autres fractions équivalentes. On peut utiliser un cercle pour représenter une fraction. On peut comparer ce cercle à une tarte ou une pizza à partager. Que l'on mange 3 morceaux de tarte sur 4 (la deuxième tarte), 6 morceaux sur 8 ou 12 morceaux sur 16 (la troisième tarte), on aura mangé la même quantité de tarte. Ces trois fractions sont donc équivalentes. On pourrait encore diviser la tarte. Plus on divise la tarte, plus les portions sont petites, mais on mange toujours la même quantité de tarte. L’avantage de disposer les fractions sur une droite numérique est que l’on peut représenter les fractions négatives aussi, ce qui est impossible avec des dessins comme les cercles et les rectangles. On doit positionner les droites numériques les unes au-dessus des autres afin de bien voir les fractions équivalentes. Toutes les fractions superposées sont équivalentes. La méthode la plus facile pour réduire une fraction est la division. Il s'agit de trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur. On cherche à réduire la fraction |\\dfrac { 24 }{ 32 }| pour trouver une fraction équivalente. Puisque le numérateur et le dénominateur sont des nombres pairs, on peut les diviser par |2.| ||\\dfrac { 24\\div 2 }{ 32\\div 2 } =\\dfrac { 12 }{ 16 }|| Donc |\\dfrac { 12 }{ 16 }| est une fraction équivalente à |\\dfrac { 24 }{ 32 }.| On peut aussi diviser le numérateur et le dénominateur par |4.| ||\\dfrac { 24\\div 4 }{ 32\\div 4 } =\\dfrac { 6 }{ 8 }|| Lorsqu’aucune division n'est possible, c'est que la fraction est irréductible ou sous sa forme la plus réduite. On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre, et on répète ainsi successivement jusqu’à ce qu’on ne soit plus capable de trouver de diviseur commun aux deux termes. ||\\dfrac { 24\\div 2 }{ 32\\div 2 } =\\dfrac { 12 }{ 16 }\\;\\;\\;\\dfrac { 12\\div 2 }{ 16\\div 2 } =\\dfrac { 6 }{ 8 }\\;\\;\\;\\dfrac { 6\\div 2 }{ 8\\div 2 } =\\dfrac { 3 }{ 4 }|| Comme |3| et |4| n'ont pas de diviseur commun autre que |1,| la fraction est irréductible. Étape 1 : On calcule le PGCD des deux termes. Étape 2 : On divise les deux termes par le PGCD. Réduction de la fraction |\\dfrac { 24 }{ 32 }| Étape 1 : PGCD |(24,32) = 8| Étape 2 : |\\dfrac { 24\\div 8 }{ 32\\div 8 } =\\dfrac { 3 }{ 4 }| Pour valider ta compréhension des fractions de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante : ", "La multiplication de nombres décimaux\n\nLa multiplication de nombres décimaux s’effectue comme celle de deux nombres naturels. La seule différence est l’ajout d’une étape concernant les nombres après la virgule. Étape 1 : On place d’abord les deux nombres l’un sous l’autre en prenant soin de placer celui avec le plus de chiffres en haut de l'autre afin de faciliter la suite du calcul. On souhaite multiplier les nombres décimaux suivants : 74,52 et 12,6. ||\\begin{align}74&,\\!52\\\\ \\times \\quad12&,\\!6\\\\ \\hline\\end{align}|| Étape 2 : Pour faire \"disparaitre\" la portion décimale de chacun des nombres, on les mutilplie par |10| autant de fois que nécessaire. Le calcul devient alors... ||\\begin{align} & 74,\\!52 && \\overbrace{\\color{#ff55c3}{\\times 10 \\times 10}}^{\\times 10 \\ \\text{à} \\ 3 \\ \\text{reprises}}&& \\Rightarrow && \\phantom{\\times 1} 7\\ 452 \\\\ \\times \\ \\ & 12,\\!6 && \\ \\underbrace{\\color{#ff55c3}{ \\times 10 \\phantom{\\times \\ \\ 10}}} && \\Rightarrow && \\times \\ \\ \\ 126 \\end{align}|| Étape 3 : On effectue la multiplication comme avec deux nombres naturels. ||\\begin{align}\\small{\\color{#ec0000}1}\\ \\ \\ \\ \\\\\\small{\\color{#3b87cd}2}\\ \\ \\small{\\color{#3b87cd}3}\\small{\\color{#3b87cd}1}\\ \\ \\\\7\\ 452\\\\\\times \\quad\\color{#3a9a38}1\\color{#ec0000}2\\color{#3b87cd}6\\\\ \\hline\\color{#3b87cd}{44\\ 712}\\\\\\color{#ec0000}{149\\ 040}\\\\+ \\ \\ \\color{#3a9a38}{745\\ 200}\\\\ \\hline 938\\ 952\\end{align}|| Étape 4 : Pour faire \"apparaitre\" la portion décimale de nouveau, on doit diviser par |10| à autant de reprises que l'on a multiplié par |10| à l'étape 2. ||938 \\ 952 \\overbrace{\\Rightarrow}^{\\color{#ff55c3}{\\div 10 \\ \\text{à} \\ 3 \\ \\text{reprises}}} 938,\\!952 || Pour simplifier le tout, on peut utiliser ce petit raccourci intellectuel. Par ailleurs, il existe une explication logique et arithmétique derrière ce truc et la démarche qui l'accompagne. Pour illustrer le tout, un autre exemple sera abordé. ", "La division de nombres entiers\n\nEffectue la division suivante : |3\\ 069 \\div 9| Étape 1 : On place le diviseur dans un « crochet ». Étape 2 : Pour effectuer la division, on procède de la gauche vers la droite du dividende. Si un seul chiffre ne fonctionne pas, il faut en prendre deux. Si deux ne fonctionnent pas, en prendre trois et ainsi de suite. On se demande combien de fois le diviseur |(9)| entre dans |3.| |9| n’entre pas dans |3| puisque |3| est plus petit que |9.| Dans ce cas, on emploie ensemble les deux chiffres les plus à gauche du nombre |(30).| On se demande combien de fois |9| entre dans |30.| |9| entre |3| fois dans |30| puisque |3 \\times 9 = 27| Alors, on place le résultat |(3)| sous le crochet et on multiplie ce chiffre par le chiffre dans le crochet |(3\\times 9 = 27).| On inscrit ce résultat sous |30.| Remarque : Si on ne peut pas obtenir précisément le nombre recherché |(30),| on doit choisir un multiple du diviseur |(9)| dont le produit sera le plus proche et plus petit que ce nombre à atteindre. Ainsi, on n'aurait pas pu choisir |4| dans l'exemple en cours puisque |4 \\times 9 = 36 > 30.| Étape 3 : On effectue la soustraction. Étape 4 : On abaisse le chiffre suivant du dividende à la droite de la réponse de la soustraction. Étape 5 : On répète les étapes 2 et 3 avec ce nouveau nombre. Combien de fois |9| (le diviseur) entre dans |36?| |9| entre |4| fois dans |36 :| |4\\times 9 = 36.| On place ce résultat |(36)| sous l’autre |36| et on effectue la soustraction. Même si la réponse de la soustraction égale zéro |(0),| ce n’est pas terminé puisqu’il reste un chiffre à abaisser. On poursuit avec la même démarche. Étape 6 : On abaisse le chiffre restant |(9)| à côté du |0.| Combien de fois |9| entre dans |9?| |9| entre une fois dans |9 :| |9 \\times 1 = 9.| On place |9| sous |09| et on effectue la soustraction : |9-9 = 0| Étape 7 : Si la réponse à la dernière soustraction est |0,| cela signifie que la division est terminée. Dans notre exemple, le résultat obtenu à la dernière soustraction est de |0.| La réponse à l'opération |3\\ 069 \\div 9| est donc |341.| Si la dernière soustraction donne un résultat autre que 0, on peut utiliser ce résultat comme reste. En effectuant |3\\ 074 \\div 8,| on obtient |384| dans la réponse finale, mais il reste un |2| à la fin de la dernière soustraction. On dira donc que la réponse est : 384 reste 2. La division peut aussi s'écrire comme ceci : |3\\ 074 = (8\\times 384)+2| ... ou encore comme cela : |3\\ 074 \\div 8 = 384 + \\dfrac{2}{8} = 384 + \\dfrac{1}{4}.| On peut aussi poursuivre la division en ajoutant des décimales à la réponse. Une fois tous les chiffres du dividende abaissés, on place une virgule à côté de la réponse. Cela permet d’ajouter un zéro |(0)| à la droite de la réponse de la soustraction (dans ce cas-ci, le 2 devient 20). Ce |0| vient du fait que la portion décimale d'un nombre entier est constituée uniquement de |0.| Par la suite, on ajoute un zéro |(0)| à la droite de chaque résultat de soustraction. On arrête quand le résultat d’une soustraction donne zéro |(0).| Il se peut également qu’une division se termine après plusieurs décimales ou ne se termine pas du tout. Si tel est le cas, on arrête pour arrondir la réponse à la position demandée. Accéder au jeu Accéder au jeu ", "L'addition de fractions\n\nAvant d'être en mesure d'effectuer l'addition de deux nombres en notation fractionnaire, il faut leur trouver un dénominateur commun. Une fois qu'on est capable de trouver des fractions équivalentes et de trouver des dénominateurs communs, on peut opérer l'addition sur les fractions. Voici les étapes à suivre pour additionner des fractions : ||\\dfrac{2}{3}+\\dfrac{1}{6}|| On cherche un dénominateur commun. Ici, le multiple commun à |3| et |6| est |6.| Le dénominateur commun sera donc |6.| ||\\dfrac{?}{6}+\\dfrac{?}{6}|| Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente. Pour mettre les fractions en fractions équivalentes, on multiplie par le même facteur le numérateur et le dénominateur.||\\dfrac{2}{3}=\\dfrac{2\\times{\\color{red}2}}{3\\times{\\color{red}2}}=\\dfrac{4}{6}|| ||\\dfrac{1}{6}=\\dfrac{1\\times{\\color{red}1}}{6\\times{\\color{red}1}}=\\dfrac{1}{6}|| On additionne seulement les numérateurs. ||\\dfrac{4}{6}+\\dfrac{1}{6}=\\dfrac{4+1}{6}=\\dfrac{5}{6}|| ||\\dfrac{7}{8}+\\dfrac{2}{3}|| On cherche un dénominateur commun. Ici, le multiple commun à |8| et |3| est |24.| Le dénominateur commun sera donc |24.| ||\\dfrac{?}{24}+\\dfrac{?}{24}|| Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente : Pour mettre les fractions en fractions équivalentes, on multiplie par le même facteur le numérateur et le dénominateur. ||\\dfrac{7}{8}=\\dfrac{7\\times{\\color{red}3}}{8\\times{\\color{red}3}}=\\dfrac{21}{24}|| ||\\dfrac{2}{3}=\\dfrac{2\\times{\\color{red}8}}{3\\times{\\color{red}8}}=\\dfrac{16}{24}|| On additionne seulement les numérateurs. ||\\dfrac{21}{24}+\\dfrac{16}{24}=\\dfrac{21+16}{24}=\\dfrac{37}{24}|| Si l’équation est composée de nombres fractionnaires, on peut résoudre l'addition de deux façons. On peut effectuer l’opération sur les entiers, puis sur les fractions. ||2\\frac{1}{3}+3\\frac{1}{3}|| D'abord, on s'occupe des entiers. On trouve que |2 + 3 = 5.| Ensuite, les fractions. On trouve que |\\dfrac{1}{3}+\\dfrac{1}{3}=\\dfrac{2}{3}.| Ainsi, |2\\dfrac{1}{3}+3\\dfrac{1}{3} = 5\\dfrac{2}{3}.| On peut transformer les nombres fractionnaires en fractions et utiliser la méthode présentée un peu plus haut. ||\\begin{align} 5\\frac{1}{3}+2\\frac{2}{5} &= \\frac{16}{3}+\\frac{12}{5} \\\\ &= \\frac{80}{15} + \\frac{36}{15} \\\\ &= \\frac{80+36}{15} \\\\ &=\\frac{116}{15} \\\\ &=7\\frac{11}{15} \\end{align}|| On peut utiliser la droite numérique pour illustrer une fraction. Il suffit de séparer la droite en autant de lignes que la valeur associée au dénominateur. On obtient alors une unité. Si on prend la fraction |\\dfrac{3}{4},| la 4e ligne représente une unité ou la fraction|\\dfrac{4}{4}.| Les étapes à suivre pour additionner des fractions sont les suivantes : On veut additionner |\\dfrac{3}{8}+\\dfrac{1}{4}.| 1. On cherche le dénominateur commun à ces fractions. Ici, le dénominateur commun à |4| et |8| est |8.| 2. Pour chaque fraction, on cherche la fraction équivalente. Pour mettre les fractions en fractions équivalentes, on multiplie par le même facteur le numérateur et le dénominateur.||\\dfrac{3}{8}=\\dfrac{3\\times{\\color{red}1}}{8\\times{\\color{red}1}}=\\dfrac{3}{8}|| ||\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{1\\times{\\color{red}2}}{4\\times{\\color{red}2}}=\\dfrac{2}{8}|| 3. On gradue la droite en fonction du dénominateur. 4. On positionne la 1re fraction à partir de son numérateur. 5. On additionne la 2e fraction à la 1re. Pour valider ta compréhension des fractions de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante : ", "Aide-mémoire – Mathématiques – Secondaire 4 – SN\n\nVoici un petit guide de préparation contenant toutes les notions abordées en quatrième secondaire dans la séquence SN. Pour expliquer le tout, chaque formule sera suivie d'un exemple et d'un lien qui mène à une fiche de notre bibliothèque virtuelle. La division de polynômes se fait de la même façon que la division de deux nombres en utilisant la méthode par « crochet ». Quel est le résultat de la division suivante : Pour additionner ou soustraire des expressions rationnelles, on peut généralement procéder en suivant les étapes ci-dessous : Factoriser le numérateur et le dénominateur de chaque fraction. Poser toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0). Simplifier les facteurs communs dans chacune des fractions, si possible. Trouver un dénominateur commun. Effectuer l'addition ou la soustraction au numérateur. Simplifier l'expression rationnelle finale en factorisant le numérateur et le dénominateur, si possible. Simplifie l'expression algébrique suivante : |\\displaystyle \\frac{x-2}{x+5} - \\frac{3}{-3x-12}| Il est très important de maitriser le concept de distributivité associé à la multiplication : Simplifier les expressions entre parenthèses, si possible. Distribuer chacun des termes de la première parenthèse sur tous les termes de la deuxième parenthèse. Simplifier en additionnant et soustrayant les termes semblables. Quelle est l'expression algébrique simplifiée de la multiplication suivante : ||(7x+4)(2x^2-4x+3)|| Pour factoriser une même expression algébrique, on doit parfois utiliser plusieurs méthodes de factorisation. Ainsi, il est important de maitriser chacune d'entre elles tout en y associant leur forme polynomiale caractéristique. EXEMPLE DE LA MÉTHODE PRODUIT-SOMME Quelles mesures (sous forme numérique ou d'expression algébrique) peuvent être associées à chacune des dimensions d'un prisme à base rectangulaire dont le volume est de |4x^2+8x−32\\ \\text{cm}^3|? CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} &4x^2+8x−32 \\\\ =\\ &4(x^2+2x−8)\\end{align}| Si possible, faire une mise en évidence simple en s'assurant que tous les coefficients demeurent entier. |\\begin{align} &4(\\color{blue}{x^2}+\\color{red}{2x}\\color{green}{−8}) \\\\\\\\ P =\\ &\\color{blue}{1}\\times \\color{green}{−8}=−8 \\\\ S =\\ &\\color{red}{2} \\end{align}| Les nombres sont |4| et |−2,| car |4\\times -2 = -8| et |4+-2=2.| Déterminer les nombres qui répondent au produit et à la somme du polynôme entre parenthèse. |\\begin{align} &4(x^2+\\color{red}{2x}−8) \\\\ =\\ &4(x^2+\\color{red}{4x+−2x}−8) \\\\ =\\ &4([x^2+4x]+[−2x−8]) \\\\ =\\ &4\\big(\\color{blue}{x}(\\color{green}{x+4})+\\color{blue}{−2}(x+4)\\big) \\\\ =\\ &4(\\color{green}{x+4})(\\color{blue}{x−2}) \\end{align}| Séparer le terme en |\\color{red}{x}| en utilisant les deux nombres trouvés et faire une mise en évidence double. Ainsi, les trois dimensions mesurent respectivement |4,| |(x+4)| et |(x−2)| cm. EXEMPLE DE DIFFÉRENCE DE CARRÉS Quelles sont les expressions algébriques qui représentent la mesure de la base et de la hauteur d'un triangle dont l'aire est de |(2x^2 −8)\\ \\text{m}^2\\ ?| CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} \\frac{\\color{blue}{b}\\times \\color{red}{h}}{2} &= 2x^2 - 8 \\\\ \\Rightarrow\\ \\color{blue}{b}\\times \\color{red}{h} &=4x^2 -16 \\end{align}| Créer l'équation en lien avec la situation. |\\begin{align} \\sqrt{4x^2} &= 2x \\\\ \\sqrt{16} &= 4 \\end{align}| Il s'agit d'une soustraction entre les deux termes. Vérifier que le binôme répond aux critères d'une factorisation par différence de carrés. |\\begin{align} \\color{blue}{b} \\times \\color{red}{h} &= 4x^2 − 16 \\\\ \\Rightarrow\\ \\color{blue}{b} \\times \\color{red}{h} &= \\color{blue}{(2x−4)}\\color{red}{(2x+4)} \\end{align}| Factoriser selon le modèle suivant : |a^2-b^2=(a-b)(a+b)| Ainsi, on peut établir que |\\color{blue}{b = (2x−4)}| et |\\color{red}{h = (2x+4)}\\ \\text{m}.| EXEMPLE DE TRINÔME CARRÉ PARFAIT Quelle est l'expression algébrique associée à la mesure du côté d'un carré qui a une superficie de |\\color{blue}{9}x^2 − \\color{red}{42}x + \\color{green}{49}\\ \\text{m}^2|? CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} \\sqrt{\\color{blue}{a}} &= \\sqrt{\\color{blue}{9}} = \\color{blue}{3} \\\\ \\sqrt{\\color{green}{c}} &= \\sqrt{\\color{green}{49}} = \\color{green}{7} \\\\\\\\ \\color{red}{c} &\\overset{?}{=} 2\\sqrt{\\color{blue}{a}}\\sqrt{\\color{green}{c}} \\\\ \\Rightarrow\\ \\color{red}{42} &= 2\\times \\color{blue}{3} \\times \\color{green}{7} \\end{align}| Vérifier qu'il s'agit bien d'un trinôme carré parfait. |\\begin{align} &\\color{blue}{9}x^2 − \\color{red}{42}x + \\color{green}{49} \\\\ =\\ &(\\color{blue}{3}x-\\color{green}{7})^2 \\end{align}| Factoriser selon le modèle du trinôme carré parfait. Puisque l'aire d'un carré se calcule avec la formule |A=c^2,| on peut déduire que |A=(\\color{blue}{3}x-\\color{green}{7})^2.| Par associativité, on obtient que |c=(\\color{blue}{3}x-\\color{green}{7})\\ \\text{m}.| EXEMPLE SELON LA COMPLÉTION DE CARRÉ Quelle est l'équation de cette parabole sous sa forme factorisée : ||f(x) = -3x^2 - \\frac{1}{2}x + 6|| CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} &\\color{blue}{-3}x^2 - \\dfrac{1}{2}x + 6 \\\\ =\\ &\\color{blue}{-3}\\left(x^2 + \\color{red}{\\dfrac{1}{6}}x - 2\\right) \\end{align}| Faire une mise en évidence simple pour s'assurer que le coefficient du terme en |x^2 = 1.| |\\begin{align} &\\left(\\dfrac{\\color{red}{b}}{2}\\right)^2 \\\\ =\\ &\\left(\\dfrac{\\color{red}{\\frac{1}{6}}}{2}\\right)^2 \\\\ =\\ &\\color{green}{\\frac{1}{144}} \\end{align}| Calculer la valeur de |\\left(\\dfrac{\\color{red}{b}}{2}\\right)^2|. |\\begin{align} &-3\\left(x^2 + \\frac{1}{6}x \\color{green}{+ \\frac{1}{144} - \\frac{1}{144}} - 2\\right) \\\\ = &-3 \\left(\\left[x^2 + \\frac{1}{6}x \\color{green}{+ \\frac{1}{144}}\\right] \\color{green}{- \\frac{1}{144}} - 2\\right) \\\\ = &-3 \\left(\\left[x + \\frac{1}{12}\\right]^2 - \\frac{289}{144}\\right) \\end{align}| Ajouter et soustraire cette valeur pour obtenir un trinôme carré parfait. |\\begin{align} &-3 \\left(\\left[x + \\frac{1}{12}\\right]^2 - \\frac{289}{144}\\right) \\\\ = &-3 \\left(\\Big(x + \\frac{1}{12} + \\frac{17}{12}\\Big)\\Big(x + \\frac{1}{12} - \\frac{17}{12}\\Big)\\right) \\\\ = &-3 \\left(x + \\frac{18}{12}\\right) \\left(x - \\frac{16}{12}\\right) \\\\ = &-3 \\left(x + \\frac{3}{2}\\right) \\left(x - \\frac{4}{3}\\right) \\end{align}| Effectuer une différence de carré avec les termes entre parenthèses. La forme factorisée de l'équation de départ est : |f(x) = -3 \\left(x + \\dfrac{3}{2}\\right) \\left(x - \\dfrac{4}{3}\\right).| EXEMPLE SELON LA FORMULE QUADRATIQUE Quelles sont les expressions algébriques ou les mesures que l'on peut associer aux mesures des trois dimensions d'un prisme à base rectangulaire dont le volume est |(\\color{blue}{3}x^2 + \\color{green}{4}x \\color{red}{- 8})\\ \\text{mm}^3|? CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} &\\dfrac{^-\\color{green}{b} \\pm \\sqrt{\\color{green}{b}^2 - 4 \\color{blue}{a} \\color{red}{c}}}{2 \\color{blue}{a}} \\\\ =\\ &\\dfrac{^-\\color{green}{4} \\pm \\sqrt{\\color{green}{4}^2 - 4 (\\color{blue}{3})(\\color{red}{^-8})}}{2 (\\color{blue}{3})} \\end{align}| Appliquer la formule quadratique : |\\dfrac{^-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}| |\\begin{align} &\\dfrac{^-\\color{green}{4} \\pm \\sqrt{\\color{green}{4}^2 - 4 (\\color{blue}{3})(\\color{red}{^-8})}}{2 (\\color{blue}{3})} \\\\ =\\ &\\dfrac{^-\\color{green}{4} \\pm \\sqrt{112}}{2 (\\color{blue}{3})} \\end{align}| Simplifier le radicande. |\\begin{align} &\\dfrac{^-\\color{green}{4} \\pm \\sqrt{112}}{2 (\\color{blue}{3})} \\\\\\\\ \\Rightarrow x_1=\\ &\\dfrac{^-\\color{green}{4} + \\sqrt{112}}{2 (\\color{blue}{3})} &&\\text{et}\\ x_2 = \\dfrac{^-\\color{green}{4} - \\sqrt{112}}{2 (\\color{blue}{3})} \\\\ \\Rightarrow x_1 \\approx\\ &1{,}1 &&\\text{et}\\ x_2\\ \\approx ^-2{,}43 \\end{align}| Identifier les deux réponses possibles. |\\color{blue}{3}x^2 + \\color{green}{4}x \\color{red}{- 8}= 3(x-1{,}1)(x-^-2{,}43)| Écrire la factorisation du polynôme initial. De façon arbitraire, on peut respectivement associer les mesures de largeur, de profondeur et de hauteur du prisme à |3\\ \\text{mm},| |(x-1{,}1)\\ \\text{mm}| et |(x+2{,}43)\\ \\text{mm}.| Forme canonique : |f(x) = a(x-h)^2 + k| où |(h,k)| est la coordonnée du sommet. Forme générale : |f(x) = ax^2 + bx + c| Forme factorisée : |f(x) = a (x - z_1) (x - z_2)| où |z_1| et |z_2| sont les zéros de fonction de la parabole. Avec les informations qui sont fournies dans le tableau ci-dessous, détermine l'équation de la parabole sous ses trois différentes formes. L'équation de la règle d'une fonction partie entière s'écrit sous la forme ||f(x) = a \\left[ b(x-h)\\right] + k|| où |(h,k) = | Coordonnées d'un point plein |{\\mid}a{\\mid} = | Distance verticale entre deux marches |\\dfrac{1}{\\mid b \\mid} = | Longueur d'une marche Pour déterminer le signe de |a| et de |b,| on s'intéressera à l'ordre des points ouverts et fermés, la croissance et la décroissance du graphique : Dans le cadre d'un nouveau programme de récompense, une épicerie offre des timbres qui permettent d'obtenir des réductions significatives sur l'achat d'articles ciblés. Avec un montant d'achat minimum de 5 $, la caissière remet cinq timbres aux clients. Par la suite, pour chaque tranche de 22 $ additionnels, elle donne sept timbres de plus au client. À l'aide de ces informations, dans quel intervalle devrait se situer le montant de la prochaine facture d'un client s'il veut obtenir 47 timbres? La réciproque d'une fonction |f(x)|, notée |f^{-1}(x)|, s'obtient en inversant les coordonnées des points tel que |(x,y) \\rightarrow (y,x)| Trace la réciproque de la fonction suivante : Pour l'étude d'une fonction, ce sont toujours les mêmes critères qu'il faut analyser : le domaine : toutes les valeurs possibles de |x| le codomaine (l'image) : toutes les avleurs possibles de |y| les abscisses à l'origine (zéros) : la ou les valeur(s) du |x| quand |y=0| l'ordonnée à l'origine : la valeur du |y| quand |x=0| le maximum : la plus grande valeur de |y| le minimum : la plus petite valeur de |y| la croissance : quand le graphique ne « descend » pas la décroissance : quand le graphique ne « monte » pas le signe : positive : portion du graphique qui est au-dessus ou égale à l'axe des |x| négative : portion du graphique qui est en-dessous ou égale à l'axe des |x| En tant que comptable d'une grande compagnie, tu dois donner un compte rendu détaillé de l'évolution des profits au cours de la dernière année. Pour t'aider, voici le graphique des 12 derniers mois. Avant de préparer ton discours de présentation et afin d'alimenter ton argumentation, tu dois faire l'étude complète du graphique. Pour résoudre un système d'équations, on peut suivre les étapes suivantes : Identifier les variables reliées aux inconnus. Créer les équations selon la mise en situation. Utiliser la méthode appropriée pour résoudre ce système (comparaison, substitution, réduction) selon l'allure des équations formées. Remplacer la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable. Afin de respecter les différentes contraintes imposées par la ville, un entrepreneur doit diviser son immense terrain boisé en deux différents lots rectangulaires. En sachant que la superficie des terrains doit être la même, détermine les dimensions possibles, en décamètre, de ces deux terrains. Deux figures sont équivalentes lorsqu'elles ont la même aire. Afin que le cout d'asphaltage de son nouveau stationnement résidentiel soit le même que celui de son ancien, Julien veut que ses deux entrées soient équivalentes. Ainsi, quelle devrait être la mesure de la largeur de son nouveau stationnement? Deux solides sont équivalents lorsqu'ils ont le même volume. Une compagnie qui œuvre dans les accessoires de plein air veut offrir deux modèles de tente différents. Afin de conserver les mêmes couts de production, ils tiennent à ce que ces deux modèles soient équivalents. Quelle devrait être la mesure de la hauteur du second modèle afin de respecter la condition de similitude? Afin de s'assurer de respecter les normes du bâtiment, l'angle d'élévation des fermes de toit d'une maison doit être d'un minimum de |25^\\circ.| Pour s'assurer de respecter cette contrainte, un fabriquant décide d'établir cet angle à |35^\\circ.| Si on sait que la longueur de la ferme de toit est de 13 mètres, quelles seront les mesures des deux autres côtés de cette pièce de bois? Afin de déterminer le trajet à suivre par un hélicoptère pour aller chercher des gens en détresse en forêt, on a triangulé la carte de la région avec l'emplacement actuel de l'hélicoptère, l'hôpital et les gens qui sont en détresse. Selon ce dessin, quelle orientation devrait suivre l'hélicoptère pour se rendre le plus rapidement possible aux gens en détresse? Selon le triangle quelconque qui suit, on peut en déduire une série d'équivalences. Lors de certaines festivités westerns, des courses de chevaux sont organisées pour animer le spectacle. Lors de ces courses, les cowboys doivent faire le tour de chacun des trois barils qui sont disposés en forme de triangle isocèle. À l'aide des mesures données, quelle est la distance entre chacun des barils? Afin d'assurer un aérodynamisme maximal, le profil de certains voitures de course ressemble à un triangle. Afin que ces proportions soient conservées, quelle devrait être la mesure de l'angle qui se situe près de la roue arrière? Selon le triangle quelconque qui suit, on peut en déduire trois équivalences. Afin de maximiser ses chances de chasser un orignal, un chasseur à l'arc s'installe dans un coin de son terrain et la portée de ses flèches se décrit selon le triangle suivant : En te fiant aux informations sur ce dessin, sur quelle |\\color{red}{\\text{distance}}| est-ce que l'orignal peut se promener en restant le plus loin possible du chasseur? Afin d'assurer la sécurité de ses employés, une banque fait installer une caméra de surveillance rotative dans le hall d'entrée. Par ailleurs, un agent de sécurité est également en charge de surveiller cette même région qui est définie par le triangle suivant: Afin de s'assurer qu'il n'y ait aucun angle mort, quelle devrait être la mesure de l'angle de rotation de la caméra? Pour y arriver, il faut ajouter des lignes (généralement une hauteur) avec des propriétés particulières et des mesures indéterminées. Choisir le bon sommet à partir duquel on trace une hauteur. Utiliser les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle pour trouver les mesures manquantes. Appliquer la formule d'aire d'un triangle avec les mesures trouvées. Quelle est l'aire du triangle suivant : A - C - A : Deux triangles sont isométriques quand une paire de côtés homologues isométriques est incluse entre deux paires d'angles homologues isométriques. C - A - C : Deux triangles sont isométriques quand une paire d'angles homologues isométriques est incluse entre deux paires de côtés homologues isométriques. C - C - C : Deux triangles sont isométriques quand chacune des paires de côtés homologues sont isométriques. Dû à des problèmes de machinerie, les employés d'une compagnie de construction doivent monter eux-mêmes les fermes de toit de forme triangulaire afin de terminer la construction d'une maison. Or, ils doivent s'assurer qu'elles soient toutes identiques. Avec les informations fournies ci-dessus, démontre que ces deux constructions sont isométriques. A - A : Deux triangles sont semblables quand deux paires d'angles homologues sont isométriques. C - A - C : Deux triangles sont semblables quand une paire d'angles homologues isométriques est incluse entre deux paires de côtés homologues proportionnels. C - C - C : Deux triangles sont semblables si les trois paires de côtés homologues sont proportionnels. Dans le cadre d'une levée de fonds pour un organisme communautaire, la ville organise une course à pied à faire en famille. Par ailleurs, ils tiennent à ce que le trajet fait par les adultes soit semblable à celui des enfants. En tenant compte des informations données ci-dessus, démontre que les deux trajets sont semblables. Selon le triangle rectangle qui suit, on peut en déduire 3 théorèmes. Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.||\\begin{align} \\dfrac{m}{a} = \\dfrac{a}{c}\\ &\\Leftrightarrow\\ a^2 = m c \\\\\\\\ \\dfrac{n}{b} = \\dfrac{b}{c}\\ &\\Leftrightarrow\\ b^2 = n c \\end{align}|| Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. ||\\dfrac{m}{h} = \\dfrac{h}{n}\\ \\Leftrightarrow\\ h^2 = m n|| Dans le triangle rectangle, le produit des mesures de l’hypoténuse et de la hauteur correspondante égale le produit des mesures des côtés de l’angle droit. ||c h = a b|| Afin de se distinguer des autres entrepreneurs, une compagnie de construction suggère des maisons avec des toits de différentes formes. Parmi ces choix, on a la forme suivante : Afin d'estimer les couts de production, l'entrepreneur a besoin des deux mesures extérieures manquantes de ce triangle |(\\overline {AB}, \\overline {BC}).| Aide-le à les déterminer. Afin de déterminer la quantité d'essence qu'un avion doit avoir dans son réservoir pour faire un vol Montréal-Paris, on représente chacune de ces deux villes sur un plan cartésien gradué en kilomètre. Quelle est la distance, en kilomètres, entre ces deux villes? Les droites |y_1 = a_1 x + b_1| et |y_2 = a_2 x + b_2| sont parallèles si et seulement si |a_1 = a_2.| Quelle est l'équation de la droite qui est parallèle à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C? Les droites |y_1 = a_1 x + b_1| et |y_2 = a_2 x + b_2| sont perpendiculaires si et seulement si |a_1 \\times a_2 = -1.| On dit aussi que deux droites sont perpendiculaires si la pente de l'une est l'opposée de l'inverse de la pente de l'autre : |a_2 = \\dfrac{-1}{a_1}.| Quelle est l'équation de la droite qui est perpendiculaire à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C? Le nuage de points est utilisé pour estimer la corrélation qui existe entre deux variables. Pour avoir une idée plus précise de la corrélation, il faut calculer le coefficient de corrélation . Depuis cinq ans, une nouvelle entreprise ne cesse d'augmenter ses profits et cherche à agrandir son centre de production. Par contre, elle veut s'assurer que la croissance économique de sa compagnie soit positive et fortement régulière. Pour analyser le tout, voici le recensement des revenus commerciaux des 30 dernières semaines. À ton avis, est-ce que la croissance économique de l'entreprise est positive et fortement régulière? Après avoir encadré le nuage de points et pris la mesure de la longueur |(L)| et la largeur |(l)| du rectangle : |r \\approx \\pm \\left(1 - \\dfrac{l}{L}\\right)| Pour ce qui est du signe, il sera donné en fonction du sens du nuage de points. On peut également utiliser ce coefficient pour qualifier la corrélation : Valeur de |r| Force du lien linéaire Près de |0| Nulle Près de |\\pm 0{,}50| Faible Près de |\\pm 0{,}75| Moyenne Près de |\\pm 0{,}87| Forte Près de |\\pm 1| Très forte |\\pm 1| Parfaite Afin de faire un bilan sur la réussite des étudiants qui s'inscrivent dans les établissements d'enseignements pour adultes, les membres de la direction s'intéressent à la corrélation entre l'absentéisme aux différents cours (en heures) et la moyenne générale (en %) à la fin de l'année scolaire. Pour bien analyser le tout, ils ont regroupé les données dans un nuage de points : Quel est le coefficient de corrélation de cette étude? Pour trouver l'équation de la droite de régression selon la méthode médiane-médiane, on peut se fier aux étapes suivantes : Mettre les couples en ordre croissant selon la valeur des |x.| Séparer les couples en trois groupes égaux, si possible. Calculer la coordonnée médiane |(M_1, M_2, M_3)| de chacun des groupes. Calculer la coordonnée moyenne |(P_1)| des trois points médians. Calculer la valeur de la pente |(a)| avec |M_1| et |M_3.| Calculer la valeur de la valeur initiale |(b)| avec |P_1.| Écrire l'équation de la droite de régression sous la forme |y = ax + b.| Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante : À l'aide de ces informations, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres. Pour trouver l'équation de la droite de régression selon la méthode de Mayer, on peut se fier aux étapes suivantes : Mettre les couples en ordre croissant selon la valeur en |x.| Séparer les couples en deux groupes égaux, si possible. Calculer les points moyens |(P_1| et |P_2)| de chacun des groupes. Utiliser ces points moyens pour trouver la valeur de la pente |(a)| et de la valeur initiale |(b).| Écrire l'équation de la droite de régression sous la forme |y = ax + b.| Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante : À l'aide de ces information, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres. ", "Le passage d'une forme d'écriture à une autre\n\nLes nombres peuvent être exprimés sous différentes formes. Les principales formes d'écriture des nombres sont les suivantes: La notation fractionnaire (fractions et nombres fractionnaires) La notation décimale Le pourcentage Dans l'optique d'effectuer des opérations, de comparer, d'ordonner ou tout simplement d'exprimer un nombre sous une forme plus appropriée, il peut être essentiel de savoir passer d'une forme d'écriture à une autre. Les fiches suivantes traitent sur les méthodes à utiliser pour effectuer ces passages avec succès. Chaque ligne du tableau ci-dessous représente un nombre sous différentes formes équivalentes. Fraction Nombre fractionnaire Notation décimale Pourcentage |\\large\\frac{1}{2}| |\\large\\frac{1}{2}| |0,5| |50\\ \\%| |\\large\\frac{5}{4}| |1 \\frac{1}{4}| |1,25| |125\\ \\%| |\\large \\frac{7}{3}| |2 \\frac{1}{3}| |2,\\overline{3}| |233,\\overline{3}\\ \\%| |\\large \\frac{4}{1}| |4| |4| |400\\ \\%| ", "Les chiffres\n\n\nUn chiffre est un symbole utilisé pour représenter des nombres. Nous utilisons les symboles suivants pour représenter les dix chiffres du système arabe que nous utilisons : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 Dans le tableau ci-dessous, on y retrouve le symbole illustrant le chiffre, son écriture en lettre, ainsi que sa représentation quantitative. 0 : zéro 1 : un 2 : deux 3 : trois 4 : quatre 5 : cinq 6 : six 7 : sept 8 : huit 9 : neuf Le système de numération le plus couramment utilisé est le système des chiffres arabes. Toutefois, il existe d'autres systèmes de numération comme celui des chiffres romains. ", "Aide-mémoire – Mathématiques – Secondaire 4 – TS\n\nVoici un petit guide de préparation contenant toutes les notions abordées en quatrième secondaire dans la séquence TS. Pour expliquer le tout, chaque formule sera suivie d'un exemple et d'un lien qui mène à une fiche de notre bibliothèque virtuelle. La division de polynômes se fait de la même façon que la division de deux nombres en utilisant la méthode par « crochet ». Quel est le résultat de la division suivante : Pour additionner ou soustraire des expressions rationnelles, on peut généralement procéder en suivant les étapes ci-dessous : Trouver un dénominateur commun. Calculer les fractions équivalentes selon le dénominateur commun trouvé. Effectuer l'addition ou la soustraction des termes semblables aux numérateurs. Simplifer l'expression rationnelle finale en factorisant le numérateur et le dénominateur, si possible. Simplifie l'expression algébrique suivante : ||\\dfrac{x-2}{x+4} - \\dfrac{3}{-3x-12}|| Il est très important de maitriser le concept de distributivité associé à la multiplication : Simplifier les expressions des parenthèses, si possible. Distribuer chacun des termes de la première parenthèse sur tous les termes de la deuxième parenthèse. Simplifier en additionnant et soustrayant les termes semblables. Quelle est l'expression algébrique simplifiée de la multiplication suivante : ||(7x + 4) (2x^2 -4x +3)|| EXEMPLE DE LA MÉTHODE PRODUIT-SOMME Quelles mesures (sous forme numérique ou d'expression algébrique) peuvent être associées à chacune des dimensions d'un prisme à base rectangulaire dont le volume est de |(4x^2 + 8x - 32 )\\ \\text{cm}^3|? CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} &4x^2 + 8x - 32 \\\\ =\\ &4 (x^2 + 2x - 8) \\end{align}| Si possible, faire une mise en évidence simple en s'assurant que tous les coefficients demeurent entier. |4 (\\color{blue}{x}^2 + \\color{red}{2x} \\color{green}{-8})| |\\begin{align} P &= \\color{blue}{1} \\times \\color{green}{-8} =-8 \\\\ S &= \\color{red}{2} \\end{align}| Ainsi, les nombres sont |4| et |-2.| Déterminer les nombres qui répondent au produit et à la somme du polynôme entre parenthèses. |\\begin{align} &4 (x^2 + \\color{red}{2x} - 8) \\\\ =\\ &4 (x^2 + \\color{red}{4x -2x} - 8) \\\\ =\\ &4(\\left[x^2 + 4x\\right] +\\left[-2x -8\\right]) \\\\ =\\ &4 (\\color{blue}{x} (\\color{green}{x + 4}) \\color{blue}{-2} (\\color{green}{x + 4})) \\\\ =\\ &4 (\\color{green}{x+4}) (\\color{blue}{x-2}) \\end{align}| Séparer le terme en |\\color{red}{x}| en utilisant les deux nombres trouvés. Ainsi, les trois dimensions mesurent respectivement |4,| |(x+4)| et |(x-2)\\ \\text{cm}.| EXEMPLE DE DIFFÉRENCE DE CARRÉS Quelles sont les expressions algébriques qui représentent la mesure de la base et de la hauteur d'un triangle dont l'aire est de |(2x^2 - 8)\\ \\text{m}^2|? CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} \\dfrac{\\color{blue}{b} \\times \\color{red}{h}}{2} &= 2x^2 - 8 \\\\ \\color{blue}{b} \\times \\color{red}{h} &= 4x^2 - 16 \\end{align}| Créer l'équation en lien avec la situation. |\\sqrt{4x^2} = 2x| |\\sqrt{16} = 4| Il s'agit d'une soustraction entre les deux termes. Vérifier que le binôme répond aux critères d'une factorisation par différence de carrés. |\\begin{align} \\color{blue}{b} \\times \\color{red}{h} &= 4x^4 - 16 \\\\ \\color{blue}{b} \\times \\color{red}{h} &= \\color{blue}{(2x - 4)} \\color{red}{ (2x + 4)} \\end{align}| Factoriser selon ce modèle. Ainsi, on peut établir que |\\color{blue}{b = (2x - 4)}| et |\\color{red}{h = (2x + 4)}\\ \\text{m}.| EXEMPLE DE TRINÔME CARRÉ PARFAIT Quelle est l'expression algébrique associée à la mesure du côté d'un carré qui a une superficie de |(\\color{blue}{9}x^2 - \\color{red}{42}x +\\color{green}{49})\\ \\text{m}^2?| CALCULS EXPLICATIONS |\\begin{align} \\sqrt{\\color{blue}{a}} &= \\sqrt{\\color{blue}{9}} = \\color{blue}{3} \\\\ \\sqrt{\\color{green}{c}} &= \\sqrt{\\color{green}{49}} = \\color{green}{7} \\\\\\\\ \\color{red}{b} &\\overset{?}{=} 2 \\sqrt{\\color{blue}{a}} \\sqrt{ \\color{green}{c}} \\\\ \\color{red}{42} &= 2 \\times \\color{blue}{3} \\times \\color{green}{7}=42\\end{align}| Vérifier qu'il s'agit bien d'un trinôme carré parfait. |\\color{blue}{9}x^2 - \\color{red}{42}x + \\color{green}{49}| |=(\\color{blue}{3x} - \\color{green}{7})^2| Factoriser selon le modèle du trinôme carré parfait. Puisque l'aire d'un carré se calcule avec la formule |A = c^2,| on peut déduire que |A= (\\color{blue}{3x} - \\color{green}{7})^2.| Par associativité, on obtient que |c = (\\color{blue}{3x} - \\color{green}{7})\\ \\text{m}.| Avec les informations qui sont fournies dans le graphique ci-dessous, détermine l'équation de la droite sous sa forme générale. Avec les informations qui sont fournies dans le tableau ci-dessous, détermine l'équation de la parabole. Quelle est l'équation de la fonction suivante : En 2005, la population des crapauds d'un étang s'élevait à 500. Pour différentes raisons, la population diminue de 5 % aux trois ans. Si le rythme se maintient, en quelle année y aura-t-il environ 368 crapauds? Dans le cadre d'un nouveau programme de récompense, une épicerie offre des timbres qui permettent d'obtenir des réductions significatives à l'achat d'articles ciblés. Pour déterminer le nombre de timbres remis à chaque client, l'épicerie utilise le graphique suivant : À l'aide de ce graphique, détermine les montants possibles de l'achat si un client a reçu 48 timbres. Dans une fonction périodique, un cycle fait référence au motif qui se répète alors que la période est la durée du cycle selon l'axe des |x.| De retour de vacance, Marie-Claude décide de se remettre en forme en faisant du vélo avec son groupe d'amies. Pour guider le groupe, un entraineur fait le trajet avec eux et c'est lui qui décide de la vitesse à maintenir. Afin de préparer le groupe à la prochaine séance, l'entraineur remet ce graphique à chacun des membres du groupe : En sachant que l'entrainement consiste à répéter le même trajet pendant 45 minutes, Marie-Claude se demande pendant combien de minutes, au total, elle aura pédalé à une vitesse minimale de 16 km/h? La réciproque d'une fonction |f(x)|, notée |f^{-1}(x)|, s'obtient en inversant les coordonnées des points tel que |(x,y) \\rightarrow (y,x)| Trace la réciproque de la fonction suivante : Pour l'étude d'une fonction, ce sont toujours les mêmes propriétés qu'il faut analyser : le domaine : toutes les valeurs possibles de |x| le codomaine (l'image) : toutes les avleurs possibles de |y| les abscisses à l'origine : la valeur du |x| quand |y=0| l'ordonnée à l'origine : la valeur du |y| quand |x=0| maximum : la plus grande valeur de |y| minimum : la plus petite valeur de |y| croissance : quand le graphique ne « descend » pas décroissance : quand le graphique ne « monte » pas Le signe : positive : portion du graphique qui est au-dessus ou égale à l'axe des |x| négative : portion du graphique qui est en-dessous ou égale à l'axe des |x| En tant que comptable d'une grande compagnie, tu dois donner un compte rendu détaillé de l'évolution des profits au cours de la dernière année. Pour t'aider, voici le graphique des 12 derniers mois. Avant de préparer ton discours de présentation et afin de bien alimenter ton argumentation, tu dois faire l'étude complète du graphique. Pour résoudre un système d'équations par comparaison, on peut se fier aux étapes suivantes : Identifier les variables reliées aux inconnus. Créer les équations selon la mise en situation. Isoler la même variable pour chacune des équations. Comparer les deux équations pour en former une nouvelle. Résoudre cette nouvelle équation. Remplacer la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable. Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour |15{,}06\\ $.| Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de |11{,}97\\ $.| Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée? Pour résoudre une système d'équations par substitution, on peut se fier aux étapes suivantes : Identifier les variables reliées aux inconnus. Créer les équations selon la mise en situation. Isoler une variable dans une des deux équations. Substituer cette même variable dans l'autre équation par l'expression algébrique qui lui est associée. Résoudre cette nouvelle équation. Remplacer la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable. Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour |15{,}06\\ $.| Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de |11{,}97\\ $.| Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée? Pour résoutre un système d'équation par réduction, on peut se fier aux étapes suivantes : Identifier les variables reliées aux inconnus. Créer les équations selon la mise en situation. Trouver des équations équivalentes pour obtenir le même coefficient d'une même variable. Soustraire les deux équations. Isoler la variable restante pour trouver sa valeur. Remplacer la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable. Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour |15{,}06\\ $.| Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de |11{,}97\\ $.| Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée? De façon générale, c'est la loi sur la multiplication des radicaux qui est utilisé pour effectuer la factorisation |(\\sqrt { ab} = \\sqrt{a} \\sqrt{b}).| Pour y arriver : Décomposer le radicande en un produit de facteurs dont un est un nombre carré. Transformer la racine d'un produit en un produit de racine |(\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\sqrt{b}).| Calculer la racine du nombre carré. Quelle est la valeur simplifiée de la racine suivante : ||\\sqrt{45}|| Selon le triangle rectangle qui suit, on peut en déduire 3 théorèmes. Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.||\\begin{align} \\dfrac{m}{a} = \\dfrac{a}{c}\\ &\\Leftrightarrow\\ a^2 = m c \\\\\\\\ \\dfrac{n}{b} = \\dfrac{b}{c}\\ &\\Leftrightarrow\\ b^2 = n c \\end{align}|| Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. ||\\dfrac{m}{h} = \\dfrac{h}{n}\\ \\Leftrightarrow\\ h^2 = m n|| Dans le triangle rectangle, le produit des mesures de l’hypoténuse et de la hauteur correspondante égale le produit des mesures des côtés de l’angle droit. ||c h = a b|| Afin de se distinguer des autres entrepreneurs, une compagnie de construction suggère des maisons avec des toits de différentes formes. Parmi ces choix, on a la forme suivante : Afin d'estimer les couts de production, l'entrepreneur a besoin des deux mesures extérieures manquantes de ce triangle |(\\overline {AB}, \\overline {BC}).| Aide-le à les déterminer. Afin de s'assurer de respecter les normes du bâtiment, l'angle d'élévation des fermes de toit d'une maison doit être d'un minimum de |25^\\circ.| Pour s'assurer de respecter cette contrainte, un fabriquant décide d'établir cet angle à |35^\\circ.| Si on sait que la longueur de la ferme de toit est de 13 mètres, quelles seront les mesures des deux autres côtés de cette pièce de bois? Afin de déterminer le trajet à suivre par un hélicoptère pour aller chercher des gens en détresse en forêt, on a triangulé la carte de la région avec l'emplacement actuel de l'hélicoptère, l'hôpital et les gens qui sont en détresse. Selon ce dessin, quelle orientation devrait suivre l'hélicoptère pour se rendre le plus rapidement possible aux gens en détresse? Pour y arriver, il faut ajouter des lignes (généralement une hauteur) avec des propriétés particulières et des mesures indéterminées. Choisir le bon sommet à partir duquel on trace une hauteur. Utiliser les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle pour trouver les mesures manquantes. Appliquer la formule d'aire d'un triangle avec les mesures trouvées. Quelle est l'aire du triangle suivant : A - C - A : Deux triangles sont isométriques quand une paire de côtés homologues isométriques est incluse entre deux paires d'angles homologues isométriques. C - A - C : Deux triangles sont isométriques quand une paire d'angles homologues isométriques est incluse entre deux paires de côtés homologues isométriques. C - C - C : Deux triangles sont isométriques quand chacune des paires de côtés homologues sont isométriques. Dû à des problèmes de machinerie, les employés d'une compagnie de construction doivent monter eux-mêmes les fermes de toit de forme triangulaire afin de terminer la construction d'une maison. Or, ils doivent s'assurer qu'elles soient toutes identiques. Avec les informations fournies ci-dessus, démontre que ces deux constructions sont isométriques. A - A : Deux triangles sont semblables quand deux paires d'angles homologues sont isométriques. C - A - C : Deux triangles sont semblables quand une paire d'angles homologues isométriques est incluse entre deux paires de côtés homologues proportionnels. C - C - C : Deux triangles sont semblables si les trois paires de côtés homologues sont proportionnels. Dans le cadre d'une levée de fonds pour un organisme communautaire, la ville organise une course à pied à faire en famille. Par ailleurs, ils tiennent à ce que le trajet fait par les adultes soit semblable à celui des enfants. En tenant compte des informations données ci-dessus, démontre que les deux trajets sont semblables. Afin de déterminer la quantité d'essence qu'un avion doit avoir dans son réservoir pour faire un vol Montréal-Paris, on représente chacune de ces deux villes sur un plan cartésien gradué en kilomètre. Quelle est la distance, en kilomètres, entre ces deux villes? À chaque matin, tu dois te rendre à l'arrêt d'autobus pour attendre ton moyen de transport qui te reconduit à ton école. Afin que l'arrêt soit centralisé pour les autres élèves du coin, tu as remarqué qu'il partageait le segment de rue qui rejoint ta maison à ton école dans un rapport |1 : 4.| En utilisant les informations disponibles, détermine la coordonnée de l'endroit où se situe ton arrêt d'autobus. Les droites |y_1 = a_1 x + b_1| et |y_2 = a_2 x + b_2| sont parallèles si et seulement si |a_1 = a_2.| Quelle est l'équation de la droite qui est parallèle à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C? Les droites |y_1 = a_1 x + b_1| et |y_2 = a_2 x + b_2| sont perpendiculaires si et seulement si |a_1 \\times a_2 = -1.| On dit aussi que deux droites sont perpendiculaires si la pente de l'une est l'opposée de l'inverse de la pente de l'autre : |a_2 = \\dfrac{-1}{a_1}.| Quelle est l'équation de la droite qui est perpendiculaire à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C? TYPES D'ÉVÉNEMENTS DÉFINITION EXEMPLE Mutuellement exclusifs Lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Lancer un dé à six faces et obtenir un résultat qui est à la fois un multiple de 3 et de 4. Non mutuellement exclusifs Lorsqu'ils peuvent se produire en même temps. Piger une carte au hasard dans un jeu qui en contient 52 et en obtenir une qui est à la fois un as et de couleur rouge. Dépendants Lorsque la réalisation de l'un affecte la réalisation de l'autre. Piger successivement et sans remise deux cartes dans un paquet qui en contient 52 au départ. Indépendants Lorsque la réalisation de l'un n'influe pas sur la réalisation de l'autre. Piger une carte dans un paquet qui en contient 52 et lancer un dé à six faces. À l'époque de l'hippodrome de Québec, on pouvait parier sur les victoires des chevaux de course. Ainsi, chaque cheval possédait une cote qui quantifiait ses chances de gagner. Pour la dernière course, un amateur a parié |20\\ $| pour la victoire dont la cote était |1:14.| Ainsi, quel était le gain potentiel de son pari? Pour certains combats de boxe, on peut parier sur la défaite d'un boxeur. Ainsi, chaque pugiliste possède une cote qui quantifie ses chances de gagner. Pour le prochain combat, le champion a une cote de |44:1| pour sa victoire. Ainsi, quel serait le gain net d'un amateur qui parierait |10\\ $| contre une victoire du champion? Dans le but de financer l'équipe de ski acrobatique de l'école, des organisateurs mettent sur un pied une activité de financement pour laquelle il est possible de gagner les prix de participations suivants : Un forfait de ski familial d'une fin de semaine (valeur de 800 $) Deux billets de saison de ski alpin (valeur de 500 $ chacun) Quatre paires de ski (valeur de 300 $ chacune) Huit billets de remontée valide pour une journée (valeur de 45 $ chacun) En sachant qu'ils ont un total de 336 billets à vendre, quel devrait être le prix de vente d'un billet de participation au tirage? Au cours du mois précédent, les auditeurs d'une chaine de radio québécoise avaient la chance de gagner un voyage dans le domaine féérique de Walt Disney. Avant de faire le tirage au hasard du gagnant, le radiodiffuseur a dressé le portrait global des participants : Ainsi, quelle est la probabilité que le gagnant soit père d'une famille de trois enfants en sachant qu'il s'est fait donner le billet de tirage en cadeau? Lors du dernier mois, 11 maisons ont été vendues dans un même quartier pour les montants suivants : |\\color{blue}{156\\ 700\\ $},| |\\color{red}{158\\ 900\\ $},| |159\\ 000\\ $,| |162\\ 500\\ $,| |164\\ 100\\ $,| |167\\ 400\\ $,| |172\\ 000\\ $,| |175\\ 000\\ $,| |178\\ 100\\ $,| |179\\ 000\\ $,| |183\\ 000\\ $.| À des fins de statistiques pour les agents immobiliers, calcule l'écart moyen de cette distribution. Dans certains cours données à l'université, les professeurs attribuent les cotes en fonction des notes obtenues aux examens et à l'écart type de la distribution. Ainsi, quel est l'écart type de la distribution suivante : Le nuage de points est utilisé pour estimer la corrélation qui existe entre deux variables. Pour avoir une idée plus précise de la corrélation, il faut calculer le coefficient de corrélation. Depuis cinq ans, une nouvelle entreprise ne cesse d'augmenter ses profits et cherche à agrandir son centre de production. Par contre, elle veut s'assurer que la croissance économique de sa compagnie soit positive et fortement régulière. Pour analyser le tout, voici le recensement des revenus commerciaux des 30 dernières semaines. À ton avis, est-ce que la croissance économique de l'entreprise est positive et fortement régulière? Après avoir encadré le nuage de points et pris la mesure de la longueur |(L)| et la largeur |(l)| du rectangle :||r = \\pm \\left(1 - \\dfrac{l}{L}\\right)||Pour ce qui est du signe, il sera donné en fonction du sens du nuage de points. On peut également utiliser ce coefficient pour qualifier la corrélation : Valeur de |r| Force du lien linéaire Près de |0| Nulle Près de |\\pm 0{,}50| Faible Près de |\\pm 0{,}75| Moyenne Près de |\\pm 0{,}87| Forte Près de |\\pm 1| Très forte |\\pm 1| Parfaite Afin de faire un bilan sur la réussite des étudiants qui s'inscrivent dans les établissements d'enseignements pour adultes, les membres de la direction s'intéressent à la corrélation entre l'absentéisme aux différents cours (en heures) et la moyenne générale (en %) à la fin de l'année scolaire. Pour bien analyser le tout, ils ont regroupé les données dans un nuage de points : Quel est le coefficient de corrélation de cette étude? Pour trouver l'équation de la droite de régression selon la méthode médiane-médiane, on peut se fier aux étapes suivantes : Mettre les couples en ordre croissant selon la valeur des |x.| Séparer les couples en trois groupes égaux, si possible. Calculer la coordonnée médiane |(M_1, M_2, M_3)| de chacun des groupes. Calculer la coordonnée moyenne |(P_1)| des trois points médians. Calculer la valeur de la pente |(a)| avec |M_1| et |M_3.| Calculer la valeur de la valeur initiale |(b)| avec |P_1.| Écrire l'équation de la droite de régression sous la forme |y = ax + b.| Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante : À l'aide de ces informations, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres. Pour trouver l'équation de la droite de régression selon la méthode de Mayer, on peut se fier aux étapes suivantes : Mettre les couples en ordre croissant selon la valeur en |x.| Séparer les couples en deux groupes égaux, si possible. Calculer les points moyens |(P_1| et |P_2)| de chacun des groupes. Utiliser ces points moyens pour trouver la valeur de la pente |(a)| et de la valeur initiale |(b).| Écrire l'équation de la droite de régression sous la forme |y = ax + b.| Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante : À l'aide de ces information, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres. " ]

[ 0.8736104965209961, 0.8788955211639404, 0.8813556432723999, 0.8634157776832581, 0.8740854859352112, 0.8640874624252319, 0.8622423410415649, 0.8546838760375977, 0.8472061157226562, 0.8207769989967346, 0.8592875003814697 ]

[ 0.8785655498504639, 0.887882649898529, 0.854325532913208, 0.8459643125534058, 0.8552303910255432, 0.8633837103843689, 0.8503414392471313, 0.8415891528129578, 0.8363171815872192, 0.8065361976623535, 0.8519538640975952 ]

[ 0.8568117618560791, 0.8752127885818481, 0.842307448387146, 0.8409700393676758, 0.8357927799224854, 0.8470473885536194, 0.8337505459785461, 0.8286521434783936, 0.8321155905723572, 0.8152040839195251, 0.8390712141990662 ]

[ 0.5230808258056641, 0.5398066639900208, 0.44941186904907227, 0.43543845415115356, 0.40556925535202026, 0.4465950131416321, 0.3779010474681854, 0.4667701721191406, 0.33666446805000305, 0.18679718673229218, 0.5007466077804565 ]

[ 0.6039776878031412, 0.6175695080333757, 0.5685670342357317, 0.5728526870358746, 0.5041577669912867, 0.5451157091872908, 0.5121843137316171, 0.4066619873660433, 0.5423802087649319, 0.5313530908650658, 0.4231293256269942 ]

[ 0.8838636875152588, 0.8528319597244263, 0.835551381111145, 0.8641000986099243, 0.8398394584655762, 0.8548740148544312, 0.8408769965171814, 0.863649845123291, 0.8523301482200623, 0.8259628415107727, 0.863144040107727 ]

[ 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "L’adverbe\n\nL’adverbe est le noyau du groupe adverbial (GAdv). Il s’agit d’une classe de mots invariables. Puisqu’il s’agit d’une classe de mots invariables, l’adverbe s’écrit toujours de la même façon, peu importe l’endroit où il est placé dans la phrase. L’adverbe peut être simple ou complexe. Lorsqu’il est simple, il est formé d’un seul mot. ainsi, hier, très, non, oui, ensuite, vraiment, lentement, extrêmement… Lorsqu’il est complexe (ou composé), il est formé de deux ou plusieurs mots. tout à coup, en effet, sans doute, à peu près, quelque part, pas du tout… L’adverbe sert généralement à apporter des précisions sur l’information donnée dans une phrase ou dans un texte. Il peut exprimer différentes valeurs sémantiques. Voici quelques exemples d’adverbes classés selon leur sens. Sens Exemples Affirmation absolument, certainement, effectivement, évidemment, manifestement, oui, si, volontiers… Conséquence ainsi, alors, aussi, donc… Intensité/quantité à peine, à peu près, assez, aussi, autant, beaucoup, bien, davantage, environ, exagérément, extrêmement, fort, intensément, modérément, moins, passablement, peu, plus, presque, sensiblement, si, tant, tellement, très, trop… Lieu ailleurs, alentour, au-dessus, dehors, devant, là, loin, ici, partout, près, quelque part… Manière Comment? adroitement, agréablement, ainsi, aveuglément, bravement, concrètement, gauchement, gravement, joyeusement, lentement, prudemment, rapidement, sauvagement, savamment… Dans quel ordre? après, d’abord, ensuite, premièrement, deuxièmement… Négation aucunement, ne… pas, ne… guère, ne… plus, non, nullement, jamais, rien… Probabilité apparemment, peut-être, possiblement, probablement, sans doute, vraisemblablement… Temps actuellement, aujourd’hui, autrefois, bientôt, demain, dernièrement, éventuellement, fréquemment, habituellement, hier, immédiatement, jamais, longtemps, occasionnellement, présentement, prochainement, soudainement, souvent, rarement, tard, toujours… Selon son sens, l’adverbe peut jouer divers rôles dans un texte ou dans une phrase. Dans un texte, l’adverbe, selon son sens, peut jouer le rôle d’un marqueur de relation, d’un organisateur textuel ou d’un marqueur de modalité. Rôle textuel de l'adverbe Définition Exemple Marqueur de relation Un marqueur de relation exprime une relation entre deux phrases ou entre deux éléments de la phrase. J’avais bien envie de concocter des biscuits ce matin. Cependant, l’idée de me rendre à l’épicerie pour acheter les ingrédients manquants m’a découragé. Organisateur textuel Un organisateur textuel contribue à l’enchainement logique d’un texte en organisant ses différentes parties. Premièrement, il est inconcevable de croire que la situation n’est pas alarmante. Marqueur de modalité Un marqueur de modalité permet de démontrer le point de vue de l’énonciateur par rapport à son propos. Malheureusement, peu de gens partagent cet avis. L’adverbe peut jouer divers rôles dans la construction de la phrase. Il peut être un coordonnant, un marqueur exclamatif, un marqueur interrogatif ou un marqueur de négation. Rôle syntaxique de l'adverbe Définition Exemple Coordonnant Un coordonnant sert à joindre des groupes de mots ou des phrases. J’ai de la difficulté en mathématiques, alors je me rends souvent en récupération. Marqueur exclamatif Un marqueur exclamatif sert à former une phrase exclamative. Comme tu as grandi! Marqueur interrogatif Un marqueur interrogatif sert à former une phrase interrogative. Combien cette paire de chaussures coute-t-elle? Marqueur de négation Un marqueur de négation sert à former une phrase négative. Un nouveau-né ne doit jamais être laissé sans surveillance. Pour repérer l’adverbe et le distinguer des autres classes de mots, il est possible d’utiliser la manipulation syntaxique du remplacement. On peut le remplacer par un autre adverbe exprimant le même sens sans rendre la phrase incorrecte. L’opération chirurgicale se déroule à merveille. L’opération chirurgicale se déroule parfaitement. (Phrase correcte) L’opération chirurgicale se déroule bien. (Phrase correcte) Dans cette phrase, à merveille est un adverbe, puisqu’il est possible de le remplacer par un autre adverbe ayant le même sens, comme parfaitement ou bien. Cette idée me semble fort pertinente. Cette idée me semble vraiment pertinente. (Phrase correcte) Dans cette phrase, fort est un adverbe, puisqu’il est possible de le remplacer par le mot vraiment, un adverbe ayant le même sens. Tu es fort comme un bœuf. Tu es vraiment comme un bœuf. (Phrase correcte, mais dont le sens change) Dans cette phrase, fort n’est pas un adverbe, puisque le remplacement par le mot vraiment, un adverbe ayant le même sens, change le sens de la phrase. Il s’agit plutôt d’un adjectif. Avant, Agathe n’aurait jamais pu prendre une décision aussi spontanée. Auparavant, Agathe n’aurait jamais pu prendre une décision aussi spontanée. Dans cette phrase, avant est un adverbe, puisqu’il est possible de le remplacer par le mot auparavant, un adverbe ayant le même sens. Avant le repas, il est important de bien se laver les mains. Auparavant le repas, il est important de bien se laver les mains. (Phrase incorrecte) Dans cette phrase, avant n’est pas un adverbe, puisqu’il est impossible de le remplacer par le mot auparavant, un adverbe ayant le même sens. Il s’agit plutôt d’une préposition. ", "Si, s'y et ci\n\nS’y est la combinaison du pronom personnel se et du pronom personnel y. La ressemblance est parfaite, c'est à s'y méprendre. La ressemblance est parfaite, c'est à nous y méprendre. Elle doit s'y rendre. Nous devons nous y rendre. Ci peut être un adverbe qui marque la proximité dans l’espace et dans le temps. Il signifie ici. Cet adverbe est précédé d’un trait d’union. Je pense que tu préfèreras ce livre-ci. Je pense que tu préfèreras ce livre-là. Cet évènement-ci sera organisé par une entreprise privée. Cet évènement-là sera organisé par une entreprise privée. Scie est un nom féminin qui désigne un outil utilisé pour couper des objets. J’ai utilisé une scie bien aiguisée pour couper cette branche. J’ai utilisé une lame bien aiguisée pour couper cette branche. Daniel aura besoin d’une scie pour faire ce projet. Daniel aura besoin d’une lame pour faire ce projet. Si peut être un nom invariable désignant une note de musique. Si peut aussi être un adverbe de quantité, d'intensité ou d'affirmation. Si peut également être une conjonction de subordination. Dans ce cas, il introduit une subordonnée qui exprime une condition, une hypothèse, une concession, une restriction ou une interrogation directe. J'ai de la difficulté à faire un si. J'ai de la difficulté à faire un fa. Ils sont si nombreux. Ils sont tellement nombreux. Ils ne viendront pas? Si, ils sont en route. Ils ne viendront pas? Oui, ils sont en route. Si tu étais riche, tu partirais en voyage. Nous y tu étais riche, tu partirais en voyage. (Phrase incorrecte) Là tu étais riche, tu partirais en voyage. (Phrase incorrecte) Vous devriez vérifier si la porte est bien verrouillée avant de partir. Vous devriez vérifier lame la porte est bien verrouillée avant de partir. (Phrase incorrecte) Accéder au jeu ", "Quelque, quelques, quel que, quelle que, quels que, quelles que\n\nQuelque(s) peut être un déterminant indéfini. Il peut être singulier ou pluriel. Quelque peut aussi être un adverbe de quantité ou d’intensité. Il est invariable. Pendant quelque temps, j'ai cru que vous ne reviendriez pas. Pendant un temps, j'ai cru que vous ne reviendriez pas. Quelques convives me regardèrent d'un air étonné. Plusieurs convives me regardèrent d'un air étonné. Quelque cent enfants ont participé à cette course. (Quantité) Environ cent enfants ont participé à cette course. Quelque gentil qu'il soit, je ne l'inviterai pas. (Intensité) Aussi gentil qu'il soit, je ne l'inviterai pas. Il existe des adverbes complexes formés à l’aide du mot quelque. Dans ces cas, le remplacement par un(e), plusieurs, environ ou aussi ne fonctionne pas. Tu peux par contre remplacer ces locutions par les expressions de la deuxième colonne du tableau pour les différencier. Locutions Sens En quelque sorte Pour ainsi dire, d'une certaine façon Quelque part À un endroit quelconque Quelquefois Parfois Quelque peu Assez Quelle que soit la décision qui sera prise, j’agirai en conséquence. Une soit la décision qui sera prise, j'agirai en conséquence. Plusieurs soit la décision qui sera prise, j'agirai en conséquence. Tous les humains, quels qu’ils soient, devraient adopter des habitudes de vie saines. Tous les humains, environ ils soient, devraient adopter des habitudes de vie saines. Tous les humains, aussi ils soient, devraient adopter des habitudes de vie saines. Quel(s) que est un pronom indéfini masculin. Quelle(s) que est le même pronom indéfini, mais féminin. Ils ont le sens de « peu importe ». ", "Fiche pour tester la moderation \n\noui allo ", "Sur, sur(s), sure(s), sûr(s) et sûre(s)\n\n Voici des trucs et des stratégies qui t'aideront à différencier les homophones suivants : Sur(s) est un adjectif masculin. Sure(s) est également un adjectif, mais féminin. Ces adjectifs désignent un gout acide. Ces friandises sont tellement sures que mes joues pincent! Ces friandises sont tellement surettes que mes joues pincent! Eli n’aime pas le gout sur de la pomme : il les préfère sucrées. Eli n’aime pas le gout suret de la pomme : il les préfère sucrées. Sûr (surs) est un adjectif masculin. Sure(s) est également un adjectif, mais féminin. Ces adjectifs signifient qui est certain(e) ou qui est sécuritaire. Esther est sure qu’elle recevra son colis aujourd’hui. (ou sûre) Esther est certaine qu’elle recevra son colis aujourd’hui. Les routes ne sont pas sures à cause de la tempête qui sévit. (ou sûres) Les routes ne sont pas sécuritaires à cause de la tempête qui sévit. Alex était sûr de gagner son pari. Alex était certain de gagner son pari. Les élèves, surs de leur réponse, ont levé la main très rapidement. (ou sûrs) Les élèves, certains de leur réponse, ont levé la main très rapidement. Il existe des adverbes complexes formés à l’aide du mot sûr. Comme le remplacement par certain(e) ou sécuritaire ne fonctionne pas dans ces cas, on peut remplacer ces adverbes complexes par ceux de la deuxième colonne du tableau pour savoir si l’on doit utiliser sûr. Adverbes complexes Sens En lieu sûr À l’abri Bien sûr Assurément Pour sûr Certainement À coup sûr Sans aucun doute Sur est une préposition qui signifie au-dessus de, à la surface de, dans la direction de, au sujet de ou en se fiant à. Sur peut aussi présenter une proportion. J’ai laissé mes clés sur la table. J’ai laissé mes clés certaines la table. (Phrase incorrecte) La voiture fonçait tout droit sur nous. La voiture fonçait tout droit sécuritaire nous. (Phrase incorrecte) La chambre de Khalid a une vue sur la ville illuminée. La chambre de Khalid a une vue surette la ville illuminée. (Phrase incorrecte) Accéder au jeu ", "Quoique et quoi que\n\nQuoique est une conjonction de subordination qui marque l’opposition ou la concession. Quoique très pauvre, il arrive à se nourrir correctement. Bien que très pauvre, il arrive à se nourrir correctement. C'est lui qui fera la vaisselle, quoiqu'il soit déjà en retard pour son rendez-vous. C'est lui qui fera la vaisselle, bien qu'il soit déjà en retard pour son rendez-vous. Quoi que est le pronom quoi suivi de la conjonction de subordination que. Quoi que signifie « quelle que soit la personne ou la chose qui (ou que) ». Mon chien a l’habitude de me suivre, quoi que je fasse. Mon chien a l’habitude de me suivre, quelle que soit la chose que je fasse. Nous allons poursuivre notre projet, quoi qu’Henriette décide de faire. Nous allons poursuivre notre projet, quelle que soit la chose qu’Henriette décide de faire. Accéder au jeu ", "Les règles de formation des adverbes\n\nLes règles de formation des adverbes régissent la façon dont les adverbes sont construits. Pour comprendre ces règles, on peut distinguer deux grandes catégories d’adverbes, soit les adverbes en -ment et les autres adverbes. grand — grande — grandement judicieux — judicieuse — judicieusement maladroit — maladroite — maladroitement malheureux — malheureuse — malheureusement naïf — naïve — naïvement réel — réelle — réellement Des règles particulières régissent aussi la formation de certains adverbes en -ment. Règle Exemples Lorsqu’un adjectif se termine par -e, -é, -i ou -u, on peut simplement y ajouter le suffixe -ment pour former un adverbe. autre — autrement passionné — passionnément poli — poliment absolu — absolument Pour certains adjectifs au féminin ou se terminant par -e, il arrive qu’on ajoute un accent aigu au e final avant d’ajouter le suffixe -ment. profonde — profondément énorme — énormément uniforme — uniformément Dans le cas où un adjectif au masculin se termine par -ant, on efface cette terminaison et on la remplace par le suffixe -amment. Dans le cas où un adjectif au masculin se termine par -ent, on efface cette terminaison et on la remplace par le suffixe -emment. abondant — abondamment suffisant — suffisamment puissant — puissamment évident — évidemment pertinent — pertinemment innocent — innocemment Remarque : les adjectifs lent et présent ne suivent pas cette règle particulière. Ils suivent plutôt la règle générale (lentement et présentement). Certains adverbes sont issus de leurs origines latines. ainsi, aussi, bien, hier, in extrémis, là, non, oui, plus… Certains adjectifs sont parfois employés comme adverbes. Ainsi, un même mot peut être un adjectif ou un adverbe selon le contexte dans lequel il est utilisé. bas, bon, cher, dur, fort, haut, lourd, juste… ", "La reprise par un groupe adverbial\n\n L’été dernier, je suis allé en Gaspésie. Là-bas, j’ai pu voir de magnifiques couchers de soleil. - L'adverbe de lieu là-bas reprend en Gaspésie. Elle se mit à hurler et à donner des coups. Ainsi, elle voulait leur faire comprendre la colère qu'elle ressentait. - L'adverbe de manière ainsi reprend hurler et donner des coups. À consulter : ", "L’addition (manipulation syntaxique)\n\nL'addition est une manipulation syntaxique qui consiste à ajouter un mot ou un groupe de mots dans une phrase dans le but de mieux l'analyser. Pour reconnaître un adjectif qualifiant, il suffit d'ajouter un adverbe devant. Si l'addition de cet élément dans la phrase fait que le propos demeure sensé, c'est que l'adjectif est bel et bien qualifiant. Toutes les phrases suivantes contiennent un adjectif qualifiant : 1. Un garçon intelligent. - Un garçon très intelligent. 2. Cette femme est jeune. - Cette femme est plutôt jeune. 3. L'examen était difficile. - L'examen était excessivement difficile. Dans les trois phrases, l'ajout d'un adverbe (très, plutôt, excessivement) ne crée pas un non-sens. Les adjectifs (intelligent, jeune, difficile) sont donc qualifiants. Pour reconnaître un adjectif classifiant, il suffit d'ajouter un adverbe devant. Si l'addition de cet élément dans la phrase fait que le propos devient insensé, c'est que l'adjectif est bel et bien classifiant. Toutes les phrases suivantes contiennent un adjectif classifiant : 1. Il connaît bien la structure gouvernementale. - Il connaît bien la structure très gouvernementale. 2. Il fait partie de l'équipe nationale de hockey. - Il fait partie de l'équipe plutôt nationale de hockey. 3. Je suis en amour avec la langue français. - Je suis en amour avec la langue excessivement française. Dans les trois phrases, l'ajout d'un adverbe (très, plutôt, excessivement) crée un non-sens. Les adjectifs (gouvernementale, nationale, française) sont donc classifiants. Il existe d'autres manipulations syntaxiques : ", "Le groupe adverbial (GAdv)\n\nLe groupe adverbial est un groupe dont le noyau est un adverbe. Il n'est pas rare que le groupe adverbial soit réduit à son seul noyau. 1. Mes amis lisent beaucoup. 2. Je la rencontre souvent. L'adverbe du groupe adverbial peut avoir une expansion à sa gauche, soit un adverbe d'intensité. 1. Pour réussir son examen, Arianne se prépare très sérieusement. 2. Il la regarde vraiment attentivement. L'adverbe du groupe adverbial pourrait aussi (bien que ce soit plus rare) faire place à une expansion à sa droite, comme un groupe prépositionnel (exemple 1) ou une subordonnée complétive (exemple 2). 1. Contrairement à ce que tout le monde pense, elle n'a pas de talent musical. 2. Heureusement qu'elle n'a pas pu s'y rendre, car la tempête a fait rage toute la matinée. " ]

[ 0.8609225749969482, 0.8484973907470703, 0.862371563911438, 0.826952338218689, 0.8359889388084412, 0.8178090453147888, 0.8390051126480103, 0.8482773303985596, 0.8356451988220215, 0.8571437001228333 ]

[ 0.8320438861846924, 0.8375394940376282, 0.8334606885910034, 0.7981428503990173, 0.8023315072059631, 0.8004999160766602, 0.8250287771224976, 0.8186244964599609, 0.8303763270378113, 0.8223302364349365 ]

[ 0.8385451436042786, 0.8280649185180664, 0.8225610256195068, 0.7971228361129761, 0.8251111507415771, 0.8011332154273987, 0.8338412046432495, 0.8227424025535583, 0.8318339586257935, 0.836726188659668 ]

[ 0.5260864496231079, 0.35062524676322937, 0.4196438193321228, 0.17772772908210754, 0.34635332226753235, 0.32041501998901367, 0.4932035803794861, 0.34357506036758423, 0.48545411229133606, 0.41866159439086914 ]

[ 0.6262527525483078, 0.5127764569193196, 0.5677428501325492, 0.4346846084925504, 0.5151355847594312, 0.4635540820525065, 0.5907001097849105, 0.42217279090093474, 0.4822361602073113, 0.5384937986270018 ]

[ 0.8543789386749268, 0.7734289169311523, 0.8168538212776184, 0.7585196495056152, 0.8030765056610107, 0.7870495319366455, 0.8540039658546448, 0.7841739654541016, 0.8115382790565491, 0.8223370909690857 ]

[ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "Le volume\n\nLe volume est la mesure de l’espace occupé par un objet. Tout objet occupe un espace à trois dimensions : une hauteur, une largeur et une profondeur. Le volume tient compte de l'espace occupé dans ces trois dimensions par un objet. Pour mesurer le volume d'un objet, on utilise différentes techniques. Pour des solides réguliers, on utilise les formules mathématiques pour calculer le volume. Pour des solides irréguliers, la technique du déplacement d'eau permet de calculer l'espace occupé par le solide. Finalement, pour les liquides et les gaz, des instruments de laboratoire peuvent être utilisés, comme un cylindre gradué ou une fiole jaugée. On exprime habituellement la mesure d’un volume en centimètres cubes (cm3) ou en mètres cubes (m3) pour les solides. Préfixe kilo- hecto déca- déci- centi- milli- Volume kilomètre cube (km3) hectomètre cube (hm3) décamètre cube (dam3) mètre cube (m3) décimètre cube (dm3) centimètre cube (cm3) millimètre cube (mm3) Valeur équivalente à 1 m3 0,000 000 001 km3 0,000 0001 hm3 0,001 dam3 1 m3 1000 dm3 1 000 000 cm3 1 000 000 000 mm3 Préfixe kilo- hecto- déca- déci- centi- milli- Volume kilolitre (kL) hectolitre (hL) décalitre (daL) litre (L) décilitre (dL) centilitre (cL) millilitre (mL) Valeur équivalente à 1 L 0,001 kL 0,01 hL 0,1 daL 1 10 dL 100 mL 1 000 mL Pour les liquides, on utilise plutôt les millilitres (mL) et les litres (L). Le choix des unités de mesure est fait en fonction de l'objet dont on cherche à déterminer le volume. Par exemple, s'il faut mesurer le volume d'eau dans un verre, les millilitres seront les unités de mesure à privilégier. Toutefois, s'il faut mesurer la quantité d'eau présente sur la surface de la terre, les kilolitres seront les unités de mesure à utiliser afin de ne pas obtenir un trop grand nombre. On place un kilogramme de briques d'un côté d'une balance, et un kilogramme de plumes de l'autre côté. Puisque les masses sont équivalentes, la balance maintiendra son équilibre. Toutefois, les volumes seront différents: il faudra beaucoup plus de plumes pour atteindre un kilogramme que de briques pour atteindre la même masse. Il est donc possible que deux objets ayant des masses semblables aient des volumes différents. ", "Les unités de capacité et leur conversion\n\nLa capacité est la mesure du volume qu'un récipient peut contenir. Par exemple, les contenants ci-dessous contiennent une certaine quantité de lait et de farine. Dans la vie courante, on se sert de la capacité pour mesurer des quantités. Cette mesure est, entre autre, très utile en cuisine. L'unité de mesure de base de la capacité, dans le système international (SI), est le litre (L). Voici un tableau des unités les plus souvent utilisées: Préfixe kilo- hecto- déca- déci- centi- milli- Capacité kilolitre (kL) hectolitre (hL) décalitre (daL) litre (L) décilitre (dL) centilitre (cL) millilitre (mL) Valeur équivalente en litre 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000 Dans ce tableau, chaque unité est 10 fois plus grande que l'unité qui la suit. Ainsi, 1 litre vaut 10 décilitres, 1 décilitre vaut 10 centilitres, et ainsi de suite. La conversion d'une unité de mesure consiste à exprimer une grandeur dans une unité de mesure inférieure ou supérieure. On peut utiliser la méthode des bonds ou encore le tableau des unités de mesure pour convertir une mesure en une autre. Par exemple, pour passer de cL à mL, on doit multiplier par 10. Pour passer de mL à cL, on doit diviser par 10. 1. Millilitres ÷ 10 = centilitres - 10 mL = 1 cL 2. Millilitres ÷ 100 = décilitres - 100 mL = 1 dL 3. Millilitres ÷ 1 000 = litres - 1 000 mL = 1 L 4. Millilitres ÷ 1 000 000 = kilolitres - 1 000 000 mL = 1 kL On peut aussi utiliser un tableau pour faire les conversions. Si on veut convertir 34 litres en centilitres, on place le chiffre à la position de l’unité dans la colonne des litres (puisqu'il s'agit de l'unité de mesure du chiffre de départ). On place donc le 4 dans la colonne des litres et le 3 dans la colonne des décalitres. Ensuite, il ne reste plus qu’à mettre des 0 dans chaque colonne jusqu’à la colonne des centilitres (l'unité de mesure recherchée). On obtient 3 400 cL. On veut convertir 7 centilitres en litres. On place le chiffre 7 dans la colonne des centilitres (unité de mesure de départ). On ajoute ensuite un 0 dans chaque colonne jusqu’à la colonne des litres (unité de mesure demandée). On ajoute finalement une virgule dans la colonne des litres. On obtient 0,07 L. Il est possible de transformer les unités de capacité en unités de volume. Pour cela, on doit retenir quelques relations importantes: On veut transformer 125 hL en hm³. On doit transformer les hl en l’une des trois unités connues (voir l'encadré précédent): kL, L ou mL. - 125 hL x 100 = 12 500 L On transforme les litres en dm³. Étant donné que 1 L = 1 dm³, on obtient: - 12 500 L = 12 500 dm³ 3. On transforme les dm³ en hm³ |12 500\\div1000^3=0,000 012 5| hm³ ", "Les mesures manquantes dans les solides\n\nLes formules d'aire et de volume, comme leur nom l’indique, permettent de calculer l'aire et le volume des solides, mais on peut également les utiliser afin de trouver des mesures manquantes. Trouver une mesure manquante dans un solide consiste à déduire une dimension inconnue d'un solide pour lequel on connait l'aire totale, l'aire des bases, l'aire latérale ou le volume. Il suffit d’appliquer une démarche structurée où on met à profit les méthodes algébriques de résolution d’équation. Autrement dit, trouver une mesure manquante permet d'associer le monde de la géométrie et celui de l’algèbre ! On peut avoir à isoler une mesure manquante à partir d’une formule d’aire ou à partir d’une formule de volume. C’est le contexte de la situation qui nous permet de le déterminer. Dans les fiches de cette section, tu retrouveras une panoplie d’exemples qui regroupent pratiquement tous les cas possibles concernant les solides : des solides simples (cube, prisme, pyramide, cône, sphère/boule, cylindre) ou des solides plus complexes (les solides décomposables et tronqués); des équations de degré 1 ou de degré 2; l'obligation de recourir à d'autres outils mathématiques comme la relation de Pythagore ou les méthodes de factorisation. Savoir isoler une variable à partir d’une formule de géométrie ou à partir de toute autre équation est une des compétences centrales qu’un élève doit maitriser pour bien cheminer en mathématiques, en sciences ou dans n’importe quelle matière connexe. Il vaut donc la peine de bien s’exercer pour devenir très efficace. Pour valider ta compréhension à propos des mesures manquantes dans les solides de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante : ", "L'aire et le volume des solides\n\nEn cherchant à recouvrir un solide ou une surface, on fait référence au calcul de son aire. Pour les solides, il y a 3 types d'aire à différencier. L'aire de la base, généralement notée |A_b,| est la surface occupée par la ou les figures servant de base aux différents solides. L'aire latérale, généralement notée |A_L,| est la surface occupée par les figures qui ne servent pas de bases aux solides. L'aire totale, généralement notée |A_T,| est la surface recouverte par toutes les figures formant les différents solides. Pour savoir laquelle des aires utiliser, il faut se fier au contexte ou lire attentivement les consignes qui sont données dans le problème. L’aire latérale Pour réparer une piscine, on veut remplacer la paroi qui la délimite. Dans ce contexte, la paroi fait référence à la face latérale du cylindre associé à la piscine. Ainsi, on cible l'aire latérale. L’aire de la base Dans un tipi de forme conique, on veut acheter un tapis pour recouvrir le plancher. Dans ce cas, le tapis est posé sur le plancher. On fait référence à la base du cône et c'est seulement la superficie de cette figure qui est considérée pour résoudre le problème. L’aire totale Pour une occasion spéciale, on offre à un être cher un cadeau qu'on désire emballer afin de préserver la surprise. Pour emballer le solide, il faut recouvrir les 4 faces latérales ainsi que les 2 bases. On calcule donc l'aire totale pour résoudre le problème. Il peut arriver qu'on doive considérer une seule des 2 bases ou seulement une partie des faces latérales. Pour en savoir plus, n'hésite pas à consulter les fiches ci-dessous. Le volume, généralement noté |V,| est la mesure de l'espace qu'un solide occupe. Afin de savoir combien de clients pourront recevoir leur commande, une compagnie de distribution d'essence doit savoir quelle quantité, en |\\text{m}^3,| son camion-citerne peut contenir. Pour satisfaire leur curiosité, on doit déterminer l'espace en 3 dimensions occupé par la citerne de ce camion. Il est donc question du volume. On peut regrouper les différentes formules pour tous les solides dans le tableau suivant. Solide Formules d'aire Formule de volume Cube |\\begin{align}A_b &= \\ \\color{#3a9a38}{c}^2\\\\\\\\ A_L &= 4 \\color{#3a9a38}{c}^2\\\\\\\\ A_T &= 6 \\color{#3a9a38}{c}^2 \\end{align}| |V = \\color{#3a9a38}{c}^3| Prisme |\\begin{align} \\color{#3b87cd}{A_b} &= \\text{formule associée à la figure} \\\\\\\\ A_L &= \\color{#3b87cd}{P_b} \\times \\color{#ec0000}{h} \\\\\\\\ A_T &= A_L + 2 \\color{#3b87cd}{A_b} \\end{align}| |V = \\color{#3b87cd}{A_b} \\times \\color{#ec0000}h| Pyramide |\\begin{align} \\color{#3b87cd}{A_b} &= \\text{formule associée à la figure} \\\\\\\\ A_L &= \\dfrac{\\color{#3b87cd}{P_b} \\times \\color{#fa7921}{a}}{2} \\\\\\\\ A_T &= A_L + \\color{#3b87cd}{A_b} \\end{align}| |V = \\dfrac{\\color{#3b87cd}{A_b} \\times \\color{#ec0000}{h}}{3}| Sphère ou boule Aire de la sphère |A_T = 4 \\pi \\color{#3a9a38}{r}^2| Volume de la boule |V= \\dfrac{4 \\pi \\color{#3a9a38}{r}^3}{3}| Cylindre |\\begin{align} \\color{#3b87cd}{A_b} &= \\pi \\color{#3a9a38}{r}^2 \\\\\\\\ A_L &= 2 \\pi \\color{#3a9a38}{r} \\color{#ec0000}h \\\\\\\\ A_T &= A_L + 2 \\color{#3b87cd}{A_b} \\end{align}| |V = \\color{#3b87cd}{A_b} \\times \\color{#ec0000}h| Cône |\\begin{align} \\color{#3b87cd}{A_b} &= \\pi \\color{#3a9a38}r^2 \\\\\\\\ A_L &= \\pi \\color{#3a9a38}r \\color{#fa7921}a \\\\\\\\ A_T &= A_L + \\color{#3b87cd}{A_b} \\end{align}| |V = \\dfrac{\\color{#3b87cd}{A_b} \\times \\color{#ec0000}h}{3}| La ou les bases des prismes et celle des pyramides peuvent prendre différentes formes. Pour t’aider à calculer leur aire, n’hésite pas à consulter le tableau résumé des formules d’aire des figures planes. Pour valider ta compréhension de façon interactive à propos de l'utilisation des formules d'aire et de volume des solides dans le but de trouver une mesure manquante, consulte la MiniRécup suivante. ", "Le volume des solides tronqués\n\nUn solide tronqué est un solide qui a été coupé par un plan et dont seulement une portion de la séparation a été conservée. Ce plan de coupe peut être parallèle à la base de ce dernier ou non. Il est important de savoir qu’on peut tronquer n’importe quel solide. Dans certains cas, le solide obtenu est similaire au solide initial et on peut calculer son volume facilement. Par contre, dans le cas des pyramides et des cônes tronqués, il faut utiliser une démarche différente en se servant de la soustraction. Voici 2 exemples. Pour isoler le toit d'une maison, un entrepreneur décide d'utiliser une mousse de polyuréthane appliquée à l'aide d'un pistolet. Une fois la mousse durcie, elle aura l'allure d'une pyramide tronquée à base rectangulaire. Si ce produit coute |4\\ $| pour |9\\ \\text{dm}^3,| quelle somme d’argent sera nécessaire pour isoler ce toit? Identifier les solides Dans le cas présent, il s'agit d'une pyramide tronquée à base rectangulaire. Dans le but de faciliter les calculs, on doit retrouver la pyramide initiale associée à celle qui est tronquée pour ensuite en déduire ses dimensions comme ceci : Dans une pyramide tronquée comme dans un cône tronqué, les mesures homologues sont proportionnelles.||\\dfrac{\\text{Longueur}_2}{\\text{Longueur}_3} = \\dfrac{\\text{largeur}_2}{\\text{largeur}_3} = \\dfrac{\\text{hauteur}_2}{\\text{hauteur}_3}||Pour calculer la hauteur de la pyramide qui est enlevée (la pyramide 3), il faut donc résoudre une proportion.||\\begin{align} \\dfrac{\\color{#EC0000}{\\text{largeur}_2}}{\\color{#FF55C3}{\\text{largeur}_3}} &= \\dfrac{\\text{hauteur}_2}{\\text{hauteur}_3} \\\\\\\\ \\dfrac{\\color{#EC0000}{38}}{\\color{#FF55C3}{28{,}5}} &= \\dfrac{h_3+\\color{#EFC807}{9{,}5}}{h_3} \\\\\\\\ 38h_3 &= 28{,}5(h_3+9{,}5) \\\\ 38h_3 &= 28{,}5h_3 + 270{,}75 \\\\ 9{,}5h_3 &= 270{,}75 \\\\ h_3 &= 28{,}5\\ \\text{dm} \\end{align}||On peut en déduire la hauteur de la pyramide complète (la pyramide 2).||\\begin{align} h_2 &= h_3 +\\color{#EFC807}{9{,}5} \\\\ &= 28{,}5 + \\color{#EFC807}{9{,}5} \\\\ &= 38 \\ \\text{dm} \\end{align}|| Calculer le volume Le volume du toit (image 1) est obtenu en soustrayant le volume des pyramides 2 et 3.||\\begin{align} V_{1} &= V_{2} - V_{3}\\\\ &= \\dfrac{A_{\\text{base}_2}\\times h_2}{3} - \\dfrac{A_{\\text{base}_{3}}\\times h_3}{3} \\\\ &= \\dfrac{(47{,}5 \\times 38) \\times 38}{3} - \\dfrac{(35{,}72 \\times 28{,}5)\\times 28{,}5}{3} \\\\ &= \\dfrac{1 \\ 805 \\times 38}{3} - \\frac{1 \\ 018{,}02 \\times 28{,}5}{3} \\\\ &\\approx 22\\ 863{,}33 - 9 \\ 671{,}19 \\\\ &\\approx 13 \\ 192{,}14 \\ \\text{dm}^3 \\end{align}|| Interpréter la réponse On peut établir une proportion et la résoudre en utilisant le produit croisé. ||\\begin{align}\\dfrac{4\\ \\$}{?} &= \\dfrac{9 \\ \\text{dm}^3}{13 \\ 192{,}14\\ \\text{dm}^3} \\\\\\\\ ? &= \\dfrac{4 \\times 13 \\ 192{,}14}{9} \\\\ ? &\\approx 5 \\ 863{,}17\\ \\$ \\end{align}||Ainsi, l'isolation avec cette mousse coutera environ |5\\ 863{,}17\\ \\$.| Pour avoir une belle récolte de légumes, une horticultrice plante des graines de tomate dans des pots en forme de cône tronqué inversé. Pour produire suffisamment de tomates, elle doit avoir 14 plants. Sachant qu’elle remplit ses pots à pleine capacité, de quelle quantité de terre aura-t-elle besoin pour planter toutes les graines? Identifier les solides Dans le cas présent, il s'agit d'un cône tronqué inversé. Dans le but de faciliter les calculs, il est important de considérer le cône initial. Calculer le volume Le volume du pot (image 1) est obtenu en soustrayant le volume des cônes 2 et 3. ||\\begin{align} V_{1} &= V_{2} - V_{3}\\\\ &= \\frac{A_{\\text{base}_2}\\times h_2}{3} - \\frac{A_{\\text{base}_{3}}\\times h_3}{3}\\end{align}||Comme il s’agit de cônes, la base est un disque. Ainsi, on utilisera la formule suivante :||A_{\\text{base}} =\\pi r^2||Il faut trouver les rayons puisque ce sont les diamètres qui sont donnés. ||r_2 = \\dfrac{31}{2} =15{,}5\\ \\text{cm}\\\\r_3 = \\dfrac{18{,}4}{2} =9{,}2\\ \\text{cm}||Il faut aussi calculer la hauteur du cône 3. ||h_3 = 63{,}7 - 25{,}89 = 37{,}81\\ \\text{cm}|| ||\\begin{align} V_{1} &= V_{2} - V_{3}\\\\ &= \\dfrac{A_{\\text{base}_2}\\times h_2}{3} - \\dfrac{A_{\\text{base}_{3}}\\times h_3}{3} \\\\ &= \\dfrac{(\\pi \\times 15{,}5^2) \\times 63{,}7}{3} - \\dfrac{(\\pi \\times 9{,}2^2)\\times 37{,}81}{3} \\\\ &= \\dfrac{240{,}25\\pi \\times 63{,}7}{3} - \\dfrac{84{,}64\\pi \\times 37{,}81}{3} \\\\ &\\approx 16\\ 026{,}23 - 3 \\ 351{,}28 \\\\ &\\approx 12\\ 674{,}95 \\ \\text{cm}^3 \\end{align}|| Interpréter la réponse Le volume de terre trouvé est pour 1 pot. Comme il y en a 14 à remplir, on fait le calcul suivant : ||14\\ \\text{pots} \\times 12 \\ 674{,}95\\ \\text{cm}^3/\\text{pot}=177 \\ 449{,}3 \\ \\text{cm}^3||Ainsi, la quantité de terre nécessaire est d’environ |177 \\ 449{,}3\\ \\text{cm}^3.| Il est possible d’utiliser des formules plutôt que d’appliquer les démarches précédentes. Par contre, les formules sont différentes selon la nature du solide tronqué. ", "L'aire des solides tronqués\n\nUn solide tronqué est un solide qui a été coupé par un plan et dont seulement une portion de la séparation a été conservée. Ce plan de coupe peut être parallèle à la base de ce dernier ou non. Pour calculer l’aire d’un solide tronqué, il est essentiel d'associer le solide tronqué à un solide initial connu ou de le décomposer selon les figures qui le composent. Quelle est l'aire totale du cône tronqué suivant en sachant que le rayon, la hauteur et l'apothème qui lui sont associés mesuraient respectivement 9 cm, 16 cm et 18,36 cm? Calculer l'aire des bases Dans ce cas, les bases sont deux disques dont la mesure du rayon est différente. ||\\begin{align} A_\\text{petite base} &= \\pi \\color{#333FB1}{r}^2 \\\\ &= \\pi (\\color{#333FB1}{5{,}63})^2 \\\\ &\\approx 99{,}58\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| ||\\begin{align} A_\\text{grande base} &= \\pi \\color{#333FB1}{r}^2\\\\ &= \\pi (\\color{#333FB1}{9})^2 \\\\ &\\approx 254{,}47\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| ||\\begin{align} A_\\text{bases} &= 99{,}58 + 254{,}47 \\\\ &= 354{,}05\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Identifier les solides Pour faciliter le reste de la démarche, il est essentiel de bien identifier les solides mis en relation. Dans ce cas, ce sont des cônes qui sont impliqués. Calculer l'aire latérale Il faut déterminer la mesure de l'apothème du cône retiré (figure 3). Pour ce faire, on procède par soustraction. ||\\begin{align} a_3 &= a_2 - a_1 \\\\ &= 18{,}36 - 6{,}88 \\\\ &= 11{,}48 \\ \\text{cm} \\end{align}|| En se fiant aux solides de l'étape précédente, on peut déduire que : ||\\begin{align} A_{L1} &= A_{L2} - A_{L3}\\\\ &= \\pi r_2 a_2 - \\pi r_3 a_3 \\\\ &= \\pi (9) (18{,}36) - \\pi (5{,}63) (11{,}48) \\\\ &\\approx 316{,}07 \\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Calculer l'aire totale ||\\begin{align} A_T &= A_L + A_\\text{bases}\\\\ &\\approx 316{,}07 +354{,}05\\\\ &\\approx 670{,}12 \\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Interpréter la réponse L'aire totale de ce cône tronqué est d'environ |670{,}12\\ \\text{cm}^2.| Ariane veut emballer le cadeau qu’elle a acheté pour sa petite sœur. La boite, illustrée ci-dessous, a la forme d’une pyramide tronquée. De quelle surface de papier cadeau Ariane aura-t-elle besoin au minimum pour emballer le présent? Calculer l’aire des bases Les deux bases sont des rectangles de mesures différentes. ||\\begin{align} A_\\text{petite base} &= \\color{#51b6c2}{b} \\times \\color{#efc807}{h} \\\\ &= \\color{#51b6c2}{15{,}17} \\times \\color{#efc807}{12{,}28} \\\\ &\\approx 186{,}29\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| ||\\begin{align} A_\\text{grande base} &= \\color{#7cca51}{b} \\times \\color{#fa7921}{h} \\\\ &= \\color{#7cca51}{21} \\times \\color{#fa7921}{17} \\\\ &= 357\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| ||\\begin{align} A_\\text{bases} &= 186{,}29 + 357 \\\\ &= 543{,}29\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Calculer l’aire latérale L’aire latérale est composée de 2 paires de trapèzes isocèles. ||\\begin{align}A_\\text{petit trapèze} &= \\dfrac{(\\color{#fa7921}{B_1}+ \\color{#efc807}{b_1}) \\times \\color{#c58ae1}{h}}{2}\\\\ &=\\dfrac{(\\color{#fa7921}{17}+ \\color{#efc807}{12{,}28}) \\times \\color{#c58ae1}{15}}{2}\\\\ &= 219{,}6\\ \\text{cm}^2\\end{align}|| ||\\begin{align}A_\\text{grand trapèze} &= \\dfrac{(\\color{#7cca51}{B_2}+ \\color{#51b6c2}{b_2}) \\times \\color{#ff55c3}{h}}{2}\\\\ &=\\dfrac{{(\\color{#7cca51}{21}+ \\color{#51b6c2}{15{,}17})} \\times \\color{#ff55c3}{14,9}}{2}\\\\ &\\approx{269{,}47}\\ \\text{cm}^2\\end{align}|| ||\\begin{align} A_\\text{L} &= {2}\\times{A_\\text{petit trapèze}} +{2}\\times{A_\\text{grand trapèze}} \\\\ &= {2}\\times{219{,}6} +{2}\\times{269{,}47}\\\\&= 978{,}14\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Calculer l’aire totale ||\\begin{align} A_T &= A_\\text{bases} + A_L\\\\ &= 543{,}29 +978{,}14\\\\ &= 1\\ 521{,}43 \\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Interpréter la réponse Ariane aura besoin, au minimum, de |1\\ 521{,}43\\ \\text{cm}^2| de papier cadeau pour emballer le présent de sa petite sœur. Il est possible d’utiliser des formules plutôt que d’appliquer les démarches précédentes. Par contre, les formules sont différentes selon la nature du solide tronqué. ", "Le volume d'une boule\n\nLe volume d'une boule correspond à l'espace à l'intérieur de la sphère qui la délimite. On utilise le mot sphère quand il est question de superficie (aire) et le mot boule quand il est question d'espace occupé (volume). Ainsi, le volume d’une boule est plus approprié que le volume d’une sphère. Pour trouver son volume, il suffit d'appliquer cette formule : Comme c’est le cas pour trouver l’aire d’une sphère, seule la mesure du rayon est nécessaire pour calculer le volume d’une boule. En ce qui concerne le volume d'une demi-boule, il suffit de calculer le volume de la boule entière pour ensuite diviser le résultat par 2. Pour entretenir l'eau d'une piscine, une compagnie fabrique du chlore en granules en forme de boule. En supposant que les granules soient bien compactés pour que la perte d'espace soit négligeable, combien y en aura-t-il dans un récipient de |5\\ 000\\ \\text{cm}^3?| Identifier le solide Dans le contexte, il est clairement mentionné qu'il s'agit d'une boule. Appliquer la formule ||\\begin{align} V &= \\dfrac{4 \\pi r^3}{3}\\\\\\\\&= \\dfrac{4 \\pi (0{,}1)^3}{3}\\\\\\\\&\\approx 0{,}004\\ \\text{cm}^3\\end{align}|| Interpréter la réponse Pour déterminer le nombre de granules, il ne reste qu'à faire la division suivante : ||5\\ 000\\ \\text{cm}^3 \\div 0{,}004\\ \\text{cm}^3 /\\text{granule} = 1\\ 250\\ 000 \\ \\text{granules}|| Il y aura |1\\ 250\\ 000\\ \\text{granules}| dans le récipient de |5\\ 000\\ \\text{cm}^3.| Finalement, il ne faut pas oublier que la relation entre le rayon, la hauteur et la largeur d'une boule est la même que celle que l’on établit dans le cas d’une sphère. Dans certains problèmes, on peut rechercher la mesure du rayon alors que le volume est donné. C’est ce qui s’appelle trouver une mesure manquante d'une boule à partir du volume. ", "Répertoire de révision en sciences - Deuxième cycle du primaire\n\nÀ la fin du deuxième cycle du primaire, voici les concepts suggérés dans le cadre du cours de science et technologie. Univers matériel Terre et espace Univers vivant Univers matériel Propriétés et caractéristiques de la matière Décrire la forme, la couleur et la texture d’un objet ou d’une substance Distinguer la masse (quantité de matière) d’un objet de son poids (force de gravité exercée sur une masse) Classer des solides selon leur masse volumique (volumes identiques et masses différentes ou masses identiques et volumes différents) Associer la flottabilité d’un volume de liquide sur un volume identique d’un autre liquide à leur masse volumique (densité) respective Les changements physiques Démontrer que des changements physiques (ex. : déformation, cassure, broyage, changement d’état) ne modifient pas les propriétés de la matière Les produits domestiques Expliquer le mode de fabrication de certains produits domestiques (ex. : savon, papier) Les formes d’énergie Décrire différentes formes d’énergie (mécanique, électrique, lumineuse, chimique, calorifique, sonore, nucléaire) Identifier des sources d’énergie dans son environnement (ex. : eau en mouvement, réaction chimique dans une pile, rayonnement solaire) Les ondes sonores Identifier des caractéristiques d’une onde sonore (ex. : volume, timbre, écho) Le mouvement de convection Expliquer le mouvement de convection dans les liquides et les gaz (ex. : eau en ébullition) Transformation de l’énergie Décrire des situations dans lesquelles les humains consomment de l’énergie (ex. : chauffage, transport, alimentation, loisirs) Nommer des moyens utilisés par l’homme pour limiter sa consommation d’énergie (ex. : ampoule fluorescente, appareils à minuterie) et pour la conserver (isolation) Décrire des transformations de l’énergie d’une force à une autre L’électrostatique Décrire l’effet de l’attraction électrostatique (ex. : papier attiré par un objet chargé) Caractéristiques d’un mouvement Décrire les caractéristiques d’un mouvement (ex. : direction, vitesse) Les effets d’une force Identifier des manifestations d’une force (ex. : tirer, pousser, lancer, comprimer, étirer) Décrire comment une force agit sur un corps (le mettre en mouvement, modifier son mouvement, l’arrêter) Décrire l’effet d’une force sur un matériau ou une structure Machines simples Reconnaître des machines simples (levier, plan incliné, vis, poulie, treuil, roue) utilisées dans un objet (ex. : levier dans une balançoire à bascule, plan incliné dans une rampe d’accès) Décrire l’utilité de certaines machines simples (variation de l’effort à fournir) Fonctionnement d’un objet mécanique Identifier des pièces mécaniques (engrenages, cames, ressorts, machines simples, bielles) Reconnaître deux types de mouvements (rotation et translation) Décrire une séquence simple de pièces mécaniques en mouvement Technologies du transport Reconnaître l’influence et l’impact des technologies du transport sur le mode de vie et l’environnement des individus Les appareils électriques Reconnaître l’influence et l’impact des appareils électriques sur le mode de vie et l’environnement des individus (ex. : téléphone, radio, télévision, ordinateur) Terre et Espace Propriétés des sols Comparer les propriétés de différents types de sols (ex. : composition, capacité à retenir l’eau et capacité à retenir la chaleur) Les impacts de la qualité de l’eau, du sol et de l’air Décrire divers impacts de la qualité de l’eau, du sol ou de l’air sur les vivants Les fossiles Distinguer un fossile (ou une trace de vivant) d’une roche Les cristaux Décrire les propriétés observables des cristaux (couleur, régularités géométriques) Le cycle de l’eau Expliquer le cycle de l’eau (évaporation, condensation, précipitation, ruissellement et infiltration) Les sources d’énergie Expliquer que le Soleil est la principale source d’énergie sur Terre Identifier des sources d’énergie naturelles (soleil, eau en mouvement, vent) L’énergie renouvelable Décrire ce qu’est une énergie renouvelable Expliquer que la lumière, l’eau en mouvement et le vent sont des sources d’énergie renouvelables Décrire des moyens fabriqués par l’humain pour transformer des sources d’énergie renouvelables en électricité (barrage hydroélectrique, éolienne, panneau solaire) Système Soleil-Terre-Lune Associer le cycle du jour et de la nuit à la rotation de la Terre Décrire les mouvements de rotation et de révolution de la Terre et de la Lune Illustrer les phases du cycle lunaire (pleine lune, nouvelle lune, premier et dernier quartiers) Illustrer la formation des éclipses (lunaire, solaire) Étoiles et galaxie Reconnaître des étoiles et des constellations sur une carte céleste Météorologie Faire un lien entre les conditions météorologiques et les types de nuages présents dans le ciel Technologies de la Terre Reconnaître l’influence et l’impact des technologies de la Terre, de l’atmosphère et de l’espace sur le mode de vie et l’environnement des individus (ex. : appareils de prospection, instruments météorologiques, sismographe, télescope, satellite, station spatiale) Univers vivant Caractéristiques du vivant Expliquer les besoins essentiels au métabolisme des êtres vivants (se nourrir, respirer) Distinguer les modes de développement (vivipare, ovipare et ovovivipare) Décrire le mode de reproduction sexuée des végétaux Classification des êtres vivants Décrire les caractéristiques des différents règnes Classer des êtres vivants selon leur règne Répertorier les animaux selon leur classe (mammifères, amphibiens, reptiles, oiseaux et poissons) Anatomie et croissance des plantes Décrire les parties de l’anatomie d’une plante (racines, tiges, feuilles, fleurs, fruits et graine) Associer les parties d’une plante à leur fonction générale Décrire les stades de croissance d’une plante à fleurs Anatomie et croissance des animaux Associer des parties et des systèmes de l’anatomie des animaux à leur fonction principale Expliquer la fonction sensorielle de certaines parties de l’anatomie (peau, yeux, bouche….) Décrire les stades de croissance de différents animaux Alimentation chez les animaux Expliquer les besoins alimentaires communs à tous les animaux (eau, lipides, glucides…) Associer des animaux familiers à leur régime alimentaire Illustrer une chaîne alimentaire simple (3 ou 4 maillons) Mouvement chez les animaux Décrire divers modes de locomotion chez les animaux (marche, reptation, vol, saut) Nommer d’autres types de mouvements et leur fonction (parade nuptiale, défense…) Interaction entre les organismes vivants et leur milieu Identifier des habitats et des populations animales et végétales Décrire comment les animaux satisfont leurs besoins fondamentaux dans leur habitat Décrire des relations entre les êtres vivants (parasitisme, prédation) Expliquer des adaptations permettant l’augmentation des chances de survie Interaction entre l’humain et son environnement Décrire des impacts des activités humaines sur son environnement (exploitation des ressources, pollution, gestion des déchets, aménagement du territoire, urbanisation…) Expliquer recyclage et compostage ", "L'aire des solides décomposables\n\nUn solide décomposable est un solide pouvant être séparé en plusieurs solides plus simples. Même s'il est question d'un solide, la démarche privilégiée est de le décomposer selon les différents types de figures qui le composent. Ainsi, il suffit de calculer l'aire de chacune des faces selon leur formule d'aire respective et de les additionner. Puisque ces solides sont plus complexes, il ne sera plus question d'aire des bases et d'aire latérale, mais simplement d'aire totale du solide. Quelle est l'aire totale d'un cube de 2 cm de côté surmonté d'une pyramide dont l'apothème mesure 2,24 cm? Identifier les faces concernées Dans le cas présent, il faut considérer les 4 triangles qui forment les faces latérales de la pyramide, les 4 carrés qui forment les faces latérales du cube et le carré qui forme la base du cube. Appliquer les formules appropriées ||\\begin{align} A_\\text{totale} &= 4 \\times \\color{#333FB1}{A_\\text{triangle}} + 4 \\times \\color{#EC0000}{A_\\text{carré}}+ \\color{#3A9A38}{A_\\text{carré}} \\\\ &= 4 \\times \\color{#333FB1}{\\dfrac{b\\times h}{2}} + 4 \\times \\color{#EC0000}{c^2} + \\color{#3A9A38}{c^2} \\\\ &= 4 \\times \\color{#333FB1}{\\dfrac{2 \\times 2{,}24}{2}} + 4 \\times \\color{#EC0000}{2^2} + \\color{#3A9A38}{2^2}\\\\ &= \\color{#333FB1}{8{,}96} + \\color{#EC0000}{16} + \\color{#3A9A38}{4}\\\\ &= 28{,}96\\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Interpréter la réponse L'aire totale de ce solide est de |28{,}96\\ \\text{cm}^2.| En plus des faces qui disparaissent dans la construction du solide, il faut également porter une attention particulière à la priorité des opérations. En effet, il y a beaucoup d'opérations qui sont impliquées dans la démarche. Il faut s'assurer de procéder de façon méthodique afin de ne rien oublier. Quelle est l'aire de ce solide? Identifier les faces concernées Pour ce solide, on peut identifier les 5 carrés complets et le rectangle qui forme la face latérale du cylindre. De plus, quand on associe la base visible du cylindre avec le carré incomplet auquel le cylindre est collé, on obtient un carré de même dimension que les 5 autres. Appliquer les formules appropriées Il suffit de calculer l'aire de 6 carrés et d'un rectangle.||\\begin{align} A &= 6 \\times \\color{#51b6c2}{A_\\text{carré}} + \\color{#3a9a38}{A_\\text{latérale cylindre}} \\\\ &= 6 \\times \\color{#51b6c2}{c^2} +\\color{#3a9a38}{2\\pi r h}\\\\ &= 6 \\times \\color{#51b6c2}{20^2} + \\color{#3a9a38}{2 \\pi (15 \\div 2) \\times 25}\\\\ &\\approx \\color{#51b6c2}{2\\ 400} + \\color{#3a9a38}{1\\ 178{,}1}\\\\ &\\approx 3\\ 578{,}1\\ \\text{mm}^2 \\end{align}|| Interpréter la réponse L'aire de ce solide décomposable est d'environ |3\\ 578{,}1\\ \\text{mm}^2.| En procédant de cette façon, on peut mieux identifier les inconnues lorsqu'on doit trouver une mesure manquante d'un solide décomposable à partir de l'aire. Il peut arriver que certaines portions soient littéralement enlevées du solide afin de créer un espace vide à l'intérieur de ce dernier. Dans ce cas, il est question de solides non convexes. En apparence, ce genre de solide semble posséder une plus petite surface puisque certaines sections sont retirées. Par contre, l'exemple suivant montre que la démarche est semblable à celle utilisée pour les solides décomposables convexes. Quelle est l'aire totale de ce solide? Identifier les faces concernées Dans le cas présent, il faut considérer les 6 carrés utilisés pour les faces du cube. Or, pour 2 d'entre eux, on doit enlever la surface équivalente à celle d'un disque. Finalement, la surface courbe qui est à l'intérieur du cube correspond à la face latérale d'un cylindre. Appliquer les formules appropriées ||\\begin{align} A &=& &4 \\times \\color{#3a9a38}{A_\\text{carré}}&&+&& 2 \\left(\\color{#3a9a38}{A_\\text{carré}} - A_\\text{disque}\\right) &&+&& \\color{#ec0000}{A_{L\\ \\text{cylindre}}}\\\\ &=&& 4 \\times \\color{#3a9a38}{c^2} &&+&& 2 \\left(\\color{#3a9a38}{c^2} - \\pi r^2\\right) &&+&& \\color{#ec0000}{2 \\pi r h}\\\\ &=&& 4 \\times \\color{#3a9a38}{2^2} &&+&& 2 \\left(\\color{#3a9a38}{2^2} - \\pi \\left(1 \\div 2\\right)^2\\right) &&+&& \\color{#ec0000}{2 \\pi (1 \\div 2) \\times 2}\\\\ &\\approx&& 16 &&+&& 2 \\left( 4 - 0{,}79\\right) &&+&& 6{,}28 \\\\ &\\approx &&28{,}7 \\ \\text{m}^2 \\end{align}|| Interpréter la réponse L'aire totale de ce solide est d'environ |28{,}7 \\ \\text{m}^2.| Remarque : Parmi toutes les mesures données, il ne faut pas confondre la mesure du diamètre et celle du rayon. Dans cet exemple, |1 \\ \\text{m}| est la mesure du diamètre. Pour trouver le rayon, il suffit d'utiliser l'égalité |r = \\dfrac{d}{2}.| Puisque le solide est complexe, il est normal que la démarche soit un peu plus longue que pour un solide non complexe. Par contre, en procédant de cette façon, soit en structurant bien sa démarche en une seule et même étape, on peut mieux identifier les inconnues lorsqu'on veut trouver une mesure manquante d'un solide décomposable selon son aire. ", "L'aire d'une sphère\n\nContrairement aux autres solides, l'aire d'une sphère ne peut pas être divisée en différentes parties comme l'aire latérale ou l'aire de la base. En fait, l'aire latérale et l'aire totale représentent la même surface puisqu'il n'y a pas de base. En ce qui concerne la boule, son aire totale correspond à l'espace délimité par la sphère. Bien qu'elle soit entièrement composée d'une seule surface courbe, il est possible de calculer la superficie de la sphère. Étant donné sa surface courbe, il peut y avoir une certaine ressemblance entre cette formule et celle qui permet de calculer l'aire d'un disque. Dans les 2 cas, une seule mesure est nécessaire pour l'utilisation de cette formule, soit la mesure du rayon. Pour que toutes les balles de baseball utilisées dans la Ligue majeure soient identiques, on les recouvre du même matériau. Selon les informations données, quelle quantité de matériau, en |\\text{cm}^2,| doit-on utiliser pour recouvrir une balle? Identifier le solide Puisque c'est l'aire qu'on recherche, on fait référence à la sphère. Appliquer la formule ||\\begin{align} A_T &= 4 \\pi r^2 \\\\ &= 4 \\pi (3{,}66)^2\\\\ &\\approx 168{,}33 \\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Interpréter la réponse L'aire totale de la sphère est donc d'environ |168{,}33 \\ \\text{cm}^2.| Même si une seule mesure est nécessaire pour compléter les calculs, il faut savoir que le rayon de la sphère est la mesure du segment qui relie le centre de cette dernière à sa limite extérieure. Ainsi, le rayon n'est pas obligé d'être parfaitement horizontal ou vertical. De plus, d'autres dimensions peuvent être associées à la mesure du rayon. En divisant la sphère en deux parties égales, on obtient un autre genre de solide avec des propriétés un peu différentes. Il arrive qu’on doive calculer l’aire d’une demi-sphère et qu’aucune nouvelle surface n’apparaisse lorsqu’on coupe la sphère en 2. C'est une sphère ouverte. Dans ce cas, il s’agit de calculer l’aire de la sphère complète et de diviser le résultat en 2. Le contexte permettra d’établir s’il s’agit d’une demi-sphère ouverte ou fermée. Lors de la fabrication d’un bol d’argile, on applique un enduit dans le bol pour s’assurer de ne pas abimer l’argile en mangeant. Quelle surface d’enduit a-t-on besoin pour le bol ci-dessous, si on suppose que le bol est parfaitement demi-sphérique? Identifier le solide Puisque c'est l'aire de l’intérieur du bol qu'on recherche, on fait référence à l’aire d’une demi-sphère ouverte dont le diamètre est de |14\\ \\text{cm}.| Le rayon du bol est donc de |7\\ \\text{cm}.| Appliquer la formule L’aire totale de la sphère se calcule ainsi : ||\\begin{align} A_T &= 4 \\pi r^2\\\\ &= 4 \\pi (7)^2\\\\&=196\\pi\\\\ &\\approx 615{,}75 \\ \\text{cm}^2\\end{align}|| Donc, l’aire de la demi-sphère est |\\dfrac{615{,}75}{2} \\approx 307{,}88\\ \\text{cm}^2 .| Interpréter la réponse La surface d’enduit est donc d’environ |307{,}88 \\ \\text{cm}^2.| Une demi-sphère fermée est une sphère dont la moitié a été conservée et dont l'ouverture a été couverte par un disque. Il est possible de déterminer l'aire de cette portion en additionnant l'aire de la demi-sphère et l'aire du disque formé par cette coupe. En d'autres mots, pour obtenir l’aire totale d’une demi-sphère fermée, il faut ajouter l’aire du disque à la moitié de la surface de la sphère. L’application concrète de cette formule demande une attention particulière quant à l'ordre des opérations à effectuer. Afin d'assurer une distribution uniforme de la chaleur dans une bouilloire de forme demi-sphérique, on veut la recouvrir de nichrome (alliage de nickel et de chrome). Quel sera le cout d'une telle opération s'il en coute |0{,}09\\ $| pour couvrir une surface de |1\\ \\text{cm}^2| avec du nichrome? Identifier le solide Comme il s’agit d’une bouilloire, la demi-sphère est fermée pour contenir l’eau. Appliquer la formule ||\\begin{align} A_T &= 2 \\pi r^2 + \\pi r^2 \\\\ &= 2 \\pi (9)^2 + \\pi (9)^2 \\\\ &=162\\pi + 81\\pi \\\\ &=243\\pi \\\\ &\\approx 763{,}41 \\ \\text{cm}^2 \\end{align}|| Interpréter la réponse Maintenant qu'on connait l'aire en |\\text{cm}^2,| il suffit de la multiplier par le cout par |\\text{cm}^2 :| ||763{,}41\\ \\text{cm}^2 \\times 0{,}09\\ $/\\text{cm}^2 \\approx 68{,}71\\ $|| Finalement, le cout pour recouvrir la bouilloire sera de |68{,}71\\ $.| Dans d'autres circonstances, on pourrait s'intéresser à la mesure du rayon ou encore du diamètre d’une sphère alors que l’aire totale est donnée, c’est ce qui s’appelle trouver une mesure manquante d'une sphère à partir de l'aire. Dans ce cas, la démarche est un peu différente, mais il demeure essentiel de se rappeler la formule de l’aire totale associée aux sphères. ", "Les mesures manquantes des solides à partir de l’aire\n\nDans certains problèmes, il arrive que l'on connaisse l'aire d'un solide ainsi que toutes ses mesures, sauf une. Il faut donc savoir trouver cette mesure manquante. La procédure à suivre pour trouver une mesure manquante dans un solide est généralement la même peu importe son type. Voici les principales étapes. Il est possible de déterminer la mesure du côté d'un cube à partir de son aire. Pour ce faire, il faut se référer à la formule d'aire concernée (aire totale, aire latérale ou aire des bases) pour ensuite effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée. Il est possible de déterminer la mesure manquante d'un prisme à partir de son aire. Pour ce faire, il faut se référer à la formule d'aire appropriée (aire totale, aire latérale ou aire des bases) et effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée. Il est possible de déterminer la mesure manquante dans un cylindre à partir de son aire. Pour ce faire, il faut se référer à la formule d'aire appropriée (aire totale, aire latérale ou aire des bases) et effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée. Quelle est la mesure du rayon d'une balle de tennis si on sait qu'un contenant de forme cylindrique pouvant contenir exactement 3 balles a une aire latérale de |379{,}84\\ \\text{cm}^2?| Il est possible de déterminer la mesure manquante d’une pyramide à partir de son aire. Pour ce faire, il faut se référer à la formule d'aire appropriée (aire totale, aire latérale ou aire des bases) et effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée. Il est possible de déterminer la mesure manquante d’un cône à partir de son aire. Pour ce faire, il faut se référer à la formule d'aire appropriée (aire totale, aire latérale ou aire des bases) et effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée. Comme la pyramide et le cône ont une allure similaire, la démarche à suivre pour trouver la mesure de l'apothème d’un cône est la même que celle pour trouver cette même mesure dans une pyramide. Que ce soit pour une pyramide ou pour un cône, la démarche à suivre est très similaire. Comme on peut le voir dans l’exemple précédent, il faut inévitablement trouver la mesure de l’apothème avant de déduire celle de la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore. Autrement dit, trouver la hauteur d’un cône ou d’une pyramide à partir de l’aire exige quelques calculs de plus que ceux pour trouver l’apothème. Il est possible de calculer la mesure du rayon d'une sphère si son aire est connue. Pour y arriver, il suffit d'utiliser la formule d'aire de la sphère et d'effectuer les opérations inverses afin d'isoler le rayon. Quelle est la hauteur, en millimètres, d'une boule de billard traditionnelle? Pour valider ta compréhension à propos des mesures manquantes dans les solides de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante : " ]

[ 0.8173664808273315, 0.8369104862213135, 0.8244816660881042, 0.8226134181022644, 0.8201330900192261, 0.8374887704849243, 0.840745210647583, 0.8213800191879272, 0.8248305320739746, 0.837745726108551, 0.817827582359314 ]

[ 0.8417559862136841, 0.8250064253807068, 0.8477470874786377, 0.8411400318145752, 0.8296984434127808, 0.8308825492858887, 0.8459436893463135, 0.8318135738372803, 0.8383628726005554, 0.8400869369506836, 0.8354132175445557 ]

[ 0.8216073513031006, 0.8081490397453308, 0.8321053385734558, 0.8331819772720337, 0.8045811653137207, 0.8104239702224731, 0.8256945610046387, 0.8219870924949646, 0.8127000331878662, 0.821341335773468, 0.8298543691635132 ]

[ 0.48492518067359924, 0.3570452630519867, 0.40674227476119995, 0.5392886996269226, 0.4257071316242218, 0.3533008098602295, 0.4938332438468933, 0.3144347667694092, 0.44911980628967285, 0.3802694082260132, 0.3402417004108429 ]

[ 0.5620459365848326, 0.5507714017495733, 0.5635569972656733, 0.6132791394943217, 0.5246823658804355, 0.5165165747648442, 0.6120436757779089, 0.42758060024511185, 0.5363288027134764, 0.5585096790389177, 0.5244969109603237 ]

[ 0.8479121923446655, 0.8072867393493652, 0.8439267873764038, 0.846987247467041, 0.8307512998580933, 0.8223124742507935, 0.8419053554534912, 0.8207348585128784, 0.8257313966751099, 0.8176758289337158, 0.8310628533363342 ]

[ 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

[ "L'Acte de Québec\n\nLa guerre qui a opposé la Grande-Bretagne à la France de 1756 à 1763 s’est avérée très dommageable sur le plan économique pour les deux camps. Pour remplir ses coffres, le Parlement britannique vote plusieurs lois dans les années qui suivent pour taxer les habitants des Treize colonies. Cette situation déplait aux colons qui jugent qu’ils paient trop de taxes pour un pays qui ne considère pas beaucoup leur opinion lorsqu’il est temps de prendre une décision qui les concerne. Alors que le mécontentement monte dans les Treize colonies, le roi George III de Grande-Bretagne veut s’assurer de la fidélité de la Province of Quebec (Province de Québec). Le gouverneur de la colonie, Guy Carleton, partage l’opinion de son prédécesseur, James Murray, à propos des Canadiens. Effectivement, il juge lui aussi qu’il faut être conciliant envers les francophones si on veut préserver la paix. En 1774, Carleton réussit à convaincre George III qui donne alors son accord au parlement afin que celui-ci adopte une nouvelle constitution à l’avantage des Canadiens : l’Acte de Québec. Avantages de l'Acte de Québec pour les Canadiens Pouvoir exécutif Aucune chambre d’assemblée ne sera mise en place. Le serment du Test est remplacé par un serment d’allégeance au roi. Pouvoir législatif Le gouverneur est assisté par un conseil législatif. Ce conseil législatif peut être composé de Canadiens. Pouvoir judiciaire Le Code criminel anglais est maintenu. Contrairement au Code criminel français, celui-ci donne la présomption d’innocence aux accusés (le fait d’être innocent jusqu’à preuve du contraire). Le Code civil français, lui, est rétabli, permettant le retour du régime seigneurial. Aspect social C’est la fin des restrictions par rapport à la religion catholique. La liberté de religion est officialisée. La dime (impôt payé à l’Église) peut à nouveau être perçue par le clergé. Aspect territorial Le Labrador, les Grands Lacs et la vallée de l’Ohio sont tous cédés à la Province of Quebec. Comme cette constitution mène à beaucoup de changements dans la colonie, plusieurs groupes sociaux sont affectés par l’Acte de Québec. L’Acte de Québec est bien reçu par la population francophone en général. L’élite, le clergé et l’ensemble de la population sont satisfaits du retour d’éléments importants de la culture francophone. Les lois civiles françaises, la dime et le régime seigneurial ont, en effet, un impact direct sur le quotidien des habitants de la colonie. La fin du serment du Test permet aussi à certains francophones d’aspirer à des postes administratifs. Certains marchands britanniques voient d’un bon œil l’Acte de Québec puisque l’expansion du territoire de la Province of Quebec se traduit par de nouvelles occasions d’exploitation de la traite des fourrures. Pour d’autres, l’Acte de Québec est une insulte. Le rétablissement complet des lois civiles françaises s’appliquant aussi aux marchands britanniques entraine la perte des lois civiles anglaises qu’ils ont toujours utilisées. De plus, la Chambre d’assemblée qui leur avait été promise et qui est présente dans toutes les colonies britanniques ne sera pas mise en place. Déjà irritées par des décisions prises dans le passé par la Grande-Bretagne, notamment l’implantation de nouvelles taxes, les Treize colonies perçoivent l’Acte de Québec comme une insulte. Ces dernières convoitent la vallée de l’Ohio depuis la guerre de la Conquête. Malgré cela, ce territoire a été cédé aux Autochtones. Avec la nouvelle constitution, ce territoire tant désiré par les Treize colonies est finalement cédé aux Canadiens, qui font partie de l’Empire britannique depuis moins longtemps qu’elles. Voilà pourquoi cette décision est inadmissible à leurs yeux. L’Acte de Québec est l’un des éléments déclencheurs de la Révolution américaine. ", "La délégation du Québec à l'étranger\n\nLe Québec souhaite s'affirmer en tant que nation et s'impliquer directement sur la scène internationale. C'est d'ailleurs dans ces années que le peuple de la province se met à utiliser le terme « Québécois » plutôt que « Canadiens français » pour se désigner. Les Québécois, fiers de leur identité francophone, développent des relations avec les autres États francophones dans le monde. En 1961, le gouvernement crée la Délégation générale du Québec et se rend en France pour l'inauguration de la Maison du Québec à Paris. Cet évènement est unique et déterminant dans l'histoire politique du Québec puisque le premier ministre québécois, Jean Lesage, y a été accueilli comme un véritable chef d'État alors qu'il était un chef provincial. Paul Gérin-Lajoie, alors ministre de l'Éducation, s'intéresse à l'implication du Québec à l'étranger. Dans son discours de 1965, il défend l'idée que, pour ce qui est des domaines d'ordre provincial, la province de Québec devrait pouvoir conclure elle-même ses ententes internationales. Dans les années 1970, Paul Gérin-Lajoie devient président de l'Agence canadienne de développement international (ACDI). Il est reconnu pour avoir posé les bases d'un principe politique important, soit celui d'assurer le prolongement des compétences provinciales à l'international. Ainsi, le Québec conserve une certaine indépendance par rapport à Ottawa en ce qui concerne ses champs de compétences reconnues comme la culture, l'éducation et la santé. ", "Les québécismes\n\nLes québécismes sont des mots que l’on n’utilise qu’au Québec. Certains québécismes ont été inventés par les colons pour représenter des objets et des actions nouvelles, alors que d’autres viennent de mots français qui, avec le temps, ont été oubliés dans les autres pays francophones. Le verbe achaler désigne l’action de contrarier. Le nom blonde désigne la fille que l'on fréquente. L'adjectif magané signifie abimé, en mauvais état. Achigan (espèce de poisson), atoca (canneberge), ouananiche (espèce de poisson), etc. Canada signifie village. Québec signifie passage étroit. Saguenay signifie d'où sort l'eau. Après la Conquête, le français du Québec a été fortement influencé par l’anglais utilisé dans les industries par les dirigeants et les patrons. Les québécismes d’aujourd’hui comprennent un bon nombre de mots et d’expressions d’origine anglo-saxonne. Le français québécois inclut également plusieurs anglicismes. L’expression banc de neige est proche de l’anglais snowbank. Le nom bine, qui désigne les haricots et les fèves au lard, vient de bean. Le mot smatt, qui désigne quelqu’un de sympathique, vient de smart. Bleuet, cégep, coureur des bois, érablière, poutine, etc. Abreuvoir, qui désigne au Québec une fontaine où les gens peuvent boire, désigne ailleurs un lieu où les animaux peuvent boire. Épinette, qu'on associe à un arbre au Québec, est ailleurs employé pour désigner une cage ou un instrument de musique. Ça ne prend pas la tête à Papineau signifie qu’il ne faut pas être très brillant pour comprendre une situation ou résoudre un problème donné. Il mouille à siaux veut dire qu'il pleut beaucoup. ", "Les années 1970 : le FLQ et la crise d'octobre\n\nAvec la Révolution tranquille, la place du Québec dans le Canada est remise en question. Certains groupes nationalistes jugent que la province est trop différente du reste du pays, surtout sur les plans culturel et idéologique. Cela mène à des discussions sur la Constitution du Canada. Certains groupes prônent l’unité canadienne, alors que d’autres vont mettre de l’avant des idées d’indépendance pour la province. Parmi ces groupes nationalistes, certains font davantage parler d’eux. Si certains prônent des actions plus pacifistes, d’autres décident d’utiliser la violence pour faire valoir leur opinion. C’est le cas d’une grande partie des membres du Front de libération du Québec (FLQ). Les membres de ce groupe, surnommés les felquistes, ont entre autres pour objectif de dénoncer la domination anglophone dans la province de Québec. Il promeut également l’indépendance du Québec. Certains individus plus extrémistes du FLQ sont derrière les événements à l’origine de la crise d’Octobre de 1970. Ceux-ci utilisent d’ailleurs des actes terroristes afin de faire valoir leur opinion. En 1963, le FLQ commence à poser des bombes à différents endroits au Québec. Leur objectif est de dénoncer les opposants à l'indépendance québécoise. Les attentats à la bombe, qui durent jusqu'en 1966, visent les édifices qui représentent des institutions qui briment les Québécois selon le FLQ. Par exemple, la poste est visée puisqu'elle est un symbole de la Couronne britannique. Ils visent également les quartiers bourgeois anglophones tels que Westmount. En avril 1963, un gardien de sécurité meurt après une explosion provoquée par le FLQ dans un bâtiment de l'Armée canadienne. Suite à cet événement, 23 membres du groupe sont arrêtés. Afin de riposter à ces arrestations et de poursuivre leurs actions violentes, le FLQ se réorganise et ajoute de nouvelles divisions. Deux groupes armés s'ajoutent à l'organisation : l'Armée de libération du Québec (1963) et l'Armée révolutionnaire du Québec (1964). Ces deux groupes fournissent les armes et l'argent (souvent obtenus grâce à des vols à main armée) au FLQ. Les affrontements sont de plus en plus nombreux et importants entre le groupe révolutionnaire et la police. Le FLQ se radicalise en 1966 et entretient des liens plus serrés avec des révolutionnaires américains. Des tensions divisent le FLQ par rapport aux moyens à prendre et aux actions à poser. Certains valorisent une réorganisation du groupe et l'élaboration de nouvelles stratégies alors que d'autres prônent l'action et l'enlèvement de représentants politiques. Le 5 octobre 1970, la cellule Libération du FLQ enlève le diplomate britannique James Richard Cross. En échange de sa libération, le FLQ exige plusieurs éléments, dont la libération des 23 membres du FLQ arrêtés lors de la mort du gardien en 1963, leur exil payé vers Cuba ou l'Algérie et une rançon 500 000 $. Les ravisseurs n'obtiendront pas ce qu'ils réclament, mais en échange du retour sain et sauf du diplomate, ils obtiennent un sauf-conduit vers Cuba afin d'échapper à la justice. Le 8 octobre 1970, le FLQ fait une lecture de son manifeste sur l'indépendance du Québec. Le 10 octobre 1970, la cellule Chénier enlève Pierre Laporte (ministre du Travail et de l'Immigration du Québec). C'est le début de la crise d'Octobre. Le 15 octobre 1970, la police tente de faire régner l'ordre. Le gouvernement fédéral de Trudeau met en place la Loi sur les mesures de guerre le 16 octobre 1970 à la demande de Robert Bourassa. Grâce à l'utilisation de cette loi, les autorités arrêtent 500 personnes (artistes, nationalistes, syndicalistes, intellectuels) sans mandat. Les troupes armées sont mobilisées dans certaines villes afin de calmer les protestations. Cette loi demeure en vigueur jusqu'en avril 1971. Le 17 octobre 1970, Pierre Laporte décède alors qu'il est toujours prisonnier du FLQ. Les circonstances entourant sa mort sont floues. Le FLQ se défend en disant qu'il s'agit d'une mort accidentelle, mais leurs opposants en doutent. La nouvelle du décès du ministre déçoit les partisans du FLQ et l'appui pour le groupe révolutionnaire chute drastiquement. La répression de l'armée et de la police met fin à la crise d'Octobre. Le 3 décembre 1970, James Richard Cross est libéré. Le 28 décembre 1970, Paul Rose, un membre du FLQ, est arrêté en lien avec la mort de Pierre Laporte. Le FLQ demeure actif jusqu'en 1972, mais ne reçoit plus d'appuis de la population. Après quelques années, le FLQ disparait graduellement jusqu'à son éventuelle dissolution. L'appui au mouvement séparatiste ne cesse pas pour autant, mais des voies pacifiques et démocratiques sont dorénavant privilégiées par ceux qui souhaitent voir le Québec devenir un pays. ", "Le mode de vie dans la Province of Quebec\n\nDurant les premières années du Régime britannique, soit de 1760 à 1791, la nouvelle métropole amène peu de changements économiques dans la Province de Québec. En effet, la Grande-Bretagne adopte, tout comme le faisait la France, une politique mercantiliste avec sa colonie et les principales activités économiques demeurent les mêmes. Cependant, ce sont maintenant des marchands britanniques qui dirigent les différents commerces. Toujours durant cette même période, la population de la Province de Québec augmente, sans toutefois que sa composition change beaucoup. Les Canadiens francophones demeurent, en effet, majoritaires, et ce, malgré l'immigration de quelques Britanniques et réfugiés acadiens. Ainsi, la langue française demeure très présente dans la colonie bien que la langue officielle soit l'anglais. La cohabitation des Canadiens et des Britanniques dans la colonie mène à l'émergence de mouvements de revendication au sein de différents groupes d'influence. Ces groupes envoient plusieurs pétitions à Londres afin de faire valoir leurs demandes. La réunion des deux cultures amène également à la cohabitation des Églises catholique et protestante. Malgré un contexte difficile, la religion catholique survit au changement de métropole et s'allie même aux autorités britanniques. De son côté, bien qu'elle soit la nouvelle religion officielle de la Province de Québec, la religion anglicane est peu pratiquée, ce qui s'explique par la plus faible proportion d'habitants d'origine britannique. Pour en savoir plus sur la vie dans la Province de Québec de 1760 à 1791, consulter les fiches suivantes: ", "Du référendum de 1980 au référendum de 1995\n\nDu début des années 80 jusqu’à la fin du siècle, les questions entourant le statut politique du Québec sont de plus en plus présentes dans les débats publics. L’élection du Parti québécois en 1976 consolide le désir d’un changement politique pour la province francophone : son chef, René Lévesque, fait même la promotion de la souveraineté du Québec. Les échecs répétés des négociations constitutionnelles dans lesquelles le Québec considère que ses droits ne sont pas respectés amènent la province francophone à se questionner par rapport à son statut au sein de la fédération canadienne. Le nationalisme québécois se renforce alors, préparant un terrain très fertile à la progression des idées souverainistes au Québec. Ainsi, les deux dernières décennies du 20e siècle placent les Québécois devant d’importants choix politiques. En 1980, quatre ans après son élection, René Lévesque déclenche un référendum sur la souveraineté-association. L’objectif est l'obtention de l'indépendance du Québec sur le plan politique, mais d’être tout de même lié au Canada sur le plan économique. L’attachement économique implique de conserver le dollar canadien, de partager la Banque du Canada et de protéger les échanges commerciaux avec le Canada. Ce projet soumis aux Québécois mène à plusieurs débats publics où deux camps s’affrontent dans une campagne référendaire relevée : le OUI (en faveur de la souveraineté-association) et le NON (en défaveur de la souveraineté-association). Voulant que le Québec demeure une province canadienne, Pierre Elliot Trudeau, alors premier ministre du Canada, fait campagne pour le camp du NON en proposant notamment un fédéralisme renouvelé qui respecterait davantage les revendications du Québec au sein de la fédération canadienne. Résultat : le camp du NON l'emporte avec 59,56 % des voix. En 1982, le premier ministre canadien Pierre Elliott Trudeau, cherchant à acquérir davantage de pouvoirs vis-à-vis le Royaume-Uni, a comme ambition de rapatrier la Constitution canadienne. En d’autres mots, il souhaite que la Constitution canadienne appartienne au Canada plutôt qu'au Royaume-Uni. De cette manière, les Canadiens seraient libres d'y apporter des modifications. Toutefois, ce désir ne peut se consolider sans l’approbation des provinces canadiennes qui elles, tiennent à ce que leurs intérêts soient respectés dans le projet constitutionnel du premier ministre canadien. Dans le but de trouver un consensus, Pierre Elliott Trudeau organise plusieurs négociations constitutionnelles dans le cadre desquelles les provinces et le pouvoir fédéral débattent des paramètres de cette nouvelle constitution. Le résultat de ces négociations n’est pas un succès puisque les provinces souhaitent obtenir plus de pouvoirs alors que M. Trudeau espère plutôt en accorder davantage au gouvernement fédéral. En fin de compte, ce sont huit provinces, incluant le Québec, qui s’opposent au projet du premier ministre. Pour régler cette impasse, Pierre Elliott Trudeau organise des rencontres informelles avec chacune des provinces en désaccord, à l’exception du Québec puisque celle-ci semble être la plus difficile à convaincre. Les rencontres portent leurs fruits pour le premier ministre canadien puisqu’il rapatrie finalement la constitution en 1982, et ce, sans l’accord du Québec. Ainsi, le Parlement de la province francophone n'a jamais signé officiellement la nouvelle constitution. Ce nouveau pacte est très mal reçu par les Québécois et les relations entre la province et le Canada en subissent les contrecoups. Le Québec appelle désormais cet événement « la Nuit des Longs Couteaux » pour référer à la stratégie de Pierre Elliott Trudeau. Cela montre également l'amertume des Québécois. L’élection d’un nouveau gouvernement fédéral en 1984, celui du Parti progressiste-conservateur de Brian Mulroney, marque un nouveau chapitre dans les relations entre le Canada et le Québec. M. Mulroney relance de nouvelles négociations constitutionnelles afin que le Québec puisse finalement devenir signataire. Nouvellement élu comme premier ministre du Québec, Robert Bourassa accepte de reprendre les pourparlers. En 1987, au lac Meech, les dix premiers ministres provinciaux et M. Mulroney se rencontrent afin de s’entendre sur un nouvel accord qui satisferait les intérêts du Québec. Même si tous les acteurs présents au lac Meech se mettent d'accord sur un texte qui inclut la reconnaissance du Québec comme une société distincte, les parlements provinciaux de Terre-Neuve et du Manitoba n’acceptent pas le compromis. C’est par ces deux refus que l’accord obtenu au lac Meech ne verra jamais le jour. Ce nouvel échec concernant les relations entre le Canada et le Québec remet de l’avant la question identitaire du Québec au sein de la fédération. Afin de planifier l’avenir politique et constitutionnel du Québec, Robert Bourassa lance la commission Bélanger-Campeau en 1990. Cette commission, en organisant des consultations publiques, reconnait la nécessité de redéfinir le statut politique et constitutionnel du Québec. Pour régler cette question, la commission recommande, en 1991, la tenue d’un nouveau référendum sur la souveraineté du Québec tout en invitant Ottawa à soumettre de nouvelles offres constitutionnelles plus avantageuses pour la province. Il n’y a pas que la commission Bélanger-Campeau qui recommande un nouveau référendum, mais aussi le « rapport Allaire » qui divulgue, en 1991, sa proposition d’une relation renouvelée entre le Canada et le Québec. Ce rapport propose la signature d'un nouvel accord constitutionnel dans lequel les demandes du Québec seraient incluses. Dans le cas où aucune nouvelle entente n'est signée entre la province francophone et le reste du Canada, le rapport recommande la tenue d’un nouveau référendum sur la souveraineté. En 1992, le premier ministre Brian Mulroney tente une nouvelle fois de sortir le Canada de sa crise politique. C’est alors qu’il organise de nouvelles négociations constitutionnelles à Charlottetown. Les gouvernements provinciaux, les représentants autochtones et les dirigeants des territoires se retrouvent tous à la table de discussion. À nouveau, un accord reconnaissant le Québec comme étant une société distincte est signé. Cependant, pour qu’il soit approuvé, Brian Mulroney soumet le projet à la population plutôt qu’aux parlements provinciaux. C’est donc par un référendum que le sort de l’accord de Charlottetown s’est joué. C’est toutefois un nouvel échec pour Brian Mulroney qui voit l’accord être rejeté par 56,7 % des voix au Québec et 54,3 % des voix dans le reste du Canada. Au lendemain du scrutin, déçu du résultat, Jacques Parizeau remet sa démission. C’est Lucien Bouchard, membre fondateur du Bloc Québécois qui prend sa place. Il deviendra premier ministre du Québec trois mois plus tard. Aussi, pour s’assurer de la légitimité des référendums, Jean Chrétien adopte en 2000 la loi sur la clarté référendaire. Celle-ci précise que la question posée aux citoyens doit avant tout être approuvée par le fédéral pour s’assurer qu’elle soit bien claire. Plus tard, en 2006, Stephen Harper reconnait par le biais d’une motion que le Québec représente bel et bien une nation distincte. Aucune modification à la Constitution canadienne n'est toutefois apportée. ", "Le rayonnement culturel du Québec\n\nDepuis la Révolution tranquille, la culture est en pleine effervescence et elle devient un élément très important de l’identité québécoise. Cependant, ce n’est pas seulement pour son apport au nationalisme que la culture prend une plus grande place à la fin du 20e siècle. C'est aussi pour son rôle dans l’économie. Effectivement, la culture devient une véritable industrie au Québec et les gouvernements sont appelés à s’impliquer dans la protection de celle-ci. En 1992, le gouvernement québécois de Robert Bourassa affiche nettement sa volonté de protéger la culture nationale. Entre autres, l’Assemblée nationale adopte la politique culturelle du Québec, qui vise à mieux structurer l’industrie culturelle. Celle-ci se divise en trois volets, puisqu'elle a trois objectifs : Affirmer l'identité culturelle du Québec; Soutenir les créateurs et les arts; Favoriser l'accès et la participation des citoyens à la vie culturelle. La politique culturelle prévoit également de réformer le ministère des Affaires culturelles. Celui-ci sera alors fractionné en deux, laissant place au Conseil des arts et des lettres du Québec (CALQ) et à un nouveau ministère, le ministère de la Culture. Servant à soutenir les artistes et les organismes artistiques dans leurs créations et leur rayonnement, le CALQ joue un rôle majeur dans le financement de l’industrie culturelle. Pour protéger la culture, l’État doit jouer un rôle principal dans le financement de celle-ci. Ainsi, les gouvernements provinciaux et celui du fédéral investissent des sommes pour soutenir l’industrie, que ce soit en construisant des lieux de diffusion (théâtres, musées, salle de concert, etc.) ou en déployant de nombreux programmes de crédits d’impôt. Ainsi, depuis la Révolution tranquille, les dépenses du gouvernement du Québec pour subventionner l’industrie culturelle ne cessent d’augmenter et atteignent 1% du budget total de la province francophone. Les artistes reçoivent également des revenus par la vente de leurs produits culturels et par les dons. L’engagement du gouvernement à investir dans la diffusion de la culture contribue grandement à la vitalité de l’industrie culturelle. Ainsi, la construction et l’entretien de lieux emblématiques permettent de faire rayonner la culture québécoise au sein de la population. Par ailleurs, l’émergence et le perfectionnement rapide des technologies permettent à la culture québécoise de se déployer à travers plusieurs canaux. De cette manière, l’industrie culturelle devient beaucoup plus accessible au public et sa vitesse de propagation gagne également en importance. Plusieurs artistes québécois profiteront de ces nouveautés technologiques afin de connaître du succès à l’extérieur des frontières nationales. ", "L'autonomie provinciale\n\n\nÀ la fin du 19e siècle, les relations entre le gouvernement fédéral et les gouvernements provinciaux sont difficiles alors que ces derniers font plusieurs revendications à Ottawa dans le but de gagner en autonomie. Les enjeux identitaires représentent un point de discorde important entre le gouvernement fédéral et le Québec d’Honoré Mercier. En effet, les Québécois affichent une profonde solidarité envers les communautés francophones vivant à l’extérieur de la province. Celles-ci vivent de récentes difficultés notamment à cause de la pendaison de Louis Riel et des pertes de droits linguistiques au Manitoba, au Nouveau-Brunswick et en Ontario. Voyant cela, le gouvernement du Québec dénonce une nouvelle attaque du gouvernement fédéral envers les Canadiens français. Dans la foulée de ces évènements, le Québec adopte une attitude protectrice envers l’ensemble des Canadiens français, peu importe où ces derniers vivent au Canada. Le premier ministre québécois Honoré Mercier orchestre également un mouvement nationaliste à travers lequel il défend fortement l’autonomie provinciale, cette idée selon laquelle le gouvernement fédéral devrait accorder davantage de pouvoirs politiques et fiscaux aux provinces. L’autonomie provinciale, ardemment défendue par Honoré Mercier, gagne l'esprit des autres provinces. Ces dernières, cherchant à gagner plus de pouvoir au détriment du gouvernement fédéral, se réunissent à la conférence interprovinciale afin d’améliorer leur communication et leur cohésion au sein de la fédération. Les provinces souhaitent également recevoir davantage d'argent de la part du gouvernement fédéral. Organisée en 1887 par Honoré Mercier, la conférence interprovinciale traite principalement du fait que le gouvernement fédéral a pris l'habitude de se mêler des compétences provinciales. Même s’ils ne sont pas en bons termes, Honoré Mercier invite le premier ministre canadien John A. Macdonald qui, tout comme les premiers ministres de la Colombie-Britannique et de l'Île-du-Prince-Édouard, décline l’invitation. ", "Un portrait de la société québécoise dans les années 1970\n\nAprès la période mouvementée de la Révolution tranquille des années 1960, la modernisation du Québec se poursuit dans les années 1970. D'importants changements de mentalité se produisent. Tous les aspects de la société vivent de profonds changements. Les mouvements nationalistes, autochtones et syndicalistes seront les principaux acteurs de cette période. Sous le gouvernement de Robert Bourassa, les frictions politiques sont importantes. Différents mouvements nationalistes ont recours à une multitude de moyens de pression. Des groupes indépendantistes radicaux, comme le FLQ, font la une des journaux après avoir fait des actions violentes. Avec le gouvernement de René Lévesque, c'est la première grande victoire du Parti québécois. C'est un vent de changement qui balaie l'administration et les institutions gouvernementales. Plusieurs mesures sociales sont également mises en place. De leur côté, les Autochtones se sentent menacés par le développement énergétique dans le Nord-du-Québec. Cette période marque un tournant dans leur histoire en leur permettant de signer une première entente avec le gouvernement provincial. Finalement, les groupes syndicaux profitent de la situation pour faire valoir leurs idées et militent pour améliorer leurs conditions de travail. ", "Les enjeux actuels du Québec\n\nLe nouveau millénaire confronte le Canada et le Québec à des enjeux bien modernes. Les sociétés sont en profonde transformation pour s’adapter à toutes les nouveautés qui apparaissent depuis les années 2000. Les femmes poursuivent la lutte qu’elles ont entamée dans le siècle passé. Elles réclament maintenant une égalité dans le monde du travail, revendiquant alors la parité et l’équité salariale. Le Québec doit également s’adapter à un problème démographique : le vieillissement de la population qui entraine un besoin accru de la main-d'œuvre. Comme solution, le gouvernement mise sur le soutien aux familles et sur l’immigration qui diversifie grandement la société québécoise sur le plan ethnoculturel. La campagne québécoise connait aussi des problèmes avec sa population alors que plusieurs habitants décident de la quitter pour gagner les villes. L’avènement de nouvelles technologies redéfinit les habitudes quotidiennes des Québécois. En effet, ils utilisent de nouveaux moyens pour communiquer les uns avec les autres, mais aussi avec le monde entier. Finalement, le Canada s'inscrit tranquillement comme un acteur important et impliqué sur la scène internationale. Pour en savoir plus sur les enjeux actuels du Québec, consulte les fiches suivantes: ", "La mondialisation de l'économie\n\nDans les années 1980, les pays échangent de plus en plus entre eux. Ce phénomène, cette liaison économique qu’entretiennent les pays les uns avec les autres, se nomme la mondialisation des marchés. Ainsi, les investissements étrangers augmentent considérablement et les pays exportent davantage leurs produits afin de les vendre partout à travers le monde. Pour assurer leur développement économique, le Canada et le Québec s’impliquent eux aussi dans cette mondialisation, devenant même des acteurs importants de cette nouvelle tendance. L'expression « Québec Inc. » représente la collaboration qu’entretient le gouvernement du Québec avec ses entreprises québécoises. Cette collaboration prend sa source dans la Révolution tranquille, révolution pendant laquelle le Québec tente de définir son identité par rapport au Canada et au reste du monde. Ainsi, l’objectif est que ces entreprises francophones puissent être assez fortes financièrement pour investir à l’étranger, et de cette manière, représenter en quelque sorte le Québec sur la scène internationale. De cette façon, les produits québécois trouvent preneurs auprès d’un nombre grandissant de consommateurs. Cela amène certaines entreprises québécoises à connaître un développement économique très important. Bombardier-Canadair (aéronautique), SNC-Lavalin (ingénierie) et Provigo-Loblaws (alimentation) sont tous des exemples de ces entreprises québécoises qui se sont imposées sur la scène internationale. Le libre-échange est une économie dans laquelle les échanges commerciaux se font librement entre des pays qui s’entendent sur les termes d’un accord. Ainsi, les compagnies privées peuvent investir et vendre leur production à l’extérieur de leurs frontières d’origine, et ce, sans d’importantes contraintes de la part des pays partenaires. Le Canada réalise quelques accords de libre-échange à la fin du 20e siècle. En 1989, après plusieurs années de négociations, le premier ministre canadien Brian Mulroney signe avec les États-Unis l’ALE (Accord de libre-échange canado-américain). Trois ans plus tard, en 1992, le Mexique se joint à l’accord pour créer l’ALÉNA (Accord de libre-échange nord-américain). Ainsi, le traité assure une collaboration économique soutenue entre les trois pays signataires dans le cadre de laquelle les droits de douane de la plupart des produits échangés sont éliminés. Afin de réguler le commerce international, l’Organisation mondiale du commerce (OMC) est fondée en 1995. À ce moment, 128 pays en sont membres. Avec l'arrivée de l'OMC, la mondialisation de l’économie s’organise beaucoup plus concrètement puisque des règles claires balisent maintenant les échanges internationaux. Les différents accords de libre-échange signés par le Canada sur la scène internationale permettent au Québec d’exporter beaucoup de ses produits. Plusieurs secteurs connaissent une popularité dans les marchés internationaux, l'aéronautique étant en tête de liste. Les cinq principaux produits exportés vers l'étranger par le Québec, en 2016 Principaux produits Valeur (en millions de dollars) Part dans la totalité des exportations internationales 1. Avions, hélicoptères et autres véhicules aériens 9 299,3 11,3 % 2. Aluminium sous forme brute 5 908,7 7,2 % 3. Turbopropulseurs, turboréacteurs, turbines à gaz 3 290,5 4,0 % 4. Minerai de fer et ses concentrés 2 286,9 2,8 % 5. Huiles de pétrole 2 159 2,6 % " ]

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["Le squelette et les os\n\nUn os est une structure rigide ayant une forte concentration en minérau(...TRUNCATED)

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["Le texte argumentatif\n\nLe texte argumentatif est un type de texte dans lequel l'auteur défend u(...TRUNCATED)

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["Les propriétés de la matière\n\nOn appelle propriété de la matière une qualité propre à un(...TRUNCATED)

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["Simple Past\n\nHe danced all night. She didn't want to go to the party. They went to the park. The(...TRUNCATED)

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["Les diagrammes de quartiles\n\n\nLe diagramme de quartiles permet d’obtenir d’un seul coup d(...TRUNCATED)

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["Probabilités\n\nLes probabilités correspondent à la branche des mathématiques qui cherche à m(...TRUNCATED)

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