content
stringlengths 348
7.82k
| link
stringlengths 85
120
|
|---|---|
1. Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B)
Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó:
\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}\)
Ví dụ 1: Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.Gọi A là biến cố: “ An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”.Tính P(A|B).Giải:Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó \(n(\Omega ) = 30.29\).Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.Do đó n(B) = 20.29 và \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}\).Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.Do đó n(AB) = 20.19 và \(P(AB) = \frac{{n(AB)}}{{n(\Omega )}}\).Vậy \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{n(AB)}}{{n(B)}} = \frac{{20.19}}{{20.29}} = \frac{{19}}{{29}}\).2. Công thức nhân xác suất
Với hai biến cố A và B bất kì, ta có:
\(P(AB) = P(B).P(A|B)\)
Ví dụ 2: Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.Giải:Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi đen”; B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi xanh”.Ta cần tìm P(AB).Vì n(A) = 5 nên P(A) = \(\frac{5}{{12}}\).Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh.Vậy P(A|B) = \(\frac{7}{{11}}\).Theo công thức nhân xác suất: \(P(AB) = P(A).P(B|A) = \frac{5}{{12}}.\frac{7}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}\). | https://loigiaihay.com/ly-thuyet-xac-suat-co-dieu-kien-toan-12-ket-noi-tri-thuc-a175104.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1 LT1 LT2 LT3
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 65 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút trong hộp, không trả lại. Sau đó, Tùng lấy ngẫu nhiên 1 trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về quy tắc nhân hai biến cố độc lập để tính: Nếu A và B độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Tùng lấy được bút bi xanh”, B là biến cố: “Sơn lấy được bút bi đen”.
Sơn có 12 cách chọn, Tùng có 11 cách chọn một chiếc bút bi trong hộp.
Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 12.11 = 132\)
Sơn có 5 cách chọn bút bi đen, Tùng có 11 cách chọn bút bi xanh từ 11 bút bi còn lại.
Do đó, \(n\left( B \right) = 5.11 = 55\) và \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Sơn có 5 cách chọn bút bi đen, Tùng có 7 cách chọn bút bi xanh từ 11 bút bi còn lại.
Do đó, \(n\left( {AB} \right) = 5.7 = 35\) và \(P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Vậy xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu Sơn lấy được bút bi đen là: \(P = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{35}}{{55}} = \frac{7}{{11}}\)
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrở lại Ví dụ 1. Tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\) bằng định nghĩa và bằng công thức.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)Lời giải chi tiết:Cách 1: Bằng định nghĩa
Nếu \(\overline B \) xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{20}}{{29}}\).
Cách 2: Bằng công thức
Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 30.29\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.
Do đó, \(n\left( {\overline B } \right) = 10.29\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 20 cách chọn một viên bi trắng. Do đó, \(n\left( {A\overline B } \right) = 10.20\) và \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{n\left( {A\overline B } \right)}}{{n\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{10.20}}{{10.29}} = \frac{{20}}{{29}}\)
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 66 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcChứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\) và \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\)Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\).
Sử dụng kiến thức về tính chất biến cố độc lập để chứng minh: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì cặp biến cố \(\overline A \) và B; A và \(\overline B \) cũng độc lập.
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:Theo định nghĩa, \(P\left( {\overline A |B} \right)\) là xác suất của \(\overline A \), tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên \(\overline A \) và B cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(\overline A \). Do đó, \(P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)\).
Theo định nghĩa, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\) là xác suất của A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố \(\overline B \) đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên A và \(\overline B \) cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra \(\overline B \) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A. Do đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)\).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcMột công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) như sau:
Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó
a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;
b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên \(n\left( \Omega \right) = 4000\)
a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc M”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc M và khỏi bệnh”
Ta có: \(1600 + 1200 = 2800\) người khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\)
Trong số những người khỏi bệnh, có 1 600 người uống thuốc M nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}\)
b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc N”, B là biến cố “Người đó không khỏi bệnh”.
Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”
Ta có: \(800 + 400 = 1200\) người không khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 1200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{1200}}{{4000}}\)
Trong số những người không khỏi bệnh, có 400 người uống thuốc N nên \(n\left( {AB} \right) = 400\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{400}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{400}}{{1200}} = \frac{1}{3}\) | https://loigiaihay.com/giai-muc-1-trang-656667-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161024.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2 LT4 VD
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcChứng minh rằng, với hai biến cố A và B, \(P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)Lời giải chi tiết:Với hai biến cố A và B, \(P\left( B \right) > 0\), ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:
a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;
b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).Lời giải chi tiết:a) Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”; B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.
Vì \(n\left( A \right) = 7\) nên \(P\left( A \right) = \frac{7}{{12}}\)
Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp có 11 bút bi với 5 bút bi đen. Do đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{11}}\)
Theo công thức nhân xác suất ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{12}}.\frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}\)
b) Dựa vào sơ đồ cây trong Ví dụ 4, xác suất để lấy ra hai bút có cùng màu là: \(\frac{5}{{12}}.\frac{4}{{11}} + \frac{7}{{12}}.\frac{6}{{11}} = \frac{{31}}{{66}}\)
VD
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.
Kí hiệu \({E_1};{E_2};{E_3}\) tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy có con lừa”.
Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: \(P\left( {{E_1}|H} \right)\) và \(P\left( {{E_2}|H} \right)\).
a) Chứng minh rằng:
\(P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}\);
\(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).
b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:
\(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\);
\(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\).
c) Từ các kết quả trên hãy suy ra: \(P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)\).
Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?
Hướng dẫn: Nếu \({E_1}\) xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\).
Nếu \({E_2}\) xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)Lời giải chi tiết:a) Vì chỉ có một chiếc ô tô đằng sau ba cánh cửa nên \(P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}\).
Nếu \({E_1}\) xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\).
Nếu \({E_2}\) xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\).
b) Ta có: \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\),
\(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\).
c) Vì \(P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}\), \(P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {H|{E_2}} \right) = 1\) nên \(P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)\) do đó người đó nên chuyển sang cửa còn lại. | https://loigiaihay.com/giai-muc-2-trang-686970-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161029.html |
Đề bài
Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố “Rút được thẻ số 10”, B là biến cố: “Rút được thẻ mang số chẵn”.Khi đó, biến cố AB: “Rút được thẻ chẵn mang số 10”. Suy ra: \(n\left( {AB} \right) = 1 \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{20}}\)Có 10 số chẵn từ 1 đến 20 nên \(n\left( B \right) = 10 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{10}}{{20}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{10}}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-61-trang-70-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161032.html |
Đề bài
Cho \(P\left( A \right) = 0,2;P\left( B \right) = 0,51;P\left( {B|A} \right) = 0,8\). Tính \(P\left( {A|B} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,8}}{{0,51}} = \frac{{16}}{{51}}\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-62-trang-70-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161034.html |
Đề bài
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;
b) Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\)Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”, B là biến cố “ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.Khi đó biến cố AB là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 và ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố A là: \(\left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;2} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}\) nên \(n\left( A \right) = 6\). Do đó, \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}}\)
Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố B là:\(\left\{ {\left( {1;5} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;5} \right)\left( {4;5} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right)} \right\}\) nên \(n\left( B \right) = 11\)Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\)Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố AB là: \(\left\{ {\left( {2;5} \right);\left( {5;2} \right)} \right\}\) nên \(n\left( {AB} \right) = 2\)Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}}\)a) Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{2}{{11}}\).b) Vậy \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-63-trang-70-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161037.html |
Đề bài
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\)Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10”, B là biến cố “ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.Khi đó biến cố AB là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 và ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”
Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố B là:\(\left\{ {\left( {1;5} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;5} \right)\left( {4;5} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right)} \right\}\) nên \(n\left( B \right) = 11\)Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\)Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố AB là: \(\left\{ {\left( {5;5} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\) nên \(n\left( {AB} \right) = 3\). Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{3}{{36}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{3}{{11}}\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-64-trang-70-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161038.html |
Đề bài
Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để:
a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;
b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;
c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Thí nghiệm thứ nhất thành công”, B là biến cố “Thí nghiệm thứ hai thành công”. Khi đó, biến cố AB là: “Cả hai thí nghiệm đều thành công”Theo đầu bài ta có: \(P\left( A \right) = 0,7,P\left( {B|A} \right) = 0,9,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\)a) Ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,7.0,9 = 0,63\)
b) Biến cố \(\overline A \overline B \): “Cả hai thí nghiệm đều không thành công”Ta có: \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).Lại có: \(P\left( {\overline {AB} } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,3.0,6 = 0,18\).c) Vì \(A\overline B \) và AB là hai biến cố xung khắc và \(A\overline B \cup AB = A\) nên theo tính chất của xác xuất ta có: \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,7 - 0,63 = 0,07\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-65-trang-70-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161043.html |
Đề bài
Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\). Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).
Lời giải chi tiết
Gọi số kẹo trong túi là n (cái, \(n \in \mathbb{N}*,n > 6\)), khi đó, số kẹo màu vàng trong túi là \(n - 6\) (cái).Số cách chọn kẹo thứ nhất là n, số cách chọn kẹo thứ hai là \(n - 1\). Do đó, \(n\left( \Omega \right) = n\left( {n - 1} \right)\)Gọi A là biến cố: “Lấy được viên kẹo thứ nhất màu cam”, B là biến cố: “Lấy được viên kẹo thứ hai màu cam”. Khi đó, biến cố AB “Lấy được hai viên kẹo màu cam”.
Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{6.\left( {n - 1} \right)}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = \frac{6}{n}\).Vì lấy ra một cái kẹo màu cam ở lần thứ nhất nên trong túi còn lại \(n - 1\) cái kẹo, trong đó có 5 cái kẹo màu cam. Do đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{n - 1}}\).Ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{n}.\frac{5}{{n - 1}} = \frac{{30}}{{n\left( {n - 1} \right)}}\)
Vì xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\) nên ta có:\(\frac{1}{3} = \frac{{30}}{{n\left( {n - 1} \right)}} \Rightarrow {n^2} - n - 90 = 0 \Rightarrow \left( {n - 10} \right)\left( {n + 9} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\left( {tm} \right)\\n = - 9\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)Vậy trong túi có 10 cái kẹo. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-66-trang-70-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161044.html |
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau:
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\)
Ví dụ 1: Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.Giải:Gọi A là biến cố: “Thứ ba, ông An đi làm bằng xe máy”; B là biến cố: “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe máy”. Ta cần tính P(B). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\)
Tính P(A): Vì thứ hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ ba ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Vậy P(A) = 0,4.
Tính \(P(\overline A )\): Ta có \(P(\overline A )\) = 1 – 0,4 = 0,6.
Tính P(B|A): Đây là xác suất để thứ tư ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ ba ông An đi làm bằng xe máy.
Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7 và đi làm bằng xe máy là 0,3. Do đó, nếu thứ ba ông An đi làm bằng xe máy thì xác suất để thứ tư, ông đi làm bằng xe máy là 0,3. Vậy P(B|A) = 0,3.
Tính \(P(B|\overline A )\): Đây là xác suất để thứ tư ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ ba ông An đi làm bằng xe buýt. Theo giả thiết, nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Do đó, nếu thứ ba ông An đi làm bằng xe buýt thì xác suất để thứ tư ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Suy ra \(P(B|\overline A )\). Vậy:
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A ) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36\)2. Công thức Bayes
Cho A và B là hai biến cố, với P(B) > 0.
Khi đó, ta có công thức sau:
\(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}}\)
Ví dụ 2: Trong một kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00. Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu mọt học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.Giải:Gọi A là biến cố: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00”; B là biến cố: “Học sinh đó đỗ đại học”.Ta cần tính P(A|B). Theo công thức Bayes, ta cần biết: \(P(A),P(\overline A ),P(B|A)\) và \(P(B|\overline A )\).Ta có: P(A) = 0,8; \(P(\overline A )\) = 1 – P(A) = 1 – 0,8 = 0,2.P(B|A) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00.\( \Rightarrow P(B|A) = 0,6\).\(P(B|\overline A )\) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00.\( \Rightarrow P(B|\overline A ) = 0,7\).Thay vào công thức Bayes ta được:\(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}} = \frac{{0,8.0,6}}{{0,8.0,6 + 0,2.0,7}} \approx 0,7742\) | https://loigiaihay.com/ly-thuyet-cong-thuc-xac-suat-toan-phan-va-cong-thuc-bayes-toan-12-ket-noi-tri-thuc-a175105.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1 LT1 LT2 LT3
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcGọi A là biến cố “Trời mưa” và B là biến cố “Bán hết vé” trong tình huống mở đầu.
a) Tính \(P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right),P\left( {B|A} \right),P\left( {B|\overline A } \right)\).
b) Trong hai xác suất P(A) và P(B), nhà tổ chức sự kiện quan tấm đến xác suất nào nhất?Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:a) Theo đề bài ta có: \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,9;P\left( {B|A} \right) = 0,4;P\left( A \right) = 0,75\).
Suy ra: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).
b) Trong hai xác suất P(A) và P(B), nhà tổ chức sự kiện quan tấm đến xác suất bán hết vé hơn.
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrở lại tình huống mở đầu Mục 1. Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết véPhương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)Lời giải chi tiết:Theo hoạt động 1 ta có: \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,9;P\left( {B|A} \right) = 0,4;P\left( A \right) = 0,75\), \(P\left( {\overline A } \right) = 0,25\).
Do đó, \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,75.0,4 + 0,9.0,25 = 0,525\)
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrở lại Ví dụ 1. Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về dùng phương pháp mô tả trực quan công thức tính xác suất toàn phần bằng dùng sơ đồ cây để tính.
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).Lời giải chi tiết:Theo sơ đồ cây trong ví dụ 1, xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt là \(P\left( {\overline B } \right)\)
Có hai nhánh cây đi tới \(\overline B \) là \(OA\overline B \) và \(O\overline A \overline B \)
Do đó, \(P\left( {\overline B } \right) = 0,4.0,7 + 0,6.0,6 = 0,64\)
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 74 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcVới giả thiết như vận dụng trên.
a) Hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene BB.
b) Sử dụng kết quả của vận dụng trên và câu a, hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Cây bố có kiểu gen Bb”.
M là biến cố: “Con lấy gene B từ bố”.
N là biến cố: “Con lấy gene B từ mẹ”.
E là biến cố: “Cây con có kiểu gene BB”.
Theo giả thiết, M và N độc lập nên \(P\left( E \right) = P\left( M \right).P\left( N \right)\).
Tính \(P\left( M \right)\): Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( M \right) = P\left( A \right).P\left( {M|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {M|\overline A } \right)\) (*)
Ta có: \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 0,4\)
\(P\left( {M|A} \right)\) là xác suất để cây con lấy gen B từ bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb.
Khi đó, \(P\left( {M|A} \right) = \frac{1}{2}\)
\(P\left( {M|\overline A } \right)\) là xác suất để cây con lấy gen B từ bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb.
Khi đó, \(P\left( {M|\overline A } \right) = 0\)
Thay vào (*) ta có: \(P\left( M \right) = \frac{1}{2}.0,6 = 0,3\)
Tương tự ta tính được: \(P\left( N \right) = 0,3\)
Vậy \(P\left( E \right) = P\left( M \right).P\left( N \right) = 0,3.0,3 = 0,09\).
Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60% thì tỉ lệ cây con có kiểu gene BB là khoảng 9%.
b) Tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là: \(100\% - 49\% - 9\% = 42\% \) | https://loigiaihay.com/giai-muc-1-trang-727374-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161064.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2 LT4 LT5
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 75 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrong tình huống mở đầu Mục 2, gọi A là biến cố: “Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X”; B là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.
a) Nêu các nội dung còn thiếu tương ứng với “(?)” để hoàn thành các câu sau đây:
\(P\left( {A|B} \right)\) là xác suất để (?) với điều kiện (?);
\(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất để (?) với điều kiện (?).
b) 0,95 là \(P\left( {A|B} \right)\) hay \(P\left( {B|A} \right)\)? Có phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X không?Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để hoàn thành câu: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là \(P\left( {A|B} \right)\)Lời giải chi tiết:a) \(P\left( {A|B} \right)\) là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm kết quả cho dương tính.
\(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất để xét nghiệm kết quả cho dương tính với điều kiện ông M mắc bệnh hiểm nghèo X.
b) 0,95 là \(P\left( {B|A} \right)\). Không phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X.
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrong một kho rượu có 30% là rượu loại I. Chọn ngẫu nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, đã nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại I; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận là đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Chai rượu đúng là rượu loại I”, B là biến cố: “Ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I”. Ta cần tính: \(P\left( {A|B} \right)\).
Theo công thức Bayes, ta cần tính: \(P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right),P\left( {B|A} \right),P\left( {B|\overline A } \right)\)
Ta có: \(P\left( A \right) = 0,3 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,7\)
\(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất để ông Tùng xác nhận là rượu loại I với điều kiện đây đúng là rượu loại I nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,9\)
\(P\left( {B|\overline A } \right)\) là xác suất để ông Tùng xác nhận là rượu loại I với điều kiện đây không phải là rượu loại I. Vì \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,95\) nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05\).
Thay vào công thức Bayes ta có:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,3.0,9}}{{0,3.0,9 + 0,7.0,05}} \approx 0,8852\)
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 77 SGK Toán 12 Kết nối tri thứcTrở lại tình huống mở đầu Mục 2. Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2%.
a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?
Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\).Lời giải chi tiết:a) Vì tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2% nên xác suất mắc bệnh hiểm nghèo M của ông X là: \(P\left( A \right) = 0,002\)
b) Theo ví dụ 3, ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{p.0,95}}{{p.0,95 + \left( {1 - p} \right).0,01}}\)
Với \(p = 0,002\) ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{0,002.0,95}}{{0,002.0,95 + \left( {1 - 0,002} \right).0,01}} \approx 0,1599\)
Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là khoảng 0,1599. | https://loigiaihay.com/giai-muc-2-trang-757677-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161067.html |
Đề bài
Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuất hiện ở vị trí Y. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó.
Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa.
Biết rằng xác xuất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về xác suất toàn phần của hai biến cố.
Lời giải chi tiết
Xác suất để máy bay của đối phương xuất hiện ở vị trí Y là: \(1 - 0,55 = 0,45\)Xác suất để không bắn trúng máy bay đối phương của tên lửa là: \(1 - 0,8 = 0,2\)Gọi A là biến cố: “Máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí X”Gọi B là biến cố: “Máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí Y”Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí X là: \(P\left( A \right) = 0,55\left( {1 - 0,2.0,2} \right) = 0,528\)Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí Y là: \(P\left( B \right) = 0,45.0,8 = 0,36\)
Vậy xác suất để bắn trúng máy bay đối phương theo phương án tác chiến là:\(P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,528 + 0,36 = 0,888\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-67-trang-77-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161069.html |
Đề bài
Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Con thỏ nhảy từ chuồng II sang chuồng I là thỏ trắng”.Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{3}{{10}}\). Suy ra, \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{3}{{10}} = \frac{7}{{10}}\)Gọi B là biến cố: “Con thỏ lấy ra từ chuồng I là thỏ trắng”.Khi đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{11}}{{16}},P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\)Áp dúng công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{3}{{10}}.\frac{{11}}{{16}} + \frac{7}{{10}}.\frac{5}{8} = \frac{{103}}{{160}}\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-68-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161070.html |
Đề bài
Tại nhà máy X sản xuất linh kiện điện tử tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất xưởng ra thị trường, các linh kiện điện tử đều phải trải qua khâu kiểm tra chất lượng để đóng dấu OTK. Vì sự kiểm tra không tuyệt đối hoàn hảo nên nếu một linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,99 được đóng dấu OTK; nếu một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 0,95 không được đóng dấu OTK. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện điện tử của nhà máy X trên thị trường.
a) Tính xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK.
b) Dùng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn”, B là biến cố: “linh kiện được đóng dấu OTK”.Ta có: \(P\left( A \right) = 0,8 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,2\), \(P\left( {B|A} \right) = 0,99,P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,95\)Ta có: \(P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,95 = 0,05\)a) Xác suất để linh kiện được đóng dấu OTK là:\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,8.0,99 + 0,2.0,05 = 0,802\)
b) Ta có sơ đồ hình cây:Trên nhánh OA và \(O\overline A \) tương ứng ghi P(A) và \(P\left( {\overline A } \right)\);Trên nhánh AB và \(A\overline B \) tương ứng ghi \(P\left( {B|A} \right)\) và \(P\left( {\overline B |A} \right)\);Trên nhánh \(\overline A B\) và \(\overline {AB} \) tương ứng ghi \(P\left( {B|\overline A } \right)\) và \(P\left( {\overline B |\overline A } \right)\).Có hai nhánh cây đi tới \(\overline B \) là \[OA\overline B \] và \(O\overline A \overline B \)Do đó, \(P\left( {\overline B } \right) = 0,8.0,01 + 0,95.0,2 = 0,198\)Vậy xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK là 0,198. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-69-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161072.html |
Đề bài
Có hai đội thi đấu môn Bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II tương ứng là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên.
a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng;
b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Vận động viên đạt huy chương vàng”, B là biến cố: “Thành viên đội I” thì \(\overline B \) là biến cố: “Thành viên đội II đạt huy chương vàng”.Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{5}{{12}};P\left( {\overline B } \right) = \frac{7}{{12}},P\left( {A|B} \right) = 0,65,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,55\)a) Theo công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{5}{{12}}.0,65 + \frac{7}{{12}}.0,55 = \frac{{71}}{{120}}\)
Vậy xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng là \(\frac{{71}}{{120}}\)b) Ta cần tính: \(P\left( {B|A} \right)\). Theo công thức Bayes ta có:\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{5}{{12}}.0,65}}{{\frac{{71}}{{120}}}} = \frac{{65}}{{142}}\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-610-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161074.html |
Đề bài
Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất là 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là 3%.
a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.
b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.
c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Thư được chọn là thư rác”, B là biến cố: “Thư chọn bị chặn” thì \(\overline B \) là biến cố: “Thư chọn không bị chặn”.Theo đầu bài ta có: \(P\left( A \right) = 0,03,P\left( {\overline A } \right) = 0,97,P\left( {B|A} \right) = 0,95,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,01\)a) Ta có: \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0,95.0,03 + 0,01.0,97 = 0,0382\)
Do đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,95.0,03}}{{0,0382}} = \frac{{285}}{{382}} \approx 0,746\)Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn là thư rác là khoảng 74,6%b) Vì \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,99,P\left( {B|A} \right) = 0,95 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 0,05\)
Theo công thức Bayes ta có:\(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}} = \frac{{0,97.0,99}}{{0,97.0,99 + 0,03.0,05}} = \frac{{3201}}{{3206}} \approx 0,998\)Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn là thư đúng là khoảng 99,8%.c) Tỷ lệ phần trăm thư đúng trong các thư bị chặn là: \(\frac{{0,99.0,97}}{{0,0382}} = \frac{{9603}}{{382}}\)Tỷ lệ phần trăm thư rác trong các thư không bị chặn là: \(\frac{{0,05.0,03}}{{0,9618}} = \frac{5}{{3206}}\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-611-trang-78-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161076.html |
Đề bài
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{4}\).Giá trị của P(AB) làA. \(\frac{2}{{15}}\).B. \(\frac{3}{{16}}\).C. \(\frac{1}{5}\).D. \(\frac{4}{{15}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)
Lời giải chi tiết
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{2}{5}.\frac{1}{3} = \frac{2}{{15}}\)Chọn A | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-612-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161081.html |
Đề bài
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{4}\).Giá trị của \(P\left( {B\overline A } \right)\) làA. \(\frac{1}{7}\).B. \(\frac{4}{{19}}\).C. \(\frac{4}{{21}}\).D. \(\frac{3}{{20}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)
Lời giải chi tiết
\(P\left( {B\overline A } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \left( {1 - \frac{2}{5}} \right).\frac{1}{4} = \frac{3}{{20}}\)Chọn D | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-613-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161082.html |
Đề bài
Cho \(P\left( A \right) = \frac{2}{5};P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{4}\).Giá trị của P(B) làA. \(\frac{{19}}{{60}}\).B. \(\frac{{17}}{{60}}\).C. \(\frac{9}{{20}}\).D. \(\frac{7}{{30}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về hai biến cố xung khắc: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Lời giải chi tiết
Vì AB và \(\overline A B\) là hai biến cố xung khắc và \(\overline A B \cup AB = B\)Do đó, \(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A B} \right) = \frac{2}{{15}} + \frac{3}{{20}} = \frac{{17}}{{60}}\)Chọn B | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-614-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161092.html |
Đề bài
Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen làA. \(\frac{1}{3}\).B. \(\frac{1}{4}\).C. \(\frac{2}{5}\).D. \(\frac{3}{7}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen khi cả hai lần An đều lấy được 2 chiếc sô cô la đen. Khi đó, xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen là: \(\frac{6}{{10}}.\frac{5}{9} = \frac{1}{3}\)Chọn A | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-615-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161093.html |
Đề bài
Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la trắng làA. \(\frac{1}{5}\).B. \(\frac{2}{{15}}\).C. \(\frac{3}{{16}}\).D. \(\frac{4}{{17}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la trắng khi cả hai lần An đều lấy được 2 chiếc sô cô la trắng. Khi đó, xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la trắng là: \(\frac{4}{{10}}.\frac{3}{9} = \frac{2}{{15}}\)Chọn B | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-616-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161094.html |
Đề bài
Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.Xác suất để Bình nhận được chiếc kẹo sô cô la đen ở lần thứ nhất, chiếc kẹo sô cô la trắng ở lần thứ hai làA. \(\frac{1}{5}\).B. \(\frac{3}{{16}}\).C. \(\frac{1}{4}\).D. \(\frac{4}{{17}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về sác xuất để tính.
Lời giải chi tiết
Xác suất để Bình nhận được chiếc kẹo sô cô la đen ở lần thứ nhất, chiếc kẹo sô cô la trắng ở lần thứ hai là: \(\frac{6}{{10}}.\frac{4}{9} = \frac{4}{{15}}\).Không có đáp án | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-617-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161095.html |
Đề bài
Để thử nghiệm tác dụng điều trị bệnh mất ngủ của hai loại thuốc X và thuốc Y, người ta tiến hành thử nghiệm với 4 000 người bệnh tình nguyện. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) sau:
Chọn ngẫu nhiên một người bệnh tham gia tình nguyện thử nghiệm thuốc.
a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người đó uống thuốc X.
b) Tính xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)
Lời giải chi tiết
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên \(n\left( \Omega \right) = 4000\)a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc X”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”.Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc X và khỏi bệnh”Ta có: \(1600 + 800 = 2400\) người uống thuốc X nên \(n\left( A \right) = 2400\). Do đó, \(P\left( A \right) = \frac{{2400}}{{4000}}\)Trong số những người uống thuốc X, có 1 600 người khỏi bệnh nên \(n\left( {AB} \right) = 1\;600\)
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}\). Vậy \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{1600}}{{2400}} = \frac{2}{3}\)b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc Y”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc Y và khỏi bệnh”.Ta có: \(1200 + 1600 = 2800\) khỏi bệnh nên \(n\left( B \right) = 2800\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}\)Trong số những người khỏi bệnh, có 1200 người uống thuốc Y nên \(n\left( {AB} \right) = 1200\)Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{1200}}{{2800}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1200}}{{2800}} = \frac{3}{7}\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-618-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161096.html |
Đề bài
Một nhóm có 25 học sinh, trong đó có 14 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Vật lí, 1 em không học khá cả hai môn Toán và môn Vật lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó:
a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;
b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;
c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Có 25 học sinh trong một nhóm nên số cách chọn một học sinh trong nhóm là 25. Do đó, \(n\left( \Omega \right) = 25\)Gọi A là biến cố: “Học sinh học khá môn Toán”, B là biến cố: “Học sinh học khá môn Vật lí”.a) Khi đó, biến cố AB là: “Học sinh học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí”Số học sinh học khá cả 2 môn Toán và Vật lí: \(14 + 16 + 1 - 25 = 6\) nên \(n\left( {AB} \right) = 6\)Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( {AB} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{25}}\)
b) Số học sinh học khá Toán nhưng không khá Vật lí là: \(14 - 6 = 8\) (học sinh)Xác suất để chọn được học sinh khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí là: \(\frac{8}{{25}}\)c) Xác suất chọn được một học sinh khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{6}{{25}}}}{{\frac{{16}}{{25}}}} = \frac{3}{8}\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-619-trang-80-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161097.html |
Đề bài
Chuồng I có 5 con gà mái, 2 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái, 5 con gà trống. Bác Mai bắt một con gà trong số đó theo cách sau: “Bác tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I. Nếu số chấm không chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn bác bắt ngẫu nhiên một con gà”. Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Bắt được con gà mái”, B là biến cố: “Gà được bắt ở chuồng I”, \(\overline B \) là biến cố “Gà được bắt ở chuồng II”. Khi đó, \(P\left( B \right) = \frac{1}{3},P\left( {\overline B } \right) = \frac{2}{3}\).Xác suất bắt được con gà mái nếu con gà đó ở chuồng I là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{5}{7}\)Xác suất bắt được con gà mái nếu con gà đó ở chuồng II là: \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{3}{8}\)
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{3}.\frac{5}{7} + \frac{2}{3}.\frac{3}{8} = \frac{{41}}{{84}}\)Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là \(\frac{{41}}{{84}}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-620-trang-80-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161098.html |
Đề bài
Một loại vaccine được tiêm ở địa phương X. Người có bệnh nền thì với xác suất 0,35 có phản ứng phụ sau tiêm, người không có bệnh nền thì chỉ có phản ứng phụ sau tiêm với xác suất 0,16. Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này có bệnh nền, biết rằng tỉ lệ người có bệnh nền ở địa phương X là 18%. Một loại vaccine được tiêm ở địa phương X. Người có bệnh nền thì với xác suất 0,35 có phản ứng phụ sau tiêm, người không có bệnh nền thì chỉ có phản ứng phụ sau tiêm với xác suất 0,16. Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này có bệnh nền, biết rằng tỉ lệ người có bệnh nền ở địa phương X là 18%.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Cho A và B là hai biến cố, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, ta có công thức sau: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Người bị bệnh nền”, B là biến cố: “Người có phản ứng phụ sau tiêm”Khi đó, \(P\left( A \right) = 0,18,P\left( {\overline A } \right) = 0,82\), \(P\left( {B|A} \right) = 0,35,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,16\)Theo công thức Bayes ta có:\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,18.0,35}}{{0,18.0,35 + 0,82.0,16}} = \frac{{315}}{{971}}\)
Vậy xác suất để người này có bệnh nền nếu chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine biết người này có phản ứng phụ là \(\frac{{315}}{{971}}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-621-trang-80-sgk-toan-12-tap-2-ket-noi-tri-thuc-a161099.html |
1. Định nghĩa xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B. Kí hiệu là P(A|B).
Nếu P(B) > 0 thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\).
Nhận xét:- Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra: Nếu P(B) > 0 thì\(P(A \cap B) = P(B).P(A|B)\)- Người ta chứng minh được rằng: Nếu A, B là hai biến cố bất kì thì\(P(A \cap B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(A|B)\)Công thức trên gọi là công thức nhân xác suất.Ví dụ 1: Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,4; P(B) = 0,6; \(P(A \cap B) = 0,2\). Tính các xác suất sau: \(P(A|B)\); \(P(B|A)\).Giải:Ta có: \(P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}\); \(P(B|A) = \frac{{P(B \cap A)}}{{P(A)}} = \frac{{0,2}}{{0,4}} = 0,5\).Ví dụ 2: Trong kỳ kiểm tra môn Toán của một trường trung học phổ thông có 200 học sinh tham gia, trong đó có 95 học sinh nam và 105 học sinh nữ. Khi công bố kết quả của kỳ kiểm tra đó, có 50 học sinh đạt điểm giỏi, trong đó có 24 học sinh nam và 26 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số 200 học sinh đó. Tính xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).Giải:Xét hai biến cố sau:A: "Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi".B: "Học sinh được chọn ra là học sinh nữ".Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, chính là xác suất của A với điều kiện B.Do có 26 học sinh nữ đạt điểm giỏi nên \(P(A \cap B) = \frac{{26}}{{200}} = 0,13\).Do có 105 học sinh nữ nên \(P(B) = \frac{{105}}{{200}} = 0,525\). Vì thế, ta có:\(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,13}}{{0,525}} \approx 0,25\).Vì thế, ta có:Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, là 0,25.Ví dụ 3: Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 9000, trong số đó có 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 76% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Mặt khác, trong 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 7% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính khi kiểm tra.a) Chọn số thích hợp cho (?) trong bảng (đơn vị: người). So sánh số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm với số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết.b) Chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).c) Nhà sản xuất khẳng định dung cụ cho kết quả dương tính với hơn 90% số trường hợp có kết quả dương tính. Khẳng định đó có đúng không?Giải: a) Trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: 76%.1500 = 1140 (người). Trong 1500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: 1500 − 1140 = 360 (người). Trong 7500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: 7%.7500 = 525 (người).Do đó, số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: 7500 – 525 = 6975 (người).Từ đó, bảng được hoàn thiện.Từ bảng ta thấy số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm là 525 + 1140 = 1665 > 1500.b) Xét các biến cố sau: A: "Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết"; B: "Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả dương tính (khi kiểm tra)".Từ các dữ liệu thống kê ở bảng, ta có:\(P(B) = \frac{{1665}}{{9000}} = \frac{{37}}{{200}}\); \(P(A \cap B) = \frac{{1140}}{{9000}} = \frac{{19}}{{150}}\).Vậy \(P(A|B) = \frac{{19}}{{150}}:\frac{{37}}{{200}} = \frac{{76}}{{111}} \approx 68,5\% \).c) Do 68,5% < 90% nên khẳng định của nhà sản xuất là không đúng.Chú ý: Người ta chứng minh được tính chất sau chỉ ra mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và biến cố độc lập: Cho A và B là hai biến cố với 0 < P(A) <1, 0 < P(B) < 1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi \(P(A) = P(A|B) = P(A|\overline B )\) và \(P(B) = P(B|A) = P(B|\overline A )\).Nhận xét: Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.2. Sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiệnVí dụ: Giả sử có 8 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu vàng trong một hộp. Từ 13 viên bi này, 5 viên bi được đánh số, trong đó có 3 viên bi màu đỏ. Ta cần tìm xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó được đánh số.Giải:Xét hai biến cố sau:A: “Viên bi được lấy ra có màu đỏ”.B: “Viên bi được lấy ra có đánh số”.Khi đó, xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó được đánh số, chính là xác suất có điều kiện P(A∣B).Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện P(A∣B), được vẽ như sau:Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó có đánh số là 0,6.Ta có thể tính \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n(AB)}}{{N(B)}} = \frac{3}{5} = 0,6\).Nhận xét:- Xác suất của các nhánh trong sơ đồ hình cây từ đỉnh thứ hai là xác suất có điều kiện.- Xác suất xảy ra của mỗi kết quả bằng tích các xác suất trên các nhánh của cây đi đến kết quả đó. | https://loigiaihay.com/ly-thuyet-xac-suat-co-dieu-kien-toan-12-canh-dieu-a176760.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
MĐ HĐ1 LT1 LT2 LT3
MĐ
Trả lời câu hỏi Bài toán mở đầu trang 90 SGK Toán 12 Cánh diềuMột lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”;
B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.
Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính như thế nào?Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:\(A \cap B\) là biến cố: “Học sinh lên bảng tên là Thanh và là học sinh nữ” nên xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{17}}{{30}}\).
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}\).
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 90 SGK Toán 12 Cánh diềuTrong bài toán ở phần mở đầu, hãy tính:
a) Xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ;
b) Tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\). Từ đó, hãy so sánh xác suất tính được ở câu a) với tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Bài toán mở đầu: Một lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”;
B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về biến cố giao để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(D = A \cap B\), ta nói D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là \(A \cap B\) hay AB.Lời giải chi tiết:a) Lớp có 17 học sinh nữ, có 1 học sinh nữ tên là Thanh nên xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ là: \(\frac{1}{{17}}\).
b) \(A \cap B\) là biến cố: “Học sinh lên bảng tên là Thanh và là học sinh nữ” nên xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{17}}{{17 + 13}} = \frac{{17}}{{30}}\).
Ta có: \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}\)
Do đó, xác suất tính được ở câu a) bằng với tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 91 SGK Toán 12 Cánh diềuMột hộp có 6 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”, B là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh và lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”.
Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng không hoàn lại vào hộp, nên lần thứ nhất có 10 cách chọn, lần 2 có 9 cách chọn bóng trong số bóng còn lại trong hộp nên \(n\left( \Omega \right) = 10.9 = 90\).
Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh nên có 6 cách chọn, lần thứ hai có 9 cách chọn một quả bóng từ 9 quả còn lại trong hộp. Do đó, \(n\left( B \right) = 6.9 = 54\) nên \(P\left( B \right) = \frac{{54}}{{90}}\).
Lần thứ nhất lấy được bóng màu xanh nên có 6 cách chọn, lần thứ hai lấy bóng màu đỏ nên có 4 cách chọn. Do đó, \(n\left( {A \cap B} \right) = 6.4 = 24\). Suy ra, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{24}}{{90}}\).
Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{24}}{{90}}}}{{\frac{{54}}{{90}}}} = \frac{4}{9}\).
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 92 SGK Toán 12 Cánh diềuTrong hộp đựng 500 chiếc thẻ cùng loại có 200 chiếc thẻ màu vàng. Trên mỗi chiếc thẻ màu vàng có ghi một trong năm số: 1, 2, 3, 4, 5. Có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp đựng thẻ. Giả sử chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng. Tính xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5”, B là biến cố: “Chiếc thẻ được chọn có màu vàng”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Thẻ được chọn màu vàng và ghi số 5”.
Vì có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5 nên \(n\left( {A \cap B} \right) = 40\). Do đó, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{40}}{{500}}\).
Vì có 200 chiếc thẻ màu vàng nên \(n\left( B \right) = 200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{200}}{{500}}\).
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{40}}{{500}}}}{{\frac{{200}}{{500}}}} = \frac{1}{5}\). Vậy xác suất để chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5, biết rằng thẻ đó có màu vàng là \(\frac{1}{5}\).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 93 SGK Toán 12 Cánh diềuVới các giả thiết như ở Ví dụ 4, chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.
B là biến cố: “Người được chọn ra có kết quả xét nghiệm âm tính”.
Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có kết quả xét nghiệm âm tính”.
Theo bảng ở ví dụ 4 ta có: \(n\left( B \right) = 360 + 6\;975 = 7\;335;P\left( B \right) = \frac{{7\;335}}{{9\;000}} = \frac{{163}}{{200}}\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{360}}{{9000}} = \frac{1}{{25}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{25}}}}{{\frac{{163}}{{200}}}} = \frac{8}{{163}}\). | https://loigiaihay.com/giai-muc-1-trang-90-91-92-93-94-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174578.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2 LT4
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 94 SGK Toán 12 Cánh diềuBác An cưa một khúc gỗ thành ba khối nhỏ. Mỗi khối nhỏ được sơn bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bác An có thể sơn màu cho các khúc gỗ đó.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về sơ đồ hình cây để biểu thị bài toán.Lời giải chi tiết:Ta có sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bác An có thể sơn màu các khúc gỗ:
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 95 SGK Toán 12 Cánh diềuMột túi có 10 hộp sữa chua dâu và 10 hộp sữa chua nha đam; các hộp sữa chua có kích thước và khối lượng như nhau. Có 12 hộp sữa chua trong túi là sữa chua không đường, trong đó có 6 hộp sữa chua dâu và 6 hộp sữa chua nha đam. Lấy ngẫu nhiên một hộp sữa chua trong túi. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, biết rằng hộp sữa chua đó là sữa chua không đường.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện.Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Hộp sữa chua lấy ra là sữa chua dâu”.
B là biến cố: “Hộp sữa chua lấy ra là hộp có đường”.
Khi đó, xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, biết rằng hộp sữa chua đó là sữa chua không đường là xác suất có điều kiện \(P\left( {A|\overline B } \right)\).
Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện \(P\left( {A|\overline B } \right)\), được vẽ như sau:
Vậy xác suất để hộp sữa chua được lấy ra là hộp sữa chua dâu, biết rằng hộp sữa chua đó là sữa chua không đường là: \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{2}\). | https://loigiaihay.com/giai-muc-2-trang-94-95-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174581.html |
Đề bài
Cho hai biến cố độc lập A, B với \(P\left( A \right) = 0,8,P\left( B \right) = 0,25\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right)\) bằng:
A. 0,2.
B. 0,8.
C. 0,25.
D. 0,75.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Vì A, B là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,8.0,25 = 0,2\).Do đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,25}} = 0,8\).Chọn B | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-1-trang-95-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174583.html |
Đề bài
Cho hai biến cố A, B với \(P\left( A \right) = 0,6,P\left( B \right) = 0,8,P\left( {A \cap B} \right) = 0,4\). Tính các xác suất sau:
a) \(P\left( {B|A} \right),P\left( {\overline B |A} \right)\).
b) \(P\left( {A \cap \overline B } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
a) \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,6}} = \frac{2}{3}\), \(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).b) \(P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right) = 0,6.\frac{1}{3} = 0,2\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-2-trang-95-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174585.html |
Đề bài
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Chứng minh rằng A, B là hai biến cố độc lập.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Sử dụng kiến thức về hai biến cố độc lập để chứng minh: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( A \right),P\left( B \right) < 1\). Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi \(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right) = P\left( {A|\overline B } \right)\) và \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right) = P\left( {B|\overline A } \right)\).
Lời giải chi tiết
Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{3.7}}{{7.7}} = \frac{3}{7}\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{7}\).Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{7.4}}{{7.7}} = \frac{4}{7}\). Suy ra, \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{3}{4}\).Biến cố \(A \cap B\): “Lấy ra bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất và bóng màu đỏ ở lần thứ hai”. Suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{3.4}}{{7.7}} = \frac{{12}}{{49}}\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{3}{7}\)
Biến cố \(A \cap \overline B \): “Lấy ra bóng màu xanh được lấy ra ở cả hai lần”. Suy ra \(P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{{3.3}}{{7.7}} = \frac{9}{{49}}\). Khi đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{\frac{9}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{3}{7}\).Do đó, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right) = P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{3}{7}\left( 1 \right)\).
Lại có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{4}{7},P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A \cap B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{{4.4}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{4}{7}\).Do đó, \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{7}\left( 2 \right)\).Từ (1) và (2) suy ra A và B là hai biến cố độc lập. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-3-trang-95-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174586.html |
Đề bài
Cho hai xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng xúc xắc trong hai xúc xắc đó. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6”, B là biến cố: “Xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6 và xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.Các kết quả thuận lợi của biến cố B là: (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6) nên \(n\left( B \right) = 6\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{6}{{6.6}} = \frac{1}{6}\).
Kết quả thuận lợi của biến cố \(A \cap B\) là: (4; 2) nên \(n\left( {A \cap B} \right) = 1.\) Do đó, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{36}}\).Khi đó: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{36}}}}{{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{6}\).Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm là \(\frac{1}{6}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-4-trang-95-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174587.html |
Đề bài
Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu áo sơ mi phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo sơ mi trong lô hàng S. Tính xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Chiếc áo sơ mi được chọn qua được lần kiểm định thứ nhất”, B là biến cố: “Chiếc áo sơ mi được chọn qua được lần kiểm định thứ hai”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Chiếc áo sơ mi được chọn đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”.Theo đầu bài ta có: \(P\left( A \right) = 0,98,P\left( {B|A} \right) = 0,95\).Xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,98.0,95 = 0,931\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-5-trang-95-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174588.html |
Đề bài
Một lô sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp 2 sản phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”, B là biến cố: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là xác suất có điều kiện P(A| B).A xảy ra khi sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp. Khi đó, trong lô sản phẩm còn lại có 19 sản phẩm với 4 sản phẩm có chất lượng thấp. Do đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{4}{{19}}\).
Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\frac{4}{{19}}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-6-trang-95-96-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174589.html |
Đề bài
Trên giá sách có 10 quyển sách Khoa học và 15 quyển sách Nghệ thuật. Có 9 quyển sách viết bằng tiếng Anh, trong đó 3 quyển sách Khoa học và 6 quyển sách Nghệ thuật, các quyển sách còn lại viết bằng tiếng Việt. Lấy ngẫu nhiên một quyển sách. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Số quyển sách viết bằng tiếng Việt là: \(10 + 15 - 9 = 16\) (cuốn), trong đó có 7 quyển sách là sách Khoa học, 9 quyển sách là quyển sách Nghệ thuật.Gọi A là biến cố: “Quyển sách lấy ra là sách viết bằng Tiếng Việt”, B là biến cố: “Quyển sách lấy ra là sách Khoa học”. Khi đó, xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học là biến cố \(P\left( {A|B} \right)\).
Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện biến cố \(P\left( {A|B} \right)\) là:Vậy xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{7}{{10}}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-7-trang-96-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174590.html |
Đề bài
Có hai linh kiện điện tử, xác suất để mỗi linh kiện hỏng trong một thời điểm bất kì lần lượt là 0,01; 0,02. Hai linh kiện đó được lắp vào một mạch điện tử theo sơ đồ ở Hình 1a, 1b. Trong mỗi trường hợp, hãy tính xác suất để trong mạch điện có dòng điện chạy qua.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “Linh kiện thứ nhất không bị hỏng”, B là biến cố: “Linh kiện thứ hai không bị hỏng”. Khi đó, \(P\left( A \right) = 0,99,P\left( B \right) = 0,98\).Trong Hình 1a: Mạch điện là mạch điện nối tiếp nên để mạch điện có dòng điện chạy qua thì mọi linh kiện đều phải không bị hỏng.Do đó, xác suất để trong mạch điện có dòng điện chạy qua là: \(P = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,9702\)
Trong Hình 1b: Mạch điện là mạch điên mắc song song. Để mạch điện không có dòng điện chạy qua thì mọi linh kiện đều phải hỏng. Do đó, \(P\left( C \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,01.0,02\).Vậy xác suất để trong mạch điện có dòng điện chạy qua là: \(P = 1 - P\left( C \right) = 0,9998\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-8-trang-96-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174591.html |
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó
\(P(A) = P(A \cap B) + (A \cap \overline B ) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\)
gọi là công thức xác suất toàn phần.
Ví dụ 1: Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có 65% nam giới là thừa cân và 53,4% nữ giới là thừa cân. Nam giới và nữ giới ở Canada đều chiếm 50% dân số cả nước (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu?Giải:Xét hai biến cố sau:A: “Người được chọn ra là người thừa cân”;B: “Người được chọn ra là nam giới” (biến cố \(\overline B \): “Người được chọn ra là nữ giới”).Từ giả thiết ta có:\(P(B) = P(\overline B ) = 50\% = 0,5\); \(P(A|B) = 65\% = 0,65\), \(P(A|\overline B ) = 53,4\% = 0,534\).Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,5.0,65 + 0,5.0,534 = 0,592\).Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592.Lối cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là 59,2%.Ví dụ 2: Trong trò chơi hái hoa có thưởng của lớp 12A, cô giáo treo 10 bông hoa trên cành cây, trong đó có 5 bông hoa chưa phiếu có thưởng. Bạn Bình hái bông hoa đầu tiên sau đó bạn An hái bông hoa thứ hai.a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.b) Từ đó, tính xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng.Giải:Xét hai biến cố:A: “Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng”.B: “Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thưởng”.Khi đó, ta có:\(P(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\), \(P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), \(P(A|B) = \frac{4}{9}\), \(P(A|\overline B ) = \frac{5}{9}\).a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = \frac{1}{2}.\frac{4}{9} + \frac{1}{2}.\frac{5}{9} = \frac{1}{2}\).Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng \(\frac{1}{2}\).2. Công thức Bayes
Với hai biến cố A, B mà P(A) > 0 và P(B) > 0. Khi đó
\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}}\)
gọi là công thức Bayes.
Nhận xét: Cho hai biến cố A, B với P(A) > 0, 0 < P(B) < 1. Do \(P(A) = P(A \cap B) + (A \cap \overline B ) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\)nên công thức Bayes còn có dạng \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )}}\).Ví dụ 1: Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,6; P(B) = 0,4; P(A|B) = 0,3. Tính P(B|A).Giải:Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,6}} = 0,2\).Ví dụ 2: Giả sử có một loại bệnh mà tỷ lệ người mắc bệnh là 0,1%. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỷ lệ phản ứng dương tính giả là 5% (tức là trong số những người không bị bệnh có 5% số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính).a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.b) Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó bao nhiêu phần trăm (làm tron kết quả đánh hàng phần trăm)?Giải:a) Xét hai biến cố:K: “Người được chọn ra không mắc bệnh”.D: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”.Do tỷ lệ mắc bệnh là 0,1% = 0,001 nên P(K) = 1 - 0,001 = 0,999.Trong số những người mắc bệnh có 5% số người có phản ứng dương tính nên P(D|K) = 5% = 0,05. Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng phản ứng dương tính nên \(P(D|\overline K ) = 1\).Sơ đồ hình cây ở Hình 3 biểu thị tình huống đã cho.b) Ta thấy: Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là \(P(\overline K |D)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:\(P(\overline K |D) = \frac{{P(\overline K ).P(D|\overline K )}}{{P(\overline K ).P(D|\overline K ) + P(K).P(D|K)}} = \frac{{0,001}}{{0,001 + 0,999.0,05}} = 1,96\% \).Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là 1,96%. | https://loigiaihay.com/ly-thuyet-cong-thuc-xac-suat-toan-phan-cong-thuc-bayes-toan-12-canh-dieu-a176761.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
MĐ HĐ1 LT1 LT2
MĐ
Trả lời câu hỏi Bài toán mở đầu trang 97 SGK Toán 12 Cánh diềuDây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm 55% tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm 45% tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là 90%, của nhà máy II là 87%. Lấy ra ngẫu nhiên một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra. Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?
Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn”, B là biến cố: “Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”. Khi đó, \(P\left( B \right) = 0,55;P\left( {\overline B } \right) = 0,45,P\left( {A|B} \right) = 0,9,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,87\)
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,55.0,9 + 0,45.0,87 = 0,8865\).
Vậy xác suất để linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn là 0,8865.
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 97 SGK Toán 12 Cánh diềuMột hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”.
a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, \(A \cap B,A \cap \overline B \) (Hình 2).
b) So sánh n(A) và \(n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)\). Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right)\).
c) So sánh \(P\left( {A \cap B} \right)\) và \(P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\);
\(P\left( {A \cap \overline B } \right)\) và \(P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).Phương pháp giải:+ Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
+ Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất của hai biến cố xung khắc: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).Lời giải chi tiết:a) \(A = \left\{ {3;{\rm{ }}6;{\rm{ }}9;{\rm{ }}12;{\rm{ }}15;{\rm{ }}18;{\rm{ }}21;{\rm{ }}24} \right\},B = \left\{ {4;{\rm{ }}8;{\rm{ }}12;{\rm{ }}16;{\rm{ }}20;{\rm{ }}24} \right\}\), \(\Omega = \left\{ {1;2;3;...;24} \right\}\)\(A \cap B = \left\{ {12;24} \right\},A \cap \overline B = \left\{ {3;6;9;15;18;21} \right\}\).
b) Ta có: \(n\left( A \right) = 8,n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right) = 2 + 6 = 8\) nên \(n\left( A \right) = n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)\).
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} + \frac{{n\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right)\)
c) Ta có: \(P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) = P\left( B \right).\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( {A \cap B} \right)\);
\(P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( {\overline B } \right).\frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = P\left( {A \cap \overline B } \right)\).
Vì \(A \cap B,A \cap \overline B \) là hai biến cố xung khắc nên \(\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap \overline B } \right) = A\), theo công thức xác suất ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 99 SGK Toán 12 Cánh diềuHãy giải bài toán mở đầu bằng cách lập bảng thống kê như trong Ví dụ 2, biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10 000 linh kiện.
Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm 55% tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm 45% tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là 90%, của nhà máy II là 87%. Lấy ra ngẫu nhiên một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra.Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).Lời giải chi tiết:Số linh kiện do nhà máy I sản xuất là: \(10\;000.55\% = 5\;500\) (linh kiện).
Số linh kiện do nhà máy II sản xuất là: \(10\;000.45\% = 4\;500\) (linh kiện).
Số linh do nhà máy I sản xuất đạt tiêu chuẩn là:
\(5\;500.90\% = 4\;950\) (linh kiện).
Số linh do nhà máy I sản xuất không đạt tiêu chuẩn là: \(5\;500 - 4\;950 = 550\) (linh kiện).
Số linh do nhà máy II sản xuất đạt tiêu chuẩn là: \(4\;500.87\% = 3\;915\) (linh kiện).
Số linh do nhà máy II sản xuất không đạt tiêu chuẩn là: \(4\;500 - 3\;915 = 585\) (linh kiện).
Ta có bảng thống kê như sau:
Gọi A là biến cố: “Linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn”, B là biến cố: “Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”. Khi đó, \(P\left( B \right) = 0,55;P\left( {\overline B } \right) = 0,45,P\left( {A|B} \right) = 0,9,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,87\).
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,55.0,9 + 0,45.0,87 = 0,8865\).
Vậy xác suất để linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn là 0,8865.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 100 SGK Toán 12 Cánh diềuHãy giải bài toán mở đầu bằng phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây như trong Ví dụ 3. Phương pháp giải:+ Sử dụng kiến thức sơ đồ hình cây để tính.
+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi A là biến cố: “Linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn”, B là biến cố: “Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”. Khi đó, \(P\left( B \right) = 0,55;P\left( {\overline B } \right) = 0,45,P\left( {A|B} \right) = 0,9,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,87\)
Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho:
p
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,55.0,9 + 0,45.0,87 = 0,8865\).
Vậy xác suất để linh kiện lấy ra đạt tiêu chuẩn là 0,8865. | https://loigiaihay.com/giai-muc-1-trang-97-98-99-100-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174594.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2 LT3 LT4
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 100 SGK Toán 12 Cánh diềuXét hai biến cố A, B trong Hoạt động 1.
a) Tính P(A), P(B), \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {B|A} \right)\).
b) So sánh: \(P\left( {B|A} \right)\) và \(\frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).Lời giải chi tiết:a) Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3};P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\);
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
b) Ta có: \(\frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}.\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{4} = P\left( {B|A} \right)\).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 101 SGK Toán 12 Cánh diềuCho hai biến cố A, B sao cho \(P\left( A \right) = 0,4,P\left( B \right) = 0,8;P\left( {B|A} \right) = 0,3.\) Tính \(P\left( {A|B} \right)\).Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).Lời giải chi tiết:Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,8}} = 0,15\).
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 101 SGK Toán 12 Cánh diềuĐược biết có 5% đàn ông bị mù màu, và 0,25% phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chọn một người bị mù màu một cách ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?Phương pháp giải:+ Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).Lời giải chi tiết:Xét hai biến cố: A: “Người được chọn là đàn ông”, B: “Người được chọn bị mù màu”.
Khi đó, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5,P\left( {B|A} \right) = 0,05,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,0025\).
Theo công thức Bayes ta có, xác suất để một người mù màu được chọn là đàn ông là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{0,5.0,05}}{{0,5.0,05 + 0,5.0,0025}} \approx 0,9524\). | https://loigiaihay.com/giai-muc-2-trang-100-101-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174596.html |
Đề bài
Cho hai biến cố A, B với \(P\left( B \right) = 0,6;P\left( {A|B} \right) = 0,7\) và \(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,4\). Khi đó, \(P\left( A \right)\) bằng
A. 0,7.
B. 0,4.
C. 0,58.
D. 0,52.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,4\).Theo công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58\).Chọn C | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-1-trang-102-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174597.html |
Đề bài
Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.
a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng.
b) Giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hai biến cố: A: “Viên bi lấy ra từ hộp I bỏ sang hộp II là bi màu trắng”, B: “Viên bi lấy ra từ hộp II là màu trắng”.Theo đề bài ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2};P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{11}}\).Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{2}.\frac{7}{{11}} + \frac{1}{2}.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).
b) Nếu viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng thì xác suất để viên bi đó thuộc hộp I là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{7}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{7}{{13}}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-2-trang-102-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174598.html |
Đề bài
Một loại linh kiện do hai nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 4%; 3%. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó.
a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.
b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hai biến cố: A: “Linh kiện lấy ra là linh kiện tốt”, B: “Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”.Vì nhà máy I có 80 sản phẩm, nhà máy II có 120 sản phẩm nên\(P\left( B \right) = 0,4;P\left( {\overline B } \right) = 0,6.\) Lại có: \(P\left( {A|B} \right) = 0,96;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,97\).Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,4.0,96 + 0,6.0,97 = 0,966\).
b) Gọi C là biến cố “Linh kiện được lấy ra từ lô hàng là linh kiện phế phẩm”. Khi đó, \(P\left( C \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,034\). Theo đề bài ta có: \(P\left( {C|B} \right) = 0,04\).Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy I sản xuất là: \(P\left( {B|C} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {C|B} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,4.0,04}}{{0,034}} = \frac{8}{{17}}\).
Nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất sản phẩm đó do nhà máy II sản xuất là: \(P\left( {\overline B |C} \right) = 1 - P\left( {B|C} \right) = 1 - \frac{8}{{17}} = \frac{9}{{17}}\).Vì \(\frac{9}{{17}} > \frac{8}{{17}}\) nên nếu linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-3-trang-102-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174600.html |
Đề bài
Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1 000 000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Xét hai biến cố: A: “Con bò chọn ra bị mắc bệnh bò điên”, B: “Con bò được chọn có phản ứng dương tính với phản ứng A”.Vì có tỉ lệ bò bị mắc bệnh là 13 con trên 1 000 000 con nên \(P\left( A \right) = 0,000013\). Do đó, \(P\left( {\overline A } \right) = 0,999987\).Trong số bò bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính là 70% nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,7\)Trong số bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính là 10% nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,000013.0,7 + 0,999987.0,1 = 0,1000078\).Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,00013.0,7}}{{0,1000078}} = 0,000091\).Vậy khi một con bò ở Hà Lan phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị điên là 0,000091. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-4-trang-102-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174601.html |
Đề bài
Cho hai biến cố xung khắc A, B với \(P\left( A \right) = 0,2,P\left( B \right) = 0,4\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right)\) bằng
A. 0,5.
B. 0,2.
C. 0,4.
D. 0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên \(A \cap B = \emptyset \). Do đó, \(P\left( {A \cap B} \right) = 0\).Suy ra, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{0}{{0,4}} = 0\).Chọn D | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-1-trang-103-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174602.html |
Đề bài
Một cửa hàng kinh doanh tổ chức rút thăm trúng thưởng cho hai loại sản phẩm. Tỉ lệ trúng thưởng của các loại sản phẩm I, II lần lượt là: 6%; 4%. Trong một hộp kín gồm các thăm cùng loại, người ta để lẫn lộn 200 chiếc thăm cho sản phẩm loại I và 300 chiếc thăm cho sản phẩm loại II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thăm từ chiếc hộp đó.
a) Tính xác suất để chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng.
b) Giả sử chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng. Xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm nào là cao hơn?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Xét hai biến cố: A: “Chiếc thăm lấy ra là trúng thưởng”, B: “Chiếc thăm lấy ra là sản phẩm loại I”Ta có: \(P\left( B \right) = \frac{{200}}{{500}} = 0,4,P\left( {\overline B } \right) = 0,6,P\left( {A|B} \right) = 0,06,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,04\).Xác suất để chiếc thăm lấy được ra trúng thưởng là:\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,4.0,06 + 0,6.0,04 = 0,048\).
b) Nếu chiếc thăm lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm I là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,06}}{{0,048}} = 0,5\).Nếu chiếc thăm lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm II là: \(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).Vậy nếu chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng thì xác suất chiếc thăm đó thuộc hai loại sản phẩm I và II là như sau. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-2-trang-103-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174603.html |
Đề bài
Một xạ thủ bắn vào bia số 1 và bia số 2. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số 1, bia số 2 lần lượt là 0,8; 0,9. Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là 0,8. Xét hai biến cố sau:
A: “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 1”;
B: “Xạ thủ đó bắn trúng bia số 2”.
a) Hai biến cố A và B có độc lập hay không?
b) Biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2.
c) Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số 1, tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Sử dụng kiến thức về hai biến cố độc lập để chứng minh: Cho hai biến cố A và B. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ
\(P\left( A \right).P\left( B \right) = P\left( {A \cap B} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(P\left( A \right) = 0,8,P\left( B \right) = 0,9,P\left( {A \cap B} \right) = 0,8\)Vì \(P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,8.0,9 = 0,72 \ne P\left( {A \cap B} \right)\) nên hai biến cố A và B không độc lập với nhau.b) Ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,8}}{{0,8}} = 1\).Vậy xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 biết xạ thủ đó bắn trúng bia số 1 là 1.
c) Theo công thức xác suất toàn phần ta có: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)Do đó, \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( B \right) - P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,9 - 0,8.1}}{{1 - 0,8}} = 0,5\).Vậy xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số 2 biết xạ thủ đó bắn không trúng bia số 1 là 0,5. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-3-trang-103-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174604.html |
Đề bài
Một chiếc hộp có 40 viên bi, trong đó có 12 viên bi màu đỏ và 28 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân lấy ngẫu nhiên viên bi từ chiếc hộp đó hai lần, mỗi lần lấy ra một viên bi và viên bi được lấy ra không bỏ lại hộp. Tính xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Xét hai biến cố: A: “Viên bi lấy ra lần thứ nhất là viên bi vàng”; B: “Viên bi lấy ra lần thứ hai là viên bi vàng”.Số cách chọn ra hai viên bi mà mỗi lần lấy ra một viên bi và viên bi được lấy ra không bỏ lại hộp là: \(n\left( \Omega \right) = 40.39\) (cách).Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: \(n\left( A \right) = 28.39\) nên \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{28.39}}{{40.39}}\).
Lần thứ nhất lấy được viên bi màu vàng có 28 cách, lần thứ hai lấy được viên bi màu vàng có 27 cách nên \(n\left( {A \cap B} \right) = \frac{{28.27}}{{39.40}}\) nên \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{28.27}}{{40.39}}\).Ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{9}{{13}}\).Vậy xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng là \(\frac{9}{{13}}\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-4-trang-103-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174605.html |
Đề bài
Giả sử trong một nhóm người có 2 người nhiễm bệnh, 58 người còn lại là không nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 85%, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là 7%.
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.
b) Giả sử X là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất để X là người nhiễm bệnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
Sử dụng kiến thức về sơ đồ hình cây để tính.
Lời giải chi tiết
a) Xét hai biến cố: A: “Người được chọn bị nhiễm bệnh”; B: “Người được chọn có phản ứng dương tính”.Vì trong nhóm có 2 người nhiễm bệnh và 58 người còn lại không nhiễm bệnh nên \(P\left( A \right) = \frac{1}{{30}},P\left( {\overline A } \right) = \frac{{29}}{{30}}\).Vì đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 85%, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là 7% nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,85;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,07\).
Sơ đồ cây biểu thị tình huống đã cho như sau:b) Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{\frac{1}{{30}}.0,85}}{{\frac{1}{{30}}.0,85 + \frac{{29}}{{30}}.0,07}} = \frac{{85}}{{288}} \approx 0,295\).Vậy xác suất để X là người nhiễm bệnh là 0,295. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-5-trang-103-sgk-toan-12-tap-2-canh-dieu-a174606.html |
1. Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra gọi là xác suất của B với điều kiện A, kí hiệu là \(P(B|A)\).
Ví dụ: Một hộp chứa ba tấm thẻ cùng loại ghi số lần lượt từ 1 đến 3. Bạn Hà lấy ra một cách ngẫu nhiên thẻ từ hộp, bỏ thẻ đó ra ngoài và lại lấy ra thêm một thẻ nữa. Xét các biến cố:A: "Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1".B: "Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số 2".C: "Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ".a) Xác định không gian mẫu của phép thử. Viết tập hợp các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố có A, B, C.b) Tính xác suất để lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thế lấy ra lần thứ nhất ghi số 1.c) Tính xác suất để lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thế lấy ra lần thứ nhất ghi số 2. Giải:a) Không gian mẫu của phép thử: Ω = {(1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 3); (3; 1); (3; 2)}, trong đó (i; j) là kết quả lần thứ nhất lấy được thẻ ghi số i, lần thứ hai lấy được thẻ ghi số j.Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {(1; 2); (1; 3)}.Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {(2; 1); (2; 3)}.Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố C là {(2; 1); (3; 1); (1; 3); (2; 3)}.b) Xác suất cần tìm là P(C|A). Khi biến cố A xảy ra thì kết quả của phép thử là (1; 2) hoặc (1; 3). Trong hai kết quả đồng khả năng này chỉ có kết quả (1; 3) là thuận lợi cho biến cố C.Vậy xác suất để lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng lần thứ nhất ghi số 1 là \(P(C|A) = \frac{1}{2}\).c) Xác suất cần tìm là P(C|B). Khi biến cố B xảy ra thì kết quả của phép thử là (2; 1) hoặc (2; 3). Cả hai kết quả này đều thuận lợi cho biến cố C. Vậy xác suất để lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng lần thứ nhất ghi số 2 là P(C|B) = 1.2. Công thức tính xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó:
\(P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\).
Chú ý:- Ta cũng ký hiệu biến cố giao của hai biến cố A và B là AB.- Trong thực tế, người ta thường dùng tỷ lệ phần trăm để mô tả xác suất.Ví dụ: Một công ty bảo hiểm nhận thấy 48% số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ và có 36% số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 45 tuổi.a) Biết một người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ, tính xác suất người đó trên 45 tuổi.b) Tính tỉ lệ người trên 45 tuổi trong số những người phụ nữ mua bảo hiểm ô tô.Giải:a) Gọi A là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ”, B là biến cố “Người mua bảo hiểm ô tô trên 45 tuổi”. Ta cần tính P(B|A). Do có 48% người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ nên P(A) = 0,48. Do có 36% số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 45 tuổi nên P(AB) = 0,36.Vậy \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,36}}{{0,48}} = 0,75.\)b) Trong số những phụ nữ mua bảo hiểm ô tô thì có 75% người trên 45 tuổi.Chú ý: Từ công thức xác suất có điều kiện, với P(B) > 0, ta có P(AB) = P(B).P(A|B).- Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được rằng với A, B là hai biến cố có bất kì thì:
Công thức nhân xác suất cho hai biến cố:
P(AB) = P(B)P(A|B)
3. Sơ đồ hình câyVí dụ: Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là 20%, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là 30%. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là 0,7.Giải:Gọi A là biến cố "Ngày thứ Bảy trời nắng" và B là biến cố "Ngày Chủ nhật trời mưa".Ta có P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,2; P(B|A̅) = 0,3.Do đó P(A̅) = 1 - P(A) = 0,3; P(B|A) = 0,8; P(B|A̅) = 1 - P(B|A) = 0,7.Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ nhật là P(AB) = P(A)P(B|A) = 0,7.0,2 = 0,14.Tương tự, ta có:P(A̅B) = P(A̅).P(B|A̅) = 0,3.0,8 = 0,56;P(AB̅) = P(A).P(B̅|A) = 0,7.0,3 = 0,09;P(A̅B̅) = P(A̅)P(B̅|A̅) = 0,3.0,7 = 0,21.Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo đồ thị hình cây như sau:Nhận xét:- Xác suất của các nhánh trong sơ đồ hình cây từ đỉnh thứ hai là xác suất có điều kiện.- Xác suất xảy ra của mỗi kết quả bằng tích các xác suất trên các nhánh của cây đi đến kết quả đó. | https://loigiaihay.com/ly-thuyet-xac-suat-co-dieu-kien-toan-12-chan-troi-sang-tao-a176703.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1 TH1 TH2 VD1
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 69 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoHộp thứ nhất chứa 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Thanh lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi \(A\) là biến cố: “Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh”, \(B\) là biến cố “Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi đỏ”
a) Biết rằng biến cố \(A\) xảy ra, tính xác suất của biến cố \(B\).
b) Biết rằng biến cố \(A\) không xảy ra, tính xác suất của biến cố \(B\).Phương pháp giải:a) Khi biến cố \(A\) xảy ra, tức là viên bi lấy ra ở lần thứ nhất có màu xanh. Khi đó, túi thứ hai có 3 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Từ đó tính xác suất của biến cố \(B\).
b) Khi biến cố \(A\) không xảy ra, tức là viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đỏ. Khi đó, túi thứ hai có 2 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Từ đó tính xác suất của biến cố \(B\).Lời giải chi tiết:a) Khi biến cố \(A\) xảy ra, tức là viên bi lấy ra lần thứ nhất là viên bi màu xanh. Bỏ viên bi màu xanh đó vào túi thứ hai, lúc này trong túi thứ 2 ta có 3 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ.
Khi đó, xác suất để lấy ra được viên bi đỏ ở túi thứ hai (cũng là xác suất của biến cố \(B\)) là \(P\left( B \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
b) Khi biến cố \(A\) không xảy ra, tức là viên bi lấy ra lần thứ nhất là viên bi màu đỏ. Bỏ viên bi màu đỏ đó vào túi thứ hai, lúc này trong túi thứ hai ta có 2 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Khi đó, xác suất để lấy ra được viên bi đỏ ở túi thứ hai (cũng là xác suất của biến cố \(B\)) là \(P\left( B \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
TH1
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoXét phép thử lấy thẻ ở Ví dụ 1: Một hộp chứa ba tấm thẻ cùng loại được ghi số lần lượt từ 1 đến 3. Bạn Hà lấy ra một cách ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, bỏ thẻ đó ra ngoài và lại lấy ra một cách ngẫu nhiên thêm một thẻ nữa. Xét các biến cố:
A: “Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1”
B: “Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 2”
D: “Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lớn hơn 1”.
Tinh \(P\left( {D|A} \right)\) và \(P\left( {D|B} \right)\).Phương pháp giải:Chỉ ra với từng điều kiện \(A\) và \(B\), trong hộp còn lại những thẻ nào, từ đó tính xác suất của biến cố \(D\) theo từng điều kiện \(A\) và \(B\).Lời giải chi tiết:Tính \(P\left( {D|A} \right)\), tức là tính xác suất của biến cố
\(D\) với điều kiện \(A\). Khi biến cố \(A\) xảy ra thì kết quả của phép thử sẽ là \(\left( {1;2} \right)\) hoặc \(\left( {1;3} \right)\). Cả hai kết quả này đều có lợi cho biến cố \(D\). Suy ra \(P\left( {D|A} \right) = 1\).
Tính \(P\left( {D|B} \right)\), tức là tính xác suất của biến cố \(D\) với điều kiện \(B\). Khi biến cố \(B\) xảy ra thì kết quả của phép thử là \(\left( {2;1} \right)\) hoặc \(\left( {2;3} \right)\). Trong hai kết quả trên, chỉ có kết quả \(\left( {2;3} \right)\) là có lợi cho biến cố \(D\). Suy ra \(P\left( {D|B} \right) = \frac{1}{2}\).
TH2
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoXét phép thử ở Ví dụ 2: Câu lạc bộ cờ của nhà trường có 35 thành viên, mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai môn cờ vua hoặc cờ tướng. Biết rằng có 25 thành viên biết chơi cờ vua và 20 thành viên biết chơi cờ tướng. Chọn ngẫu nhiên 1 thành viên của câu lạc bộ. Tính xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua.Phương pháp giải:Tính số thành viên biết chơi cả hai môn cờ tướng và cờ vua. Sau đó tính số thành viên chỉ biết chơi cờ vua mà không biết chơi cờ tướng, từ đó tính xác suất của biến cố đề bài yêu cầu.Lời giải chi tiết:Số thành viên biết chơi cả hai môn cờ tướng và cờ vua là: \(25 + 20 - 35 = 10\) (người).
\(\overline A \) là biến cố “Thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng”.
Trong số 25 thành viên biết chơi cờ vua, số thành viên biết chơi cả cờ tướng là 10.
Vì vậy, số thành viên chỉ biết chơi cờ vua mà không biết chơi cờ tướng là 25 – 10 = 15.
Xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết thành viên đó biết chơi cờ vua là \(P(\overline A |B) = \frac{{15}}{{25}} = 0,6\).
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoTính xác suất có điều kiện ở Ví dụ sau: Bạn Thuỷ gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Nếu biết rằng xuất hiện mặt chẵn chấm thì xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là bao nhiêu?Phương pháp giải:Gọi \(A\) là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm” và \(B\) là biến cố “Xuất hiện mặt 6 chấm”. Ta phải tìm \(P\left( {B|A} \right)\). Khi biến cố \(A\) xuất hiện, chỉ ra các kết quả có thể xảy ra, từ đó chỉ ra các kết quả có lợi cho biến cố \(B\), từ đó tính xác suất cần tìm.Lời giải chi tiết:Gọi \(A\) là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm” và \(B\) là biến cố “Xuất hiện mặt 6 chấm”. Ta phải tìm \(P\left( {B|A} \right)\).
Khi biến cố \(A\) xuất hiện, các kết quả của phép thử sẽ là 2, 4, 6. Chỉ có duy nhất kết quả 6 là có lợi cho biến cố \(B\). Vậy \(P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{3}\). | https://loigiaihay.com/giai-muc-1-trang-69-70-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171924.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2 TH3 VD2
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 70 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoGieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố: “Xuất hiện hai mặt cùng số chấm”, \(B\) là biến cố: “Tổng số chấm của hai mặt xuất hiện bằng 8” và \(C\) là biến cố: “Xuất hiện ít nhất một mặt 6 chấm”.
a) Tính \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) và \(P\left( {A|B} \right)\).
b) Tính \(\frac{{P\left( {C \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}}\) và \(P\left( {C|A} \right)\).Phương pháp giải:Chỉ ra và tính lần lượt các xác suất \(P\left( {A \cap B} \right)\), \(P\left( {A|B} \right)\), \(P\left( {C \cap A} \right)\) , \(P\left( {C|A} \right)\) và tính các biểu thức đề bài yêu cầu.Lời giải chi tiết:a) Ta dễ dàng thấy các kết quả \(\left( {3;5} \right)\); \(\left( {4;4} \right)\); \(\left( {5;3} \right)\) là có lợi cho biến cố \(B\), suy ra \(P\left( B \right) = \frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}\).
Biến cố \(A \cap B\) là biến cố “Xuất hiện hai mặt cùng số chấm và tổng số chấm của hai mặt xuất hiện là 8”. Dễ dàng thấy \(\left( {4;4} \right)\) là kết quả có lợi duy nhất của biến cố này. Vậy \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{36}}\). Suy ra \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{36}}}}{{\frac{1}{{12}}}} = \frac{1}{3}\).
Khi biến cố \(B\) xảy ra, ta thấy chỉ có 1 kết quả có lợi cho biến cố \(A\). Như vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{1}{3}\).
b) Ta dễ dàng thấy các kết quả \(\left( {1;1} \right)\); \(\left( {2;2} \right)\); \(\left( {3;3} \right)\); \(\left( {4;4} \right)\); \(\left( {5;5} \right)\); \(\left( {6;6} \right)\) là các kết quả có lợi cho biến cố \(A\). Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
Biến cố \(C \cap A\) là biến cố “Xuất hiện hai mặt cùng số chấm và có ít nhất một mặt 6 chấm”. Dễ dàng thấy \(\left( {6;6} \right)\) là kết quả có lợi duy nhất của biến cố này. Vậy \(P\left( {C \cap A} \right) = \frac{1}{{36}}\). Suy ra \(\frac{{P\left( {C \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{{36}}}}{{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{6}\).
Khi biến cố \(A\) xảy ra, ta thấy chỉ có 1 kết quả có lợi cho biến cố \(C\). Như vậy \(P\left( {C|A} \right) = \frac{1}{6}\).
TH3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 72 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoMột nhóm 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ tham gia lao động trên sân trường. Cô giáo chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 bạn đi tưới cây. Tính xác suất để hai bạn được chọn có cùng giới tính, biết rằng có ít nhất 1 bạn nam được chọn.
Phương pháp giải:Gọi \(A\) là biến cố “Hai bạn được chọn cùng giới tính” và \(B\) là biến cố “Hai bạn được chọn có ít nhất một bạn nam”. Ta cần phải tính \(P\left( {A|B} \right)\). Tính \(P\left( {AB} \right)\) và \(P\left( B \right)\), rồi sử dụng công thức \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) để tính \(P\left( {A|B} \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi \(A\) là biến cố “Hai bạn được chọn cùng giới tính” và \(B\) là biến cố “Hai bạn được chọn có ít nhất một bạn nam”. Ta cần phải tính \(P\left( {A|B} \right)\).
Số cách chọn hai bạn bất kì là \(C_9^2 = 45\).
Số cách chọn hai bạn nam là \(C_5^2 = 10\).
Số cách chọn hai bạn nữ là \(C_4^2 = 6\).
Biến cố \(AB\) là biến cố “Hai bạn được chọn có cùng giới tính và có ít nhất một bạn nam”, đồng nghĩa với “Hai bạn được chọn là hai bạn nam”. Suy ra \(P\left( {AB} \right) = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\)
Xác suất của biến cố \(B\) là \(P\left( B \right) = \frac{{45 - 6}}{{45}} = \frac{{13}}{{15}}\).
Như vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{9}}}{{\frac{{13}}{{15}}}} = \frac{{10}}{{39}}\).
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 72 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoKết quả khảo sát những bệnh nhân bị tai nạn xe máy về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương ở vùng đầu cho thấy:
- Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là 80%.
- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là 90%.
- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách bị chấn thương vùng đầu là 18%.
Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu bao nhiêu lần?
Phương pháp giải:Gọi \(A\) là biến cố “Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu”, \(B\) là biến cố “Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách”. Theo đề bài, xác định \(P\left( A \right)\), \(P\left( B \right)\), \(P\left( {AB} \right)\). Sử dụng biểu thức \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) và kết luận.Lời giải chi tiết:Gọi \(A\) là biến cố “Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu”, \(B\) là biến cố “Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách”.
Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 80\% = 0,8\); \(P\left( B \right) = 90\% = 0,9\).
Biến cố \[AB\] là biến cố “Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách bị chấn thương vùng đầu”. Theo đề bài, ta có \(P\left( {AB} \right) = 18\% = 0,18\).
Khi biến cố \(B\) xảy ra, tức là bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách, ta cần tính xác suất để bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu, tức là tính \(P\left( {A|B} \right)\).
Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,18}}{{0,9}} = 0,2\).
Như vậy, khi đội mũ bảo hiểm đúng cách thì tỉ lệ chấn thương vùng đầu sẽ là 0,2. Suy ra việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng chấn thương vùng đầu đi \(\frac{{0,8}}{{0,2}} = 4\) lần. | https://loigiaihay.com/giai-muc-2-trang-70-71-72-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171925.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ3 TH4 VD3
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 72 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoBan Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ Nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là 20%, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là 30%. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào ngày thứ Bảy là 0,7.
Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ? ở sơ đồ hình cây sau:
Phương pháp giải:Do trong một ngày chỉ có thể xảy ra biến cố “Trời nắng” hoặc “Trời mưa”, nên sử dụng công thức cộng xác suất với các biến cố đối để điền các số vào dấu hỏi chấm.Lời giải chi tiết:Với ngày thứ 7, xác suất trời nắng là \(0,7\) nên xác suất trời mưa là \(1 - 0,7 = 0,3\).
Với ngày Chủ nhật:
- Trong trường hợp ngày thứ 7 trời nắng, xác suất trời mưa trong ngày Chủ nhật là \(0,2\). Suy ra xác suất trời nắng trong ngày Chủ nhật là \(1 - 0,2 = 0,8\).
- Trong trường hợp ngày thứ 7 trời mưa, xác suất trời mưa trong ngày Chủ nhật là \(0,3\). Suy ra xác suất trời nắng trong ngày Chủ nhật là \(1 - 0,3 = 0,7\).
Ta có sơ đồ sau:
TH4
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 74 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoHộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:
\(A\): “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.
\(B\): “Hai viên bi lấy ra có cùng màu”.Phương pháp giải:Gọi \(M\) là biến cố “Viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có màu xanh” và \(N\) là biến cố “Viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ”. Sử dụng sơ đồ hình cây, từ đó tính được \(P\left( A \right)\) và \(P\left( B \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi \(M\) là biến cố “Viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có màu xanh” và \(N\) là biến cố “Viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ”.
Xác suất để lấy ra được 1 viên bi xanh ở hộp thứ nhất là \(\frac{4}{{10}} = 0,4\).
Nếu ta lấy được viên bi xanh ở hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Suy ra xác suất để lấy ra được 1 viên bi đỏ là \(\frac{4}{{10}} = 0,4\).
Nếu ta lấy được viên bi đỏ ở hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Suy ra xác suất để lấy được 1 viên bi đỏ là \(\frac{5}{{10}} = 0,5\).
Ta có sơ đồ hình cây sau:
Dựa vào sơ đồ hình cây, ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {MN} \right) = 0,16.\)
\(P\left( B \right) = P\left( {M\bar N} \right) + P\left( {\bar MN} \right) = 0,24 + 0,3 = 0,54.\)
VD3
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 74 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoMột trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là 85% đối với sinh viên loại giỏi và 70% đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác.
Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giỏi là 30%. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường.
Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:
\(C\): “Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.
\(D\): “Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.Phương pháp giải:Gọi \(M\) là biến cố “Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi” và \(N\) là biến cố “Sinh viên tìm được việc làm đúng chuyên ngành”. Sử dụng sơ đồ hình cây, từ đó tính được \(P\left( C \right)\) và \(P\left( D \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi \(M\) là biến cố “Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi” và \(N\) là biến cố “Sinh viên tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.
Theo đề bài, ta có sơ đồ hình cây sau:
Từ sơ đồ hình cây, ta suy ra \(P\left( C \right) = P\left( {MN} \right) = 0,255\) và \(P\left( D \right) = P\left( {\bar MN} \right) = 0,49.\) | https://loigiaihay.com/giai-muc-3-trang-72-73-74-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171927.html |
Đề bài
Một thư viện có 35% tổng số sách là sách khoa học, 14% tổng số sách là sách khoa học tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên một quyển sách của thư viện. Tính xác suất để quyển sách được chọn là sách khoa học tự nhiên, biết rằng đó là quyển sách về khoa học.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được sách khoa học tự nhiên” và \(B\) là biến cố “Chọn được sách khoa học”. Xác suất cần tính là \(P\left( {A|B} \right)\), ta sẽ sử dụng công thức \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được sách khoa học tự nhiên” và \(B\) là biến cố “Chọn được sách khoa học”.Biến cố \(AB\) là biến cố “Chọn được sách khoa học và khoa học tự nhiên”, tức là “chọn được sách khoa học tự nhiên”. Suy ra \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) = 0,14\). Ta cũng có \(P\left( B \right) = 0,35\). Suy ra \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,14}}{{0,35}} = 0,4\).
Vậy xác suất để sách được chọn là sách khoa học tự nhiên, biết đó là sách khoa học là 0,4. | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-1-trang-75-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171930.html |
Đề bài
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,4\); \(P\left( B \right) = 0,8\) và \(P\left( {A|\bar B} \right) = 0,5\). Tính \(P\left( {A\bar B} \right)\) và \(P\left( {A|B} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).Do \(P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{{P\left( {A\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}\) nên \(P\left( {A\bar B} \right) = P\left( {A|\bar B} \right).P\left( {\bar B} \right) = 0,5.0,2 = 0,1\).Ta có \(A\bar B\) và \(AB\) là các biến cố xung khắc và \(A\bar B \cup AB = A\) nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A\bar B} \right) = 0,3 - 0,1 = 0,2\).
Suy ra \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,8}} = 0,25\). | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-2-trang-75-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171932.html |
Đề bài
Mỗi bạn học sinh trong lớp của Minh lựa chọn học một trong hai ngoại ngữ là tiếng Anh hoặc tiếng Nhật. Xác suất chọn tiếng Anh của mỗi bạn học sinh nữ là 0,6 và của mỗi bạn học sinh nam là 0,7. Lớp của Minh có 25 bạn nữ và 20 bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên một bạn trong lớp.
Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:
\(A\): “Bạn được chọn là nam và học tiếng Nhật”
\(B\): “Bạn được chọn là nữ và học tiếng Anh”
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(M\) là biến cố “Bạn được chọn là nam”, \(N\) là biến cố “Bạn được chọn học tiếng Anh”. Sử dụng sơ đồ hình cây, từ đó tính được \(P\left( A \right)\) và \(P\left( B \right)\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\) là biến cố “Bạn được chọn là nam”, \(N\) là biến cố “Bạn được chọn học tiếng Anh”. Lớp có 25 bạn nữ và 20 bạn nam nên xác suất chọn được 1 bạn nam là \(P\left( M \right) = \frac{{20}}{{45}} = \frac{4}{9}\). Từ đó, ta có sơ đồ hình cây sau:Từ sơ đồ hình cây, suy ra:\(P\left( A \right) = P\left( {M\bar N} \right) = \frac{2}{{15}}\) và \(P\left( B \right) = P\left( {\bar MN} \right) = \frac{1}{3}.\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-3-trang-75-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171936.html |
Đề bài
Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như hình dưới đây. Khi xảy ra sự cố điện, UPS bị hỏng với xác suất 0,02. Nếu UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện, máy tính sẽ bị hỏng với xác suất 0,1; ngược lại, nếu UPS không bị hỏng, máy tính sẽ không bị hỏng.
a) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều không bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.
b) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(M\) là biến cố “UPS không bị hỏng”, \(N\) là biến cố “Máy tính không bị hỏng”.
Sử dụng sơ đồ hình cây, từ đó tính được xác suất của các biến cố mà đề bài yêu cầu.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\) là biến cố “UPS không bị hỏng”, \(N\) là biến cố “Máy tính không bị hỏng”.Theo đề bài, ta có sơ đồ hình cây sau:Từ sơ đồ hình cây, ta suy ra:a) Xác suất để cả UPS và máy tính không bị hỏng là \(P\left( {MN} \right) = 0,98.\)b) Xác suất để cả UPS và máy tính bị hỏng là \(P\left( {\bar M\bar N} \right) = 0,002.\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-4-trang-75-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171939.html |
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\)
gọi là công thức xác suất toàn phần.
Ví dụ: Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?Giải:Gọi A là biến cố "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus".Đối với xét nghiệm cho kết quả dương tính, có 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên P(A∣B) = 0,762.P(A∣B) = 0,762.Đối với xét nghiệm cho kết quả âm tính, có 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên P(A̅|B̅) = 0,991. Suy ra P(A̅|B) = 1 - 0,991 = 0,009.Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là 1%, nên P(B) = 0,01.P(B) = 0,01 và P(B̅) = 0,99.Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là:P(A) = P(B).P(A∣B) + P(B) P(A∣B) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.2.Công thức Bayes
Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó
\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )}}\)
gọi là công thức Bayes.
Chú ý: - Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì. - Với P(A) > 0, công thức \(P(B\mid A) = \frac{{P\left( B \right)P(A\mid B)}}{{P(A)}}\) cũng được gọi là công thức Bayes.Ví dụ: Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?Giải:a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.Do phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên\(P(B) = 0,4\) và \(P(\overline B ) = 1 - 0,4 = 0,6\).Do tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên:\(P(A|B) = 0,02\) và \(P(A|\overline B ) = 0,01\).Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là:\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,4.0,02 + 0,6.0,01 = 0,014\).b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là:\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4.0,02}}{{0,014}} = \frac{4}{7}\).Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là:\(P(\overline B |A) = 1 - P(B|A) = \frac{3}{7}\).Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất. | https://loigiaihay.com/ly-thuyet-cong-thuc-xac-suat-toan-phan-va-cong-thuc-bayes-toan-12-chan-troi-sang-tao-a176705.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1 TH1
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 76 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoChị An trả lời hai câu hỏi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.
Gọi \(A\) là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”. Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô ? ở sơ đồ hình cây sau:
Phương pháp giải:Từ sơ đồ hình cây, sau đó điền vào dấu ?Lời giải chi tiết:Do xác suất chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 nen xác suất chị An trả lời sai câu hỏi thứ nhất là \(1 - 0,7 = 0,3\), suy ra \(P\left( {\bar A} \right) = 0,3\)
Với trường hợp chị An trả lời đúng câu thứ nhất, xác suất chị trả lời đúng câu thứ hai là 0,9. Suy ra xác suất chị trả lời sai câu thứ hai là \(P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - 0,9 = 0,1.\)
Suy ra \(P\left( {A\bar B} \right) = 0,7.0,1 = 0,07\).
Với trường hợp chị An trả lời sai câu thứ nhất, xác suất chị trả lời đúng câu thứ hai là 0,5. Suy ra xác suất chị trả lời sai câu thứ hai là \(P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).
Suy ra \(P\left( {\bar A\bar B} \right) = 0,3.0,5 = 0,15\). Ta có sơ đồ hình cây hoàn thiện sau:
TH1
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 77 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoVào mỗi buổi sáng ở tuyến phố H, xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2. Xác suất có mưa vào một buổi sáng là 0,1. Tính xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.Phương pháp giải:Gọi \(A\) là biến cố “Tuyến phố H bị tắc đường”, \(B\) là biến cố “Sáng hôm đó trời mưa”. Để tính xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường, ta cần sử dụng công thức xác suất toàn phần \(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right)P\left( {A|\bar B} \right)\).Lời giải chi tiết:Gọi \(A\) là biến cố “Tuyến phố H bị tắc đường”, \(B\) là biến cố “Sáng hôm đó trời mưa”.
Theo đề bài, ta có \(P\left( B \right) = 0,1\); \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\) và \(P\left( {A|\bar B} \right) = 0,2\).
Ta có \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,1 = 0,9.\)
Như vậy, xác suất để sáng hôm đó tuyến phố H bị tắc đường là
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right)P\left( {A|\bar B} \right) = 0,1.0,7 + 0,9.0,2 = 0,25.\) | https://loigiaihay.com/giai-muc-1-trang-76-77-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a171941.html |
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ2 TH2 VD
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 77 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoKhảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:
Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.
a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suất bạn đó là học sinh nam.
b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suất bạn đó có tật khúc xạ.Phương pháp giải:a) Tính số bạn bị tật khúc xạ, sau đó tính xác suất chọn được 1 bạn nam trong số những bạn bị tật khúc xạ.
b) Tính tổng số bạn nam, sau đó tính xác suất chọn được 1 bạn bị tật khúc xạ trong số những bạn nam.Lời giải chi tiết:a) Có tất cả \(12 + 18 = 30\) bạn bị tật khúc xạ, trong đó có 18 bạn nam. Vậy xác suất của biến cố là \(\frac{{18}}{{30}} = 0,6\).
b) Có tất cả \(18 + 32 = 50\) bạn nam, trong đó có 18 bạn bị tật khúc xạ. Vậy xác suất của biến cố là \(\frac{{18}}{{50}} = 0,36\).
TH2
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 79 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoKhi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu đó là mục tiêu giả. Có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.
Phương pháp giải:Gọi \(A\) là biến cố “Radar phát cảnh báo”, \(B\) là biến cố “Vật thể bay là mục tiêu thật”.
Xác suất cần tính là \(P\left( {B|A} \right)\). Theo đề bài, xác định \(P\left( A \right)\), \(P\left( B \right)\) và \(P\left( {A|B} \right)\), rồi sử dụng công thức Bayes.Lời giải chi tiết:Gọi \(A\) là biến cố “Radar phát cảnh báo”, \(B\) là biến cố “Vật thể bay là mục tiêu thật”.
Xác suất cần tính là \(P\left( {B|A} \right)\).
Theo đề bài, ta có \(P\left( {A|B} \right) = 0,9\); \(P\left( {A|\bar B} \right) = 0,05\); \(P\left( B \right) = 1 - 0,99 = 0,01\) và \(P\left( {\bar B} \right) = 0,99\).
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right)P\left( {A|\bar B} \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,05 = 0,0585.\)
Vậy khi radar phát cảnh báo, xác suất vật thể đó là mục tiêu thật là:
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,0585}} = \frac{2}{{13}}.\)
VD
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 79 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạoNgười ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy có 10% là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?Phương pháp giải:Gọi \(A\) là biến cố “Tài xế gây tai nạn”, \(B\) là biến cố “Tài xế có sử dụng điện thoại di động”. Ta cần so sánh \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {A|\bar B} \right)\). Sử dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, từ đó kết luận.Lời giải chi tiết:Gọi \(A\) là biến cố “Tài xế gây tai nạn”, \(B\) là biến cố “Tài xế có sử dụng điện thoại di động”. Suy ra \(P\left( {A|B} \right)\) là xác suất tài xế gây tai nạn khi sử dụng điện thoại, và \(P\left( {A|\bar B} \right)\) là xác suất tài xế gây tai nạn khi không sử dụng điện thoại.
Theo đề bài ta có \(P\left( B \right) = 0,02\), \(P\left( {B|A} \right) = 0,1\), suy ra \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\) và \(P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - 0,1 = 0,9\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = 0,02.P\left( {A|B} \right) + 0,98.P\left( {A|\bar B} \right)\)
Mặt khác, theo công thức Bayes ta có
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {B|A} \right)}} = \frac{{0,02.P\left( {A|B} \right)}}{{0,1}} = 0,2.P\left( {A|B} \right)\)
Suy ra
\(0,2.P\left( {A|B} \right) = 0,02.P\left( {A|B} \right) + 0,98P\left( {A|\bar B} \right) \Rightarrow 0,18.P\left( {A|B} \right) = 0,98.P\left( {A|\bar B} \right)\)
Vậy \(\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {A|\bar B} \right)}} = \frac{{0,98}}{{0,18}} = \frac{{49}}{9} \approx 5,4\). Điều đó có nghĩa khi sử dụng điện thoại, xác suất tài xế gây tai nạn khi lái xe sẽ tăng khoảng 5,4 lần. | https://loigiaihay.com/giai-muc-2-trang-77-78-79-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a172002.html |
Đề bài
Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.
a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.
b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(A\) là biến cố “Lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ”, \(B\) là biến cố “Lần thứ hai lấy ra được 2 viên bi đỏ”.
a) Xác suất cần tính là \(P\left( B \right)\). Để tính được xác suất này, ta sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)\).
b) Xác suất cần tính là \(P\left( {A|B} \right)\). Sử dụng công thức Bayes để tính xác suất này.
Lời giải chi tiết
Gọi \(A\) là biến cố “Lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ”, \(B\) là biến cố “Lần thứ hai lấy ra được 2 viên bi đỏ”. Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = \frac{6}{{3 + 6}} = \frac{2}{3}\) và \(P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{{3 + 6}} = \frac{1}{3}.\)Trường hợp lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ bỏ vào hộp thứ hai, lúc này hộp thứ hai sẽ có 3 bi xanh và 8 bi đỏ, do đó \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{28}}{{55}}.\)
Trường hợp lần thứ nhất lấy được viên bi xanh bỏ vào hộp thứ hai, lúc này hộp thứ hai sẽ có 4 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ, do đó \(P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{21}}{{55}}.\)a) Xác suất để lấy được hai viên bi đỏ ở hộp thứ hai là:\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}} + \frac{1}{3}.\frac{{21}}{{55}} = \frac{7}{{15}}.\)b) Xác suất để viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ, nếu lấy ra được 2 viên bi đỏ ở hộp thứ hai là:\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{11}}.\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-1-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a172003.html |
Đề bài
Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường.
a) Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật.
b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được 1 học sinh nữ”, \(B\) là biến cố “Chọn được 1 học sinh tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.
a) Xác suất cần tính là \(P\left( B \right)\). Để tính được xác suất này, ta sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)\).
b) Xác suất cần tính là \(P\left( {\bar A|B} \right)\). Sử dụng công thức Bayes để tính xác suất này.
Lời giải chi tiết
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được 1 học sinh nữ”, \(B\) là biến cố “Chọn được 1 học sinh tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,52 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,52 = 0,48\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,18\) và \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,15\).a) Xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật là:\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,52.0,18 + 0,48.0,15 = 0,1656\)
b) Xác suất học sinh được chọn là nam, biết rằng em đó có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật là:\(P\left( {\bar A|B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,48.0,15}}{{0,1656}} = \frac{{10}}{{23}}.\) | https://loigiaihay.com/giai-bai-tap-2-trang-79-sgk-toan-12-tap-2-chan-troi-sang-tao-a172004.html |
End of preview. Expand
in Dataset Viewer.
README.md exists but content is empty.
Use the Edit dataset card button to edit it.
- Downloads last month
- 41