id
stringlengths 3
6
| condition
stringlengths 36
1.08k
| solution
stringlengths 17
4.43k
| answer
stringlengths 1
39
| images
images listlengths 0
5
|
|---|---|---|---|---|
27729 | <img_0> Вектор \overrightarrowAB с концом в точке B (5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки A. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x=3, 4 − y=1. Откуда x=2, y=3. Поэтому сумма координат точки A равна 5. | 5 | |
27730 | <img_0> Найдите сумму координат вектора \overrightarrowa + \overrightarrowb. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Находим: Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат, поэтому Сумма координат вектора равна 20. \overrightarrowa= левая круглая скобка 2; 6 правая круглая скобка , \overrightarrowb= левая круглая скобка 8; 4 правая круглая скобка . \overrightarrowa плюс \overrightarrowb=левая круглая скобка 2 плюс 8; 6 плюс 4 правая круглая скобка=левая круглая скобка 10; 10 правая круглая скобка . | 20 | |
27731 | <img_0> Найдите квадрат длины вектора \overrightarrowa + \overrightarrowb. | Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат: \overrightarrowa плюс \overrightarrowb=левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка=левая круглая скобка 10;10 правая круглая скобка . Тогда для длины вектора суммы имеем: |\overrightarrowa плюс \overrightarrowb|= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента в квадрате плюс 10 в квадрате=корень из: начало аргумента: 200 конец аргумента . Квадрат длины вектора равен 200. | 200 | |
27732 | <img_0> Найдите сумму координат вектора \overrightarrowa минус \overrightarrowb. | Имеем: поэтому Сумма координат найденного вектора равна \overrightarrowa= левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \overrightarrowb= левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка , \overrightarrowa минус \overrightarrowb= левая круглая скобка минус 6;2 правая круглая скобка . минус 6 плюс 2= минус 4. | -4 | |
27733 | <img_0> Найдите квадрат длины вектора \overrightarrowa минус \overrightarrowb. | Имеем: Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат, поэтому Длина вектора Поэтому квадрат длины вектора равен \overrightarrowa= левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \overrightarrowb= левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка . \overrightarrowa минус \overrightarrowb= левая круглая скобка минус 6;2 правая круглая скобка . |\overrightarrowa минус \overrightarrowb|= корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента в квадрате плюс 2 в квадрате=корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента . 40. | 40 | |
27734 | <img_0> Найдите скалярное произведение векторов \overrightarrowa и \overrightarrowb. | Выпишем координаты векторов: Скалярное произведение векторов равно \overrightarrowa= левая круглая скобка 2; 6 правая круглая скобка , \overrightarrowb= левая круглая скобка 8; 4 правая круглая скобка . \overrightarrowa умножить на \overrightarrowb правая круглая скобка =x_a умножить на x_b плюс y_a умножить на y_b=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40. | 40 | |
27735 | <img_0> Найдите угол между векторами \overrightarrowa и \overrightarrowb. | Скалярное произведение векторов равно С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Найдем длины векторов и : \overrightarrowa умножить на \overrightarrowb=x_1 умножить на x_2 плюс y_1 умножить на y_2=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40. \overrightarrowa \overrightarrowb a= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в квадрате плюс 6 в квадрате=корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , b= корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента в квадрате плюс 4 в квадрате=корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента . Тогда справедливо равенство: откуда и a умножить на b умножить на косинус альфа =40, косинус альфа=дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби альфа =45 градусов. | 45 | |
27736 | <img_0> Найдите сумму координат вектора \overrightarrowa + \overrightarrowb. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты вектор имеет координаты Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат. Поэтому вектор имеет координаты Cумма его координат равна 20. \veca левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \vecb левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка . \veca плюс \vecb левая круглая скобка 10;10 правая круглая скобка . | 20 | |
27737 | <img_0> Найдите квадрат длины вектора \overrightarrowa + \overrightarrowb. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты вектор имеет координаты Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат. Тогда вектор имеет координаты Длина вектора Поэтому квадрат длины вектора равен \overrightarrowa~ левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \overrightarrowb~ левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка . \overrightarrowa плюс \overrightarrowb левая круглая скобка 10;10 правая круглая скобка . \overrightarrowa~ плюс \overrightarrowb= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента в квадрате плюс 10 в квадрате=корень из: начало аргумента: 200 конец аргумента . 200. | 200 | |
27738 | <img_0> Найдите сумму координат вектора \overrightarrowa минус \overrightarrowb. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты вектор имеет координаты Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат. Тогда вектор имеет координаты их сумма равна \overrightarrowa~ левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \overrightarrowb~ левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка . \overrightarrowa минус \overrightarrowb левая круглая скобка минус 6;2 правая круглая скобка , минус 4. | -4 | |
27739 | <img_0> Найдите квадрат длины вектора \overrightarrowa минус \overrightarrowb. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты вектор имеет координаты Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат. Поэтому вектор имеет координаты Длина вектора Поэтому квадрат длины вектора равен \overrightarrowa~ левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \overrightarrowb~ левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка . \overrightarrowa минус \overrightarrowb левая круглая скобка минус 6;2 правая круглая скобка . \overrightarrowa минус \overrightarrowb= корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента в квадрате плюс 2 в квадрате=корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента . 40. | 40 | |
27740 | <img_0> Найдите скалярное произведение векторов \overrightarrowa и \overrightarrowb. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты вектор имеет координаты Скалярное произведение векторов равно: \overrightarrowa~ левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \overrightarrowb~ левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка . \overrightarrowa \overrightarrowb =x_a умножить на x_b плюс y_a умножить на y_b=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40. | 40 | |
27741 | <img_0> Найдите угол между векторами \overrightarrowa и \overrightarrowb. | Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты вектор имеет координаты По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: откуда \overrightarrowa~ левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , \overrightarrowb~ левая круглая скобка 8;4 правая круглая скобка . \overrightarrowa умножить на \overrightarrowb=|\overrightarrowa||\overrightarrowb| косинус альфа , косинус альфа=дробь: числитель: \overrightarrowa умножить на \overrightarrowb, знаменатель: |\overrightarrowa||\overrightarrowb| конец дроби . Запишем скалярное произведение векторов в координатах: \overrightarrowa умножить на \overrightarrowb=x_1 умножить на x_2 плюс y_1 умножить на y_2=2 умножить на 8 плюс 6 умножить на 4=40. Найдем длины векторов: |\overrightarrowa|=корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в квадрате плюс 6 в квадрате=корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , |\overrightarrowb|=корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента в квадрате плюс 4 в квадрате=корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента . Тогда: косинус альфа=дробь: числитель: 40, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 80 конец аргумента конец дроби=дробь: числитель: 40, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби=дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . Поскольку уравнение имеет единственное решение: 0 градусов меньше или равно альфа меньше или равно 180 градусов косинус альфа=дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента альфа =45 градусов. | 45 | |
27104 | <img_0> Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 градусов. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 градусов | Объем параллелепипеда где S − площадь одной из граней, а L − длина ребра, составляющего с этой гранью угол Площадь ромба с острым углом в равна двум площадям равностороннего треугольника. Вычислим объем: V=Sh=SL синус альфа , альфа . 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка V= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби 2 дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . | 1,5 | |
272553 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками D и B_1. | <img_1> Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора BB_1D. DB_1= корень из: начало аргумента: BB конец аргумента _1 в квадрате плюс BD в квадрате . Угол между сторонами правильного шестиугольника равен По теореме косинусов 120 градусов . BD= корень из: начало аргумента: B конец аргумента C в квадрате плюс CD в квадрате минус 2BC умножить на CD умножить на косинус 120 градусов=корень из: начало аргумента: 6912 конец аргумента . Значит, DB_1= корень из: начало аргумента: 6912 плюс 2304 конец аргумента =96. | 96 | |
273353 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 40 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . | <img_1> Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора: BB_1E. B_1E= корень из: начало аргумента: BE конец аргумента в квадрате плюс BB_1 в квадрате . BE — большая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому Поскольку имеем: BE=80 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . BB_1=40 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента B_1E= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 40 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 80 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента=корень из: начало аргумента: 40000 конец аргумента =200. | 200 | |
324451 | <img_0> В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB , AC , A 1 B 1 и A 1 C 1 . | Противоположные стороны сечения являются соответственно средними линиями треугольников, лежащих в основании, и прямоугольников, являющихся боковыми гранями призмы. Тем самым, сечение представляет собой прямоугольник со сторонами 1 и 5, площадь которого равна 5. | 5 | |
324457 | <img_0> В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребро AA 1 равно 15, а диагональ BD 1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A , A 1 и C . | <img_1> Диагональное сечение прямой призмы — прямоугольник Диагонали правильной четырёхугольной призмы равны: По теореме Пифагора получаем: AA_1C_1C. BD_1=A_1C. AC=корень из: начало аргумента: A_1C конец аргумента в квадрате минус AA_1 в квадрате=корень из: начало аргумента: 17 в квадрате минус 15 в квадрате конец аргумента=8. Тем самым, для искомой площади сечения имеем S_AA_1C_1C =AA_1 умножить на AC=120. | 120 | |
501705 | <img_0> Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, | <img_1> Требуется найти объём пирамиды, основание и высота которой совпадают с основанием и высотой данной треугольной призмы. Поэтому V_пир= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_пирh_пир= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_прh_пр= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 9 умножить на 8 =24. | 24 | |
501747 | <img_0> Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A_1, B_1, C правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, | <img_1> Многогранник, объём которого необходимо найти, является треугольной пирамидой. Из рисунка видно, что его объём равен объёму треугольной призмы, уменьшенному на сумму объёмов двух треугольных пирамид: и AB_1BC A_1B_1C_1C. : 2. | 2 | |
27083 | <img_0> Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. | Объем прямой призмы равен где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Тогда длина ее бокового ребра равна V=Sh, h= дробь: числитель: V, знаменатель: S конец дроби=дробь: числитель: 30, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 5 конец дроби =4. | 4 | |
27084 | <img_0> Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . | Объем прямой призмы равен V=Sh , где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь правильного шестиугольника со стороной a , лежащего в основании, задается формулой S= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате=дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1 в квадрате=дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . Тогда объем призмы равен V=Sh= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 3 =4,5. | 4,5 | |
245357 | <img_0> Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . | Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Высотой правильной призмы является ее боковое ребро, равное стороне основания. Основание призмы — правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной a вычисляется по формуле Следовательно, S= дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате . V=S_оснH=дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате умножить на a=дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на корень из 3=дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби =13,5. | 13,5 | |
245364 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и E_1. | <img_1> Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора AA_1E_1. AE_1= корень из: начало аргумента: AA конец аргумента _1 в квадрате плюс A_1E_1 в квадрате . Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°. По теореме косинусов A_1E_1= корень из: начало аргумента: A конец аргумента _1F_1 в квадрате плюс F_1E_1 в квадрате минус 2A_1F_1 умножить на F_1E_1 умножить на косинус 120 градусов=корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . Значит, AE_1= корень из: начало аргумента: 1 плюс 3 конец аргумента =2. | 2 | |
245366 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . | <img_1> Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора: BB_1E_1. BE_1= корень из: начало аргумента: BB конец аргумента _1 в квадрате плюс B_1E_1 в квадрате . Отрезок — большая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому Поскольку имеем: B_1E_1 B_1E_1=2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . BB_1= корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , BE_1= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента=корень из: начало аргумента: 5 плюс 4 умножить на 5 конец аргумента=корень из: начало аргумента: 25 конец аргумента =5. | 5 | |
245367 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD_1D. | <img_1> Рассмотрим прямоугольный треугольник катет которого является большей диагональю основания. Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне: ADD_1, AD=2. DD_1=1 тангенс \angle AD_1D= дробь: числитель: AD, знаменатель: DD_1 конец дроби=дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби =2. | 2 | |
245369 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1. Найдите угол AC_1C. | <img_1> Рассмотрим прямоугольный треугольник : ACC_1 Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем: тангенс \angle AC_1C= дробь: числитель: AC, знаменатель: CC_1 конец дроби =AC. 120 градусов, Так как — острый, он равен AC= корень из: начало аргумента: AB конец аргумента в квадрате плюс BC в квадрате минус 2AB умножить на BC умножить на косинус 120 градусов=корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . \angle AC_1C 60 градусов. | 60 | |
27150 | <img_0> В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы. | Для вычисления боковой поверхности призмы воспользуемся формулой, где l — длина бокового ребра, а — периметр перпендикулярного сечения призмы: P_\bot S_бок=l умножить на P_\bot =10 умножить на левая круглая скобка 10 плюс 6 плюс 8 правая круглая скобка =240. | 240 | |
27068 | <img_0> Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы. | Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной. | 12 | |
27108 | <img_0> Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента и наклонены к плоскости основания под углом 30°. | Объем призмы где S — площадь основания, а L — длина ребра, составляющего с основанием угол α. Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна V=Sh=SL синус альфа , S= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби a в квадрате . Тогда объем призмы равен V= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 в квадрате умножить на 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =18. | 18 | |
27064 | <img_0> Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. | Высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона ее основания равна диаметру цилиндра. Тогда площадь боковой поверхности S=4 левая круглая скобка 2rH правая круглая скобка =4 левая круглая скобка 2 умножить на 1 умножить на 1 правая круглая скобка =8. | 8 | |
27065 | <img_0> Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , а высота равна 2. | Сторона правильного треугольника a выражается через радиус r вписанной в него окружности как Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой a=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента r. S=P_оснH=3aH=6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента rH=6 умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 2 умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =6 умножить на 6=36. | 36 | |
27170 | <img_0> Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , а высота равна 2. | Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как Площадь боковой поверхности призмы тогда равна a= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента r=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =6. S_бок=Ph=3ah=3 умножить на 6 умножить на 2=36. | 36 | |
27044 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). | Объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые), равен: V=3 умножить на 2 умножить на 1 плюс 1 умножить на 1 умножить на 2=8. | 8 | |
27117 | <img_0> Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов. | Крест состоит из 7 одинаковых кубов, поэтому его объем в 7 раз больше объема одного куба, который равен 1. | 7 | |
27187 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 5 4, 2 и 2, 2, 4: V=V_1 плюс V_2=5 умножить на 4 умножить на 2 плюс 2 умножить на 2 умножить на 4=56. | 56 | |
27188 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 2, 3, 1 и 1, 1, 1: V=V_1 плюс V_2=2 умножить на 3 умножить на 1 плюс 1 умножить на 1 умножить на 1=6 плюс 1=7. | 7 | |
27189 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 3, 3, 4 и 1, 1, 4: V=V_1 плюс V_2=3 умножить на 3 умножить на 4 плюс 1 умножить на 1 умножить на 4=36 плюс 4=40. | 40 | |
27190 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов с ребрами 3, 3, 4 и 1, 1, 2: V=V_1 минус V_2=3 умножить на 3 умножить на 4 минус 1 умножить на 1 умножить на 2=34. | 34 | |
27191 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 5, 2, 4 и 1, 2, 2: V=V_1 минус V_2=5 умножить на 2 умножить на 4 минус 4=36. | 36 | |
27192 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен разнице объемов параллелепипедов со сторонами 5, 5, 4 и 1, 2, 5: V=V_1 минус V_2=5 умножить на 5 умножить на 4 минус 10=90. | 90 | |
27193 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами 1, 3, 2 и 1, 3, 4: V=V_1 плюс V_2=6 плюс 12=18. | 18 | |
27194 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами 2, 3, 2 и 1, 3, 4: V=V_1 плюс V_2=12 плюс 12=24. | 24 | |
27195 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен разнице объемов параллелепипедов со сторонами 1, 8, 6 и 1, 3, 1: V=V_1 минус V_2=1 умножить на 8 умножить на 6 минус 3=45. | 45 | |
27210 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами 2, 3, 3 и 5, 3, 4: V=V_1 плюс V_2=2 умножить на 3 умножить на 3 плюс 3 умножить на 4 умножить на 5=18 плюс 60=78. | 78 | |
27211 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами 7, 4, 2 и 4, 3, 4: V=V_1 плюс V_2=7 умножить на 4 умножить на 2 плюс 3 умножить на 4 умножить на 4=56 плюс 48=104. | 104 | |
27212 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами (5, 3, 2), (3, 3, 5) и (2, 3, 2): V=V_1 плюс V_2 плюс V_3=5 умножить на 3 умножить на 2 плюс 5 умножить на 3 умножить на 3 плюс 2 умножить на 3 умножить на 2=30 плюс 45 плюс 12=87. | 87 | |
27213 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами (5, 3, 3), (6, 3, 3) и (1, 3, 5): V=V_1 плюс V_2 плюс V_3=5 умножить на 3 умножить на 3 плюс 6 умножить на 3 умножить на 3 плюс 1 умножить на 3 умножить на 5=45 плюс 54 плюс 15=114. | 114 | |
27216 | <img_0> Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). | Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 4, 4, 5 и 1, 2, 1: V=V_1 минус V_2=4 умножить на 4 умножить на 5 минус 2=78. | 78 | |
506579 | <img_0> Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 3 3, 1 и 1, 2, 3: V=V_1 плюс V_2=3 умножить на 3 умножить на 1 плюс 1 умножить на 2 умножить на 3=15. | 15 | |
507938 | <img_0> Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. | Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 4, 4, 1 и 1, 2, 4: V=V_1 плюс V_2=4 умножить на 4 умножить на 1 плюс 1 умножить на 2 умножить на 4=24. | 24 | |
510136 | <img_0> Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. | На рисунке изображен многогранник, состоящий из двух параллелепипедов: один со сторонами - 2,1,3, второй - 1,3, 1. Тогда объем двух параллелепипедов равен: V=2 умножить на 1 умножить на 3 плюс 1 умножить на 3 умножить на 1=6 плюс 3=9. | 9 | |
26664 | Найдите корень уравнения: дробь: числитель: x минус 119, знаменатель: x плюс 7 конец дроби = минус 5. | Избавимся от знаменателя: дробь: числитель: x минус 119, знаменатель: x плюс 7 конец дроби=минус 5 равносильно система выражений x минус 119= минус 5 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , новая строка x не равно минус 7 конец системы равносильно система выражений 6x=84, x не равно минус 7 конец системы равносильно x=14. | 14 | |
26665 | Найдите корень уравнения: x= дробь: числитель: 6x минус 15, знаменатель: x минус 2 конец дроби . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. | Область допустимых значений: x минус 2 не равно 0 равносильно x не равно 2. При домножим на знаменатель: x не равно 2 x= дробь: числитель: 6x минус 15, знаменатель: x минус 2 конец дроби равносильно x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =6x минус 15 равносильно {x в квадрате минус 8x плюс 15=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=5; новая строка x=3. конец совокупности . Оба корня лежат в ОДЗ. Больший из них равен 5. | 5 | |
77366 | Решите уравнение дробь: числитель: 9, знаменатель: x в квадрате минус 16 конец дроби =1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней. | Последовательно получаем: дробь: числитель: 9, знаменатель: x в квадрате минус 16 конец дроби =1 равносильно x в квадрате минус 16=9 равносильно x в квадрате =25 равносильно совокупность выражений новая строка x=5; новая строка x= минус 5. конец совокупности . | 5 | |
77367 | Решите уравнение дробь: числитель: 13x, знаменатель: 2x в квадрате минус 7 конец дроби =1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. | Область определения уравнения задается соотношением На области определения имеем: 2x в квадрате не равно 7. дробь: числитель: 13x, знаменатель: 2x в квадрате минус 7 конец дроби =1 равносильно 13x=2x в квадрате минус 7 равносильно 2x в квадрате минус 13x минус 7=0 равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 169 плюс 56 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; новая строка x= дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 169 плюс 56 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=7; новая строка x= минус 0,5. конец совокупности . дробь: числитель: 13x, знаменатель: 2x в квадрате минус 7 конец дроби =1 равносильно 13x=2x в квадрате минус 7 равносильно 2x в квадрате минус 13x минус 7=0 равносильно равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 169 плюс 56 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; новая строка x= дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 169 плюс 56 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=7; новая строка x= минус 0,5. конец совокупности . дробь: числитель: 13x, знаменатель: 2x в квадрате минус 7 конец дроби =1 равносильно 13x=2x в квадрате минус 7 равносильно равносильно 2x в квадрате минус 13x минус 7=0 равносильно равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 169 плюс 56 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; новая строка x= дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 169 плюс 56 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=7; новая строка x= минус 0,5. конец совокупности . Оба найденных решения удовлетворяют условию меньший из них равен −0,5. 2x в квадрате не равно 7, | -0,5 | |
77372 | Решите уравнение дробь: числитель: x плюс 8, знаменатель: 5x плюс 7 конец дроби = дробь: числитель: x плюс 8, знаменатель: 7x плюс 5 конец дроби . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней. | Дроби с одинаковыми числителями равны в двух случаях: а) знаменатели этих дробей равны и при этом отличны от нуля; б) числители дробей равны нулю, при этом все знаменатели отличны от нуля. Получаем: дробь: числитель: x плюс 8, знаменатель: 5x плюс 7 конец дроби=дробь: числитель: x плюс 8, знаменатель: 7x плюс 5 конец дроби равносильно система выражений 5x плюс 7 не равно 0, 7x плюс 5 не равно 0, совокупность выражений x плюс 8=0,5x плюс 7=7x плюс 5 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=минус 8,x=1. конец совокупности . Больший из найденных корней равен 1. | 1 | |
77383 | Найдите корень уравнения: дробь: числитель: 1, знаменатель: 9x минус 7 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . | Последовательно получаем: дробь: числитель: 1, знаменатель: 9x минус 7 конец дроби=дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 9x минус 7=2 равносильно 9x=9 равносильно x=1. | 1 | |
77384 | Найдите корень уравнения: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x минус 1 конец дроби =5. | Последовательно получаем: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x минус 1 конец дроби =5 равносильно 4x минус 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно 4x= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби . | 0,3 | |
315119 | Найдите корень уравнения дробь: числитель: 1, знаменатель: 3x минус 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x минус 11 конец дроби . | Если две дроби с равными числителями равны, то равны их знаменатели. Имеем: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3x минус 4 конец дроби=дробь: числитель: 1, знаменатель: 4x минус 11 конец дроби равносильно система выражений 3x минус 4=4x минус 11, 4x минус 11 не равно 0 конец системы равносильно система выражений x=7, x не равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби конец системы равносильно x=7. | 7 | |
316558 | <img_0> В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми AA_1 | <img_1> Отрезки A A и B B лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A A и B C равен углу между прямыми B B и B C . Боковая грань CB B C — квадрат, поэтому угол между его стороной и диагональю равен 45°. | 45 | |
318474 | В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер AB=8, | Отрезки D C и D C лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A C и D C равен углу между прямыми A C и D C . <img_0> Из прямоугольного треугольника A C D по получаем: A_1C_1= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка D_1C_1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка A_1D_1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента=корень из: начало аргумента: 64 плюс 36 конец аргумента =10. Тогда для угла A C D имеем: синус A_1 C_1 D_1= дробь: числитель: A_1 D_1 , знаменатель: A_1C_1 конец дроби=дробь: числитель: 6, знаменатель: 10 конец дроби =0,6. | 0,6 | |
318475 | В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AC_1=2BC. Найдите угол между диагоналями BD_1 и CA_1. Ответ дайте в градусах. | <img_0> Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Рассмотрим прямоугольный треугольник A BC : в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A C , поэтому угол A CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D CB угол D BC равен 60°. Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку углы два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°. | 60 | |
510140 | <img_0> Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 равна 3, а высота этой призмы равна 4 корень из 3 . Найдите объём призмы ABCA 1 B 1 C 1 . | Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле: где a — длина стороны основания призмы, h — высота призмы. Подставляя данные значения, получаем: V= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби a в квадрате умножить на h, V= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби умножить на 3 в квадрате умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =27. | 27 | |
27057 | <img_0> Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота − 10. | площадь боковой поверхности фигуры равна сумме площадей всех боковых граней S_бок=6S_гр=6 умножить на 5 умножить на 10=300. | 300 | |
27062 | <img_0> Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, а боковое ребро призмы равно 10. | Сторона ромба a выражается через его диагонали и d_1 d_2 a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: d_1 конец аргумента в квадрате плюс d_2 в квадрате =5. Найдем площадь ромба S_p= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1d_2=24. Тогда площадь поверхности призмы равна S=2S_осн плюс S_бок=2S_p плюс 4aH=48 плюс 4 умножить на 5 умножить на 10=248. | 248 | |
27063 | <img_0> Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760. | Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы выражается через сторону ее основания a и боковое ребро H формулой Подставим значения a и S : S=2a в квадрате плюс 4aH. 1760=2 умножить на 20 в квадрате плюс 4 умножить на 20 умножить на H, откуда находим, что H=12. | 12 | |
27106 | <img_0> Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. | Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высота призмы осталась прежней, следовательно, объем уменьшился в 4 раза. | 8 | |
27107 | <img_0> Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы. | Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высоты обеих частей одинаковы, поэтому объем отсеченной части в 4 раза меньше объема целой призмы, который равен 20. | 20 | |
27112 | От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. | <img_0> Объем призмы больше объема пирамиды с такой же площадью основания и высотой в 3 раза. Объем оставшейся части составляет тогда две трети исходного, он равен 4. | 4 | |
27132 | <img_0> Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности. | Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна S_\Delta=дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 8=24. S_бок=Ph=24 умножить на 10=240. Полная площадь поверхности призмы равна S=2S_\Delta плюс S_бок=48 плюс 240=288. | 288 | |
27148 | <img_0> В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы. | Сторона ромба a выражается через его диагонали и d_1 d_2 a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: d_1 конец аргумента в квадрате плюс d_2 в квадрате =5. Площадь ромба равна S_ромба= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1d_2=24. Тогда боковое ребро найдем из выражения для площади поверхности: S=2S_ромба плюс 4aH равносильно H= дробь: числитель: S минус 2S_ромба, знаменатель: 4a конец дроби=дробь: числитель: 248 минус 48, знаменатель: 20 конец дроби =10. | 10 | |
27151 | <img_0> Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы. | Гипотенуза основания равна 10. Высоту найдем из выражения для площади поверхности : S=2S_\Delta плюс Ph h= дробь: числитель: S минус 2S_\Delta , знаменатель: P конец дроби=дробь: числитель: 288 минус 48, знаменатель: 24 конец дроби =10. | 10 | |
27153 | <img_0> Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. | Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту боковой грани. Высота боковой грани у исходной призмы и отсеченной призм совпадает. Поэтому площади боковых граней относятся как периметры оснований. Треугольники в основании исходной и отсеченной призм подобны, все их стороны относятся как 1:2. Поэтому периметр основания отсеченной призмы вдвое меньше исходного. Следовательно, площадь боковой поверхности исходной призмы равна 16. | 16 | |
74915 | От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. | <img_0> Объем призмы больше объема пирамиды с такой же площадью основания и высотой в 3 раза. Объем оставшейся части составляет тогда две трети исходного, он равен 100. | 100 | |
75963 | <img_0> В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 16 и 30. Площадь ее поверхности равна 2588. Найдите боковое ребро этой призмы. | Сторона ромба a выражается через его диагонали и как d_1 d_2 a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: d_1 конец аргумента в квадрате плюс d_2 в квадрате =17. Площадь ромба S_P= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1d_2=240. Тогда боковое ребро найдем из выражения для площади поверхности: S=2S_ромба плюс 4aH равносильно H= дробь: числитель: S минус 2S_ромба, знаменатель: 4a конец дроби=дробь: числитель: 2588 минус 480, знаменатель: 68 конец дроби =31. | 31 | |
245340 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3. | Требуется найти объём пирамиды, основание и высота которой совпадают с основанием и высотой данной треугольной призмы. Поэтому <img_1> V_пир= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_пирh_пир= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_прh_пр= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 2 умножить на 3 =2. | 2 | |
245341 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, | <img_1> Искомый объём многогранника равен разности объёмов призмы и пирамиды ABCA_1B_1C_1 BA_1B_1C_1, V_мног=S_прh_пр минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_пирh_пир =3 умножить на 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 умножить на 2=4. | 4 | |
245342 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A_1, B_1, | <img_1> Заметим, что искомый объём равен разности объема призмы и двух треугольных пирамид, основания и высоты которых совпадают с основанием и высотой призмы: V_CA_1B_1B=V_пр минус V_CA_1B_1C_1 минус V_A_1ABC. Поэтому V_CA_1B_1B=4 умножить на 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 умножить на 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 умножить на 3=4. | 4 | |
245343 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , D , E , F , A_1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, | <img_1> Основание пирамиды такое же, как основание правильной шестиугольной призмы, и высота у них общая. Поэтому V_пир= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_пирh_пир= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_прh_пр= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 умножить на 3 =4. | 4 | |
245344 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1, C_1 | Многогранник, объем которого требуется найти, является прямой треугольной призмой. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Основанием призмы является треугольник. Площадь правильного шестиугольника в основании равна площадь треугольника ABC равна <img_1> 6 дробь: числитель: R в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби R умножить на R синус 120 градусов= дробь: числитель: R в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби , следовательно, площадь треугольника ABC равна одной шестой площади основания шестиугольной призмы. Высотой прямой призмы является боковое ребро, его длина равна 3. Таким образом, искомый объем равен 1 умножить на 3=3. | 3 | |
245345 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A , B , D , E , A_1, B_1, | <img_1> Площадь основания четырехугольной призмы равна двум третьим площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому V_чет= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби V_шест= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 6 умножить на 2=8. | 8 | |
245346 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2. | <img_1> Площадь основания четырехугольной призмы равна половине площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому V_чет= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби V_шест= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 2=6. | 6 | |
245347 | <img_0> Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , B_1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. | <img_1> Площадь основания треугольной пирамиды равна одной шестой площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому V_пир= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_оснH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби V_шест= дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби умножить на 6 умножить на 3=1. | 1 | |
245356 | <img_0> Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза? | Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз. Следовательно, она станет равна 54. | 54 | |
245365 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E. | <img_1> Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне. Поэтому BE=1 умножить на 2=2. | 2 | |
245368 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1. Найдите угол DAB. | В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны значит, <img_1> 120 градусов , \angle DAB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle FAB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 120 градусов =60 градусов . | 60 | |
316553 | <img_0> В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1, все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и D_1E_1. | <img_1> Отрезки D E , DE и AB лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми FA и E D равен углу между прямыми FA и AB. Поскольку угол FAB между сторонами правильного шестиугольника равен 120°, смежный с ним угол между прямыми FA и AB равен 60°. | 60 | |
316554 | В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 найдите угол между прямыми AD_1 | <img_0> Поскольку — куб, каждая из его граней является квадратом. Диагонали этих квадратов равны, поэтому ABCDA_1B_1C_1D_1 D_1B_1=B_1A=AD_1. D_1B_1A | 60 | |
27624 | <img_0> Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника. | Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: S= дробь: числитель: p, знаменатель: 2 конец дроби r=6 умножить на 1=6. | 6 | |
27625 | <img_0> Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника. | Из формулы где p — полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности: S=pr, P= дробь: числитель: 2S, знаменатель: r конец дроби=дробь: числитель: 2 умножить на 24, знаменатель: 2 конец дроби =24. | 24 | |
27626 | <img_0> Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности. | Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому r= дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби=дробь: числитель: 54, знаменатель: 18 конец дроби =3. | 3 | |
27909 | <img_0> Сторона правильного треугольника равна корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. | Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру: r= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC конец дроби=дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB в квадрате синус A, знаменатель: дробь: числитель: 3AB, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби=дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус 60 градусов , знаменатель: 3 конец дроби=дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =0,5. | 0,5 | |
27910 | <img_0> Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби . Найдите сторону этого треугольника. | Известно, что а по условию Поэтому длина стороны треугольника r=дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби a, r=дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби . a=1. | 1 | |
27931 | <img_0> Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите c левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка . | Пусть длина катетов равна x , тогда длина гипотенузы равна а радиус вписанной окружности, вычисляемый по формуле равен x корень из 2 , r=0,5 левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка , r= дробь: числитель: x плюс x минус x корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: 2 минус корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби x. По условию откуда r=2, дробь: числитель: 2 минус корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби x=2 равносильно x= дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 2 минус корень из 2 . Требовалось найти имеем: c левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , c левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка =x корень из 2 левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка =x левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая круглая скобка=дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 минус корень из 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая круглая скобка =4. | 4 | |
27932 | <img_0> Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. | Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: r= дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: 2a минус a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: a левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =1. | 1 | |
27933 | <img_0> В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, | ## r= дробь: числитель: AC плюс BC минус AB, знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: AC плюс BC минус корень из: начало аргумента: AC конец аргумента в квадрате плюс BC в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 25 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =1. | 1 | |
27934 | <img_0> Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности. | Имеем: Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона: r= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: P_ABC конец дроби . тогда S_ABC= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: P конец аргумента _ABC, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: P_ABC, знаменатель: 2 конец дроби минус AB правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: P_ABC, знаменатель: 2 конец дроби минус BC правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: P_ABC, знаменатель: 2 конец дроби минус AC правая круглая скобка== корень из: начало аргумента: 8 умножить на 3 умножить на 3 умножить на 2 конец аргумента=корень из: начало аргумента: 16 умножить на 9 конец аргумента =12. r= дробь: числитель: 2 умножить на 12, знаменатель: 16 конец дроби=дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби =1,5. | 1,5 | |
27951 | <img_0> Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , считая стороны квадратных клеток равными 1. | Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен полуразности суммы катетов и гипотенузы. Заметим, что в треугольнике с катетами 3 и 4 гипотенуза равна 5, откуда r= дробь: числитель: AC плюс BC минус AB, знаменатель: 2 конец дроби=дробь: числитель: 3 плюс 4 минус 5, знаменатель: 2 конец дроби =1. | 1 | |
27868 | <img_0> Точки A , B , C , расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. | пусть меньшая часть окружности равна x тогда x плюс 3x плюс 5x=360 градусов равносильно x=40 градусов . Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, \angle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 40 градусов =100 градусов . | 100 |