unsloth/LaTeX_OCR · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 120 800	text stringlengths 0 595
	d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = h _ { 0 } ^ { - 2 / 3 } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + d x _ { 2 } ^ { 2 } ) + h _ { 0 } ^ { 1 / 3 } ( d x _ { 3 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 9 } ^ { 2 } + d x _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ,
	F _ { B } ( \beta , L ) \longrightarrow \frac { \pi } { 6 L } - \frac { \pi } { 6 L } = 0 .
	G = i G ^ { j } ( x ) \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \: + \: B ( x )
	\left[ \frac \delta { \delta \Phi \left( y \right) } , w \left( x \right) \right] = - d _ { \mathrm { W } } \left( \Phi \right) \delta \left( x - y \right) \frac \delta { \delta \Phi \left( x \right) } , \Phi = \left( b ^ { a } , h ^ { a } \right) ,
	I _ { E } = \frac { 1 } { 2 T } \left( \mathcal { T } ( r ) - Q \Phi ( r ) \right) .
	{ \cal E } [ \phi _ { 0 } ] = 2 m \left( \frac { 1 } { \pi } - \frac { 1 } { 4 \sqrt { 3 } } \right)
	K ^ { \chi } ( x ^ { \prime \prime } , x ; t + t ^ { \prime } ) = \int _ { M } d x ^ { \prime } K ^ { \chi } ( x ^ { \prime \prime } , x ^ { \prime } ; t ^ { \prime } ) K ^ { \chi } ( x ^ { \prime } , x ; t ) ,
	\Psi ( r ) = { \frac { \mathrm { A i } ( R - e ) } { r } }
	\psi _ { i } ( x ) = \partial \varphi _ { i } ( x ) = \pi _ { i } ( x ) + \varphi _ { i } ^ { \prime } ( x ) , \ { \overline { \psi } } _ { i } ( x ) = { \overline { \partial } } \varphi _ { i } ( x ) = \pi _ { i } ( x ) - \varphi _ { i } ^ { \prime } ( x ) .
	\tilde { S } ( f ; g ) = S ( \sigma ; g _ { \alpha \beta } / ( \sqrt { g } ) ^ { 1 / k } ) \bigg \vert _ { \sigma = \frac { 1 } { k } \ln \Delta _ { x } ^ { f ^ { - 1 } } }
	\bar { G } _ { a b } = - \frac { 3 } { 8 } U h _ { a b } + \frac { U _ { B } } { 4 } \tau _ { a b } + \pi _ { a b } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { a } \phi \partial _ { b } \phi - \frac { 5 } { 1 6 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } h _ { a b } - E _ { a b } .
	E [ f ^ { ( 0 ) } + f ^ { ( 1 ) } ] = E [ f ^ { ( 0 ) } ] + \frac { \delta E } { \delta f } [ f ^ { ( 0 ) } ] \cdot f ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \delta ^ { 2 } E } { \delta f ^ { 2 } } [ f ^ { ( 0 ) } ] \cdot ( f ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + \cdots .
	S = { \frac { 1 } { \sqrt { M ^ { 2 } } } } \varepsilon _ { i j } L ^ { i } \tilde { D } L ^ { j } = { \frac { L ^ { * } { } ^ { 2 } } { \sqrt { M ^ { 2 } } } } \varepsilon _ { i j } \hat { k } ^ { i } \tilde { D } \hat { k } ^ { j } = { \frac { L ^ { * } { } ^ { 2 } } { \sqrt { M ^ { 2 } } } } \overline { \kappa } _ { 2 } .
	E _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { 0 } = m \omega ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { m ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } + \frac { \theta ^ { 2 } } { 4 \hbar ^ { 4 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( n _ { x } + n _ { y } + 1 \right) - \frac { m \omega ^ { 2 } \theta } { 2 } \left( n _ { x } - n _ { y } \right) .
	a _ { i } a _ { j } - q _ { i j } ^ { * } a _ { j } a _ { i } = 0 , \forall i , j \in S
	\tilde { \theta } _ { 2 } \theta _ { 1 } ^ { \prime } = N _ { 1 2 } \theta _ { 1 } \tilde { \theta } _ { 2 } ^ { \prime } \overline { { R } }
	k = e ^ { \pm M \tau } \: , \: \tau = t _ { 2 } - t _ { 1 } \: , t _ { 2 } > t _ { 1 } .
	\left\{ \begin{matrix} { W = \left( { \frac { 2 - c } { 2 } } X \right) ^ { \frac { 2 } { 2 - c } } } \\ { Z = \left( { \frac { 2 - d } { 2 } } Y \right) ^ { \frac { 2 } { 2 - d } } } \\ \end{matrix} \right. , \left\{ \begin{matrix} { X = ( 1 - a ) W ^ { \frac { 1 } { 1 - a } } } \\ { Y = ( 1 - b ) Z ^ { \frac { 1 } { 1 - b } } } \\ \end{matrix} \right. ,
	D ^ { a } { } _ { b } = \delta _ { b } ^ { a } d + \omega ^ { a } { } _ { b } ,
	p _ { \mu } ^ { ( i ) } = d _ { \mu } ^ { ( i ) } { \bf 1 } + \tilde { p } _ { \mu } ^ { ( i ) } ,
	[ p _ { 0 } , x _ { 0 } ] = i , \quad [ p _ { i } , x _ { j } ] = - i \delta _ { i j } .
	{ E } _ { n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \Pi _ { 1 \leq j \leq n } ( \eta _ { j } ^ { 0 } + \eta _ { j } ^ { d } ) ^ { \Delta } \ { \cal E } _ { n } ( \eta _ { 1 } , . . . , \eta _ { n } ) .
	S _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } = { \frac { 1 } { 2 \lambda } } \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { \mu \nu \rho } E _ { \mu } ^ { \underline { { a } } } T _ { \nu \rho } ^ { \underline { { { a } } } } + S _ { \mathrm { B } } ,
	{ \cal S } _ { b } g = \sum _ { i = 0 } ^ { 4 } \varepsilon ^ { i } { \cal C } _ { i }
	\mathrm { P f } ( A ) = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { 2 ^ { m } m ! } \sum _ { \sigma ( a _ { 1 } , \dots , a _ { m } ) } \epsilon _ { a _ { 1 } \dots a _ { 2 m } } A _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } \cdots A _ { a _ { 2 m - 1 } a _ { 2 m } } ,
	J ( w ) = \sum _ { a } J ^ { a } ( w ) = \sum _ { a } j ^ { a } ( w ) t ^ { a }
	h _ { j ^ { \prime } } ^ { ( B ) } T _ { 0 , j ^ { \prime } } = T _ { 0 , j ^ { \prime } } h _ { j ^ { \prime } } ^ { ( s ^ { \prime } ) }
	c _ { s } ( t ) \sim \frac { c _ { s * } } { \| x \| ^ { 2 h _ { s } } } .
	\frac { i b } { \sqrt { 2 } } + \frac { \sqrt { 2 } } { i b }
	( d s ) ^ { 2 } = d x ^ { 1 } ( 2 d \bar { x } ^ { 0 } + k ^ { 2 } d x ^ { 1 } )
	= \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { m + 1 } \| q + m , m ; i > < q + m , m ; i \| = I _ { q } .
	g _ { \epsilon } ( \{ A _ { , } B \} _ { \epsilon } ) = g _ { \epsilon } ( A ) + g _ { \epsilon } ( B ) \pmod 2 \ ,
	\underline { { A } } ^ { \mu } = \frac 1 \ell \underline { { \Theta } } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { \mu } \ _ { \nu \rho } \underline { { \Omega } } ^ { \nu \rho } \qquad , \qquad \underline { { \tilde { A } } } ^ { \mu } = - \frac 1 \ell \underline { { \Theta } } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { \mu } \ _ { \nu \rho } \underline { { \Omega } } ^ { \nu \rho } \qquad .
	m ( 0 ) \arctan \frac { \Lambda } { m ( 0 ) } = m \ \arctan \frac { \Lambda } { m } + \frac { \pi } { 2 } f ( T )
	D _ { a } \Phi = J _ { a } \Phi - i \Phi * ( - i \Phi ^ { \dag } * J _ { a } \Phi = ( 1 - \Phi * \Phi ^ { \dag } ) * J _ { a } \Phi = 0
	{ \cal D } = \| x - x ^ { \prime } \| ( T ^ { * } - \omega ) - \frac { 1 } { 2 } ( l _ { e } ^ { 2 } + l _ { \bar { e } } ^ { 2 } ) ,
	\frac { \hbar } { \Gamma } = \tau .
	\zeta _ { \mu \nu } ( s , x \| L _ { b } ) = \bar { \zeta } _ { \mu \nu } ( s , x \| L _ { b } ) + L _ { \mu \nu } \zeta ( s , x \| L _ { b } ) - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \mu \nu } \zeta ( s - 1 , x \| L _ { b } ) ,
	[ N _ { i } , \eta _ { j } ] = i \delta _ { i j } \eta _ { 0 } , \quad [ N _ { i } , \eta _ { 0 } ] = i \eta _ { i } , \quad [ N _ { i } , \eta _ { 4 } ] = 0
	\nabla _ { { X _ { a } } } X _ { b } = \Lambda ^ { c } { } _ { b } ( X _ { a } ) X _ { c } .
	\Lambda = \{ e _ { j } , - e _ { j } : \quad j = 1 , \ldots , N \} .
	\ddot { \vec { \phi } } = - [ ( \vec { A _ { 1 } ^ { 2 } } + \vec { A _ { 2 } ^ { 2 } } ) \vec { \phi } - ( \vec { A _ { 1 } } \cdot \vec { \phi } \vec { A _ { 1 } } + \vec { A _ { 2 } } \cdot \vec { \phi } \vec { A _ { 2 } } ] - \frac { \kappa } { 2 } \vec { \phi } ( \vec { \phi } ^ { 2 } - 1 ) .
	- \frac { 1 } { 2 } Q ^ { i ^ { \prime } } \sum _ { k > 0 } \mathrm { e } ^ { - 2 i k \sigma _ { + } ^ { \prime } } = - \frac { 1 } { 2 } Q ^ { i ^ { \prime } } \frac { \mathrm { e } ^ { - 2 i \sigma _ { + } ^ { \prime } } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - 2 i \sigma _ { + } ^ { \prime } } }
	a \psi _ { u } A _ { , v } + a \psi _ { v } A _ { , u } - 2 A _ { u v } = 0
	\overline { \nabla } _ { \! \mu } = \gamma _ { \mu } ^ { \nu } \nabla _ { \! \nu } ,
	\kappa L _ { G 4 k - 1 } ^ { A d S } + \beta _ { \{ r _ { j } \} } L _ { T \{ r _ { j } \} 4 k - 1 } ^ { A d S } ,
	\Lambda _ { N } ^ { A B } ( \mu , \bar { \mu } ) = \Lambda _ { N - 1 } ^ { A B } ( \mu , \bar { \mu } ) + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \left( \mu _ { N - 2 } ^ { A } \bar { \mu } ^ { B , N - 2 } - \mu _ { N - 2 } ^ { B } \bar { \mu } ^ { A , N - 2 } \right) .
	X _ { n - i + 1 i } = \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } [ X _ { n - i i + 1 } , \Phi ( F _ { i } ) ] _ { q } X _ { n - i i + 1 } ^ { - 1 } , 1 \leq i \leq n - 2 ,
	U = s ( s + 1 ) , \qquad s = - \frac 1 2 + \sqrt { \frac 1 4 + U } > 0
	\left( \hat { { \cal P } } _ { \mu } \gamma ^ { \mu } - m \right) S ^ { c } ( x , y ) = - \delta ^ { D } ( x - y ) ,
	{ \eta } _ { i } ^ { \star } ( y _ { - } , y _ { + } ) { \eta } _ { i } ( y _ { - } , y _ { + } ) = { \eta } _ { i } ^ { \star } ( y _ { - } ) { \eta } _ { i } ( y _ { - } ) ,
	\theta = \theta _ { L } + \theta _ { R } , \ \Gamma _ { 1 1 } \theta _ { L } = \theta _ { L } , \ \Gamma _ { 1 1 } \theta _ { R } = - \theta _ { R }
	g ( u ) g ^ { \prime } ( v ) + g ( v ) g ^ { \prime } ( u ) = c . g ( u + v )
	T _ { 0 } ^ { \dag } \vec { S } _ { i } ^ { x } T _ { 0 } = \xi ^ { x } \vec { S ^ { \prime } } _ { i } ^ { x } i = 1 , 3 .
	\rho = \pi ^ { 2 } \sqrt { \left( 1 - \frac { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) }
	\mu _ { c } ^ { 2 } = \frac { \lambda _ { 1 0 } ( \beta ) } { \beta } \int ^ { \Lambda } \frac { d ^ { d - 1 } q } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \frac { 1 } { q ^ { 2 } } ,
	a \pi R + c _ { 0 } + c _ { \pi } = m \pi ,
	F _ { t } ^ { 0 } ( s , u ) = Q _ { t } ( u + s ) , F _ { t } ^ { t } ( s , u ) = Q _ { t } ( u - s - t ) ,
	H ( v , w ) = v w = 0 , \quad \mathrm { w h e r e } \quad v = x ^ { 4 } + i x ^ { 5 } , \quad w = x ^ { 8 } + i x ^ { 9 } .
	\mathcal { Q M } \longrightarrow L _ { \phantom { x } y } ^ { x } ( q ) \in \mathrm { S O ( 3 ) }
	{ \cal X } ( \theta \to \infty ) \to 2 \cos ( \alpha / 2 ) e ^ { - \exp ( \theta ) } \qquad { \cal Y } ( \infty ) = 1 \ .
	\langle \hat { A } \hat { B } \rangle = \langle \hat { A } \rangle \langle \hat { B } \rangle + O ( 1 / N ) .
	0 \rightarrow P _ { n } e P _ { n } \rightarrow P _ { n } \rightarrow \Sigma _ { n }
	A _ { 2 } = \frac { g } { \sqrt 2 } \frac { \sqrt { 1 - c o s 2 { \theta } } } { { \theta } } \sin { \theta } s i n { \phi }
	c ( r ) = c _ { i j } = c o n s t \qquad m _ { i } , M _ { i } \ll \frac { 2 } { r } \ll m _ { j } , M _ { j } ,
	4 5
	I ( \Phi ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { x x ^ { \prime } < 1 } \cdots \int d ^ { n + 1 } x \sqrt { g } g ^ { i j } \frac { \partial \Phi } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial \Phi } { \partial x ^ { j } } .
	\langle E _ { v a c } \rangle = - { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { n 1 , n 2 = 1 } ^ { \infty } m _ { \bf n } ^ { 4 } \Bigg ( { \frac { 1 } { \epsilon } } + 2 \log 2 - { \frac { 1 } { 2 } } - \log ( { \frac { m _ { \bf n } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } ) \Bigg )
	H ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 } { x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } \log \left( \frac { \mu ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \frac { \mu ^ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } } { ( \mu ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( \mu ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } ) } .
	Q ^ { ( I ) } : = \frac { 1 } { - \triangle } = K _ { I I } I = 2 , . . . N .
	\theta _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \theta _ { j k } , \quad \theta ^ { 2 } = \theta _ { i } \theta _ { i } , \quad E _ { i } = F _ { 0 i } , \quad B _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } F _ { j k }
	\Phi _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \delta _ { \mu } ( s ^ { \prime } ) \Phi _ { \xi } ( s , 0 ) = - i g \theta ( s - s ^ { \prime } ) \Phi _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) E _ { \mu } [ \xi \| s ] \Phi _ { \xi } ( s , 0 ) .
	{ \cal Q } _ { g h } ^ { \prime } = \oint J _ { z } - \{ { \cal Q } _ { s } , S \} .
	( h ^ { 1 , 1 } , h ^ { 1 , 3 } , h ^ { 1 , 2 } , h ^ { 2 , 2 } ) = ( 6 , 1 9 5 4 , 0 , 7 8 8 4 ) , \quad
	\xi = \left( \begin{array} { c } { i } \\ { 0 } \\ \end{array} \right)
	\tilde { H } = 1 + \sum _ { a } \frac { \tilde { k } } { \| \vec { X } - \vec { X } _ { a } \| ^ { 2 } } ,
	\Omega _ { \pm } = 1 + ( 1 - a ) \varepsilon \cdot A ( x ) + { \cal O } ( \varepsilon ^ { 2 } )
	\xi _ { + } = - \partial / \partial z .
	[ \: x ^ { \lambda } , \eta _ { \mu \nu } \dot { x } ^ { \mu } \dot { x } ^ { \nu } \: ] = 0 .
	\theta _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { A } & { B } \\ { C } & { D } \\ \end{array} \right) , \ \theta _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { E } & { F } \\ { G } & { H } \\ \end{array} \right)
	G _ { A B } \equiv \eta _ { \mu \nu } x _ { , A } ^ { \mu } x _ { , B } ^ { \nu }
	E i ( - \mu ) = - \int _ { 1 } ^ { \infty } d x \frac { e ^ { - \mu x } } { x } { , } \mu > 0 { . }
	Z ( J , \phi _ { a } ^ { * } , \bar { \phi } ) = \int d \phi \exp \bigg \{ \frac { i } { \hbar } \bigg ( S _ { \mathrm { e x t } } ( \phi , \phi _ { a } ^ { * } , \bar { \phi } ) + J _ { A } \phi ^ { A } \bigg ) \bigg \} .
	T _ { c } ^ { ( 1 ) } = T ^ { ( 1 ) } \backslash c ,
	\sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { V } } _ { i } ^ { ( N - 1 ) } \cos \psi _ { 0 i } = \overline { { V } } _ { 0 } ^ { ( N - 1 ) } .
	G _ { r } ^ { \pm } ( L _ { 0 } - a - r ) ^ { - 1 } = ( L _ { 0 } - a ) ^ { - 1 } G _ { r } ^ { \pm } ,
	\{ S _ { 1 , 1 } ^ { \nu \rho } ( p ) p ^ { \mu } ( z _ { 1 } - z ) ^ { 2 } +
	A = { \frac { i } { 2 } } \left( A _ { 0 } 1 \! \! 1 + A _ { a } \sigma ^ { a } \right) ,
	S ( b , \omega , \xi ) = \exp \left[ \mathrm { i } \left( b _ { \mu } P ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \mu \nu } M ^ { \mu \nu } + \overline { { \xi } } Q \right) \right] .
	D _ { q } ( j ) = \sum _ { \mathrm { s t a t e s i n } V ( 2 j ) } t = [ 2 j + 1 ] ,
	Z = \int [ d U ] e ^ { S } = \int [ d U ] e ^ { S _ { 0 } } e ^ { S - S _ { 0 } } = Z ( J _ { \sigma } , J _ { \sigma ^ { \prime } } ) _ { 0 } \left\langle e ^ { S - S _ { 0 } } \right\rangle _ { 0 } ,
	v ^ { ( a ) } ( y ) = \left( \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } } \alpha \partial _ { y ^ { - } } g _ { a } ( y ) - g _ { a } ( y ) \partial _ { y ^ { - } } \phi } \\ { g _ { a } ( y ) } \\ \end{array} \right)
	q \left( r \right) = e ^ { \sqrt { 3 } \Phi \left( r \right) } .
	\left( M ^ { 2 } \right) _ { j } ^ { i } = K ^ { a b i } K _ { a b j } + R _ { \mu \nu \rho \sigma } E _ { a } ^ { \mu } n ^ { \nu i } E ^ { \rho a } n _ { j } ^ { \sigma }
	{ } [ { \bf T } _ { \Lambda } , { \bf T } _ { \Sigma } \} \equiv { \bf T } _ { \Lambda } { \bf T } _ { \Sigma } \mp { \bf T } _ { \Sigma } { \bf T } _ { \Lambda } = f _ { \Lambda \Sigma } { } ^ { \Delta } { \bf T } _ { \Delta } ,
	N = - \frac { \alpha } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \| 1 - \nu ^ { 2 } \| ( 2 c ^ { + } c ^ { -- } \beta ) ( 2 c ^ { - } c ^ { + } - \beta ) + 1 } ,
	G _ { s } = g _ { s } \sqrt { 1 - e ^ { 2 } + \frac { g b ^ { 2 } } { g _ { 2 } } }
	g = \left( \begin{array} { c c c } { \gamma \bar { \gamma } e ^ { \phi } + e ^ { - \phi } } & { - \gamma e ^ { \phi } } \\ { - \bar { \gamma } e ^ { \phi } } & { e ^ { \phi } } \\ \end{array} \right) .
	\gamma = X Y Z - \zeta X - \zeta Z + \zeta Y = - Z Y X + \zeta X + \zeta Z - \zeta Y
	\delta _ { R } \Sigma ( r , u _ { i } ) = - 2 \epsilon \epsilon _ { z i j } u _ { i } \partial _ { u _ { j } } \ \Sigma ( r , u _ { i } ) \ .

d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = h _ { 0 } ^ { - 2 / 3 } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + d x _ { 2 } ^ { 2 } ) + h _ { 0 } ^ { 1 / 3 } ( d x _ { 3 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 9 } ^ { 2 } + d x _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ,

F _ { B } ( \beta , L ) \longrightarrow \frac { \pi } { 6 L } - \frac { \pi } { 6 L } = 0 .

G = i G ^ { j } ( x ) \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \: + \: B ( x )

\left[ \frac \delta { \delta \Phi \left( y \right) } , w \left( x \right) \right] = - d _ { \mathrm { W } } \left( \Phi \right) \delta \left( x - y \right) \frac \delta { \delta \Phi \left( x \right) } , \Phi = \left( b ^ { a } , h ^ { a } \right) ,

I _ { E } = \frac { 1 } { 2 T } \left( \mathcal { T } ( r ) - Q \Phi ( r ) \right) .

{ \cal E } [ \phi _ { 0 } ] = 2 m \left( \frac { 1 } { \pi } - \frac { 1 } { 4 \sqrt { 3 } } \right)

K ^ { \chi } ( x ^ { \prime \prime } , x ; t + t ^ { \prime } ) = \int _ { M } d x ^ { \prime } K ^ { \chi } ( x ^ { \prime \prime } , x ^ { \prime } ; t ^ { \prime } ) K ^ { \chi } ( x ^ { \prime } , x ; t ) ,

\Psi ( r ) = { \frac { \mathrm { A i } ( R - e ) } { r } }

\psi _ { i } ( x ) = \partial \varphi _ { i } ( x ) = \pi _ { i } ( x ) + \varphi _ { i } ^ { \prime } ( x ) , \ { \overline { \psi } } _ { i } ( x ) = { \overline { \partial } } \varphi _ { i } ( x ) = \pi _ { i } ( x ) - \varphi _ { i } ^ { \prime } ( x ) .

\tilde { S } ( f ; g ) = S ( \sigma ; g _ { \alpha \beta } / ( \sqrt { g } ) ^ { 1 / k } ) \bigg \vert _ { \sigma = \frac { 1 } { k } \ln \Delta _ { x } ^ { f ^ { - 1 } } }

\bar { G } _ { a b } = - \frac { 3 } { 8 } U h _ { a b } + \frac { U _ { B } } { 4 } \tau _ { a b } + \pi _ { a b } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { a } \phi \partial _ { b } \phi - \frac { 5 } { 1 6 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } h _ { a b } - E _ { a b } .

E [ f ^ { ( 0 ) } + f ^ { ( 1 ) } ] = E [ f ^ { ( 0 ) } ] + \frac { \delta E } { \delta f } [ f ^ { ( 0 ) } ] \cdot f ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \delta ^ { 2 } E } { \delta f ^ { 2 } } [ f ^ { ( 0 ) } ] \cdot ( f ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + \cdots .

S = { \frac { 1 } { \sqrt { M ^ { 2 } } } } \varepsilon _ { i j } L ^ { i } \tilde { D } L ^ { j } = { \frac { L ^ { * } { } ^ { 2 } } { \sqrt { M ^ { 2 } } } } \varepsilon _ { i j } \hat { k } ^ { i } \tilde { D } \hat { k } ^ { j } = { \frac { L ^ { * } { } ^ { 2 } } { \sqrt { M ^ { 2 } } } } \overline { \kappa } _ { 2 } .

E _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { 0 } = m \omega ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { m ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } + \frac { \theta ^ { 2 } } { 4 \hbar ^ { 4 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( n _ { x } + n _ { y } + 1 \right) - \frac { m \omega ^ { 2 } \theta } { 2 } \left( n _ { x } - n _ { y } \right) .

a _ { i } a _ { j } - q _ { i j } ^ { * } a _ { j } a _ { i } = 0 , \forall i , j \in S

\tilde { \theta } _ { 2 } \theta _ { 1 } ^ { \prime } = N _ { 1 2 } \theta _ { 1 } \tilde { \theta } _ { 2 } ^ { \prime } \overline { { R } }

k = e ^ { \pm M \tau } \: , \: \tau = t _ { 2 } - t _ { 1 } \: , t _ { 2 } > t _ { 1 } .

\left\{ \begin{matrix} { W = \left( { \frac { 2 - c } { 2 } } X \right) ^ { \frac { 2 } { 2 - c } } } \\ { Z = \left( { \frac { 2 - d } { 2 } } Y \right) ^ { \frac { 2 } { 2 - d } } } \\ \end{matrix} \right. , \left\{ \begin{matrix} { X = ( 1 - a ) W ^ { \frac { 1 } { 1 - a } } } \\ { Y = ( 1 - b ) Z ^ { \frac { 1 } { 1 - b } } } \\ \end{matrix} \right. ,

D ^ { a } { } _ { b } = \delta _ { b } ^ { a } d + \omega ^ { a } { } _ { b } ,

p _ { \mu } ^ { ( i ) } = d _ { \mu } ^ { ( i ) } { \bf 1 } + \tilde { p } _ { \mu } ^ { ( i ) } ,

[ p _ { 0 } , x _ { 0 } ] = i , \quad [ p _ { i } , x _ { j } ] = - i \delta _ { i j } .

{ E } _ { n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \Pi _ { 1 \leq j \leq n } ( \eta _ { j } ^ { 0 } + \eta _ { j } ^ { d } ) ^ { \Delta } \ { \cal E } _ { n } ( \eta _ { 1 } , . . . , \eta _ { n } ) .

S _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } = { \frac { 1 } { 2 \lambda } } \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { \mu \nu \rho } E _ { \mu } ^ { \underline { { a } } } T _ { \nu \rho } ^ { \underline { { { a } } } } + S _ { \mathrm { B } } ,

{ \cal S } _ { b } g = \sum _ { i = 0 } ^ { 4 } \varepsilon ^ { i } { \cal C } _ { i }

\mathrm { P f } ( A ) = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { 2 ^ { m } m ! } \sum _ { \sigma ( a _ { 1 } , \dots , a _ { m } ) } \epsilon _ { a _ { 1 } \dots a _ { 2 m } } A _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } \cdots A _ { a _ { 2 m - 1 } a _ { 2 m } } ,

J ( w ) = \sum _ { a } J ^ { a } ( w ) = \sum _ { a } j ^ { a } ( w ) t ^ { a }

h _ { j ^ { \prime } } ^ { ( B ) } T _ { 0 , j ^ { \prime } } = T _ { 0 , j ^ { \prime } } h _ { j ^ { \prime } } ^ { ( s ^ { \prime } ) }

c _ { s } ( t ) \sim \frac { c _ { s * } } { | x | ^ { 2 h _ { s } } } .

\frac { i b } { \sqrt { 2 } } + \frac { \sqrt { 2 } } { i b }

( d s ) ^ { 2 } = d x ^ { 1 } ( 2 d \bar { x } ^ { 0 } + k ^ { 2 } d x ^ { 1 } )

= \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { m + 1 } | q + m , m ; i > < q + m , m ; i | = I _ { q } .

g _ { \epsilon } ( \{ A _ { , } B \} _ { \epsilon } ) = g _ { \epsilon } ( A ) + g _ { \epsilon } ( B ) \pmod 2 \ ,

\underline { { A } } ^ { \mu } = \frac 1 \ell \underline { { \Theta } } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { \mu } \ _ { \nu \rho } \underline { { \Omega } } ^ { \nu \rho } \qquad , \qquad \underline { { \tilde { A } } } ^ { \mu } = - \frac 1 \ell \underline { { \Theta } } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { \mu } \ _ { \nu \rho } \underline { { \Omega } } ^ { \nu \rho } \qquad .

m ( 0 ) \arctan \frac { \Lambda } { m ( 0 ) } = m \ \arctan \frac { \Lambda } { m } + \frac { \pi } { 2 } f ( T )

D _ { a } \Phi = J _ { a } \Phi - i \Phi * ( - i \Phi ^ { \dag } * J _ { a } \Phi = ( 1 - \Phi * \Phi ^ { \dag } ) * J _ { a } \Phi = 0

{ \cal D } = | x - x ^ { \prime } | ( T ^ { * } - \omega ) - \frac { 1 } { 2 } ( l _ { e } ^ { 2 } + l _ { \bar { e } } ^ { 2 } ) ,

\frac { \hbar } { \Gamma } = \tau .

\zeta _ { \mu \nu } ( s , x | L _ { b } ) = \bar { \zeta } _ { \mu \nu } ( s , x | L _ { b } ) + L _ { \mu \nu } \zeta ( s , x | L _ { b } ) - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \mu \nu } \zeta ( s - 1 , x | L _ { b } ) ,

[ N _ { i } , \eta _ { j } ] = i \delta _ { i j } \eta _ { 0 } , \quad [ N _ { i } , \eta _ { 0 } ] = i \eta _ { i } , \quad [ N _ { i } , \eta _ { 4 } ] = 0

\nabla _ { { X _ { a } } } X _ { b } = \Lambda ^ { c } { } _ { b } ( X _ { a } ) X _ { c } .

\Lambda = \{ e _ { j } , - e _ { j } : \quad j = 1 , \ldots , N \} .

\ddot { \vec { \phi } } = - [ ( \vec { A _ { 1 } ^ { 2 } } + \vec { A _ { 2 } ^ { 2 } } ) \vec { \phi } - ( \vec { A _ { 1 } } \cdot \vec { \phi } \vec { A _ { 1 } } + \vec { A _ { 2 } } \cdot \vec { \phi } \vec { A _ { 2 } } ] - \frac { \kappa } { 2 } \vec { \phi } ( \vec { \phi } ^ { 2 } - 1 ) .

- \frac { 1 } { 2 } Q ^ { i ^ { \prime } } \sum _ { k > 0 } \mathrm { e } ^ { - 2 i k \sigma _ { + } ^ { \prime } } = - \frac { 1 } { 2 } Q ^ { i ^ { \prime } } \frac { \mathrm { e } ^ { - 2 i \sigma _ { + } ^ { \prime } } } { 1 - \mathrm { e } ^ { - 2 i \sigma _ { + } ^ { \prime } } }

a \psi _ { u } A _ { , v } + a \psi _ { v } A _ { , u } - 2 A _ { u v } = 0

\overline { \nabla } _ { \! \mu } = \gamma _ { \mu } ^ { \nu } \nabla _ { \! \nu } ,

\kappa L _ { G 4 k - 1 } ^ { A d S } + \beta _ { \{ r _ { j } \} } L _ { T \{ r _ { j } \} 4 k - 1 } ^ { A d S } ,

\Lambda _ { N } ^ { A B } ( \mu , \bar { \mu } ) = \Lambda _ { N - 1 } ^ { A B } ( \mu , \bar { \mu } ) + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \left( \mu _ { N - 2 } ^ { A } \bar { \mu } ^ { B , N - 2 } - \mu _ { N - 2 } ^ { B } \bar { \mu } ^ { A , N - 2 } \right) .

X _ { n - i + 1 i } = \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } [ X _ { n - i i + 1 } , \Phi ( F _ { i } ) ] _ { q } X _ { n - i i + 1 } ^ { - 1 } , 1 \leq i \leq n - 2 ,

U = s ( s + 1 ) , \qquad s = - \frac 1 2 + \sqrt { \frac 1 4 + U } > 0

\left( \hat { { \cal P } } _ { \mu } \gamma ^ { \mu } - m \right) S ^ { c } ( x , y ) = - \delta ^ { D } ( x - y ) ,

{ \eta } _ { i } ^ { \star } ( y _ { - } , y _ { + } ) { \eta } _ { i } ( y _ { - } , y _ { + } ) = { \eta } _ { i } ^ { \star } ( y _ { - } ) { \eta } _ { i } ( y _ { - } ) ,

\theta = \theta _ { L } + \theta _ { R } , \ \Gamma _ { 1 1 } \theta _ { L } = \theta _ { L } , \ \Gamma _ { 1 1 } \theta _ { R } = - \theta _ { R }

g ( u ) g ^ { \prime } ( v ) + g ( v ) g ^ { \prime } ( u ) = c . g ( u + v )

T _ { 0 } ^ { \dag } \vec { S } _ { i } ^ { x } T _ { 0 } = \xi ^ { x } \vec { S ^ { \prime } } _ { i } ^ { x } i = 1 , 3 .

\rho = \pi ^ { 2 } \sqrt { \left( 1 - \frac { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) }

\mu _ { c } ^ { 2 } = \frac { \lambda _ { 1 0 } ( \beta ) } { \beta } \int ^ { \Lambda } \frac { d ^ { d - 1 } q } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \frac { 1 } { q ^ { 2 } } ,

a \pi R + c _ { 0 } + c _ { \pi } = m \pi ,

F _ { t } ^ { 0 } ( s , u ) = Q _ { t } ( u + s ) , F _ { t } ^ { t } ( s , u ) = Q _ { t } ( u - s - t ) ,

H ( v , w ) = v w = 0 , \quad \mathrm { w h e r e } \quad v = x ^ { 4 } + i x ^ { 5 } , \quad w = x ^ { 8 } + i x ^ { 9 } .

\mathcal { Q M } \longrightarrow L _ { \phantom { x } y } ^ { x } ( q ) \in \mathrm { S O ( 3 ) }

{ \cal X } ( \theta \to \infty ) \to 2 \cos ( \alpha / 2 ) e ^ { - \exp ( \theta ) } \qquad { \cal Y } ( \infty ) = 1 \ .

\langle \hat { A } \hat { B } \rangle = \langle \hat { A } \rangle \langle \hat { B } \rangle + O ( 1 / N ) .

0 \rightarrow P _ { n } e P _ { n } \rightarrow P _ { n } \rightarrow \Sigma _ { n }

A _ { 2 } = \frac { g } { \sqrt 2 } \frac { \sqrt { 1 - c o s 2 { \theta } } } { { \theta } } \sin { \theta } s i n { \phi }

c ( r ) = c _ { i j } = c o n s t \qquad m _ { i } , M _ { i } \ll \frac { 2 } { r } \ll m _ { j } , M _ { j } ,

4 5

I ( \Phi ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { x x ^ { \prime } < 1 } \cdots \int d ^ { n + 1 } x \sqrt { g } g ^ { i j } \frac { \partial \Phi } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial \Phi } { \partial x ^ { j } } .

\langle E _ { v a c } \rangle = - { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { n 1 , n 2 = 1 } ^ { \infty } m _ { \bf n } ^ { 4 } \Bigg ( { \frac { 1 } { \epsilon } } + 2 \log 2 - { \frac { 1 } { 2 } } - \log ( { \frac { m _ { \bf n } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } ) \Bigg )

H ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 } { x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } \log \left( \frac { \mu ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \frac { \mu ^ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } } { ( \mu ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( \mu ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } ) } .

Q ^ { ( I ) } : = \frac { 1 } { - \triangle } = K _ { I I } I = 2 , . . . N .

\theta _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \theta _ { j k } , \quad \theta ^ { 2 } = \theta _ { i } \theta _ { i } , \quad E _ { i } = F _ { 0 i } , \quad B _ { i } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } F _ { j k }

\Phi _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \delta _ { \mu } ( s ^ { \prime } ) \Phi _ { \xi } ( s , 0 ) = - i g \theta ( s - s ^ { \prime } ) \Phi _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) E _ { \mu } [ \xi | s ] \Phi _ { \xi } ( s , 0 ) .

{ \cal Q } _ { g h } ^ { \prime } = \oint J _ { z } - \{ { \cal Q } _ { s } , S \} .

( h ^ { 1 , 1 } , h ^ { 1 , 3 } , h ^ { 1 , 2 } , h ^ { 2 , 2 } ) = ( 6 , 1 9 5 4 , 0 , 7 8 8 4 ) , \quad

\xi = \left( \begin{array} { c } { i } \\ { 0 } \\ \end{array} \right)

\tilde { H } = 1 + \sum _ { a } \frac { \tilde { k } } { | \vec { X } - \vec { X } _ { a } | ^ { 2 } } ,

\Omega _ { \pm } = 1 + ( 1 - a ) \varepsilon \cdot A ( x ) + { \cal O } ( \varepsilon ^ { 2 } )

\xi _ { + } = - \partial / \partial z .

[ \: x ^ { \lambda } , \eta _ { \mu \nu } \dot { x } ^ { \mu } \dot { x } ^ { \nu } \: ] = 0 .

\theta _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { A } & { B } \\ { C } & { D } \\ \end{array} \right) , \ \theta _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { E } & { F } \\ { G } & { H } \\ \end{array} \right)

G _ { A B } \equiv \eta _ { \mu \nu } x _ { , A } ^ { \mu } x _ { , B } ^ { \nu }

E i ( - \mu ) = - \int _ { 1 } ^ { \infty } d x \frac { e ^ { - \mu x } } { x } { , } \mu > 0 { . }

Z ( J , \phi _ { a } ^ { * } , \bar { \phi } ) = \int d \phi \exp \bigg \{ \frac { i } { \hbar } \bigg ( S _ { \mathrm { e x t } } ( \phi , \phi _ { a } ^ { * } , \bar { \phi } ) + J _ { A } \phi ^ { A } \bigg ) \bigg \} .

T _ { c } ^ { ( 1 ) } = T ^ { ( 1 ) } \backslash c ,

\sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { V } } _ { i } ^ { ( N - 1 ) } \cos \psi _ { 0 i } = \overline { { V } } _ { 0 } ^ { ( N - 1 ) } .

G _ { r } ^ { \pm } ( L _ { 0 } - a - r ) ^ { - 1 } = ( L _ { 0 } - a ) ^ { - 1 } G _ { r } ^ { \pm } ,

\{ S _ { 1 , 1 } ^ { \nu \rho } ( p ) p ^ { \mu } ( z _ { 1 } - z ) ^ { 2 } +

A = { \frac { i } { 2 } } \left( A _ { 0 } 1 \! \! 1 + A _ { a } \sigma ^ { a } \right) ,

S ( b , \omega , \xi ) = \exp \left[ \mathrm { i } \left( b _ { \mu } P ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \mu \nu } M ^ { \mu \nu } + \overline { { \xi } } Q \right) \right] .

D _ { q } ( j ) = \sum _ { \mathrm { s t a t e s i n } V ( 2 j ) } t = [ 2 j + 1 ] ,

Z = \int [ d U ] e ^ { S } = \int [ d U ] e ^ { S _ { 0 } } e ^ { S - S _ { 0 } } = Z ( J _ { \sigma } , J _ { \sigma ^ { \prime } } ) _ { 0 } \left\langle e ^ { S - S _ { 0 } } \right\rangle _ { 0 } ,

v ^ { ( a ) } ( y ) = \left( \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } } \alpha \partial _ { y ^ { - } } g _ { a } ( y ) - g _ { a } ( y ) \partial _ { y ^ { - } } \phi } \\ { g _ { a } ( y ) } \\ \end{array} \right)

q \left( r \right) = e ^ { \sqrt { 3 } \Phi \left( r \right) } .

\left( M ^ { 2 } \right) _ { j } ^ { i } = K ^ { a b i } K _ { a b j } + R _ { \mu \nu \rho \sigma } E _ { a } ^ { \mu } n ^ { \nu i } E ^ { \rho a } n _ { j } ^ { \sigma }

{ } [ { \bf T } _ { \Lambda } , { \bf T } _ { \Sigma } \} \equiv { \bf T } _ { \Lambda } { \bf T } _ { \Sigma } \mp { \bf T } _ { \Sigma } { \bf T } _ { \Lambda } = f _ { \Lambda \Sigma } { } ^ { \Delta } { \bf T } _ { \Delta } ,

N = - \frac { \alpha } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { | 1 - \nu ^ { 2 } | ( 2 c ^ { + } c ^ { -- } \beta ) ( 2 c ^ { - } c ^ { + } - \beta ) + 1 } ,

G _ { s } = g _ { s } \sqrt { 1 - e ^ { 2 } + \frac { g b ^ { 2 } } { g _ { 2 } } }

g = \left( \begin{array} { c c c } { \gamma \bar { \gamma } e ^ { \phi } + e ^ { - \phi } } & { - \gamma e ^ { \phi } } \\ { - \bar { \gamma } e ^ { \phi } } & { e ^ { \phi } } \\ \end{array} \right) .

\gamma = X Y Z - \zeta X - \zeta Z + \zeta Y = - Z Y X + \zeta X + \zeta Z - \zeta Y

\delta _ { R } \Sigma ( r , u _ { i } ) = - 2 \epsilon \epsilon _ { z i j } u _ { i } \partial _ { u _ { j } } \ \Sigma ( r , u _ { i } ) \ .